1

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

ΟΟρριισσμμόόςς

γινόμενο του λ με τ

Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με λ 0 και α ένα μη μηδενικό διάνυσμα.

Ονομάζουμε και το συμβολίζουμε

με λ α ή λα ένα διάνυσμα το οποίο:

Είναι ομόρροπο του α , α

ο

ν λ και

α

0

ζ

αντίρροπο του α , αν λ 0

Έχει μέτρο λ α

Αν λ 0 ή α 0 , τότε ορίζουμε ως λ α το μηδενικό διάνυσμα 0

ζ

Παράδειγμα 1

Δίνεται το διάνυσμα α , το οποίο έχει μέτρο 2.

Να βρείτε το διάνυσμα 3α και το διάνυσμα 3α

Το 3α είναι ομόρροπο του α

3α 3 α 3 α 3 2 6

Το 3α είναι αντίρροπο του α

3α 3 α 3 α 3 2 6

α

3α

3α

2

Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα

1) λ α β λα λβ λ α β λα λβ

2) λ μ α λα μα λ μ α λα μα

3) λ μα λμ α

4) λ α λ α λα

5) λα 0 τότε λ 0 ή α 0

6) λα μα και α 0 τότε λ μ

7) λα λβ και λ 0 τότε α β

ΓΓρρααμμμμιικκόόςς ΣΣυυννδδυυαασσμμόόςς ΔΔιιααννυυσσμμάάττωωνν

δύο διανυσμάτων α και β ονομάζεται

κάθε διάνυσμα της μορφής ν

Γραμμικός συν

κα λβ , όπου

δυασμός

κ,λ

Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να ορίσουμε και τον

γραμμικό συνδυασμό τριών ή περισσότερων διανυσμάτων.

ζ

Π.χ. v 3α 2β 5γ είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των α,β,γ

1 2 ν

Ο τρόπος που μπορεί να γραφεί ένα διάνυσμα α ως γραμμικός

συνδυασμός των διανυσμάτων α ,α ,...,α είναι μοναδικός!

ζ

ΣΣυυννθθήήκκηη ΠΠααρρααλλλληηλλίίααςς ΔΔιιααννυυσσμμάάττωωνν

Θεώρημα

Αν α , β είναι δύο διανύσματα , με β 0 , τότε

α / /β α λβ , λ

Για κ > 0

Αν α β , τότε α κβζ

Αν α β , τότε α κβ ζ

Αν α 0 , τότε α 0 β ζ

3

Παράδειγμα 2

Η σχέση ΑΒ 2ΓΔ σημαίνει:

AB / /ΓΔ

και

ΑΒ 2 ΓΔ ΑΒ 2ΓΔ

Συνευθειακά σημεία

Κάποια σημεία λέγονται συνευθειακά όταν μία μοναδική ευθεία

διέρχεται από όλα τους.

Α, Β, Γ, Δ συνευθειακά

Α, Β, Γ, Δ μη συνευθειακά / Α, Β, Γ συνευθειακά

Α, Β, Γ συνευθειακά AB / /ΑΓ ή ΑΒ / /ΒΓ ή ΑΓ / /ΒΓ

AB, ΒΓ μη συγγραμικά Α, Β, Γ μη συνευθειακά

Α

Β

Γ

Δ

Α Β

Γ Δ

Α Β

Γ

Δ

Α Β

Γ

Α Β

Γ

4

ΔΔιιααννυυσσμμααττιικκήή ΑΑκκττίίνναα ΜΜέέσσοουυ ΤΤμμήήμμααττοοςς

AM ΜΒ

OM OA OB OM

OM OM OA OB

2OM OA OB

OA OBOM

2

Πρόταση

Έστω α και β δύο μη συγγραμικά διανύσματα.

Αν κα λβ τότε κ λ 0

Απόδειξη

λ Για κ 0 έχουμε α β α / /β

κ ζ άτοπο

Άρα κ = 0

Για κ 0 έχουμε 0α λβ λβ 0

Αν β 0 , τότε β / /α άτοπο

ζ

Οπότε λ = 0

Α

Β

Ο

Μ //

//

5

ΛΛυυμμέέννεεςς ΑΑσσκκήήσσεειιςς

1η Κατηγορία: Παραλληλία διανυσμάτων

Συνευθειακά Σημεία

Μέθοδος

Για να δείξουμε ότι α / /β αρκεί να δείξουμε ότι α λβ με λ .

Πιο συγκεκριμένα:

α β όταν λ 0

α β όταν λ 0

ζ

ζ

Άσκηση 1 (Άσκηση 11 / σελ. 27 του σχολικού βιβλίου)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ΑΔ κΑΒ λΑΓ και ΑΕ λΑΒ κΑΓ

να αποδείξετε ότι ΔΕ / /ΒΓ

Λύση ( )ΑE λΑΒ κΑΓ

AΕ ΑΔ λΑΒ κΑΓ κΑΒ λΑΓΑΔ κΑΒ λΑΓ

ΑE ΑΔ λ κ ΑΒ κ λ ΑΓ

ΑE ΑΔ λ κ ΑΒ λ κ ΑΓ

ΑΕ ΑΔ λ κ AB AΓ

ΔΕ λ κ ΓΒ

ΔΕ λ κ ΓΒ

ΔΕ λ κ ΒΓ

ΔΕ / /ΒΓ

6

Άσκηση 2

Αν ισχύει η σχέση 2ΑΕ 3ΒΕ ΔΒ ΑΔ ΑΖ 2ΒΖ

τότε τα διανύσματα ΔΕ και ΖΕ είναι αντίρροπα

Λύση

2ΑΕ 3ΒΕ ΔΒ ΑΔ ΑΖ 2ΒΖ

2 ΔΕ ΔΑ 3 ΔΕ ΔΒ ΔΒ ΔΑ ΔΖ ΔΑ 2 ΔΖ ΔΒ

2ΔΕ 2ΔΑ 3ΔΕ 3ΔΒ ΔΒ ΔΑ ΔΖ ΔΑ 2ΔΖ 2ΔΒ

2ΔΕ

30

2

2ΔΑ 3ΔΕ 3ΔΒ ΔΒ ΔΑ ΔΖ ΔΑ 2ΔΖ 2ΔΒ 0

2ΔΕ 3ΔΕ 3ΔΖ 0

2ΔΕ 3 ΔΕ ΔΖ 0

2ΔΕ 3ΖΕ 0

2ΔΕ 3ΖΕ

3ΔΕ ΖΕ ΔΕ ΖΕ

2

Μέθοδος

Για να δείξουμε ότι τα διανύσματα α,β δεν είναι συγγραμικά, υποθέτουμε ότι

αυτά είναι παράλληλα και προσπαθούμε να καταλήξουμε σε άτοπο.

Άσκηση 3 1

Στο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε τα σημεία Δ, Ε με ΑΔ ΑΒ 3

1και ΑΕ ΑΓ. Να αποδειχθεί ότι τα διανύσματα ΔΕ και ΒΓ

2

δεν είναι συγγραμικά

Λύση

Έστω ότι ΔΕ / /ΒΓ ΔΕ λΒΓ AE ΑΔ λ ΑΓ ΑΒ

1 1 1 1AΓ ΑΒ λAΓ λΑΒ AΓ λΑΓ ΑΒ λΑΒ

2 3 2 3

1 2λ 1 3λ 1 2λ 1 3λAΓ ΑΒ AΓ ΑΒ

2 3 2 3

1 3λ

3ΑΓ1 2λ

ΑΒ ΑΓ / /ΑΒ άτοπο

2

Άρα τα διανύσματα ΔΕ και ΒΓ δεν είναι συγγραμικά

7

Μέθοδος

Όταν μας δίνονται δύο μη συγγραμικά διανύσματα α,β , προσπαθούμε να

καταλήξουμε σε μία μεταξύ τους σχέση της μορφής λα κβ ή λα κβ 0.

Τότε θα είναι κ λ 0.

Άσκηση 4

Έστω α,β, γ 0 και ανά δύο μη συγγραμικά.

Αν α / / β γ και β / / α γ , να αποδείξετε ότι γ / / α β

Λύση

β γ λα γ λα βλα β κβ α

α γ κβ γ κβ α

λα α κβ β

λ 1 α κ 1 β

λ 1 κ 1 0

λ 1 και κ 1

( )β γ αα β 2γ α β

α γ β

2γ α β α β

2γ 2α 2β

γ α β

γ α β

γ / / α β

Άσκηση 5

Δίνονται τα μη παράλληλα διανύσματα α,β και

u 2α β , v xα β , x .

Να βρεθεί ο x ώστε τα u, v να είναι παράλληλα.

Λύση

α / /

u / /v u λv 2α β λ xα β 2α β λ xα β

2α β λxα λβ 2α λxα λβ β

2 λx α λ 1 β

β 2 λx 0 2 x 0

λ 1 0 λ 1

x 2

λ 1

8

Μέθοδος Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να

δείξουμε ότι οποιαδήποτε δύο διανύσματα που ορίζουν τα Α, Β, Γ (ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ)

είναι συγγραμικά.

Άσκηση 6

Αν ισχύει ότι 8ΜΒ 5ΜΑ 3ΜΓ να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ

είναι συνευθειακά

Λύση

8ΜΒ 5ΜΑ 3ΜΓ 5MB 3MB 5MA 3MΓ

5ΜΒ 5ΜΑ 3ΜΓ 3ΜΒ

5 MB MA 3 MΓ ΜΒ

5ΑΒ 3ΒΓ

3 ΑΒ ΒΓ

5

ΑΒ / /ΒΓ

Α, Β, Γ συνευθειακά

Άσκηση 7 (Άσκηση 5 / σελ. 27 του σχολικού βιβλίου) Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι τα σημεία

Α, Γ και Ε είναι συνευθειακά

Λύση

ΑΓ α βΓΕ 3 α β 3ΑΓ

ΓΕ 3α 3β 3 α β

ΓΕ / /ΑΓ

Α, Γ, Ε συνευθειακά

Α

Β

Γ

Δ

Ε

3β3α

βα

9

2η Κατηγορία: Προσδιορισμός Σημείου

Διανυσματικές Ισότητες

Μέθοδος Όταν ζητείται να προσδιορίσουμε σημείο το οποίο ικανοποιεί μια

διανυσματική ισότητα, τότε εκφράζουμε το διάνυσμα που ορίζεται

από το σημείο αυτό κι ένα γνωστό (σταθερό) σημείο, ως συνάρτηση

γνωστών (σταθερών) διανυσμάτων. Οπότε εξυπηρετεί να θέτουμε

ως σημείο αναφοράς ένα από τα γνωστά (σταθερά) σημεία.

Άσκηση 8 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί σημείο Κ του επιπέδου ώστε

2ΑΚ 3ΒΚ 5ΓΚ 0

Λύση

2ΑΚ 3ΒΚ 5ΓΚ 0

2ΑΚ 3 ΑΚ ΑΒ 5 ΑΚ ΑΓ 0

2ΑΚ 3ΑΚ 3ΑΒ 5ΑΚ 5ΑΓ 0

10ΑΚ 3ΑΒ 5ΑΓ

3 5AK AB AΓ

10 10

3 1ΑΚ ΑΒ ΑΓ

10 2

Α

Β Γ

Κ

10

3η Κατηγορία: Γραμμικός Συνδυασμός

Μέθοδος

Όταν ζητείται να εκφράσουμε ένα διάνυσμα x ως γραμμικό συνδυασμό

μη συγγραμικών διανυσμάτων, τότε:

Από το σχήμα προσπαθούμε να εκφράσουμε το x ως γραμμικό συνδυασμό

ήδη γνωστών διανυσμάτων.

Άσκηση 9 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε πάνω στην ΑΓ και ΒΓ

2 1αντίστοιχα τέτοια ώστε να ισχύουν: ΓΔ ΓΑ και ΒΕ ΒΓ.

3 4

Αν Μ είναι το σημείο τομής των ΒΔ και ΑΕ να εκφράσετε το ΓΜ

ως γραμμικό

συνδυασμό των διανυσμάτων ΑΒ β και ΑΓ γ

Λύση

ΑΜ λΑΕ AM λ BΕ BΑ ΑΜ λΒΕ λΒΑ

1 1 ΑΜ λ ΒΓ λΑΒ ΑΜ λ ΑΓ ΑΒ λΑΒ

4 4

1 λ λ ΑΜ λ γ β λβ ΑΜ γ β λβ

4 4 4

λ 3λ ΑΜ γ β

4 4

ΒΜ κΒΔ ΒΜ κ ΓΔ ΓΒ BM κΓΔ κΓΒ

2 ΒΜ κ ΓΑ κ ΑΒ ΑΓ

3

2κ ΒΜ ΑΓ κΑΒ κΑΓ

3

2κ ΒΜ γ κβ κγ

3

κ

BM γ κβ3

Α

Β Γ

Δ

Ε

Μ

11

ΑΒ ΒΜ ΜΑ 0 AB BM AM 0

κ λ 3λ β γ κβ γ β 0

3 4 4

κ λ 3λ β γ κβ γ β 0

3 4 4

3λ κ λ 1 κ β γ 0

4 3 4

Όμως τα β, γ είναι μη συγγραμικά

( )

4 23λ 2λ1 κ 0 λ

4 4κ 3λ 0 6 34 3

κ λ 4κ 3λ 0 2 2 10 4κ 3 0 κ

3 4 3 4 2

λ 3λΑΜ γ β

4 4

2 23

2 1 13 3Για λ : ΑΜ γ + β ΑΜ γ β3 4 4 6 2

ΓΜ ΓΑ ΑΜ ΓΜ ΑΓ ΑΜ

1 1 1 5 ΓΜ γ γ β ΓΜ β γ

6 2 2 6

Β΄ Τρόπος

ΓΜ ΓΑ ΑΜ ΑΓ λΑΕ ΑΓ λ ΑΒ ΒΕ

1 AΓ λΑΒ λΒΕ AΓ λΑΒ λ ΒΓ

4

λ λ λ AΓ λΑΒ ΑΓ ΑΒ γ λβ γ β

4 4 4

3λ λ 4 β γ

4 4

ΓΜ ΓΒ ΒΜ ΑΒ ΑΓ κΒΔ

AB ΑΓ κ ΓΔ ΓΒ ΑΒ ΑΓ κΓΔ κΓΒ

2 ΑΒ ΑΓ κ ΓΑ κ ΑΒ ΑΓ

3

2κ κ β γ γ κβ κγ 1 κ β 1 γ

3 3

Α

Β Γ

Δ

Ε

Μ

12

3λ λ 4 3λΓΜ β γ 1 κ

4 4 4

κ λ 4 κΓΜ 1 κ β 1 γ 1

3 4 3

3λ 4 1 κ 3λ 4κ 1 6λ 4

3λ 4κ 0 3λ 4κ 03 λ 4 12 4κ

(1)

(2)

4 2 2λ λ

6 3 3

2 2 13 4κ 0 κ

3 4 2

2 2 10

3 41 1 53 3 3ΓΜ β γ β γ β γ

4 4 2 4 2 6

4η Κατηγορία: Μέσο Ευθύγραμμου Τμήματος

Μέθοδος

Όταν ένα σημείο Μ είναι μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ τότε ΑΜ ΜΒ

ΑΒ ΑΓ Σε τρίγωνο ΑΒΓ που δίνεται η διάμεσος ΑΜ, έχουμε: ΑΜ

2

Για να δείξουμε ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ

ζ

ζ

ζ αρκεί να δείξουμε ότι:

ΟΑ ΟΒ ΑΜ ΜΒ ή ΟΜ

2

Άσκηση 10 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ, Ε τα μέσα των πλευρών ΑΓ και ΑΒ

αντίστοιχα. Θεωρούμε τα σημεία Ζ και Η τέτοια ώστε,

ΔΖ ΒΔ και ΕΗ ΓΕ. Να δείξετε ότι το Α είναι μέσο του ΖΗ.

Λύση

Α

Β Γ

Ε Δ

Η Ζ

13

Δ κοινό μέσο των τμημάτων ΑΓ και ΒΖ ΑΒΓΖ παραλληλόγραμμο AΖ ΒΓ Ε κοινό μέσο των τμημάτων ΑΒ και ΓΗ ΑΓΒΗ παραλληλόγραμμο HA ΒΓ

Άρα το Α είναι μέσο του ΗΖ

Άσκηση 11 (Άσκηση 7 / σελ. 27 του σχολικού βιβλίου) Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι διάμεσοι τριγώνου ΑΒΓ, να

αποδείξετε ότι ΑΔ ΒΕ ΓΖ 0

Λύση

ΑΒ ΑΓΑΔ

2

ΒΑ ΒΓ ΑΒ ΑΓ ΒΑ ΒΓ ΓΑ ΓΒΒΕ ΑΔ ΒΕ ΓΖ

2 2

ΓΑ ΓΒΓΖ

2

0ΑΔ ΒΕ ΓΖ 0

2

Α

Β Γ Δ

Ε Ζ

HA AZ

14

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Αν το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, να προσδιοριστεί σημείο Ρ

για να ισχύει: ΡΑ ΡΒ ΡΓ ΡΔ

2) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε για τα οποία ισχύει

ΔΑ 3ΕΑ 2ΔΕ ΕΓ 3ΔΒ. Να δείξετε ότι τα σημεία

Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

3) Για τα σημεία Α, Β, Ρ, Κ ισχύει ότι: 5ΡΚ 9ΚΑ 4ΚΒ 5ΡΒ.

Να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται.

4) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ.

Αν Κ, Λ σημεία , τέτοια ώστε:

1 3 3 1 ΑΚ ΑΒ ΑΓ και ΑΛ ΑΒ ΑΓ

3 4 4 3

Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΚΛ και ΒΓ είναι αντίρροπα.

5) Αν τα διανύσματα α,β δεν είναι συγγραμικά, να βρεθεί ο λ ,

ώστε τα διανύσματα u 2β 3λα και v λ 1 α 4β να είναι

παράλληλα.

6) Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα α,β, γ, τα οποία ανά δύο

δεν είναι συγγραμμικά. Αν α / / 2β 3γ και β / / γ 3α ,

να δείξετε ότι 2β 3 γ 3α .

7) Αν τα διανύσματα α και β δεν είναι παράλληλα, να αποδείξετε

ότι το ίδιο ισχύει και για τα διανύσματα u 5α 3β , v α 2β

8) Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε ισχύουν οι ισότητες ΑΒ ΓΔ

και ΔΑ ΕΓ , να αποδείξετε ότι το Δ είναι μέσο του ΒΕ.

9) Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Ο το σημείο τομής των

διαγωνίων του και Κ το μέσο του ΟΒ. Να δείξετε ότι:

ΔΑ ΔΓ 4ΔΚ 2ΔΒ

10) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, η διάμεσος ΑΜ και Δ το μέσο αυτής.

Αν ΑΕ 2ΕΓ, να δείξετε ότι ΒΔ / /ΜΕ

15

11) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία M, N τέτοια ώστε:

1 3 ΑM ΑΒ και ΑN ΑΓ. Αν Ο το σημείο τομής των ΒN και ΓM να

3 4

υπολογισθούν οι κ, λ για τους οποίους είναι ΒΟ αΒΝ

, ΟΜ βΓΜ και να

εκφραστεί το AO ως γραμμικός συνδυασμός των ΑΒ , ΑΓ.

12) Στο σχήμα έχουμε:

ΚΑ 3ΚΒ , ΟΑ α , ΟΒ β

ΟΚ x. Να δείξετε ότι:

1 x α 3β

4

13) Αν ΑΒΓΔ, Α Β Γ Δ είναι δύο παραλληλόγραμμα με κέντρα Ο και Ο

αντίστοιχα, να δείξετε ότι ΑΑ ΒΒ ΓΓ ΔΔ 4ΟΟ

A M B

O

α βr