Embed Size (px)
Citation preview
Module #1 - Logic
23-Feb-21 1 1
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε
διαφάνειες του Kees van Deemter, από το
University of Aberdeen
Διάλεξη #03
Τρίτη, 23/02/2021
Αντώνης Α. Αργυρόςe-mail: [email protected]
Module #1 - Logic
23-Feb-21 2 2
Προτασιακός Λογισμός
(συνέχεια...)
Module #1 - Logic
23-Feb-21 3 3
Τι είδαμε μέχρι τώρα
• Προτασιακός λογισμός
• Προτάσεις (ατομικές, σύνθετες)
• Τελεστές (not, and, or, xor, εάν...τότε)
• Πίνακες αληθείας
• Ταυτολογίες / αντιφάσεις
• Ισοδυναμία λογικών προτάσεων (με βάση τους πίνακες αληθείας)
Module #1 - Logic
23-Feb-21 4 4
Πίνακας αληθείας «εάν...τότε»
p q pq
F F T
F T T
T F F
T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 5 5
«εάν...τότε» μεταξύ προτάσεων
• “Εάν αυτό το μάθημα είναι το ΗΥ118, τότε ο
ήλιος ανέτειλε σήμερα το πρωί.” True ή False;
• “Εάν η Παρασκευή είναι μέρα της εβδομάδας,
τότε είμαι πιγκουίνος.” True or False ;
• “Εάν 1+1=6, τότε διδάσκω Διακριτά
Μαθηματικά.” True or False ;
• “Εάν το φεγγάρι είναι από τυρί, τότε είμαι
πλουσιότερος από τον Bill Gates.” True or False ;
Module #1 - Logic
23-Feb-21 6 6
Ο τελεστής «εάν...τότε»
Η πρόταση p q σημαίνει “εάν p τότε q”.
Π.χ., .έστω p = “Μελετώ πολύ”
q = “Θα πάρω καλό βαθμό.”
p q = “Εάν μελετώ πολύ, τότε θα πάρω καλό
βαθμό.”
υπόθεση συμπέρασμα
Module #1 - Logic
23-Feb-21 7 7
Γιατί αυτά μοιάζουν «λάθος»;
• Θυμηθείτε: “Εάν [μελετώ πολύ] τότε [θα πάρω καλό βαθμό]”
• Στην καθομιλουμένη, υπάρχει μία σχέση
αιτίας – αποτελέσματος μεταξύ των δύο
επιμέρους ατομικών προτάσεων που
συνδέονται.
• Ο τελεστής όμως, δεν δηλώνει τέτοιου
είδους σχέση!
Module #1 - Logic
23-Feb-21 8 8
Πίνακας αληθείας «εάν...τότε»
• Ας υποθεσουμε ότι η q
είναι T. Τί ξέρουμε για
την αλήθεια της
pq ;
• Είναι αληθής!
p q pq
F F T
F T T
T F F
T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 9 9
Πίνακας αληθείας «εάν...τότε»
• Ας υποθεσουμε ότι η p
είναι F. Τι ξέρουμε για
την αλήθεια της pq;
• Είναι αληθής!
p q pq
F F T
F T T
T F F
T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 10 10
«εάν...τότε»
• Αποδείξτε ότι (pq) (p q)
p q pq p p q
F F T T T
F T T T T
T F F F F
T T T F T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 11 11
Θυμηθείτε…
• Την προηγούμενη φορά είδαμε ότι αν η
pq είναι αληθής τότε προκύπτει ότι και η
pq είναι αληθής.
• Αυτό μπορούμε να το γράψουμε αυτό ως:
pq pq
• Η παραπάνω πρόταση είναι ταυτολογία:
οποιεσδήποτε τιμές αληθείας και να έχουν
οι p, q, η σύνθετη πρόταση είναι αληθής.
Module #1 - Logic
23-Feb-21 12 12
Ελληνικές εκφράσεις που δηλώνουν
p q
• “Εάν p τότε q”
• “Η p συνεπάγεται την q”
• “Εάν p, q”
• “Όποτε p, q”
• “Οποτεδήποτε p, q”
• “q εάν p”
• “q οποτεδήποτε p”
• “q προκύπτει από p”
• “H p αρκεί για να ισχύει η
q”
• “Μια αναγκαία συνθήκη
για την p είναι η q”
• “Η q είναι αναγκαία για
την p”
• “Μια επαρκής συνθήκη
για την q είναι η p”
Module #1 - Logic
23-Feb-21 13 13
Πάλι πίσω στη φυσική γλώσσα…
• Τι νόημα έχει στον προτ. λογ. η παρακάτω πρόταση;
Θα έρθει η Μαρία θα πάω στο πάρτυ
• “Αν θα έρθει η Μαρία, τότε θα πάω στο πάρτυ”. Η πρόταση αυτή
όμως είναι αληθής ακόμα κι αν δεν έρθει η Μαρία στο πάρτυ…
• στην καθομιλουμένη, με την πρόταση:
• (1) “αν έρθει η Μαρία, θα πάω στο πάρτυ”
μάλλον εννοούμε (2) “Θα πάω στο πάρτυ αν και μόνο αν η Μαρία πάει στο πάρτυ”
• Η (2) έχει άλλο νόημα: “Αν έρθει η Μαρία θα πάω στο πάρτυ αλλά
και ταυτόχρονα, αν δεν έρθει η Μαρία, δεν θα πάω στο πάρτυ”
• Επομένως, για να αποδώσουμε το νόημα της (2), χρειαζόμαστε ένα
τελεστή διαφορετικό από τον («εάν … τότε»)
Module #1 - Logic
23-Feb-21 14 14
Τελεστής «αν και μόνο αν»
• Η πρόταση p q είναι αληθής αν η p και η q έχουν την ίδια τιμή αληθείας.
• Η p q δεν σημαίνει ότι η p και η q είναι αληθείς.
• Η p q δεν σημαίνει ότι η μία από αυτές είναι η αιτία της άλλης
• Σημειώστε ότι αυτός ο πίνακας αληθείας είναι η άρνηση της αποκλειστικής διάζευξης
• Δηλαδή, p q ¬(p q)
p q p q
F F T
F T F
T F F
T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 15 15
Ας δούμε...
...την αλήθεια της p q, όπου
1. p= Η Κρήτη βρίσκεται στην Ελλάδαq= 2+2 =4
2. p= Η Κρήτη δεν βρίσκεται στην Ελλάδαq= 2+2 =5
3. p= Η Κρήτη βρίσκεται στην Ελλάδαq= Το Τόκυο βρίσκεται στην Ελλάδα
ΑΛΗΘΗΣ
ΑΛΗΘΗΣ
ΨΕΥΔΗΣ
Module #1 - Logic
23-Feb-21 16 16
Η διαφορά μεταξύ και
• Έστω σύνθετες προτάσεις P και Q.
• Η πρόταση “P↔Q” είναι μία σύνθετη πρόταση.
• Η πρόταση “P⇔Q” σημαίνει ότι
“η πρόταση P↔Q είναι ταυτολογία”.
• H “P⇔Q” είναι μία πρόταση για μία πρόταση…
Module #1 - Logic
23-Feb-21 17 17
Η διαφορά μεταξύ και
• Η P Q λέει αν η P και η Q έχουν την ίδια τιμή αληθείας.
• Η P Q λέει ότι καμία εκχώρηση τιμών αληθείας στις P και Q δεν μπορεί να κάνει τηνP Q ψευδή
• Επομένως, η P Q μπορεί μόνο να ισχύει μεταξύ επιλεγμένων σύνθετων προτάσεωνP και Q.
... Με άλλα λόγια, η P Q έχει την έννοια ότι“Η P Q είναι ταυτολογία” για οποιαδήποτε εκχώρηση τιμών στις ατομικές προτάσεις που συνθέτουν τις P, Q.
Module #1 - Logic
23-Feb-21 18 18
Θυμηθείτε…
• Αντίστοιχη είναι και η διαφορά μεταξύ του
τελεστή → και της λογικής συνεπαγωγής ⇒
• Είδαμε ότι αν η pq είναι αληθής τότε προκύπτει
ότι και η pq είναι αληθής.
• Αυτό μπορούμε να το γράψουμε ως:
«Η πρόταση pq pq είναι πάντα αληθής»
• Δηλαδή,
pq ⇒ pq
Module #1 - Logic
23-Feb-21 19 19
Σχετικά με την πρόταση p q
Για μία πρόταση της μορφής p q:
• Η αντίστροφή της είναι: q p
• Η αντιθετική της είναι: ¬p ¬q
• Η αντιστροφοαντίθετή της είναι: ¬q ¬p
• Είναι κάποια από αυτές ισοδύναμη
με την p q;
Module #1 - Logic
23-Feb-21 20 20
Απόδειξη της ισοδυναμίας της p q και
της αντιστροφοαντίθετής της,
χρησιμοποιώντας πίνακες αληθείας:
p q q p pq q p p q q p
F F T T T T T T
F T F T T F F T
T F T F F T T F
T T F F T T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 21 21
Επίσης:
Επομένως, η αντίστροφη και η αντιθετική
μιας πρότασης, είναι λογικά ισοδύναμες
μεταξύ τους
p q q p pq q p p q q p
F F T T T T T T
F T F T T F F T
T F T F F T T F
T T F F T T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 22 22
Ας δούμε ένα παράδειγμα…
Έστω p = “το τρίγωνο Τ είναι ισόπλευρο”
Έστω q = “το τρίγωνο Τ είναι ισοσκελές”
• p q: Αν το Τ είναι ισόπλευρο, τότε είναι και ισοσκελές
• ¬q ¬p: Αν το Τ δεν είναι ισοσκελές, τότε δεν είναι
ισόπλευρο
• q p: Αν το Τ είναι ισοσκελές, τότε είναι και ισόπλευρο
• ¬p ¬q: Αν το Τ δεν είναι ισόπλευρο, τότε δεν είναι και
ισοσκελές
Module #1 - Logic
23-Feb-21 23 23
Ανασκόπηση των τελεστών
• Είδαμε τον τελεστή άρνησης και πέντε
δυαδικούς τελεστές:
p q p pq pq pq pq pq
F F T F F F T T
F T T F T T T F
T F F F T T F F
T T F T T F T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 24 24
Για να σκεφτούμε τώρα...
Τελικά, πόσοι δυαδικοί τελεστές μπορούν να
οριστούν;
Module #1 - Logic
23-Feb-21 25 25
Για να σκεφτούμε τώρα...
• Κάθε γραμμή του
πίνακα αληθείας μπορεί
να είναι T ή F,
επομένως μπορούμε να
έχουμε 2x2x2x2=16
δυαδικούς τελεστές
p q Τελεστής
F F ?
F T ?
T F ?
T T ?
Module #1 - Logic
23-Feb-21 26 26
Ανασκόπηση των τελεστών
p q
F F F T F T F T F T F T F T F T F T
F T F F T T F F T T F F T T F F T T
T F F F F F T T T T F F F F T T T T
T T F F F F F F F F T T T T T T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 27 27
Παράδειγμα
p q p τελεστής q
F F T
F T F
T F F
T T F
Module #1 - Logic
23-Feb-21 28 28
Παράδειγμα
p q p τελεστής q σύγκριση με: p q
F F T F
F T F T
T F F T
T T F T
Όνομα: NOR
Module #1 - Logic
23-Feb-21 29 29
Ανασκόπηση των τελεστών
• Όλοι οι τελεστές μπορούν να γραφούν ισοδύναμα με
χρήση μόνο των τελεστών άρνησης και σύζευξης.
• Πως μπορούμε να το δείξουμε αυτό;
• Έχουμε ήδη δείξει ότι έχοντας την άρνηση και την
σύζευξη, μπορούμε να εκφράσουμε την διάζευξη.
pq (p q)
• Επομένως, χρησιμοποιώντας αυτούς τους τρεις πλέον
τελεστές, μπορούμε να «εκφράσουμε» τον κάθε
πίνακα αληθείας… πως;;;
Module #1 - Logic
23-Feb-21 30 30
Ανασκόπηση των τελεστών
• …περιγράφοντας τον πίνακα αληθείας του
τελεστή.
Π.χ., για τον τελεστή “Ζ”:
• p “Ζ” q (p q) (p q)
p q p “Z” q
F F F
F T T
T F F
T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 31 31
Η γλώσσα του προτασιακού λογισμού
ορισμένη πιό τυπικά
• Ατομικές προτάσεις: p1, p2, p3, ..
• Προτάσεις:
– Όλες οι ατομικές προτάσεις είναι προτάσεις
– Για κάθε έκφραση , αν η είναι πρόταση,τότε η ¬ είναι επίσης πρόταση
– Για κάθε έκφραση και , εάν οι , είναι προτάσεις, και εάν ο L είναι κάποιος δυαδικός τελεστής, τότε και η ( L ) είναι πρόταση
Module #1 - Logic
23-Feb-21 32 32
Η γλώσσα του προτασιακού λογισμού
ορισμένη πιό τυπικά
• Ποιές από τις παρακάτω εκφράσεις είναι
προτάσεις σύμφωνα με τον τυπικό αυτό ορισμό;
• p1 ¬ p2
• (p1 ¬ p2)
• ¬ ¬ ¬(p9 p8)
• (p1 p2 p3)
• (p1 (p2 p3))
ΟΧΙ
ΟΧΙ
ΝΑΙ
ΝΑΙ
ΝΑΙ
Module #1 - Logic
23-Feb-21 33 33
Απλοποιώντας τα πράγματα...
• Σύμβαση 1: οι εξωτερικές παρενθέσεις
μπορούν να παραλειφθούν:
• Σύμβαση 2: η προσεταιριστικότητα μας
επιτρέπει να παραλείψουμε κι άλλες
παρενθέσεις, π.χ. οι p1p2p3 και p1p2p3
είναι πλέον προτάσεις
Module #1 - Logic
23-Feb-21 34 34
Η γλώσσα του προτασιακού λογισμού
ορισμένη πιό τυπικά
• Ποιές από τις παρακάτω είναι προτάσεις, όταν
χρησιμοποιούμε αυτές τις δύο συμβάσεις;
• p1 ¬ p2
• (p1 ¬ p2)
• ¬ ¬ ¬(p9 p8)
• (p1 p2 p3)
• (p1 (p2 p3)) ΟΧΙ
ΝΑΙ
ΝΑΙ
ΝΑΙ
ΝΑΙ
Module #1 - Logic
23-Feb-21 35 35
Μερικοί εναλλακτικοί συμβολισμοί
Όνομα: not and or xor implies iff Προτασιακός λογισμός: Άλγεβρα Boole: p pq + C/C++/Java (λέξεις): ! && || != ==
C/C++/Java (bitwise): ~ & | ^ Λογικές πύλες:
Module #1 - Logic
23-Feb-21 36 36
Ένα πρόβλημα…
Ο Κώστας βρίσκεται σε μία χώρα που κατοικείται από
δύο τύπους ανθρώπων, κάποιους που λένε πάντα την
αλήθεια, και κάποιους που λένε πάντα ψέματα.
Θέλει να φτάσει στην πρωτεύουσα της χώρας, αλλά,
φτάνοντας σε κάποια διασταύρωση, είναι σε δίλλημα
για το εάν θα πρέπει να πάει δεξιά ή αριστερά.
Για καλή του τύχη, βλέπει δύο ανθρώπους και
αποφασίζει να τους ρωτήσει τι να κάνει.
Αυτοί, θέλοντας να τον ταλαιπωρήσουν λίγο, του δίνουν
τις εξής απαντήσεις:
Module #1 - Logic
23-Feb-21 37 37
Ένα πρόβλημα…
• A: “Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό ή ο δρόμος στα δεξιά οδηγεί στην
πρωτεύουσα”
• B: “Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό και ο δρόμος στα δεξιά οδηγεί στην
πρωτεύουσα”
Τότε ο Α λέει:
• Α: “O B λέει ψέματα!”
Ο Β ξαναπαίρνει το λόγο και λέει:
• Β: “Αν η πρωτεύουσα είναι στο βουνό τότε ο δρόμος στα δεξιά οδηγεί
στην πρωτεύουσα”
Ο Κώστας σημειώνει κάτι σε ένα κομμάτι χαρτί και αποφασίζει τελικά να
πάρει τον αριστερό δρόμο…
…ΕΚΑΝΕ ΚΑΛΑ;;;;;
Module #1 - Logic
23-Feb-21 38 38
Ένα πρόβλημα…
• A: “Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό ή ο
δρόμος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα”
• B: “Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό και ο
δρόμος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα”
• Α: “O B λέει ψέματα!”
• Β: “Αν η πρωτεύουσα είναι στο βουνό τότε ο
δρόμος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα”
Module #1 - Logic
23-Feb-21 39 39
…και η λύση του
• Έστω p = “Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό”
• Έστω q=“O δρόμος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα”
• Έστω r=“O Β λέει ψέματα”
p q A:pq B:q p B:pq
F F F F T
F T T F T
T F T F F
T T T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 40 40
…και η λύση του
• Ξέρουμε ότι όλοι οι κάτοικοι αυτής της χώρας, και
επομένως και ο Β λέει πάντα αλήθεια ή πάντα
ψέματα
p q A:pq B:q p B:pq
F F F F T
F T T F T
T F T F F
T T T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 41 41
…και η λύση του
• Ο Β λέει πάντα την αλήθεια ή λέει πάντα ψέματα…
p q A:pq B:q p B:pq
F F F F T
F T T F T
T F T F F
T T T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 42 42
…και η λύση του
• Ο Β λέει πάντα την αλήθεια ή λέει πάντα ψέματα…
p q A:pq B:q p B:pq
F F F F T
F T T F T
T F T F F
T T T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 43 43
…και η λύση του
• Ο Α φαίνεται να λέει πάντα την αλήθεια…
p q A:pq B:q p B:pq
F F F F T
F T T F T
T F T F F
T T T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 44 44
…και η λύση του
• Ο Α φαίνεται να λέει πάντα την αλήθεια… επομένως
η πρόταση του Α r=“O B λέει ψέματα!” είναι
αληθής!!!
p q A:pq B:q p B:pq
F F F F T
F T T F T
T F T F F
T T T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 45 45
…και η λύση του
• Άρα, p – αληθής, q – ψευδής δηλ. η πρόταση q=“O δρόμος στα
δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα” είναι ψευδής, κι επομένως …
…ο Κώστας έκανε καλά που έστριψε αριστερά!
p q A:pq B:q p B:pq
F F F F T
F T T F T
T F T F F
T T T T T
Module #1 - Logic
23-Feb-21 46 46
Έχουμε μάθει για:
• Τελεστές προτασιακού λογισμού
– Συμβολισμούς
– Γλωσσικά ανάλογα
– Πίνακες αληθείας
– Λογική ισοδυναμία
• Θα μάθουμε ακόμα:
– Περισσότερα για λογικές ισοδυναμίες.
– Πως να τις αποδεικνύουμε
Module #1 - Logic
23-Feb-21 47 47
Νόμοι ισοδυναμίας
• Παρόμοιοι με τις ταυτότητες στην άλγεβρα
• Πρότυπα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν
για να ταιριάξουμε ένα τμήμα μιάς άλλης
πρότασης
• ΣΥΝΤΜΗΣΕΙΣ:
– T – τυχαία ταυτολογία
– F – τυχαία αντίφαση
Module #1 - Logic
23-Feb-21 48 48
Νόμοι ισοδυναμίας - παραδείγματα
• Ουδέτερο στοιχείο: pT p pF p
• Απορροφητικό στοιχείο: pT T pF F
• pp p pp p
• Διπλή άρνηση: p p
• Αντιμεταθετική: pq qp
pq qp
• Προσεταιριστική: (pq)r p(qr)
(pq)r p(qr)
Module #1 - Logic
23-Feb-21 49 49
Κι άλλοι νόμοι ισοδυναμίας
• Επιμεριστική: p(qr) (pq)(pr)
p(qr) (pq)(pr)
• De Morgan’s:
(pq) p q
(pq) p q
• Ταυτολογία/αντίφαση:
p p T p p F
Augustus
De Morgan
(1806-1871)
Module #1 - Logic
23-Feb-21 50 50
Εναλλακτικοί ορισμοί τελεστών
μέσω ισοδυναμιών
Μερικές ισοδυναμίες μπορούν να θεωρηθούν ως
ορισμοί ενός τελεστή βάση άλλων:
• XOR: pq (pq)(pq)
pq (pq)(qp)
• Εάν...τότε: pq p q
• Αν και μόνο αν: pq (pq) (qp)
pq (pq)
Module #1 - Logic
23-Feb-21 51 51
Χρήση ισοδυναμιών:
Παράδειγμα (1)
• Χρησιμοποιείστε ισοδυναμίες για να
αποδείξετε ότι:
(r s) s r.
Module #1 - Logic
23-Feb-21 52 52
Χρήση ισοδυναμιών:
Παράδειγμα (1)
(r s) [De Morgan]
r s [Διπλή άρνηση]
r s [Αντιμεταθετική]
s r.
Module #1 - Logic
23-Feb-21 53 53
Χρήση ισοδυναμιών:
Παράδειγμα (2)
• Χρησιμοποιείστε ισοδυναμίες για να αποδείξετε ότι:
(p q) (p r) p q r.
(p q) (p r) [Χρήση του “ορισμού” του ]
(p q) (p r) [Χρήση του “ορισμού” της ]
(p q) ((p r) (p r)) [DeMorgan]
(p q) ((p r) (p r))
συνεχίζεται...
Module #1 - Logic
23-Feb-21 54 54
παράδειγμα, συνεχίζεται...
(p q) ((p r) (p r)) [ αντιμεταθ.]
(q p) ((p r) (p r)) [ προσεταιρ.]
q (p ((p r) (p r))) [επιμεριστική]
q (((p (p r)) (p (p r))) [προσεταιρ.]
q (((p p) r) (p (p r))) [ταυτολογία]
q ((T r) (p (p r))) [απορ. στοιχείο]
q (T (p (p r))) [ουδέτερο στοιχείο]
q (p (p r))
συνεχίζεται...
Module #1 - Logic
23-Feb-21 55 55
Τέλος παραδείγματος
q (p (p r)) [DeMorgan]
q (p (p r)) [Προσεταιριστική]
q ((p p) r) [p p p]
q (p r) [Προσεταιριστική]
(q p) r [Αντιμεταθετική]
p q r
Ο.Ε.Δ. (όπερ έδει δείξαι το οποίο έπρεπε να δείξουμε...)
Module #1 - Logic
23-Feb-21 56 56
Προτασιακός λογισμός
• Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον προτασιακό λογισμό
για να αποδείξουμε την αλήθεια συγκεκριμένων
προτάσεων
• Έστω οι υποθέσεις:– Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει
– Εάν χιονίζει τότε έχουμε ατυχήματα
– Δεν έχουμε ατυχήματα
• Τότε μπορώ να οδηγηθώ στο συμπέρασμα– Δεν έχει κρύο
• Πως;
Module #1 - Logic
23-Feb-21 57 57
Προτασιακός λογισμός
– K=“Έχει κρύο”
– X= “Xιονίζει”
– A=“Έχουμε ατυχήματα”
• Οι υποθέσεις:– Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει
– Εάν χιονίζει τότε έχουμε ατυχήματα
– Δεν έχουμε ατυχήματα
• Το συμπέρασμα:– Δεν έχει κρύο
Module #1 - Logic
23-Feb-21 58 58
Προτασιακός λογισμός
– K=“Έχει κρύο”
– X= “Xιονίζει”
– A=“Έχουμε ατυχήματα”
• Οι υποθέσεις:– Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει ΚΧ
– Εάν χιονίζει τότε έχουμε ατυχήματα
– Δεν έχουμε ατυχήματα
• Το συμπέρασμα:– Δεν έχει κρύο
Module #1 - Logic
23-Feb-21 59 59
Προτασιακός λογισμός
– K=“Έχει κρύο”
– X= “Xιονίζει”
– A=“Έχουμε ατυχήματα”
• Οι υποθέσεις:– Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει ΚΧ
– Εάν χιονίζει τότε έχουμε ατυχήματα ΧΑ
– Δεν έχουμε ατυχήματα
• Το συμπέρασμα:– Δεν έχει κρύο
Module #1 - Logic
23-Feb-21 60 60
Προτασιακός λογισμός
– K=“Έχει κρύο”
– X= “Xιονίζει”
– A=“Έχουμε ατυχήματα”
• Οι υποθέσεις:– Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει ΚΧ
– Εάν χιονίζει τότε έχουμε ατυχήματα ΧΑ
– Δεν έχουμε ατυχήματα Α
• Το συμπέρασμα:– Δεν έχει κρύο
Module #1 - Logic
23-Feb-21 61 61
Προτασιακός λογισμός
– K=“Έχει κρύο”
– X= “Xιονίζει”
– A=“Έχουμε ατυχήματα”
• Οι υποθέσεις:– Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει ΚΧ
– Εάν χιονίζει τότε έχουμε ατυχήματα ΧΑ
– Δεν έχουμε ατυχήματα Α
• Το συμπέρασμα:– Δεν έχει κρύο K
Module #1 - Logic
23-Feb-21 62 62
Προτασιακός λογισμός
• Με αυτά τα δεδομένα, αρκεί να δείξουμε
ότι :
((ΚΧ) (ΧΑ) Α) ⇒ Κ
Module #1 - Logic
23-Feb-21 63 63
Προτασιακός λογισμός
• …και με βάση αυτά που λέγαμε νωρίτερα,
αρκεί να δείξουμε ότι στον προτασιακό
λογισμό η πρόταση:
((ΚΧ) (ΧΑ) Α) Κ
αποτελεί ταυτολογία!
• Μπορούμε να το κάνουμε είτε με πίνακα αληθείας, είτε
χρησιμοποιώντας λογικές ισοδυναμίες…
• Θα επιχειρήσουμε το 2ο …
Module #1 - Logic
23-Feb-21 64 64
Απόδειξη
((ΚΧ) (ΧΑ) Α) Κ
((ΚΧ) (Χ Α) Α) Κ
((ΚΧ) (Α ( Χ Α)) Κ
((ΚΧ) ((Α Χ) (ΑΑ)) Κ
((ΚΧ) ((Α Χ) F) Κ
((ΚΧ) (Α Χ)) Κ
((Κ Χ) (Α Χ)) Κ
((Κ (Α Χ)) (Χ (Α Χ))) Κ
((Κ Α Χ) (Χ Α Χ)) Κ
((Κ Α Χ) F) Κ
(Κ Α Χ) Κ
Module #1 - Logic
23-Feb-21 65 65
Απόδειξη
(Κ Α Χ) Κ
(Κ Α Χ) Κ
K AXΚ
(K Κ) (AX)
T (AX)
T [Ο.Ε.Δ.]
Module #1 - Logic
23-Feb-21 66 66
Απόδειξη με άλλο τρόπο
• Αλλιώς…
1. Δεν έχουμε ατυχήματα (δεδομένο)
2. Εάν χιονίζει έχουμε ατυχήματα (δεδομένο)
ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουμε ατυχήματα δεν χιονίζει
(αντιστροφοαντίθετη της 2)
3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει
4. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (δεδομένο) ΕΠΟΜΕΝΩΣ
Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο (αντιστροφοαντίθετη
της 4)
5. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Δεν έχει κρύο [Ο.Ε.Δ.]
