ΜΑΘ 041 ∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ης ΤΑΞΗΣ Τυπολόγιο & Μεθοδολογία

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ∆ιαφορική εξίσωση (∆.Ε.) ονοµάζεται κάθε εξίσωση στην οποία εµφανίζονται παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης και ενδεχοµένως η ίδια η συνάρτηση και η µε-ταβλητή της (ή οι µεταβλητές της).

π.χ. 1)y(yx 22 =′++

0dyy3xy3dxx4xy 2233 =−++ )()( • Συνήθεις ∆.Ε. ονοµάζονται οι εξισώσεις στις οποίες η άγνωστη συνάρτηση είναι µίας µεταβλητής.

• Τάξη της διαφορικής εξίσωσης ονοµάζε-ται η µεγαλύτερη τάξη των παραγώγων της (x)y′ που εµφανίζονται στην εξίσωση.

π.χ. η xy(x)(x)y3-(x)y(x)y =+′′′+′′′ είναι διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης.

• Λύση – Ολοκλήρωµα της διαφορικής εξίσωσης ονοµάζεται κάθε συνάρτηση που την επαληθεύει. π.χ. Μια λύση της ∆.Ε. 5x)x(y 2 +=′ εί-

ναι η x53

x)x(y3+= .

• Ολοκληρωτική καµπύλη καλείται η γρα-φική παράσταση µιας λύσης της συνήθους δι-αφορικής εξίσωσης. • Γενική λύση - γενικό ολοκλήρωµα της ∆.Ε. ( ) 0y,...,yy,x,F (n) =′ ονοµάζεται η λύση 0)c,...,c,cy,x, n21 =Φ( που περιέχει τις n το πλήθος αυθαίρετες σταθερές

n21 c,...,c,c (τόσες όσο και η τάξη της ∆.Ε.). • Μερική λύση της ∆.Ε. καλείται η λύση που προκύπτει για συγκεκριµένες τιµές των σταθερών. π.χ. Για την ∆.Ε. x)x(y =′ έχουµε:

cx21y)c,y,x( 2 −−=Φ µε γενική λύση την

cx21)x(y 2 += και µερική λύση την

2x21)x(y = (για c = 0).

• Πρόβληµα αρχικών τιµών (Π.Α.Τ.) ή πρόβληµα Cauchy ονοµάζεται το πρόβλη-µα κατά το οποίο ζητείται να προσδιοριστεί µια λύση x)φy (= της ∆.Ε. που σε δοσµένο σηµείο x0 ικανοποιεί τις: )xφy 00 (= ,

)xφy 01 (′= , )xφy),...,xφy 01n

1-n02 (( )( −=′′=

• ∆ιαφορική εξίσωση πρώτης τάξης λέ-γεται η εξίσωση που περιέχει την άγνωστη συνάρτηση y=y(x) και την παράγωγό της

(x)yy ′=′ .

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ: ( ) 0yy,x,F =′ (Ι)

π.χ. 0)x1(yyx)y1( =++′−

Αν η ∆.Ε. είναι 1ης τάξης και το dxdy

(x)y =′

είναι πρωτοβάθµιο τότε:

0dy)y,x(Qdx)y,x(P =+ (ΙΙ)

π.χ. 0dyxdx)yxyx( 222 =−++

∆.Ε. ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ & ΑΝΑΓΟΜΕΝΩΝ Σ΄ΑΥΤΕΣ

Χωριζόµενων µεταβλητών Όταν η ∆.Ε. γράφεται στη µορφή:

0dyygxfdxygxf 2211 =+ )()()()( (1)

είναι άµεσα ολοκληρώσιµη, διότι χωρί-ζουν οι µεταβλητές.

∆ηλαδή οι συντελεστές των dx, dy είναι γι-νόµενο συναρτήσεων µόνο του x ή του y.

cdy)y(g)y(g

dx)x(f)x(f

y

y 1

2x

x 2

1

00

=+∫∫

Oµογενείς ∆.Ε. Μια ∆.Ε. της µορφής :

0dy)y,x(Qdx)y,x(P =+ (2)

λέγεται οµογενής, όταν οι συναρτήσεις )y,xQ( ),y,x(P είναι οµογενείς βαθµού α

ως προς x και y. ∆ηλαδή:

),(),(,),(),( yxQttytxQ yxPttytxP αα ==

π.χ. 0dyyxdx)xyx( 223 =++

( ) 0dy)x/ycos(dx)x/ysin(1 =++

Θέτουµε: xzxxy )()(

=

µε xzxxzdx

ydxy )()()( ′+==′

και η ∆.Ε. (2) ανάγεται σε χωριζοµένων µετα-βλητών.

Αναγόµενες σε οµογενείς ∆.Ε. Όταν η ∆.Ε. είναι της µορφής:

++++

=′222

111

γyβxαγyβxα

fy (3)

τότε ανάγεται σε οµογενή.

Θέτουµε: vyy uxx 00 +=+= ,

όπου 00 y x , η λύση του συστήµατος:

=++

=++

0γyβxα

0γyβxα

222

111 (Σ)

και αναγόµαστε σε οµογενή ∆.Ε.

Όταν το (Σ) δεν έχει µοναδική λύση θέτουµε:

)()( xzyβxαή xzyβxα 2211 =+=+

και αναγόµαστε σε χωριζοµένων µεταβλητών.

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ∆.Ε. & ΑΝΑΓΟΜΕΝΕΣ

Γραµµικές ∆.Ε. 1ης τάξης Όταν η ∆.Ε. είναι της µορφής :

)()()()( xgxyxfxy =+′ (4) τότε λέµε ότι είναι γραµµική. ∆ηλαδή πρωτοβάθµια ως προς τους y(x), y΄(x) Η αντίστοιχη οµογενής ∆.Ε. της (4) είναι:

0xyxf(x)y =+′ )()( (5) Η γενική λύση της (4) είναι:

)()()( xyxyxy µοΓ +=

όπου: )x(yο η γενική λύση της οµογενούς και )x(yµ µια µερική λύση της (4).

Η γενική λύση της (4) δίνεται από:

+= ∫ ∫∫− dxexgcexy

dxxfdxxf )()()()(

π.χ. Η ∆.Ε. 1xcosyxsiny =+′ έχει γε-νική λύση:

⇒

+= ∫ ∫∫ dxe

x1cex)y

dxdx-Γ

sinxcosx

sinxcosx

sin(

xxcxy sin/)()( +=⇒ Γ

∆ιαφορική εξίσωση Bernoulli Όταν η ∆.Ε. είναι της µορφής:

10pµεxyxgxyxfxy p ,),()()()()( ≠=+′ (6)

καλείται ∆.Ε. του Bernoulli. ∆ηλαδή έχουµε δύο γραµµικούς όρους µε τα

)(),( xyxy ′ και έναν όρο µε το )(xyp .

Θέτουµε: xzxy p1 )()( =−

µε xzxyxyp)1 p )()()(( ′=′− −

Η (6) ανάγεται στην γραµµική ∆.Ε.:

)x(g)x(z)x(fp1)x(z

=+−′

∆ιαφορική εξίσωση Riccatti Όταν η ∆.Ε. είναι της µορφής :

)()()()()()( xhxyxgxyxfxy 2 ++=′ (7)

τότε λέγεται ∆.Ε. Riccatti. ∆ηλαδή η (x)y′ είναι ίση µε ένα τριώνυµο ως προς y(x). Mας δίνεται µια λύση )(xy1 της (7) και

θέτουµε: xz1xyxy 1 )(

)()( += (Μ)

µε xz

(x)zxyxy

21)(

)()(′

−′=′

Αναγόµαστε στην γραµµική ∆.Ε.

( ) )()()()()()( xfxzxgxfxy2xz 1 −=++′

την οποία λύνουµε και µε αντικατάσταση στην (Μ) παίρνουµε τη γενική λύση της (7).

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495 www.arnos.gr – e-mail : info@arnos.gr fast & easy

ΠΛΗΡΕΙΣ ∆.Ε. & ΑΝΑΓΟΜΕΝΕΣ

Πλήρης ή ακριβής ∆.Ε. Μια ∆.Ε. που γράφεται στη µορφή :

0dy)y,x(Qdx)y,x(P =+ (8)

είναι πλήρης αν υπάρχει Φ(x,y):

dy)y,x(Qdx)y,x(P)y,x(d +=Φ

• Πότε είναι πλήρης η ∆.Ε. (8);

Όταν ισχύει: x

yxQy

yxP∂

∂=

∂∂ ),(),(

• Ποια είναι η λύση της (8);

Από ⇒= 0y)dΦ(x, c)y,x( =Φ

Υπολογισµός της )y,x(Φ : 1ος τρόπος: Από τον τύπο:

∫∫ +=Φy

y0

x

x 00

dttxQdtytPyx ),(),(),(

όπου (x0,y0) σηµείο του Π.Ο. των P, Q. 2ος τρόπος: Από το διαφορικό σύστηµα:

QΦ P yx ==Φ , µε ολοκλήρωση της µίας από τις δύο σχέ-σεις και αντικατάσταση στην άλλη.

Aναγόµενη σε πλήρη ∆.Ε. Μια ∆.Ε. της µορφής :

0dy)y,x(Qdx)y,x(P =+ έχει πολλαπλασιαστή µ(x, y) (ολοκληρώ- νων παράγων ή πολλαπλασιαστής Euler) όταν ισχύει:

( ) ( ) ⇒∂∂

=∂∂ yxQyxµ

xyxPyxµ

y),(),(),(),(

)( yxxy PQµµQPµ −=− (9)

Τότε ανάγεται σε πλήρη ∆.Ε.

α) Πολλαπλασιαστής µ(x, y) = µ(x)

∆ίνεται από τη σχέση: e)x( dx)x(g∫−=µ

και υπάρχει όταν: )x(gQ

PQ yx =−

β) Πολλαπλασιαστής µ(x, y) = µ(y)

∆ίνεται από τη σχέση: e)y(dy)y(g∫=µ

και υπάρχει όταν: )y(gP

PQ yx =−

γ) Πολλαπλασιαστής µ(x, y) = µ(z) µε )y,x(zz = (π.χ. z=xy, z=x+y, z=x2+y2,κλπ)

∆ίνεται από τη σχέση: ezµ dzzg∫=

)()(

και υπάρχει όταν: )z(gQzPzPQ

xy

yx =−

−

∆.E. LAGRANGE & CLAIRAUT

∆ιαφορική εξίσωση Lagrange

Eίναι της µορφής :

)y(g)y(xfy ′+′= (10)

Θέτουµε : )()( xpxy =′

Οπότε : dx/dp)x(y =′′ Με παραγώγιση της (10) και αντικατάστα- ση παίρνουµε τη γραµµική ∆.Ε. ως προς x(p):

( ) )p(g)p(f)p(xdp

)p(dx)p(fp ′=′−− (11)

Η λύση της (11) είναι: )p(xx =

Έτσι έχουµε τη λύση της (10) σε παραµε- τρική µορφή :

)p(g)p(f)p(xy),p(xx +==

όπου p παράµετρος.

∆ιαφορική εξίσωση Clairaut Eίναι της µορφής : )y(fyxy ′+′= (12)

Θέτουµε: xpxy )()( =′

Οπότε : dx/dp)x(y =′′ Με παραγώγιση της (12) και αντικατάστα-

ση προκύπτει: ( ) 0)p(fxdxdp

=′+

α) Από c)x(p0dxdp

=⇒=

Η γενική λύση της (12) είναι: )(cfxcy +=

β) Από 0)p(fx =′+ έχουµε την ιδιάζουσα λύση σε παραµετρική µορφή:

)p(fxpy

)p(fx

+=

′−=

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ∆.Ε.

Μια ∆.Ε. 1ης τάξης της µορφής:

0=′)y,y,x(F (13)

µετασχηµατίζεται σε ευκολότερη ως εξής:

α) Πολικές συντεταγµένες Ο µετασχηµατισµός είναι:

+⇔

==

(y/x)arctan=θ yx=ρ

sin)(ycos)(x 22

θθρθθρ

Με παραγώγιση παίρνουµε:

θρρρθρθ

θ tantan

dxd

ddy

dxdy)x(y

−′+

=⋅==′

Οπότε η (13) µε αντικατάσταση των πα-ραπάνω γίνεται:

( ) 0)( θ),(ρ θ,F =′ θρ

Ο µετασχηµατισµός αυτός χρησιµοποιείται συνήθως σε ∆.Ε. που υπάρχουν οι εκφράσεις x2+y2 ή arctan(y/x).

π.χ. στη ∆.Ε. xyy)yyx)(yx( 22 +′=−′+

β) Εναλλαγή του ρόλου των x, y Θεωρούµε τη συνάρτηση : )y(xx =

Με παραγώγιση έχουµε: )y(x/1)x(y ′=′

Οπότε η (13) µε αντικατάσταση γίνεται:

( ) 0(y)x1/ y, ),y(xF =′

Ο µετασχηµατισµός αυτός χρησιµοποιείται συνήθως σε απλές ∆.Ε. που ανάγονται σε γραµµικές ή Bernoulli.

γ) Παραµετρική Αντικατάσταση

Συνήθως δίνεται η: )t(x φ=

Από τον κανόνα της αλυσίδας προκύπτει:

)t()t(y

dxdt

dtdy)x(y

φ′′

=⋅=′

Οπότε η (13) γίνεται:

( ) 0)t(φ(t)y y(t), φ(t),F =′′

δ) Ειδική µορφή Όταν η ∆.Ε. είναι της µορφής :

( ) 0dx/dy)y(f ),y(f ,xF =′ (14)

Θέτουµε: )y(f)x(u =

Οπότε dx/dy)y(f)x(u ′=′ Με αντικατάσταση αναγόµαστε σε γραµ-µική ∆.Ε. ως προς u(x).

Υποβιβασµός τάξης ∆.Ε.

Αν η ∆.Ε. είναι της µορφής:

( ) 0)x(y),x(y,xF =′′′ (15)

Θέτουµε: )x(u)x(y =′

Οπότε )x(u)x(y ′=′′ και η (15) γίνεται:

( ) 0)x(u),x(u,xF =′

ΙΣΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ

∆ίνεται η οικογένεια τροχιών:

0cyxf =),,( (16)

Με παραγώγιση και απαλοιφή της σταθε-ράς c προκύπτει η ∆.Ε.:

( ) 0(x)yy(x),x,Φ =′

Οι ζητούµενες τροχιές που σχηµατίζουν µε την οικογένεια (16) γωνία φ, έχουν τα ίδια

x, y(x) και κλίση (παράγωγο):φφ

tan)x(y1tan)x(y

′+−′

Έτσι η ∆.Ε. των ζητούµενων τροχιών είναι:

0φy1φy

y x =

′+

−′Φ

tantan

,,

Λύνοντας βρίσκουµε τις ισογώνιες τροχιές:

0=)c,y,x(g

Oρθογώνιες τροχιές Από την πιο πάνω διαδικασία για φ=π/2 έχουµε τις ορθογώνιες τροχιές.

Συγκεκριµένα στην ∆.Ε. 0)y,y,x( =′Φ θέτουµε ,xx → )x(y)x(y → και )x(y/1)x(y ′−→′ .

Έτσι η ∆.Ε. των ζητούµενων τροχιών είναι:

( ) 0y1 y x =′−Φ /,,

που αν την λύσουµε βρίσκουµε την οικο-γένεια των ορθογώνιων τροχιών. ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ

Οργανωµένα µαθήµατα Ε.Μ.Π. – Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Α.Π. Επικοινωνήστε µαζί µας !!!