定理 定理 10.2.110.2.1 若 若 OM OM ⊥ ⊥ ABAB ，則 ，則 AM AM == MB MB 。。 [ [ 圓心至弦的垂線平分弦 圓心至弦的垂線平分弦 ]]

定理 定理 10.2.210.2.2 若 若 AM AM == MB MB ，則 ，則 OM OM ⊥ ⊥ ABAB 。。 [ [ 圓心至弦中點的連線垂直弦圓心至弦中點的連線垂直弦

]]

定理 定理 10.2.310.2.3 若 若 AB AB == CD CD ，則 ，則 OM OM == ON ON 。。 [ [ 等弦與圓心等距 等弦與圓心等距 ]]

定理 定理 10.2.410.2.4 若 若 OM OM == ON ON ，則 ，則 AB AB == CD CD 。。 [ [ 與圓心等距的弦等長 與圓心等距的弦等長 ]]

弦的特性弦的特性

O 是圓心

O 是圓心

OP OP ⊥ ⊥ ABAB 及 及 OQ OQ ⊥ ⊥ AC AC

（圓心至弦中點的連線垂直弦）（圓心至弦中點的連線垂直弦）

∠∠ABC ABC = 180= 180 – 70 – 70 – 55 – 55 （△ 內角和）（△ 內角和） = 55= 55

∠∠ACB ACB = ∠= ∠ABCABC

∴ ∴ ACAC = = ABAB （等角對邊相等）（等角對邊相等）

∴ ∴ OQOQ = = OPOP （等弦與圓心等距）（等弦與圓心等距）= = 55

弦的特性弦的特性圖中，圖中， O O 是圓心。已知 是圓心。已知 PP 和 和 QQ 分別是 分別是 ABAB

和 和 AC AC 的中點，的中點， OPOP = 5 = 5 ，∠，∠ BAC BAC = 70= 70 ，∠，∠ACB ACB = 55= 55 。求 。求 OQOQ 。。

例例

定理 定理 10.3.110.3.1 x x = 2= 2yy

[ [ 圓心角兩倍於圓周角 圓心角兩倍於圓周角 ]]

定理 定理 10.3.210.3.2 若 若 AB AB 是直徑，是直徑，

則 ∠則 ∠ ACB ACB = 90= 90 。。

[ [ 半圓上的圓周角 半圓上的圓周角 ]]

定理 定理 10.3.310.3.3 x x = = yy

[ [ 同弓形內的圓周角 同弓形內的圓周角 ]]

圓上的角圓上的角

O 是圓心

O 是圓心

圖中，已知 圖中，已知 BD BD 是直徑，∠是直徑，∠ ABD ABD = 43= 43 ，，∠∠ ADC ADC = 98= 98 。求 ∠。求 ∠ BACBAC 。。

∠∠CAD CAD = 180= 180 – 98 – 98 – 43 – 43 （△ 內角和）（△ 內角和） = 39= 39

∠ ∠BAD BAD = 90= 90 （半圓上的圓周角）（半圓上的圓周角）∠∠BACBAC + ∠ + ∠CAD CAD = 90= 90

∠ ∠BACBAC + 39 + 39 = 90= 90

∠ ∠BACBAC = = 5151

∠∠ACD ACD = ∠= ∠ABD ABD （同弓形內的圓周角）（同弓形內的圓周角） = 43= 43

圓上的角圓上的角例例

定理 定理 10.4.1 – 10.4.1 – 定理 定理 10.4.310.4.3 定理 定理 10.4.4 – 10.4.4 – 定理 定理 10.4.510.4.5

等弧、等弦與等圓心角（圓周角）等弧、等弦與等圓心角（圓周角）

等弦

等弧 等圓心角

等弦

等弧 等圓周角

(a) (a) 求 ∠求 ∠ CODCOD 。。

∠∠COD COD = ∠= ∠AOBAOB （等弦對等圓心角）（等弦對等圓心角）

= = 6060

等弧、等弦與等圓心角（圓周角）等弧、等弦與等圓心角（圓周角）

圖中，圖中， O O 是圓心，是圓心， ADAD 是直徑，是直徑， ABAB = = CDCD = =

44 ， ∠， ∠ AOB AOB = 60= 60 。。例例

∠∠BOC BOC = 180= 180 – 60 – 60 – 60 – 60 （直線上的鄰角）（直線上的鄰角）

= 60= 60

∴∴ BC AB CD

是半圓，所以 是圓周的 ，即 單位。是半圓，所以 是圓周的 ，即 單位。AD BC1

6 6

k

BC

(b) (b) 若圓周是 若圓周是 k k 單位，單位，求 求 ，答案以 ，答案以 kk 表示。表示。

圖中，圖中， O O 是圓心，是圓心， ADAD 是直徑，是直徑， ABAB = = CDCD = =

44 ， ∠， ∠ AOB AOB = 60= 60 。。例例

等弧、等弦與等圓心角（圓周角）等弧、等弦與等圓心角（圓周角）

定理 定理 10.4.610.4.6

[ [ 弧長與圓心角成比例 弧長與圓心角成比例 ]]

: :AB CD AOB COD

弧長的比與圓心角（圓周角）大小的比弧長的比與圓心角（圓周角）大小的比

定理 定理 10.4.710.4.7

[ [ 弧長與圓周角成比例 弧長與圓周角成比例 ]]

: :AB CD APB CQD

O 是圓心

x + x + x + x + x + x + 22xx = 180= 180 （△ 內角和）（△ 內角和） xx = 36 = 36

在 △在 △ ADC ADC 內，內，

∠∠CAD CAD = ∠= ∠BDC BDC = ∠= ∠ACD ACD = = xx （等弧對等圓周角）（等弧對等圓周角）連接 連接 CD CD 及 及 DADA 。設 ∠。設 ∠ ACD ACD = = xx 。。

∴ ∠ ∴ ∠ADB ADB = 2= 2xx （弧長與圓周角成比例）（弧長與圓周角成比例）

2AB DA

∠∠AMD AMD = ∠= ∠ACDACD + ∠ + ∠BDCBDC （△ 外角）（△ 外角） = = 7272

弧長的比與圓心角（圓周角）大小的比弧長的比與圓心角（圓周角）大小的比

1

2AB BC CD DA

圖中， 圖中， AC AC 與 與 BD BD 相交於 相交於 MM ，， ，求∠，求∠ AMDAMD 。。

例例

定理 定理 10.5.210.5.2 a a == b b

[ [ 圓內接四邊形外角 圓內接四邊形外角 ]]

定理 定理 10.5.110.5.1 若若 ABCD ABCD 是圓內接四邊形，是圓內接四邊形， 則 ∠則 ∠ AA + ∠ + ∠CC = ∠ = ∠BB + ∠ + ∠DD

= 180= 180 。。 [ [ 圓內接四邊形對角 圓內接四邊形對角 ]]

圓內接四邊形圓內接四邊形

(a) (a) 求 ∠求 ∠ BCD BCD 和 ∠和 ∠ ABCABC 。。

∠∠BCDBCD + ∠ + ∠BADBAD = 180 = 180

（圓內接四邊形對角）（圓內接四邊形對角）

∠∠BCDBCD + 70 + 70 = 180= 180

∠ ∠BCD BCD = = 110110

∠∠ABC ABC = ∠= ∠CDM CDM （圓內接四邊形外角）（圓內接四邊形外角） = = 8282

圓內接四邊形圓內接四邊形圖中，圖中， ADAD 和 和 BCBC 的延線相交於 的延線相交於 MM 點，∠點，∠BAM BAM = 70= 70 ，∠，∠ CDM CDM = 82= 82 。。

例例

∠∠BAM BAM = ∠= ∠DCMDCM （圓內接四邊形外角）（圓內接四邊形外角）∠∠ABM ABM = ∠= ∠CDMCDM （已證）（已證）

∴ △ ∴ △ABMABM ~ △ ~ △CDMCDM （（ AAAAAA ））

∴ ∴ ((AMAM) () (DMDM)) = (= (BMBM) () (CMCM))

∴ ∴ （相似 △ 對應邊）（相似 △ 對應邊）DM CM

BM AM

圓內接四邊形圓內接四邊形

(b) (b) 證明 證明 ((AMAM) () (DMDM)) = (= (BMBM) () (CMCM)) 。。

圖中，圖中， ADAD 和 和 BCBC 的延線相交於 的延線相交於 MM 點，∠點，∠BAM BAM = 70= 70 ，∠，∠ CDM CDM = 82= 82 。。

例例

定理 定理 10.6.110.6.1 若 若 AB AB 是圓在 是圓在 PP 點的切線，點的切線， 則 則 AB AB ⊥ ⊥ 半徑半徑 OPOP 。。 [ [ 切線⊥半徑 切線⊥半徑 ]]

定理 定理 10.6.210.6.2 若 若 TP TP 和 和 TQ TQ 是圓在 是圓在 PP 和 和 QQ 點點

的切線，則的切線，則 (1) ∠(1) ∠PTO PTO = ∠= ∠QTOQTO

(2) (2) TP TP = = TQTQ

(3) ∠(3) ∠POT POT = ∠= ∠QOTQOT

[ [ 由外點引切線 由外點引切線 ]]

圓的切線圓的切線

O 是圓心

O 是圓心

定理 定理 10.6.310.6.3 x x = = yy

[ [ 交錯弓形的圓周角 交錯弓形的圓周角 ]]

圓的切線圓的切線

∠∠CBD CBD = ∠= ∠DCNDCN （交錯弓形的圓周角）（交錯弓形的圓周角） = 63= 63

∠∠BCM BCM = ∠= ∠CBDCBD （內錯角，（內錯角， MNMN // // BDBD ）） = 63= 63

∠∠BCD BCD = 180= 180 – 63 – 63 – 63 – 63 （直線上的鄰角）（直線上的鄰角） = 54= 54

∠∠BAD BAD ++ ∠∠BCD BCD = 180= 180 （圓內接四邊形對角）（圓內接四邊形對角） ∠ ∠BAD + BAD + 5454 = 180= 180 ∠ ∠BAD BAD = = 126126

圓的切線圓的切線圖中，圖中， MN MN 是圓在 是圓在 CC 點的切線，且平行於 點的切線，且平行於 BB

DD ， ∠， ∠ DCN DCN = 63= 63 。求 ∠。求 ∠ BADBAD 。。

例例