I1 I2 I1 I2

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Индукция магнитного поля

Магнитные явления были известны еще в эпоху античности. Согласно преданиям, компас был известен в Китае более 4000 лет назад, а в Европе он появился приблизительно в XII веке новой эры. Однако только в XIX веке была обнаружена связь между электричеством и магнетизмом и возникло представление о магнитном поле.

В 1820 году датский ученый Эрстед обнаружил, что электрический ток действует на стрелку компаса. Постоянные магниты и их взаимодействие было известно давно. Давно было известно, что стрелка компаса отклоняется, если рядом с ней поместить магнит или кусок железа. И вот оказалось, что электрический ток тоже способен проявлять магнитные свойства. Эрстед обнаружил, что если около прямого проводника с током поместить магнитную стрелку компаса, то она ориентируется вполне определенным образом. Причем эта ориентация задается именно током - стрелка стремится повернуться перпендикулярно направлению тока и перпендикуляру, опущенному из точки нахождения стрелки на проводник. Если изменить направление тока на противоположное, то стрелка развернется на 180º.

В том же 1820 году Ампер обнаружил и исследовал взаимодействие проводников с током. Так если взять два тонких прямолинейных проводника и расположить их параллельно друг другу, то при пропускании по ним тока в одном направлении проводники будут притягиваться, а в противоположных - отталкиваться. Причем это взаимодействие не имеет отношения к силе Кулона, так как проводники в целом являются электрически нейтральными.

Многочисленные последующие эксперименты показали, что взаимодействие тока с магнитной стрелкой и взаимодействие проводников с током относятся к одному и тому же взаимодействию. По современным представлениям это взаимодействие осуществляется не непосредственно, а через определенное силовое поле. По-видимому, каждый проводник с током создает вокруг себя некое силовое поле, названное магнитным, и это поле действует на другие проводники с током или на магнитные стрелки. Учитывая, что магнитная стрелка в магнитном поле проводника с током стремится повернуться вполне определенным образом, можно предположить, что магнитное поле имеет векторную природу.

В XIX веке считалось, что магнитное поле по аналогии с электрическим полем создается магнитными зарядами, аналогичными северному и южному концам магнитной стрелки. Однако в настоящее время считается, что магнитных зарядов в природе не существует.

Итак, проводники с током взаимодействуют посредством магнитного поля. То есть на любой проводник с током, помещенный в магнитное поле со стороны поля действует сила. Эта сила называется силой Ампера. Опыт показывает, что эта сила зависит от взаимной ориентации направления поля и направления тока. Магнитное поле также действует на магнитную стрелку, ориентируя ее вполне определенным образом. Направление, в котором ориентируется магнитная стрелка в магнитном поле, определяет направление силовой характеристики магнитного поля. Величина силовой характеристики магнитного поля определяется силой с которой оно действует на проводник с током. Пусть в однородном магнитном поле находится прямолинейный проводник длиной l, по которому течет ток силой I. При некоторой ориентации проводника сила, действующая на него со стороны магнитного поля будет максимальной. Если это максимальное значение силы равно Fmax, то величина

B=Fmax

Il

называется индукцией магнитного поля и является силовой характеристикой магнитного поля.

Единицей измерения индукции магнитного поля в системе СИ является тесла [Тл]:

1 Тл= 1 Н1 А ∙1 м

Тесла – очень крупная единица. Магнитное поле Земли приблизительно равно 0,5·10–4 Тл. Большой лабораторный электромагнит может создать поле не более 5 Тл.

Сила Ампера, действующая на проводник с током в магнитном поле максимальна в случае, когда направление поля и направление тока взаимно перпендикулярны и равна нулю, когда они направлены вдоль одной прямой. В общем случае сила Ампера равна

F A=IBl sin α ,

1

где I – сила тока в проводнике; l – длина проводника; - угол между направлением тока и вектором В. Это выражение определяет модуль силы Ампера. Направление силы Ампера перпендикулярно как вектору индукции поля так и направлению тока. Для точного определения направления силы Ампера используется правило левой руки. Надо четыре вытянутых пальца левой руки направить вдоль направления тока, ладонь повернуть так, чтобы вектор В входил в нее, тогда отогнутый на 90º большой палец левой руки покажет направление действия силы Ампера.

Взаимодействие токов, обнаруженное и изученное Ампером в 1820 году также осуществляется посредством магнитного поля: один из проводников с током создает вокруг себя магнитное поле, которое действует на второй проводник с током и наоборот. Опыты показали, что модуль силы, действующей на отрезок длиной Δl каждого из двух параллельных проводников, прямо пропорционален силам тока I1 и I2 в проводниках, длине отрезка Δl и обратно пропорционален расстоянию r между ними:

F=kI 1 I2 Δl

r

Коэффициент пропорциональности k в системе СИ равен 2·10-7 Н/А2. Однако в физике используется другая постоянная величина,

которая называется магнитной постоянной μ0=2πk=4 π ∙10−7 Н /А2. Значит, формула для силы

взаимодействия проводников с током принимает вид:

F=μ0 I 1 I 2 Δl

2 πr

Магнитное поле прямолинейного проводника с током должно обладать осевой симметрией и, следовательно, замкнутые линии магнитной индукции могут быть только концентрическими окружностями, располагающимися в плоскостях, перпендикулярных проводнику. Для определения направления вектора В магнитного поля прямолинейного проводника можно пользоваться правилом буравчика: направление вращения рукоятки буравчика совпадает с направлением вектора В если при вращении буравчик перемещается в направлении тока.

Из формулы для силы взаимодействия проводников с током и выражения для силы Ампера нетрудно получить формулу для индукции магнитного поля, создаваемого прямолинейным бесконечным проводником с током. Так как вектор индукции перпендикулярен плоскости проводников, то sin α в силе Ампера равен единице, а значит, модуль вектора индукции магнитного поля, созданного прямолинейным проводником, по которому течет ток I, на расстоянии r от проводника равен:

B=μ0 I

2 πr

Магнитное взаимодействие проводников с током используется в системе единиц СИ для определения основной единицы силы тока – Ампер.

Сила Лоренца

Любой проводник с током представляет собой поток направленно движущихся электрических зарядов. Поэтому можно предположить, что магнитное поле действует на движущиеся заряды, а сила Ампера представляет собой суммарную силу, действующую со стороны магнитного поля на движущиеся внутри проводника заряды. Пусть носителями тока в проводнике являются частицы с зарядом q, пусть концентрация носителей тока равна n, их средняя дрейфовая скорость равна v, а площадь сечения проводника S. Тогда I=qnvS , а сила Ампера F A=qnvSBlsin α=qvBnV sin α=qvBN sin α , где V=Sl - объем проводника, а

N=nV - общее количество носителей тока в проводнике. Значит сила, действующая со стороны магнитного поля на отдельный движущийся заряд внутри проводника равна F=qvB sin α .

И действительно, на любой электрический заряд, движущийся в магнитном поле, действует со стороны поля сила, называемая силой Лоренца. Ее величина равна:

FЛ=qvB sin α ,

2

+ −I

B

+ + + + + + +

− − − − − − −

где q – заряд частицы; v – скорость частицы; - угол между векторами v и В. Это выражение определяет модуль силы Лоренца. Направление силы Лоренца перпендикулярно как направлению вектора индукции, так и вектору скорости. Точное направление силы Лоренца также определяется правилом левой руки. Четыре вытянутых пальца левой руки направляются вдоль направления вектора скорости частицы, ладонь поворачивается так, чтобы вектор В входил в нее, тогда отогнутый на 90º большой палец левой руки покажет направление действия силы Лоренца, если заряд положительный. Если заряд отрицательный, то правило левой руки показывает направление противоположное силе Лоренца.

Так как сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно направлению вектора скорости частицы, то мощность силы Лоренца всегда равна нулю. А значит, сила Лоренца не совершает механической работы. Кроме того, при движении частицы в магнитном поле сила Лоренца всегда является центростремительной силой. Рассмотрим движение заряженной частицы в однородном магнитном поле.

Пусть скорость частицы v направлена перпендикулярно вектору индукции однородного магнитного поля В. Траекторией движения частицы будет окружность. Запишем второй закон Ньютона для частицы:

m a=mv2

R=FЛ=qvB

Отсюда получаем радиус окружности, по которой движется частица:

R=mvqB

Период обращения частицы и угловая скорость равны:

T=2 πRv

=2πmqB

:ω= vR=qB

m

Угловая скорость движения заряженной частицы в магнитном поле называется циклотронной частотой. Циклотронная частота не зависит от скорости, а значит и от кинетической энергии частицы. Это обстоятельство используется в простейших ускорителях заряженных частиц – циклотронах.

Если скорость частицы направлена не перпендикулярно направлению магнитного поля, то траекторией движения частицы будет спираль. Если угол между вектором скорости частицы и вектором индукции магнитного поля равен α, то радиус спирали R будет определяться перпендикулярной направлению поля составляющей скорости частицы v⊥=v sin α , а шаг спирали h –

параллельной составляющей v∥=v cosα :

R=m v⊥qB

=mv sin αqB

;h=v∥T=2 πmv cos αqB

Эффект Холла

Одним их проявлений силы Лоренца является эффект, обнаруженный экспериментально в 1879 году американским физиком Холлом. Идея опыта Холла представлена на рисунке. Если проводник, по которому течет электрический ток, поместить в магнитное поле, то он электризуется, то есть между его боковыми поверхностями возникает разность потенциалов. Причем, возникающее при этом в проводнике электрическое поле направлено перпендикулярно как направлению тока, так и направлению магнитного поля. Объяснение этот эффект получил только после создания электронной теории.

На любой носитель электрического тока в проводнике действует со стороны магнитного поля сила Лоренца. Все носители тока начнут смещаться в направлении действия силы Лоренца относительно кристаллической решетки. Это сразу приведет к поляризации проводника и возникновению внутри него наведенного электрического поля. Сила, действующая на носители тока со стороны наведенного электрического поля, автоматически и полностью скомпенсирует действующую на них силу Лоренца:

qE=qvB

3

Таким образом, внутри проводника с током, помещенным в магнитное поле с индукцией В, возникает наведенное электрическое поле с напряженностью

E=B vср

где vср – средняя дрейфовая скорость движения носителей тока в проводнике. Причем, это электрическое поле направлено перпендикулярно как направлению тока, так и направлению магнитного поля. В этом и заключается эффект Холла.

Эффект Холла возникает также если проводник движется в магнитном поле. На свободные заряды внутри проводника при его движении в магнитном поле также действует сила Лоренца. Это также приводит к поляризации проводника и возникновению внутри него наведенного электрического поля. Если скорость движения проводника равна v, индукция магнитного поля равна В, угол между вектором скорости проводника и направлением магнитного поля равен α, то напряженность наведенного электрического поля равна

E=Bv sin α

Если размер проводника в направлении перпендикулярном плоскости векторов v и В равен l⊥, то между крайними точками проводника при движении его в магнитном поле возникает разность потенциалов

Δφ=Bv l⊥ sin α .

Закон Био – Савара и теорема о циркуляции

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции: если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

Индукцию В проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций ΔВ создаваемых отдельными участками проводника. На опыте невозможно осуществить отдельный участок проводника с током, так как постоянные токи всегда замкнуты. Можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон Био–Савара определяет вклад ΔВ в магнитную индукцию В результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δl проводника с током I:

ΔB=μ0 IΔlsin α

4π r 2

Здесь r – расстояние от данного участка Δl до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ0 – магнитная постоянная. Направление вектора ΔВ определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока.

Рисунок иллюстрирует закон Био–Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

B=μ0 I

2 πR

Закон Био–Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных конфигураций. Нетрудно, например, выполнить расчет магнитного поля в центре кругового витка с током. Этот расчет приводит к формуле

B=μ0 I

2 R

Здесь R – радиус витка.

4

Расчеты магнитного поля токов часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае расчеты можно выполнять с помощью теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции, которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике.

Поясним понятие циркуляции вектора В. Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление обхода контура. На каждом отдельном малом участке Δl этого контура можно определить касательную составляющую Вl вектора В в данном месте, то есть определить проекцию вектора В на направление касательной к данному участку контура. Циркуляцией вектора В называют сумму произведений Bl Δl, взятую по всему контуру L:

Циркуляция вектора В=∑L

Bl Δl

Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур L в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура.

Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру L всегда равна произведению магнитной постоянной μ0 на сумму всех токов, пронизывающих контур:

∑L

Bl Δl=μ0∑ Ii

Простейшим примером применения теоремы о циркуляции является определение магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током. Учитывая симметрию в данной задаче, контур L целесообразно выбрать в виде окружности некоторого радиуса R, лежащей в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности находится в некоторой точке проводника. В силу симметрии вектор В направлен по касательной (Вl = В), а его модуль одинаков во всех точках окружности. Применение теоремы о циркуляции приводит к соотношению:

∑L

Bl Δl=2 π RB=μ0 I

Отсюда сразу получается формула для индукции магнитного поля прямолинейного проводника с током.

Приведем еще один факт. Если по контуру, находящемуся в однородном магнитном поле, течет ток I, то на каждый элемент контура со стороны поля действует сила Ампера. Это приводит к тому, что со стороны магнитного поля на помещенный в него контур с током действует механический момент сил, равный

M=IBS sin α

Здесь α – угол между направлением магнитного поля и нормалью к плоскости контура, I – сила тока в контуре, S – площадь контура, B – индукция магнитного поля.

Магнитное поле в веществе

Вещество изменяет силовые характеристики магнитного поля. Однако, в отличие от электрического поля, магнитное поле в веществе может быть как сильнее так и слабее, чем в вакууме. Величина, показывающая во сколько раз вещество усиливает индукцию магнитного поля, называется магнитной проницаемостью:

μ= BB0

По характеру изменения магнитного поля все вещества делятся на три класса: парамагнетики, диамагнетики и ферромагнетики.

У большинства веществ магнитные свойства выражены крайне слабо. К таким веществам относятся парамагнетики и диамагнетики. Парамагнетиками называются вещества слегка усиливающие индукцию магнитного поля, а диамагнетиками – вещества слегка ослабляющие индукцию магнитного поля. Магнитная проницаемость у парамагнетиков слегка больше единицы (например, для платины μ = 1,00025), а у диамагнетиков слегка больше единицы (например, для золота μ = 0,999961). Причем магнитная проницаемость и тех и других отличается от единицы очень мало. Ферромагнетики – вещества, усиливающие магнитное поле внутри себя во много раз. Магнитная проницаемость ферромагнетиков находится в пределах от нескольких сотен до сотен тысяч (например, у сплава железа с никелем μ ≈ 250000).

5

Одним из первых магнитные свойства вещества попытался объяснить Ампер. Ампер предположил, что внутри всех веществ существуют микроскопические круговые токи, получившие название токи Ампера. Каждый круговой ток создает свое микроскопическое магнитное поле. В свободном состоянии эти магнитные поля направлены хаотическим образом и полностью компенсируют друг друга. Однако, если есть внешнее магнитное поле, то появляется некоторая преимущественная ориентация микроскопических полей и возникает собственное магнитное поле вещества, которое складываясь с внешним магнитным полем, либо ослабляет его, либо усиливает. Согласно планетарной модели атома, электроны в атоме вращаются вокруг ядра по замкнутым орбитам и их можно рассматривать как круговые токи Ампера. Кроме того, каждый электрон в отдельности обладает своим собственным магнитным полем. Совокупность этих микроскопических магнитных полей и обеспечивает различные магнитные свойства веществ.

У атомов диамагнетиков в отсутствии внешнего поля собственные магнитные поля электронов и их орбитальные магнитные поля скомпенсированы и их полное магнитное поле равно нулю. При наличии внешнего поля орбитальные магнитные поля электронов перестраиваются и компенсация магнитных полей нарушается. Появляющееся при этом нескомпенсированное магнитное поле атомов направлено против внешнего поля и ослабляет его.

У атомов парамагнетиков собственные магнитные поля электронов и их орбитальные магнитные поля изначально нескомпенсированы и атомы представляют собой маленькие круговые токи. В отсутствие внешнего поля эти круговые микротоки ориентированы произвольно, так что суммарная магнитная индукция равна нулю. Внешнее магнитное поле оказывает ориентирующее действие – микротоки стремятся сориентироваться так, чтобы их собственные магнитные поля оказались направленными по индукции внешнего поля. Из-за теплового движения атомов ориентация микротоков никогда не бывает полной. При усилении внешнего поля ориентационный эффект возрастает, так что индукция собственного магнитного поля парамагнитного образца растет прямо пропорционально индукции внешнего магнитного поля. Полная индукция магнитного поля в образце складывается из индукции внешнего магнитного поля и индукции собственного магнитного поля, возникшего в процессе намагничивания.

К группе ферромагнетиков относятся четыре химических элемента: железо, никель, кобальт, гадолиний. Из них наибольшей магнитной проницаемостью обладает железо. Поэтому вся эта группа получила название ферромагнетиков.

Для каждого ферромагнетика существует определенная температура (так называемая температура или точка Кюри), выше которой ферромагнитные свойства исчезают, и вещество становится парамагнетиком. У железа, например, температура Кюри равна 770 °C, у кобальта 1130 °C, у никеля 360 °C.

Ферромагнитные материалы делятся на две большие группы – на магнито-мягкие и магнито-жесткие материалы. Магнито-мягкие ферромагнитные материалы почти полностью размагничиваются, когда внешнее магнитное поле становится равным нулю. К магнито-мягким материалам относится, например, чистое железо, электротехническая сталь и некоторые сплавы. Эти материалы применяются в приборах переменного тока, в которых происходит непрерывное перемагничивание, то есть изменение направления магнитного поля (трансформаторы, электродвигатели и т. п.).

Магнито-жесткие материалы сохраняют в значительной мере свою намагниченность и после удаления их из магнитного поля. Примерами магнито-жестких материалов могут служить углеродистая сталь и ряд специальных сплавов. Магнито-жесткие метериалы используются в основном для изготовления постоянных магнитов.

Характерной особенностью процесса намагничивания ферромагнетиков является так называемый гистерезис, то есть зависимость намагничивания от предыстории образца. Кривая намагничивания ферромагнитного образца представляет собой петлю сложной формы, которая называется петлей гистерезиса.

6

На рисунке представлен характерный график зависимости индукции магнитного поля внутри ферромагнетика В от индукции внешнего магнитного поля В0. Из рисунка видно, что при В > В0S наступает магнитное насыщение – намагниченность образца достигаем максимального значения. Если теперь уменьшать магнитную индукцию B0 внешнего поля и довести ее вновь до нулевого значения, то ферромагнетик сохранит остаточную намагниченность – поле внутри образца будет равно Br. Остаточная намагниченность образцов позволяет создавать постоянные магниты. Для того, чтобы полностью размагнитить образец, необходимо, изменив знак внешнего поля, довести магнитную индукцию B0 до значения –B0С, которое принято называть коэрцитивной силой. Далее процесс перемагничивания может быть продолжен, как это указано стрелками на рисунке.

У магнито-мягких материалов значения коэрцитивной силы B0C невелико – петля гистерезиса таких материалов достаточно «узкая». Материалы с большим значением коэрцитивной силы, то есть имеющие «широкую» петлю гистерезиса, относятся к магнито-жестким.

Природа ферромагнетизма может быть до конца понята только на основе квантовых представлений. Качественно ферромагнетизм объясняется наличием собственных (спиновых) магнитных полей у электронов. В кристаллах ферромагнитных материалов возникают условия, при которых, вследствие сильного взаимодействия спиновых магнитных полей соседних электронов, энергетически выгодной становится их параллельная ориентация. В результате такого взаимодействия внутри кристалла ферромагнетика возникают самопроизвольно намагниченные области размером порядка 10–2–10–4 см. Эти области называются доменами. Каждый домен представляет из себя небольшой постоянный магнит.

В отсутствие внешнего магнитного поля направления векторов индукции магнитных полей в различных доменах ориентированы в большом кристалле хаотически. Такой кристалл в среднем окажется ненамагниченным. При наложении внешнего магнитного поля происходит смещение границ доменов так, что объемы доменов, ориентированных по внешнему полю, увеличиваются. С увеличением индукции внешнего поля возрастает магнитная индукция намагниченного вещества. В очень сильном внешнем поле домены, в которых собственное магнитное поле совпадает по направлению с внешним полем, поглощают все остальные домены, и наступает магнитное насыщение.

7

l

Δx

vB

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

ЭДС индукции

Как известно из опыта, магнитное поле создается движущимися зарядами или проводниками с током. Однако любой электрический ток представляет собой поток направленно движущихся электрических зарядов. Следовательно, можно утверждать, магнитное поле создается только движущимися зарядами. Но электрические заряды создают электрическое поле, которое при движении заряда движется вслед за ним. При этом электрическое поле в каждой точке пространства изменяется. Значит, на языке поля можно сказать, что магнитное поле создается изменяющимся электрическим полем.

А имеет ли место обратная ситуация, то есть, может ли изменяющееся магнитное поле создавать электрическое поле? Мы уже знаем, при движении проводника в магнитном поле в нем создается наведенное электрическое поле. Это связано с тем, что на свободные заряды, имеющиеся внутри движущегося проводника, со стороны магнитного поля действует сила Лоренца. Под действием этой силы свободные заряды в проводнике начинают двигаться. В результате чего на поверхности проводника появляются наведенные заряды, которые создают наведенное электрическое поле, компенсирующее действие силы Лоренца. В этом примере возникновение электрического поля обусловлено силой Лоренца, действующей со стороны магнитного поля на движущиеся электрические заряды.

Однако из принципа относительности Галилея следует, что если в одной инерциальной системе отсчета, в которой проводник движется, на его поверхности появляются наведенные заряды, то они должны быть и в любой другой инерциальной системе отсчета. В частности, если проводник движется равномерно и прямолинейно в магнитном поле относительно какой либо неподвижной системы отсчета, то на его поверхности наводятся заряды и возникает связанное с ними электрическое поле. Если мы перейдем в систему отсчета проводника, то в этой системе проводник окажется неподвижным. Однако наведенные заряды и связанное с ними электрическое поле должны сохраниться. Но в этой системе отсчета на свободные заряды внутри проводника никакая сила Лоренца действовать не должна. Зато относительно этой системы отсчета магнитное поле движется. Значит остается предположить, что движущееся магнитное поле создает электрическое поле точно такое, какое создавалось силой Лоренца в неподвижной системе отсчета.

Таким образом, движущееся магнитное поле создает электрическое поле. Такое электрическое поле называется индукционным.

Введем понятие магнитного потока. Если в магнитном поле с индукцией В находится плоский замкнутый контур площадью S то величина

Ф=BS cos α

называется потоком вектора индукции магнитного поля (магнитным потоком) через контур. Здесь α - угол между направлением вектора В и нормалью к плоскости контура

Рассмотрим известную ситуацию. Пусть имеется прямоугольная проволочная рамка, находящаяся в однородном магнитном поле с индукцией В, направленном перпендикулярно плоскости рамки. Пусть одна сторона рамки подвижна и движется с постоянной скоростью v параллельно самой себе.

Если проводник движется в магнитном поле, то на его концах наводится ЭДС индукции:

ε i=Bvl sin α ,

где v – скорость проводника; l – его длина в направлении перпендикулярном плоскости, образованной векторами B и v; α - угол между векторами B и v. Значит, на концах подвижной стороны рамки наводится разность потенциалов Δφ=Bvl и в рамке течет ток. Можно сказать, что в контуре имеется источник ЭДС

ε=Bvl. Так как v=Δx /Δt, то ε=BlΔx /Δt . Но lΔx=ΔS - изменение площади рамки, а BΔS=ΔФ - изменение магнитного потока, пронизывающего площадь рамки за время Δt . Значит ЭДС, возникающая в рамке равна ε=ΔФ /Δt . Такая ЭДС называется ЭДС индукции.

В первой половине XIX века Майкл Фарадей серией блестящих опытов показал, что любое изменение магнитного потока через какой-либо замкнутый контур приводит к возникновению в этом контуре ЭДС индукции. А значит, и любое изменяющееся магнитное поле приводит к возникновению электрического поля. Электрическое поле, созданное изменяющимся магнитным полем, называется индукционным или вихревым.

Магнитный поток равен Ф=BS cos α . Это значит, что к изменению магнитного потока может приводить: изменение самого магнитного поля, изменение площади контура, изменение ориентации контура в поле, или изменение всех трех параметров. Фарадей показал, что любая причина изменения магнитного потока приводит к возникновению ЭДС индукции. Более того, в любом случае величина ЭДС индукции определяется одной и той же формулой:

8

ε i=−ΔФ

Δtили εi=

−d Фdt

=−Ф ' (t)

ЭДС индукции в замкнутом контуре равна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой с противоположным знаком.

Этот факт называется законом электромагнитной индукции. Знак «−» в законе электромагнитной индукции связан с, так называемым, правилом Ленца и определяет направление ЭДС индукции и индукционного тока. Индукционный ток, возникающий в контуре вследствие изменения магнитного потока, создает свое собственное магнитное поле, которое, в свою очередь, создает свой собственный магнитный поток через этот же контур. В результате обобщения экспериментальных фактов Ленц пришел к выводу, что индукционный ток всегда направлен так, что созданное им магнитное поле стремится скомпенсировать изменение магнитного потока, вызвавшего появление ЭДС индукции.

В более общем виде правило Ленца можно сформулировать так: результат действия ЭДС индукции всегда направлен в сторону противоположную причине возникновения этой ЭДС индукции.

Следует заметить, что индукционное электрическое поле сильно отличается от электростатического поля. У электростатического поля есть конкретные источники – электрические заряды. Электростатическое поле является потенциальным, то есть работа сил электростатического поля по произвольному замкнутому контуру всегда равна нулю. Силовые линии электростатического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. У индукционного электрического поля нет конкретных источников. Оно порождается переменным магнитным полем. При появлении индукционного электрического поля в замкнутых контурах возникает ЭДС индукции и течет ток. Это приводит к выделению Джоулева тепла. То есть работа сил индукционного электрического поля при протекании по замкнутому контуру индукционного тока явно не равна нулю. То есть индукционное электрическое поле непотенциально. И, наконец, силовые линии индукционного электрического поля нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Они представляют собой замкнутые сами на себя линии. Индукционное электрическое поле иногда по этой причине называют вихревым.

Токи Фуко.

Если замкнутый контур из тонкого провода поместить в изменяющееся магнитное поле, то в нем возникнет ЭДС индукции. При этом в контуре возникнет индукционный ток. О наличии в контуре электрического тока мы можем судить по тому факту, что проволока контура будет нагреваться. Если, сохраняя неизменными все размеры контура, сделать его из более толстой проволоки, то сопротивление контура уменьшится, а, следовательно, сила индукционного тока возрастет. Вместо тонкого проволочного контура можно поместить в изменяющееся магнитное поле толстый кусок металла. Можно предположить, что и в этом случае внутри металла возникнет индукционный ток. Опыт показывает, что кусок металла, помещенный в изменяющееся магнитное поле, нагревается. Значит, при изменении магнитного поля индукционные токи возникают и в массивных кусках металла. Эти токи называются токами Фуко по имени открывшего их французского физика Л. Фуко.

В достаточно больших кусках металла и при достаточно большой скорости изменения магнитного поля могут возникать достаточно большие токи. При этом металл может нагреваться весьма сильно. Если, например, внутрь катушки индуктивности поместить сплошной металлический сердечник и включить катушку в сеть переменного тока (50 Гц), то сердечник нагреется довольно сильно. Это явление может быть очень вредным в устройствах, работающих в переменном токе (например, в трансформаторах). Если сердечник трансформатора сделать из сплошного куска металла, то он будет очень сильно нагреваться. Это приведет к существенному снижению КПД трансформатора и к выходу его из строя. Для предотвращения образования токов Фуко сердечники трансформаторов собирают из тонких металлических пластин изолированных друг от друга слоем лака или масла. С другой стороны, токи Фуко используются в так называемых индукционных печах для сильного нагревания или даже плавления металлов.

Самоиндукция. Катушка индуктивности

Ток, протекающий по замкнутому контуру, создает свое собственное магнитное поле и свой собственный магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром. Причем индукция магнитного поля прямо пропорциональна силе тока, а поток прямо пропорционален индукции поля. Значит магнитный поток через площадь контура, создаваемый током, протекающим по контуру, прямо пропорционален силе тока. Коэффициент пропорциональности (L) между потоком и силой тока называется индуктивностью контура:

L=ФI

Единицей измерения индуктивности в системе СИ является Генри [Гн]: 1 Гн=1Вб /1 А .

9

Единицей измерения магнитного потока в системе Си является Вебер [Вб]: 1 Вб=1Тл·1 м2.

Если сила тока, протекающего в контуре, изменяется, то и создаваемый им магнитный поток тоже изменяется. А это, в свою очередь, должно приводить к возникновению ЭДС индукции. Явление возникновения ЭДС индукции в контуре, обусловленное изменением тока, протекающего по контуру, называется самоиндукцией, а возникающая при этом ЭДС называется ЭДС самоиндукции. Согласно правилу Ленца, ЭДС самоиндукции направлена против изменения тока в контуре. То есть, если сила тока в контуре уменьшается, то ЭДС самоиндукции стремится увеличить ток и наоборот. Значит:

ε si=−dФ

d t=−L

dIdt

Индуктивность является характеристикой контура и определяется его формой и размерами, а также свойствами среды (магнитной проницаемостью). Индуктивность одиночных контуров, как и емкость отдельных проводников, является величиной очень маленькой. Однако существуют устройства, обладающие аномально высокой индуктивностью – это, так называемые, катушки индуктивности. Реально катушка индуктивности представляет собой проволочную катушку с плотно намотанными на цилиндрический сердечник витками. Если витков очень много так, что длина катушки намного превосходит ее диаметр, то силовые линии внутри катушки располагаются очень близко друг к другу и почти параллельно, а снаружи на выходе из катушки силовые линии очень быстро расходятся в разные стороны. Это значит, что индукция магнитного поля внутри катушки довольно большая и почти однородная. А на выходе из катушки магнитное поле становится неоднородным и очень быстро уменьшается при удалении от ее торцов. Идеальной катушкой индуктивности или соленоидом называется тонкая цилиндрическая катушка, диаметр которой пренебрежимо мал по сравнению с ее длиной. Считается, что магнитное поле такой катушки полностью сосредоточено внутри нее и является однородным, а снаружи от такой катушки магнитного поля нет.

Вообразим мысленно узкий прямоугольный контур, одна длинная сторона которого проходит параллельно оси катушки внутри нее, а другая – снаружи. Короткие боковые стороны контура замыкают длинные вблизи торцов катушки. Так как магнитное поле существует только внутри нее, причем индукция поля параллельна оси катушки и везде внутри нее одинакова, то циркуляция вектора индукции по выбранному нами контуру будет равна Bl, где В – индукция магнитного поля внутри катушки, l – длина катушки. Согласно теореме о

циркуляции магнитного поля Bl=μ0∋¿, где N – количество витков в катушке, I – сила тока в ней. Отсюда получаем формулу для индукции магнитного поля внутри катушки индуктивности:

B=μ0∋¿l=μ0∋,¿

где n=N / l - плотность витков. Магнитный поток, пронизывающий каждый виток катушки равен Ф=BS, где S – площадь витков катушки. Если в катушке N витков, то полный магнитный поток через катушку равен:

Ф=NBS=μ0 N2 Sl / l. Значит, индуктивность идеальной катушки равна:

L=ФI=

μ0 N 2 Sl

=μ0 n2 V

где V=Sl - объем катушки.

Если внутрь катушки вставить сердечник из материала с магнитной проницаемостью μ, то индуктивность катушки увеличивается в μ раз. Для увеличения индуктивности катушек на практике в них вставляют сердечники из ферромагнетиков, магнитная проницаемость которых очень велика.

Энергия магнитного поля

Магнитное поле обладает энергией. В этом легко убедиться, рассмотрев процесс исчезновения тока в представленной цепи после размыкания ключа. Пусть при замкнутом ключе в катушке течет ток I0. При этом в резисторе тока нет, так как электрическое сопротивление идеальной катушки считается равным нулю. После размыкания ключа ток в катушке должен исчезнуть, а вместе с ним и его магнитное поле. Однако при исчезновении тока, созданный им магнитный поток через катушку тоже исчезнет. Так как индуктивность катушки достаточно велика, а время исчезновения тока очень мало, то должна возникнуть очень большая ЭДС самоиндукции, которая будет стремиться поддержать ток в катушке. То есть ток сразу не исчезнет. В течение некоторого времени ЭДС самоиндукции будет создавать ток в контуре, состоящем из катушки и резистора. То есть в течение некоторого времени после размыкания ключа через резистор будет течь ток, а, значит, в нем

10

Ф

I

I0

Ф0

будет выделяться Джоулево тепло. Через некоторое время ток все-таки уменьшится до нуля. Но за это время в резисторе выделится некоторая тепловая энергия. По закону сохранения энергии она должна быть равна начальной энергии магнитного поля катушки индуктивности.

Рассмотрим процесс уменьшения тока в цепи. Пусть в некоторый момент сила тока в контуре равна I. За бесконечно малый промежуток dt в резисторе выделится количество теплоты dQ=I2 Rdt. Но IR - это

напряжение на резисторе и одновременно ЭДС самоиндукции в катушке, то есть

IR=LdIdt

. Значит dQ=LIdI=Ф dI . Так как поток пропорционален силе тока, то

график зависимости потока от силы тока представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат. Количество теплоты, выделившееся в резисторе за некоторое время, будет численно равно соответствующей площади под графиком. Для полного исчезновения тока в цепи эта площадь будет представлять собой площадь треугольника. То есть полное количество теплоты, выделившееся в резисторе после размыкания ключа равно

Q=12

Ф0 I 0, где Ф0=L I 0 - начальный магнитный поток в катушке. Значит, энергия магнитного поля катушки

равна:

W=L I 2

2

Так как магнитное поле идеальной катушки считается однородным, то, разделив энергию катушки на ее объем, получим плотность энергии магнитного поля. Нетрудно получить, что плотность энергии магнитного поля равна:

wB=B2

2 μ0

Для сравнения плотность энергии электрического поля равна:

wE=ε0 E2

2

Электромагнитное поле

Магнитное поле действует на движущиеся заряды. Пусть в некоторой системе отсчета электрический заряд q движется с постоянной скоростью v в однородном магнитном поле с индукцией В. На заряд действует со стороны магнитного поля сила Лоренца F=qvB sin α . Войдем в инерциальную систему отсчета, движущуюся относительно первой с постоянной скоростью v. В этой системе отсчета заряд неподвижен и сила Лоренца должна быть равна нулю. Однако, согласно принципу относительности Галилея, силы, действующие на тело не должны изменяться при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Значит в движущейся системе сила Лоренца должна быть заменена равной ей какой то другой силой.

Можно предположить, что в движущейся системе отсчета появляется электрическое поле с напряженностью E = vBsin, действующее на заряд силой F = qE = qvBsin. Более детальный анализ показывает, что на самом деле это так и есть. Электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом и образуют единое электромагнитное поле. При специальном выборе системы отсчета это электромагнитное поле может оказаться чисто электрическим или чисто магнитным. Однако в других системах отсчета это же поле будет представлять собой совокупность электрического и магнитного полей.

Таким образом видно, что характеристики электромагнитного поля зависят от выбора системы отсчета. А значит должны существовать формулы преобразования полей при переходе от одной системы отсчета к другой.

Пусть имеется неподвижная система отсчета К(x,y,z) и система отсчета К(x,y,z), движущаяся относительно системы К с постоянной скоростью v, направленной вдоль оси Х. Пусть оси Х и Х, Y и Y, Z и Z попарно параллельны. Если в системе К характеристики электромагнитного поля равны: Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz, то в системе К они равны:

11

E x '=Ex ; E y '=E y−v B z

√1− v2

c2

; E z '=E z+v B y

√1− v2

c2

Bx '=Bx ; By '=By+

v

c2E z

√1− v2

c2

;B z '=B z−

v

c2Ey

√1− v2

c2

Здесь с = 3108 мс – скорость света в вакууме. Если относительная скорость значительно меньше скорости света (v << c), то

Ех = Ех; Еy = Ey – vBz; Ez = Ez + vBy; Bx = Bx; By = By; Bz = Bz.

12

1 2

С L

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР

Рассмотрим следующую электрическую схему. В положении ключа 1 конденсатор заряжен. Если переключить ключ в положение 2, то конденсатор начнет разряжаться через катушку. При этом напряжение на конденсаторе в любой момент времени равно ЭДС самоиндукции в катушке, то есть можно записать:

qC=−L

dIdt

, но I=dqdt

. Значитq ' '+ 1LC

q=0

Получилось уравнение гармонических колебаний, циклическая частота которых равна:

ω0=1

√LC.

Смысл получившегося заключается в следующем. После переключения ключа в положение 2, конденсатор начнет разряжаться через катушку. При этом напряжение на конденсаторе начнет постепенно уменьшаться, а ток в катушке увеличиваться. Причем ток в катушке будет увеличиваться пока напряжение на конденсаторе не уменьшится до нуля, так как напряжение на конденсаторе пропорционально скорости изменения тока в катушке. Когда напряжение на конденсаторе станет равно нулю, сила тока в катушке достигнет некоторого максимального значения. Так как ток в катушке не может мгновенно исчезнуть, в следующий момент катушка начнет опять заряжать конденсатор в противоположной полярности. Напряжение на конденсаторе начнет увеличиваться, а сила тока в катушке уменьшаться. К моменту, когда ток в катушке уменьшится до нуля, конденсатор опять зарядится и в следующий момент опять начнет разряжаться через катушку. Процесс начнет повторяться, то есть возникнут колебания. Если элементы цепи идеальные, то возникшие колебания будут незатухающими и гармоническими.

Электрическая цепь, состоящая из идеальных конденсатора и катушки индуктивности называется простейшим колебательным контуром. Если в колебательном контуре происходят гармонические колебания, то зависимость заряда конденсатора от времени можно записать в виде:

q (t )=qm sin(ω0 t+φ0)или q ( t )=qm cos(ω0 t+φ0).

Соответственно зависимость силы тока в катушке от времени будет иметь вид:

I (t )=qm ω0 cos (ω0t+φ0)или I ( t )=−qmω0 sin(ω0t+φ0) .

Здесь, так же как и для механических колебаний, 0 – начальная фаза колебаний; T=2 π /ω0 - период

колебаний; ν=ω0/2 π=1 /T - частота колебаний. Коэффициент перед синусом или косинусом в зависимости некоторой величины от времени представляет собой максимальное значение этой величины. Значит, для колебательного контура существует следующая связь между максимальным значением заряда на конденсаторе и максимальной силой тока в катушке: I m=qm ω0. Период колебаний заряда и тока в идеальном контуре равен:

T=2 π √LC

Эта формула часто называется формулой Томсона.

Пусть в колебательном контуре происходят гармонические колебания. В момент, когда заряд конденсатора, а значит и его энергия максимальны, ток в катушке, а значит и ее энергия равны нулю. Наоборот, в момент максимальности силы тока в катушке, а значит и ее энергии, заряд конденсатора и его энергия равны нулю. В промежуточные моменты времени имеется и энергия конденсатора и энергия катушки, однако сумма энергий катушки и конденсатора всегда постоянна и равна максимальной энергии электрического поля конденсатора или максимальной энергии магнитного поля катушки.

q2

2C+ L I 2

2=

qm2

2C=

L I m2

2

Это есть закон сохранения энергии для колебательного контура.

Затухающие колебания

Свободные незатухающие колебания представляют собой очередную физическую идеализацию. На самом деле все реальные свободные колебания являются затухающими. Это относится как к механическим так и к электромагнитным колебаниям. К затуханию колебаний приводит наличие сил трения и других сил сопротивления в механических колебательных системах, а также наличие электрического сопротивления и неидеальности конденсатора и катушки в колебательных контурах. Все это приводит к потерям энергии и

13

постепенному затуханию колебаний. При этом надо заметить, что о колебаниях имеет смысл говорить, если система за время полного затухания колебаний успевает сделать достаточно большое количество колебаний.

Обычно о затухающих колебаниях говорят в случае так называемого малого затухания. В этом случае время, за которое амплитуда колебаний заметно уменьшается, значительно превышает период колебаний. Или еще можно сказать, что в случае малого затухания энергия, теряемая колебательной системой за один период, мала по сравнению с полной энергией колебаний в пределах данного периода.

Если затухание колебаний в колебательном контуре обусловлено только наличием в контуре небольшого электрического сопротивления, а в механической колебательной системе только наличием небольшой силы вязкого трения (силы сопротивления), то зависимость амплитуды колебаний от времени имеет экспоненциальный характер:

A ( t )=A0 e−γt .

Здесь γ – показатель затухания, для колебательного контура равный γ=R /2 L.

График зависимости амплитуды таких колебаний от времени имеет приблизительно вид, представленный на рисунке. Теоретически амплитуда таких колебаний затухает до нуля за бесконечное время, однако временем затухания называется время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз по сравнению с начальной амплитудой А0. Это время равно τ = 1/γ.

При слабо затухающих колебаниях энергия, теряемая контуром за период колебаний ΔW, значительно меньше полной энергии колебаний: ΔW << W. Можно показать, что тепловая мощность, выделяющаяся в сопротивлении R при

протекании по нему тока, изменяющегося по гармоническому закону, равна 12

I m2 R. Значит, для слабо

затухающих колебаний можно написать: 12

I m2 RT ≪ 1

2L I m

2. Естественно предположив, что для слабо

затухающих колебаний период можно определять по формуле Томсона T=2 π √LC , получаем:

R 2 π √LC≪L или 1R √ L

C≫2π .

Величина

Q= 1R √ L

C

называется добротностью колебательного контура. Следовательно, колебания в колебательном контуре считаются слабо затухающими, если добротность контура значительно больше единицы: Q >> 1.

14

ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

Свободные электромагнитные колебания в реальных колебательных контурах обычно довольно быстро затухают. Для того, чтобы колебания были незатухающими нужен внешний источник энергии для компенсации потерь энергии. Лучше всего для этого организовать вынужденные колебания. Вынужденные электромагнитные колебания в электрических цепях называются переменным током. Однако для этого требуется внешний периодический источник. Простейшим генератором переменного тока является проволочная рамка, вращающаяся во внешнем магнитном поле.

Пусть имеется рамка площадью S, находящаяся в однородном магнитном поле с индукцией В. Если количество витков в рамке равно N, то магнитный поток, пронизывающий рамку равен: Ф=BSN cos α. Если

рамка вращается с постоянной угловой скоростью ω, то угол α изменяется по закону: α=α0+ωt . При этом магнитный поток изменяется и в рамке наводится ЭДС индукции:

ε=−Ф ' (t )=BSNωsin (α 0+ωt)=εm sin(α0+ωt )

Таким образом, в рамке наводится ЭДС индукции, изменяющаяся по гармоническому закону. Максимальное или амплитудное значение этой ЭДС равно: ε m=BSNω.

Реальные промышленные генераторы переменного тока, работающие на электростанциях, конечно, представляют собой гораздо более сложные устройства, однако принцип их работы является именно таким и вырабатываемая ими ЭДС изменяется по гармоническому закону.

Далее будем рассматривать простейшие электрические цепи, подключенные к источнику переменного напряжения U=Um sin ωt или U=Um cosωt . Для начала рассмотрим как ведут себя простейшие элементы (резистор, конденсатор и катушка индуктивности) по отдельности подключенные к источнику переменного тока.

Резистор в цепи переменного тока.

Пусть резистор сопротивлением R подключен к источнику переменного тока. По закону Ома можно

написать: IR=Um sin ωt . Значит I=Um

Rsin ωt=I m sin ωt . То есть ток в резисторе при этом тоже изменяется

по гармоническому закону, причем колебания тока по фазе совпадают с колебаниями напряжения. Тепловая мощность, выделяющаяся при этом в резисторе равна:

N=I 2 R=I m2 R sin2 (ωt )=1

2I m

2 R (1−cos2 ωt )=12

I m2 R−I m

2 R cos2 ωt

Обычно частота изменения тока довольно велика и на практике интерес представляет среднее значение выделяемой мощности. Но среднее значение синуса или косинуса равно нулю. Значит средняя тепловая мощность, выделяющаяся в резисторе, при протекании по нему переменного гармонического тока равна:

N=12

I m2 R

Такая же мощность будет выделяться в том же резисторе, если по нему будет течь постоянный ток силой

I=I m/√2. Пусть через резистор течет переменный ток. При этом и сила тока и напряжение на нем изменяются и в резисторе выделяется какая-то средняя тепловая мощность. Сила постоянного тока или постоянное напряжение, при котором в этом резисторе будет выделяться такая же тепловая мощность, называются действующими или эффективными значениями силы тока и напряжения. Для гармонического переменного тока действующие значения силы тока и напряжения равны:

I д=I m

√2;Uд=

U m

√2

Значит средняя мощность, выделяющаяся в резисторе при протекании по нему переменного тока равна:

N=12

I m2 R=1

2·U m

2

R=I д

2 R=U д

2

R

Конденсатор в цепи переменного тока.

15

Рассмотрим теперь конденсатор, подключенный к источнику переменного напряжения. Пусть конденсатор

емкостью С подключен к источнику напряжения U=Um sin ωt . При этом можно написать: qC=U msin ωt

или q (t )=C Um sin ωt . То есть заряд конденсатора постоянно изменяется, а значит по проводам, подключенным к пластинам конденсатора, течет ток. При этом говорят, что через конденсатор течет переменный ток (хотя надо иметь в виду, что фактически заряды с одной пластины конденсатора на другую не переходят). Сила тока при этом изменяется по закону:

I ( t )=q ' (t )=C Um ωcos ωt=C U mω sin(ωt+π /2)

Значит сила тока, который течет через конденсатор, тоже изменяется по гармоническому закону, причем по фазе изменение силы тока опережает изменение напряжения на конденсаторе на π/2.

Амплитуда изменения силы тока равна I m=C U m ω. Если ввести обозначение: XC=1/ωC, то

получается I m=Um

XC

- выражение очень похожее на закон Ома. Поэтому величина

XC=1

ωC

называется емкостным сопротивлением. Мощность, выделяющаяся в конденсаторе равна:

N=UI=U msin ωt ·U mCω cos ωt=12

·Um

2

XC

cos2ωt

Так как среднее значение синуса равно нулю, то на емкостном сопротивлении в цепи переменного тока в среднем мощность не выделяется.

Катушка индуктивности в цепи переменного тока.

Рассмотрим теперь катушку индуктивности, подключенную к источнику переменного напряжения. Пусть катушка с индуктивностью L подключена к источнику переменного напряжения U=Um sin ωt . При этом

можно написать: Um sin ωt−LdIdt

=0 или I ' ( t )=Um

Lsin ωt. После интегрирования получаем зависимость

силы тока в катушке от времени:

I ( t )=−Um

ωLcosωt=

Um

ωLsin(ωt−π /2)

Значит сила тока, текущего через катушку, тоже изменяется по гармоническому закону, причем изменение силы тока отстает от изменения напряжения на π/2.

Амплитуда силы тока равна I m=Um

ωL. Если ввести обозначение X L=ωL, то получается I m=

Um

X L

-

выражение сильно похожее на закон Ома. Поэтому величина

X L=ωL

называется индуктивным сопротивлением. Мощность, выделяющаяся в катушке, равна:

N=UI=U msin ωt ·Um

ωLcosωt=1

2·

Um2

X L

sin 2 ωt

То есть средняя мощность, выделяющаяся на индуктивном сопротивлении в цепи переменного тока тоже равна нулю.

Обычное сопротивление цепи, в котором выделяется тепловая мощность, называют активным сопротивлением, а емкостное и индуктивное сопротивления называют реактивным сопротивлением цепи.

Векторные диаграммы. Полное сопротивление цепи

Перейдем теперь к рассмотрению цепей, состоящих из нескольких элементов. Непосредственный аналитический расчет цепей в переменном токе очень сложен. Это связано с тем, что сила тока и напряжение в

16

А1

А2 А0

φ

Ось тока

UR

UL

UC

UL-UCφ

каждом элементе изменяется со сдвигом по фазе относительно других элементов и непосредственный расчет суммарного тока или суммарного напряжения является при этом чрезвычайно громоздким. Однако существует метод, называемый методом векторных диаграмм, который сводит расчет таких цепей к векторному сложению амплитуд.

Каждому из складываемых колебаний на плоскости рисуется соответствующий ему вектор. Амплитуда колебаний задается модулем вектора, а фаза колебания задается ориентацией вектора. Суммарное колебание при этом соответствует векторной сумме этих векторов. Рассмотрим для примера такой простой пример. Пусть требуется сложить два колебания: x1(t)=A1sin ωt и x2 ( t )=A2sin(ωt+φ). Суммарная зависимость

x (t )=x1 (t )+x2 (t )=A1sin ωt+A2sin (ωt+φ). Пусть для простоты А1 = А2 = А. Тогда

x (t )=2 A cosφ2

·sin (ωt+ φ2 ). Получившаяся зависимость представляет гармонические колебания с

амплитудой A0=2 A cosφ2

, частотой ω и начальной фазой φ/2.

Нарисуем из одной точки на плоскости два вектора. Один из них модулем А1 направим горизонтально, а второй модулем А2 – под углом φ к первому. Сложим их. Получится вектор А0. Если модули складываемых векторов равны: А1 = А2 = А, то легко видеть, что модуль суммарного вектора будет равен

A0=2 A cosφ2

, а угол между вектором А0 и вектором А1 равен φ/2. То есть

получился вектор, соответствующий суммарному колебанию. Таким образом, можно векторно сложить и большее число колебаний. При этом процедура сложения векторов гораздо менее трудоемкая, чем процедура сложения тригонометрических функций.

При этом следует заметить, что методом векторных диаграмм можно складывать только колебания одинаковой частоты.

Итак, для того чтобы сложить несколько колебаний методом векторных диаграмм, надо сначала выбрать направление отсчета – ось, относительно которой мы будем отсчитывать направления векторов. Запишем все складываемые колебания через одну и ту же тригонометрическую функцию (синус или косинус). Из одной точки на этой оси отложим вектора, соответствующие складываемым колебаниям. При этом угол между данным вектором и осью отсчета равен начальной фазе данного колебания. Сложим все вектора. Модуль получившегося вектора равен амплитуде суммарного колебания, а угол между ним и осью отсчета равен его начальной фазе.

Рассмотрим применение этого метода на примере цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Пусть такая цепь подключена к источнику переменного напряжения. Так как элементы цепи соединены последовательно, то сила тока во всех элементах в любой момент времени одинакова. Поэтому при последовательном соединении сила тока во всех элементах цепи изменяется в одинаковой фазе. А вот общее напряжение при последовательном соединении равно сумме напряжений на отдельных элементах цепи. При этом напряжение во всех элементах изменяется в разных фазах. Будем складывать такие напряжения как вектора, направленные в разные стороны, то есть построим векторную диаграмму напряжений. Для этого сначала выберем фиксированное направление, которое назовем осью тока. Выберем на оси тока точку, из которой будем откладывать вектора напряжений. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с силой тока. Поэтому вектор напряжения на резисторе на нашей диаграмме совпадает по направлению с осью тока. Сила тока в катушке отстает по фаза от напряжения на π/2, а значит напряжение опережает силу тока на π/2. Значит вектор напряжения на катушке на нашей диаграмме будет направлен к оси тока под углом 90º вверх. Аналогично, напряжение на конденсаторе отстает от силы тока на π/2, а значит вектор напряжения на конденсаторе на диаграмме направлен под углом 90º вниз относительно оси тока. Вектор общего напряжения равен сумме этих трех векторов напряжения:

U=√U R2+(U L−U C)

2. Но напряжение на каждом элементе равно произведению одинаковой во всех

элементах силы тока на сопротивление этого элемента. Значит

U=√(IR)2+(I X L−I XC )2=I √R2+(XL−XC )

2. Обозначим

Z=√R2+(X L−XC)2=√R2+(ωL− 1

ωC )2

17

Ось напряжения

IRIL

IC

I

φ

Тогда получается U=ZI - закон Ома для данной цепи, а величина Z называется полным сопротивлением цепи или импедансем.

Сила тока в цепи и полное напряжение изменяются в разных фазах. Если зависимость силы тока запишем в виде: I ( t )=I m sin ωt , то зависимость общего напряжения от времени надо написать в виде:

U (t )=Um sin(ωt+φ), где φ – разность фаз между силой тока и напряжением можно также найти из векторной диаграммы:

φ=arctg (UL−UC

U R)=arctg (ωL− 1

ωCR )

Сила тока в цепи равна:

I= U

√R2+(ωL− 1ωC )

2

То есть сила тока зависит от частоты источника. При некоторой частоте сила тока становится максимальной. Это происходит когда выражение в скобках обращается в ноль, то есть при частоте

ω0=1/√LC. При этом I max=U /R. Эта частота совпадает с частотой собственных свободных колебаний идеального LC – контура. Колебания силы тока и напряжения в цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности и подключенных к источнику переменного напряжения, представляют собой вынужденные колебания в колебательном контуре. При этом получается, что амплитуда вынужденных колебаний тока в цепи резко возрастает, если частота колебаний источника напряжения приближается к частоте собственных колебаний цепи. То есть здесь мы имеем дело с резонансом вынужденных колебаний.

Рассмотрим теперь цепь, состоящую из параллельно соединенных резистора сопротивлением R, конденсатора емкостью С и катушки индуктивности L, подключенную к источнику переменного напряжения с частотой ω. При параллельном соединении напряжение на всех элементах в любой момент времени одинаково. Значит напряжение на всех элементах в данной цепи изменяется в одинаковых фазах. А вот сила тока при параллельном соединении складывается. Поэтому и мы будем складывать силу тока, но векторно, так как сила тока во всех элементах изменяется в разных фазах.

Выберем направление отсчета. В качестве этого направления можно принять направление вектора единого напряжения в цепи. Сила тока в активном сопротивлении совпадет по фазе с напряжением, в конденсаторе опережает на π/2, а в катушке отстает на π/2 от напряжения. Вектор общей силы тока равен векторной сумме этих трех векторов:

I 2=I R2+( IC−I L)

2=(UR )

2

+(UωC− UωL )

2

=U 2[ 1R2+(ωC− 1

ωL )2]

Если обозначить:

1Z=√ 1

R2+(ωC− 1

ωL )2

,

то получается: I=U /Z - закон Ома для данной цепи. Величина Z называется полным сопротивлением данной цепи. Сила тока и напряжение в данной цепи изменяются в разных фазах. При этом если зависимость напряжения от времени записывается в виде: U=Um sin ωt , то зависимость силы тока от времени следует

записать в виде: I=I m sin(ωt+φ), где φ – разность фаз между силой тока и напряжением, которую также можно определить из векторной диаграммы:

φ=arctg ( I C−I L

I R)=arctg (ωC− 1

ωL1R

)

18

Следует особо обратить внимание на то, что закон Ома в цепи переменного тока можно записывать только для амплитудных значений силы тока и напряжения, либо только для их действующих значений. Так как сила тока и напряжение в таких цепях, как правило, изменяются в разных фазах, то мгновенные их значения никак друг с другом не связаны и для них писать закон Ома не имеет смысла.

Пусть напряжение в цепи переменного тока изменяется по закону U=Um sin ωt , а сила тока изменяется

по закону I=I m sin(ωt+φ). Мощность, выделяющаяся в цепи, равна:

N=UI=U msin ωt · I m cos (ωt+φ )=U m I m sin ωt (sin ωt ·cosφ+cosωt ·sin φ )=¿=Um I m (cosφ · sin2 ωt+sin φ ·sin ωt · cosωt )=12

[cosω (1−cos2ωt )+sin ω·sin 2ωt ]=¿¿12

U m I m cosφ−12

Um Im cos φ ·cos 2ωt+12

U m I m sin φ ·sin 2 ωt ¿

¿Так как среднее значение синуса и косинуса равны нулю, то средняя мощность, выделяющаяся в цепи

переменного тока равна:

N=12

U m I m cosφ=U д I д cosφ

Трансформатор

Пусть электроэнергия передается на некоторое расстояние посредством линии электропередачи. Если мощность, отдаваемая в линию равна N, то N=UI cosφ, где U и I – действующие значения напряжения и силы тока на входе в линию, φ – разность фаз между силой тока и напряжением. Если r - сопротивление линии передачи, то мощность, теряемая на проводах, равна

N1=I 2 r= N2 rU 2cos2 φ

Для уменьшения потерь следует добиваться уменьшения сдвига фаз между током и напряжением в нагрузке, уменьшения сопротивления линии и увеличения напряжения на входе в линию. Причем последний путь является наиболее действенным, так как напряжение входит в эту формулу в квадрате, а сопротивление проводов существенно уменьшить нельзя, пока не будут созданы сверхпроводящие провода. Роль параметра cos φ является существенной, если нагрузка почти полностью реактивная, то есть когда разность фаз между током и напряжением в нагрузке близка к π/2. Однако, подключив параллельно индуктивной нагрузке дополнительную емкость легко можно уменьшить φ, не теряя мощности на нагрузке.

Итак, в настоящее время самым действенным средством уменьшения потерь в линии передачи является повышение напряжения. Для повышения напряжения на электростанциях и для его уменьшения у потребителя применяются трансформаторы. Принципиально трансформатор представляет собой замкнутый сердечник из магнито-мягкого материала, на который навиты две катушки. Одна из катушек, называемая первичной, подключается к источнику переменного напряжения. Вторая катушка, называемая вторичной, подключается к нагрузке.

Рассмотрим сначала так называемый режим холостого хода трансформатора, то есть когда вторичная обмотка к нагрузке не подключена. При этом первичная обмотка представляет собой просто катушку индуктивности. Сердечник трансформатора обычно делают из материала с очень большой магнитной проницаемостью. Поэтому индуктивное сопротивление катушки намного превышает ее активное сопротивление. Переменный ток, протекающий в первичной катушке, создает переменное магнитное поле, которое полностью концентрируется внутри сердечника и проходит через вторичную катушку. При этом и в первичной и во вторичной катушках наводится ЭДС индукции. Так как магнитный поток один и тот же, то в каждом витке обеих катушек наводится одинаковая ЭДС индукции. Поэтому отношение ЭДС индукции в катушках равно отношению количества витков в них:

ε1

ε2

=n1

n2

Так как во вторичной цепи тока нет, то ЭДС индукции в ней равно напряжению на ее клеммах. ЭДС индукции на первичной катушке равно напряжению на ее индуктивном сопротивлении. Если индуктивное сопротивление первичной катушки намного превышает ее активное сопротивление, то ЭДС индукции в ней примерно равно напряжению на ней. Значит можно записать:

k=U 1

U 2

≈n1

n2

19

Отношение напряжений в первичной и вторичной обмотках трансформатора называется коэффициентом трансформации. Если k < 1, то напряжение во вторичной обмотке больше напряжения в первичной и трансформатор называется повышающим. Если k > 1, то напряжение во вторичной обмотке меньше напряжения в первичной и трансформатор называется понижающим. Для повышающего трансформатора количество витков во вторичной обмотке больше, чем в первичной (n2 > n1), а для понижающего трансформатора наоборот (n2 < n1).

При подключении вторичной обмотки к некоторой нагрузке во вторичной обмотке возникает ток, который создает свое магнитное поле, которое, согласно правилу Ленца, направлено противоположно магнитному полю первичной обмотки. Это приводит к уменьшению магнитного потока. Значит подключение вторичной обмотки к нагрузке эквивалентно уменьшению индуктивности первичной катушки и ее индуктивного сопротивления. При этом сила тока в первичной обмотке увеличивается, а разность фаз между током и напряжением в ней уменьшается. Это приводит к увеличению потребляемой мощности.

Таким образом, если в режиме холостого хода трансформатор представляет собой почти индуктивное сопротивление и потребляет очень маленькую мощность, то по мере увеличения тока во вторичной обмотке трансформатор становится все более похож на активное сопротивление.

Если потери энергии в самом трансформаторе малы, то потребляемая трансформатором мощность почти полностью передается во вторичную цепь. Значит можно написать:

U 1 I1 cosφ1=U 2 I 2 cosφ2

Реально в трансформаторах всегда есть потери энергии, однако в современных трансформаторах они очень малы. КПД трансформаторов очень высок и достигает 95 - 99%. Кроме того, если трансформатор работает в расчетном режиме, то разность фаз между током и напряжением в обеих обмотках близка к нулю, а значит U 1 I1 ≈ U 2 I 2.

20

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

Представим себе два шарика, связанные пружиной и находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности. Если один из шариков сдвинуть с места в направлении вдоль пружины, то второй шарик тоже придет в движение. Если один из шариков привести в колебательное движение, то второй шарик тоже начнет колебаться. Причем в режиме установившихся колебаний вынужденные колебания второго шарика будут происходить с частотой колебаний первого шарика, но по фазе колебания второго шарика будут отставать от колебаний первого. Связано это с тем, что второй шарик начинает двигаться под действием силы упругости пружины, а для появления силы упругости необходимо, чтобы первый шарик сместился от своего прежнего положения. То есть второй шарик начинает двигаться после того как первый шарик уже заметно сместился. Значит движение второго шарика будет всегда несколько отставать от движения первого.

Пусть теперь имеется полубесконечная цепочка из одинаковых шариков, соединенных друг с другом одинаковыми пружинками. Если крайний шарик отклонить от положения равновесия, то вслед за ним начнет двигаться второй шарик, а вслед за вторым начнет двигаться третий и так далее. В конечном итоге придут в движение все шарики. Причем движение каждого следующего шарика будет несколько отставать от движения предыдущего. То есть вдоль цепочки начнет распространяться единичная волна возмущения. Если же крайний шарик привести в непрерывное колебательное движение, то вдоль цепочки будет распространяться непрерывная волна.

Таким образом волна представляет собой колебания точек непрерывной среды, распространяющиеся вдоль среды. Механические волны распространяются вдоль среды с некоторой скоростью, которая определяется упругими и инерционными свойствами среды. Различают два типа волн: продольные и поперечные. В продольной волне направление колебаний точек среды совпадает с направлением распространения волны. В поперечной волне точки среды совершают колебания в направлении перпендикулярном направлению распространения волны. Продольные волны обусловлены деформациями растяжения – сжатия и могут существовать в твердых, жидких и газообразных средах. Поперечные волны в непрерывной среде обусловлены деформациями сдвига и могут существовать только в твердых телах.

Наиболее наглядно рассматривать поперечную волну, распространяющуюся в полубесконечной натянутой струне. Если конец струны привести с гармоническое колебательное движение с частотой ω и амплитудой А, то колебательное движение будет распространяться вдоль струны и в отсутствии затухания любая точка струны будет повторять колебания конца с некоторым отставанием по фазе. Пусть конец струны совершает колебания по закону: x (t )=A cosωt . Если скорость распространения волны по струне равна v, то точка струны, находящаяся на расстоянии z от конца будет совершать колебания по закону:

x (t , z )=A cos [ω (t− zv )]

Записанное выражение называется уравнением монохроматической волны.

Распространение волны сопровождается переносом энергии и импульса, но никакого переноса массы при этом не происходит. Каждая точка среды совершает колебания вблизи своего положения равновесия и в среднем никуда не движется.

Если в уравнении волны зафиксировать положение z, то получится зависимость координаты х от времени для данной точки струны: x (t )=A cos(ωt+φ), то есть уравнение гармонических колебаний с начальной

фазой φ=−ωz /v. Если в уравнении волны зафиксировать момент времени t, то получим картину смещений точек струны в один и тот же момент времени, то есть как бы мгновенную фотографию струны. На этой «фотографии» мы увидим синусоиду. Период этой синусоиды, то есть расстояние между двумя соседними «горбами» или «впадинами», называется длиной волны λ. С другой стороны, длиной волны называется минимальное расстояние между точками среды, совершающими колебания с разностью фаз 2π рад. Из уравнения волны легко получить связь между длиной волны, скоростью волны и периодом (частотой) колебаний точек среды.

λ=vT = vν

Длиной волны можно также назвать расстояние, проходимое волной за время одного периода колебаний.

21

Уравнение волны часто записывается в другом виде:

x (t , z )=A cos(ωt−kz )

где величина k=2 π / λ называется волновым числом.

Сложение волн. Интерференция.

При одновременном распространении в среде нескольких волн смещение частиц среды в каждый момент времени представляет собой векторную сумму смещений, которые были бы в этот момент при распространении каждой волны в отдельности. То есть волны от разных источников проходят друг сквозь друга, не искажаясь. Это справедливо для волн не очень большой интенсивности и носит название принципа суперпозиции для волнового движения.

Особый интерес представляет случай сложения так называемых когерентных волн, то есть волн имеющих одинаковую частоту и постоянную разность фаз. При сложении таких волн наблюдается явление интерференции, то есть возникает устойчивая интерференционная картина, заключающаяся в том, что в каждой точке среды колебания происходят с постоянной, не зависящей от времени, амплитудой. Разные точки среды при этом совершают колебания с разной амплитудой.

Пусть в некоторую точку среды приходят колебания от двух волн, имеющих в данной точке вид:

x1 ( t )=A1cos (ωt+φ1)и x2 (t )=A2 cos(ωt+φ2)

Результирующее колебание этой точки среды будет иметь вид:

x (t )=x1 ( t )+x2 (t )=A cos(ωt+φ)

Где амплитуда и начальная фаза равны:

A2=A12+A2

2+2 A1 A2 cos (φ1−φ2); tgφ=A1sin φ1+A2sin φ2

A1 cosφ1+A2cos φ2

Так, например, если амплитуды складываемых колебаний одинаковы, то при разности фаз φ 1 – φ2 = π + 2πn, n = 0, 1, 2, … (складываемые колебания приходят в противовофазе) суммарная амплитуда будет равна нулю. Если же колебания приходят с разностью фаз φ1 – φ2 = 2πn, то суммарная амплитуда равна 2А.

Пусть в некоторую точку Р приходят волна от двух точечных когерентных источников, находящихся на расстоянии d друг от друга. Пусть источники совершают колебания одинаковой амплитуды А и в одинаковых фазах. Если расстояния от точки Р до источников l1 и l2 много больше расстояния между источниками, то амплитуды колебаний, приходящие в точку Р практически одинаковые. Результат интерференции будет зависеть от разности фаз, приходящих в точку Р волн. Суммарная амплитуда колебаний точки Р будет определяться разностью хода Δl=l2−l1 и равна:

A0=2 A cos ( kΔl2 )

Если волны приходят с разностью фаз Δφ = 2πn, то разность хода волн равна Δl = λn, то есть целому числу длин волн. В этом случае результатом интерференции является максимум, а амплитуда колебаний равна 2А.

Если волны приходят с разностью фаз Δφ = π + 2πn, то разность хода волн равна Δl= λ2

(2 n+1 ), то есть

нечетному числу полуволн. В этом случае результатом интерференции является минимум, а амплитуда колебаний равна нулю. Во всех промежуточных случаях амплитуда колебаний будет принимать значение от 0 до 2А. Значит, все точки среды будут совершать колебания с определенными, но разными амплитудами. Будет вполне определенный набор точек, совершающих колебания с максимальными амплитудами и набор точек, совершающих колебания с минимальными или даже нулевыми амплитудами. То есть в одних точках колебания будут усиливать, а в других - гасить друг друга. Такое устойчивое распределение амплитуды колебаний в пространстве называется интерференционной картиной. При этом гашение колебаний в одних точках не означает, что энергия колебаний в этих точках теряется, то есть превращается в теплоту. Просто энергия колебаний перераспределяется в пространстве: из тех точек, в которых колебания гасятся, переходит в точки, в которых колебания усиливаются.

Стоячие волны.

22

Интересный случай интерференции получается, когда две одинаковые волны распространяются строго навстречу друг другу. При этом совершенно необязательно иметь два одинаковых источника волн. Такой случай получается, если плоская волна падает перпендикулярно на плоскую поверхность, от которой она отражается без потери энергии. Аналогичный случай получается при отражении волны, распространяющейся в струне, от закрепленного или свободного конца струны. При равенстве амплитуд падающей и отраженной волн в результате интерференции получается так называемая стоячая волна. Так как стоячая волна является интерференционной картиной, то каждая точка среды совершает колебания с определенной, не зависящей от времени, амплитудой.

Пусть в среде навстречу друг другу распространяются падающая и отраженная волны с одинаковой

амплитудой А. Пусть уравнение падающей волны имеет вид: x1 ( t , z )=A cos [ω ( t−z /v ) ], а отраженной:

x2 ( t , z )=A cos [ω ( t+ z /v ) ]. Сложение этих двух волн приводит к следующему результату:

x (t , z )=x1+x2=2 A cos (ωzv ) ∙cos ωt

Получается, что каждая точка среды совершает колебания с частотой ω и амплитудой, зависимость которой от координаты z имеет вид:

A ( z )=2 A|sin(ωzv )|

Точки, амплитуда колебаний в которых равна 2А, называются пучностями, а точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю, называются узлами. Расстояние между двумя соседними пучностями или между двумя соседними узлами равно половине длины волны складываемых волн.

Результат отражения волны зависит от характеристик поверхности отражения, а точнее от соотношения плотностей сред, которые разделяются поверхностью отражения. При отражении волны, бегущей по струне, это сводится к тому от свободного или закрепленного конца отражается волна. Колебания любой точки струны есть результат сложения падающей и отраженной волн. Поэтому, если конец струны закреплен, то на конце падающая и отраженная волны должны гасить друг друга, то есть при отражении от закрепленного конца фаза отраженной волны увеличивается на π. Наоборот, при отражении от свободного конца волны должны на свободном конце складываться, то есть волна от свободного конца отражается без изменения фазы. В общем случае: если волна отражается от границы с более плотной средой, то фаза отраженной волны на π больше фазы падающей, а при отражении от границы с менее плотной средой фаза отраженной волны равна фазе падающей.

Принцип Гюйгенса. Дифракция волн.

Наглядное представление о распространении волн в непрерывной среде дает картина волновых поверхностей. Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, в любой момент времени совершающих колебания в одинаковой фазе. Для плоской волны волновые поверхности представляют собой плоские поверхности. Для сферической волны от точечного источника волновые поверхности представляют собой концентрические сферы, центр которых совпадает с источником. Волновая поверхность в любой точке перпендикулярна направлению скорости распространения волны. Волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых в данный момент времени дошла волна. Другими словами, волновой фронт – это самая первая волновая поверхность.

Основным волновым принципом, позволяющим строить волновые поверхности, является принцип Гюйгенса. Гюйгенс предположил, что каждая точка волнового фронта, до которой дошла волна, становится источником вторичных сферических волн. Огибающая вторичных волн дает новый волновой фронт. Окончательное обоснование принципа Гюйгенса было впоследствии дано Френелем на основе учета интерференции вторичных волн. С помощью принципа Гюйгенса легко можно получить законы отражения и преломления на плоской поверхности раздела.

Применение принципа Гюйгенса к распространению волн в среде при наличии преград позволяет качественно объяснить явление дифракции – огибание волной препятствия и проникновение волны в область геометрической тени. Пусть, например, плоская волна падает на плоское препятствие конечных размеров. На рисунке показано как согласно принципу Гюйгенса строятся волновые поверхности за препятствием. Видно, что волны, действительно, огибают препятствие и проникают в область тени. Однако, как показывают расчеты, если размеры препятствия значительно превосходят длину волны, то интенсивность волн за препятствием пренебрежимо мала и можно считать, что за препятствием наблюдается четкая тень. Если размер

23

препятствия уменьшается, то интенсивность волны за препятствием возрастает и эффект огибания волной препятствия становится все более выраженным. Когда размер препятствия становится сравним с длиной волны, то волна довольно быстро восстанавливается за препятствием. Если же размер препятствия меньше длины волны, то волна практически не замечает его. Аналогичные эффекты наблюдаются в случае падения волны на стенку с отверстием.

Эффект Допплера.

В случае, если источник волн или наблюдатель движутся, то характеристики воспринимаемой наблюдателем волны зависят от скорости источника и наблюдателя. Зависимость длины волны и частоты волны от скорости движения источника и наблюдателя называется эффектом Доплера.

Рассмотрим, что получается, если источник волн движется. Пусть точечный источник сферических волн движется прямолинейно с постоянной скоростью v. Пусть скорость распространения волн равна u. Здесь возможны два качественно различных случая: если v < u или v > u. В каждой точке своего нахождения источник излучает сферическую волну, фронт которой представляет собой расширяющуюся со скоростью u сферу. Так как скорость источника меньше скорости расширения сфер, то все сферы оказываются вложенными друг в друга, а их центры находятся в точках где находился источник в момент излучения соответствующей волны. Из рисунка видно, что в направлении движения источника длина волны уменьшается, а в противоположном направлении – увеличивается. Пусть в некоторый момент движущийся источник начал излучать волну. За некоторое время t фронт волны прошел расстояние L = ut, а источник прошел расстояние l = vt. Если длина волны от неподвижного источника равна λ0, а за время t источник сделал n колебаний, то L = λ0n. Расстояние от источника до фронта волны в направлении движения источника равно L – l. Если длина волны в направлении движения источника равна λ, то L – l = λn. Отсюда получаем:

λ=λ0(1− lL )=λ0(1− v

u )Частота волны в направлении движения источника равна:

ν=ν0

1− vu

В направлении противоположном скорости движения источника длина волны увеличивается, а частота уменьшается. Это следует из этих же зависимостей после замены знака перед скоростью v на противоположный.

Особенно интересен случай, когда скорость движения источника больше скорости распространения волн в среде. В этом случае источник опережает фронты созданных им самим волн. Как видно из рисунка, огибающая фронтов волн представляет собой конус, ось которого совпадает с направлением движения источника, вершина совпадает с положением источника в данный момент времени, а угол полураствора конуса определяется соотношением:

sin φ=uv

Такой фронт волны получил название конуса Маха.

Если источник неподвижен, а движется наблюдатель, то частота и длина волны тоже изменяются. Если наблюдатель приближается к источнику со скоростью v, то:

ν=ν0(1+ vu ); λ=

λ0

1+ vu

24

Случай когда наблюдатель удаляется от источника описывается этими же соотношениями с заменой знака перед скоростью v на противоположный. Если наблюдатель удаляется от источника со сверхзвуковой скоростью, то он догоняет волны, испущенные раньше и видит их в обратной последовательности.

Звук

Звук представляет собой механические волны в упругой среде. Чаще всего под звуком понимают механические волны, распространяющиеся в воздухе. Однако звуковыми называются только волны, которые воспринимаются человеческим ухом. Это волны имеют частоту в диапазоне от 16 Гц до 20000 Гц. Волны, имеющие частоту меньшую 16 Гц называются инфразвуковыми, а волны с частотой большей 20000 Гц называются ультразвуковыми. Инфра- и ультразвуковые волны не воспринимаются человеком как звук, но они тоже оказывают воздействие на организм.

Звуковые волны, в основном не являются гармоническими, так как большинство источников звука не гармонические. Однако любое негармоническое колебание можно разложить в ряд на отдельные гармонические колебания, то есть представить как смесь ряда гармонических колебаний. Такая процедура называется разложением звука в спектр. Если в звуковом спектре присутствует набор из всех колебаний, находящихся в некотором интервале частот, то спектр называется сплошным, а такой звук называется шумом. Если в звуковом спектре присутствует конечный набор гармонических составляющих, то такой спектр называется линейчатым, а такой звук называется тональным.

У тонального звука имеется основная (наименьшая) частота. Эта основная частота определяет высоту тона звука. Более высокие частоты в звуковом спектре называются обертонами. Набор обертонов придает звуку специфическую звуковую окраску, которая называется тембром. Например одна и та же мелодия, сыгранная, например, на флейте и на фортепиано содержит один и тот же набор основных частот, однако на слух мы легко замечаем разницу. Связано это с тем, что одна и та же нота, сыгранная на разных инструментах, имеет одинаковую высоту тона, но разный набор обертонов, то есть разный тембр.

Еще одной характеристикой звука является громкость. Под громкостью понимают величину субъективного ощущения человеческим ухом интенсивности звуковой волны. Если под интенсивностью понимать поток энергии, переносимый звуковой волной, то уровень ощущения громкости и интенсивность волны непропорциональны. При возрастании интенсивности звука в геометрической прогрессии громкость звука возрастает приблизительно в арифметической прогрессии. На основании этого уровень громкости определяется через логарифм отношения интенсивности звука I к пороговой интенсивности I0:

L=10 lg( II0)

Пороговой интенсивностью называется минимальная интенсивность звука, воспринимаемая человеческим ухом. Для среднего человеческого уха она равна 10-12 Вт/м2. Единица уровня громкости, определенная таким образом называется децибелом (дБ). Диапазон громкости изменяется от 0 дБ для пороговой интенсивности до 130 дБ. Эта величина считается болевым порогом для среднего человеческого уха. Шум двигателя реактивного самолета на взлете примерно соответствует этой величине.

Так как звук – механическая волна в упругой среде, то скорость звука зависит от инерционных и упругих свойств среды. При этом скорость звука в различных средах сильно отличается. В газах скорость звука наименьшая, а в жидкостях и твердых телах, как правило, больше. Скорость звука в газах равна:

v=√γPρ

где Р и ρ – давление и плотность газа, а γ=cP/cV - показатель адиабаты газа.

Скорость звука в сухом воздухе при температуре 10 ºС равна 337,5 м/с. Зависимость скорости звука в воздухе от температуры с хорошей точностью дает формула:

v=331,6+0,6 t , м /с

25

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

При изучении темы магнитное поле и электромагнитная индукция мы говорили о том, что переменное магнитное поле создает электрическое поле. Причем созданное при этом электрическое поле имеет вихревую природу и в свою очередь чаще всего тоже является переменным. Экспериментальным обоснованием этого факта явились опыты Фарадея, проведенные в первой половине XIX века.

Джеймс Максвелл предположил, что между электрическим и магнитным полями должна существовать полная аналогия. В частности, переменное электрическое должно приводить к возникновению магнитного поля. Опираясь на свое предположение, Максвелл записал свои знаменитые уравнения электромагнитного поля, из которых следует вся классическая электродинамика. Одним из следствий уравнений Максвелла возникло предположение о существовании электромагнитных волн. Экспериментальное подтверждение существования электромагнитных волн было получено после смерти Максвелла.

Волновое уравнение для электромагнитного поля непосредственно получается из уравнений Максвелла. Однако к этой идее можно подойти и на базе логических рассуждений. Пусть мы создали переменное электрическое поле, например, заставив точечный электрический заряд двигаться по окружности. Согласно гипотезе Максвелла, переменное электрическое поле создаст магнитное поле, которое тоже окажется переменным, а значит, в свою очередь, создаст индукционное электрическое поле. Это электрическое поле тоже окажется переменным и создаст магнитное поле и так далее. Таким образом, единожды возникнув в какой либо области пространства, переменное электромагнитное поле начнет изменять электромагнитное поле в соседних областях и так далее, то есть изменение электромагнитного поля начнет распространяться, захватывая все новые и новые области пространства. Распространение изменения электромагнитного поля и есть электромагнитная волна.

Электрическое и магнитное поля не имеют пространственных границ, то есть занимают все доступное им пространство. Однако, как следует из уравнений Максвелла, изменения этих полей распространяются в пространстве с вполне определенной конечной скоростью. А именно, скорость распространения электромагнитных волн в общем случае равна:

v= 1

√ε ε0 µ µ0

Здесь ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, а ε0 и μ0 – электрическая и магнитная постоянные. Для вакуума ε = μ = 1. Скорость электромагнитных волн в вакууме является одной из самых фундаментальных физических постоянных. Она традиционно обозначается с и равна:

c= 1

√ε0 µ0

Ее численное значение равно с = 2,99792458·108 м/с ≈ 3·108 м/с.

Электромагнитная волна – поперечная волна. Электромагнитное поле характеризуется двумя векторными величинами: напряженностью электрического поля Е и индукцией магнитного поля В. Так вот при распространении электромагнитной волны направление вектора скорости волны всегда перпендикулярно как вектору напряженности Е, так и вектору индукции В. Кроме того, в электромагнитной волне вектора Е и В также всегда взаимно перпендикулярны. То есть вектора v, Е и В в электромагнитной волне всегда образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов.

Однако между электрическим и магнитным полями в электромагнитной волне существует и количественная связь, а именно, максимальная плотность энергии электрического и магнитного полей одинаковая:

12

ε ε 0 E02=

B02

2 µµ0

откуда следует связь между максимальными значениями напряженности электрического и индукции магнитного полей: E0=v B0, или для вакуума E0=c B0.

Вычислив скорость распространения электромагнитных волн в вакууме, Максвелл сразу же обратил внимание на ее совпадение с уже хорошо измеренной к тому времени скоростью света. Это дало основание предположить, что свет – есть электромагнитная волна.

Электромагнитная волна, как и любая волна, переносит энергию. Интенсивностью волны называется поверхностная плотность потока энергии излучения, то есть энергия, переносимая волной через площадку

26

единичной площади перпендикулярную направлению распространения волны за единицу времени. Для вакуума интенсивность электромагнитной волны равна:

I=12

c ε0 E02=

c B02

2 µ0

Электромагнитная волна также переносит импульс и, как следствие этого, оказывает давление при падении на поверхность. Впервые экспериментально давление света было продемонстрировано в 1900 г. П. Н. Лебедевым. При перпендикулярном падении и полном поглощении давление электромагнитной волна на поверхность равно P=I /c . Если волна полностью отражается поверхностью, то ее давление на поверхность вдвое больше. В обычных условиях световое давление довольно мало. Так, например, давление солнечного света на поверхность Земли составляет примерно 0,5·10-5 Па, что более чем в 1010 раз меньше атмосферного давления.

Экспериментальное открытие электромагнитных волн

Первые эксперименты с несветовыми электромагнитными волнами были проведены Герцем в 1888 году. Для получение волн Герц использовал изобретенный им вибратор, состоящий из двух металлических стержней, разделенных искровым промежутком. При подаче на стержни высокого напряжения в искровом промежутке проскакивала искра. Искра закорачивала промежуток и в вибраторе возникали затухающие колебания. При этом порождалась электромагнитная волна, длина волны которой приблизительно в два раза превышала длину вибратора. На некотором расстоянии от первого вибратора Герц помещал такой же второй вибратор с закороченными стержнями. Под действием волны в нем возникали колебания. Поскольку второй вибратор был настроен в резонанс с первым, то колебания в нем достигали такой интенсивности, что между его стержнями тоже проскакивала искра. Это сигнализировало о том, что электромагнитная волна дошла от первого вибратора до второго. Герц провел большую серию экспериментов, показав, что электромагнитные волны действительно являются поперечными и подчиняются таким же законам отражения и преломления, что и свет.

Опыты Герца были продолжены П. Н. Лебедевым, а в 1896 году А. С. Попов впервые осуществил с помощью электромагнитных волн передачу сообщения на расстояние 250 м. При этом были переданы два слова «Генрих Герц». Тем самым были заложены основы радиосвязи.

Поляризация волн

Для продольной волны все направления перпендикулярные направлению распространения волны равноправны. Для поперечных волн они не равноправны, так как одно из этих направлений совпадает с направлением колебаний точек среды. Электромагнитные волны поперечные. Поэтому свойства электромагнитных волн в некоторых случаях зависят от того в каком направлении совершают колебания вектора Е и В. Плоскость содержащая направление распространения волны и направление колебаний вектора Е называется плоскостью поляризации. Колебания вектора В происходят всегда в направлении перпендикулярном плоскости поляризации. Если плоскость поляризации волны постоянна, то такая волна называется линейно поляризованной.

Чаше всего электромагнитные волны, особенно созданные естественными источниками, не имеют какой-то определенной плоскости поляризации. То есть они представляют собой смесь множества волн, плоскости поляризации которых ориентированы хаотичным образом. Такие волны называются неполяризованными.

Есть вещества, которые пропускают электромагнитное излучение только определенной поляризации. Они называются поляризаторами. Наиболее широко известным среди поляризаторов является кристалл турмалина. Этот минерал прозрачен для видимого света. Однако свойство прозрачности турмалина обусловлено тем, что естественный свет является неполяризованным. Кристалл турмалина пропускает только излучение с определенной плоскостью поляризации, а все остальные волны поглощает. Так как естественный свет содержит волны всевозможной поляризации, то часть излучения всегда проходит. Но если на пути светового луча, прошедшего через первый кристалл турмалина поместить второй кристалл, то луч через него скорее всего не пройдет. Если в этом случае медленно поворачивать второй кристалл вокруг оси луча, то можно поймать положение, при котором луч пройдет и через второй кристалл. Это произойдет в случае, когда плоскости поляризации обоих кристаллов совпадут.

Свойства поляризации электромагнитных волн следует учитывать, например, при приеме радио и телесигналов. Так передающие антенны радио и телепередатчиков генерируют поляризованную волну. Поэтому качество принимаемого сигнала зависит от ориентации принимающей антенны.

Диапазоны электромагнитных волн

27

Электромагнитные волны, как и механические волны, характеризуются длиной волна, периодом, частотой и скоростью распространения. Между этими величинами имеется связь:

λ=cT= cν

Скорость электромагнитных волн в вакууме имеет одну и ту же величину с = 3·108 м/с и для всех длин волн. Поэтому электромагнитная волна может характеризоваться какой-либо одной величиной: длиной волны или частотой.

Теоретически возможным является весь диапазон длин волн и частот от нуля до бесконечности. Однако существуют минимальные и максимальные значения длины волны излучения, доступные нам для наблюдения. Так, например, самое длинноволновое излучение, зарегистрированное к настоящему времени – это стоячие электромагнитные волны между ионосферой атмосферы и поверхностью Земли. Частота этих волн около 8 Гц, а длина волны ≈ 4·108 м. Самое коротковолновое излучение – γ-излучение возникает в ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц. Длина волны γ-излучения <10-12 м. Самые короткие γ-лучи приходят к нам из космоса.

Условно весь спектр электромагнитного излучения делится на следующие диапазоны:

Диапазон длина волны

γ-излучение < 0,0012 мн

рентгеновский 0,0012 – 12 нм

ультрафиолетовый 12 – 380 нм

видимый 380 – 760 нм

инфракрасный 760 нм – 1 мм

радиоволны > 1 мм.

Такая разбивка на диапазоны обусловлена тем, что электромагнитные волны разных диапазонов отличаются как методами генерации, так способами регистрации и использования. Каждый из диапазонов является предметом изучения соответствующего раздела физики.

Видимый диапазон и примыкающие к нему ультрафиолетовый и инфракрасный диапазоны можно было бы отнести к одному диапазону. Этот объединенный диапазон называется оптическим, а изучающий его раздел физики называется оптикой. Однако этот диапазон разбит на три поддиапазона видимым светом. Человеческий глаз воспринимает электромагнитное излучение в интервале длин волн от 380 до 760 нм. Почему природа для человеческого глаза выбрала именно этот диапазон? Для этого имеются, по крайней мере, две причины. Во первых, максимум излучения Солнца соответствует длине волны 555 нм, то есть приходится как раз на середину видимого диапазона. А во-вторых, сразу за границами видимого диапазона в ближних инфракрасной и ультрафиолетовой областях начинаются довольно мощные полосы поглощения излучения земной атмосферой.

Интерференция света

Вопросы о природе света интересовали человечество с давних времен. Первые рассуждения на эту тему дошли до нас в трудах древнегреческих мыслителей, которые полагали, что свет представляет собой поток неких световых частиц. Однако первые теоретические осмысления этого положения начались в эпоху естественно-научной революции времен Галилея и Ньютона. В частности, великий Ньютон основным делом своей жизни считал занятия оптикой. Он также придерживался точки зрения, что свет представляет собой поток специальных световых частиц, которые он назвал корпускулами. Однако эта точка зрения на тот момент была не единственной.

Современник Ньютона, голландский физик Христиан Гюйгенс считал, что свет – это волна. Гюйгенс сформулировал принцип распространения волн, который мы сейчас называем принципом Гюйгенса. Базируясь на этом принципе, Гюйгенс смог получить законы отражения и преломления света. Однако волновая гипотеза Гюйгенса терпела поражение в других вопросах. Как известно, сложение волн должно приводить к явлению интерференции, а распространение волн при наличии препятствий должно сопровождаться явлением дифракции. Однако никакие специально поставленные эксперименты в то время не давали ни того ни другого.

28

Хотя вполне наблюдаемые явления и интерференции и дифракции в то время существовали, их никто не относил к волновым свойствам света.

Из корпускулярной гипотезы Ньютона автоматически следовало, что никакой интерференции и дифракции света и быть не должно, так как корпускулы в однородной среде должны распространяться прямолинейно. Кроме того, Ньютон, пусть и не так просто, но тоже смог обосновать законы отражения и преломления света. Однако и у гипотезы Ньютона тоже хватало трудностей. Например, сам Ньютон неоднократно разлагал белый свет в спектр с помощью стеклянной призмы, но объяснить это не мог. Кроме того, Ньютон впервые получил и описал явление, которое впоследствии получило название «кольца Ньютона». Это явление как раз является прямым следствием интерференции света. Однако в то время никто не связывал это явление с интерференцией, и с корпускулярной точки зрения оно никакому объяснению не поддавалось.

Впервые интерференция света наглядно и убедительно была продемонстрирована английским физиком Томасом Юнгом в 1802 г. Схема его опыта приведена на рисунке. Естественный монохроматический свет падал на экран с очень узкой щелью S. Вследствие дифракции за щелью получалась расходящаяся волна, которая падала на второй экран с двумя узкими щелями S1 и S2. На удаленном третьем экране в зоне пересечения расходящихся волн наблюдается интерференционная картина в виде чередующихся светлых и темных полос.

Для того чтобы получилась дифракция на щели надо, чтобы ширина щели была порядка длины волны света. Длина волны видимого света ≈ 0,5 мкм. То есть Юнгу пришлось пропускать свет через чрезвычайно узкие щели. Поэтому яркость полученной интерференционной картины получилась чрезвычайно слабой. Но тем не менее Юнг впервые продемонстрировал, что интерференция света существует.

Так зачем же потребовалось преодолевать такие трудности и почему интерференцию света нельзя было получить раньше? Казалось бы что для этого достаточно взять два источника монохроматического света одинаковой частоты. Для того чтобы интерференционная картина имела наблюдаемый характер недостаточно того, чтобы источники света имели одинаковую частоту. Необходимо чтобы излучение от них приходило в точку наблюдения с постоянной, не зависящей от времени разностью фаз. Это автоматически выполняется для двух источников механических волн, однако для световых волн – это дополнительное и очень важное требование. Дело в том, что источниками естественного света чаще всего являются отдельные атомы и молекулы. При этом каждый атом или молекула излучает очень маленькую порцию света. Кроме того, излучение порции света данным атомом имеет случайный характер, то есть атомы излучают порции света независимо друг от друга и эти порции никак друг с другом не связаны. Таким образом, естественный свет представляет собой смесь огромного количества никак не связанных друг с другом очень маленьких порций света. Даже если мы выделим из этой смеси два луча света одинаковой частоты и попробуем их сложить, то никакой интерференции мы не получим, так как складываемые волны будут иметь одинаковую частоту, но по фазе между ними никакой связи не будет. Поэтому для получения интерференции источники света должны иметь одинаковую частоту и постоянную во времени разность фаз. Такие источники называются когерентными. Естественный свет является некогерентным и поэтому с естественным светом в обычных условиях интерференцию получить нельзя.

В опыте Юнга два источника S1 и S2 представляют собой две части одного и того же луча, прошедшего через щель S. Но даже если один луч разложить на две части и потом опять их объединить, то и в этом случае можно не получить интерференции. В оптике есть такое понятие длина когерентности. Это расстояние вдоль линии распространения волны, в пределах которого волну можно считать когерентной. Если вернуться к представлению о естественном свете как о смеси отдельных маленьких световых порций, то по длиной когерентности можно понимать среднюю длину световых порций. Для обычных источников света длина когерентности не превышает одного сантиметра. То есть, если в случае разложения одного луча на два с последующим их объединением, разность длин хода лучей с момента их разделения и до момента объединения будет превышать 1 см, то интерференция опять не получится.

В настоящее время существуют источники очень качественного когерентного излучения. К ним относятся лазеры. Длина когерентности излучения лазеров достигает нескольких сотен метров. Кроме того излучение лазеров обладает очень высокой интенсивностью и монохроматичностью. Источники радиоволн обладают даже

29

12

более высокой когерентностью, чем лазеры. Длина когерентности радиоволн достигает 1010 м, то есть порядка размеров солнечной системы.

Рассмотрим теперь кратко два случая интерференции естественного света, которые можно наблюдать в естественных условиях. Об одном случае мы уже упоминали – это кольца Ньютона. Ньютон занимался шлифовкой стеклянных линз и обратил внимание на следующий факт. Если линзу положить выпуклой стороной на плоское стекло, то при некоторых условиях сверху можно видеть систему светлых и темных колец с общим центром в точке касания линзой стекла. Для того, чтобы кольца можно было увидеть, радиус кривизны линзы должен быть достаточно большим. При хороших условиях наблюдения можно разглядеть, что кольца разноцветные, то есть естественный свет при этом разлагается в спектр. Механизм образования такой картины заключается в следующем. Луч света, падающий сверху на линзу проходит в стекло и частично отражается от нижней поверхности линзы (луч 1). Оставшаяся часть луча отражается от плоской поверхности стекла (луч 2). Лучи 1 и 2 при выходе из линзы складываются. Так как эти лучи являются частью одного и того же луча и разность их хода меньше длины когерентности (воздушный зазор очень маленький), то они дают устойчивую интерференцию. Результат интерференции зависит от разности хода лучей 1 и 2, то есть, в конечном итоге, от толщины воздушного зазора h, которая зависит от расстояния до точки касания. Значит точки, для которых выполняется условие максимума или минимума интерференции находятся на одинаковом расстоянии от центральной точки, то есть на окружности. Можно показать, что радиусы темных колец определяются условием: rn=√nλR, где n – целое число, λ – длина волны, а R – радиус сферической

поверхности линзы. Так как радиусы колец зависят от длины волны, то кольца получаются окрашенными.

Другим примером интерференции естественного света является так называемая интерференция в тонких пленках. Многие видели и обращали внимание на радужный цвет масляных и бензиновых пятен на поверхности луж после дождя или на радужную окраску мыльных пленок. Это явление есть следствие интерференции света на тонкой масляной пленке на поверхности воды или на тонкой мыльной пленке. Пусть луч света 1 падает на поверхность пленки. Часть его проникает в пленку и отражается от ее нижней поверхности. Часть отраженного луча выходит обратно в воздух и складывается с отражением луча 2. Так как пленка очень тонкая, то лучи 1 и 2 по сути являются частями одного и того же луча, а значит отраженные лучи когерентны и дают устойчивую интерференцию. Результат интерференции зависит от разности хода отраженных лучей, то есть от толщины пленки и угла падения света, а также от длины волна света. При этом в разных точках пленки максимум интерференции выполняется для волн разной длины, то есть разные точки оказываются окрашены в разные цвета.

Этот тип интерференции используется в оптике для «просветления оптики» то есть для уменьшения отражения от стеклянных поверхностей оптических элементов. На поверхность оптического элемента наносят методом напыления тонкую пленку прозрачного материала. Толщина пленки рассчитана таким образом, что результатом интерференции отраженных от нее лучей в средней части видимого спектра является минимум. Таким образом, интенсивность отраженного света заметно уменьшается.

Дифракция света

Дифракцией света называется явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Как показывает опыт, свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Так, например, если на пути распространения световой волны находится экран с отверстием, то за экраном будет распространяться резко ограниченный пучок света, ширина которого будет соответствовать ширине отверстия в экране. Однако так будет не всегда. Если уменьшать размер отверстия, то ширина пучка света соответственно будет уменьшаться. Но только до некоторого предела. Если размер отверстия приблизится к длине волны света, то пучок света за отверстием начнет расходиться, причем тем сильнее, чем меньше размер отверстия.

Аналогичное явление наблюдается, когда свет падает на некоторое препятствие. В этом случае за препятствием наблюдается резко выраженная область так называемой геометрической тени, куда свет не проникает. Однако, если уменьшать размеры препятствия, то размеры области геометрической тени соответственно тоже будут уменьшаться, но тоже до некоторого предела. Начиная с некоторого момента тень перестанет быть геометрической, а свет начнет как бы огибать препятствие, заходя за него. Это явление начнет иметь место, когда размер препятствия также станет близок к величине длины волны.

30

На существование дифракционных явлений еще в середине 17 века обратил внимание Франческо Гримальди. Он пропускал тонкий солнечный луч через маленькое отверстие, ставил на его пути предмет и наблюдал за тенью этого предмета. Гримальди выполнил многочисленные опыты по дифракции на тонких нитях, птичьих перьях, тканях и волокнистых веществах. Вывод один - свет действительно отклоняется от прямолинейного распространения. Но почему? Великий Ньютон также экспериментально исследует явления, открытые Гримальди. Он также наблюдает "причудливое" поведение света и, как и Гримальди, делает попытки объяснить это явление. Но Ньютон придерживался так называемой корпускулярной теории о природе света. Согласно этой теории, свет представляет собой поток специальных световых части, которые Ньютон назвал корпускулами. Корпускулы в однородной среде должны распространяться прямолинейно и объяснить на их основе явление дифракции света оказалось невозможным.

Результат дифракции волн в любом случае можно теоретически обосновать на базе решения общего волнового уравнения. Однако на практике этот метод представляет собой невероятно сложную математическую задачу. Современник Ньютона голландский физик Христиан Гюйгенс предложил приближенный наглядный метод построения волновых поверхностей. Он предположил, что каждый элемент поверхности, которой достигла в данный момент волна (т.е. каждая точка волнового фронта) является центром вторичных волн, огибающая которых  в направлении движения волны становится волновым фронтом в более поздний момент времени. Сейчас это предположение называется принципом Гюйгенса. Правда, надо заметить, что сам Гюйгенс не рассматривал свой принцип в качестве инструмента для обоснования дифракции. Наоборот, он считал, что вклад вторичных волн, образующихся на границе препятствия, пренебрежимо мал и что из этого следует прямолинейность распространения света. Базируясь на своем предположении, Гюйгенс пытался объяснить закономерности геометрической оптики. В частности, из принципа Гюйгенса автоматически следуют закономерности отражения и преломления волн.

В начале XIX века Френель повторил опыты Гримальди и количественно объяснил их. В качестве базового принципа Френель принял принцип Гюйгенса. Однако он дополнил его положением о том, что вторичные волны, придя в точку наблюдения интерферируют друг с другом и дифракция является результатом интерференции вторичных волн. Принцип Гюйгенса, дополненный утверждением, что вторичные волны интерферируют друг с другом, получил название принципа Гюйгенса - Френеля.

Для количественного описания явления дифракции Френель предложил метод, получивший название метода зон Френеля. В качестве примера рассмотрим следующий случай. Пусть световая волна от очень удаленного источника перпендикулярно падает на непрозрачный экран, в котором имеется небольшое круглое отверстие радиусом R. Пусть точка наблюдения находится на оси симметрии и на расстоянии L от экрана. Волновые поверхности представляют собой плоскости параллельные экрану и одна из них совпадает с экраном. Каждая точка этой волновой поверхности является источником вторичных сферических волн. Все эти вторичные волны интерферируют в точке наблюдения Р и результат этой интерференции определяет интенсивность результирующей волны. Для облегчения расчета этого результата Френель предложил разбить волновую поверхность в пределах отверстия на кольцевые зоны – зоны Френеля. Принцип разбиения заключается в следующем: расстояние от центральной точки О до точки наблюдения Р равно L; расстояние от границы первой зоны до точки наблюдения равно L + λ/2; расстояние от границы второй зоны до точки наблюдения равно L + 2λ/2 и так далее. То есть разность расстояний от соседних границ зон Френеля до точки наблюдения отличаются на λ/2. Таким образом вся площадь отверстия оказывается

31

разбитой на концентрические кольца, каждое из которых представляет собой зону Френеля (центральная зона является кругом). Радиусы зон Френеля равны:

ρm=√mλL+m2 λ2

4≈√mλL(так как λ≪L)

Количество зон, укладывающихся в отверстии равно

m= R2

λL

Результат интерференции вторичных волн в точке Р зависит от этого количества открытых зон. Дело в том, площади всех зон одинаковы и равны площади центрального кольца. Поэтому все зоны при прочих равных условиях должны давать одинаковый вклад в результирующую интенсивность в точке Р. Однако каждая следующая зона находится от точки Р немного дальше предыдущей, а значит и ее вклад будет слегка меньше вклада предыдущей зоны. Если Аm – амплитуда колебаний, создаваемая в точке Р m–ой зоной, то Am+1 < Am. Если еще учесть, что колебания от соседних зон приходят в точку Р в противоположных фазах, то суммарная амплитуда колебаний будет определяться выражением:

А = А1 – А2 + А3 – А4 + …+ Аm = А1 – (А2 – А3) – (А4 – А5) - …

Так как все выражения в скобках положительные, то суммарная амплитуда всегда меньше, амплитуды, которую дает только одна первая зона Френеля. Можно показать, что если экрана нет совсем, то есть количество зон Френеля равно бесконечности, то суммарная амплитуда колебаний в 2 раза меньше амплитуды, которую дает только первая зона.

Дифракционные явления наблюдаются только если на отверстии или на препятствии укладывается не очень много зон Френеля. Если расстояние от экрана до точки наблюдения в рассмотренном примере равно 1 м, а длина волны света 600 нм (красный свет), то радиус первой зоны Френеля равен ρ1=√λL ≈ 0,77 мм. То есть

размеры отверстий и препятствий должны быть достаточно малы. Наоборот, если размеры отверстий и препятствий значительно превышают величину √ λL, то дифракция не наблюдается и можно пользоваться законами геометрической оптики.

Рассмотрим один из практических случаев использования зон Френеля. Если взять прозрачную пластинку и разметить на ней концентрические кольца, соответствующие зонам Френеля для заданного расстояния L, а затем закрасить все четные или все нечетные кольца, то получим так называемую зонную пластинку Френеля. Если поместить такую пластинку на пути плоской волны, то на расстоянии L за центром пластинки суммарная амплитуда колебаний будет равна:

А = А1 + А3 + А5 + А7 + … или А = А2 + А4 + А6 + А8 + …

То есть зонная пластинка будет усиливать освещенность в точке наблюдения Р.

Можно поступить еще более радикально. Можно покрыть все, например, четные зоны слоем прозрачного вещества, изменяющим фазу падающей волны на π. Тогда суммарная освещенность в точке Р будет равна А = А1 + А2 + А3 + А4 + А5 + … То есть такая пластинка будет суммировать в точке Р все падающее на нее излучение. При этом освещенность во всех других точках плоскости, проходящей через точку Р будет равна нулю. Этот эффект аналогичен эффекту собирающей линзы. Такая зонная пластинка и называется линзой Френеля.

Рассмотрим теперь некоторые конкретные виды дифракции света.

Дифракция Френеля на отверстии.

Пусть плоская световая волна падает перпендикулярно на непрозрачный плоский экран, в котором имеется небольшое круглое отверстие. Пусть точка Р находится на оси симметрии на расстоянии L за экраном. Если отверстие настолько мало, что открывает только одну первую зону Френеля, то амплитуда колебания волны в точке Р будет равна А1. Если отверстие открывает две первые зоны, то амплитуда колебаний будет равна А1 – А2, если три, то А1 – А2 + А3 и так далее. То есть при увеличении размера отверстия мы получим колебания освещенности в точке Р. Причем максимальная освещенность будет наблюдаться когда открыта только одна первая зона Френеля.

Колебания освещенности в точке наблюдения можно получить и другим способом. Так как радиусы зон Френеля зависят от расстояния между экраном и точкой наблюдения, то можно при постоянном радиусе отверстия менять расстояние от точки Р до экрана. Для достаточно малого отверстия можно выбрать такое

расстояние, при котором в отверстии умещается одна первая зона Френеля. Это расстояние равно L1=R2/ λ (R

– радиус отверстия; λ – длина волны света). При приближении точки наблюдения к экрану в отверстии будет

32

укладываться все большее количество зон Френеля и, значит, тоже будет наблюдаться колебание освещенности.

Интересно отметить, что если отверстие открывает только первые две зоны Френеля, то в точке наблюдения Р освещенность будет практически равна нулю. Действительно, амплитуда результирующего колебания в этом случае равна А1 – А2. Но поскольку площади зон Френеля одинаковы, а углы падения очень малы, то А 1 ≈ А2. Казалось бы - парадоксальный результат. Отверстие есть, а освещенность напротив отверстия равна нулю. Более того, такой результат в точке Р будет наблюдаться, если в отверстии укладывается любое четное число зон Френеля. Этот результат полностью противоречит законам геометрической оптики, но на самом деле так оно и есть. Свет через отверстие конечно же проходит и в точке, лежащей на оси симметрии результатом интерференции вторичных волн будет минимум. Однако в точках отстоящих от точки Р на некоторое расстояние интерференция даст максимум. То есть вокруг центрального темного пятна будет светлое кольцо. В точках, отстоящих еще чуть дальше от точки Р интерференция опять даст минимум. То есть вокруг светлого кольца будет темное кольцо, затем опять светлое и так далее. Значит если мы поместим в точке Р экран, то увидим на нем систему светлых и темных колец. Такая система колец будет наблюдать в любом случае, если в отверстии укладывается только несколько зон Френеля. Просто, если количество открытых зон четное, то в центре картины будет наблюдаться темное пятно, а если нечетное – то светлое пятно.

Если на пути плоской световой волны поставить очень маленький круглый диск, закрывающий только несколько зон Френеля, то можно показать, что в центре геометрической тени от этого диска всегда будет наблюдаться светлое пятно. На это следствие из теории Френеля впервые обратил внимание Пуассон, считая, что тем самым он опроверг его зонную теорию. Однако Араго вскоре поставил специальный эксперимент, в котором показал, что светлое пятно действительно существует. Это пятно имеет название «пятно Пуассона». Однако, чтобы этот эффект был заметен диск должен быть очень маленьким или расстояние от него до экрана очень большим. Поэтому в реальной жизни мы этого не наблюдаем.

Дифракционная решетка.

Дифракция света на одиночной щели аналогична дифракции на отверстии. Только в этом случае получается не система светлых и темных колец, а система светлых и темных полос. Однако очень важное практическое применение получила дифракция не на одиночной щели, а на системе из очень большого количества чередующихся щелей. Такая система получила название дифракционная решетка.

Дифракционная решетка представляет собой плоскую стеклянную или металлическую пластинку, на которую специальным алмазным резцом через одинаковые промежутки нанесены штрихи. Качество дифракционной решетки определяется количеством нанесенных штрихов. В современных решетках количество штрихов на 1 мм достигает 2000. Дифракция света на дифракционной решетке имеет очень важные для практического использования особенности. Дифракционные максимумы получаются очень резкими и узкими и разделены очень широкими темными полосами. Кроме того все максимумы кроме центрального оказываются разложенными в спектр. Причем в хороших решетках спектры получаются более качественные, чем в хороших стеклянных призмах. Поэтому в наиболее качественных спектральных приборах стоят дифракционные решетки.

Пусть плоская световая волна перпендикулярно падает на дифракционную решетку, представляющую собой систему из одинаковых щелей шириной b. Пусть расстояние между соседними щелями равно а. Величина d = a + b называется периодом решетки. Для наблюдения дифракционной картины обычно за решеткой ставят собирающую линзу и в ее фокальной плоскости ставят экран, на котором получается действительное изображение. Каждая щель решетки будет давать дифракционную картину. Однако дифракционные картины от всех щелей будут интерферировать друг с другом. В результате этого произойдет перераспределение энергии. Рассмотрим лучи, выходящие из решетки под углом φ. Разность хода соответственных лучей от двух соседних щелей равна d sin φ. Для того, чтобы результатом интерференции этих лучей был максимум, необходимо, чтобы эта разность хода была равна целому числу длин волн:

d sin φ=mλ , где m=0 ;1;2 ;3 ;…

Это выражение дает условие на главные дифракционные максимумы решетки. Из этого выражения следует, что положение всех дифракционных максимумов кроме центрального (m = 0) зависит от длины волны. То есть, если на решетку падает сложный свет, то для излучения с разными длинами волн максимумы получаются под разными углами отклонения, то есть сложный свет разлагается в спектр. Кроме того, чем меньше период решетки тем под большими углами получаются максимумы, то есть тем шире получается спектр. Следует еще заметить, что наибольший порядок максимума определяется условием: m<d / λ, так как sin φ ≤ 1.

33

Так как длина волны синего цвета меньше, чем красного, то при освещении решетки белым светом дифракционные спектры всегда синим концом ориентированы в сторону центра дифракционной картины, а красным от центра.

34

α1 α1

α2

α1 α1

α1

А В

В1

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

При распространении света очень часто бывает удобно вместо волнового механизма распространения света представить, что свет распространяется вдоль некоторых световых лучей. Аналогично понятию линий тока при движении жидкости, под световым лучом можно понимать линию, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением распространения световой волны. В этом случае законы распространения света можно сформулировать на языке геометрии. Раздел оптики, в котором пренебрегают волновыми свойствами света и рассматривают распространение света вдоль световых лучей, называется геометрической оптикой.

Длина волны видимого света имеет порядок 10-7 м. Для того чтобы при встрече с препятствием наблюдались волновые явления, приводящие к отклонению световых лучей от прямолинейного распространения и нарушающие законы геометрической оптики необходимо, чтобы размеры препятствия были сравнимы с длиной волны. В общем случае можно показать, что если выполняется условие:

d2 ≫λL ,

то можно пренебречь волновыми свойствами света и пользоваться законами геометрической оптики. Здесь d – размер препятствия, λ – длина волны, L – расстояние от препятствия до точки наблюдения. В реальной жизни это условие выполняется почти всегда.

В основе геометрической оптики лежат четыре закона:

1) Закон прямолинейного распространения света, утверждающий, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно.

2) Закон независимости световых лучей, утверждающий, что лучи при пересечении не влияют друг на друга и не мешают друг другу распространяться.

3) Закон отражения света.

4) Закон преломления света.

Принцип Ферма

Первый, третий и четвертый из вышеперечисленных основных законов геометрической оптики являются следствиями более общего принципа Ферма. Этот принцип был сформулирован французским физиком и математиком Пьером Ферма в 1662 году. Он гласит, что при переходе из некоторой начальной точки в некоторую конечную луч света выбирает траекторию, на которую он затрачивает наименьшее время. Этот принцип является частным случаем более общего физического принципа наименьшего действия, утверждающего, что развитие физических процессов всегда происходит по пути, на котором исследуемая характеристика имеет экстремальное (чаще всего наименьшее) значение. Однако Ферма сформулировал свой принцип до того, как был сформулирован более общий принцип наименьшего действия. Отправными пунктами для него как раз были открытые к тому времени законы отражения и преломления света, а также интуитивная догадка о том, что природа всегда должна идти по пути наименьшего сопротивления.

Отражение и преломление света

Пусть имеется плоская поверхность, разделяющая две оптически прозрачные среды. Пусть луч света падает на эту поверхность раздела. Пусть при этом часть луча отражается от поверхности, а оставшаяся часть преломляется и проходит во вторую среду. Угол меду падающим лучом и перпендикуляром, восстановленным к поверхности раздела в точке падения (α1), называется углом падения. Угол между отраженным лучом и этим перпендикуляром (α1) называется углом отражения. А угол между этим же перпендикуляром и преломленным лучом (α2) называется углом преломления.

Закон отражения. Если луч света отражается от поверхности, то падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр, восстановленный к поверхности в точке падения, лежат в одной плоскости, а угол падения равен углу отражения.

Закон преломления. Если луч света переходит из оптической среды 1 в оптическую среду 2 через некоторую поверхность раздела, то падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр, восстановленный к поверхности раздела в точке падения, лежат в одной плоскости, а углы падения и преломления связаны соотношением: n1 sin α 1=n2 sin α2, где n1 и n2 – абсолютные показатели преломления первой и второй сред.

Как уже говорилось, законы отражения и преломления света являются следствиями принципа Ферма. Рассмотрим отражение света. Пусть луч света вышел из точки А, отразился от плоской поверхности и пришел в точку В.

35

Согласно принципу Ферма луч света из всех возможных траекторий выбирает ту, на прохождение которой он затрачивает наименьшее время. Построим точку В1 симметричную точке В относительно поверхности отражения. При этом луч света должен из точки А попасть в точку В 1 за наименьшее время. Так как скорость света везде одинаковая, то луч из точки А в точку В1 должен двигать по прямолинейной траектории. Отсюда сразу следует закон отражения.

Прежде чем рассматривать преломление света на поверхности раздела двух оптических сред, следует рассмотреть дисперсию света.

Дисперсия света

Дисперсию света впервые детально исследовал Исаак Ньютон. Еще до Ньютона было обнаружено, что при прохождении через стеклянную призму узкий пучок белого света раскладывается в более широкий расходящийся пучок, окрашенный в цвета радуги (от фиолетового до красного). Ньютон выделил из полученного спектра узкий луч какого-то одного (монохроматического) цвета и вторично пропустил его через призму. Оказалось, что луч уже не раскладывается. Еще Ньютон обнаружил, что если пучок белого света пропустить через одну призму и полученный цветной пучок (спектр) пропустить через вторую призму, то можно опять получить пучок белого света. В результате, Ньютон пришел к выводу, что белый свет является смесью излучений различного цвета.

Легко заметить, что луч света, падающий на поверхность раздела изменяет свое направление (преломляется). Ньютон и другие исследователи заметили, что фиолетовые лучи преломляются сильнее, чем красные. Ньютон считал, что свет представляет собой поток световых частиц – корпускул. Он предположил, что белый свет представляет собой поток корпускул различного вида и корпускулы какого-то одного вида соответствуют свету определенного цвета. Пытаясь объяснить преломление света, Ньютон считал, что корпускулы как-то притягиваются веществом и когда они попадают на границу раздела двух сред сила их взаимодействия с веществом изменяется и это заставляет их изменять направление своего движения. Он предложил следующее объяснение факта разложения белого света в спектр: корпускулы разного вида имеют разные масса и при прохождении через границу раздела по разному реагируют на изменение силы их взаимодействия веществом. Корпускулы фиолетового света имеют более маленькую массу, чем корпускулы красного и поэтому угол их отклонения при прохождении через границу раздела двух сред больше, чем для красных.

Когда после получения явлений интерференции и дифракции света выяснили, что свет – это волна и научились измерять длину волны и частоту света стало понятно, что белый свет представляет собой смесь волн с различной частотой. Теория Ньютона при этом была признана недействительной ибо стало понятно, что зависимость угла преломления луча от его цвета определяется не видом корпускул, а длиной волны или, более точно, частотой световой волны.

Одним из следствий электромагнитной теории Максвелла был тот факт, что скорость распространения

электромагнитных волн зависит от свойств среды. А именно, скорость света в вакууме равна c=1

√ε0 µ0

, а в

некоторой среде скорость света равна c=1

√εε 0 µµ0

. Для всех оптически прозрачных сред μ ≈ 1, а значит

c / v=√ε. Поскольку величина диэлектрической проницаемости для всех веществ больше единицы, то скорость света в вакууме всегда больше скорости света в оптической среде.

Еще во времена Ньютона голландский исследователь Христиан Гюйгенс, будучи сторонником волновой теории света, объяснял преломление света на границе раздела двух сред тем, что скорость световых волн в различных оптических средах различная.

Величина, показывающая во сколько раз скорость света в вакууме больше скорости света в данной оптической среде, называется абсолютным показателем преломления данной оптической среды:

n= cv

Зависимость угла преломления луча от его цвета, точнее от его частоты говорит о том, что показатель преломления среды должен зависеть от частоты света. Это явление и называется дисперсией.

Во времена Максвелла дисперсию объяснить не удалось, так как n=√ε, а диэлектрические проницаемости в то время измеряли еще очень плохо. Но даже и то что удалось измерить было измерено для статических электрических полей, а в электромагнитной волне оптического диапазона электрическое поле изменяется с частотой ≈ 1014 Гц, а при такой частоте диэлектрическая проницаемость должна быть совершенно другой.

36

α1

α2

А

В

С

x

L

h1

h2 n2

n1

Впервые удовлетворительное объяснение дисперсии было дано в конце XIX века Г. Лоренцем. Лоренц рассматривал дисперсию как результат вынужденных колебаний электронов в атомах под действием электрического поля электромагнитной волны. Ему удалось получить зависимость диэлектрической проницаемости среда, а значит и показателя преломления от частоты света. Эта зависимость имеет довольно сложный характер, но в видимой области частот электромагнитных волн показатель преломления действительно возрастает с увеличением частоты.

Теория Лоренца объясняет дисперсию только качественно и то только в той области, где показатель преломления возрастает с ростом частоты. Такой характер зависимости получил название нормальной дисперсии. Дело в том, что в конце XIX века для некоторых веществ (их немного) было обнаружено уменьшение показателя преломления с ростом частоты. Такая зависимость получила название аномальной дисперсии. Аномальная дисперсия связана с резонансными явлениями.

Кстати с резонансными явлениями связано и другое явление – поглощение света. Электроны в атомах и молекулах под действием электромагнитной волны совершают вынужденные колебания. Когда частота волны приближается к частоте собственных колебаний, возникает резонанс, что приводит к поглощению света. При этом энергия световой волны переходит в другие виды энергий, в частности во внутреннюю энергию вещества.

Теперь перейдем к рассмотрению преломления света на границе раздела двух оптических сред. Для вывода закона преломления также воспользуемся принципом Ферма.

Пусть имеется плоская поверхность, разделяющая две оптические среды 1 и 2. Пусть абсолютные показатели преломления сред равны n1 и n2. Пусть луч света выходит из точки А, находящейся в среде 1 и приходит в точку В, находящуюся в среде 2. Обозначим за h1 и h2 – расстояния от точек А и В до поверхности раздела. Пусть луч света пересекает поверхность в некоторой точке С. Время перехода луча из точки А в точку В равно:

t=√x2+h1

2

v1

+√(L−x)2+h2

2

v2

Математическим условием минимума времени будет равенство нулю первой производной t´(x):

t ' ( x )= 1v1

·x

√x2+h12− 1

v2

·L−x

√(L−x )2+h22

Но

x

√x2+h12=sin α 1 ,а

L−x

√(L−x )2+h22=sin α 2

Значит

sin α1

v1

=sin α 2

v2

или

n1 sin α 1=n2 sin α2

То есть, получили закон преломления.

Если луч света падает на стопку из нескольких плоскопараллельных пластин, то он преломляется на каждой границе раздела между пластинами, но произведение ni sin α i для всех пластин будет одинаковым. Закон преломления иногда называют законом Снелиуса.

Полное внутреннее отражение

Пусть луч света падает на границу раздела двух оптических сред с показателями преломления n1 и n2. Если угол падения равен α1, то угол преломления можно определить из закона преломления: sin α 2=n1 sin α 1/n2. Здесь возможны два варианта.

1) Пусть n1 < n2, то есть луч переходит из оптически менее плотной среды в более плотную (например, из воздуха в воду). В этом случае sin α 2<sin α1, то есть угол преломления всегда меньше угла падения, а так как угол падения может изменяться в интервале от 0 до π/2, то угол преломления всегда меньше чем π/2. Это значит, что при переходе луча из оптически менее плотной среды в более плотную преломленный луч

37

SS1аа

АА1аа

В1 Вbb

S1 SОА

С

αα

существует всегда, то есть часть падающего луча всегда переходит во вторую среду. Угол преломления в этом случае определяется законом преломления.

2) Если n2 < n1, то есть луч переходит из оптически более плотной среды в менее плотную (например, из воды в воздух). В этом случае sin α 2>sin α1, то есть угол преломления больше угла падения. При угле падения α0, определяемом из условия:

sin α 0=¿n2

n1

¿

синус угла преломления становится равным единице. При этом угол падения еще меньше π/2 и его можно еще увеличить. Но при этом синус угла преломления становится больше единицы, чего не может быть. Поэтому в случае перехода луча из оптически более плотной среды в менее плотную луч переходит во вторую среду не всегда. Преломленный луч существует только если угол падения меньше угла α0, определяемого вышеприведенным условием. Этот угол называется предельным углом полного внутреннего отражения. При этом угол преломления определяется законом преломления. При угле падения равным и более угла α0

преломленного луча нет вообще, а весь падающий луч полностью отражается. Угол отражения при этом определяется законом отражения. Этот эффект называется полным внутренним отражением.

Обратимость световых лучей

В геометрической оптике существует принцип обратимости хода световых лучей. Он утверждает следующее. Пусть один луч света вышел из точки А и, пройдя по некоторой траектории, прошел через точку В. Если из точки В выпустить второй луч в направлении противоположном направлению, в котором пришел первый луч, то второй луч полностью повторит траекторию первого луча и пройдет через точку А. Этот принцип автоматически следует из принципа Ферма. Если при движении из точки А в точку В по некоторой траектории луч света затрачивает наименьшее время, то время будет наименьшим и при движении из В в А по той же траектории.

В геометрической оптике все законы и уравнения должны допускать изменение направления хода лучей на противоположное. В частности, законы отражения и преломления удовлетворяют этому условию.

Принцип обратимости хода световых лучей справедлив только в геометрической оптике. В волновой оптике он не выполняется.

Зеркало

Плоское зеркало

Пусть имеется плоское зеркало и точечный источник света S, находящийся на расстоянии а от зеркала. Лучи, падающие на поверхность зеркала будут отражаться от него. При этом, согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения. Нетрудно заметить, что отраженные от зеркала лучи будут как бы тоже выходить из одной точки. Только не из источника S, а из точки S1

симметричной точке S относительно поверхности зеркала. Если отраженные лучи попадут в глаз человека, то человек увидит источник не там, где он есть на самом деле, а там, откуда пришли лучи, попавшие в глаз. Человеку будет казаться, что источник находится в точке S1.

Человек видит предмет в том месте откуда пришли лучи, попавшие в глаз. При этом, если предмет и глаз находятся в одной и той же однородной оптической среде, то есть для лучей попавших в глаз не нарушается условие прямолинейности распространения, то человек видит предмет там где он и находится. Если же лучи попавшие в глаз при своем распространении испытали отражение или преломление, то человек увидит предмет не там, где он находится, а совсем в другом месте. При этом говорят, что человек видит изображение предмета.

Изображение предмета в плоском зеркале находится за зеркалом на таком же расстоянии от зеркала. Причем каждая точка предмета имеет свое изображение, которое находится за зеркалом на продолжении перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость зеркала и на таком же расстоянии от зеркала.

Сферическое зеркало

Пусть имеется вогнутое сферическое зеркало. Пусть радиус поверхности зеркала равен R, а центр зеркала находится в точке О. Пусть имеется точечный источник S. Проведем через точки S и О прямую, проходящую через поверхность зеркала в точке А. Луч SA, проходящий через центр зеркала, падает на его

38

ОА

F

ОА

F

3

1

2

поверхность перпендикулярно и, отразившись, пойдет обратно по тому же пути. Рассмотрим второй луч SC, падающий на поверхность зеркала под углом α. Он отразится под тем же углом и пересечет первый луч в точке S1. Обозначим: SC = a, S1C = b, OC = OA = R. Площадь ΔSCS1 равна сумме площадей ΔSCO и ΔS1CO. Или

12

ab sin 2α=12

aR sin α+12

bR sin α=ab sin α ·cos α⇒ 1a+ 1

b=2cos α

R

Отсюда видно, что лучи, выходящие из точки S под разными углами к центральному лучу SA, пересекут его в разных точках. Однако, если рассматривать только лучи выходящие под малыми углами, для которых справедливо приближение cos α ≈ 1, то для таких лучей получим:

1a+ 1

b= 2

R

Это означает, что все лучи, выходящие под малыми углами к центральному осевому лучу, после отражения от сферического зеркала пересекутся в одной точке. Эта точка S1 будет представлять собой действительное изображение точечного источника S.

Пусть имеется точечный источник света и лучи, выходящие из этого источника, испытывают отражения или преломления. Если после этого лучи пересекаются в одной точке, то эта точка называется действительным изображением источника. Если после отражений или преломлений сами лучи не пересекаются, но их продолжения пересекаются в одной точке, то эта точка называется мнимым изображением источника.

Следует заметить, что четкое изображение точечного источника в сферическом зеркале получается только для лучей, идущих под малыми углами к оптической оси ОА. Такие лучи называются параксиальными. Более качественное изображение дает зеркало, форма которого представляет собой параболоид вращения.

Любая прямая, проходящая через центр зеркала О, называется оптической осью. Если источник находится

бесконечно далеко от зеркала, то 1a=0, а значит b=R/2. Но от бесконечно удаленного источника на зеркало

падают параллельные лучи и они после отражения от зеркала пересекаются на расстоянии R/2 от него. Точка, в которой пересекаются параллельные лучи после отражения от зеркала, называется фокусом зеркала (F), а расстояние от зеркала до фокуса называется фокусным расстоянием (f). Плоскость, перпендикулярная оптической оси и проходящая через фокус, называется фокальной плоскостью. Все параллельные лучи, падающие на зеркало под углом к оптической оси, пересекаются в одной точке на фокальной плоскости. Можно сказать, что фокальная плоскость – геометрическое место точек изображений бесконечно удаленных источников. Предыдущую формулу обычно записывают в таком виде:

1a+ 1

b=1

f, где f =R

2

Эта формула называется формулой сферического зеркала.

Если точка S1 является изображением точки S то в точке S1 пересекаются все лучи, вышедшие из точки S и отразившиеся от зеркала. Однако для нахождения точки S1 совсем необязательно искать точку пересечения всех лучей. Вполне достаточно найти точку пересечения каких–либо двух отраженных лучей. Она и будет изображением, ибо, если известно, что изображение есть, то все остальные лучи тоже обязаны пройти через эту точку. Имеется три луча, ход которых всегда известен при отражении от сферического зеркала:

1) луч, падающий на зеркало параллельно оптической оси, после отражения от зеркала проходит через фокус;

2) луч, до падения на зеркало проходящий через фокус, после отражения идет параллельно оптической оси;

3) луч, падающий на зеркало под углом к оптической оси в его вершину (точка А), после отражения от зеркала идет под тем же углом к оптической оси.

Набора из этих трех лучей всегда достаточно, чтобы построить изображение точечного источника в сферическом зеркале.

Для того, чтобы построить изображение протяженного предмета, надо построить изображение всех его точек. Однако так делать необязательно. Обычно достаточно построить изображение нескольких опорных

39

S O2 O1 S’S1

А Вα

точек и соединить их друг с другом, ибо изображение отрезка прямой в сферическом зеркале тоже является отрезком прямой.

Пусть источник движется из бесконечности к зеркалу вдоль оптической оси. Сначала, находясь в фокальной плоскости, изображение начинает удаляться от зеркала и когда источник оказывается в центре зеркала, то изображение тоже оказывается в центре зеркала. При дальнейшем приближении источника к зеркалу изображение продолжает удаляться от зеркала и когда источник находится в фокусе изображение оказывается на бесконечности. Если источник приблизить к зеркалу на расстояние меньшее фокусного, то расстояние от зеркала до изображения (b) становится отрицательным. Это означает, что изображение получается с обратной стороны от зеркала и является мнимым.

Итак, если расстояние от источника до зеркала больше фокусного, то изображение получается с той же стороны от зеркала, где находится источник и является действительным. Если расстояние от источника до зеркала меньше фокусного, то изображение получается с другой стороны за зеркалом и является мнимым. При этом действительное изображение всегда является перевернутым, а мнимое - прямым.

Отношение поперечного (перпендикулярного оптической оси) размера изображения H1 к поперечному размеру предмета H называется поперечным увеличением (Г). Легко можно показать, что

Г=H 1

H=b

a

Формула зеркала справедлива также и в случае выпуклого зеркала. При этом радиус кривизны поверхности зеркала и соответственно его фокусное расстояние считаются отрицательными. Изображение в выпуклом зеркале всегда получается мнимым, а значит и расстояние от зеркала до изображения тоже отрицательное. В общем случае формула сферического зеркала может быть записана в следующем виде:

1a

±1b=±

1f

Для вогнутого зеркала перед 1/ f всегда стоит знак «+», а перед 1/b знак «+» ставится, если изображение действительное (a > f) и знак «−», если изображение мнимое (a < f).

Для выпуклого зеркала и перед 1/ f и перед 1/b всегда ставится знак «−».

Сферические линзы

Сферическая линза представляет собой замкнутый объем, ограниченный двумя сферическими поверхностями. Пусть радиусы кривизны поверхностей линзы равны R1 и R2, а показатель преломления материала линзы равен n2. Пусть линза находится в среде с показателем преломления n1 и пусть n1 < n2. Пусть центры сферических поверхностей линзы находятся в точках О1 и О2. Прямая, проходящая через точки О1 и О2, называется главной оптической осью.

Пусть точечный источник находится в точке S, лежащей на главной оптической оси. Луч SO1, идущий вдоль

оси, не преломляется, так как углы его падения на переднюю и заднюю поверхности линзы равны нулю. Рассмотрим произвольный луч SA. Преломившись на передней сферической поверхности, он пойдет по прямой АВ и, если бы не было второй поверхности, то он пересек бы оптическую ось в точке S’. Площадь треугольника SAS’ равна сумме площадей треугольников SAO1 и O1AS’. Обозначим: SA = a, AS’ = b’, угол падения на переднюю грань - α, угол O1AS’ = γ1. Тогда можно написать:

ab ' sin (π−α−γ1)=R1 b ' sin γ 1+R1a sin (π−α )

Или, после раскрытия скобок и преобразований:

sin α ·cosγ 1

sin γ 1

−cosα=R1

a+

R1

b '·

sin αsin γ1

Но

40

sin αsin γ 1

=n2

n1

Значит

n1

a+

n2

b '= 1

R1(n2cos γ 1−n1 cosα )

Так же как и в случае сферического зеркала, видно, что расстояние b’ зависит от углов α и γ1, то есть лучи после преломления на передней поверхности линзы не пересекаются в одной точке. Однако в приближении параксиальных лучей, когда cos α ≈ cos γ1 ≈1, получаем:

n1

a+

n2

b '= 1

R1(n2−n1 )

В этом случае изображение точечного источника в передней поверхности линзы тоже будет точечным, а полученную формулу можно назвать формулой преломления на единичной сферической поверхности.

Рассмотрим теперь преломление луча на второй сферической поверхности линзы. При этом сразу будем рассматривать приближение параксиальных лучей и воспользуемся уже готовой формулой. Пусть после второго преломления луч пересекает оптическую ось в точке S1. Точка S’ для второй поверхности будет служить мнимым источником. Обозначим BS’ = a’, а BS1 = b. Тогда для второй поверхности можно написать:

−n2

a '+

n1

b=−1

R2(n1−n2 )

После знака равенства стоит знак «−» потому, что вторая поверхность линзы искривлена в другую сторону. Сложив два последних уравнения, получаем:

n1

a+

n1

b+n2

a '−b 'a' b '

=(n2−n1 )( 1R1

+ 1R2 )

Если пренебречь толщиной линзы, то есть рассматривать только так называемые тонкие линзы, то a ' ≈ b ' . Значит, для тонкой линзы получаем:

1a+ 1

b=( n2

n1

−1)( 1R1

+ 1R2

)Если обозначить:

1f=( n2

n1

−1)( 1R1

+ 1R2

)то можно последнюю формулу переписать в виде:

1a+ 1

b=1

f

Полученная формула называется формулой линзы, а величина f называется фокусным расстоянием линзы.

Линзы бывают разные: двояковыпуклые, двояковогнутые, плосковыпуклые, плосковогнутые, выпукло-вогнутые. Однако все они делятся на два типа линз: собирающие и рассеивающие. Если на собирающую линзу направить параллельный пучок лучей, параллельный ее главной оптической оси, то после прохождения линзы все лучи пересекутся в одной точке, которая называется фокусом линзы. Если на рассеивающую линзу направить параллельный пучок лучей, параллельный ее главной оптической оси, то после прохождения линзы сами лучи не пересекутся, однако продолжения лучей пересекутся в одной точке, которая также называется фокусом линзы.

41

FF

FFF

1

2

3

F1

32

Каждая линза имеет два фокуса с обеих сторон от линзы. Для тонкой линзы оба ее фокуса отстоят от линзы на одинаковом расстоянии, которое и является фокусным расстоянием. Плоскости перпендикулярные оптической оси и пересекающие ее в фокусах, называются фокальными плоскостями. Параллельные лучи, падающие на линзу под углом к главной оптической оси, тоже пересекаются в одной точке в фокальной плоскости.

Фокусное расстояние собирающей линзы является положительным, а рассеивающей - отрицательным. Знак фокусного расстояния определяется как значениями показателей преломления линзы и окружающей ее среды, так и кривизной сферических поверхностей линзы. Радиус кривизны поверхности линзы считается положительным, если изнутри линзы данная поверхность является выпуклой и отрицательным, если вогнутой. Для двояковыпуклой линзы оба радиуса являются положительными, для двояковогнутой – оба радиуса отрицательные, а для выпукловогнутой линзы один радиус положительный, а другой отрицательный. Если одна из поверхностей линзы является плоской, то соответствующий радиус является равным бесконечности.

Принципы построения изображений в линзах такие же, что и в сферических зеркалах. Дли построения изображения точки достаточно найти точку пересечения хотя бы двух лучей (или их продолжений) после прохождения линзы. Для построения изображений в линзах также имеются три луча, ход которых всегда известен.

1) Если луч падает на линзу параллельно главной оптической оси, то после прохождения линзы либо сам луч (для собирающей линзы), либо его продолжение (для рассеивающей линзы) проходит через фокус линзы.

2) Если луч падает на собирающую линзу, проходя через ее фокус, или луч падает на рассеивающую линзу так, что его продолжение проходит через фокус линзы, то после прохождения линзы луч идет параллельно ее главной оптической оси.

3) Луч, падающий на линзу в ее центр, проходит линзу, не преломляясь.

Изображение протяженного предмета в линзе, также как и в сферическом зеркале, строится по точкам. Изображения предметов в линзах также могут быть действительными и мнимыми. Причем собирающая линза может давать как действительные так и мнимые изображения, а рассеивающая только мнимые. Изображение предмета в собирающей линзе является действительным, если расстояние от предмета до изображения больше фокусного расстояния, и мнимым, если меньше. В общем случае формула линзы может быть записана так:

1a

±1b=±

1f

Перед 1/b знак «+» ставится, если изображение действительное и знак «−», если изображение мнимое. Перед 1/ f знак «+» ставится, если линза собирающая и знак «−», если линза рассеивающая.

Из любого реального источника выходят расходящиеся лучи. Поэтому, если на линзу падает расходящийся пучок лучей, то источник считается действительным и перед 1/a для любого реального источника всегда стоит знак «+». Однако формально формулу линзы можно использовать и в случае, если на линзу падает сходящийся пучок лучей. В этом случае источник считается мнимым, а расстояние от линзы до точки, в которой пересекаются продолжения падающих лучей, называется расстоянием от мнимого источника до линзы и записывается со знаком «−».

Величина обратная фокусному расстоянию называется оптической силой линзы:

D=1f

42

Единицей измерения оптической силы является диоптрия (дптр).

Если h – высота предмета, а h1 – высота его изображения в линзе, то отношение поперечного размера изображения предмета к поперечному размеру самого предмета называется поперечным увеличением (Г). Легко показать, что

Г=h1

h=b

a

Недостатки линз

Сферическая линза – довольно несовершенный оптический элемент. На практике никогда не встречаются условия, полностью соответствующие выводу формулы тонкой линзы. Поэтому реальные сферические линзы всегда дают изображения с некоторыми погрешностями. Погрешности оптических систем называются аберрациями. Имеется несколько видов аберраций. Мы рассмотрим два наиболее существенных и часто встречаемых типа: сферическая и хроматическая аберрации.

Сферическая аберрация связана с нарушением приближения параксиальных лучей, которое практически всегда имеет место. Если не принимать условия cos α ≈ 1, то получается, что лучи, падающие на собирающую линзу под большими углами, преломляются сильнее. То есть, если рассмотреть построение изображения точечного источника в собирающей линзе, то изображение, даваемое лучами, падающими на линзу вблизи оптической оси, получается дальше от линзы, чем изображение, даваемое более далекими лучами. В результате изображение точечного источника оказывается растянутым вдоль оптической оси, то есть не является точкой. Рассеивающая линза тоже имеет сферическую аберрацию, но она противоположна сферической аберрации собирающей линзы. Таким образом, грамотной комбинацией собирающих и рассеивающих линз можно практически полностью исключить сферическую аберрацию.

Хроматическая аберрация связана с дисперсией света, а именно с тем, что при нормальной дисперсии волны с более короткой длиной волна преломляются сильнее. Так если, например, на собирающую линзу направит лучи от точечного белого источника света, то изображение, даваемое синими лучами будет получаться ближе к линзе, чем изображение, даваемое красными лучами. То есть изображение точечного белого источника будет представлять собой окрашенный отрезок. То же самое будет происходить и с изображением в рассеивающей линзе. Однако и в этом случае аберрации, даваемые собирающими и рассеивающими линзами, имеют противоположный знак, то есть, комбинируя собирающие и рассеивающие линзы, можно исключить хроматическую аберрацию.

Оптические системы

Если взять две тонкие линзы и расположить их вдоль одной оптической оси, то получим простейшую оптическую систему. Пусть источник находится на расстоянии а от первой линзы. Если бы не было второй линзы, то можно было бы записать:

1a+ 1

b '= 1

f 1

Однако имеется вторая линза и лучи, вышедшие из первой линзы, падают на вторую. При этом получается, что изображение источника в первой линзе как бы является источником для второй линзы. То есть, для второй линзы можно записать:

1a '

+ 1b= 1

f 2

Где a '- расстояние от изображения, даваемого первой линзой, до второй линзы. Если линзы сдвинуть вплотную друг к другу, то a '=−b ' (минус говорит о том, что источник для второй линзы является мнимым). Сложив эти два уравнения, получаем:

1a+ 1

b= 1

f 1

+ 1f 2

Или D=D 1+D2, то есть, оптическая сила системы двух сложенных вплотную тонких линз равна сумме их оптических сил. Это можно обосновать и для произвольного количества сложенных вплотную тонких линз.

Таким образом, если имеется оптическая система из нескольких сложенных вплотную тонких линз, то ее можно заменить одной линзой и писать для такой системы общую формулу линзы. Если же линзы или другие

43

оптические элементы расположены не вплотную, то их нельзя заменить одной линзой. В этом случае процедура получения изображения усложняется, однако можно пользоваться принципом последовательного построения изображений. Он заключается в следующем. Для построения изображения источника в оптической системе, состоящей из нескольких оптических элементов, надо сначала построить изображение этого источника в первом элементе системы. Далее это первое изображение объявляется источником для второго элемента системы и строится второе изображение. Это второе изображение объявляется источником для третьего элемента и так далее до получения конечного изображения. Здесь надо только учитывать, что некоторые промежуточные источники будут получаться мнимыми.

Для оптических систем также существуют две точки, называемые фокусами. Лучи проходящие через один из фокусов, выходят из системы параллельно оптической оси.

Оптические приборы

Предельное угловое разрешение среднего человеческого глаза (предельный угол между двумя точками, при котором их еще можно видеть раздельно) равен 1''. Это довольно маленький угол, однако очень часто его не хватает и приходится использовать оптические приборы, увеличивающие угол зрения.

Простейшим оптическим прибором, служащим для увеличения угла зрения, является лупа. Лупа – это короткофокусная собирающая линза. Для того, чтобы лучше рассмотреть предмет, лупу помещают между предметом и глазом. При этом предмет должен находиться между лупой и ее фокусом, причем близко к фокусу. При этом получается сильно увеличенное мнимое прямое изображение предмета, которое и рассматривается глазом. Угловое увеличение лупы равно:

Г= tgαtg α 0

=L0

f

Здесь α и α0 – угол, под которым наблюдатель видит предмет через лупу и без нее; L0 = 25 см - расстояние наилучшего зрения; f – фокусное расстояние лупы. Чем меньше фокусное расстояние лупы, тем больше ее угловое увеличение. Однако использование в качестве лупы линз с очень маленьким фокусным расстоянием приводит к сильному искажению изображения. Поэтому лупы обычно используют для получения максимум десятикратного увеличения.

Для получения еще большего углового увеличения используется микроскоп. Простейший микроскоп состоит из двух короткофокусных линз. Одна из них, ближайшая к предмету, называется объективом, а другая, ближайшая к глазу, называется окуляром. Предмет располагается сразу за фокусом объектива, как можно ближе к нему. При этом объектив создает сильно увеличенное действительное изображение предмета, которое затем рассматривается через окуляр как через лупу. Угловое увеличение микроскопа можно определить по формуле:

Г ≈L L0

f 1 f 2

Здесь L – длина тубуса микроскопа; L0 – расстояние наилучшего зрения; f1 и f2 – фокусные расстояния объектива и окуляра. Предел увеличения микроскопа ограничивается волновыми свойствами света и составляет 2000 – 2500.

Рассматривание очень удаленных предметов производят с помощью телескопа. Имеется несколько различных конструкций телескопов. Простейший телескоп – рефлектор или труба Кеплера состоит из двух собирающих линз. Одна из них – объектив является длиннофокусной, а вторая – окуляр является короткофокусной. Причем фокусы объектива и окуляра совпадают. Угловое увеличение телескопа равно:

Г=f 1

f 2

Здесь f1 и f2 – фокусные расстояния объектива и окуляра. Для получения максимального увеличения телескопа в качестве объектива необходимо использовать линзы с очень большим фокусным расстоянием. Еще одним показателем качества телескопа является увеличение яркости изображения. Это очень важный показатель особенно при наблюдении космических объектов. При наблюдении в телескоп видимая яркость

объектов увеличивается в ( f 1

f 2)

2

раз.

44

Еще два оптических прибора - фотоаппарат и проектор предназначены для получения действительного изображения объектов на экране. Их оптическая схема состоит фактически из одной собирающей линзы – объектива. В фотоаппарате объектив строит действительное уменьшенное изображение удаленных предметов на светочувствительном экране, находящемся фактически в фокальной плоскости объектива. В проекторе, наоборот, действительное увеличенное изображение предметов, находящихся почти в фокальной плоскости объектива, получается на удаленном экране.

Оптическая система глаза

Глаз – самая распространенная оптическая система. Устройство глаза очень сложное, но мы немного поговорим только об оптическом устройстве человеческого глаза.

Глаз представляет собой глазное яблоко (1) почти сферической формы, диаметр которого равен примерно 2,5 см. Сферичность глазного яблока обеспечивается избыточным внутриглазным давлением. В передней части глазного яблока имеется хрусталик (5), напоминающий по форме двояковыпуклую линзу. Хрусталик состоит из прозрачного эластичного материала и окружен мышцами (6), которые могут изменять кривизну поверхностей хрусталика, изменяя тем самым его фокусное расстояние. Хрусталик – линза создает действительное изображение предметов, находящихся перед глазом на задней стенке глазного яблока. Задняя стенка глазного яблока называется сетчаткой (9) и состоит из большого количества очень маленьких светочувствительных клеток, которые при попадании на них света генерируют электрические импульсы. Мозг собирает импульсы от всех светочувствительных клеток и формирует образ предметов, находящихся перед глазами человека. Светочувствительных клеток в сетчатке глаза очень много, но они располагаются в пределах сетчатки неравномерно. Наибольшая их плотность в центральной части сетчатки, а при удалении от центра плотность убывает. В центральной части сетчатки соседние светочувствительные клетки расположены друг от друга на угловом расстоянии ≈ 1''.

Когда мышцы хрусталика полностью расслаблены, хрусталик создает на сетчатке изображение предметов, находящихся на очень большом расстоянии от глаза. При напряжении мышц кривизна хрусталика увеличивается и он создает на сетчатке изображение предметов, находящихся ближе. Настройка глаза на рассматривание предметов, находящихся на определенном расстоянии от него называется аккомодацией. Говорят, что при полном расслаблении человеческий глаз аккомодирован на бесконечность, а при аккомодации на более близкое расстояние необходимо напрягать глазные мышцы.

Перед хрусталиком имеется радужная оболочка (3), в которой имеется отверстие переменного диаметра, называемое зрачком. Изменение диаметра зрачка происходит рефлекторно в зависимости от уровня освещенности. Диаметр зрачка может изменяться от 2 мм при ярком свете до 8 мм в полной темноте.

При полном расслаблении мышц хрусталика человеческий глаз аккомодирован на бесконечность, то есть человек хорошо видит удаленные предметы. Однако чтобы лучше рассмотреть некоторый предмет, его надо поместить ближе к глазам. При этом приходится напрягать мышцы хрусталика. Чем ближе находится предмет, тем более мелкие детали можно рассмотреть, но тем более приходится напрягать глаза. Самое маленькое расстояние, на котором человек может отчетливо видеть предметы, составляет примерно 15 см. Однако глаза при этом очень быстро устают и приходится отодвигать предмет дальше от глаз. Существует минимальное расстояние, на котором человеческий глаз может работать достаточно долго без особого напряжения. Это расстояние называется расстоянием наилучшего зрения и для среднего человеческого глаза считается равным 25 см. На этом расстоянии мы чаще всего держим книгу во время чтения. Причем это относится к человеку среднего возраста, ибо расстояние наилучшего зрения с возрастом изменяется. Например, для новорожденного ребенка оно примерно равно 10 см, а к старости увеличивается до 30 см и более.

Все приведенное выше относится к нормальному зрению. Однако глаза далеко не всегда являются нормальными. Часто хрусталик строит изображение не на сетчатке, а перед ней или за ней. В этом случае человек плохо видит либо близкие, либо удаленные предметы. Такие дефекты зрения корректируются очками. Пусть в расслабленном состоянии фокус хрусталика находится перед сетчаткой. Тогда глаз хорошо видит близкие предметы, но не может сфокусироваться на удаленных. При этом расстояние наилучшего зрения меньше нормального. Такое нарушение зрения называется близорукостью и корректируется очками с рассеивающими линзами. Если в расслабленном состоянии фокус хрусталика находится за сетчаткой, то человек хорошо видит удаленные предметы, но не может сфокусироваться на близких. При этом расстояние наилучшего зрения больше нормального. Такой дефект зрения называется дальнозоркостью и корректируется очками с собирающими линзами. С возрастом люди склонны к развитию дальнозоркости.

45

S

Ω

Элементы фотометрии

Фотометрия – раздел физики, изучающий вопросы излучения, распространения, регистрации, восприятия, и воздействия оптического излучения.

Фотометрические величины

Знакомство с фотометрией, в основном, сведется у нас к знакомству с физическими величинами, которые используются этой частью оптики.

Энергия излучения W – энергия, излучаемая телом, падающая на поверхность или проходящая через какое-либо сечение. Единица измерения – Джоуль (Дж).

Поток излучения Фе – мощность излучения. Единица измерения – Ватт (Вт).

Фe=ΔWΔt

Энергетическая экспозиция Не – энергия излучения, приходящаяся на единицу площади поверхности. Единица измерения – (Дж/м2).

H e=ΔWΔS

Энергетическая освещенность Ее – мощность излучения, приходящаяся на единицу площади освещаемой поверхности. Единица измерения – (Вт/м2).

Ee=ΔФe

ΔS

В реальности световые лучи почти никогда не бывают параллельными. От реального источника всегда распространяются расходящиеся лучи. Пусть из точечного источника S выходят световые лучи. Рассмотрим часть выходящих лучей, которые заключены внутри телесного угла Ω. Если пренебречь поглощением и рассеянием излучения атмосферой, то мощность излучения, проходящая внутри этого телесного угла на любом расстоянии от источника должна быть постоянной. Значит мощность излучения, распространяющаяся в единице телесного угла, может служить характеристикой точечного источника. Сила излучения Ie – мощность излучения, распространяющаяся в единице телесного угла. Единица измерения – (Вт/срад).

I e=ΔФe

ΔΩ

Если излучение точечного источника падает на поверхность, находящуюся на расстоянии R от источника, то на элемент поверхности площадью S падает поток, равный Фe=Ee S. Но S/R2=Ω - телесный угол, под

которым этот элемент поверхности виден из источника, а Фe=Ω I e. Отсюда получаем связь между энергетической освещенностью и силой излучения:

Ee=I e

R2

Это справедливо, если излучение падает на поверхность перпендикулярно. Если угол падения излучения равен α, то

Ee=I e

R2 cos α

Если точечный источник является изотропным, то есть сила излучения во всех направлениях одинакова и равна Ie, то полный поток, излучаемый источником равен Фe=Ω0 I e, где Ω0 – полный телесный угол, равный

4π срад. Значит для изотропного источника Фe=4 π I e.

Еще одна величина – плотность потока излучения – поток излучения, излучаемый единицей площади источника в единицу телесного угла. Единица измерения – (Вт/срад·м2).

Be=ΔФ

ΔΩ·ΔS=

Δ Ie

ΔS

46

V(λ)

λ, нм

760555380

1,0

Световые величины.

Все введенные выше характеристики являются энергетическими характеристиками излучения. Однако на практике очень часто излучение предназначено для визуального восприятия человеческим глазом. При этом энергетическая характеристика некоторого излучения ничего не скажет о том, как это излучение будет восприниматься человеком. Так, например, можно взять излучение двух лазеров: гелий - неонового и лазера на СО2. Пусть даже энергетические характеристики излучения этих двух лазеров будут одинаковыми, но излучение гелий - неонового лазера будет нам казаться очень ярким, а излучение лазера на СО2 мы не увидим вообще. Дело в том, что гели - неоновый лазер излучает монохроматическое излучение в красной области видимого диапазона спектра, а лазер на СО2 излучает в невидимом инфракрасном диапазоне. Поэтому в фотометрии очень часто используются не энергетические, а световые характеристики излучения.

При визуальном восприятии излучения одним из основных факторов является его спектральное распределение. Пусть человек видит излучение точечного источника, которое представляет собой смесь монохроматических излучений со всеми возможными длинами волн. Рассмотрим очень узкий спектральный диапазон, ограниченный длинами волн от λ до λ + Δλ. Сила излучения источника в пределах этого диапазона зависит от ширины диапазона Δλ. Если диапазон очень узкий, то есть, строго говоря, бесконечно узкий, то сила излучения в этом диапазоне прямо пропорциональна ширине диапазона. То есть, для бесконечно узкого спектрального диапазона от λ до λ + dλ можно написать:

d I e ( λ )=Ie ( λ ) dλ

Коэффициент пропорциональности Ie(λ), зависящий от длины волны, называется спектральной силой излучения. Тогда сила излучения источника в произвольном спектральном диапазоне от λ1 до λ2 определяется интегралом:

I e (λ1 , λ2)=∫λ1

λ2

I e ( λ ) dλ

Человеческий глаз воспринимает излучение в спектральном диапазоне от 380 нм до 760 нм. Причем спектральная чувствительность глаза в этом диапазоне не равномерная. Она практически равна нулю на краях диапазона и максимальна на длине волны 555 нм. Зависимость чувствительности человеческого глаза от длины волны называется функцией относительной спектральной видности человеческого глаза. Примерный график этой функции приведен на рисунке. Эта функция экспериментально измерена с очень большой точностью и считается известной.

Сила излучения, на которую реагирует человеческий глаз, равна:

I=k∫0

∞

I e ( λ )V ( λ )dλ

Эта величина называется силой света. Единицей измерения силы света является кандела (кд). Единица силы света в системе СИ – основная величина. Коэффициент k определяется выбором единицы силы света. Его численное значение равно 680 лм/Вт. Через единицу силы света определяются все остальные световые величины.

Величина E=k∫0

∞

Ee ( λ ) V ( λ ) dλ называется освещенностью. Единица измерения освещенности – люкс

(лк).

Величина Ф=k∫0

∞

Фe ( λ ) V ( λ ) dλ называется световым потоком. Единица измерения светового потока –

люмен (лм).

Величина B=k∫0

∞

Be ( λ ) V ( λ ) dλ называется яркостью. Единица измерения яркости – (кд/м2).

47

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Изменение физических понятий, вызванное теорией относительности, назревало задолго до Эйнштейна. Сразу после создания классической теории электродинамики в середине XIX века было отмечено, что волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея.

Пусть имеются две системы отсчета: одна неподвижная X, Y, Z – система К, а другая – X’, Y’ Z’ движется относительно первой с постоянной скоростью v – система К’. Пусть координатные оси X и X’, Y и Y’, Z и Z’ взаимно параллельны, а скорость v направлена вдоль оси Х. Пусть в начальный момент времени t = 0 начала координат обеих систем совпадают. Пусть в некоторый момент t координаты точки в неподвижной системе равны x, y и z. Тогда в подвижной системе координаты этой точки равны:

x '=x−vt ; y '= y ; z '=z

Кроме того, время в обеих системах течет одинаково, то есть t '=t . Эти формулы называются преобразованиями Галилея. Галилеем также был сформулирован принцип, который сейчас выглядит следующим образом. Во всех системах отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно относительно неподвижных звезд, а значит и относительно друг друга, все механические явления протекают совершенно одинаково. Этот принцип называется принципом относительности Галилея. Впоследствии этот принцип был распространен на все физические явления и процессы и стал одним из основных физических принципов. Этот принцип был неоднократно проверен с очень большой точностью и в настоящее время считается постулатом, то есть принципом, не требующим доказательства.

До середины XIX века считалось, что все физические законы должны быть инвариантны относительно преобразований Галилея. Это означает, что если в физическом законе координаты и время x, y, z и t заменить на x’, y’, z’ и t’ согласно преобразованиям Галилея, то справедливость закона должна остаться в силе. Однако после создания Максвеллом электромагнитной теории выяснилось, что волновое уравнение для электромагнитного поля неинвариантно относительно преобразований Галилея. Это послужило сильным толчком к переосмыслению основных физических понятий.

Было и еще одно обстоятельство. В XIX веке физики серьезно занимались поиском абсолютной системы отсчета. Это стало актуальным, когда выяснилось, что звезды не являются неподвижными и с ними нельзя связать абсолютную инерциальную систему отсчета. Была выдвинута гипотеза Мирового Эфира – всеобщей всепроникающей абсолютной неподвижной субстанции. Когда выяснилось, что свет – это волна, то считалось, что скорость света равна 3·108 м/с относительно неподвижного эфира, а в движущейся системе отсчета скорость света должна быть другой. Известно, что Земля движется вокруг Солнца со скоростью 30 км/с. И если измерять скорость света на Земле в разных направлениях, то она должна быть слегка разной. Были предприняты попытки обнаружить зависимость скорости света от направления. Разрешающая способность измерительной аппаратуры была доведена до такой степени, что можно было бы заметить относительное движение со скоростью 10 м/с. Однако никакой зависимости скорости света от движения системы отсчета обнаружено не было. Все измерения скорости света давали одно и то же значение.

Таким образом, в середине XIX века физики встали перед необходимостью пересмотра коренных физических понятий. Надо было отказаться либо от принципа относительности Галилея, либо от преобразований Галилея, то есть от классических формул преобразования координат и времени и следующих из них формул сложения скоростей. Либо надо было признать несостоятельной теорию Максвелла.

Еще в 1887 году Фогт показал, что можно добиться справедливости волнового уравнения в движущейся системе отсчета, если ввести понятие «местного времени». Однако это сообщение осталось незамеченным и еще раз появилось в 1892 году в работе Лоренца. Начиная с этого времени Лоренц опубликовал несколько работ, в которых он приходит к выводу, что для обеспечения независимости оптических явлений от движения системы отсчета надо предположить, что размеры тел изменяются в направлении движения. И, наконец, в 1904 году вышла его работа, где он показал, что можно формально добиться инвариантности волнового уравнения относительно движения системы отсчета, если при переходе от неподвижной системы отсчета X, Y, Z к движущейся X’, Y’, Z’ вместо классических преобразований координат пользоваться следующими преобразованиями:

x '= x−vt

√1− v2

c2

; y '= y ; z '=z ; t '=t− vx

c2

√1− v2

c2

48

В 1905 году была опубликована работа А. Эйнштейна «К электродинамике движущихся сред», в которой были обобщены результаты работы Лоренца и фактически была сформулирована специальная теория относительности. В этом же году французский физик и математик Пуанкаре фактически пришел к тем же результатам, однако в работе Эйнштейна специальная теория относительности была представлена в более фундаментальном и законченном виде. Эйнштейн фактически предложил новый взгляд на фундаментальные понятия физики. Поэтому именно работа Эйнштейна была признана основополагающей.

Специальная теория относительности опирается на два постулата. Первый постулат утверждает, что принцип относительности Галилея справедлив. Второй постулат утверждает, что скорость света всегда одинакова и не зависит ни от скорости движения источника ни от скорости движения наблюдателя.

Легко можно показать, что преобразования координат и времени, предложенные Лоренцем, являются следствиями постулатов Эйнштейна. Таким образом, в специальной теории относительности считается, что принцип относительности Галилея справедлив, а для преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой надо использовать не преобразования Галилея, а преобразования Лоренца. Далее мы коротко рассмотрим некоторые следствия из преобразований Лоренца и основные положения специальной теории относительности. В качестве неподвижной и подвижной систем отсчета будем рассматривать две системы X, Y, Z и X’, Y’, Z’, введенные в начале этой темы.

Относительность времени.

В классической механике считается, что время во всей вселенной течет одинаково. То есть вполне достаточно иметь всего одни часы, определяющие ход времени во вселенной. Все остальные часы вводятся только для удобства пользования временем. При этом понятия «раньше», «позднее», «одновременно» имеют абсолютное значение, не зависящее от системы отсчета. В СТО утверждается, что каждая система отсчета имеет свое собственное время, а понятия «единое время» вообще не существует. Причем разное время в разных системах отсчета не означает, что в одних системах часы идут правильно, а в других неправильно. В разных системах отсчета естественный ход событий действительно идет с разной скоростью.

Причем было бы неправильно думать, что привычное нам понятие единого времени является неправильным. Такое понятие установилось на основе повседневного опыта на протяжении всей истории развития человечества. И другого понятия о времени не могло и возникнуть, так как в доступной нам части вселенной и для доступных нам скоростей движения время действительно во всех системах отсчета идет одинаково.

Два события, происходящие в разных точках пространства, считаются одновременными, если они происходят в один и тот же момент времени. Причем понятие одновременности в классической механике считается абсолютным, то есть два события, происходящие одновременно в какой-либо одной системе отсчета, являются одновременными и в любой другой системе. Пусть два события происходят в неподвижной системе отсчета в точках х1 и х2 в один и тот же момент времени t. В движущейся системе отсчета эти два события происходят в моменты времени

t 1 '=t−

v x1

c2

√1− v2

c2

и t 2 '=t−

v x2

c2

√1− v2

c2

Интервал времени между этими двумя событиями в движущейся системе равен

Δt '=t2 '−t1 '=v (x2−x1)

c√c2−v2

То есть, не равен нулю. Значит, в движущейся системе эти два события являются неодновременными. Причем в зависимости от знака скорости интервал между этими событиями может как больше нуля, так и меньше. А не может ли случиться, что в некоторой системе отсчета причина и следствие поменяются местами. В СТО утверждается, что такого не может быть. Это утверждение приводит к следующему ограничению: никакие материальные воздействия, осуществляющие физическую связь событий, происходящих в разных точках, не могут передаваться со скоростью большей скорости света.

Пусть в подвижной системе отсчета в некоторой точке x0 ' происходят два события в моменты времени t 1 ' и

t 2 ' . В неподвижной системе эти два события происходят в моменты времени

49

t 1=t 1 '−

v x0 '

c2

√1− v2

c2

иt 2=t 2 '−

v x0 '

c2

√1− v2

c2

Отсюда:

Δt=t2−t1=t2

' −t 1 '

√1− v2

c2

или Δt '=Δt√1− v2

c2

Получается, что интервал времени между двумя событиями, измеренный в движущейся системе отсчета меньше, чем в неподвижной системе. Это значит, что течение времени в движущейся системе отсчета замедляется. Причем замедляется не только темп хода часов. При движении замедляются все физические процессы, химические реакции, а также все жизненные циклы внутри организма. Время, измеряемое по часам движущейся системы отсчета, называется собственным временем.

Относительность длины.

Пусть твердый стержень движется с постоянной скоростью v вдоль оси Х неподвижной системы отсчета К. Пусть в некоторый момент времени координаты начальной и конечной точек стержня вдоль оси Х равны х1 и х2. Свяжем со стержнем движущуюся систему отсчета К', в которой стержень неподвижен. Пусть координаты этих же начальной и конечной точек стержня в системе К' равны x1' и x2'. Из преобразований Лоренца получаем:

x2 '−x1 '=x2−x1

√1− v2

c2

Но x2 '−x1 '=l- длина стержня в системе отсчета, относительно которой он покоится, x2−x1=l ' - длина стержня в системе отсчета, относительно которой он движется. Отсюда получаем:

l '=l √1− v2

c2

Длина неподвижного тела называется собственной длиной. Таким образом, видим, что длина движущегося тела вдоль направления движения меньше собственной длины, то есть размеры тел в направлении движения сокращаются. Заметим, что длина тел в направлениях перпендикулярных направлению движения остается без изменения.

Следует обратить внимание на то, что при малых скоростях движения (v << c) формулы СТО переходят в формулы классической механики. Таким образом, классические представления, лежащие в основе механики Ньютона и сформировавшиеся на основе многовекового опыта наблюдения над медленными движениями, в специальной теории относительности соответствуют предельному переходу при v /c→ 0. В этом проявляется принцип соответствия.

Формулы сложения скоростей.

Пусть ux, uy, uz – компоненты скорости точки в неподвижной системе отсчета К, а ux', uy', uz' - компоненты ее скорости в подвижной системе К’. Тогда без вывода запишем:

ux=ux

' +v

1+vux '

c2

;u y=uy ' √1− v2

c2

1+vux '

c2

;uz=uz ' √1− v2

c2

1+v ux '

c2

Это есть формулы сложения скоростей в СТО.

Как известно из классической формулы сложения скоростей, если два тела движутся навстречу друг другу со скоростями v1 и v2, то относительная скорость их сближения равна v⃗отн=v⃗1+v⃗2. Скорость каждого из тел не может быть больше скорости света, но она может быть близка к ней. А если два тела летят навстречу друг другу со скоростями близкими к скорости света, не получится ли в этом случае относительная скорость больше

50

скорости света. Тогда можно было бы войти в систему отсчета одного из тел, а скорость второго оказалась бы выше скорости света. Воспользуемся первой из трех формул сложения скоростей. Пусть скорости тел v1 и v2, направлены вдоль оси Х. Свяжем подвижную систему отсчета со вторым телом. Тогда v=v2, ux=v1, а

ux '=v отн. В результате, относительная скорость равна:

vотн=v1−v2

1−v1 v2

c2

Если скорости тел направлены навстречу друг другу, то

vотн=v1+v2

1+v1 v2

c2

Анализ этой формулы показывает, что относительная скорость никогда не становится больше чем с. Даже если v1=v2=c, получается vотн=c.

Масса и энергия.

В динамике специальной теории относительности определение понятия импульса несколько изменяется. Вместо классического определения импульса P⃗=m v⃗ в СТО импульсом тела называется величина

P⃗= m v⃗

√1−v2

c2

Величина m в классической механике называемая массой в СТО часто называется массой покоя и обозначается m0. Дело в том, что величина

m=m0

√1− v2

c2

в СТО является мерой инертности тела, то есть также имеет смысл массы. Эта величина иногда называется релятивистской массой. В классической физике масса тела не зависит от скорости, а в СТО релятивистская масса возрастает с увеличением скорости. Причем при приближении скорости тела к скорости света его масса возрастает до бесконечности, делая невозможным достижения скорости света.

Кинетической энергией в СТО называется величина

W k=m0c2

√1− v2

c2

−m0 c2

Причем первый член в этом выражении

W=m0 c2

√1− v2

c2

=m c2

называется полной энергией тела, а второй член

W 0=m0 c2

называется энергией покоя.

Чрезвычайно важным выводом релятивистской механики является вывод о взаимосвязи массы с энергией

W=m c2. Причем даже покоящееся тело обладает колоссальной энергией, связанной с его массой покоя. Если масса частицы или системы частиц уменьшилась на Δm, то при этом должна выделиться энергия ΔW = Δm · c2. Многочисленные прямые эксперименты дают убедительные доказательства существования энергии покоя.

51

Первые экспериментальные подтверждения правильности соотношения Эйнштейна, связывающего массу и энергию, были получены при измерении масс частиц, участвующих в ядерных реакциях.

В классической механике существуют два качественно различных вида материи: вещество и поле. Вещество обладает массой, а поле – энергией. Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых важных выводов СТО. Выражение W=m c2 принято называть законом взаимосвязи массы и энергии. Любое тело, обладающее массой, имеет энергию. Однако верно и обратное: любая энергия обладает массой. Энергия, с которой мы сталкиваемся в жизни, довольно мала, чтобы она приводила к заметному изменению массы. Однако, например, из-за излучения масса Солнца ежесекундно уменьшается на 4 млн. тонн.

Комбинируя выражения для релятивистского импульса и полной энергии можно получить очень важную формулу, связывающую энергию и импульс:

W 2=c2(P2+m02 c2)

Полученной соотношение показывает, что могут существовать частицы, не обладающие массой покоя. Для таких частиц энергия связана с импульсом следующим соотношением: W=Pc. Такие частицы имеют массу

m=W /c2, однако эта масса полностью связана с энергией частицы. Частицы, не имеющие массы покоя невозможно остановить. Во всех системах отсчета скорость таких частиц может быть равна только предельной величине с. К безмассовым частицам относятся кванты электромагнитного поля – фотоны и, возможно, нейтрино.

52

ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА. СПЕКТРЫ ИЗЛУЧЕНИЯ

Излучение черного тела

Любое излучение представляет собой смесь излучений с различными длинами волн. Чистое монохроматическое излучение в природе не существует. Однако во многих случаях на практике имеет смысл говорить о монохроматическом излучении. Если излучение представляет собой смесь излучений с длинами волн, заключенными в очень узком диапазоне, и шириной этого диапазона в данной практической задаче можно пренебречь, то можно это излучение считать монохроматическим.

Со времен Ньютона известно, что свет можно разложить в спектр, пропустив его через стеклянную призму. Еще более качественные спектры дают дифракционные решетки. Для разложения сложного излучения в спектр предназначены приборы, называемые спектроскопами или спектрографами. На выходе спектрального прибора можно поставить экран с узкой щелью, которая из полученного спектра выделит узкий луч монохроматического света.

Спектры излучения бывают разные. Наиболее простые спектры имеет излучение разреженных газов. Если через газ, находящийся при небольшом давлении, пропустить электрический ток, то газ начинает излучать. Спектр такого излучения будет представлять собой систему узких линий излучения. Так, например, водород имеет в видимом диапазоне пять линий излучения, а натрий – одну. Спектры излучения, состоящие из конечного набора монохроматических линий, называются линейчатыми.

При увеличении давления газа его молекулы начинают взаимодействовать друг с другом, что приводит к уширению спектральных линий. С ростом плотности газа и особенно после конденсации газа в жидкость линии излучения расширяются настолько, что превращаются в полосы. Такие спектры называются полосатыми. Так большинство жидкостей имеют полосатые спектры излучения. Наконец, если силы взаимодействия между молекулами станут еще сильнее, то полосы излучения настолько расширятся, что перекроются друг с другом и сольются в сплошной спектр. Все твердые тела имеют сплошные спектры излучения.

Распределение интенсивности излучения по спектру зависит от температуры излучающего тела. Чем больше температура тела, тем большая часть излучения приходится на коротковолновую часть спектра или в излучении преобладают более высокие частоты. Если обычную лампу накаливания подключить к сети через реостат и изменять силу тока в ней, то при малых токах и малой температуре спирали лампа светит слабым красным светом. При увеличении силы тока температура спирали увеличивается и лампа начинает светить желтым и более ярким светом.

Однако тела могут не только излучать. Излучение тел становится заметным только при достаточно высоких температурах. Если же тело холодное, то его излучение не заметно, но оно, наоборот, может поглощать падающее на него излучение. Так, например, если через холодный разреженный газ пропускать сплошное излучение, то на фоне сплошного спектра появятся темные линии. Эти темные линии будут соответствовать участкам спектра, где излучение поглотилось газом. А это говорит о том, что разреженный газ не только излучает, но и поглощает только в отдельных линиях. Такие спектры называются спектрами поглощения.

При исследовании спектров излучения и поглощения выяснилось, что если тело имеет линейчатый спектр излучения, то и спектр поглощения у него тоже линейчатый. Более того, длины волн линий излучения в точности совпадают с длинами волн линий поглощения. То есть, тело в нагретом состоянии излучает в тех же участках спектра, в которых оно поглощает в холодном состоянии. Причем хорошо излучающие тела также хорошо поглощают излучение.

В теории излучения очень большое значение имеет модель абсолютного излучателя. Так как излучение и поглощение связаны друг с другом, то абсолютный излучатель одновременно является и абсолютным поглотителем. Поэтому абсолютный излучатель получил название абсолютно черное тело. Абсолютно черным телом называется тело полностью поглощающее все падающее на него излучение. Хорошим приближением к АЧТ является замкнутая полость, имеющая очень маленькое отверстие. Если внутренние стенки этой полости покрыть хорошо поглощающим материалом, например, графитом, то все попадающее внутрь полости излучение в результате многократных отражений окажется практически полностью поглощенным. Если такую полость нагреть до высокой температуры, то стенки полости начнут излучать и из отверстия начнет выходить излучение соответствующее абсолютному излучателю.

Спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела в конце XIX века была предметом пристального внимания физиков всего мира. В экспериментах на моделях АЧТ было получено много частных результатов. Экспериментально было получено, что зависимость спектральной интенсивности излучения АЧТ от длины волны имеет вид, представленный на рисунке. То есть эта зависимость имеет максимум. Причем при повышении температуры излучателя максимум интенсивности излучения сдвигается в сторону более коротких

53

длин волн. Зависимость длины волны максимума излучения АЧТ от температуры называется законом смещения Вина:

λm=2,89·10−3

T(м )

Поток излучения АЧТ прямо пропорционален четвертой степени абсолютной температуры. Этот факт также был получен экспериментально и называется законом Стефана – Больцмана:

Фe=σ T4 S ,

где σ = 5,67·10-8 Вт/м2·К4 называется постоянной Стефана – Больцмана.

Однако все попытки теоретического обоснования полученных результатов в рамках классической физики закончились неудачей. Это удалось сделать Максу Планку в 1900 году. Но при этом Планку пришлось сделать допущение, в корне противоречащее классическим представлениям об излучении света. Планк предположил, что излучатели света могут иметь не любую энергию, а лишь некоторый набор конкретных энергий, удовлетворяющих условию w=hνn, где n = 1, 2, 3,… При этом свет может излучаться только порциями, энергия которых равна w=hν . Коэффициент пропорциональности, равный h = 6,626·10-34 Дж·с, называется постоянной Планка. При этих предположениях Планк получил формулу для спектрального потока излучения абсолютно черного тела:

Фe=2 h c2

λ5 ·S

ehc / kTλ−1

Здесь h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; k – постоянная Больцмана. Эта формула полностью удовлетворяет всем экспериментальным результатам.

Излучение газов

Мы уже говорили о том, что классическая физика столкнулась с серьезными трудностями при объяснении процессов излучения света. Но если при излучении сплошного спектра какие-то частные закономерности еще можно было бы получить, исходя из классических соображений, то загадка излучения линейчатых спектров оказалась абсолютно недоступна.

Кирхгоф и Бунзен экспериментально установили, что в разреженном газообразном состоянии все вещества излучают линейчатые спектры. Причем спектры излучения полностью совпадают со спектрами поглощения и являются характеристиками для каждого газа. Это позволило создать аппарат спектрального анализа. К началу ХХ века были измерены и проанализированы спектры всех доступных газов. При этом было обнаружено, что спектры группируются в некоторые регулярные серии, а линии излучения внутри каждой серии подчиняются каким-то общим закономерностям.

Самый простой спектр имеет водород. В 1885 году Бальмер, изучая видимый спектр водорода, предложил простую формулу, которой подчиняются частоты спектральных линий водорода:

ν=R( 1

22−1

n2 ) , где n=3 , 4 ,5 ,…

Эта формула называется формулой Бальмера, а постоянная R = 3,29·1015 с-1 называется постоянной Ридберга. Несколько позднее Ридберг и Ритц предложили более общую формулу для линий излучения водорода:

ν=R( 1

m2−1

n2 )Здесь m = 1, 2, 3, …, а n = m+1, m+2, m+3, … Для каждого фиксированного m группа линий образует серию.

Серия Бальмера получается из этой формулы при m = 2. Ко времени написания этой общей формулы были известны еще две серии линий водорода: в ультрафиолетовой области спектра – серия Лаймана (m = 1) и в инфракрасной области – серия Пашена (m = 3). Причем совпадение рассчитываемых по этой формуле частот излучения с экспериментально измеряемыми значениями было просто абсолютно точным. То есть создавалось ощущение, что эта эмпирическая формула абсолютно точно отражает характер излучения водорода, но теоретически эта зависимость была совершенно непонятна.

54

Спектры излучения других газов не подчинялись этой формуле. Однако было подмечено, что если молекулы газа почти полностью ионизировать, то есть оставить в каждом атоме газа только по одному электрону, спектр излучения такого почти полностью ионизированного газа хорошо описывается формулой:

ν=R N2( 1

m2−1

n2 ) ,где N – порядковый номер газа в периодической таблице Менделеева. Такие почти полностью ионизированные газы, в атомах которых оставлено только по одному электрону, стали называться водородоподобными. Спектры излучения других газов тоже можно разделить на серии, внутри которых линии подчиняются аналогичным, но более сложным закономерностям.

55

V

А

А К

Ф1

Ф2 > Ф1

U

Uзад

I

IН

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ

Фотоэффект

При выводе формулы Планка впервые было введено понятие о минимальной порции энергии. В то время весь ученый мир, да и сам Планк, отнеслись к этому как к необходимой теоретической формальности. Однако вскоре эта идея потребовалась для теоретического обоснования еще одного явления - фотоэффекта. Явление фотоэффекта было впервые замечено Герцем, а подробно изучено Столетовым в конце XIX века. Фотоэффект – это явление вырывания электронов излучением из поверхности металла. Принципиальная схема установки для исследования фотоэффекта представлена на рисунке. К двум электродам, находящимся в вакууме на некотором расстоянии друг от друга, подключается источник. Один из электродов – катод изготавливается из металла, из которого под действием излучения легко вылетают электроны (чаще всего из цезия). Катод освещается светом и из него вылетают электроны. Источник создает между катодом и анодом электрическое поле, которое направляет вылетевшие электроны на анод. При этом в цепи возникает ток, фиксируемый амперметром.

Столетов экспериментально установил три закона фотоэффекта:

1) максимальная скорость вылетающих фотоэлектронов определяется только частотой излучения и не зависит от его интенсивности;

2) для любого вещества существует так называемая красная граница фотоэффекта - наименьшая частота или наибольшая длина волны излучения, для которой возможен фотоэффект;

3) количество фотоэлектронов, вылетающих из катода за единицу времени прямо пропорционально интенсивности излучения.

Кроме того экспериментально было установлено, что фотоэффект практически безинерционен, то есть при изменении условий освещения изменение фототока следует практически мгновенно.

Типичная вольтамперная характеристика фотоэффекта представлена на рисунке. Из этой характеристики видно, что электроны вылетают из катода с некоторыми начальными скоростями, так как даже при нулевой разности потенциалов между катодом и анодом в цепи течет ненулевой ток. Для прекращения фототока необходимо подать некоторое обратное напряжение, которое называется задерживающим напряжением. При возрастании прямого напряжения фототок возрастает, что свидетельствует о том, что все большее количество вылетевших электронов направляется электрическим полем на анод. Однако, начиная с некоторого значения фототок перестает возрастать с увеличением напряжения. Это свидетельствует о том, что практически все вылетевшие электрона достигают анода. Этот максимальный ток называется током насыщения.

Величина максимальной скорости вылетевших электронов может быть определена по величине задерживающего напряжения. А именно:

eU зад=me vmax

2

2

Существование задерживающего напряжения говорит о том, что при включении тормозящего электрического поля вылетевшим электронам для достижения анода приходится совершать работу против сил поля. И когда эта работа становится равна максимальной кинетической энергии вылетевших электронов, то ни один из вылетевших электронов уже не может достичь анода. Если изменять интенсивность облучения катода, оставляя частоту без изменения, то величина тока насыщения увеличивается с увеличением интенсивности излучения, а величина задерживающего напряжения не меняется. Изменить величину задерживающего напряжения можно, только изменив частоту излучения. То, что количество вылетевших электронов увеличивается с увеличением интенсивности излучения, понятно и с позиций классической физики, но то, что энергия вылетающих электронов при этом никак не меняется, оказалось совершенно непонятным.

Еще более неожиданным оказалось, что для каждого вещества существует минимальная частота или максимальная длина волны излучения (красная граница фотоэффекта), при которых фотоэффект существует. Если освещать катод даже слабым излучением, имеющим частоту больше этой граничной, то фотоэлектроны вылетают. Но если частота излучения меньше граничной, то ни один электрон не вылетает, даже при очень большой интенсивности излучения. Этот факт абсолютно непонятен в рамках классической физики. Еще одним непонятным моментом оказалась безинерционность фотоэффекта. Оценки, сделанные с классических позиций излучения показывали, что изменения условий освещения должны накапливаться постепенно и изменение фототока должно происходить спустя несколько минут после изменения освещения. Однако эксперименты показали, что изменение фототока следует мгновенно после изменения освещения.

56

В 1905 году Альберт Эйнштейн опубликовал работу, в которой предложил очень простое объяснение всех законов фотоэффекта. Опираясь на работу Планка, Эйнштейн предположил, что свет не только излучается, но и распространяется только порциями. Эти порции света Эйнштейн назвал фотонами. Энергия каждого фотона определяется его частотой и равна:

w=hν

При этом фотон нельзя разделить на части. То есть при поглощении фотон либо поглощается полностью, либо не поглощается совсем. Известно, что для того, чтобы вырвать электрон из металла, необходимо совершить некоторую минимальную работу, которая называется работой выхода электронов. При падении на поверхность металла фотон может поглотиться электроном, при этом вся его энергия перейдет электрону. Если этой энергии фотона хватает на преодоление работы выхода, то электрон может вылететь из металла, а если не хватает, то электрон вылететь не может. При этом, если электрон вылетел из металла, то можно записать закон сохранения энергии:

hν=Aвых+wmax

Здесь Авых – работа выхода; wmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов. Это уравнение называется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта.

Минимальная частота, при которой возможен вылет электрона, определяется условием: h νmin=Aвых. Это и есть красная граница фотоэффекта. Для каждого металла работа выхода является табличной величиной. Из уравнения Эйнштейна также сразу видно, что максимальная энергия вылетающих электронов, а значит и величина задерживающего напряжения для данного металла определяется только частотой падающих фотонов.

Объяснение законов фотоэффекта еще раз показало, что свет представляет собой поток частиц - фотонов. Фотоны оказались очень интересными объектами. Они одновременно обладают и свойствами волны и свойствами частиц. Поток фотонов может давать такие явления как интерференция и дифракция. Кроме того, фотоны как частицы имеют вполне конкретную энергию. Однако фотоны являются безмассовыми частицами, то есть масса покоя фотонов равна нулю. Можно говорить о массе фотонов, но их масса полностью обусловлена их энергией и равна

m=hν

c2= h

λc

Фотоны также обладают и импульсом. Импульс фотона равен:

p=wc=hν

c=h

λ

Модель атома Резерфорда. Постулаты Бора

Первая успешная модель атома была предложена Томсоном. Согласно этой модели, атом представлял собой заряженную сферу. Положительный заряд сферы был равномерно распределен по всему ее объему, а маленькие отрицательно заряженные электроны были вкраплены внутрь сферы так, что в целом атом был электрически нейтрален. Эта модель атома в свое время была весьма плодотворной и позволила объяснить многие закономерности, в частности дисперсию света. Однако закономерности излучения в рамках этой модели никак не объяснялись.

В 1910 – 1911 годах Э. Резерфорд провел серию блестящих опытов по рассеянию α – частиц на золотой фольге, в результате которых он пришел к заключению об ошибочности модели атома Томсона. Проанализировав результаты своих экспериментов, Резерфорд пришел к выводу, что атом практически пустой. Оказалось, что практически вся масса атома и весь его положительный заряд сконцентрированы в очень маленьком ядре. Причем, если размер атома составляет порядка 10-10 м, то размер атомного ядра по оценкам Резерфорда должен составлять порядка 10-15 м. А вокруг этого массивного и очень маленького положительного ядра распределены отрицательные электроны. Резерфорд предположил, что электроны вращаются вокруг ядра по круговым орбитам подобно планетам, вращающимся вокруг Солнца. Такая модель атома Резерфорда получила название планетарной.

Однако и планетарная модель атома Резерфорда тоже была внутренне противоречива, и это понимал сам Резерфорд. Дело в том, что согласно законам классической электродинамики, двигаясь по окружности вокруг атомного ядра, электрон должен излучать электромагнитные волны. При этом энергия электрона должна уменьшаться и в конце концов электрон должен потерять всю свою энергию и упасть на атомное ядро. Оценки показывали, что электрон должен упасть на ядро за время порядка 10 -8 с. В реальности, однако, мы имеем дело

57

со стабильными атомами. Кроме того, излучение, которое должен излучать электрон в результате торможения, должно иметь непрерывный спектр и никак не похоже на линейчатый спектр.

Постулаты Бора.

В 1913 году ученик Резерфорда, никому не известный молодой датский физик Нильс Бор предложил небольшие изменения классической физики с целью в рамках модели атома Резерфорда объяснить закономерности излучения атомов. Он предложил следующие постулаты.

1) Атомы построены по модели Резерфорда. Однако электроны могут вращаться вокруг ядра только по вполне определенным орбитам и при этом не излучают.

2) Разрешены только такие орбиты, для которых выполняется условие: 2 πrmv=nh. Здесь r – радиус орбиты; m – масса электрона; v – его скорость; n = 1, 2, 3, …

3) Атом может поглощать энергию, переходя в возбужденное состояние. При этом один из его электронов переходит на орбиту с более высоким числом n. Затем электрон может вернуться обратно на более низкую орбиту. При этом излучается энергия в виде кванта света. Энергия, поглощаемая атомом при переходе электрона на более высокую орбиту, также как и энергия, излучаемая атомом при переходе электрона на более низкую орбиту равна разности энергий электрона на этих двух орбитах.

Опираясь на сформулированные постулаты, Бор легко объяснил линейчатый спектр излучения водорода.

Пусть электрон вращается по круговой орбите вокруг ядра в атоме водорода. Полная энергия электрона равна сумме его кинетической энергии и потенциальной энергии его взаимодействия с ядром:

W=mv2

2−

k qe2

r

Согласно второму закону Ньютона, можно написать:

m v2

r=

k qe2

r2

Отсюда получаем:

W=−k qe

2

2 r

Выразив из второго постулата Бора скорость v и подставив ее во второй закон Ньютона, получаем радиусы разрешенных орбит электрона в атоме водорода:

rn=h2 n2

4 π2 k me qe2

А подставив радиус орбиты в формулу для энергии, получаем выражение для энергии электрона в атоме водорода:

W n=−2 π2 k2 me qe

4

h2 n2

Таким образом, электрон в атоме водорода может иметь не любую энергию, а только конкретный набор разрешенных энергий, определяемый целыми значениями числа n. Если электрон в атоме водорода переходит с орбиты, определяемой номером n на орбиту с номером m, то его энергия уменьшается на величину:

ΔW=W n−W m=2π2 k2 me qe

4

h2 ( 1m2−

1n2 )

Согласно третьему постулату Бора, при этом должен излучаться фотон, энергия которого равна этой разнице энергии. Частота излучаемого фотона равна:

ν= ΔWh

=2 π 2k 2me qe

4

h3 ( 1m2−

1n2 )

58

Эта формула по виду совпадает с эмпирической формулой для спектральных линий излучения водорода. Если посчитать значение выражения перед скобками, то получается значение 3,286·1015 с-1, что хорошо совпадает со значением постоянной Ридберга.

В основном невозбужденном состоянии электрон занимает орбиту с наименьшим разрешенным номером n. Если посчитать радиус орбиты электрона в атоме водорода в основном состоянии (n = 1), то получаем значение r = 0,53·10-10 м, или размер атома водорода 1,06·10-10 м, что хорошо согласуется с результатами прямых измерений.

Прекрасное согласие боровской теории атома водорода с экспериментом служило веским аргументом в пользу ее справедливости. Однако попытки применить эту теорию к более сложным атомам не увенчались успехом. Бор не смог дать физическую интерпретацию правилу квантования. Это было сделано десятилетием позже де Бройлем на основе представлений о волновых свойствах частиц. Де Бройль предложил, что каждая орбита в атоме водорода соответствует волне, распространяющейся по окружности вокруг атомного ядра. При этом если совместить второй постулат Бора 2 πrmv=nh с соотношением де Бройля mv=h / λ, то получаем:

2 πr=nλ. Стационарная орбита возникает в том случае, когда на орбите укладывается целое число длин волн. Другими словами, на стационарной орбите электрон образует стоячую волну. При этом снимается противоречие о том, что движущийся по окружности электрон не излучает. На самом деле мы имеем дело не с ускоренно движущимся электроном, а со стационарной стоячей волной и она не обязана излучать.

Успехи теории Бора в объяснении спектральных закономерностей в изучении атома водорода были поразительны. Стало ясно, что атомы – это квантовые системы, а энергетические уровни стационарных состояний атомов дискретны. Почти одновременно с созданием теории Бора было получено прямое экспериментальное доказательство существования стационарных состояний атома и квантования энергии. Дискретность энергетических состояний атома была продемонстрирована в опыте Д. Франка и Г. Герца в 1913 году, в котором исследовалось столкновение электронов с атомами ртути. Оказалось, что если энергия электронов меньше 4,9 эВ, то их столкновение с атомами ртути происходит по закону абсолютно упругого удара. Если же энергия электронов равна 4,9 эВ, то столкновение с атомами ртути приобретает характер неупругого удара, то есть в результате столкновения с неподвижными атомами ртути электроны полностью теряют свою кинетическую энергию. Это означает, то атомы ртути поглощают энергию электрона и переходят из основного состояния в первое возбужденное состояние. Согласно боровской концепции, при обратном самопроизвольном переходе атома ртуть должна испускать кванты с частотой 1,2·1015 Гц. Спектральная линия с такой частотой действительно была обнаружена в ультрафиолетовой части спектра в излучении атомов ртути.

При попытках объяснить спектры более сложных атомов теория Бора могла дать лишь некоторые качественные результаты. Впоследствии теория Бора была существенно доработана. В результате этих доработок состояние электрона в атоме стало определяться набором из четырех квантовых чисел. Основное квантовое число n по-прежнему определяет номер орбиты. Кроме этого электроны характеризуются орбитальным квантовым числом, магнитным квантовым числом и спином. Задание четырех квантовых чисел полностью определяет состояние электрона в атоме. Кроме того, заселенность квантовых состояний регулируется принципом запрета Паули, согласно которому никакие два электрона в атоме не могут находиться в одинаковом квантовом состоянии. Доработанная таким образом теория Бора стала исключительно формализованной теорией практически лишенной физического смысла. Однако вскоре были созданы основы квантовой механики, в которой все эти трудности были сняты.

Эффект Комптона.

Несмотря на удачное объяснение законов фотоэффекта, ученый мир не хотел признавать идею фотонов. Во-первых, это казалось шагом назад в эпоху Ньютона, а во-вторых, считалось, что законы фотоэффекта можно объяснить и с волновых позиций. Просто еще не объяснили. Ситуация с признанием фотонов резко изменилась, когда в 1922 году Комптон провел опыты по рассеянию рентгеновских лучей на свободных электронах и обнаружил, что при этом длина волны рассеянного излучения увеличивается. Экспериментально было обнаружено, что при рассеянии излучения на угол φ изменение его длины волны не зависит от первоначальной длины волны, а определяется только углом рассеяния φ и составляет:

Δλ=0,0242 (1−cosφ ) ·10−10 м

В 1923 году Комптон и Дебай предложили теоретическое объяснение этого эффекта, представляя взаимодействие излучения с электронами как рассеяние фотонов на свободных электронах. Считая взаимодействие фотона с электроном абсолютно упругим, можно записать законы сохранения импульса и энергии:

59

{h⃗ ν0

c=

m0 v⃗

√1−v2

c2

+h⃗νc

hν0+m0 c2=hν+m0 c

2

√1− v2

c2

Записав теорему косинусов для треугольника импульсов, эту систему можно переписать в виде:

{m0

2 v2

1− v2

c2

=( h ν0

c )2

+( hνc )

2

−2h2 ν ν0

c2 cosφ

h ν0+m0 c2=hν+m0c2

√1− v2

c2

Решив эту систему, можно получить:

ν0−ν=hν ν0

m0 c(1−cos φ ) или Δλ= h

m0c(1−cosφ )

Величина

Λ= hm0 c

=0,0242 ·10−10 м

и называется комптоновской длиной волны. Таким образом эффект Комптона еще раз убедительно подтвердил существование фотонов и наличие у них энергии и импульса.

Частицы и волны.

В 1923 году произошло примечательное событие, которое в значительной степени ускорило развитие квантовой физики. Французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно – волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами.

Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связаны, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия и импульс, а с другой стороны, волновые характеристики – частота и длина волны. Корпускулярные и волновые характеристики для фотонов связаны следующим соотношением:

p=wc=hν

c=h

λ

Луи де Бройль предположил, что любая частица, обладающая импульсом, может одновременно рассматриваться как волна. Причем связь длины волны с импульсом такая же как для фотонов:

λ= hp= h

mv

На свойствах движения обычных тел это предположение никак не сказывается, так как для обычных тел длина волны получается чрезвычайно мала. Однако для таких маленьких объектов как электроны, волновые свойства должны проявляться. Так для электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов 100 В длина волны должна быть порядка расстояния между молекулами в кристаллической решетке. Гипотеза де Бройля поначалу не имела никакого экспериментального подтверждения и основывалась только на соображениях симметрии свойств материи. Однако вскоре она послужила резким толчком к развитию новых представлений о природе материи. В течении нескольких лет после этого рядом выдающихся физиков –

60

Шредингером, Бором, Гейзенбергом, Дираком и другими – были разработаны основы принципиально новой физики – квантовой механики.

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году американскими физиками К. Девиссоном и Л. Джермером. Они обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся на кристалле никеля, дает отчетливую дифракционную картину, подобную той, которая возникает при рассеянии на кристалле коротковолнового рентгеновского излучения. В этих экспериментах кристалл играл роль естественной дифракционной решетки. По положению дифракционных максимумов была определена длина волны электронного пучка, которая оказалась в полном соответствии с формулой де Бройля. Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств микрочастиц привело к выводу о том, что это универсальное явление природы, общее свойство материи.

Всем микрообъектам присущи и волновые, и корпускулярные свойства, однако, они не являются ни волной, ни частицей в классическом понимании. Разные свойства микрообъектов не проявляются одновременно, они дополняют друг друга. Только их совокупность характеризует микрообъект полностью. В этом заключается сформулированный знаменитым датским физиком Н. Бором принцип дополнительности. Можно условно сказать, что микрообъекты распространяются как волны, а обмениваются энергией как частицы.

Теоретические основы квантовой механики были заложены швейцарским физиком Шредингером. Он развил идею де Бройля и записал волновое уравнение для электрона. В этой новой теории состояние электрона характеризуется волновой функцией. В квантовой механике принципиально утверждается, что, зная состояние электрона в данный момент времени, мы не можем точно предсказать его дальнейшее поведение. Мы можем только сказать, что электрон поведет себя или иначе лишь с некоторой вероятностью. Волновая функция как раз и определяет вероятностное поведение электрона. А именно, квадрат волновой функции представляет собой плотность вероятности нахождения электрона в данной точке пространства.

Рассмотрим мысленный эксперимент дифракции пучка электронов на отверстии. Реально такой эксперимент неосуществим, так как размер отверстия для наблюдаемой дифракции должен иметь порядок длины волны. Однако для самых легких частиц – электронов длина волны настолько мала, что такое отверстие сделать невозможно. Итак пусть пучок электронов падает на одиночное отверстие. На фотопластинке, расположенной за отверстием, как и в случае световой волны, мы должны получить центральное пятно и систему светлых и темных колец.

С точки зрения волновой теории, максимумы в картине дифракции электронов соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. В области максимумов, зарегистрированных на фотопластинке, попадает большее число электронов. Но принципиально невозможно предсказать, куда попадет каждый конкретный электрон после рассеяния, существует лишь определенная вероятность попадания электрона в то или иное место. Таким образом, описание состояния микрообъекта и его поведения может быть дано только на основе понятия вероятности.

Принцип неопределенности.

Представить частицу одновременно волной с обычной точки зрения очень сложно. Для нас под понятием частица подразумевается объект, имеющий вполне определенные геометрические размеры, то есть, занимающий вполне определенный объем пространства. А под волной мы понимаем нечто не имеющее конкретных пространственных ограничений. Как можно, например, электрон, который мы обычно принимаем за материальную точку, то есть объект вообще не имеющий геометрических размеров, представить волной. Ведь у волны должна быть, по крайней мере, хотя бы длина волны. Об этом думал еще сам Луи де Бройль и предложил рассматривать частицы в виде так называемых волновых пакетов. В теории волн есть такое понятие – волновой пакет. За волновой пакет может быть принят одиночный всплеск на поверхности воды, или звук от резкого хлопка.

Однако, даже представляя движущуюся частицу в виде волнового пакета, мы сталкиваемся с некоторыми трудностями принципиального характера. Так например, непонятно что считать координатой волнового пакета, если он представляет собой некоторый «кусочек волны». Если мы хотим как можно точнее определить координату частицы, то мы должны предположить, что размеры волнового пакета очень малы. Но для очень маленького волнового пакета невозможно сказать что-либо определенное о его длине волны. А значит и невозможно сказать что-либо определенное и об импульсе частицы. Наоборот, если мы хотим поточнее определить импульс частицы, то мы должны поточнее определить ее длину волны, а значит размеры волнового пакета должны быть такими, чтобы укладывалось хотя бы несколько длин волн. Но при этом определение координаты частицы становится очень неточным. Это абстрактное рассмотрение приводит к выводу, что стремление точного определения координаты частицы приводит к неопределенности ее импульса и наоборот.

Другой пример – рассмотренный выше случай дифракции пучка электронов на одиночном отверстии. Тот факт, что за экраном наблюдается дифракция электронов, говорит о том, что после прохождения экрана электроны отклоняются от прямолинейного распространения, то есть у них появляется составляющая импульса перпендикулярная начальному направлению их распространения (составляющая импульса вдоль оси Х).

61

Причем величина дифракционного эффекта тем больше, чем меньше размер отверстия. То есть при уменьшении размера отверстия составляющая рх увеличивается. Наоборот, при увеличении размера отверстия рх ≈ 0. Но при большом отверстии мы ничего не знаем о том, в каком месте электрон пересек экран, то есть, у нас нет достоверной информации о х-овой координате электрона. Наоборот, при уменьшении размера отверстия у нас появляется определенность в х-овой координате электрона, но появляется неопределенность в х-овой составляющей импульса электронов, так как электрона начинают отклоняться в результате дифракции.

Гейзенберг обратил внимание на эту неопределенность, проанализировал ее и сформулировал в виде математического соотношения. В каждой конкретной ситуации координата частицы и проекция ее импульса на эту координатную ось не могут быть одновременно измерены абсолютно точно. Пусть предельно возможная неопределенность координаты частицы равна Δх, а предельная неопределенность ее импульса Δрх. Гейзенберг показал, что эти неопределенности связаны друг с другом соотношением:

Δx·Δ px h

Здесь знак «~» означает равенство по порядку величины. Да и то это справедливо только для предельно возможных неопределенностях. Так что здесь должно стоять неравенство, означающее «больше или порядка». Аналогичные соотношения можно записать для двух других координатных осей. Таким образом, имеем:

Δx·Δ px h

Δy·Δ py h

Δz·Δ pz h

Эти соотношения называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга. Причем эти соотношения имеют принципиальный характер. Они не связаны с несовершенством измерительной аппаратуры или с какими-либо другими техническими трудностями.

Соотношение неопределенностей можно записать и для другой пары величин: энергии и времени. Так как энергия и время – величины скалярные, то для них имеется только одно соотношение:

ΔW·Δt h

Смысл этого соотношения в следующем: если мы можем наблюдать частицу в течение времени Δt, то мы не можем определить ее энергию с точностью, превышающей h/Δt.

Соотношение неопределенностей отражает вероятностный характер описания состояния частиц в квантовой механике. Оно делает несостоятельным принцип детерминизма в классической механике. Согласно законам классической механики, если известно состояние тела в некоторый момент времени и известны все действующие на него силы, то можно абсолютно точно определить его положение в любой последующий момент времени. В XIX веке считалось, что если определить положение и скорости всех атомов и молекул во Вселенной, то можно абсолютно точно предсказать ее дальнейшее развитие. Квантовая физика отвергает этот принцип. Она говорит, что можно предсказать только вероятность развития Вселенной в том или ином направлении.

Рассмотрим еще один мысленный эксперимент – дифракцию электронного пучка на двух щелях. Схема этого эксперимента совпадает со схемой оптического интерференционного опыта Юнга. Анализ этого эксперимента позволяет проиллюстрировать логические трудности, возникающие в квантовой теории. Те же проблемы возникают при объяснении оптического опыта Юнга, исходя из концепции фотонов.

Если в опыте по наблюдению дифракции электронов на двух щелях закрыть одну из щелей, то мы получим на фотопластинке результат интерференции электронов на одной щели. Если открыть только одну вторую щель, то опять получим результат интерференции на одной щели. Причем если сложить эти две дифракционные картины, то мы не получим результат интерференции на двух щелях. Если открыта только одна щель, то все электрона пролетают через нее. Если же открыты две щели, то возникает вопрос, через какую щель пролетел тот или иной электрон? Ответ здесь может быть только один. Каждый электрон одновременно пролетает через обе щели. С этим психологически трудно смириться. Это легко представить в случае интерференции света, представляя свет электромагнитной волной. Однако, если рассматривать свет как поток

62

фотонов, то получается такое же противоречие. Непонятно через какую именно щель пролетел тот или иной фотон.

Необходимо принять, что и в случае фотонов и в случае электронов каждый конкретный фотон и электрон одновременно проходят через обе щели. То есть каждый конкретный электрон, фотон и любая другая частица интерферируют сами с собой.

Вынужденное излучение. Лазеры

Лазеры или оптические квантовые генераторы – это современные когерентные источники излучения, обладающие целым рядом уникальных свойств. Создание лазеров явилось одним из самых замечательных достижений физики второй половины XX века, которое привело к революционным изменениям во многих областях науки и техники. К настоящему времени создано большое количество лазеров с различными характеристиками – газовых, твердотельных, полупроводниковых, излучающих свет в различных оптических диапазонах. Лазеры могут работать в импульсном и непрерывном режимах. Мощность излучения лазеров может изменяться в пределах от долей милливатта до 1012–1013 Вт (в импульсном режиме). Лазеры находят широкое применение в военной технике, в технологии обработки материалов, в медицине, в оптических системах навигации, связи и локации, в прецизионных интерференционных экспериментах, в химии, просто в быту и т. д. Хотя первый лазер был построен сравнительно недавно (1960 г.), современную жизнь уже невозможно представить без лазеров.

Одним из важнейших свойств лазерного излучения является чрезвычайно высокая степень его монохроматичности, недостижимая в излучении нелазерных источников. Это и все другие уникальные свойства лазерного излучения возникают в результате согласованного, кооперативного испускания световых квантов многими атомами рабочего вещества.

Чтобы понять принцип работы лазера, нужно более внимательно изучить процессы поглощения и излучения атомами квантов света. Атом может находиться в различных энергетических состояниях, которые в теории Бора называются стабильными. На самом деле стабильным состоянием, в котором атом может находиться бесконечно долго в отсутствие внешних возмущений, является только состояние с наименьшей энергией. Это состояние называют основным. Все другие состояния называются возбужденными и являются нестабильными. Возбужденный атом может пребывать в этих состояниях лишь очень короткое время, порядка 10 –8 с, после этого он самопроизвольно переходит в одно из низших состояний, испуская квант света, частоту которого можно определить из третьего постулата Бора. Излучение, испускаемое при самопроизвольном переходе атома из одного состояния в другое, называют спонтанным. На некоторых энергетических уровнях атом может пребывать значительно большее время, порядка 10–3 с. Такие уровни называются метастабильными.

Переходы между энергетическими уровнями атома не обязательно связаны с поглощением или испусканием фотонов. Атом может приобрести или отдать часть своей энергии и перейти в другое квантовое состояние в результате взаимодействия с другими атомами или столкновений с электронами. Такие переходы называются безизлучательными.

Теперь самое главное. В 1916 году А. Эйнштейн предсказал, что переход электрона в атоме с верхнего энергетического уровня на нижний может происходить под влиянием внешнего электромагнитного поля, частота которого равна собственной частоте перехода. Возникающее при этом излучение называют вынужденным или индуцированным. Вынужденное излучение обладает удивительным свойством. Оно резко отличается от спонтанного излучения. В результате взаимодействия возбужденного атома с фотоном атом испускает еще один фотон той же самой частоты, распространяющийся в том же направлении. На языке волновой теории это означает, что атом излучает электромагнитную волну, у которой частота, фаза, поляризация и направление распространения точно такие же, как и у первоначальной волны. В результате вынужденного испускания фотонов амплитуда волны, распространяющейся в среде, возрастает. С точки зрения квантовой теории, в результате взаимодействия возбужденного атома с фотоном, частота которого равна частоте перехода, появляются два совершенно одинаковых фотона-близнеца.

Именно индуцированное излучение является физической основой работы лазеров.

Рассмотрим слой прозрачного вещества, атомы которого могут находиться в состояниях с энергиями W1 и W2 > W1. Пусть в этом слое распространяется излучение резонансной частоты перехода ν = ΔW / h. Согласно распределению Больцмана, при термодинамическом равновесии заселенность нижнего уровня (n1) будет всегда больше заселенности верхнего (n2). Эйнштейн показал, что процесс поглощения фотона невозбужденным атомом и процесс индуцированного испускания кванта возбужденным атомом имеют одинаковые вероятности. Так как n2 < n1 поглощение фотонов будет происходить чаще, чем индуцированное испускание. В результате прошедшее через слой вещества излучение будет ослабляться.

Чтобы проходящая через слой вещества волна усиливалась, нужно искусственно создать условия, при которых n2 > n1, т. е. создать инверсную населенность уровней. Такая среда является термодинамически

63

1

2

3

неравновесной. Идея использования неравновесных сред для получения оптического усиления впервые была высказана В. А. Фабрикантом в 1940 году. В 1954 году русские физики Н. Г. Басов и А. М. Прохоров и независимо от них американский ученый Ч. Таунс использовали явление индуцированного испускания для создания микроволнового генератора радиоволн с длиной волны λ = 1,27 см. За разработку нового принципа усиления и генерации радиоволн в 1964 году все трое были удостоены Нобелевской премии.

Существуют различные способы получения среды с инверсной населенностью уровней. В рубиновом лазере используется оптическая накачка. Атомы возбуждаются за счет поглощения света. Но для этого недостаточно только двух уровней. Каким бы мощным не был свет лампы – накачки, число возбужденных атомов не будет больше числа невозбужденных. В рубиновом лазере накачка производится через третий выше расположенный уровень. При этом второй уровень должен быть метастабильным. Активную зону облучают светом, энергия фотонов которого соответствует переходам электронов с уровня 1 на уровень 3. Уровень 3 обычный и спустя 10-8 с электроны переходят обратно: часть на уровень 1, а часть на уровень 2. Электроны попавшие на уровень 1 излучение опять переводит на уровень 3. А электроны, попавшие на уровень 2 остаются на нем из-за большого времени жизни. В результате заселенность уровня 2 оказывается выше заселенности уровня 1, то есть создается инверсная заселенность.

На практике вынужденное излучение реализуется следующим образом. Активная среда помещается между двумя параллельными зеркалами. После создания аномально высокой заселенности уровня 2 (накачки) атомы начинают спонтанно излучать. Излучаемые при этом фотоны никак друг с другом не связаны и подавляющая их часть покидает активную зону, не вызвав никакого вынужденного излучения. Однако существует некоторая часть фотонов, которые после излучения полетели строго вдоль оси системы (перпендикулярно плоскости зеркал). Эти фотоны, отражаясь от зеркал, будут распространяться в обратном направлении, многократно проходя через активную зону и вызывая вынужденное излучение атомов. При этом вынужденное излучение направлено в том же направлении. То есть при каждом прохождении поток фотонов будет лавинообразно возрастать. Одно из зеркал делается частично прозрачным чтобы излучение через него выходило наружу.

Одним из самых распространенных лазеров в настоящее время является газовый лазер на смеси гелия и неона, излучающий на длине волны 632 мкм (ярко-красный цвет). Излучение He–Ne лазера обладает исключительной монохроматичностью. Расчеты показывают, что спектральная ширина линии генерации He–Ne лазера составляет примерно Δν ≈ 5·10–4 Гц. Это фантастически малая величина. Длина когерентности его излучения составляет ≈ 6·1011 м, то есть больше диаметра земной орбиты!

64

ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА

Естественная радиоактивность.

Успехи химии в XVII – XIX веках свидетельствовали об атомах как о некоторых стабильных частицах, способных вступать в любые химические реакции, не изменяя своей индивидуальности, и восстанавливаться обратно. Однако в конце XIX века выяснилось, что некоторые атомы способны самопроизвольно распадаться, превращаясь в атомы других элементов. Усилиями Анри Беккереля, Пьера Кюри, Марии Складовской – Кюри и Резерфорда было открыто явление естественной радиоактивности. Было обнаружено, что атомы некоторых крайних элементов таблицы Менделеева (в основном, уран) испускают некоторое излучение, которое способно засвечивать фотографические пластинки. Экспериментально было установлено, что это излучение сопровождается выделением большого количества энергии. Также экспериментально было установлено, что характер этого излучения не зависит от того в каком агрегатном состоянии находится этот элемент или в состав какого химического соединения он входит. По-видимому, процессы, управляющие этим излучением, находятся глубже уровня химических связей и межмолекулярного взаимодействия.

Пропустив пучок этого излучения через магнитное поле, обнаружили, что пучок распался на три пучка. Стало понятно, что это излучение представляет собой смесь трех различных излучений. Один из пучков отклонился магнитным полем в ту же сторону, в которую отклоняются положительно заряженные частицы. Это излучение стали называть α – излучением. Второй пучок отклонился магнитным полем в противоположную сторону, то есть как отрицательно заряженные частицы. Это излучение стали называть β – излучением. Третий пучок магнитным полем вообще не отклонился, то есть он представляет собой пучок нейтральных частиц. Это излучение стали называть γ – излучением.

Последующие эксперименты позволили сделать следующие выводы относительно природы этих излучений.

1) α – излучение представляет собой поток дважды ионизированных атомов гелия. После того как стало известно, что атом гелия имеет два электрона, то стало ясно, что α – частицы – это ядра атомов гелия. Было обнаружено, что при α – излучении меняется химический состав излучающего вещества.

2) β – излучение представляет собой поток электронов. Причем было установлено, что электроны излучаются не из электронных оболочек атомов, а именно из атомных ядер. Но, как известно, в атомных ядрах электронов нет. Значит электроны образуются в момент β – распада. β – излучение тоже сопровождается изменением химического состава излучающего вещества.

3) γ – излучение представляет собой электромагнитное излучение, то есть поток фотонов. Энергия фотонов γ – излучения очень велика (порядка 20 МэВ). То есть, это излучение имеет длину волны значительно меньшую, чем рентгеновское излучение.

Явление самопроизвольного распада ядер некоторых последних элементов таблицы Менделеева получило название естественной радиоактивности.

Развитие методов масс – спектрометрии показало, что химические элементы представляют собой смесь атомов, имеющих одинаковый заряд ядра, но разные массы. Причем химические свойства определяются исключительно строением электронных оболочек атомов, а значит зарядом ядра. Поэтому с химической точки зрения разница в массе атомов является совершенно незаметной. Однако эта разница оказалась весьма существенной с точки зрения стабильности атомного ядра. Когда в 30-х годах ХХ века был открыт нейтрон, стало ясно, что атомные ядра состоят из протонов и нейтронов. Принадлежность химического элемента определяется зарядом ядра его атомов, то есть количеством протонов в его ядрах. При этом количество нейтронов может быть разным. Атомы, имеющие одинаковый заряд ядра, но разную массу, называются изотопами. Все природные химические элементы представляют собой смесь изотопов. Однако в атомном ядре может существовать не любое количество нейтронов. Существуют лишь некоторые стабильные комбинации протонов и нейтронов. Для элементов с небольшим зарядом ядра стабильными являются ядра, в которых количество протонов примерно равно количеству нейтронов. С ростом заряда ядра стабильное отношение количества нейтронов к количеству протонов возрастает и к концу таблицы Менделеева достигает значения 2,6. Все остальные комбинации протонов и нейтронов являются нестабильными и такие ядра распадаются.

Атомы химических элементов характеризуются зарядом и массой ядра и обозначаются X pm. Здесь р –

зарядовое число, равное количеству протонов в ядре, а m – массовое число, равное суммарному количеству протонов и нейтронов. Изотопы одного элемента имеют одинаковые зарядовые, но разные массовые числа. Так как массы протонов и нейтронов практически одинаковы, то массы изотопов отличаются друг от друга на целое число а. е. м. (1 а. е. м. = 1,667·10-27 кг). Протон и нейтрон с точки зрения ядерных взаимодействий практически ничем не отличаются друг от друга. Поэтому в ядерной физике их часто называют одним словом – нуклон. Изотопы имеются практически у всех элементов. Например, у водорода их три. Основной изотоп водорода имеет в ядре только один протон. Он, собственно, и называется водородом. Изотоп, имеющий в ядре один протон и один нейтрон, называется дейтерием. Это стабильный природный изотоп. Изотоп, имеющий в ядре

65

один протон и два нейтрона, называется тритием. Это нестабильный изотоп. В природе он не встречается, а получается в результате ядерных реакций.

Как уже указывалось, α и β – распады сопровождаются изменением химического состава вещества. α –

распад происходит по схеме: X pm→ α 2

4+Y p−2m−4. При этом заряд ядра уменьшается на 2 единицы, а масса на 4

единицы, а сам элемент смещается на две позиции к началу периодической системе Менделеева. Аналогично, β

– распад происходит по схеме: X pm→ β−1

0 +Y p+1m . При этом заряд ядра увеличивается на единицу, а масса не

изменяется, а сам элемент смещается на одну позицию к концу таблицы Менделеева. Приведенные схемы α и β – распадов называются правилами смещения.

Закон радиоактивного распада.

Распад атомных ядер имеет статистический характер. Это значит, что если имеется радиоактивное ядро, то оно должно распасться. Однако никто не знает, когда именно распадется это ядро. Можно лишь сказать, что имеется определенная вероятность того, что это ядро распадется в течение конкретного промежутка времени. Причем, если промежуток времени Δt достаточно мал, то эта вероятность прямо пропорциональна Δt. Пусть имеется N нестабильных ядер. Количество ядер, распавшееся за бесконечно маленький промежуток времени dt прямо пропорционально общему количеству ядер и промежутку времени:

dN=−αNdt

Здесь α – коэффициент пропорциональности; знак «-» означает, что в результате распада количество нестабильных ядер уменьшается. Интегрируя это выражение, получаем:

N ( t )=N0 e−αt

Здесь N0 – начальное количество нестабильных ядер при t = 0. Это и есть закон радиоактивного распада. Видно, что все радиоактивные ядра распадутся за бесконечно большое время. Коэффициент α характеризует скорость распада. Однако на практике для характеристики скорости распада применяется величина, называемая периодом полураспада - Т. Это время, за которое распадается половина первоначально нестабильных ядер. Поэтому обычно закон радиоактивного распада записывается в виде:

N ( t )=N0 2−t /T

Значения периодов полураспада очень разные. Они могут изменяться от 10 -23 с до миллиардов лет. В настоящее время таблица Менделеева насчитывает более ста элементов. Однако последний из естественных элементов – уран имеет порядковый номер 92. Остальные элементы получены искусственно, в основном, в ядерных реакциях. Дело в том, что во времена формирования Солнечной системы образовалось очень много элементов и так называемые трансурановые элементы в том числе. Однако все нестабильные элементы к настоящему времени давно распались, и их в природе уже нет. Последний естественный элемент – уран тоже является нестабильным, но его период полураспада равен 4,5 млрд. лет и поэтому он до сих пор еще не успел полностью распасться.

Энергия связи ядер.

Для того, чтобы атомные ядра были устойчивыми, протоны и нейтроны должны удерживаться внутри ядер огромными силами, во много раз превосходящими силы кулоновского отталкивания протонов. Силы, удерживающие нуклоны в ядре, называются ядерными. Они представляют собой проявление самого интенсивного из всех известных в физике видов взаимодействия – так называемого сильного взаимодействия. Ядерные силы примерно в 100 раз превосходят электростатические силы и на десятки порядков превосходят силы гравитационного взаимодействия нуклонов. Важной особенностью ядерных сил является их короткодействующий характер. Как показали опыты Резерфорда по рассеянию α-частиц, ядерные силы заметно проявляются лишь на расстояниях порядка размеров ядра (10–12–10–13 см). На больших расстояниях они быстро уменьшаются до нуля и остаются медленно убывающие кулоновские силы.

На основании опытных данных можно заключить, что протоны и нейтроны в ядре ведут себя одинаково в отношении сильного взаимодействия, т. е. ядерные силы не зависят от наличия или отсутствия у частиц электрического заряда.

Важнейшую роль в ядерной физике играет понятие энергии связи ядра.

Энергия связи ядра равна минимальной энергии, которую необходимо затратить для полного расщепления ядра на отдельные частицы. Из закона сохранения энергии следует, что энергия связи равна той энергии, которая выделяется при образовании ядра из отдельных частиц.

Энергию связи любого ядра можно определить с помощью точного измерения его массы. В настоящее время физики научились измерять массы частиц – электронов, протонов, нейтронов, ядер и др. – с очень

66

высокой точностью. Эти измерения показывают, что масса любого ядра Mя всегда меньше суммы масс входящих в его состав протонов и нейтронов: Мя < pmp + nmn. Разность масс

ΔM=pm p+nmn−M я

называется дефектом массы.

По дефекту массы можно определить с помощью формулы Эйнштейна W = mc2 энергию, выделившуюся при образовании данного ядра, то есть энергию связи ядра Wсв:

W св=ΔM c2=c2( pm p+nmn−M я)

Эта энергия выделяется при образовании ядра в виде излучения γ-квантов.

Рассчитаем в качестве примера энергию связи ядра гелия He24, в состав которого входят два протона и два

нейтрона. Масса ядра гелия Mя = 4,00260 а. е. м. Сумма масс двух протонов и двух нейтронов составляет 2mp + 2mn = 4, 03298 а. е. м. Следовательно, дефект массы ядра гелия равен ΔM = 0,03038 а. е. м. Расчет приводит к значению энергии связи ядра гелия 28,3 МэВ. Это огромная величина. Образование всего 1 г гелия сопровождается выделением энергии порядка 1012 Дж. Примерно такая же энергия выделяется при сгорании почти целого вагона каменного угля. Энергия связи ядра на много порядков превышает энергию связи электронов с атомом. Для атома водорода, например, энергия ионизации равна 13,6 эВ.

В таблицах принято указывать удельную энергию связи, т. е. энергию связи на один нуклон. Для ядра гелия удельная энергия связи приблизительно равна 7,1 МэВ/нуклон. На рисунке приведен график зависимости удельной энергии связи от массового числа. Как видно из графика, удельная энергия связи нуклонов у разных атомных ядер неодинакова. Для легких ядер удельная энергия связи сначала круто возрастает от 1,1 МэВ/нуклон у дейтерия до 7,1 МэВ/нуклон у гелия. Затем, претерпев ряд скачков, удельная энергия медленно возрастает до максимальной величины 8,7 МэВ/нуклон у элементов с массовым числом 50 – 60, а потом сравнительно медленно уменьшается у тяжелых элементов. Например, у урана она составляет 7,6 МэВ/нуклон.

Уменьшение удельной энергии связи при переходе к тяжелым элементам объясняется увеличением энергии кулоновского отталкивания протонов. В тяжелых ядрах связь между нуклонами ослабевает, а сами ядра становятся менее прочными.

В случае стабильных легких ядер, где роль кулоновского взаимодействия невелика, число протонов и нейтронов примерно оказываются одинаковое. Под действием ядерных сил как бы образуются протон - нейтронные пары. Но у тяжелых ядер, содержащих большое число протонов, из-за возрастания энергии кулоновского отталкивания протонов для обеспечения устойчивости требуются дополнительные нейтроны.

Из рисунка видно, что наиболее устойчивыми с энергетической точки зрения являются ядра элементов средней части таблицы Менделеева. Это означает, что существуют две возможности получения положительного энергетического выхода при ядерных превращениях: 1) деление тяжелых ядер на более легкие; 2) слияние легких ядер в более тяжелые. В обоих этих процессах выделяется огромное количество энергии. В настоящее время оба процесса осуществлены практически: реакции деления и термоядерные реакции.

Выполним некоторые оценки. Пусть, например, ядро урана U 92238 делится на два одинаковых ядра с

массовыми числами 119. У этих ядер, как видно из рисунка, удельная энергия связи порядка 8,5  МэВ/нуклон. Удельная энергия связи ядра урана 7,6 МэВ/нуклон. Следовательно, при делении ядра урана выделяется энергия, равная 0,9 МэВ/нуклон или более 200 МэВ на один атом урана.

Рассмотрим теперь другой процесс. Пусть при некоторых условиях два ядра дейтерия H 12 сливаются в одно

ядро гелия He24. Удельная энергия связи ядер дейтерия равна 1,1 МэВ/нуклон, а удельная энергия связи ядра

гелия равна 7,1 МэВ/нуклон. Следовательно, при синтезе одного ядра гелия из двух ядер дейтерия выделится энергия, равная 6 МэВ/нуклон или 24 МэВ на атом гелия.

67

Следует обратить внимание на то, что синтез легких ядер сопровождается примерно в 6 раз большим выделением энергии на один нуклон по сравнению с делением тяжелых ядер

Ядерные реакции.

Ядерная реакция – это процесс взаимодействия атомного ядра с другим ядром или элементарной частицей, сопровождающийся изменением состава и структуры ядра и выделением вторичных частиц или γ-квантов.

В результате ядерных реакций могут образовываться новые радиоактивные изотопы, которых нет на Земле в естественных условиях.

Первая ядерная реакция была осуществлена Э. Резерфордом в 1919 году в опытах по обнаружению протонов в продуктах распада ядер. Резерфорд бомбардировал атомы азота α - частицами. При соударении частиц происходила ядерная реакция, протекавшая по следующей схеме:

N714+He2

4 → O817+H 1

1

При ядерных реакциях выполняются законы сохранения импульса, энергии, момента импульса и заряда. В дополнение к этим классическим законам сохранения при ядерных реакциях выполняется закон сохранения так называемого барионного заряда (то есть числа нуклонов – протонов и нейтронов). Выполняется также ряд других законов сохранения, специфических для ядерной физики и физики элементарных частиц.

Ядерные реакции могут протекать при бомбардировке атомов быстрыми заряженными частицами (протоны, нейтроны, α - частицы, ионы). Первая реакция такого рода была осуществлена с помощью протонов большой энергии, полученных на ускорителе, в 1932 году:

Li37+H 1

1→ He24+He2

4

Однако наиболее интересными для практического использования являются реакции, протекающие при взаимодействии ядер с нейтронами. Так как нейтроны лишены заряда, они беспрепятственно могут проникать в атомные ядра и вызывать их превращения. Выдающийся итальянский физик Э. Ферми первым начал изучать реакции, вызываемые нейтронами. Он обнаружил, что ядерные превращения вызываются не только быстрыми, но и медленными нейтронами, движущимися с тепловыми скоростями.

Ядерные реакции сопровождаются энергетическими превращениями. Энергетическим выходом ядерной реакции называется величина ΔW=ΔM c2, где ΔМ – дефект массы реакции, то есть разница суммарной массы частиц, вступающих в реакцию, и суммарной массы частиц, получившихся в результате реакции. Ядерные реакции могут протекать как с выделением так и с поглощением энергии.

Для того чтобы ядерная реакция имела положительный энергетический выход, величина ΔM должна быть положительной, то есть удельная энергия связи нуклонов в ядрах исходных продуктов должна быть меньше удельной энергии связи нуклонов в ядрах конечных продуктов.

Возможны два принципиально различных способа освобождения ядерной энергии.

1. Деление тяжелых ядер. В отличие от радиоактивного распада ядер, сопровождающегося испусканием α или β - частиц, реакции деления – это процесс, при котором нестабильное ядро делится на два крупных фрагмента сравнимых масс.

В 1939 году немецкими учеными О. Ганом и Ф. Штрассманом было открыто деление ядер урана. Продолжая исследования, начатые Ферми, они установили, что при бомбардировке урана нейтронами возникают элементы средней части периодической системы – радиоактивные изотопы бария, криптона и др.

Уран встречается в природе в виде двух изотопов: U 92238 (99,3 %) и U 92

235 (0,7 %). При бомбардировке

нейтронами ядра обоих изотопов могут расщепляться на два осколка. При этом реакция деления U 92238 наиболее

интенсивно идет на медленных (тепловых) нейтронах, в то время как ядра U 92235 вступают в реакцию деления

только с быстрыми нейтронами с энергией порядка 1 МэВ.

Основной интерес для ядерной энергетики представляет реакция деления ядра U 92235. В настоящее время

известны около 100 различных изотопов с массовыми числами примерно от 90 до 145, возникающих при делении этого ядра. Две типичные реакции деления этого ядра имеют вид:

U 92235+n0

1 → Ba56144+Kr36

89+3 n01 ;U 92

235+n01 → Xe54

140+Sr3894+2 n0

1

Обратите внимание, что в результате деления ядра, инициированного нейтроном, возникают новые нейтроны, способные вызвать реакции деления других ядер. Продуктами деления ядер урана-235 могут быть и другие изотопы бария, ксенона, стронция, рубидия и др.

68

Оценки показывают, что при делении одного ядра урана выделяется энергия ≈ 210 МэВ. При полном делении всех ядер, содержащихся в 1 г урана, выделяется такая же энергия, как и при сгорании 3 т угля или 2,5 т нефти.

Продукты деления ядра урана нестабильны, так как в них содержится значительное избыточное число нейтронов. Поэтому ядра – осколки очень радиоактивны. Они испытывают серию последовательных β– - распадов, в результате которых число протонов в ядре увеличивается, а число нейтронов уменьшается до тех пор, пока не образуется стабильное ядро.

При делении ядра урана-235, которое вызвано столкновением с нейтроном, освобождается 2 или 3 нейтрона. При благоприятных условиях эти нейтроны могут попасть в другие ядра урана и вызвать их деление. На этом этапе появятся уже от 4 до 9 нейтронов, способных вызвать новые распады ядер урана и так  далее. Такой лавинообразный процесс называется цепной реакцией. Схема развития цепной реакции деления ядер урана представлена на рисунке.

Для осуществления цепной реакции необходимо, чтобы так называемый коэффициент размножения нейтронов был больше единицы. Другими словами, в каждом последующем поколении нейтронов должно быть больше, чем в предыдущем. Коэффициент размножения определяется не только числом нейтронов, образующихся в каждом элементарном акте, но и условиями, в которых протекает реакция – часть нейтронов может поглощаться другими ядрами или выходить из зоны реакции. Нейтроны, освободившиеся при делении ядер урана-235, способны вызвать деление лишь ядер этого же урана, на долю которого в природном уране приходится всего лишь 0,7 %. Такая концентрация оказывается недостаточной для начала цепной реакции. Изотоп

U 92238 также может поглощать нейтроны, но при этом

не возникает цепной реакции.

Цепная реакция в уране с повышенным содержанием урана-235 может развиваться только тогда, когда масса урана превосходит так называемую критическую массу. В небольших кусках урана большинство нейтронов, не попав ни в одно ядро, вылетают наружу. Для чистого урана-235 критическая масса составляет около 50 кг. Критическую массу урана можно во много раз уменьшить, если использовать так называемые замедлители нейтронов. Дело в том, что нейтроны, рождающиеся при распаде ядер урана, имеют слишком большие скорости, а вероятность захвата медленных нейтронов ядрами урана-235 в сотни раз больше, чем быстрых. Наилучшим замедлителем нейтронов является тяжелая вода D2O. Обычная вода при взаимодействии с нейтронами сама превращается в тяжелую воду. Хорошим замедлителем является также графит, ядра которого не поглощают нейтронов. При упругом взаимодействии с ядрами дейтерия или углерода нейтроны замедляются до тепловых скоростей.

Применение замедлителей нейтронов и специальной оболочки из бериллия, которая отражает нейтроны, позволяет снизить критическую массу до 250 г.

В атомных бомбах цепная неуправляемая ядерная реакция возникает при быстром соединении двух кусков урана-235, каждый из которых имеет массу несколько ниже критической.

Устройство, в котором поддерживается управляемая реакция деления ядер, называется ядерным (или атомным) реактором. Ядерная реакция протекает в активной зоне реактора, которая заполнена замедлителем и пронизана стержнями, содержащими обогащенную смесь изотопов урана с повышенным содержанием урана-235 (до 3 %). В активную зону вводятся регулирующие стержни, содержащие кадмий или бор, которые интенсивно поглощают нейтроны. Введение стержней в активную зону позволяет управлять скоростью цепной реакции.

Активная зона охлаждается с помощью прокачиваемого теплоносителя, в качестве которого может применяться вода или металл с низкой температурой плавления (например, натрий, имеющий температуру плавления 98 °C). В парогенераторе теплоноситель передает тепловую энергию воде, превращая ее в пар высокого давления. Пар направляется в турбину, соединенную с электрогенератором.

Турбина атомной электростанции является тепловой машиной, определяющей в соответствии со вторым законом термодинамики общую эффективность станции. У современных атомных электростанций коэффициент полезного действия приблизительно равен 1/3. Следовательно, для производства 1000 МВт

69

электрической мощности тепловая мощность реактора должна достигать 3000 МВт. 2000 МВт должны уноситься водой, охлаждающей конденсатор. Это приводит к локальному перегреву естественных водоемов и последующему возникновению экологических проблем.

Однако, главная проблема состоит в обеспечении полной радиационной безопасности людей, работающих на атомных электростанциях, и предотвращении случайных выбросов радиоактивных веществ, которые в большом количестве накапливаются в активной зоне реактора. При разработке ядерных реакторов этой проблеме уделяется большое внимание. Тем не менее, после аварий на некоторых АЭС, в частности на АЭС в Пенсильвании (США, 1979 г.) и на Чернобыльской АЭС (1986 г.), проблема безопасности ядерной энергетики встала с особенной остротой.

Наряду с описанным выше ядерным реактором, работающим на медленных нейтронах, большой практический интерес представляют реакторы, работающие без замедлителя на быстрых нейтронах. В таких

реакторах ядерным горючим является обогащенная смесь, содержащая не менее 15 % изотопа U 92235.

Преимущество реакторов на быстрых нейтронах состоит в том, что при их работе ядра урана-238, поглощая нейтроны, посредством двух последовательных β– - распадов превращаются в ядра плутония, которые затем можно использовать в качестве ядерного топлива. Коэффициент воспроизводства таких реакторов достигает 1,5, то есть на 1 кг урана-235 получается до 1,5 кг плутония. В обычных реакторах также образуется плутоний, но в гораздо меньших количествах.

Первый ядерный реактор был построен в 1942 году в США под руководством Э. Ферми. В нашей стране первый реактор был построен в 1946 году под руководством И. В. Курчатова.

2. Термоядерные реакции. Второй путь освобождения ядерной энергии связан с реакциями синтеза. При слиянии легких ядер и образовании нового ядра должно выделяться большое количество энергии. Это видно из кривой зависимости удельной энергии связи от массового числа.

Реакции слияния легких ядер носят название термоядерных реакций, так как они могут протекать только при очень высоких температурах. Чтобы два ядра вступили в реакцию синтеза, они должны сблизиться на расстояние действия ядерных сил порядка 2·10–15 м, преодолев электрическое отталкивание их положительных зарядов. Для этого средняя кинетическая энергия теплового движения молекул должна превосходить потенциальную энергию кулоновского взаимодействия. Расчет необходимой для этого температуры приводит к величине порядка 108 – 109 К. Это чрезвычайно высокая температура. При такой температуре вещество находится в полностью ионизированном состоянии, которое называется плазмой.

Энергия, которая выделяется при термоядерных реакциях, в расчете на один нуклон в несколько раз превышает удельную энергию, выделяющуюся в цепных реакциях деления ядер. Так, например, в реакции слияния ядер дейтерия и трития выделяется 3,5 МэВ/нуклон. В целом в этой реакции выделяется 17,6 МэВ. Это одна из наиболее перспективных термоядерных реакций.

Осуществление управляемых термоядерных реакций даст человечеству новый экологически чистый и практически неисчерпаемый источник энергии. Однако получение сверхвысоких температур и удержание плазмы, нагретой до миллиарда градусов, представляет собой труднейшую научно - техническую задачу на пути осуществления управляемого термоядерного синтеза.

На данном этапе развития науки и техники удалось осуществить только неуправляемую реакцию синтеза в водородной бомбе. Высокая температура, необходимая для ядерного синтеза, достигается здесь с помощью взрыва обычной урановой или плутониевой бомбы.

Термоядерные реакции играют чрезвычайно важную роль в эволюции Вселенной. Энергия излучения Солнца и звезд имеет термоядерное происхождение.

70

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ

Существование элементарных частиц физики обнаружили при изучении ядерных процессов, поэтому вплоть до середины XX века физика элементарных частиц была разделом ядерной физики. В настоящее время физика элементарных частиц и ядерная физика являются близкими, но самостоятельными разделами физики, объединенными общностью многих рассматриваемых проблем и применяемыми методами исследования. Главная задача физики элементарных частиц – это исследование природы, свойств и взаимных превращений элементарных частиц.

Представление о том, что мир состоит из фундаментальных частиц, имеет долгую историю. Впервые мысль о существовании мельчайших невидимых частиц, из которых состоят все окружающие предметы, была высказана за 400 лет до нашей эры греческим философом Демокритом. Он назвал эти частицы атомами, то  есть неделимыми частицами. Наука начала использовать представление об атомах только в начале XIX века, когда на этой основе удалось объяснить целый ряд химических явлений. В 30-е годы XIX века в теории электролиза, развитой М. Фарадеем, появилось понятие иона и было выполнено измерение элементарного заряда. Конец XIX века ознаменовался открытием явления радиоактивности (А. Беккерель, 1896 г.), а также открытиями электронов (Дж. Томсон, 1897 г.) и α - частиц (Э. Резерфорд, 1899 г.). В 1905 году в физике возникло представление о квантах электромагнитного поля – фотонах.

В 1911 году было открыто атомное ядро и окончательно было доказано, что атомы имеют сложное строение. В 1919 году Резерфорд в продуктах расщепления ядер атомов некоторых элементов обнаружил протоны. В 1932 году Дж. Чедвик открыл нейтрон. Стало ясно, что ядра атомов, как и сами атомы, имеют сложное строение. Возникла протон - нейтронная теория строения ядер. В том же 1932 году в космических лучах был открыт позитрон. Позитрон – положительно заряженная частица, имеющая ту же массу и тот же (по модулю) заряд, что и электрон. Существование позитрона было предсказано П. Дираком в 1928 году. В эти годы были обнаружены и исследованы взаимные превращения протонов и нейтронов и стало ясно, что эти частицы также не являются неизменными элементарными «кирпичиками» природы. В 1937 году в космических лучах были обнаружены частицы с массой в 207 электронных масс, названные мюонами (μ - мезонами). Затем в 1947 – 1950 годах были открыты пионы (π - мезоны), которые, по современным представлениям, осуществляют взаимодействие между нуклонами в ядре. В последующие годы число вновь открываемых частиц стало быстро расти. Этому способствовали исследования космических лучей, развитие ускорительной техники и изучение ядерных реакций.

В настоящее время известно около 400 субъядерных частиц, которые принято называть элементарными. Подавляющее большинство этих частиц являются нестабильными. Исключение составляют лишь фотон, электрон, протон и нейтрино. Все остальные частицы через определенные промежутки времени испытывают самопроизвольные превращения в другие частицы. Нестабильные элементарные частицы сильно отличаются друг от друга по временам жизни. Наиболее долгоживущей частицей является нейтрон. Время жизни нейтрона порядка 15 мин. Другие частицы «живут» гораздо меньшее время. Например, среднее время жизни μ - мезона равно 2,2·10–6 с, нейтрального π - мезона – 0,87·10–16 с. Многие массивные частицы – гипероны имеют среднее время жизни порядка 10–10 с.

Существует несколько десятков частиц со временем жизни, превосходящим 10–17 с. По масштабам микромира это значительное время. Такие частицы называют относительно стабильными. Большинство короткоживущих элементарных частиц имеют времена жизни порядка 10–22 – 10–23 с.

Способность к взаимным превращениям – это наиболее важное свойство всех элементарных частиц. Элементарные частицы способны рождаться и уничтожаться. Это относится также и к стабильным частицам с той только разницей, что превращения стабильных частиц происходят не самопроизвольно, а при взаимодействии с другими частицами. Примером может служить аннигиляция (исчезновение) электрона и позитрона, сопровождающаяся рождением фотонов большой энергии. Может протекать и обратный процесс – рождение электронно - позитронной пары, например, при столкновении фотона с достаточно большой энергией с ядром. Такой опасный двойник, каким для электрона является позитрон, есть и у протона. Он называется антипротоном. Электрический заряд антипротона отрицателен. В настоящее время античастицы найдены у всех частиц. Античастицы противопоставляются частицам потому, что при встрече любой частицы со своей античастицей происходит их аннигиляция, то есть обе частицы исчезают, превращаясь в кванты излучения или другие частицы.

Античастица обнаружена даже у нейтрона. Нейтрон и антинейтрон отличаются только знаками магнитного момента и так называемого барионного заряда. Возможно существование атомов антивещества, ядра которых состоят из антинуклонов, а оболочка – из позитронов. При аннигиляции антивещества с веществом энергия покоя превращается в энергию квантов излучения. Это огромная энергия, значительно превосходящая ту, которая выделяется при ядерных и термоядерных реакциях.

71

В многообразии элементарных частиц, известных к настоящему времени, обнаруживается более или менее стройная система классификации. Элементарные частицы объединяются в три группы: фотоны, лептоны и адроны.

К группе фотонов относится единственная частица – фотон, которая является носителем электромагнитного взаимодействия.

Следующая группа состоит из легких частиц лептонов. В эту группу входят два сорта нейтрино (электронное и мюонное), электрон и μ – мезон.

Третью большую группу составляют тяжелые частицы, называемые адронами. Эта группа делится на две подгруппы. Более легкие частицы составляют подгруппу мезонов. Наиболее легкие из них – положительно и отрицательно заряженные, а также нейтральные π - мезоны с массами порядка 250 электронных масс. Пионы являются квантами ядерного поля, подобно тому, как фотоны являются квантами электромагнитного поля. В эту подгруппу входят также четыре K - мезона и один η0 - мезон.

Вторая подгруппа – барионы – включает более тяжелые частицы. Она является наиболее обширной. Самыми легкими из барионов являются нуклоны – протоны и нейтроны. За ними следуют так называемые гипероны. Замыкает список омега-минус-гиперон, открытый в 1964 г. Это тяжелая частица с массой в 3273 электронных масс.

Обилие открытых и вновь открываемых адронов навела ученых на мысль, что все они построены из каких-то других более фундаментальных частиц. В 1964 г. американским физиком М. Гелл-Маном была выдвинута гипотеза, подтвержденная последующими исследованиями, что все тяжелые фундаментальные частицы – адроны – построены из более фундаментальных частиц, названных кварками. На основе кварковой гипотезы не только была понята структура уже известных адронов, но и предсказано существование новых. Теория Гелл-Мана предполагала существование трех кварков и трех антикварков, соединяющихся между собой в различных комбинациях. Так, каждый барион состоит из трех кварков, антибарион – из трех антикварков. Мезоны состоят из пар кварк–антикварк.

С принятием гипотезы кварков удалось создать стройную систему элементарных частиц. Однако предсказанные свойства этих гипотетических частиц оказались довольно неожиданными. Электрический заряд кварков должен выражаться дробными числами, равными 2/3 и 1/3 элементарного заряда.

Многочисленные поиски кварков в свободном состоянии, производившиеся на ускорителях высоких энергий и в космических лучах, оказались безуспешными. Ученые считают, что одной из причин ненаблюдаемости свободных кварков являются, возможно, их очень большие массы. Это препятствует рождению кварков при тех энергиях, которые достигаются на современных ускорителях. Тем не менее, большинство специалистов сейчас уверены в том, что кварки существуют внутри тяжелых частиц – адронов.

Фундаментальные взаимодействия.

Процессы, в которых участвуют различные элементарные частицы, сильно различаются по характерным временам их протекания и энергиям. Согласно современным представлениям, в природе осуществляется четыре типа взаимодействий, которые не могут быть сведены к другим, более простым видам взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Эти типы взаимодействий называют фундаментальными.

Сильное (ядерное) взаимодействие – это наиболее интенсивное из всех видов взаимодействий. Они обуславливает исключительно прочную связь между протонами и нейтронами в ядрах атомов. В сильном взаимодействии могут принимать участие только тяжелые частицы – адроны (мезоны и барионы). Сильное взаимодействие проявляется на расстояниях порядка и менее 10–15 м. Поэтому его называют короткодействующим.

Электромагнитное взаимодействие. В этом виде взаимодействия могут принимать участие любые электрически заряженные частицы, а так же фотоны – кванты электромагнитного поля. Электромагнитное взаимодействие ответственно, в частности, за существование атомов и молекул. Оно определяет многие свойства веществ в твердом, жидком и газообразном состояниях. Кулоновское отталкивание протонов приводит к неустойчивости ядер с большими массовыми числами. Электромагнитное взаимодействие обуславливает процессы поглощения и излучения фотонов атомами и молекулами вещества и многие другие процессы физики микро и макромира.

Слабое взаимодействие – наиболее медленное из всех взаимодействий, протекающих в микромире. В нем могут принимать участие любые элементарные частицы, кроме фотонов. Слабое взаимодействие ответственно за протекание процессов с участием нейтрино или антинейтрино, а также безнейтринные процессы распада частиц с большим временем жизни (τ ≥ 10–10 с).

Гравитационное взаимодействие присуще всем без исключения частицам, однако из-за малости масс элементарных частиц силы гравитационного взаимодействия между ними пренебрежимо малы и в процессах

72

микромира их роль несущественна. Гравитационные силы играют решающую роль при взаимодействии космических объектов (звезды, планеты и т. п.) с их огромными массами.

В 30-е годы XX века возникла гипотеза о том, что в мире элементарных частиц взаимодействия осуществляются посредством обмена квантами какого-либо поля. Эта гипотеза первоначально была выдвинута нашими соотечественниками И. Е. Таммом и Д. Д. Иваненко. Они предположили, что фундаментальные взаимодействия возникают в результате обмена частицами, подобно тому, как ковалентная химическая связь атомов возникает при обмене валентными электронами, которые объединяются на незаполненных электронных оболочках.

Взаимодействие, осуществляемое путем обмена частицами, получило в физике название обменного взаимодействия. Так, например, электромагнитное взаимодействие между заряженными частицами, возникает вследствие обмена фотонами – квантами электромагнитного поля.

Теория обменного взаимодействия получила признание после того, как в 1935 г. японский физик Х. Юкава теоретически показал, что сильное взаимодействие между нуклонами в ядрах атомов может быть объяснено, если предположить, что нуклоны обмениваются гипотетическими частицами, получившими название мезонов. Юкава вычислил массу этих частиц, которая оказалась приблизительно равной 300 электронным массам. Частицы с такой массой были впоследствии действительно обнаружены. Эти частицы получили название π - мезонов (пионов). В настоящее время известны три вида пионов: π+, π– и π0.

В 1957 году было теоретически предсказано существование тяжелых частиц, так называемых векторных бозонов W+, W– и Z0, обуславливающих обменный механизм слабого взаимодействия. Эти частицы были обнаружены в 1983 году в экспериментах на ускорителе на встречных пучках протонов и антипротонов с высокой энергией. Открытие векторных бозонов явилось очень важным достижением физики элементарных частиц. Это открытие ознаменовало успех теории, объединившей электромагнитное и слабое взаимодействия в единое так называемое электрослабое взаимодействие. Эта новая теория рассматривает электромагнитное поле и поле слабого взаимодействия как разные компоненты одного поля, в котором наряду с квантом электромагнитного поля участвуют векторные бозоны.

После этого открытия в современной физике значительно возросла уверенность в том, что все виды взаимодействия тесно связаны между собой и, по существу, являются различными проявлениями некоторого единого поля. Однако объединение всех взаимодействий остается пока лишь привлекательной научной гипотезой.

Физики - теоретики прилагают значительные усилия в попытках рассмотреть на единой основе не только электромагнитное и слабое, но и сильное взаимодействие. Эта теория получила название Великого объединения. Ученые предполагают, что и у гравитационного взаимодействия должен быть свой переносчик – гипотетическая частица, названная гравитоном. Однако эта частица до сих пор не обнаружена.

В настоящее время считается доказанным, что единое поле, объединяющее все виды взаимодействия, может существовать только при чрезвычайно больших энергиях частиц, недостижимых на современных ускорителях. Такими большими энергиями частицы могли обладать только на самых ранних этапах существования Вселенной, которая возникла в результате так называемого Большого взрыва. Космология – наука об эволюции Вселенной – предполагает, что Большой взрыв произошел 18 миллиардов лет тому назад. В стандартной модели эволюции Вселенной предполагается, что в первый период после взрыва температура могла достигать 1032 К, а энергия частиц достигала значений 1019 ГэВ. В этот период материя существовала в форме кварков и нейтрино, при этом все виды взаимодействий были объединены в единое силовое поле. Постепенно по мере расширения Вселенной энергия частиц уменьшалась, и из единого поля взаимодействий сначала выделилось гравитационное взаимодействие (при энергиях частиц ≤ 1019 ГэВ), а затем сильное взаимодействие отделилось от электрослабого (при энергиях порядка 1014 ГэВ). При энергиях порядка 103 ГэВ все четыре вида фундаментальных взаимодействий оказались разделенными. Одновременно с этими процессами шло формирование более сложных форм материи – нуклонов, легких ядер, ионов, атомов и так далее. Космология в своей модели пытается проследить эволюцию Вселенной на разных этапах ее развития от Большого взрыва до наших дней, опираясь на законы физики элементарных частиц, а также ядерной и атомной физики.

73