情報経済システム論：第 12 回

23/04/19 情報経済システム論

情報経済システム論：第 12回

担当教員　黒田敏史

1


構造推定アプローチ• 需要関数の構造推定

– 本講義では需要関数の構造推定を取り扱う• 需要関数の推定から解ること• １・需要の価格弾力性、属性弾力性• ２・任意のモデルを設定した場合の均衡• ３・モデルを特定した場合の限界費用

– 応用例• １・企業合併・合併条件に伴うシェアの変化• ２・価格規制・関税・補助金による競争状況の変化• ３・企業の参入・退出行動等多数

2


構造推定アプローチ• 需要関数の推定

–どのようなデータを用いるか– 個標データの利点

• 個々人が実際に購入した数量と支払った価格• 個々人の属性や財の特徴などの影響を明示できる• パネルデータであれば動学的なモデルを推定できる

– 集計データの利点• データの入手が容易• 市場のシェアを知る事ができる

3


構造推定アプローチ• 需要関数の推定方法

– １・ AIDS（ Almost Ideal Demand System)モデル

• 多財の需要代替を取り扱う古典的手法– ２・離散選択モデル

• 複数の選択から単一の選択肢を選択するモデル• 製品の特徴を明示化できる

– ３・ CES型効用関数モデル• 製品の特徴を明示化できる• 1人の消費者が多数の購入を行う事を分析できる

4


構造推定アプローチ• AIDSモデル

– 市場に J個の財が存在する場合を考えるAIDS需要関数

　　：財 iの支出シェア　　：財 iの価格　　：価格指数　　：総支出額

– 価格指数式と n本の AIDS需要関数式の連立方程式を推定する

5

iW

jp

P0

1ln ln ln ln

2

J J

k k ik i ki k

P p p p X

1

ln ln( / ) i=1,...,JJ

i i ik k i ij

w p X P u


構造推定アプローチ• AIDSモデルの限界

–パラメータの数は 4j+j*jあり、財の数の 2乗に増加する（ n*n問題）

• 寡占市場では高度に製品差別化されている場合が多く、多数のパラメータが推定仕切れない場合がある

• 例：自動車が 100車種ある場合、少なくとも 10400個のパラメータを推定する必要があるが、 10400個のパラメータを推定するためには各車種毎に10401以上の観測が必要である。

– 市場から財が消失した場合をどう考えるか？– 市場に新しい財が登場した場合をどう考えるか？

6


構造推定アプローチ• 離散選択モデル

– 財を属性の束として捉え、財がもたらす効用を推定する

– 消費者行動モデル• 消費者 iが財 jを消費したときの効用は、観察できる財の属性　　と、観察不可能な消費者固有の好み　　として表される

• 消費者が財 jを購入するのは、財 jの効用が　　　　　　　の時である

• いずれか一つの選択肢の効用を 0に基準化する。多くの場合、選択肢に「どの財も利用しない」を加えて効用を 0とする

7

ij iku u k

iX ij

'ij ij iju X



– 例：携帯電話端末を価格・画面サイズ・ OS・通信速度で比較して購入する場合

• 画面 1インチに 5000 円、 Androidに 10000 円、 iOSに 15000 円、通信速度 1Mbpsに 1 万円の価値を感じている消費者の場合 Aの満足度

• 従って、消費者は端末 Cを購入する

8

価格画面サイズ

OS 通信速度効用

端末 A 30000 円 3インチ Android 7.2Mbps 3*5000+10000+7200-30000=2200

端末 B 40000 円 4インチ iOS 14.4Mbps 4*5000+15000+14400-40000=9400

端末 C 40000 円 5インチ Android 37.5Mbps 5*5000+10000+37500-40000=32500



– 一般的な場合– 　　は平均　分散　　　　　の独立で同一の極

値分布に従うと仮定

– 消費者 iが財 jを選ぶ確率　

9

ij

( ) exp expF

2 2 / 6

' '

Pr( ) Pr ' '

Pr ' ' ( )

exp( ' / )

exp( ' / )

k i

ij ij ik ij ij ik ik

ij ik ik ij ij ik j k

X X

ij

ikk

P u u k X X

X X f d

X

X



– 離散選択モデルのうち、誤差項の分布に極値分布を用いたものを、特にロジットモデルと呼ぶ

– 誤差項の分布を正規分布にしたものをプロビットモデルと呼ぶ

• 多選択肢の場合の数値計算量が極めて多くなるため、多選択肢の場合に用いられる事は少ない

– 傾向スコアの計算にも良く用いられる

10



–パラメータの推定は最尤法を利用する• 尤度関数とは、モデルの当てはまりの度合いを表す関数であり、各々の個人によって実際に選ばれた選択肢が選ばれるモデルの予測確立の積である

• 　　　　　　　　　　　

　　は個人 iが選択肢 jを選んでいたときに 1、それ以外の選択肢を選んでいたときに 0を取る関数

• 対数を取って和算にする事で取り扱いやすくなるため、対数尤度関数を最大にするパラメータを求める

• 対数尤度関数は大域的な凹関数である11

( )ijI

iji j

L P

ijI

( ) ln lnijI

ij ij iji ji j

LL P i P



–モデルの適合度– 線形回帰モデルの決定係数に相当する指標として、マクファーデンの疑似決定係数が良く用いられる

• 分母の LL(0)は全てのパラメータを 0としたときの対数尤度値

• 疑似決定係数は 0から 1の値をとり、予測力 0で 0、完全一致で 1を取る

12

( )1

(0)

LL

LL



–ロジットモデルによる財の価格弾力性– 財 jの属性 lが変化した時の自己弾力性

– 財 jの属性 lが変化した時の財 mの交差弾力性

13

exp( ' / )1

exp( ' / )ij ijl ij ijl

l ijl ijijl ij ijl ik ijk

P x X xx P

x P x X P

exp( ' / )

exp( ' / )ijl ijlim im

ml iml imijl im ijl ik imk

x xP Xx P

x P x X P



–ロジットモデルのメリット– 選択確率が閉区間［ 0,1]に収まるため、確率の定義と整合的である

• 確率を説明変数とした線形回帰モデルでは、選択確率の予測値が確率の定義を満たさなくなることがある

– 無関係な選択肢からの独立性• 選択肢 Aと Bの選択確率の比は、 Aと Bの属性のみに依存する

14

exp( ' / ) exp( ' / ) exp( ' / )/ / exp ( ' ' )

exp( ' / ) exp( ' / ) exp( ' / )A B A

A B A Bk k Bk k

X X XP P X X

X X X



–ロジットモデルのメリット：– 厚生評価が容易である

• iの効用を価格の関数として表示すると、•

となり、消費者の効用を容易に計算できる• ある財の効用はある財の属性のみによって表されるため、財が存在しなくなった場合や、新たな財が登場した時に既存パラメータをそのまま用いる事ができる

• 参入・退出や新製品の影響などが消費者に与える影響を容易に知る事ができる

15

1

ln exp( / )J

kj

V u



– IIAの検証– 実際に消費者が行っている行動が IIAを満たしているか否かをハウスマンテストによって検証する

– Step1：全ての選択肢を含んだモデルの推定を行う– Step2：ある選択肢を含まないモデルの推定を行う– Step3：推定されたパラメータが同一であるか否かの検定統計量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を用いて検定する

• 同検定統計量はカイ二乗分布に従う

16

1[ ]'[ ] [ ]all sub all sub all subV V



–ロジットモデルの制約– IIAが成立しないような状況を取り扱う事ができない

• 例：公共交通機関の選択肢に、車体の色以外が全く同じ赤バスと青バス、そしてタクシーが存在したとする。このとき、赤バスが廃線になったとき、青バスとタクシーの選択比率は一定に保たれる

• [ 赤バス : 青バス :タクシー ]=[40%:40%:20%]→ 赤バス廃線後 [ 青バス :タクシー ]=[66%:33%]

• 赤バスの乗客の殆どは青バスに代替するため、[80%:20%]なりそうだという直感と矛盾する

17



– IIA制約の緩和– 方法１：誤差項の相関を認める事で、財の代替性に一定の様式を与える

→一般化極値分布（ GEV)モデル– 方法２：属性の係数に確率分布を持たせる→ 混合ロジット（Mixed Logit）モデル

18



– GEVモデルの特徴– GEVモデルは特定の代替パターンを実現するように誤差項に相関を与える事で、様々な代替パターンを実現する事ができる

– 他方、モデルの予測結果が与えた代替パターンに従うことになるため、代替パターンそのものを知るためには様々なモデルを推定し、事後的に比較を行う必要がある

19



– GEVモデルの一例：入れ子ロジットモデル– 消費者行動モデル– 消費者は G個のグループに分類される J個の財の中から一つの財を選択する

• グループは互いに排他的であるとする• グループを更にグループに分類し、 3 段階以上の選択構造を構築することもできる

– 消費者は財グループの選択を行った後、グループの中から財の選択を行う

20



– 2 段階の入れ子ロジットモデルの場合– 誤差項が以下の分布に従うとする

• このとき、同じグループに属する選択肢間では誤差項に相関が生じるが、異なるグループに所属する選択肢間の誤差項は独立となる

• 　　　はグループ内の財の相関の大きさを表す• 0の場合に無相関（ IIAを仮定した Logitモデル）となる

• 1の場合に完全相関（グループ内の財は無差別）となる

21

1

( ) exp expg

G

ij gg j g

F

1 g



– 入れ子ロジットモデルによる、グループ gに属する財 jの選択確率

– 消費者がグループ gを選択する確率　　とグループ gの中から jを選ぶ確率に分解する事ができる

22

1

1

exp( ' / ) exp ' /

exp ' /

g

g

ij g ij gg

ij G

ij gg g

X XP

X

|

exp( ' / )

exp ' /ij g

ij g

ij gg

XP

X

1

exp ' /

exp ' /

g

g

ij gg

ig G

ij gg g

XP

X

igP

|ij ij g igP P P



– 同じグループ gに属する選択肢 jと mの選択比率

– グループとに属する選択肢 iと mの選択比率

– グループ内での IIAとグループ間での IIAの緩和が確認できる

23

exp( ' / )

exp( ' / )ij ij g

im im g

P X

P X

Ag Bg

1

1

exp( ' / ) exp ' /

exp( ' / ) exp ' /

gA

A AA

gB

B BB

ij g ij ggij

imim g im gg

X XP

P X X



– 入れ子ロジットモデルの推定• 推定にはロジットモデルと同様に対数尤度関数の

最大化を行えば良い• 対数尤度関数は大域的な凹性を持たないため、推定によって得られた値が極大値であり、最大値では無いかもしれない

• 得られた解が最大値か、極大値かを判別する方法は無いため、数値計算のアルゴリズムを変える、様々な初期値を試す、等を行う事が望ましい

24



– 入れ子ロジットモデルの限界– 同一の財が複数のグループに属するような場合を取り扱う事ができない

–このような場合を取り扱うためのモデルに、 Paired Combinatorial Logit、 Generalized Nested Logit等のモデルが開発されているが、これらを提供しているパッケージソフトは不明

– 入れ子ロジットが利用可能なパッケージソフトには、 NLOGIT(limdep)、 Stata、 Eviews等がある

25



– 混合ロジットモデル–パラメータに確率分布を持たせる

–すなわち、各属性は個々人 i毎に異なる値が分布からドローされる。これは、個々人の選好の多様性を表して居ると考えられる。

– 効用の個々人に依存しない部分• 市場における平均的な効用（ mean utility）と呼ばれる

– 選好の多様性を表す部分26

1

' , ~ (0,1)L

ij ij j l jl il ij il

u X x v v

N

1

( , , )L

j i l jl ill

X x v

'j j jX



– 混合ロジットモデルの選択確率– 個人 iが財 jを選択する確率

– 代表的個人の選択確率は、　　の期待値から

27

1

exp ( , , )

exp ( , , )

j j i

ij K

k k ik

XP

X

, ( )j ij j i i iP s f d ijP



– 混合ロジットモデルの選択確率– 先の積分型式で表された選択確率は解析的な解を持たないため、シミュレーション積分を用いて確率を求める

–シミュレーション積分　　　　　　から R個の値　　をドロー

• シミュレートされた確率　　は　　の一致推定量• ドロー Rの数の上昇に伴って分散は減少• 　　は連続で 2回微分可能

28

~ (0,1)i N

1

1 Rr

j ij ir

P PR

r

jP

iP

jP



– 混合ロジットモデルの推定– 先のシミュレートされた選択確率を用いて、シミュレートされた対数尤度関数 SLLを作成

– 混合ロジットモデルのパラメータは SLLを最大化するパラメータとして得られる

• 一致推定量を得るためには、　　に比べて速い速度で Rを増加させる必要がある

29

1 1

lnN J

ij jn j

SLL I P

N



– 混合ロジットモデルの弾力性– 選択肢 mの k 番目の属性値が変化した時の、選択肢 jの変化率

• 従って、弾力性は選択肢 i,m以外の全ての選択肢に依存する

30

( ) ( )j mk mki ij im i i

mk j j

P x xP P f d

x P P

Documents

情報経済システム論 ： 第 12 回

情報経済システム論：第 12 回