材料力学

第 13 章 交变应力

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§13-1 交变应力及疲劳破坏§13-2 交变应力的循环特性应力幅度和平均应力

§13-3 材料的持久极限§13-4 影响构件持久极限的因素

§13-5 对称循环下构件的疲劳强度计算

§13-6 持久极限曲线及其简化折线

§13-7 不对称循环下构件的疲劳强度计算

§13-8 弯曲和扭转组合交变应力下构件的疲劳强度计算

§13-9 提高构件疲劳强度的措施

本章主要内容

材料力学材料力学

机械实例

材料力学材料力学

机械实例

材料力学

机械实例

材料力学

机械实例

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§13-1 交变应力及疲劳破坏FF

F F

aa

Fa

大家考虑一下我们的日常所见，即可发现，工程中的许多载荷是随时间而发生变化的，而其中有相当一部分载荷是随时间作周期性变化的。例如火车的轮轴。

k z

y

t

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F

t

静平衡位置

t

t

材料力学

yd

t2

sin aFM tI

daF

I

yM

zz

sin2

一、定义：交变应力：构件中点的应力状态随时间而作周期性变化的应力。疲劳破坏：在交变应力下，虽然最大应力小于屈服极限，长期 重复之后，也会突然断裂。即使是塑性较好的材料， 断裂前也没有明显的塑性变形。这种破坏现象习惯上 称为疲劳破坏。

二、交变应力所造成的危害：机械零件的破坏 100

80

大。如列车轮轴的疲劳破坏会引起列车出轨。汽轮机任一叶片的疲劳破坏将打断整圈叶片，且破坏前无明显征兆，故常常令人防不胜防。

是由交变应力造成的，且危害性很

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三、疲劳破坏构件的特征： 1. 断面呈现光滑区和粗糙区两部分。 2. 光滑区有明显的裂纹源。 3. 粗糙区域与脆性材料（铸铁）构件在静载下脆性破坏 的断口相似。 4. 因交变应力产生破坏时，最大应力值一般低于静载荷 作用下材料的抗拉 ( 压 ) 强度极限 σb ，有时甚至低于 屈服极限 σs

5. 材料的破坏为脆性断裂，一般没有显著的塑性变形， 即使是塑性材料也是如此。在构件破坏的断口上， 明显地存在着两个区域：光滑区和颗粒粗糙区。 6. 材料发生破坏前，应力随时间变化经过多次重复， 其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环 次数愈少。

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四、疲劳破坏的解释： 由于构件的形状和材料不均匀等原因，构件某些局部区域的应力特别高。在长期交变应力作用下，于上述应力特别高的局部区域，逐步形成微观裂纹。裂纹尖端的严重应力集中，促使裂纹逐渐扩展，由微观变为宏观。裂纹尖端一般处于三向拉伸应力状态下，不易出现塑性变形。当裂纹逐步扩展到一定限度时，便可能骤然迅速扩展，使构件截面严重削弱，最后沿严重削弱了的截面发生突然脆性断裂。从上述解释与疲劳破坏断面的特征较吻合，故较有说服力。

• 粗糙区

• 光滑区

• 裂纹源

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§13-2 交变应力的循环特性 应力幅度和平均应力

t

max

m

min

从前面的应力时间曲线中，可看出：在承受交变应力的构件中，轴中的弯曲应力每转一周就要从最大值 max变到最小值 min 然后又恢复到最大值，即：轴每转一周，

为对称循环，否则为非对称循环。

这样应力每循环一次，我们就minmax （数值上）时，我们称其

应力就完成一次循环。像称为一个应力循环。当

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t

max

m

min

max min

2m

max min

2a

min

max

r

　

—— 平均循环应力

—— 循环振幅

—— 循环特征

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上述几个参数是描述交变应力状态下构件的应力变化规律的几个参数，我们称为循环特性参数。从这几个参数，我们可很直观地看出构件的应力变化规律。如：

(1) 对称循环：

max min

1r 0m maxa

(2) 非对称循环： 0m

任一非对称循环都可以看成是静应力 m 和幅度为 a的对称循环叠加的结果。

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（ 3 ）脉动循环：变动于零到某一最大值之间的交变应力 循环，称为脉动循环。

0min 0r max2

1 ma

（ 4 ）静应力也可以看成是交变应力的一种特性 :

minmax 0a

m minmax 1r

（ 5 ）稳定交变应力：交变应力的最大应力和最小应力 的值，在工作过程中始终保持不变，称为稳定交 变应力，否则称为不稳定交变应力。

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§13-3 材料的持久极限 如前所述：构件在交变应力下，当最大应力低于屈服极限时，就可能发生疲劳破坏。因此，屈服极限或强度极限等静强度指标已不能作为疲劳破坏的强度指标。故在交变应力下，材料的强度指标应重新设定。一、实验： 把一级相同的试件从高到低加上一定载荷使其承受交变应力，直至其破坏为止，并记下每个试件在破坏前的应力循环次数 N 。结果：当 r一定时：

(1) 如果 r max , 试件经过无数次循环而不发生疲劳破坏 , 其中 r 为持久极限。

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(2) 如果 r max

破坏。 N—— 对应于某一应力水平的持久寿命。，发现，试件经过 N 次循环就会发生疲劳

二、应力——寿命曲线：根据上述试验的每一个 N,max 值，我们可以得到一条

N 曲线如下图所示：

No

maxA

max

r

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讨论： 1. 从曲线中可看出：试件断裂前所能经受的循环次数 N随

max的纵坐标

减小而增大。疲劳曲线最后趋近于水平，其水平渐近线r

可用符号 就是材料的持久极限，对于对称循环的持久极限

1 表示（其角标 -1表示对称循环的循环特征 1r ）

2. 疲劳曲线上任一点 A 的纵横坐标分别是 Amax 和 AN

这表示最大应力为 Amax 时，试件断裂前所能经受的应力偱环次数为 AN AN。 称为最大应力为 Amax 时的持久寿命。而 Amax

AN称为持久寿命为 名义持久极限。显然，持久寿命趋于无限长时，其所对应的最大应力就是材料的持久极限。

时，材料的条件持久极限，或

，

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3.实际上，试验不可能无限期的进行下去，一般规定一个循环次数 N0来代替无限长的持久寿命，这个规定的循环次数 N0 称为循环基数。与 N0 对应的就是持久极限。

4. 特殊材料：钢和铸铁： 760 10~102N 次。

含铝或镁有色金属： 80 10N 次。

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§13-4 影响构件持久极限的因素 实际构件的持久极限不但与材料有关，而且还受构件形状，尺寸厌上，表面质量和其他一些因素的影响。因此，用光滑小试件测定的材料的持久极限 1还不能代表实际构件的持久极限。下面介绍影响构件持极限的几种主要因素：一、构件外形的影响： 构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，都将引起应力集中。在应力集中的局部区域更易形成疲劳裂纹，使构件的持久极限显著降低。由于这种应力集中是以应力集中系数表示的，故构件外形对持久极限的影响可通过应力集中系数来反映。

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1

1

d

k

K K

或 —— 有效应力集中系数式中：

K —— 构件弯曲时的有效应力集中系数K —— 构件扭转时的有效应力集中系数

d1 —— 对称循环下，无应力集中的光滑试件的持久极限 k1 —— 对称循环下，有应力集中的光滑试件的持久极限 关于有效应力集中系数与试件尺寸，外形的关系见图 1

3-1 至， 13-6 （刘鸿文编）从这些曲线中可看出：有效应力集中系数不仅与构件的形状，尺寸有关，而且与材料的

　极限强度 ,亦即与材 料的性质有关。一般说来，静载抗拉强度越高 , 有效应力集中系数越大，即对应力集中也就越敏感。

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K

r

d

D

d11.

MMDd

r b 900MPa

b 600MPa

图 13-1

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图 13-2

11 12. . D

d

MM

r

b 900MPa

Dd

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图 13-3

12 2. D

d

b 900MPa

MMr

Dd

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图 13-4

D

d11.

r

d

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r

d图 13-5

11 12. . D

d

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图 13-6

r

d

12 2. D

d

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二、构件尺寸的影响： 持久极限一般是用直径为 7-10mm 的小试件测定的，随着试件横截面尺寸的增大，持久极限却相应地降低。这种尺寸对持久极限的影响一般是通过尺寸系数来表示的。

1

1

e

或 ——尺寸系数

式中： 1 —— 对称循环下，光滑小试件的持久极限 e1 —— 对称循环下，光滑大试件的持久极限

常用钢材的尺寸系数见下表：

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表 13-1 尺寸系数

直径 d(mm)

碳钢 合金钢

各种钢

>20～30 0.91 0.83 0.89

>30～40 0.88 0.77 0.81

>40～50 0.84 0.73 0.78

>50～60 0.81 0.70 0.76

>60～70 0.78 0.68 0.74

>70～80 0.75 0.66 0.73

>80～100 0.73 0.64 0.72

>100～120 0.70 0.62 0.70

>120～150 0.68 0.60 0.68

>150～500 0.60 0.54 0.60

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思考题：试定性的分析，为什么大试件更容易发疲劳破坏？ 或，为什么 a （或 ）通常小于 1 ）？三、构件表面质量的影响： 构件表面的加工质量对持久极限也有影响，例如当表面存在刀痕时，刀痕的根部将出现应力集中，因而降低了持久极限，反之，构件表面经强化方法提高后，其持久极限也就得到提高。表面质量对持久极限的影响可通过下面的质量系数 来表示。

1

1 d

——表面质量系数

式中： d1 ——表面磨光试件的持久极限 1 —— 其他加工情况的构件的持久极限

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总结：综合考虑：构件的外形的影响；构件尺寸的影响； 构件表面质量的影响三方面的因素，构件在对称 循环下的持久极限应该是：

01 1

d

K

式中： 1 —— 光滑小试件的持久极限 注：除上述三方面的主要因素影响外，腐蚀介质和高温 也会影响持久极限。如遇此种因素，在上述公式中 还须加入相关系数。

（ 1 ）当构件表面质量低于磨光的试件时， 1

（ 2 ）不同的表面加工质量，对高强度钢持久极限的 影响更为明显，所以对高强度钢要有较高的 表面加工质量，才能发挥高强度的作用。

注：

而表面经强化处理后， 1 。

；

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§13-5 对称循环下构件的疲劳强度计算一、强度条件：

2. 用安全系数表示的强度条件：

1.用应力表示的强度条件：

极限应力：

许用应力：

强度条件：

01 1

d

K

01

1 1d

n nK

max 1 1d

nK

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构件的工作安全系数：

强度条件： 01

1max max

dnK

（ 13-11 ）

n n 即： 1max

d nK

（ 13-12 ）

二、应用举例：

2520 mMNb 2

1 220 mMN ，若规定安全系数 n=1.4 ， 试校核 A-A 截

某减速器第一轴如图所示，键槽为端铣加工， A-A 截面上的弯矩M=860Nm ，轴的材料为 A5钢，

面的强度。

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解： 1. 计算 A-A 截面上的最大工作应力 若不计键槽对抗弯截面模量的影响，则 A-A截面 的抗弯截面模量为：

2 2 6 35 12.3 1032 32

W d m

轴不变弯矩M作用下旋转，故为弯曲变形下的对称循环。

2max 6

2min

86070

12.3 10

70

1

MMN m

W

MN m

r

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2. 确定 K

由刘鸿文主编〈材料力学〉图 13-9 ， a 中曲线 2查得端铣加工的键槽，当材料 2520 mMNb 时， 65.1K由表 13-1 查得 84.0 ，由表 13-2，使用插入法求得

936.0 。

3. 校核强度：

1

max

2201.5 1.4

1.6570

0.54 0.936

bn nK

故满足强度条件， A-A 截面处的疲劳强度是足够的。

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§13-6 持久极限曲线及其简化折线一、持久极限曲线：以平均应力 m 为横轴，应力幅度 a

系。对于任意一应力循环，根据其 、为纵轴建立一坐标

a m在坐标系中确定一个对应力 C 。因

值，就可以在可以am max

纵横坐标之和就是该点所代表的应力循环的最大应力 , 由原点向 C 点作一射线，其斜率应为：

，即一点的

1

1a

m

rtg

r

　　　　 可见循环特性 r相同的所有应力 循环都在同一射线上。可以推想：在每条由原点出发的射线上，都有一个由持久极限确定的临界点，将这些点连接起来所得到的曲线就是持久极限曲线，如下图中的 BCAB 曲线。

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A

BO

mb

a1

B

C

讨论：

(1) A 点： 0m 1r，

表明纵坐标轴上的各点代表对称循环， 1A

(2) B 点： 0a 1r，

表明横坐标轴上的各点代表静应力， B b

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(3) 曲线 BACB ’‘ 与坐标轴在 am ~

区域，区域内的各点，由于其对应的应力循环中的 坐标平面中围成一个

r max ，所以不会引起疲劳破坏。 二、简化持久极限曲线：

为了便于使用起见，工程上通常采用简化的持久极限曲线，最常用的简化曲线是根据材料的 ， 1 0 b 在

am ~ 坐标平面上确定 A、 B、 C 三点。 折线 ACB 即为简化曲线。

材料力学

讨论：

相当于 E、 D 两点，

1 .实验表明：构件的应力集中，尺寸大小，表面质量等 因素，只对属于动应力的应力幅度有影响，而对于属于静应力的平均 m和脉动循环下，考虑了上述因素的影响后，应力幅度分别为

并无影响。在对称循环

K

1 和

K2

0

故实际构件的简化折线应为上图中的 EDB 。

应力

，在上图中

2 . 应力循环对不对称性的敏感系数上图中：

1 0 0' 1

''

0 0

2 2

2 2

K KD Dtg

ED K

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则： 'tgK

由上图可看出： 0

1

0

2

2

tg

—— 应力循环不对称性敏感系数

注： 正好等于图中斜线 AC 的斜率。对于普通钢的

值请见下表：

引用记号 0

1

0

2

2

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§13-7 不对称循环下构件 的疲劳强度计算

一、强度条件的确定：1． 01 r 时的强度条件的确定：

在上图中，若以 G 点表示构件工作时危险点的交变应力，则：，aGI mOI

如图所示， P 点的纵横坐标之种就是构件的持久极限 r ，

即： rOHPH

当构件的循环特性 01 r

ED 相交，此时构件的工作安全系数 范围内时，射线 OG 与线段

n 应为：

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OIGI

OHPHn r

max

(a)

由 OGI ∽ OPH 得：

GI

PH

OIGI

OHPH

代入 (a)得：

a

PH

GI

PHn

(b)

K

OHK

OHtgOEPPHPPH 1'‘’

又因：

(c)又由 OGI ∽ OPH 得：

PHPHGI

OIOH

a

m

(d)

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联解 (c)(d)得：a

a

mKPH

1

代回 <b>式得：maa

Kn

1 （ 13-5 ）

从而得 01 r 时的强度条件为：

nK

n

maa

1

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2．塑性材料构件对于塑性材料制成的构件，除应满足疲劳强度条件外，危险点上的最大应力不应超过屈服极限，即：

max m a s

如下图所示，在 am ~ 坐标系中， sam 一条在横轴和纵轴上的截距均为 s 的直线 LJ 。

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从图中可看出：为保证构件不发生屈服破坏，代表危险点应力的点，必须落在 LJ 下面。因此，构件既不发生疲劳破坏，也不发生屈服破坏的区域应是图中折线 EKJ 与坐标轴围成的区域。

3. 强度条件的选取

(1) 由构件工作应力循环特征 r所确定的射线 OP ， 若先与直线 ED 相交，则应按公式：

1

a a m

nK

求出 n 进行疲劳强度计算 (2) 若上述射线先与直线 KJ 相交，则表示构件将以出现塑性变形的方式破坏，此时，工作安全系数 n

材料力学

应按下式计算：max

sn

强度条件应为： snn

注： 对某些构件，由于材料和具体条件的原因，在 r>0 的情况下，也可能在没有明显塑性变形时，构件就 已经发生疲劳破坏，因此，当 r>0 时，通常要同时计 算构件的疲劳强度和屈服强度。4.例题：

下图所示圆杆上有一个沿直径的贯穿圆孔，不对称交变弯矩为： NmMM 5125 minmax 。材料为合金钢， 2950 mMNb

，2540 mMNs ，21 430 mMN 2.0 ，圆杆表面经磨削加工，若规定安全系数 n=2, 5.1sn , 试校核此杆的 强度。

材料力学

解：1.计算圆杆的工作应力：

2maxmin

max

min

2maxmin

26max

max

333

9.482

3.165.81

2

2.0

3.165

1

5.811028.6

512

28.643232

mMN

r

mMN

mMN

W

M

cmdW

m

材料力学

max min232.6

2aMN

m

2. 确定系数 K ：按照圆杆的尺寸， 05.00

d

d

图 13-9 ， a 中的曲线 6查得，当 2950 mMNb 时， 78.2K

。由表 13-1查出： 77.0 。由表 13-2查出：表面经磨削加工的1

。根据刘鸿文主编《材料力学》

杆件， 。3. 疲劳强度校核：

1 4.21 2

a a m

n nK

故疲劳强度是足够的。

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因 r=0.2>0,所以需要校核屈服强度。

max

5406.62

81.5s

sn n

所以屈服强度条件也是满足的。

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§13-8 弯曲和扭转组合交变应力 下构件的疲劳强度计算一、强度条件：

在静载荷下，弯扭组合变形下的塑性条件为：2 23W n s

上式两边平方，整理得： 22

1/ 3

W n

s s

按照第四强度理论： / 3s s

代入上式，得：

材料力学

2 2

1W n

s s

(a)

依据实验资料，可以认为：弯扭组合对称循环下工作的构件，其破坏条件也可写成 (a)式的形式，即：

2 2

0 01 1

1W nd d

W n

式中： 、dW dn —— 弯扭组合对称循环下，构件持久极限

的弯曲正应力和扭转剪应力

01 1W K

01 1n

rK

材料力学

若令构件的安全系数为 n ，则弯曲组合变形下的疲劳强度条件应为：

2 2

0 01 1

1W n

W n

n n

或：

2 2

0 01 1

1W n

W n

n n

(b)

若记： 01 W

W

n

—— 弯曲对称循环下的工作安全系数

01 n

n

n

——扭转对称循环下的工作安全系数

材料力学

则：上式可写成： 122

n

n

n

n或： n

nn

nn

22

—— 弯扭组合对称循环下构件的强度条件若引用记号：

22

nn

nnn

（ 13-19 ）

则强度条件又可写成： nn （ 13-20 ） 注：当构件在弯扭组合不对称循环下工作时，仍可用（ 13-19 ） 计算工作安全系数 n ，但这时 n 和 n 则应按下面 式计算 :

1

a m

nK

1

a m

nK

材料力学

二、运算举例：

解：1.计算轴的工作应力

(1)首先计算交变弯曲 正应力及其循环特征：

26

maxmax

333

/3.81103.12

1000

3.1253232

mMNW

M

cmdW

例 13—1．阶梯轴的尺寸如下图所示，材料为合金钢， 900b 2

12 410,/ mMNmMN

21 240 mMN ，作用于NmNm 1000~1000 之间，扭矩变化于

Nm1500~0 n=2, 试校核轴的疲劳强度。若规定安全系数之间 ,轴上的弯矩变化于

材料力学

1

3.81103.12

1000

max

min

26min

min

r

mMN

W

M

(2) 计算交变扭转剪应力及其循环特性：

26max

max

333

61106.24

1500

6.2451616

mMN

W

M

cmdW

n

n

n

0

0

max

min

min

r

材料力学

2max

2max

/5.302

/5.302

mMN

mMN

m

a

2. 确定各种系数

根据 ，2.1d

D1.0

d

r ，由图 13-8b （刘鸿文）查得， 55.1K ，由图 13-8e查得， 24.1K ，由于名义应力

max 是按轴直径等于 50mm计算的，所以尺寸系数也应该

是按轴直径等于 50mm来确定。由表 13-1查出： 73.0

78.0r

。由表 13-2查出 , 根据轴的 表面光洁度为 0.9 ， 1 。

2900 mMNb 表 13-4查得， 时，由 05.0r 。当3. 计算弯曲工作安全系数 n 和扭转工作安全系数 n

材料力学

38.23.81

73.0

55.1410

max

1

Kn

由于剪应力是脉动循环， r=0 ，应按非对称计算工作安全系数，此时， 2

0 240 mMN

80.45.3005.05.30

78.0

24.12400

ma

Kn

4. 计算弯曲组合交变应力下，轴的工作安全系数 n

213.280.438.2

80.438.22222

n

nn

nnn

故满足疲劳强度条件。

材料力学

§13-9 提高构件疲劳强度的措施

1、在设计中，要避免出现方形或带有尖角的孔和槽。2、在截面尺寸，突然改变处（如阶梯轴的轴肩），要采用半 径足够大的过渡圆角，以减轻应力集中。3、因结构上的原因，难以加大过渡圆角的半径时，可以在直 径较大的部分轴上开减薄槽或退刀槽。4、在紧配合的轮毂与轴的配合面边缘处，有明显的应力集中。 若在轮毂上开减荷槽，并加粗轴的配合部分，以缩小轮毂与 轴之间的刚度差距，便可改善配合面边缘处应力集中的情况 5、在角焊缝处，采用坡口焊接，应力集中程度要比无坡口焊接 改善的多。

一、减缓应力集中：

材料力学

二、提高表面光洁度：

三、增强表层强度：

1、为了强化构件的表层，可采用热处理和化学处理 ，如面高频淬火，渗碳，氮化等。

2、可以用机械的方法强化表层，如滚压，喷丸等， 使构件表面形成一层预压应力层，减弱了容易引 起裂纹的表面拉应力，从而提高了疲劳强度。

材料力学

2、对称循环下构件的疲劳强度计算

3、不对称循环下构件的疲劳强度计算

1 、疲劳的基本参数的计算

本章小结一、知识点

二、重点内容4 、提高构件的疲劳强度的基本措施

2、对称循环下构件的疲劳强度计算

3、不对称循环下构件的疲劳强度计算

1 、疲劳的基本参数的计算