Глава 1Глава 1Математическое описание Математическое описание

непрерывных (аналоговых) непрерывных (аналоговых) изображенийизображений

ВВЕДЕНИЕВВЕДЕНИЕ

► Многие отрасли техники, имеющие отношение к получению, Многие отрасли техники, имеющие отношение к получению, обработке, хранению и передаче информации, в значительной обработке, хранению и передаче информации, в значительной степени ориентируются в настоящее время на развитие систем, в степени ориентируются в настоящее время на развитие систем, в которых информация имеет характер изображений. Изображение, которых информация имеет характер изображений. Изображение, которое можно рассматривать как двумерный сигнал, является которое можно рассматривать как двумерный сигнал, является значительно более емким носителем информации, чем обычный значительно более емким носителем информации, чем обычный одномерный (временной) сигнал. Вместе с тем, решение научных одномерный (временной) сигнал. Вместе с тем, решение научных и инженерных задач при работе с визуальными данными требует и инженерных задач при работе с визуальными данными требует особых усилий, опирающихся на знание специфических методов, особых усилий, опирающихся на знание специфических методов, поскольку традиционная идеология одномерных сигналов и поскольку традиционная идеология одномерных сигналов и систем мало пригодна в этих случаях. В особой мере это систем мало пригодна в этих случаях. В особой мере это проявляется при создании новых типов информационных систем, проявляется при создании новых типов информационных систем, решающих такие проблемы, которые до сих пор в науке и технике решающих такие проблемы, которые до сих пор в науке и технике не решались, и которые решаются сейчас благодаря не решались, и которые решаются сейчас благодаря использованию информации визуального характера. использованию информации визуального характера.

► Современные системы обработки изображений можно разделить Современные системы обработки изображений можно разделить на три класса: аналоговые (оптические), цифровые и аналогово-на три класса: аналоговые (оптические), цифровые и аналогово-цифровые (оптико-цифровые). В аналоговых системах обработки цифровые (оптико-цифровые). В аналоговых системах обработки изображений используются когерентные и некогерентные изображений используются когерентные и некогерентные оптические вычислительные устройства. Цифровая обработка оптические вычислительные устройства. Цифровая обработка изображений предполагает использование ЭВМ. В гибридных изображений предполагает использование ЭВМ. В гибридных оптико-цифровых системах используются ЭВМ и оптические оптико-цифровых системах используются ЭВМ и оптические процессоры. процессоры.

1. Аналоговые (оптические) системы обработки изображений1. Аналоговые (оптические) системы обработки изображений

Математическое описание непрерывных (аналоговых) изображенийМатематическое описание непрерывных (аналоговых) изображенийИзучение методов и систем обработки и анализа изображений начнем с рассмотрения Изучение методов и систем обработки и анализа изображений начнем с рассмотрения математического аппарата, используемого при аналоговой (оптической) обработке.математического аппарата, используемого при аналоговой (оптической) обработке.

Для простоты будем во всех случаях описывать изображение, сформированные Для простоты будем во всех случаях описывать изображение, сформированные некоторой физической системой, с помощью функции . Для одноцветной некоторой физической системой, с помощью функции . Для одноцветной системы функция системы функция представляет собой распределение яркости или какой- представляет собой распределение яркости или какой-либо другой физической величины, связанной с яркостью. Для цветных изображений либо другой физической величины, связанной с яркостью. Для цветных изображений есть одна из координат цвета, которые пропорциональны интенсивностям есть одна из координат цвета, которые пропорциональны интенсивностям красного (красного (RR), зеленого (), зеленого (GG) и синего () и синего (ВВ) цвета, смесь которых дает заданный цвет. Во ) цвета, смесь которых дает заданный цвет. Во многих системах воспроизведения изображений изображение не меняется во многих системах воспроизведения изображений изображение не меняется во времени и переменная времени и переменная t t может быть опущена (статические изображения). Мы в может быть опущена (статические изображения). Мы в основном будем рассматривать именно такие изображения. Иногда для простоты основном будем рассматривать именно такие изображения. Иногда для простоты изложения некоторые методы обработки и анализа демонстрируются для изложения некоторые методы обработки и анализа демонстрируются для одномерных изображений одномерных изображений f(x)f(x). Большое значение в обработке изображений имеют . Большое значение в обработке изображений имеют операция свертки и преобразования Фурье, относящиеся к классу интегральных операция свертки и преобразования Фурье, относящиеся к классу интегральных преобразований. преобразований.

0),,( tyxf),,( tyxf

),,( tyxf

1.1. Свертка и ее свойства1.1. Свертка и ее свойства

Если функцияЕсли функция ff((xx)) абсолютно интегрируема, т.е. интеграл абсолютно интегрируема, т.е. интеграл

(1.1)(1.1)

конечен, а функция конечен, а функция hh((xx) ) ограничена на интервале (- ∞, ∞), то существует функцияограничена на интервале (- ∞, ∞), то существует функция

(1.2)(1.2)

которая называется сверткой двух функций которая называется сверткой двух функций ии . . Переменная Переменная задает задает последовательность сдвиговпоследовательность сдвигов функции функции относительноотносительно . Подынтегральное . Подынтегральное выражение интеграла (1.2) равно произведению выражение интеграла (1.2) равно произведению на перевернутую функциюна перевернутую функцию , , сдвинутую относительно первой функции на величину . сдвинутую относительно первой функции на величину .

Если заменить на , то, изменив пределы интегрирования, получимЕсли заменить на , то, изменив пределы интегрирования, получим

(1.3)(1.3)

т. е. операция свертки является коммутативной. Другие свойства свертки т. е. операция свертки является коммутативной. Другие свойства свертки рассмотрим в разделе, посвященном преобразованию Фурье.рассмотрим в разделе, посвященном преобразованию Фурье.

dxxf )(

dxhfxg )()()(

)(xf )(xh x)(xh )(xf)(f )( xhx

x

dxfhdxhfxg )()( )()()(

1.2. Обобщенные функции1.2. Обобщенные функции

Достаточным условием существования свертки (и преобразования Фурье) является Достаточным условием существования свертки (и преобразования Фурье) является абсолютная интегрируемость исходной функции, т.е. конечность интеграла (1.1). абсолютная интегрируемость исходной функции, т.е. конечность интеграла (1.1). Однако, эти преобразования можно рассматривать на совсем другом классе Однако, эти преобразования можно рассматривать на совсем другом классе функций, а именно на классе функций с интегрируемым квадратом. Если существует функций, а именно на классе функций с интегрируемым квадратом. Если существует интегралинтеграл

(1.4)(1.4)

который иначе называется квадратом нормы функции который иначе называется квадратом нормы функции и обозначаетсяи обозначается

(1.5)(1.5)

то требование конечности нормы функции позволяет существенно расширить то требование конечности нормы функции позволяет существенно расширить класс функций над которыми можно совершать преобразования свертки и Фурье.класс функций над которыми можно совершать преобразования свертки и Фурье.

Введем понятие скалярного произведения двух функций иВведем понятие скалярного произведения двух функций и (перекрестная (перекрестная норма):норма):

(1.6)(1.6)

Если скалярное произведение функции на функциюЕсли скалярное произведение функции на функцию существует, тосуществует, то

(1.7)(1.7)

При переносе одной функции на величину , получаемПри переносе одной функции на величину , получаем

(1.8)(1.8)

При сжатии одной из функций в При сжатии одной из функций в аа раз, имеем раз, имеем

dxxf

2)(

22)( fdxxf

f

)(xf )(xg

)(),()()( xgxfdxxgxf

)(xf )(xg

)()(),()()()()(),()( xhxgxfdxxgxhxfxgxhxf

0x

)(),()()()()()(),( 0000 xxgxfdxxxgxfdxxgxxfxgxxf

)(f

(1.9)(1.9)

В трудах О. Хэвисайда, П. Дирака, С. Соболева, Л. Щварца обобщено понятие В трудах О. Хэвисайда, П. Дирака, С. Соболева, Л. Щварца обобщено понятие

функции на так называемые сингулярные (пример - -функция) и “трудные” функции на так называемые сингулярные (пример - -функция) и “трудные” функции ( функции ( ,,и др.).и др.).

Если взять произвольную обобщенную функцию Если взять произвольную обобщенную функцию ,, то задание чисел то задание чисел

(1.10)(1.10)

определенных для любой “хорошей” функции определенных для любой “хорошей” функции ,, достаточно, чтобы полностью достаточно, чтобы полностью определить свойства , не определяя ее непосредственно. Например, -определить свойства , не определяя ее непосредственно. Например, -функция определяется какфункция определяется как

(1.11)(1.11)

причемпричем

(1.12)(1.12)

Однако, -функцию можно определить, указывая на результат операцииОднако, -функцию можно определить, указывая на результат операции

(1.13)(1.13)

a

xgxf

adx

a

xgxf

adxxgaxfxgaxf ),(

1)(

1)()()(),(

)(1 x xsin

)(xf

dxxgxfxgxf

)()()(),(

)(xg)(xf

0 x0,

0 ,1)(

xx

1)(

dxx

)()()( 00 xgdxxgxx

для любой “хорошей” функции , т.е. функции, имеющей непрерывные для любой “хорошей” функции , т.е. функции, имеющей непрерывные производные всех порядков и финитной. К понятию обобщенной функции производные всех порядков и финитной. К понятию обобщенной функции необходимо обращаться в следующих случаях:необходимо обращаться в следующих случаях:

► исходная функция неинтегрируемая абсолютно;исходная функция неинтегрируемая абсолютно;► исходная функция входит в класс сингулярных;исходная функция входит в класс сингулярных;► необходимо осуществить дифференцирование функций абсолютно необходимо осуществить дифференцирование функций абсолютно

интегрируемых, но имеющих разрывы.интегрируемых, но имеющих разрывы.

Обобщенная -функция Дирака определяется следующим функционалом:Обобщенная -функция Дирака определяется следующим функционалом:

(1.14)(1.14)

Аналогичный функционал записывается для сдвинутой -функции :Аналогичный функционал записывается для сдвинутой -функции :

(1.15)(1.15)

Данную функцию можно интерпретировать как точечный источник света Данную функцию можно интерпретировать как точечный источник света расположенный в точке . Вычислимрасположенный в точке . Вычислим

(1.16)(1.16)

Отсюда следует неочевидное свойство:Отсюда следует неочевидное свойство:

(1.17)(1.17)

)(xg

1.3. Примеры обобщенных функций1.3. Примеры обобщенных функций1.3.1.Обобщенная -функция Дирака1.3.1.Обобщенная -функция Дирака

)0()(),( gxgx

)( 0xx )()(),()(),( 000 xgxxgxxgxx

0x 0)()(),()(),( 0 xxxgxxgxxgxx

0)( xx

1.3.2. Функция Хэвисайда1.3.2. Функция Хэвисайда

По определению функция Хэвисайда, или единичная ступенька, имеет вид:По определению функция Хэвисайда, или единичная ступенька, имеет вид:

(1.18)(1.18)

Вычислим производную функции Хэвисайда. Пусть некоторая функция Вычислим производную функции Хэвисайда. Пусть некоторая функция непрерывна и обладает непрерывной производной. Построим функционалнепрерывна и обладает непрерывной производной. Построим функционал

(1.19)(1.19)

Интегрируя по частям и учитывая, что функция обращается в нуль вне Интегрируя по частям и учитывая, что функция обращается в нуль вне конечного отрезка,конечного отрезка, получимполучим

(1.20)(1.20)

Производная функции Хэвисайда определяется функционаломПроизводная функции Хэвисайда определяется функционалом

(1.21)(1.21)

откудаоткуда

(1.22)(1.22)

Дальнейшие дифференцирование позволяет определить производные от -Дальнейшие дифференцирование позволяет определить производные от -функции:функции:

(1.23)(1.23)

аналогичноаналогично

(1.24)(1.24)

0 ,0

0 ,1)(

x

xxY

)(xf

dxxgdx

xdfxg

dx

xdf)(

)()(,

)(

)(xg ba,

dx

xdgxfdx

dx

xdgxfxgxfxg

dx

xdf )(),(

)()()()()(,

)(

)(' xY

0

)(),()0()()(

),()(,)(

xgxgdxdx

xdg

dx

xdgxYxg

dx

xdY

)()(

xdx

xdY

dx

dgxgxxgx

)0()(),()(),( ''

)0()1()(),( )()( nnn gxgx

1.4. Преобразование Фурье и его свойства1.4. Преобразование Фурье и его свойства

Преобразованием Фурье функцииПреобразованием Фурье функции называться функцияназываться функция

(1.25)(1.25)

где интеграл понимается в смысле главного значениягде интеграл понимается в смысле главного значения

(1.26)(1.26)

Обратное преобразование Фурье функции Обратное преобразование Фурье функции FF((ww)) определяется выражением определяется выражением

(1.27)(1.27)

Достаточным, но не необходимым условием существования преобразования (1.25), Достаточным, но не необходимым условием существования преобразования (1.25), является выполнение следующих условий:является выполнение следующих условий:

► функция должна быть абсолютно интегрируемой;функция должна быть абсолютно интегрируемой;► функция должна иметь конечное число разрывов, максимумов и минимумов в функция должна иметь конечное число разрывов, максимумов и минимумов в

пределах любой конечной области;пределах любой конечной области;► функция не должна иметь разрывов 2 рода.функция не должна иметь разрывов 2 рода.

Очевидно, что -функция не удовлетворяет третьему условию существования Очевидно, что -функция не удовлетворяет третьему условию существования преобразования (1.25), апреобразования (1.25), а , , , , ,, – первому – первому условию существования. Однако, для этих обобщенных функций можно, как мы условию существования. Однако, для этих обобщенных функций можно, как мы увидим в дальнейшем, определить обобщенные фурье-образы, с которыми можно увидим в дальнейшем, определить обобщенные фурье-образы, с которыми можно обращаться так же, как и с обычными.обращаться так же, как и с обычными.

dxexfxfF iwx)()()( F

A

A

iwx

A

iwx dxexfdxexf )(lim)(

dwewFwF iwx)(2

1)(1

F

)(xf

)(xf

)(xf

xxf 1)( xYxf )( xxf sgn)( xxf sin)(

1.4.1. Свойства преобразования Фурье1.4.1. Свойства преобразования Фурье

1. Линейность1. Линейность

Пусть - фурье-образы функций , а - произвольные Пусть - фурье-образы функций , а - произвольные комплексные числа, то фурье-образ функции , равенкомплексные числа, то фурье-образ функции , равен

, т.е. линейной комбинации соответствующих фурье-, т.е. линейной комбинации соответствующих фурье-образов. Это общее свойство для всех линейных преобразований.образов. Это общее свойство для всех линейных преобразований.

2. Изменение масштаба2. Изменение масштаба

Если Если аа – действительное число, то – действительное число, то

(1.28)(1.28)

Пусть . ТогдаПусть . Тогда

Аналогично, если , тоАналогично, если , то

Окончательно:Окончательно:

(1.29)(1.29)

При , .При , .

)(., . . ),(1 wFwF n )(., . . ),(1 xfxf n naa ., . . ,1

)(...)()( 11 xfaxfaxf nn

)(...)()( 11 wFawFawF nn

a

wF

aaxf

1)(F

0a

a

wFa

defa

dxeaxfaxf a

wi

iwx 1)(

1)()(

F

0a

a

wFa

defa

defa

axf a

wi

a

wi 1

)(1

)(1

)(

F

a

wF

aaxf

1)(F

1a wFxf )(F

3. Теорема о переносе3. Теорема о переносе

Если функцию сдвинуть на величинуЕсли функцию сдвинуть на величину , то Фурье-образ новой функции , то Фурье-образ новой функции окажется равнымокажется равным

(1.30)(1.30)

Таким образом, при переносе функции на величинуТаким образом, при переносе функции на величину ее фурье-образ ее фурье-образ умножается на умножается на

4. Свойства симметрии4. Свойства симметрии

Вычислим фурье-образ , т.е. функции, комплексно-сопряженной сВычислим фурье-образ , т.е. функции, комплексно-сопряженной с

Таким образом,Таким образом,

(1.31)(1.31)

5. Интегральная теорема Фурье5. Интегральная теорема Фурье

Имеет место следующая формула обращения преобразования Фурье:Имеет место следующая формула обращения преобразования Фурье:

(1.32)(1.32)

Покажем сначала, что для любых функций и , имеющих фурье-образы Покажем сначала, что для любых функций и , имеющих фурье-образы справедливо соотношениесправедливо соотношение

(1.33)(1.33)

)(xf 0x )( 0xxf

)()()()( 00 )(00 xfedxexfdxexxfxxf iwxxxiwiwx FF

)(xf 0x0iwxe

)(* xf )(xf

)()()( *

*

)(* wFdxexfdxexf xwiiwx

)()( ** wFxf F

fff 11 FFFF)(xf )(xg ,fF F ,gG F

dyyxfyGdeFg xi )()()()(

Действительно:Действительно:

Теперь, для любых , Можно записатьТеперь, для любых , Можно записать

При , получаем (с учетом абсолютной и равномерной по сходимости крайних При , получаем (с учетом абсолютной и равномерной по сходимости крайних интегралов)интегралов)

откуда следует, чтооткуда следует, что

dedyeyfgdeFg xiyixi )()()()(

dyyxfyGdyyfxyGdydegyf xyi

)()()()()()( )(

0

duuxfuGdyyxfy

GdeFg xi )()(1

)()(

0

duuGxfdeFg xi )()()()0(

deFduuG

gxf xi

)()(

)0()(

Поскольку – произвольная функция, то нормированный множитель так же Поскольку – произвольная функция, то нормированный множитель так же произвольно может быть назначен. Мы будем полагать, чтопроизвольно может быть назначен. Мы будем полагать, что

тогдатогда

(1.34)(1.34)

что и требовалось доказать.что и требовалось доказать.

6. Соотношение взаимности6. Соотношение взаимности

Если Если FF((ww)) – фурье-образ функции , то – фурье-образ функции , то

(1.35)(1.35)

Это соотношение вытекает из равенстваЭто соотношение вытекает из равенства

(1.36)(1.36)

7. Дифференцирование по координате7. Дифференцирование по координате

Выполним дифференцирование обеих частей равенстваВыполним дифференцирование обеих частей равенства

(1.37)(1.37)

)(xg

2

1

)(

)0(

duuG

g

xfxfdwewFxf iwx -1--1- FFFF

)(2

1)(

)(xf )( 2)( wfxF F

dwewFxf iwx)()( 2

dwewFxf iwx)(2

1)(

nn раз по координате , получим раз по координате , получим

(1.38)(1.38)

Осуществляя преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.38), получимОсуществляя преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.38), получим

(1.39)(1.39)

Рассмотрим функциюРассмотрим функцию

(1.40)(1.40)

Если , тоЕсли , то

(1.41)(1.41)

(1.42)(1.42)

Таким образом,Таким образом,

(1.43)(1.43)

8. Теорема свертки8. Теорема свертки

Фурье-образ свертки двух функций равен произведению их фурье-образов. Фурье-образ свертки двух функций равен произведению их фурье-образов. Действительно,Действительно,

(1.44)(1.44)

x

)()()()(2

1)( 1 wFiwdwewFiwdx

xfd niwxnn

n

F

)()()(

wFiwdx

xfd nn

n

F

dfxg )()(

)()( xgwG F

)()(

xfdx

xdg

)()( wFwiwG

iw

wFdf

)()(

F

)()()()()()()()( wGwFdewGfdxgfdxgf iw FF

Осуществляя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.44) Осуществляя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.44) при при = 0= 0, получаем:, получаем:

(1.45)(1.45)

9. Теорема автокорреляции9. Теорема автокорреляции

Фурье-образ автокорреляционной функции равен квадрату модуля ее Фурье-Фурье-образ автокорреляционной функции равен квадрату модуля ее Фурье-преобразования. Действительно,преобразования. Действительно,

(1.46)(1.46)

10. Теорема Парсеваля10. Теорема Парсеваля

Осуществляя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.46), Осуществляя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.46), получим:получим:

При , имеемПри , имеем

(1.47)(1.47)

x

dwxgxfdgf )()(2

1)()( FF

dxggdxgg )()()()( FF

2* )()()()()( wGwGwGdwGeg iw

dwewGdxgg iwx2)(

2

1)()(

0x

dwwGdg22

)(2

1)(

1.4.2. Преобразования Фурье обобщенных функций1.4.2. Преобразования Фурье обобщенных функций

Основным соотношение, задающим свойства Фурье-образа обобщенных функций, Основным соотношение, задающим свойства Фурье-образа обобщенных функций, является равенство (1.45), которое запишем в видеявляется равенство (1.45), которое запишем в виде

(1.(1.48)48)

Это соотношение является определением фурье-образа обобщенной Это соотношение является определением фурье-образа обобщенной функции . При этом функция входит в класс “хороших” функций. функции . При этом функция входит в класс “хороших” функций. Вычислим, исходя из соотношения (1.48), фурье – образы некоторых обобщенных Вычислим, исходя из соотношения (1.48), фурье – образы некоторых обобщенных функций.функций.

1. Обобщенная функция 1. Обобщенная функция δ(х)δ(х)

Таким образом,Таким образом,

(1.49)(1.49)

Применяя теорему взаимности к равенству (1.49), получимПрименяя теорему взаимности к равенству (1.49), получим

(1.50)(1.50)

АналогичноАналогично

(1.51)(1.51)

g(x),f(x)xgxf FF2

1)(),(

f(x)F )(xf)(xg

)(),(1)()(),()(),(2 wGwdwwGdwwGexхgxG(w),(x) iwxF

)(1 w(x) F

)(21 w(x) F

)(),(2 хgxxG(w),)x-(x 00 F

)(,)()(),( 00 wGedwwGedwwGexx iwxiwxiwx0

0iwx0 e)x-(x F

Применяем теорему взаимности к равенству (1.51), получимПрименяем теорему взаимности к равенству (1.51), получим

(1.52)(1.52)

2. Гармонические функции 2. Гармонические функции coswoxcoswox, , sinwoxsinwox

Согласно формулам ЭйлераСогласно формулам Эйлера

Используя соотношение (1.52), легко находимИспользуя соотношение (1.52), легко находим

(1.53)(1.53)

(1.54)(1.54)

3. Знаковая функция 3. Знаковая функция sgnsgn((xx))

Эта функция имеет видЭта функция имеет вид

(1.55)(1.55)

Очевидно, чтоОчевидно, что

(1.56)(1.56)

Производная функции Хэвисайда равна , поэтомуПроизводная функции Хэвисайда равна , поэтому

(1.57)(1.57)

и отсюда получаем уравнениеи отсюда получаем уравнение

(1.58)(1.58)

)(2)(2 000 wwwwe xiw F

,2

cos00

0

xiwxiw eexw

i

eexw

xiwxiw

2sin

00

0

)()(cos 000 wwwwxw F )()(sin 000 wwwwixw F

0 ,1

0 ,1)sgn(

x

xx

1)(2)sgn( xYx

)(xY )(x

iw

w

iw

xdxxxY

)(1)()()(

FFF

)(1)( wiwxY F

Для , очевидно,Для , очевидно,

(1.59)(1.59)

Однако, распространить решение на точку нельзя, т.к. в этой точке может Однако, распространить решение на точку нельзя, т.к. в этой точке может быть задана обобщенная функция, и такой обобщенной функцией является быть задана обобщенная функция, и такой обобщенной функцией является распределение Дирака. Легко проверить, что решением уравнения (1.58) распределение Дирака. Легко проверить, что решением уравнения (1.58) является обобщенная функцияявляется обобщенная функция

(1.60)(1.60)

ТогдаТогда

Пусть задана комплексная функция двух переменных . По определению Пусть задана комплексная функция двух переменных . По определению преобразованием Фурье этой функции будет комплексная функцияпреобразованием Фурье этой функции будет комплексная функция

(1.61)(1.61)

Переменные называются пространственными частотами. Как и в Переменные называются пространственными частотами. Как и в одномерном случае справедливо обратное преобразованиеодномерном случае справедливо обратное преобразование

(1.62)(1.62)

0w

iw

wxY

)(1)( F

0w

)()(1

)( wiw

wxY F

w

i

iwww

iwxxYx

22)(2)(

12)(1)(2)sgn(

FF

1.5. Двумерное преобразование Фурье 1.5. Двумерное преобразование Фурье

),( yxf ),( yxfF ),( 21 uuF

dxdyyuxuiyxfyxfuuF )](exp[,,),( 2121 F

21,uu

dxdyyuxuiuuFuuFyxf )](exp[),(4

1,),( 2121221

1-F

Соотношение (1.62) можно рассматривать как представление функции Соотношение (1.62) можно рассматривать как представление функции в виде линейной комбинации элементарных функций , а спектр в виде линейной комбинации элементарных функций , а спектр Фурье как набор комплексных весовых множителей, на которые следует Фурье как набор комплексных весовых множителей, на которые следует помножать каждую из элементарных функций, чтобы получить исходную функцию помножать каждую из элементарных функций, чтобы получить исходную функцию . .

Рассмотренные выше свойства преобразования Фурье, справедливы и в Рассмотренные выше свойства преобразования Фурье, справедливы и в двумерном случае. В частности, если и - фурье-образы функций двумерном случае. В частности, если и - фурье-образы функций и , и , а, а, bb – действительные числа, то – действительные числа, то

(1.63)(1.63)

(1.64)(1.64)

(1.65)(1.65)

(1.66)(1.66)

(1.67)(1.67)

(1.68)(1.68)

),( yxf yuxui 21(exp ),( 21 uuF

),( yxf

),( 21 uuF ),( 21 uuG ),( yxf ),( yxg

b

u

a

uF

abbyaxf 21 ,

1),(F

),(),( 21)( 21 uuFebyaxf buaui F

),(),(),(),( 2121 uuGuuFddyxgf

F

21

2

212

2),(

4

1),( duduuuGdxdyyxg

),(),(),(),( 2121 uuGuuFddyxgf

F

yxfyxfyxf ,,),( -1-1 FFFF

Пусть функция . Тогда, осуществляя в плоскостях координат Пусть функция . Тогда, осуществляя в плоскостях координат и частот переход к полярным координатам по формулам:и частот переход к полярным координатам по формулам:

, ,, , , ,

, ,, , , ,

и учитывая, что якобиан перехода от декартовых координат к полярным равен и учитывая, что якобиан перехода от декартовых координат к полярным равен rr, , получаем следующее выражение для фурье-образа функции :получаем следующее выражение для фурье-образа функции :

(1.69)(1.69)

Используя формулу для интегрального представления функции Бесселя первого Используя формулу для интегрального представления функции Бесселя первого рода нулевого порядкарода нулевого порядка

(1.70)(1.70)

получаемполучаем

(1.71)(1.71)

Преобразование вида (1.71) называется преобразованием Фурье-Бесселя.Преобразование вида (1.71) называется преобразованием Фурье-Бесселя.

)()(),( 22 rfyxfyxf

22 yxr cosrx sinry

22

21 uuu cos1 uu sin2 uu

)(rf

diurdrrrfrf

0

2

0

cos(exp)(F

diaaI 2

00 cos(exp

2

1

0

0 )(2)( drurIrrfrf F

1.6.Анализ линейных систем с помощью преобразования Фурье1.6.Анализ линейных систем с помощью преобразования Фурье

Для линейной системы, представляющей собой “черный ящик”, выходное Для линейной системы, представляющей собой “черный ящик”, выходное изображение может быть получено в результате действия линейного оператора изображение может быть получено в результате действия линейного оператора ТТ на входное изображение на входное изображение , то есть, то есть

(1.72)(1.72)

Равенство (1.72) можно записать в видеРавенство (1.72) можно записать в виде

(1.73)(1.73)

Функцию Функцию называют импульсным откликом системы. называют импульсным откликом системы. Теперь выходное изображение может быть представлено в виде интеграла Теперь выходное изображение может быть представлено в виде интеграла суперпозициисуперпозиции

(1.74)(1.74)

Линейная система называется пространственно-инвариантной, если Линейная система называется пространственно-инвариантной, если . В этом случае интеграл суперпозиции становится интегралом свертки. В этом случае интеграл суперпозиции становится интегралом свертки

(1.75)(1.75)

Оптические системы, формирующие изображения, как правило, пространственно-Оптические системы, формирующие изображения, как правило, пространственно-инвариантны.инвариантны.

Осуществляя преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.75) и используя Осуществляя преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.75) и используя теорему свертки, получаемтеорему свертки, получаем

),( yxg

),( yxf yxfTyxg ,),(

]),(),([, ddyxfTyxg

ddyxTf )],([),(

)],([),;,( yxTyxh

ddyxhfyxg ),;,(),(,

),(),;,( yxhyxh

ddyxhfyxg ),(),(,

(1.76)(1.76)

где где , , , , . .

Выполняя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.76), Выполняя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.76), находимнаходим

(1.77)(1.77)

т.е. изображение на выходе линейной системы может быть получено в результате т.е. изображение на выходе линейной системы может быть получено в результате обратного преобразования Фурье от произведения спектра входного изображения обратного преобразования Фурье от произведения спектра входного изображения на частотную характеристику системы.на частотную характеристику системы.

Bal’t | 2006Bal’t | 2006

),(),(),( 212121 uuHuuFuuG ),(),( 21 yxguuG F ),(),( 21 yxfuuF F ),(),( 21 yxhuuH F

dxdyyuxuiuuHuuFyxg )](exp[),(),(4

1),( 2121212