그래프 추상 데이타 타입 (1/9)

•1

그래프 추상 데이타 타입그래프 추상 데이타 타입 (1/9)(1/9) 개요

Koenigsberg 다리 문제 차수 (degree) : 정점에 연결된 간선의 수 오일러 행로 (Eulerian walk)

(a) Koenigsberg 의 Pregal 강의 일부

..

c d

e

f

g

ba

C

B

DAKneiphof

DA

C

B

c

a

d

b

e

g

f

(b) 오일러의 그래프

•2

그래프 추상 데이타 타입그래프 추상 데이타 타입 (2/9)(2/9) 정의

그래프 G : 2 개의 집합 V 와 E 로 구성 V : 공집합이 아닌 정점 (vertex) 의 유한집합 E : 간선 (edges) 이라고 하는 정점 쌍들의 집합 표기 : G=(V,E)

무방향그래프 (undirected graph) 간선을 나타내는 정점의 쌍에 순서 없음

방향 그래프 (directed graph) 방향을 가지는 정점의 쌍 <u, v> 로 표시

(u 는 꼬리 (tail), v 는 머리 (head)) <v, u> 와 <u, v> 는 서로 다른 간선

•3

그래프 추상 데이타 타입그래프 추상 데이타 타입 (3/9)(3/9) 예제 그래프

V(G1)={0,1,2,3} E(G1)={(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)}

V(G2)={0,1,2,3,4,5,6) E(G2)={(0,1),(0,2),(1,3),(1,4),(2,5),(2,6)}

V(G3)={0,1,2} E(G3)={<0,1>,<1,0>,<1,2>}

0

1

0

3

21

3

•0

65

2

4 2

1

0

G1 G2 G3

•4

00 01

02

00

01

02

03

완전 그래프 (complete graph) : n 개의 정점과 n(n-1)/2 개의 간선을 가진 그래프 (u,v) 가 E(G) 의 한 간선이라면

u 와 v 는 인접 (adjacent) 한다 간선 (u,v) 는 정점 u 와 v 에 부속 (incident) 된다

그래프 G 의 부분그래프 (subgraph) : V(G') V(G) 이고 E(G') E(G) 인 그래프 G'

그래프 추상 데이타 타입그래프 추상 데이타 타입 (4/9)(4/9) 정의

그래프의 제한 사항 자기 간선 (self edge) 또는 자기 루프 (self loop) 없음 동일 간선의 중복 없음 ( 다중그래프 (multigraph)) 는 이 제한이 없음

자기 간선을 가진 그래프 다중 그래프

•5

그래프 추상 데이타 타입그래프 추상 데이타 타입 (5/9)(5/9)

정점 u 로부터 정점 v 까지의 경로 (path) 그래프 G 에서 (u,i1), (i1,i2), ..., (ik,v) 를 E(G) 에 속한

간선들이라 할 때 , 정점열 u, i1, i2, ..., ik, v 를 말함 경로의 길이 (length)

경로상에 있는 간선의 수 단순 경로 (simple path)

경로상에서 처음과 마지막을 제외한 모든 정점들이 서로 다름

단순 방향 경로 (simple directed path) 사이클 (cycle)

처음과 마지막 정점이 같은 단순 경로

•6


G3 의 서브그래프

0 0

1 2

3

1 2

3

1 2

0

(i) (ii) (iii) (iv)

G1 의 서브그래프

0 0

1

2

0

1

2

0

1

2

(i) (ii) (iii) (iv)

0

3

21

G1

•0

2

1

0

G3

•7

0

3

2 1

H1 4

7

5 6

H2

G4

두 개의 연결요소를 갖는 그래프

그래프 추상 데이타 타입그래프 추상 데이타 타입 (7/9)(7/9) 연결 요소 (connected component) : 최대 연결 부분 그래프 (maximal connected subgraph) 강력 연결 (strongly connected) : 방향그래프에서 V(G) 에 속한 서로 다른 두 정점 u, v 의 모든 쌍에 대해서 , u 에서 v 로 , 또한 v 에서 u 로의

방향 경로 (directed path) 가 존재 강력 연결 요소 (strongly connected component) : 강하게 연결된 최대 부분그래프

•8


G3 의 강력 연결요소

차수 (degree) : 정점에 부속한 간선들의 수 진입차수 (in-degree)

임의의 정점 v 가 머리가 되는 간선들의 수 진출차수 (out-degree)

v 가 꼬리가 되는 간선들의 수 간선의 수

다이그래프 (digraph) : 방향 그래프(n 개의 정점과 e 개의 간선을 가진 그래

프 )

0

1 2

2/)(1

0

n

ide

•9


ADT Graph objects: 공집합이 아닌 정점의 집합과 무방향 간선의 집합으로 각 간선은 정점의 쌍이다 . functions: for all graph ∈ Graph, v, v1, and v2 ∈ Vertices Graph Create() ::= return an empty graph Graph InsertVertex(graph, v) ::= return a graph with v inserted v has no incident edges

Graph InsertEdge(graph, v1, v2) ::= return a graph with a new edge between v1 and v2 Graph DeleteVertex(graph, v) ::= return a graph in which v and all edges incident to it are removed

Graph DeleteEdge(graph, v1, v2) ::= return a graph in which the edge(v1, v2) is removed Leave the incident nodes in the graph Boolean IsEmpty(graph) ::= if(graph = = empty graph) return TRUE else return FALSE List Adjacent(graph, v) ::= return a list of all vertices that are adjacent to v< 그래프 추상 데이타 타입 >

•10

그래프 표현법그래프 표현법 인접행렬 (Adjacency Matrix)

G=(V,E) 는 정점의 수가 n(n≥1) 인 그래프 인접행렬 : nn 의 2 차원 배열 간선 (vi, vj)E(G) a[i][j]=1 간선 (vi, vj)E(G) a[i][j]=0 필요 공간 : n2 비트

무방향 그래프 : 어떤 정점 i 의 차수는 그 행의 합 : 방향 그래프 : 행의 합은 진출차수 , 열의 합은 진입차수 인접행렬의 수행 시간 : 최소한 O(n2) 희소 그래프 (sparse graph) : O(e+n)

0 1 1 0 0 0 0 01 0 0 1 0 0 0 01 0 0 1 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 1 00 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 1 0

01234567

0 1 20 1 01 0 10 0 0

012

0 1 2 30 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

0123

G1 의 인접행렬 G3 의 인접행렬 G4 의 인접행렬

0 1 2 3 4 5 6 7

1

0

]][[n

j

jia

•11

인접리스트 (Adjacency Lists) 인접행렬의 n 행들을 n 개의 chains 으로 표현 n 개의 정점 , e 개의 간선의 무방향 그래프

n 개의 헤드노드 , 2e 개의 리스트 노드가 필요

방향그래프 : e 개의 리스트 노드 연결 리스트 노드의 순차적 저장 : 배열 node[]

node[i] = 정점 i 에 대한 리스트의 시작 지점 Node[n] = n + 2e – 1 정점 i 와 인접한 정점 node[i], … , node[i+1]-1 에 저장 (0≤i≤n)

역인접리스트 (inverse adjacency lists) 리스트가 표현하는 정점에 인접한 각 정점에 대해 하나의 노드를 둠

인접리스트인접리스트 (1/4)(1/4)

•12(

0

3210

1331

2 00 00 02 0

1 02 0 0

2301

1 00 03 02 0

5 0656 0

4 07 0

[0][1][2][3]

adjLists

data link

G1 인접 리스트

adjLists

adjLists

[0][1][2]

[0][1][2][3][4][5][6][7]

G3 인접 리스트

G4 인접 리스트


•13


int nodes[n + 2*e +1];

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

9 11 13 15 17 18 20 22 23 2 1 3 0 0 3 1 2 5 6 4 5 7 6

그래프 G4 의 순차 표현

1 0

0 0

1 0

[0]

[1]

[2]

G3 의 역인접리스트

•14

인접다중리스트 인접다중리스트 (Adjacency Multilists)(Adjacency Multilists) 간선 (u,v) 는 두 개의 엔트리로 표현 : u 를 위한 리스트 , v 를 위한 리스트에 나타남 새로운 노드 구조

m vertex 1 vertex 2 list 1 list 2

0 1 N1 N3N0 edge (0,1)

0 2 N2 N3N1 edge (0,2)

0 3 0 N4N2 edge (0,3)

1 2 N4 N5N3 edge (1,2)

1 3 0 N5N4 edge (1,3)

2 3 0 0N5 edge (2,3)

adjNodes

[0]

[1]

[2]

[3]

The lists are vertex 0: N0 → N1 → N2vertex 1: N0 → N3 → N4vertex 2: N1 → N3 → N5vertex 3: N2 → N4 → N5 G1 에 대한 인접 다중리스트

•15

가중치 간선가중치 간선 (Weighted Edges)(Weighted Edges)

그래프의 간선에 가중치 (weights) 부여

인접행렬 : 행렬 엔트리에 a[i][j] 의 가중치 정보 저장

인접리스트 : 노드 구조에 weight 필드를 추가

네트워크 (network) : 가중치 간선을 가진 그래프

•16

그래프의 기본 연산그래프의 기본 연산 깊이 - 우선 탐색 (DFS; Depth-First Search)

(1) 출발 정점 v 를 방문(2) v 에 인접하고 방문하지 않은 한 정점 w 를 선택(3) w 를 시작점으로 다시 깊이 우선 탐색 시작(4) 모든 인접 정점을 방문한 정점 u 에 도달하면 , 최근에 방문한 정점 중 아직 방문을 안한 정점 w 와 인접하고 있는 정점으로 되돌아감

(5) 정점 w 로부터 다시 깊이 우선 탐색 시작

(6) 방문을 한 정점들로부터 방문하지 않은 정점으로 더 이상 갈 수 없을 때 종료

•17

깊이 우선 탐색깊이 우선 탐색 (1/3)(1/3)

void dfs (int v){/* 그래프의 정점 v 에서 시작하는 깊이 우선 탐색 */ nodePointer w; visited[v] = TRUE; printf(“%5d”, v); for (w = graph[v]; w; w = w → link) if (!visited [w→vertex]) dfs (w→vertex);}

깊이 - 우선 탐색

#define FALSE 0#define TRUE 1short int visited[MAX_VERTICES];

•18

깊이 우선 탐색깊이 우선 탐색 (2/3)(2/3) 예제 6.1

0, 1, 3, 7, 4, 5, 2, 6 순으로 방문0

1 2

3 4 5 6

7

(a)[0][1][2][3][4][5][6][7]

1

0

0

1

1

2

2

3 4

7

7

7

7

5

3

2 0

0

0

0

0

5

6

4 0

0

6 0

(b) 그래프 G 와 그 인접리스트

adjLists

•19

깊이 우선 탐색깊이 우선 탐색 (3/3)(3/3) DFS 의 분석

탐색을 끝내는 시간 O (e) v 에 인접한 모든 정점들을 찾는데 O (n) 의 시간 총 시간은 O(n2)

•20

너비 우선 탐색너비 우선 탐색 (1/2)(1/2) 너비 우선 탐색 (BFS; Breadth-First Search)

시작 정점 v 를 방문 v 에 인접한 모든 정점들을 방문 새롭게 방문한 정점들에 인접하면서 아직 방문하지 못한

정점들을 방문

예제 6.2 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 순으로 방문 0

1 2

3 4 5 6

7

•21

너비 우선 탐색너비 우선 탐색 (2/2)(2/2)

BFS 의 분석 전체 시간 O(n2) 인접 리스트 표현 : 전체 비용 O(e)

void bfs(int v){/* 정점 v 에서 시작하는 너비 우선 탐색 . 전역배열 visited 는 0 으로 초기화됨 } node_pointer w; queue_pointer front, rear; front = rear = NULL; /* 큐의 초기화 */ printf(“%5d”, v); visited[v] = TRUE; addq(&front, &rear, v); while (front){ v = deleteq(&front); for (w=graph[v]; w; w=w→link) if (!visited[w→vertex]) { printf(“%5d”, w→vertex); addq(&front, &rear, w→vertex); visited[w→vertex] = TRUE; } }}

•22

연결요소 (connected component) 방문하지 않은 정점 v 에 대해 DFS(v) 또는 BFS(v) 를 반복 호출로 구함

연결요소연결요소

void connect(void) { /* 그래프의 연결 요소 결정 */ int i; for (i=0; i<n; i++) if (!visited[i]) { dfs(i); printf(“\n”); } }

Component 의 분석 인접리스트로 표현 : 모든 연결요소들 생성 시간은 O(n+e) 인접행렬로 표현 : O(n2)

•23

신장트리신장트리 (1/2)(1/2) 신장트리 (spanning tree) : G 의 간선들로만 구성되고

G 의 모든 정점들이 포함된 트리 깊이 - 우선 신장트리 (depth-first spanning tree) 너비 - 우선 신장트리 (breadth-first spanning tree)

완전 그래프와 이 그래프의 세 신장트리

1

0

2

3 4 5 6

7

1

0

2

3 4 5 6

7

(a) DFS(0) 신장 트리 (b) BFS(0) 신장 트리

•24

신장트리신장트리 (2/2)(2/2) 예제 6.2 [ 회로 등식의 생성 ]

전기 네트워크에 대한 신장트리 구함 비트리 간선을 신장트리에 한번에 하나씩 도입 Kirchoff 의 제 2 법칙 이용하여 회로 등식 얻음

신장트리는 G 의 최소부분 그래프 (minimal subgraph) G' 로서 V(G') = V(G) 이고 G' 는 연결되어 있음

신장트리는 n-1 개의 간선 가짐

•25

이중결합요소이중결합요소 (1/6)(1/6) 단절점 (articulation point)

그래프의 정점들중 이 정점과 이 정점에 부속한 모든 간선들 삭제시 , 최소한 두 개의 연결요소를 만들게 하는 정점

이중 결합 그래프 (biconnected graph) 절점이 없는 연결 그래프

이중 결합 요소 (biconnected component) 최대 이중결합 부분그래프 (maximal biconnected subgraph)

0

1

2 3

4

5

9

6

7

8

연결 그래프

1

2 3

4

5

7

6

3 5

0

1 7

8 9

7

이중 결합 요소

•26

이중결합요소이중결합요소 (2/6)(2/6) 연결 무방향 그래프의 이중결합요소

깊이 - 우선 신장 트리를 이용

0

1

2 3

4

5

9

6

7

84

3

2

0 5

1 6

7

89

0

1

2

3

4 5

8

6

7

94

3

2

1

6

7

8 9

5

0

루트를 3 으로 하는 깊이 - 우선 신장 트리

0

1

2 3

4

5

9

6

7

8

연결 그래프

•27

이중결합요소이중결합요소 (3/6)(3/6) 백 간선 (back edge)

u 가 v 의 조상이거나 v 가 u 의 조상인 비트리 간선 (u,v) 교차 간선 (cross edge)

백 간선이 아닌 비트리 간선 low (w)

w 의 후손들과 많아야 하나의 백 간선으로 된 경로를 이용해 w로부터 도달할 수 있는 가장 적은 깊이 우선번호

low(w) = min{dfn(w), min{low(x) | x 는 w 의 자식 }, min{dfn(x) | (w,x) 는 백 간선 }}

신장 트리에 대한 dfn 값과 low 값

Vertex 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9dfn 5 4 3 1 2 6 7 8 10 9low 5 1 1 1 1 6 6 6 10 9

•28

이중결합요소이중결합요소 (4/6)(4/6)

void dfnlow (int u, int v) /* compute dfn and low while performing a dfs search beginning at vertex u, v is the parent of u (if any) */ nodePointer ptr; int w; dfn[u] = low[u] = num++; for (ptr = graph[u]; ptr; ptr = ptr→link) { w = ptr → vertex; if (dfn[w] <0) { /* w is an unvisited vertex */ dfnlow(w,u); low[u] = MIN2(low[u], low[w]); } else if (w != v) low[u] = MIN2(low[u], dfn[w]); }}

Dfn 과 low 의 계산

#define MIN2(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y)) short int dfn[MAX_VERTICES]; short int low[MAX_VERTICES]; int num;

•29


dfn 과 low 의 초기화

void init(void) { int i; for (i=0; i<n; i++) { visited[i] = FALSE; dfn[i] = low[i] = -1; } num = 0; }

void bicon (int u, int v) {/* compute dfn and low, and output the edges of G by their biconnected components, v is the parent (if any) of u in the resulting spanning tree. It is assumed that all entries of dfn[] have been initialized to -1, num is initially to 0, and the stack is initially empty */

nodePointer ptr; int w, x, y; dfn[u] = low[u] = num++;

•30


그래프의 이중결합 요소

for (ptr = graph[u]; ptr; ptr = ptr→link) { w = ptr → vertex; if (v!= w && dfn[w] < dfn[u]) push(u, w); /* add edge to stack */ if (dfn[w] <0) { /* w has not been visited */ bicon(w, u); low[u] = MIN2(low[u], low[w]); if (low[w] >= dfn[u]) { printf(“New biconnected component : ”); do { /* delete edge from stack */ pop(&x, &y); printf(“ <%d, %d>”, x, y); } while (!((x = = u) && (y = = w))); printf(“\n”); } } else if (w!=v) low[u] = MIN2(low[u], dfn[w]); } }

•31

최소비용 신장트리최소비용 신장트리 최소비용 신장트리 (minimum-cost spanning tree)

최저의 비용을 갖는 신장트리 Kruskal, Prim, Sollin 알고리즘 갈망법 (greedy method)

최적의 해를 단계별로 구한다 각 단계에서는 몇 개의 판단 기준에 따라 최상의 결정을

내린다 한번 내려진 결정은 뒤에 번복이 불가능하므로 각각의

결정이 가능한 해를 도출해낼 수 있는 지 확인 신장트리의 제한 조건

(1) 그래프내에 있는 간선들만을 사용(2) 정확하게 n-1 개의 간선만을 사용(3) 사이클을 생성하는 간선을 사용 금지

•32

KruskalKruskal 알고리즘알고리즘 (1/3)(1/3) 알고리즘

한번에 하나씩 T 에 간선을 추가해가면서 최소비용 신장트리 T 를 구축 T 에 포함될 간선을 비용의 크기순으로 선택 이미 T 에 포함된 간선들과 사이클을 형성하지 않는 간선만을 T 에 추가 G 는 연결되어 있고 n>0 개의 정점을 가지므로 정확하게 n-1 개의 간선만이 T 에 포함됨 .

•33

KruskalKruskal 알고리즘알고리즘 (2/3)(2/3)

0

51

264

3

10 28

14 16

1812

2425

22

(a)

0

51

264

3

(b)

0

51

264

3

10

(c)

0

51

264

3

1014 16

1225

22

(h)

0

51

264

3

1014 16

1222

(g)

0

51

264

3

1014 16

12

(f)

0

51

264

3

1014

12

(e)

0

51

264

3

10

12

(d)

예제 6.3

Kruskal 알고리즘의 각 단계

•34

KruskalKruskal 알고리즘알고리즘 (3/3)(3/3)

정리 6.1 G 를 무방향 연결 그래프라 하자 . Kruskal 알고리즘은

최소비용 신장트리를 생성한다 .

T = { }; while ((T 가 n-1 개 미만의 간선을 포함 ) && (E 가 공백이 아님 )) { E 에서 최소 비용 간선 (v,w) 선택 ; E 에서 (v,w) 를 삭제 ; if (v,w) 가 T 에서 사이클을 만들지 않으면 add (v, w) to T; else discard (v,w);}if (T 가 n-1 개 미만의 간선을 포함 ) cout << " 신장 트리 없음 " << endl;

Kruskal 알고리즘

•35

Prim Prim 알고리즘알고리즘 (1/3)(1/3) 알고리즘

한번에 한 간선씩 최소 비용 신장 트리를 구축 각 단계에서 선택된 간선의 집합은 트리 하나의 정점으로 된 트리 T 에서 시작 최소 비용 간선 (u,v) 를 구해 T U {(u,v)} 이 트리가 되면 T 에 추가 T 에 n-1 개의 간선이 포함될 때까지 간선의 추가 단계를 반복 추가된 간선이 사이클을 형성하지 않도록 각 단계 에서 간선 (u,v) 를 선택할 때 u 또는 v 중 오직 하나만 T 에 속한 것을 고른다 .

•36

Prim Prim 알고리즘알고리즘 (2/3)(2/3)

T = { }; TV ={0}; /* 정점 0 으로 시작 . 간선은 비어 있음 .*/

while(T 의 간선수가 n-1 보다 적음 ) { u TV∈ 이고 v ∈ TV 인 최소 비용 간선을 (u, v) 라 함 ; if ( 그런 간선이 없음 ) break; v 를 TV 에 추가 ; (u, v) 를 T 에 추가 ; } if (T 의 간선수가 n-1 보다 적음 ) printf (" 신장트리 없음 \n“);

Prim 알고리즘

•37

Prim Prim 알고리즘알고리즘 (3/3)(3/3)

0

5

1

26

4

3

1014 16

12

25

22

0

5

1

26

4

3

1016

12

25

22

0

5

1

26

4

3

10

12

25

22

0

5

1

26

4

3

10

25

22

0

5

1

26

4

3

10

25

0

5

1

26

4

3

10

Prim 알고리즘의 진행 단계

(a) (b) (c)

(f)(e)(d)

•38

Sollin Sollin 알고리즘알고리즘 알고리즘

각 단계에서 여러개의 간선을 선택 각 단계에서는 포리스트에 있는 각 트리에 대해 하나의

간선을 선택 이 간선은 오직 하나의 정점만 그 트리에 속한 최소 비용

간선 선택된 간선은 구축중인 신장트리에 추가 오직 하나의 트리만이 존재 or 더 이상 선택할 간선이 없을

때 종료0

5

1

26

4

3

1014 16

12

25

22

0

5

1

26

4

3

1014

1222

Sollin 알고리즘의 단계들(a) (b)

•39

최단경로와 이행적 폐쇄최단경로와 이행적 폐쇄 단일 시발점 / 모든 종점 : 음이 아닌 간선 비용

문제 : 시발 정점 v 에서부터 G 의 모든 다른 정점까지의 최단경로를 구하는 것

0 1 2

3 4 5

50

45

10

152010 20 3530

315

1) 0, 3 102) 0, 3, 4 253) 0, 3, 4, 1 454) 0, 2 45

경로 길이

그래프와 정점 0 에서 모든 종점까지의 최단경로

(a) 그래프 (b) 0 에서부터의 최단 경로

•40

ShortestPath 함수 : 최단 경로의 길이의 결정최단 경로의 길이의 결정

ShortestPath 의 분석 n 개의 정점을 가진 그래프에 대한 수행시간은 O (n2)

하나의 출발점하나의 출발점 // 모든 목표점모든 목표점 : : 음이 아닌 간선 비용음이 아닌 간선 비용 (1/3)(1/3)

void shortestPath(int v, int cost[][MAX_VERTICES]), int distance[], int n, short int found[]){/* distance[i] represents the shortest path from vertex v to I, found[i] is 0 if the shortest path from i has not been found and a 1 if it has, cost is the adjacency matrix */ int i, u, w; for (i=0; i<n; i++) { found[i] = FALSE; distance[i] = cost[v][i]; } found[v] = TRUE; distance[v] = 0; for (i=0; i<n-2; i++) { u = choose(distance, n, found); found[u] = TRUE; for (w=0; w<n; w++) if (!found[w]) if (distance[u] + cost[u][w] < distance[w]) distance[w] = distance[u] + cost[u][w]; }}

•41

하나의 출발점하나의 출발점 // 모든 목표점모든 목표점 : : 음이 아닌 간선 비용음이 아닌 간선 비용 (2/3)(2/3) 예제 예제 6.56.5

1 2

3

4

5

6

70

San Francisco

Denver

Chicago

Miami

New OrleansLos Angeles

800

1200

1500

250

1000

1400

900

1000

1700

1000300

Boston

New York

(b) 길이 - 인접 행렬

01234567

0 1 2 3 4 5 6 7

0 3001000

1700

0 800

015001000

01200

0

250 0

900 0

14001000 0

(a) 방향 그래프

•42

하나의 출발점하나의 출발점 // 모든 목표점모든 목표점 : : 음이 아닌 간선 비용음이 아닌 간선 비용 (3/3)(3/3)

방향그래프에 대한 ShortestPath 의 작동

거 리LA SF DEN CHI BOST NY MIA NO

반복 선택된 정점

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]초기 ---- 1500 0 250

1 5 1250 0 250 1150 1650

2 6 1250 0 250 1150 16503 3 2450 1250 0 250 1150 16504 7 3350 2450 1250 0 250 1150 16505 2 3350 3250 2450 1250 0 250 1150 16506 1 3350 3250 2450 1250 0 250 1150 1650

•43

하나의 출발점하나의 출발점 // 모든 목표점모든 목표점 :: 일반적 가중치일반적 가중치(1/3)(1/3) 음수 길이 사이클이 존재할 경우 최단 길이 경로가 존재하지 않는다 .

0 1 2

5

7 -5

음의 길이 간선을 가진 방향 그래프

0 1 21 1

-2

음의 길이 사이클을 가진 방향 그래프

동적 프로그래밍 방법 : 모든 u 에 대해 distn-1[u] 를 구함

distk[u] = min{distk-1[u], min{distk-1[i] + length[i][u]}}i

•44

예제 6.5

하나의 출발점하나의 출발점 // 모든 목표점모든 목표점 :: 일반적 가중치일반적 가중치(2/3)(2/3)

1

0 2

3

4

6

5

6

5

5

-2

-1

-1

1

3

3

(a) 방향 그래프

-2

Distk[7] k 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0

6 3 1 1 1 1

5 3 3 3 3 3

5 5 5 5 5 5

5 2 0 0 0

4 4 4 4 4

7 5 3 3

(b) distk

음의 길이 간선을 가진 최단 경로

•45

Bellman 과 Ford 알고리즘

하나의 출발점하나의 출발점 // 모든 목표점모든 목표점 :: 일반적 가중치일반적 가중치(3/3)(3/3)

void BellmanFord(int n, int v){ /* single source all destination shortest paths with negative edge lengths. */ for (int I =0; i<n; i++) dist[i] = length[v][i]; /* initialize dist */ for (int k =2; k <= n-1; k++) for (each u such that u != v and u has at least one incoming edge) for (each <i, u> in the edge) if (dist[u] > dist[i] + length[i][u]) dist[u] = dist[i] + length[i][u];}

BellmanFord 의 분석 인접행렬 O(n3), 인접 리스트 O(ne)

최단 경로를 계산하는 Bellman 과 Ford 알고리즘

•46

모든 쌍의 최단경로모든 쌍의 최단경로 (1/3)(1/3) uv 인 모든 정점의 쌍 u 와 v 간의 최단경로를 구하는 것

연속적으로 A-1, A0, A1, A2, …, An-1 을 생성하는 것 인덱스가 K 보다 큰 정점을 통과하지 않는 i 에서 j 까지의 최단 경로가

인덱스가 k 인 정점을 통과하지 않으면 그 길이는 Ak-1[i][j] 가 된다 .

최단 경로가 k 를 통과한다고 하면 경로는 i 에서 k 까지의 경로와 k 에서 j 까지의 경로로 구성 . 이러한 i 에서 k 까지 또 , k 에서 j 까지의 부분 경로 둘 다 k-1 보다 큰 인덱스를 가진 정점을 통과하지 않음 . 이 경로들이 길이는 Ak-1[i][k], Ak-1[k][j] 가 된다 .

Ak[i][j] = min{Ak-1[i][j], Ak-1[i][k] + A k-1[k][j]}, k 0A-1[i][j] = length[i][j]

•47

모든 쌍의 최단경로모든 쌍의 최단경로 (2/3)(2/3) uv 인 모든 정점의 쌍 u 와 v 간의 최단경로를 구하는 것

Ak[i][j] = min{Ak-1[i][j], Ak-1[i][k] + A k-1[k][j], k 0A-1[i][j] = length[i][j]

void allcosts (int cost[][MAX_VERTICES], int distance[][MAX_VERTICES], int n){ /* 각 정점에서 다른 모든 정점으로의 거리 계산 , cost 는 인접 행렬 , distance 는 거리값의 행렬 */} int i, j, k; for (i=0; i<n; i++) for (j=0; j<n; j++) distance[i][j] = cost[i][j]; for (k=0; k<n; k++) for (i=0; i<n; i++) for (j=0; j<n; j++) if distance[j][k] + distance[k][j] < distance[i][j]) distance[i][j] = distance[i][k] + distance[k][j];}

AllLengths 의 분석 전체 시간은 O(n3)

모든 쌍의 최단경로

•48

모든 쌍의 최단경로모든 쌍의 최단경로 (3/3)(3/3) 예제 6.6

0 1

2

6

4

3

11 2

A

0 1 2

0 063

1 40

2 11 2 0

-1 A

0 1 2

0 063

1 407

2 11 2 0

0

(b) A-1

A

0 1 2

0 063

1 407

2 6 2 0

1 A

0 1 2

0 053

1 407

2 6 2 0

2

(a) 방향그래프

모든 쌍의 최단 경로 문제의 예

(c) A0

(e) A2(d) A1

•49

이행적 폐쇄이행적 폐쇄 (1/2)(1/2) 이행적 폐쇄 행렬 (A+)

i 에서 j 로의 경로 길이 0 A+[i][j] = 1 인 행렬

반사 이행적 폐쇄 행렬 (A*) i 에서 j 로의 경로 길이 0 A*[i][j] = 1 인 행렬

0 1 2 3 4

(a) 방향 그래프 G

01234

00000

0 1 2 3 410000

01001

00100

00010

(b) 인접행렬 A

01234

00000

0 1 2 3 410000

11111

(c) A

11111

11111

+

01234

10000

0 1 2 3 411000

11111

(d) A

11111

11111

*

•50

이행적 폐쇄이행적 폐쇄 (2/2)(2/2) A+

간선 <i, j> G length[i][j] = 1, otherwise, length[i][j] = LARGE All Lengths 종료시 length[i][j] + A+[i][j]=1

A* : A+ 의 대각선에 있는 항을 모두 1 로 설정 전체 시간은 O(n3)

•51

작업 네트워크작업 네트워크 AOV(activity on vertex) 네트워크 : 정점이 작업을 , 간선이 작업간의 선행 관계를 나타내는 방향그래프 G

과목번호 과목명 선수과목C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15

프로그래밍 I이산 수학자료 구조수학 I수학 II선형 대수알고리즘 분석어셈블리어운영 체제프로그래밍 언어론컴파일러 설계인공 지능계산이론병렬 알고리즘수치 해석

없음없음C1, C2없음C4C5C3, C6C3C7, C8C7C10C7C7C13C5

C1

C2

C4 C5 C6

C3 C7

C8

C15

C9

C10

C12

C13

C11

C14

(a) 가상적인 대학에서 컴퓨터 과학 학위에 필요한 과목들 (b) 과목은 정점으로 , 선수과목은 간선으로 포현한 AOV 네트워크

An activity-on-vertex(AOV) 네트워크

•52

AOV AOV 네트워크네트워크 (1/6)(1/6) 정의

정점 i 로부터 정점 j 로의 방향 경로 존재하면 정점 i 를 정점 j 의 선행자 (predecessor)

간선 <i, j> 가 존재하면 정점 i 를 정점 j 의 직속 선행자 (immediate predecessor)

i 가 j 의 선행자 → j 는 i 의 후속자 (successor) i 가 j 의 직속 선행자 → j 는 i 의 직속 후속자 (immediate successor) 모든 세 쌍 i, j, k 에 대해 I j 이고 j k → I k 가 성립하면

관계는 이행적 (transitive) S 에 속한 모든 원소 x 에 대해 x x 가 성립하지 않으면 관계는

집합 S 상에서 비반사적 (irreflexive) 부분 순서 (partial order) : 이행적 , 비반사적인 선행 관계 위 상 순 서 (topological order) : 임 의 의 두 정 점 i, j 에 대 해

네트워크에서 i 가 j 의 선행자이면 선형순서에서도 i 가 j 앞에 있는 그래프 정점의 선형 순서

•53

AOV AOV 네트워크네트워크 (2/6)(2/6)

AOV 네크워크를 입력 . n 을 정점의 수라 함 . for(int i = 0; i < n; i++) // 정점들을 출력 { if( 모든 정점이 선행자가 있음 ) return; /* 네크워크에 사이클이 있어 수행 불가능 . */ 선행자가 없는 정점 v 를 선택 ; cout << v; 정점 v 와 v 에서 나온 모든 간선들을 네트워크에서 삭제 ; }

위상 정렬 알고리즘의 설계

•54


1

20 4

53

1

2 4

53

1

2 4

5

1

4

5

1

4 4

(a) 초기

생성된 위상 순서 : 0, 3, 2, 5, 1, 4

(b) 정점 0 삭제

(c) 정점 3 삭제

(d) 정점 2 삭제

(e) 정점 5 삭제

(f) 정점 1 삭제

•55


0

1

1

1

1 11 2 03

4 0

14 5 0

15 4 0

3

2

[0]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

count first data link

위상 정렬 알고리즘에 의해 사용되는 내부 표현

0

0

•56

AOV AOV 네트워크네트워크 (5/6)(5/6) TopologicalOrder 의 분석

점근적 계산 시간 O (e+n)

void topSort (hdnodes graph[], int[]) { int i, j, k, top; nodePointer ptr; /* create a stack of vertices with no predecessors */ top = -1; for (i=0; i<n; i++) if (!graph[i].count = top); graph[i].count = top; top = i; } for (i=0; i<n; i++) if (top = = -1) { fprintf(stderr, “\nNetwork has a cycle. Sort terminated. \n”); exit (EXIT_FAILURE); } else { j = top; /* unstack a vertex */

•57


top = graph[top].count; printf (“v%d, ”, j); for (ptr = graph[j].link; ptr; ptr = ptr → link) { /* decrease the count of the successor vertices of j*/

k = ptr→vertex; graph[k].count --; if (!graph[k].count) { /* add vertex k to the stack */ graph[k].count = top; top = k; } } }}

위상 정렬

•58

AOE AOE 네트워크네트워크 (1/8)(1/8) AOE(activity on edge) 네트워크

방향 간선 : 프로젝트에서 수행되어야 할 작업

정점 : 사건 (event) ( 사건은 어떤 작업의 완료를 알림 )

정점에서 나오는 간선이 의미하는 작업은 그 정점에서의 사건이 발생할 때까지 시작될 수 없다 .

•59

AOEAOE 네트워크네트워크 (2/8)(2/8)1

0

2

3 5

4 8

7

6a = 6

start finish

1

a = 15

a = 14

a = 97

a = 210

a = 411

a = 78

a = 49

a = 2

a = 53

a = 42

6

(a) 가상 프로젝트의 작업 네트워크

(b) 네트워크 (a) 의 몇몇 사건의 의미

사 건 의 미01478

프로젝트의 시작작업 a1 의 종료

작업 a4 와 a5 의 종료작업 a8 와 a9 의 종료

프로젝트의 종료

•60

AOEAOE 네트워크네트워크 (3/8)(3/8) 임계경로 (critical path)

시작 정점에서 종료 정점까지의 최장 경로 (longest path)

가장 이른 시간 (earliest time) e(i) 시작 정점 0 에서 정점 i 까지의 최장 경로 길이

가장 늦은 시간 (latest time) l(i) 프로젝트 기간을 지연시키지 않으면서 가장 늦게 작업을 시작할 수 있는 시간

임계작업 (critical activity) : e(i) = l(i) 인 작업

임계경로 분석의 목적 임계작업들을 식별해내어 가용 자원을 집중시킴으로써 프로젝트 완료 시간을 단축

•61

AOE AOE 네트워크네트워크 (4/8)(4/8) 가장 이른 작업 시간과 가장 늦은 작업 시간

e(i)= ee[k](ee[k] : 가장 이른 사건 발생 시간 )

l(i) = le[l] - 작업 ai 의 기간(le[l] : 가장 늦은 사건 발생 시간 )

가장 이른 시간의 계산 ee[j] = max { ee[i] + <i, j> 의 시간 }

(P(j) 는 j 의 직속 선행자의 집합 ) 전진단계

iP(j)

if (earliest[k] < earliest[j] + ptr → duration) earliest[k] = earliest[j] + ptr → duration);

•62

AOEAOE 네트워크네트워크 (5/8)(5/8)

ee [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] StackInitialOutput 0Output 3Output 5Output 2Output 1Output 4Output 7Output 6Output 8

000000000

066666666

044444444

055555555

000057777

007777777

000000

161616

000111111141414

0000000

1818

[0][3, 2, 1][5, 2, 1][2, 1][1][4][7, 6][6][8]

(b) ee 의 계산

0

1

1

1

2

1

1

2

2 0

1 6 2 4 3 5 0

4 1 0

4 1 0

5 2 0

6 9

7 4 0

8 2 0

8 4 0

7 7 0

[0]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

count first vertex dur link

(a) 인접리스트

•63

AOE AOE 네트워크네트워크 (6/8)(6/8) 가장 늦은 시간의 계산

le[j] = min { le[i] - <j, i> 의 기간 }

(S(j) 는 j 의 직속 후속자들의 집합 )iP(j)

le[8]=ee[8]=18le[6]=min{le[8]-2}=16le[7]=min{le[8]-4}=14le[4]=min{le[6]-9, le[7]-7}=7le[1]=min{le[4]-1}=6le[2]=min{le[4]-1}=6le[5]=min{le[7]-4}=10le[3]=min{le[5]-2}=8le[0]=min{le[1]-6, le[2]-4, le[3]-5}=0

AOE 네트워크에 대한 le 의 계산

•64


이른 , 늦은 임계도 값

이른 시작 시간

작업 e 1 1 – e 1 – e = 0a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11

0006457771614

02366877101614

02302300300

YesNoNoYesNoNoYesYesNoYesYes

가장 높은 시간 임계도 임계성

•65


0 4 8

1 6

7

start finish

0 3

1

2

54

모든 비임계 작업을 삭제한 후의 그래프

도달 불가능한 작업을 가진 AOE 네트워크

a1 a4 a7

a10

a11a8

a1

a2 a4

a3a7 a6

a5

Documents

그래프 추상 데이타 타입 (1/9)