東京工業大学拓一 - 小野寺研究室 - 京都大学大学院情 …. 1RF August 28, 2013 半導体回路技術者のための電磁界解析入門電子情報通信学会シリコンアナログ

No. 1

August 28, 2013

半導体回路技術者のための電磁界解析入門

電子情報通信学会シリコンアナログRF研究会発表資料

東京工業大学

平野拓一 E-mail: [email protected]

No. 2

Tokyo Institute of Technology T. Hirano

Outline

基礎～マクスウェルの方程式と回路理論～

電磁界解析

1次元(1-D)問題

モーメント法(MoM) 、FDTD法、有限要素法(FEM)

モデル化のコツ

解析例

No. 3

基礎

～マクスウェルの方程式と回路理論～

No. 4


電磁気学の知識からマクスウェルの方程式を導く

dt

dV

SCd

td SBlE

ストークスの定理を使って

SSd

td SBSE)(

t

BE

dS

S

C dl

V

ファラデーの法則

アンペアの法則

r

IH

2 IrH 2

SCdd SilH

SS

dd SiSH)(

iH

I r H ストークスの定理を使って

dS

dl

C S

CS

dd lASA

ストークスの定理

電磁界は空間全体に分布する

ファラデー：近接作用、界の概念を提唱

No. 5


マクスウェルの方程式

微分形

0B

D

DiH

BE

dt

d

dt

d

積分形

0S

VS

SSC

SC

d

dVd

ddt

ddd

ddt

dd

SB

SD

SDSilH

SBlE

変位電流変位電流

ファラデーの法則


EHEHi

HB

ED

構成（媒質）方程式

電束密度誘電率電界

磁界磁束密度透磁率

この方程式でマクロな電磁気、電磁波現象の全てが記述可能

（媒質条件、励振条件、境界条件は与える）

sec]/[10998.21 8 mc

②その波動の速度は光速だ！

こんな偶然はあるのか！？ ① 波動になる！？そんな波動はあるのか！？

解いてみると

まだわからないけど、電磁波と呼ぼう光は電磁波だろう

アンペアの法則は無限長電流から導いた不完全なものであった。これが有限長の電流でも成り立つように、電荷保存則（電流連続の式）を組み込んで完成させた。具体的には変位電流をアンペアの法則に組んで修正する。電流連続の式は修正されたアンペアの法則のdivを取ると導かれる。

t

QI

t

i

I

S Q

dS

電流連続の式:

James Clerk Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field,” Philosophical

Transactions of the Royal Society of London, vol.155, pp.459-512, 1865.

No. 6


電磁波と回路の違い

0B

D

DiH

BE

dt

d

dt

dファラデーの法則


0 H

t

i 0 i

マクスウェルの方程式回路方程式

)(

0接点i

iI

)(閉路i

i EV

0

t

回路の支配方程式では

変位電流は考慮されていない

E

V1

V2

V3 V4

I1

I2 I3

I4

dt

dB

E

Hdt

dDi

No. 7


ヘルツの実験

Heinrich Rudolph Hertz

マクスウェルが予言した電磁波を実験的に発生させて確認したのはドイツ人のハインリッヒ・ヘルツ(Heinrich Rudolph Hertz, ドイツ, 1857-1894)であり、1888年に確認された。ヘルツは実験家であるだけでなく、理論家でもあり、1889年に現在「微小ダイポール(infinitesimal dipole)」として知

られる波源から放射される電磁界をマクスウェルの方程式から導出し、平面波以外の波源があるときのマクスウェルの方程式の界を計算して、図のような電気力線を描いている。それ故、微小ダイポールはヘルツダイポール(Hertzian dipole)と呼ばれることもある。

http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/edu/em/smalldipole/smalldipole-j.html

No. 8


線路とアンテナの違い

J

E

アンテナ

任意の電流分布は微小電流素（微小ダイポール）の和と考えると理解しやすい。

放射は打消し合わない

線路

放射は打消しあう

No. 9


Outline


電磁界解析

1次元(1-D)問題



解析例

No. 10

電磁界解析

No. 11


電磁界シミュレータの役割

微分形

dt

d

dt

d

DiH

BE

積分形

SSC

SC

ddt

ddd

ddt

dd

SDSilH

SBlEファラデーの法則


V S

n̂

J

電磁界シミュレータの目的は、上のマクスウェルの方程式を速く、精度良く、なるべく一般の構造を解くこと。境界条件を指定する必要がある（→微分方程式論の境界値問題）。


内部: Maxwellの方程式

周囲境界: 境界条件

解くために必要な条件（解析の前準備）

1. 構造および媒質(, , s)

2. 境界条件

3. 励振波源

上をまとめて「解析モデル」と呼ぶ

No. 12


解析モデルの例

770um Port1 Port2

相互結合評価モデル

G

S

G

G

S

G

吸収境界(他の5面)

電気壁(PEC) (下面)

励振ポート

No. 13


電磁界解析手法の原理

界等価定理

境界に未知の電磁流を配置し、メッシュ分割

行列方程式を解く（陰解法）

時間、空間ともにメッシュ分割（差分法）

空間全体に電磁界の値を配置

時間ステップを進めて過去の値を用いて電磁界の値を更新

（陽解法）

マクスウェルの方程式＋境界条件を解くというのは同じ

ヘルムホルツの波動方程式で電界（または磁界）のみの方程式

重み付け残差法を用いる（昔は変分法）

空間全体をメッシュ分割し、その中の電磁界を基底関数で

表現する。

行列方程式を解いて基底関数の重みを求める。

No. 14


各種電磁界解析法の比較

FDTD MoM FEM

メッシュ分割 3D

(空間全体)

2D

(物体表面)

3D

(空間全体)

解法陽解法（安定条件必須）

陰解法（安定）陰解法（安定）

行列の疎密 N/A 密疎

（高速化可。メモリも節約可）

周波数／時間領域時間領域周波数領域周波数領域

得意な問題人体解析 RCS解析マイクロ波・ミリ波回路

その他特徴開放問題では吸収境界条件が必須

開放問題は最初から厳密に組み込まれている

開放問題では吸収境界条件が必須

導体球・誘電体球による平面波の散乱など、解析的に解けるものもある。このような問題は規範問題とよばれており、解析の検証を行う上で有用である。

No. 15

電磁界解析原理説明のための１次元問題

x

zy

0

zy

4r1r 1r

0

1

s

r

)(ˆszzz J

sz1z 2z

ガラス空気空気

波源(面電流)

No. 16


１次元問題の例

x

zy

0

zy

4r1r 1r

0

1

s

r

)(ˆszzz J

sz1z 2z

波源(面電流)


No. 17


１次元問題の例 (電界分布)

x

zy

0

zy

4r1r 1r

0

1

s

r

)(ˆszzz J

sz1z 2z


波源(面電流)

No. 18

モーメント法 (MoM, Method of Moments)

R. F. Harrington: Field Computation by Moment Methods, 1968.

で脚光を浴びた手法だが、その10年程前から他の研究者によっても研究されていた。

境界上に置いた未知の電磁流に対する積分方程式を数値的に解く問題である。

積分方程式を解く際に、重み付け残差法を用いる。

No. 19


モーメント法 (解析手順)

x

zy

1xJ

1xJ

2xJ

2xJ

J

1yM

1yM

2yM

2yM

I II III

界等価定理(Field Equivalence Thorem)が基本原理。

境界にメッシュを切って離散化

等価電磁流を仮定すると、各領域の計算において、外部空間同一の一様な媒質で満たされていると考えることができる。

周波数領域

No. 20


モーメント法 (境界上の電磁流)

x

zy

1xJ

1xJ

2xJ

2xJ

J

1yM

1yM

2yM

2yM

I II III

H H

E E

x

zy

)(ˆ zJx J

H

H

E

E x

zy

)(ˆ zMy yM

)0(2

ˆ

)0(2

ˆ

,

)0(2

ˆ

)0(2

ˆ

zeJ

y

zeJ

y

zeJ

x

zeJ

x

jkz

jkz

jkz

jkz

HE

)0(2

ˆ

)0(2

ˆ

,

)0(2

ˆ

)0(2

ˆ

zeM

y

zeM

y

zeM

x

zeM

x

jkz

jkz

jkz

jkz

HE

No. 21


モーメント法 (規範領域への分割)

x

zy

1xJ

1xJ

2xJ

2xJ

J

1yM

1yM

2yM

2yM

I II III

x

zy

1xJ

1yM

I

x

zy

1xJ

2xJ

1yM2yM

II

x

zy

2xJ

J

2yM

III

各領域のグリーン関数

全部真空のモデル全部真空のモデル

全部ガラスのモデル

各領域の計算は簡単

No. 22


モーメント法 (界等価定理)

Js

H H

E E

S S n̂n̂

H

E

H

E

S

n̂

HnJ ˆ

nEM ˆ

H/2

E/2

S

S内部

S外部 S外部 H/2

H/2

H/2

E/2

E/2

E/2

界等価定理 (1-D)

No. 23


モーメント法 (境界条件の適用)

22

22

11

11

zyzy

zxzx

zyzy

zxzx

HH

EE

HH

EE

2211 ,,, yxyx MJMJ

x

zy

1xJ

1xJ

2xJ

2xJ

J

1yM

1yM

2yM

2yM

I II III

境界条件→方程式の作成

未知電磁流

未知数について解くことができる。

0)(ˆ

0)(ˆ

21

21

HH

EE

n

n

1z 2z

2次元、3次元問題では基底関数が局所的なので、各基底関数と同一の形状の重み関数で内積を取って積分し、境界条件を表現して方程式を立てる。

11,HE

22 , HE

n̂

未知電磁流が求まったら、電磁界は各規範領域でそれらからの放射を計算するのみである。

No. 24


モーメント法 (3次元構造の解析の説明)

dSj

dvj emeo

)ˆ()ˆ()ˆ(

)(

nEnEHn

JJrE

dSj

dvj memo

)ˆ()ˆ()ˆ(

)(

nHHnnE

JJrH

nHnn

nHnHnH

nE

ˆˆˆ1

ˆ1

ˆ1

ˆˆ

j

jjjt

nEnn

nEnEnE

nH

ˆˆˆ1

ˆ1

ˆ1

ˆˆ

j

jjjt

界等価定理・・・内部の波源および境界上の波源により界が決まる

No. 25


【問題】ダイポールアンテナ

mom2.pdf: p.1

No. 26


未知電流分布を仮定、その放射電界も計算

h

hzs

so

sos

Vs

so

so

s

dzjkzJz

dVjk

rr

rr

rr

rriA

4

exp)(ˆ

4

exp

00

00

h

hzs

so

sos

zs

dzjkzJ

Arr

rr

4

exp)( 00

o

zoz

zooz

z

A

jAzj

j

AzAzj

00

00

ˆ

)ˆ(ˆ

E

h

hzssos

o

z

oo

zzz

s

dzzzzJzk

jk

Azk

jz

A

jAjE

),()(1

14

11

1

2

2

2

0

00

2

2

2

0

2

2

00

mom2.pdf: pp.2-3

r

rjkzz so

)exp(),( 0

No. 27


境界条件の適用（方程式を立てる）

0i

zz EE (On the surface of the wire)

)(),()(1

14 2

2

2

0

00o

i

z

h

hzssos

o

zEdzzzzJzk

jk

s

mom2.pdf: pp.4-5

No. 28


区分正弦関数で展開（未知数の離散化）

N

n

nn zjazJ1

)()(

)elsewhere(0

)()(sin

)(sin

)()(sin

)(sin

)( 1

10

10

1

10

10

nn

nn

n

nn

nn

n

n zzzzzk

zzk

zzzzzk

zzk

zj

このような一見変（複雑）な基底関数を使うのはリアクションの積分を解析的に行うため。

mom2.pdf: pp.4-6

No. 29


Galerkin法の適用（方程式の離散化）

1

1

1

1

1

1

)()(

),()(1

1)(4 1

2

2

2

0

00

m

mo

m

mo

n

ns

z

zzoo

i

zom

N

n

z

zzo

z

zzssosn

o

omn

dzzEzj

dzdzzzzjzk

zjajk

mom2.pdf: p.6

No. 30


行列表現とリアクション

mnmn VaZ

1

1

)()(m

mo

z

zzoonommn dzzEzjZ

1

1

),()(1

14

)(2

2

2

0

00 n

ns

z

zzssosn

o

on dzzzzjzk

jkzE

1

1

)()(m

mo

z

zzoo

i

zomm dzzEzjV

二重積分になっていて大変。

mom2.pdf: p.6

No. 31


リアクションの簡易化の計算

]

[

]

[

),(),()(cos)(sin

1

),(),()(cos)(sin

130

),()(cos),()(sin

1

),()(cos),()(sin

1

4)(

110

10

110

10

101

10

101

10

0

nononn

nn

nononn

nn

nonnno

nn

nonnno

nn

on

zzzzzzkzzk

zzzzzzkzzk

j

zzzzkzzzzk

zzzzkzzzzk

jzE

解析的に積分できたので、Zmnは単積分になった。さらに、Si, Ei

などの特殊関数を用いればZmnを積分することができる。

1

1

),()(1

14

)(2

2

2

0

00 n

ns

z

zzssosn

o

on dzzzzjzk

jkzE

この計算が重い！

mom2.pdf: pp.6-8

No. 32


デルタギャップ給電

)otherwise(0

)2/(/1)(

dzdzu

)(zuVE ii

z

iz

zzooom

iz

zzooom

i

z

zzoo

i

om

z

zzo

i

zomm

VdzzzjVdzzuzjV

dzzuVzjdzEzjV

m

mo

m

mo

m

mo

m

mo

1

1

1

1

1

1

1

1

)()()()(

)()()(

ギャップがセグメント幅よりも小さいとき

mom2.pdf: pp.9-10

No. 33


入力インピーダンスの計算

2/N

i

inj

VZ

No. 34


指向性の計算 (1/2)

)ˆ)ˆ(( rrjj AAAE

h

hzssos

h

hzssos

s

s

dzzJr

dzzJz

),()(4

)sinˆcosˆ(

),()(4

ˆ

0

0

rr

rrA

1

1

),()(sin4

ˆ

),()(sin4

ˆ

),()(sin4

ˆ)(

1

00

00

0

n

ns

s

s

z

zzssosn

N

n

n

h

hzssos

h

hzssoso

dzzjajk

dzzJjk

dzzJj

rr

rr

rrrE

x

y

z

l

a21

2

9

1

2

9

10

11

iEFeeding element

nn

mom2.pdf: pp.11-13

No. 35


指向性の計算 (2/2)

)cosˆsinsinˆcossinˆ( oooo zyxr r

)ˆ(exp

exp)ˆ(expexp),( 0

000

os

o

o

o

oso

so

so

so jkjkjkjk

zz rrr

r

r

rrr

rr

rr

or

sr

sorr

osrr ˆ

O

1

1

1

1

cossinsincossinexp)(

sinexp

4ˆ

ˆexp)(sinexp

4ˆ)(

0

1

000

0

1

000

n

ns

n

ns

z

zzsssssn

N

n

n

o

o

z

zzsossn

N

n

n

o

o

o

dzzyxjkzja

jkjk

dzjkzjajkjk

r

r

rrr

rrE

x

y

z

l

a21

2

9

1

2

9

10

11

iEFeeding element

nn

mom2.pdf: pp.11-13

No. 36


計算例（ダイポールアンテナ）

0.2 0.1 0.0 0.1 0.2

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

Position

AmplitudeA

0.2 0.1 0.0 0.1 0.2

38

36

34

32

30

28

26

Position

Phasedeg

電流分布

No. 37


計算例（ダイポールアンテナ）

指向性

No. 38


放射電界のアニメーション

yx E

dy

E

dx

dt

dy

Edt

dx

E yx

11

y

x

CEdt

dy

CEdt

dx

電気力線の描き方

http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/edu/em/smalldipole/smalldipole-j.html

電気力線の方程式

パラメータ表示

No. 39


計算例（ダイポールアンテナ）入力インピーダンス（MoMと起電力法の比較）

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 0.5 1 1.5 2

X [

Oh

m]

R [

Oh

m]

Dipole length [Wavelength]

MoM

EMF

R

X

4393 jZ in

4373 jZ in

MoM

EMF

半波長ダイポール

)cot(0 ljZZ in

Xと終端開放線路の関係

No. 40


【参考】層構造のPCBなどの解析（スペクトル領域法）

z

0=z

zz =

dz =

http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/edu/em/sda/sda_swa.pdf

yxk k

yxbjsoyx

f

yxai

So

Sssbjso

f

oai

f

ij

dkdkkkzzkkkk

dSdSY

x y

),(~),,(~

),(~

)2(

1

)();()(

2mGm

rmrrGrm

x y

yjkxjk

yx dxdyeekk yx)(][),(~ rmmm F

x y

yx

k kyx

yjkxjk

yx

- dkdkeekkyx ),(~

)2(

1]~[),(

2

1mmm

F

リアクションの計算を空間領域での積分から波数領域での積分に変換する

電流・磁流はスペクトル分解する（フーリエ変換して平面波の和で表現）

空間領域よりも高速にリアクションが計算できる。

高速フーリエ変換(FFT)のアルゴリズムも適用できて高速化できる。

パーセバルの等式

No. 41

FDTD法 (Finite-Difference Time-Domain Method)

K.S. Yee, “Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems

Involving Maxwell’s Equation in Isotropic Media,” IEEE Trans. Antennas

Propagat., Vol.AP-14, No.3, pp.302-307, April 1966.

の論文により始まっている。

上の論文では電界と磁界の位置をずらしているところがポイントである。

マクスウェルの方程式を差分化する手法であり、定式化自体は比較的簡単である。

類似した手法として、有限積分法 (FIM, Finite Integral Method)がある。

これはプラズマ物理学の分野から発展しており、メッシュを含めた全体のグリッド方程式を行列で表現する。ほぼ同一の処理をしていることになるが、非常に手法全体の見通しが良くなる。

No. 42


FDTD法 (時間の差分化)

マクスウェルの方程式を時間および空間の両方に対して差分化して陽的に解く手法である。

電界と磁界の更新は半ステップずらして交互に行われる。

電界と磁界は回転の差分計算のために空間的に半セルずれて配置される。

陽解法のため、数値的安定性には注意する必要があり、時間ステップには制限がある。

time

nE 2

1n

H 1n

E 2

1n

H 1n

E 2

3n

H

t

2/t

z

)1( iE

)2

1( iH

z

2/z

)(iE )1( iE

)2

1( iH

)2

3( iH

y

x

時間領域

0

t

HE

et

iEE

H

s

No. 43


FDTD法 (位置の差分化)

time

nE 2

1n

H 1n

E 2

1n

H 1n

E 2

3n

H

t

2/t

z

)1( iE

)2

1( iH

z

2/z

)(iE )1( iE

)2

1( iH

)2

3( iH

y

x

差分化

0

t

HE

et

iEE

H

s

n

nn

tE

HH

12

1

2

1

2

12

1

2

11 11

n

e

nnnn

tiHE

EE

s

2

1 nnEE

y

kjiAkjiA

x

kjiAkjiAz

z

kjiAkjiA

x

kjiAkjiAy

z

kjiAkjiA

y

kjiAkjiAx

y

A

x

Az

z

A

x

Ay

z

A

y

Ax

AAA

zyx

zyx

xxyy

xxzz

yyzz

xyxzyz

zyx

),,(),1,(),,(),,1(ˆ

),,()1,,(),,(),,1(ˆ

),,()1,,(),,(),1,(ˆ

ˆˆˆ

///

ˆˆˆ

A

No. 44


FDTD法 (更新ステップの式の導出)

)()1()2

1()

2

1(

)(

21

/)

2

1()

2

1(

21

/

)(

21

21

)(

2

1

2

1

2

12

1

2

1

1

iEiEz

tiHiH

iit

tiHiH

t

t

iEt

t

iE

n

x

n

x

n

y

n

y

n

ex

n

y

n

y

n

x

n

x

s

s

s

s

)( ctzEE xx

01

t

E

cz

E xx

)()1()1()( 11 iEiEztc

ztciEiE n

x

n

x

n

x

n

x

z

)1( iE

)2

1( iH

z

2/z

)(iE )1( iE

)2

1( iH

)2

3( iH

y

x

No. 45


3-D FDTD (マクスウェルの方程式の差分表現)

2

1

1

21

/

21

21

n

nn

t

t

t

t

HEE

s

s

s

nnn t

EHH

2

1

2

1

EH

1

t

EHE

s

1

t

n

nn

tE

HH

12

1

2

1

2

1

2

11 1

nnnn

tHE

EE

s

2

1 nnEE

time

),,,( tnzyxn EE

tCourant’s stability condition

222 )/1()/1()/1(/1 zyxtv

No. 46


3-D FDTD (位置の離散化)

x

y

z(i,j,k)

(i+1,j,k)

(i,j,k+1)

(i,j+1,k+1)

(i,j+1,k)

(i+1,j+1,k)

(i+1,j+1,k+1)

Δ xΔ y

Δ z

Electric field

Magnetic fieldx

y

z(i,j,k)

(i+1,j,k)

(i,j,k+1)

(i,j+1,k+1)

(i,j+1,k)

(i+1,j+1,k)

(i+1,j+1,k+1)

Δ xΔ y

Δ z

Electric field

Magnetic field

(i,j,k)

(i+1,j,k)

(i,j,k+1)

(i,j+1,k+1)

(i,j+1,k)

(i+1,j+1,k)

(i+1,j+1,k+1)

Δ xΔ y

Δ z

Electric field

Magnetic field

i=1

i=NX-1j=1

j=NY-1

k=1

k=NZ-1

Yee-Cell

No. 47


3-D FDTD (時間の離散化)

1nE 2

1n

H nE 2

1n

H

E(x,y,z)

H(x,y,z) 過去の時間の値を保持しなくてもよい

蛙飛び(Leap-flog)アルゴリズム

電磁界の時間、場所をずらすことでメモリを節約

No. 48


偏波による回折のちがい

Incident plane wave

Half infinite ground plane

x

y

z

Ez

Hy

Incident plane wave


Ey

Hz

x

y

z

TM波

TE波

よく回り込む

TEよりは回り込まない

無限に薄い半無限導体板による回折

No. 49


周波数による回折のちがい

Incident plane wave


Ey

Hz

x

y

z

高周波

低周波

よく回り込む

低周波よりはあまり

無限に薄い半無限導体板による回折

TE波

No. 50


スリットによる回折

FDTDシミュレーション

Incident plane wave

Ey

Hz dSlit

Conductor

Conductor

高周波

（周波数4倍;

d=2λ）

低周波

（d=λ/2）

複スリット

単スリット

No. 51


パラボラアンテナの原理

開口直径6波長のパラボラアンテナ


送信モード受信モード

散乱体が波長に比して大きい(10波長以上?)と光の理論が使える。

点波源を平面波に変換

平面波を１点に収束

TE問題

No. 52


レンズの原理

開口直径6波長のパラボラアンテナ


散乱体が波長に比して大きい(10波長以上?)と光の理論が使える。

光学系レンズ

カメラ、コピー機、スキャナーなど虫眼鏡誘電体レンズアンテナ

点波源→平面波平面波→点波源点波源→点波源

TE問題

No. 53


円柱導体、誘電体による散乱


円柱誘電体円柱導体

TE問題

No. 54

有限要素法 (FEM, Finite Element Method)

1955-1956 航空

1980 電気

・M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, and J. L. Topp,

“Stiffness and deflection analysis of complex structures”,

Journal of Aeronautical Sciences, vol. 23, pp. 805-824, 1956.

・J.H. Argyris, “Energy theorems and structural analysis. Part I general theory,”

Aircraft Engineering, vol.26, pp.347-356, 1954.

M. V. K. Chari and P. P. Silvester,

“Finite Elements in Electrical and Magnetic Field Problems”,

John Wiley & Sons, 1980.

歴史

電磁波問題への応用はスプリアス（非物理）解の問題があり、なかなか進まなかった。しかし、エッジ要素(2-Dでは辺, 3-Dでは面において等しい接線成分を持つ基底関数の表現)の考案により、スプリアス解の問題が解決して実用に至っている。

R.W. Clough, “The finite element method in plane stress analysis,”

2nd American Society of Civil Engineering (ASCE) Conf. on Electronic Computation, 1960.

1960 土木・建築

No. 55


FEM (基底関数)

z

)1( iE )(iE )1( iE

y

x

)1( iH )(iH )1( iH

#(i-1) #i #(i+1)

1

1

iz 1

2

iz iz2

iz1 1

1

iz 1

2

iz

1e 2e

1

1

空間全体を要素にメッシュ分割する。

各要素内において、エネルギーが最小となる（変分原理）ように各基底関数に対する未知数で偏微分して連立一次方程式を作成する。実際には最小の探索は極小値の探索問題となっているので（二次形式）、偏微分=0として連立方程式を作成。（昔の定式化）

各要素内において各基底関数で重みづけして（重み付け残差法）、弱形式の連立一次方程式を作成する。（現代の定式化）解くとEが求まる。

磁界を知りたいときはアンペアの法則から求まる。

周波数領域

x

x

ˆ)(

)1(ˆ)(

2

1

e

e基底関数・・・この既知の関数と重みで任意の分布を表現

eN

i

i

x

ii

x

i

x zeAzeAE1

2211 )()(

全空間の電界は基底関数とその重みで表現

j

EH

z y

x

e1 e2 e3 e4

1 2 3

A1e1

A2e2= A2e3

No. 56


FEM (波動方程式, 重み付け残差法、弱形式)

z

)1( iE )(iE )1( iE

y

x

)1( iH )(iH )1( iH

#(i-1) #i #(i+1)

1

1

iz 1

2

iz iz2

iz1 1

1

iz 1

2

iz

1e 2e

1

1

000

2

0

dvjkk

r

r

r

MJE

EW

0ˆ1

100

2

0

dSn

dvjkk

r

r

r

r

EW

MJWEWEW

basis

e

N

n

nn

N

e

eeee

zA

zAzA

1

1

2211

)(

)()(

b

eeE Eの波動方程式重み

MHE j

JEH j


r

r

r

jkk

MJE

E00

2

0

ヘルムホルツの波動方程式(Hを消去)

01

]1

1[

1

1

00

2

0

eNz

zz

xx

r

yz

r

xx

xxrxx

r

z

EWdz

z

M

y

MJjkW

EWkz

E

z

W

今の１次元の問題の場合

グローバルな基底関数の番号付

(弱形式)

数値計算しやすいよう、ベクトル解析の公式で変形

z y

x

e1 e2 e3 e4

1 2 3

b1=A1b1 (b1=e1)

A2b2 (b2=e2+e3)

n

ej ej+1

m

Anbn (bn =ej+ej+1)

要素番号

No. 57


FEM (離散化, 行列方程式)

i

basis

mn

F

z

y

r

xm

N

n

n

K

znmr

z

nm

r

dzz

MJjkb

Adzbbkdzz

b

z

b

2

11

2

]boundary[1

00

1

2

0

01

]1

1[

1

1

00

2

0

eNz

zz

xx

r

yz

r

xx

xxrxx

r

z

EWdz

z

M

y

MJjkW

EWkz

E

z

W

basisN

n

nnx zbAE1

)(

),,1()( basismx NmzbW

[boundary]は無視して行列方程式を作ると

ここで、

Wxは何でも良いのだが、このように選ぶ。

n

N

n

nmn FAKbasis

]boundary[1

z

y

r

xmm

znmr

z

nm

r

mn

dzz

MJjkbF

dzbbkdzz

b

z

bK

2

11

2

1

00

2

0

basisbasisbasisbasisbasisbasis

basis

basis

N

m

N

m

NNnNN

Nmmnm

Nn

F

F

F

A

A

A

KKK

KKK

KKK

11

,,1,

,1

,1111

z y

x

1 2 3 n

z y

x

1 2 3 n

E

W

m

m

b1=A1b1 (b1=e1)

A2b2 (b2=e2+e3)

Anbn (bn =ej+ej+1)

Amb

m

bm

W=bmの方程式

No. 58


FEM (行列要素の計算)

ここで、

の計算は次の図を見てわかるように、i,jともに同一、あるいは隣接する要素の基底関数のときしか値を持たない。

→行列は疎になる。

よって、要素ごとに基底関数同士の積分を評価して、行列に埋め込んでいくと効率的である。全体の行列方程式における基底関数としては、要素内の基底関数を用いて、上図のように各エッジで重みが定義された基底関数を用いる。このために(要素番号, 基底関数番号1or2)からグローバルの基底関数番号に対応させる変換表を準備しておく。

z y

x

1 2 3 n

z y

x

1 2 3 n

E

W

m

m

b1=A1b1 (b1=e1)

A2b2 (b2=e2+e3)

Anbn (bn =ej+ej+1)

Amb

m

bm

また、

の計算は

なので、次の計算に帰着される。

znmr

z

nm

r

mn dzbbkdzz

b

z

bK

2

0

1

znmr

z

nm

r

mn dzbbkdzz

b

z

bK

2

0

1

)()/(1

)()/(1)()(

)(6/)(

)(3/)()()(

21

12

12

12

2

1

2

1

jizz

jizzdz

z

ze

z

zeF

jizz

jizzdzzezeE

ee

eez

z

e

je

iij

ee

eez

z

e

j

e

iij

e

e

e

e

)()()( 1

1

2 zezezb ee

m

No. 59


FEM (境界条件の適用)

【例】左の壁が電気壁(PEC)の場合

basisbasisbasisbasisbasisbasis

basis

basis

N

m

N

m

NNnNN

Nmmnm

Nn

F

F

F

A

A

A

KKK

KKK

KKK

11

,,1,

,1

,1111

01 A0xE なので、

とする。これは元々既知であったと考えるので

行列方程式に

を代入し、未知数からも消去する。

01 A

No. 60


3-D FEMのエッジ要素ベクトル基底関数

1L

2L

3L

O

1

1

1

(Node1)

(Node2)

(Node3)

(Node4)

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

No. 61

１次元問題の解析結果

x

zy

0

zy

4r1r 1r

0

1

s

r

)(ˆszzz J

sz1z 2z


波源(面電流)

No. 62


Result: Amplitude of E-field

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24

|E| (

V/m

)

Position (m)

MoM

FDTD

FDFD

FEM

Sourcer=4

定在波定在波進行波

進行波

No. 63


Result: Phase of E-field

-180

-120

-60

0

60

120

180

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24

Arg

(E)

(deg

)

Position (m)

MoM

FDTD

FDFD

FEM

Sourcer=4

No. 64


Result: 電界強度分布アニメーション

x

zy

0

zy

4r1r 1r

0

1

s

r

)(ˆszzz J

sz1z 2z

No. 65


Result: Time-Varying Animation of E-field

定在波定在波進行波進行波

No. 66


Result: Amplitude of H-field

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24

|H| (A

/m)

Position (m)

MoM

FDFD

Sourcer=4

定在波定在波進行波

進行波

No. 67


Result: Phase of H-field

-180

-120

-60

0

60

120

180

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24

Arg

(H)

(deg

)

Position (m)

MoM

FDFD

Sourcer=4

No. 68


Result: Time-Varying Animation of H-field

定在波定在波進行波進行波

No. 69


Outline


電磁界解析

1次元(1-D)問題



解析例

No. 70

高精度かつ効率的（高速、省マシンコスト）のための

モデル作成と解析のコツ

No. 71


励振方法1: 導波路モード励振 (Wave Port)

V

S

n̂

u

uuB )()(

1 EEE

導波路モード励振は境界にて行う。

導波路モード給電では、導波路部分は少なくとも1/4波長以上はモデル化する。（不連続部で発生した高次モードが十分減衰するように）

単一モード条件であるかどうか確認する。多モードならば、それらも考慮して解析する。

開放型線路の場合には電磁界モードが端で十分減衰する程度に広い面積でポートを定義する。

1/4波長以上ポート

Mode1 Mode2

Mode3 Mode4

x

y

z

ab

OC

S

No. 72


モード関数の表現

u

uuuu BA )()(EEE

u

uuuu BA )()(HHH

モード関数の直交性

z

uvS

vuvued

)()()(

SHE

z

uvS

vuvued

)()()(

SHE

)(0),(1 vuvuuv

u: モードの番号(TEM, TEmn, TMmn)

x

y

z

SC

t: transversal (断面方向) … xy成分

l: longitudinal (軸方向) … z成分

導波路内の電磁界はモードの和で表現できる

モード関数は導波路問題の固有値問題を解いて得られる。つまり、非励振の問題の解である。

モード解析によって、モードの分布とそのモードの伝搬定数が得られる。

モード関数モード分布伝搬定数

)exp()()()( zutuu rerE

)exp()()()()( zuutuu rhrhrH

No. 73


様々な伝送線路

(a) 自由空間 (b) 平行二本線路（レッヘル線路）

E

H

(c) 同軸線路

PEC(金属) PEC

PEC

(d) 方形導波管

PEC

(e) 円形導波管

PEC

PEC誘電体

(f) マイクロストリップ線路

PEC 誘電体

(g) ストリップ線路（トリプレート線路）

PEC 誘電体

(h) スロット線路

スロット

(i) コプレナガイド

PEC誘電体

(j) 光ファイバ

誘電体2

誘電体1

k波数ベクトル

No. 74


導波路モードの考え方

回路線路回路

アンテナ等

線路は各ブロックの信号伝送に用いられる。

不連続部では電磁界の境界条件を満たすように高次モードが発生する。減衰モードはその場所を離れると指数関数的に減衰する。

線路は普通、シングルモード（単一モード）で用いる。同軸ケーブルも高周波になるほど細くなるのはこのため。マルチモード（多モード）では線路の曲げ方等によって特性は大きく変化するので安定動作しない。

線路は断面形状が無限に続くものとしてモードを計算しているので、不連続部やコーナー部では予期しない放射などが生じ得る。

線路の断面は理想的には2次元の無限に広い面を必要とするので（導波管のような閉構造は別）、線路を近づけると予期しない線路間の結合が起こる。

No. 75


方形導波管のTEモードのFEM解析

Mode1 Mode2

Mode3 Mode4

(1,0): 2.58

(0,1): 5.15

(2,0): 5.16

(1,1): 5.76

Mode1: 2.58

Mode2: 5.13

Mode3: 5.30

Mode4: 5.92

fcu (GHz)

FEM Analytic

x

y

z

ab

OC

S

カットオフ周波数

高次モードではより多くのメッシュ分割が必要

No. 76


励振方法2: 電圧・電流源励振

V

S

n̂電圧・電流源励振は体積内にて行う。

電圧・電流源励振は波長に比して微小であることが基本である。

J

No. 77


励振方法3: 平面波入射

平面波入射の場合は、物体から吸収境界壁までの距離は1/4波長以上離す。

RCS (Radar Cross Section)解析に使われる。

No. 78


吸収境界条件

FEMはこのように全空間にメッシュ

を切るので、放射するような開放空間を扱うには吸収境界条件(ABC,

Absorbing Boundary Condition)を用いる必要がある。

物体からABCまでの距離は1/4波長以上離す必要がある。

ABCは平面波波をうまく吸収するように出来ているので、なるべく離した方が良いが、あまり空間を大きくすると無駄に計算時間がかかるのでトレードオフである。

V

S

n̂

1/4波長以上

No. 79


-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70

Ch

ara

cte

ris

tic i

mp

ed

an

ce (

Oh

m)

Frequency (GHz)

Real part

Imaginary part

w/o dummy

w/ dummy

Exp Cal

(a) Electric field (b) Magnetic field

C

Signal line

Ground plane

x

z

(a) Electric field

x

Signal line

Ground plane

Dummy fill

(b) Magnetic field

その他境界条件

電気壁 (PEC)

磁気壁 (PMC)

表面インピーダンス

周期境界壁・・・アレーアンテナの１周期の解析などに使う。ダミーメタル入り伝送線路の解析[1]、ダミーメタルの等価媒質定数の電磁界解析にも用いた。

[1] Y. ONO, T. HIRANO, K. OKADA, J. HIROKAWA, and M. ANDO, "Eigenmode Analysis of Propagation

Constant for a Microstrip Line with Dummy Fills on a Si CMOS Substrate," IEICE Trans. Electron., Vol.E94-C

No.6, pp.1008-1015, June 2011.

[2]平野拓一, 岡田健一, 広川二郎, 安藤真, " CMOSチップ上周期配列ダミーメタルフィルの等価異方性媒質定数の抽出," 電子情報通信学会技術研究報告, vol. 111, no. 487, AP2011-208, pp.55-60, 2012年3月16日.

No. 80


シミュレーションの流れ（ユーザーの入力）

1. モデリング（解析モデルを描く）。

2. 媒質を指定する。

3. 境界条件、励振モデルを指定する。

解の一意性より、モデル境界周囲の全ての境界条件を指定しなければならない。

4. 解析周波数、収束条件、周波数スイープ範囲を指定する。

メッシュサイズは波長に比して十分小さく(１辺1/10波長程度)なければならないため、メッシュを自動生成する周波数よりも高い周波数の結果は信頼できない可能性がある。また、共振現象があり、共振周波数を境に電磁界分布が大きくことなる場合は注意が必要である。（場合によっては、周波数スイープを分ける）

5. 後処理。必要に応じて、Sパラメータ、指向性、電磁界分布などを表示したり出力したりする。

どこまで詳細にモデル化すべきか？

⇒電磁界が広がる範囲まで

No. 81


シミュレーションの流れ（シミュレータ）

1. ユーザーが描いたモデルに従ってメッシュを自動生成する。

2. 各要素に媒質定数や境界条件を設定し、励振の条件も読み込む。

3. Portの2-D FEMモード解析(伝搬定数とモード関数)を行い、3-D FEM解析の準備をする。

4. 3-D FEM解析を行い、電磁界分布を得る。

5. 収束条件を計算し、収束条件に達していなかったら電磁界の強い部分をさらに細かいメッシュに変更し、ステップ3

に戻る。収束条件を満たしていたら次のステップへ。

6. 周波数スイープが指定されている場合は、今のメッシュを用いて最初の周波数から順番に解析する。最後の周波数の解析が終わったら終了。

No. 82


シミュレータ使用上のノウハウ

1. まずは、ダイポールアンテナ、方形導波管、マイクロストリップ線路などの規範問題でシミュレータの動作を確認。

2. 収束が単調減少しているかどうか確認。単調減少でない場合、偶然収束条件を満たしてしまった可能性がある。この解決法は次の手動メッシュが有効。

3. 最初から電磁界が集中するとわかっているところ、あるいいは微細な構造で細かくメッシュを切らなければならないところは、メッシュオペレーションを使って手動で細かい初期メッシュになるように指定する。場合によっては、ダミーのオブジェクトを描いて細かいメッシュの部分を指定する。

4. エラーが出て、何かよくわからないときは、エラーが出なくなるまでオブジェクトなどを少しずつ削除していき、原因となるオブジェクト近傍を発見する。

5. 後処理で電磁界分布をビジュアルに描き、アニメーションを表示して、期待した通りの動きをしているか確認する。特に吸収境界壁はしっかりと放射するように電磁界が吸い込まれているかどうか、など。

No. 83


Outline


電磁界解析

1次元(1-D)問題



解析例

No. 84

解析例

No. 85


ダイポールアンテナのHFSSモデル

内部インピーダンスZ0 (=50Ω)のLumped Port

No. 86


ダイポールアンテナ解析例（入力インピーダンス）

入力インピーダンス（MoMとFEMの比較）

Input Impedance of Dipole Antenna (h=30mm, a=0.5mm, d=0.5mm)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 1 2 3 4 5 6 7

Frequency [GHz]

Res

ista

nce

R [

Ohm

]

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

Rea

ctan

ce X

[O

hm]

MoM (R)

HFSS (R)

MoM (X)

HFSS (X)

2a

h

h

d0

011

ZZ

ZZS

in

in

11

110

1

1

S

SZZ in

No. 87


ダイポールアンテナ解析例

吸収をアニメーションで確認

収束を確認

アンテナ・無線ハンドブック, オーム社, 2006年.

No. 88


行列間の変換

1

2221

1211

Z

YY

YYY

11

2221

1211)(

ISISDY

ZZ

ZZZ

1

2221

1211

DZDZ

SS

SSS

22

11

2111

22

21 1

111

Z

ZZ

ZYY

Y

YDC

BAF

500

050

0

0

0

0

Z

ZD

No. 89


方形パッチアンテナ (プローブ給電, 2 GHz)

60 mm

48 mm

3.2 mm

r=2.17

14.2 mm

147 mm

148 mm

Cu (35 m-thick)

No. 90


異なる解析モデル

Model 1 (50Ωの電圧源で励振、上部のみの解析モデル、

下面は金属、それ以外の面は吸収境界) Model 2 (50Ωの電圧源で励振、

全面吸収境界条件)

Model 3 (同軸線路のモードで給電、

全面吸収境界条件)

裏側の影響が正確に考慮されない。

しかし、反射特性は十分正確。

裏側の給電ケーブルの影響および給電部の同軸線路の効果が評価されない。

裏側の給電ケーブルの影響および給電部の同軸線路の効果が評価されない。

Wave Port

No. 91


Sパラメータ

-25

-20

-15

-10

-5

0

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

Am

plit

ud

e (d

B)

Frequency (GHz)

Exp

Cal (Model 1)

Cal (Model 2)

Cal (Model 3)

-180

-120

-60

0

60

120

180

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

Ph

ase

(d

eg)

Frequency (GHz)

Exp

Cal (Model 1)

Cal (Model 2)

Cal (Model 3)

Amplitude Phase

No. 92


利得パターン

E-plane H-plane

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-180 -120 -60 0 60 120 180

Gain

(dB

i)

Angle theta (deg)

Cal (Model 1)

Cal (Model 2)

Cal (Model 3)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-180 -120 -60 0 60 120 180

Gain

(dB

i)

Angle theta (deg)

Cal (Model 1)

Cal (Model 2)

Cal (Model 3)

No. 93


電界アニメーション

No. 94


導波管給電分配回路

|S11|=-24.2 dB

S21=(-3.12 dB, 147 deg)

S31=(-2.92 dB, 143 deg)

No. 95


化合物半導体チップ上コプレーナ線路

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40 50

Am

pli

tud

e (

dB

)

Frequency (GHz)

Simulated (HFSS)

Measured

S11

S21

-180

-120

-60

0

60

120

180

0 10 20 30 40 50

Ph

ase

(d

eg)

Frequency (GHz)

Simulated (HFSS)

Measured

S21

S11

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40 50

Am

pli

tud

e (

dB

)

Frequency (GHz)

Simulated (HFSS)

Measured

S11

S21

-180

-120

-60

0

60

120

180

0 10 20 30 40 50

Ph

ase

(d

eg)

Frequency (GHz)

Simulated (HFSS)

Measured

S11

S21

Open Pattern

Short Pattern

T. Hirano, H. Nakano, Y. Hirachi, J. Hirokawa, and M. Ando, "De-Embedding Method Using an

Electromagnetic Simulator for Characterization of Transistors in the Millimeter-Wave Band," IEEE

Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol.58, No.10, pp.2663-2672, October 2010.

Wave Port

PMC

No. 96


GSGパッドの解析モデル

Port 1

(Lumped Port, 100 )

Silicon substrate

Vacuum

ABC

(Radiation Boundary)

PMC

(Perfect H)

Port 2

(Lumped Port, 100 )

420 m

T. Hirano, K. Okada, J. Hirokawa, and M. Ando, “Accuracy Investigation of De-embedding Techniques Based on Electromagnetic

Simulation for On-wafer RF Measurements,” InTech Open Access Book, Numerical Simulation - From Theory to Industry, ISBN 978-

953-51-0749-1, Chapter 11, pp.233-258, September 19, 2012.

No. 97


Thruパターン (Sパラ)

(a) S11, S22

(b) S12, S21

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40 50 60 70

Am

pli

tud

e (d

B)

Frequency (GHz)

S11 (Measured)

S22 (Measured)

S11 (Calculated by HFSS)


-180

-120

-60

0

60

120

180

0 10 20 30 40 50 60 70

Phas

e (d

eg)

Frequency (GHz)

S11 (Measured)

S22 (Measured)



-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 10 20 30 40 50 60 70

Am

pli

tud

e (d

B)

Frequency (GHz)

S12 (Measured)

S21 (Measured)



-180

-120

-60

0

60

120

180

0 10 20 30 40 50 60 70

Ph

ase

(deg

)

Frequency (GHz)

S12 (Measured)

S21 (Measured)



No. 98


Thruパターン (スミスチャート)

S11

DC 67GH

z S12

S22

S21

420 m

No. 99


Lineパターン (Sパラ)

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40 50 60 70

Am

plitu

de

(dB

)

Frequency (GHz)

S11 (Measured)

S22 (Measured)



-180

-120

-60

0

60

120

180

0 10 20 30 40 50 60 70

Phas

e (d

eg)

Frequency (GHz)

S11 (Measured)

S22 (Measured)



(a) S11, S22

(b) S12, S21

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 10 20 30 40 50 60 70

Am

plitu

de

(dB

)

Frequency (GHz)

S12 (Measured)

S21 (Measured)



No. 100


Lineパターン (スミスチャート)

S11

DC 67GH

z S12

S22

S21 1020 m

No. 101


Reflectパターン (Sパラ)

(a) S11, S22

(b) S12, S21

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 10 20 30 40 50 60 70

Am

plitu

de

(dB

)

Frequency (GHz)

S11 (Measured)

S22 (Measured)



No. 102


Reflectパターン (スミスチャート)

S11

DC 67GH

z S12

S22

S21

No. 103


GSGパッドの電磁界解析モデル (Lumped Port)

Lumped Port

PMC (Perfect H)

PMC (Perfect H)

Port 1

(Lumped Port, 100 )

Port 2

(Lumped Port, 100 )

No. 104


E-Field Animation

No. 105


Lumped Portの位置dlおよび幅w依存性

w

dl

70 m 70 m

50 m

No. 106


-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40 50 60 70

S1

1(d

B)

Frequency (GHz)

(10,-15,-15) (10,-15,15) (10,-15,0)

(10,-10,0) (10,-5,0) (10,0,0)

(10,5,0) (10,10,0) (10,15,0)

(10,15,15) (20,-10,0) (20,-5,0)

(20,0,0) (20,5,0) (20,10,0)

(30,-10,0) (30,-5,0) (30,0,0)

(30,5,0) (30,10,0) edge1

edge2 vertical

(w, dl, dr) unit: m

反射係数 S11

Amplitude Phase

-180

-150

-120

-90

-60

-30

0

0 10 20 30 40 50 60 70

S1

1(d

eg

)

Frequency (GHz)

(10,-15,-15) (10,-15,15) (10,-15,0)

(10,-10,0) (10,-5,0) (10,0,0)

(10,5,0) (10,10,0) (10,15,0)

(10,15,15) (20,-10,0) (20,-5,0)

(20,0,0) (20,5,0) (20,10,0)

(30,-10,0) (30,-5,0) (30,0,0)

(30,5,0) (30,10,0) edge1

edge2 vertical

(w, dl, dr) unit: m

No. 107


-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 10 20 30 40 50 60 70

S1

2(d

B)

Frequency (GHz)

(10,-15,-15) (10,-15,15) (10,-15,0)

(10,-10,0) (10,-5,0) (10,0,0)

(10,5,0) (10,10,0) (10,15,0)

(10,15,15) (20,-10,0) (20,-5,0)

(20,0,0) (20,5,0) (20,10,0)

(30,-10,0) (30,-5,0) (30,0,0)

(30,5,0) (30,10,0) edge1

edge2 vertical

(w, dl, dr) unit: m

透過係数 S21

(a) Amplitude (b) Phase

位置ずれおよび幅の影響は小さい

-180

-150

-120

-90

-60

-30

0

0 10 20 30 40 50 60 70

S1

2(d

eg

)

Frequency (GHz)

(10,-15,-15) (10,-15,15) (10,-15,0)

(10,-10,0) (10,-5,0) (10,0,0)

(10,5,0) (10,10,0) (10,15,0)

(10,15,15) (20,-10,0) (20,-5,0)

(20,0,0) (20,5,0) (20,10,0)

(30,-10,0) (30,-5,0) (30,0,0)

(30,5,0) (30,10,0) edge1

edge2 vertical

(w, dl, dr) unit: m

No. 108


端部・下部励振モデル

50m

70m70m

wa

10m

誤差小50m

70m70m

10m

誤差大Model (edge1) Model (edge2)

Model (vertical)

No. 109


相互結合評価パターン 770um

770 um

340 um

110 um

230 um

これらは線路の端までの長さ

Port1

Port2

34333231

14131211

2221

1211

SSSS

SSSS

SS

SS

Port3

Port4

Port1’ Port2’




No. 110


パッドを含めた電磁界解析（非対称）

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 10 20 30 40 50 60 70

Am

plitu

de

(dB

)

Frequency (GHz)

S11 (exp)

S22 (exp)

S11 (cal)

S22 (cal)

-180

-120

-60

0

60

120

180

0 10 20 30 40 50 60 70

Phas

e (d

eg)

Frequency (GHz)

S11 (exp)

S22 (exp)

S11 (cal)

S22 (cal)

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40 50 60 70

Am

plitu

de

(dB

)

Frequency (GHz)

S12 (exp)

S21 (exp)

S12 (cal)

S21 (cal)

-180

-120

-60

0

60

120

180

0 10 20 30 40 50 60 70

Ph

ase

(deg

)

Frequency (GHz)

S12 (exp)

S21 (exp)

S12 (cal)

S21 (cal)

相互結合評価パターン




No. 111


60GHz オンチップダイポールアンテナ

CMOS 65nm, 2.1mm x 2.1mm

ILO (VCO) ILO (VCO)+Antenna

Antenna

Short

Open

Thru Line

Radiation boundary

2.1 mm

2.1 mm

PEC (bottom face)

4.2 mm

4.2 mm

100 m

Microstrip line

G

G

SS

GSSG pad

Well prohibit region

Silicon substrate

r=12, =10 cm

Lumped ports (50 Ohms)

Port 1

Port 2

Dipole antenna element

z

x

y

No. 112


Sパラメータ

(a) Reflection coefficient S11 (b) Transmission coefficient S21

-180

-120

-60

0

60

120

180

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40 50 60 70P

ha

se (

deg

)

Am

pli

tud

e (d

B)

Freqeuncy (GHz)

exp

cal (partially lossy layer)

cal (all lossy layer)

cal (w/o lossy layer)

-180

-120

-60

0

60

120

180

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40 50 60 70

Ph

ase

(d

eg)

Am

pli

tud

e (

dB

)

Freqeuncy (GHz)

exp




GSSGの1つのSがPort 1もう1つのSがPort 2

No. 113


Sパラメータ (差動励振)

GSSGをバランプローブで励振

-120

0

120

240

360

480

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40 50 60 70

Ph

ase

(d

eg)

Am

plitu

de

(dB

)

Freqeuncy (GHz)

exp




1211 SS

No. 114


スパイラルインダクタ

No. 115


LとQ

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ind

uct

ance

(p

H)

Frequency (GHz)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q-f

acto

r

Frequency (GHz)

Open Short

2Y 1Y

3Y Port 2Port 1

/)]/(1Im[

)]/(1Re[

31

31

YYL

YYR

Port 2を短絡して使うことを想定これでパッド部をディエンベッド

これでL, Qを抽出

L Q

No. 116

ワイヤボンディングのシミュレーション

Chip

Chip Package

Probe Probe

Bonding wire Bonding wire

(1) ベアチップのプローブ測定

(2) パッケージ組込

Chip

Package

(b) Flip Chip

(a) Wire bonding

No. 117


構造と解析モデル

WavePort1

WavePort2

Chip (Si)

Package (Alumina)

CPW

G-MSL

Bonding wire

100um

ワイヤボンディングによるパッケージ組込

Chip Package

Bonding wire

50 Ohm

50 Ohm

PerfectH(PML)

Radiation Boundary (ABC)

PerfectE(PEC)

No. 118


E-Field Animation

100um

60 GHz

100 mは大丈夫。

No. 119


E-Field Animation

200um

60 GHz

200 mだと漏れる。

No. 120

Tokyo Institute of Technology T. Hirano June 16, 2008

誘電体球による平面波の散乱

E

H

4r

No. 121


まとめ

モーメント法(MoM)・・・原理：等価定理、積分方程式法、表面メッシュ

FDTD法・・・原理：差分、空間メッシュ、陽解法

有限要素法 (FEM)・・・原理：波動方程式＋重み付き残差法、空間メッシュ

電磁界解析は「マクスウェルの方程式＋境界条件」を解くのが目的

そのための数値シミュレーションアルゴリズムとして

を説明した。（全て一長一短ある）

モデル化のコツを説明した。

⇒電磁界が広がる部分までモデル化する。

励振モデルも最低限知りたい特性に合ったものを選ぶ。

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東京工業大学 拓一 - 小野寺研究室 - 京都大学大学院情 …. 1RF August 28, 2013 半導体回路技術者のための電磁界解析入門 電子情報通信学会シリコンアナログ

東京工業大学拓一 - 小野寺研究室 - 京都大学大学院情 …. 1RF August 28, 2013 半導体回路技術者のための電磁界解析入門電子情報通信学会シリコンアナログ