Upload
others
View
19
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Zadatak 501 (Ella, gimnazija)
Kolika je masa tijela ako se ono pod djelovanjem sile od 500 N giba akceleracijom 3 m/s2?
Koliki će put to tijelo prijeći i koliku će brzinu postići za pola minute?
Rješenje 501
F = 500 N, a = 3 m/s2, t = 0.5 min = 30 s, m = ?, s = ?, v = ?
Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima
akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i
sila.
.F
am
=
Drugi Newtonov poučak opisuje ponašanje tijela kad na njega djeluje određena vanjska sila F.
Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile.
Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijede izrazi
1 2,
2,s a t v a t= ⋅ ⋅ = ⋅
gdje su s i v put, odnosno brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano
akceleracijom a za vrijeme t.
Masa tijela iznosi:
500166.67 .
3
/
2
F F F Na a m kg
mm m a
s
m
a= ⇒ = ⇒ = = =⋅
Put koji tijelo prijeđe za pola minute iznosi:
( )1 1 22
3 30 1350 .22 2
ms a t s m
s
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Za pola minute tijelo će postići brzinu:
3 30 90 .2
m mv a t s
ss
= ⋅ = ⋅ =
Vježba 501
Kolika je masa tijela ako se ono pod djelovanjem sile od 1000 N giba akceleracijom 6 m/s2?
Rezultat: 166.67 kg.
Zadatak 502 (Tonkica, gimnazija)
Tijelo se giba jednoliko ubrzano po pravcu. Put od 63 m prijeđe za 6 s pri čemu se njegova
početna brzina v0 poveća pet puta. Odredite ubrzanje tijela.
Rješenje 502
s = 63 m, t = 6 s, v0, v = 5 · v0, a = ?
Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za konačnu brzinu
v:
0.v v a t= + ⋅
Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za put s:
1 20 2
.s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅
Ubrzanje tijela iznosi:
5 5 40 0 0 0 0 0
1 1 1 12 2 2 20 0 0 02 2 2 2
v v a t v v a t v v a t v a t
s v t a t v t a t s v t a t s v t a t s
= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =
2
40 0 1 24
1 1 4 22 20 0 2
4
2
1/
a tv a t v
a tt a t s
v t a t s v t a t s
⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
⇒ ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =
⋅
2 21 12 2 2
/ 42
2 44 2 4 2
a t a ta t s a t s a t a t s
⋅ ⋅⇒ + ⋅ ⋅ = ⇒ + ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⇒
( )
1/
23
4 4 632 23 4 3 4 2.33 .
2 2 23 3 6t
s m ma t s a t s a
t ss
⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = =
⋅ ⋅
⋅⋅
Vježba 502
Tijelo se giba jednoliko ubrzano po pravcu. Put od 252 m prijeđe za 12 s pri čemu se njegova
početna brzina v0 poveća pet puta. Odredite ubrzanje tijela.
Rezultat: 2.33 m / s2.
Zadatak 503 (Tonkica, gimnazija)
Predmet je bačen vertikalno dolje s visine 80 m početnom brzinom 20 m/s. Kolika mu
je brzina na visini 30 m i koliko traje pad do te visine? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s2)
Rješenje 503
h0 = 80 m, v0 = 20 m/s, h = 30 m, g = 9.81 m/s2, v = ?, t = ?
Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici.
Vertikalni hitac prema dolje je gibanje složeno od jednolikog pravocrtnoga gibanja prema dolje i
slobodnog pada. Visina h vertikalnog hica prema dolje s početnom brzinom v0 u času kad je prošlo
vrijeme t dana je izrazom
1 20 0
,2
h h v t g t= − ⋅ − ⋅ ⋅
gdje je h0 početna visina.
h0
h
Računamo brzinu na visini h.
0 0 0
1 1 12 2 20 0 0 0 0 02 2 2
v v g t v g t v g t v v
h h v t g t h h v t g t h h v t g t
= + ⋅ + ⋅ = ⋅ = −
⇒ ⇒ ⇒= − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅
3
00
1 2 1 20 0 0 02 2
1/
v vg t v v t
g
h h v t g t h h v t g t
g
−⋅ = − =
⇒ ⇒ ⇒
= − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅
⋅
− ⋅
210 0
0 0 2
v v v vh h v g
g g
− −⇒ = − ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
2 2 2210 0 0 0
0 22
v v v v v v vh h g
g g
⋅ − − ⋅ ⋅ +⇒ = − − ⋅ ⋅ ⇒
2 2 2210 0 0 0
0 2 2
vg
v v v v v vh h
g g
⋅ − − ⋅ ⋅ +⇒ = − − ⋅ ⋅ ⇒
2 2 2210 0 0 0
0 2
v v v v v v vh h
g g
⋅ − − ⋅ ⋅ +⇒ = − − ⋅ ⇒
2 2 22
0 0 0 00 2
v v v v v v vh h
g g
⋅ − − ⋅ ⋅ +⇒ = − − ⇒
⋅
2 2 22
0 0 0 00 2
/ 2v v v v v v v
h hg
gg
⋅ − − ⋅⋅
⋅ +⇒ = − − ⋅ ⇒
⋅
( ) ( )2 2 22 2 2 2
0 0 0 0 0g h g h v v v v v v v⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ + ⇒
2 2 22 2 2 2 2
0 0 0 0 0g h g h v v v v v v v⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⇒
2 2 22 2 2
0 0 02 2
0 0g h g h vv v v vv v⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ − −− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒
2 2 2 2 22 2 2 2 2
0 0 0 0 0g h g h v v v g h g h v v⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + − ⇒
( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0v g h v g h v g h g h v v g h h v⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ − + ⇒
( ) ( )/2 2 2
2 20 0 0 0
v g h h v v g h h v⇒ = ⋅ ⋅ − + ⇒ = ⋅ ⋅ − + =
( )2
2 9.81 80 30 20 37.16 .2
m m mm m
s ss
= ⋅ ⋅ − + =
Vrijeme pada iznosi:
37.16 200 1.75 .
9.812
m mv v
s st smg
s
−−= = =
Vježba 503
Predmet je bačen vertikalno dolje s visine 800 dm početnom brzinom 72 km / h. Kolika mu
je brzina na visini 300 dm i koliko traje pad do te visine? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s2)
Rezultat: 37.16 m / s, 1.75 s.
4
Zadatak 504 (Robert, gimnazija)
Kolikom početnom brzinom v0 treba baciti tijelo prema dolje da bi sa visine h = 15 m palo na
zemlju za t = 1 s? Koliku brzinu v ima tijelo pri padu na tlo? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s2)
Rješenje 504
h = 15 m, t = 1 s, g = 9.81 m/s2, v0 = ?, v = ?
Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom
akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijedi izraz:
2,
1
2h g t= ⋅ ⋅
gdje je h visina pada.
Ako tijelo ima početnu brzinu v0 tada formula za slobodni pad glasi:
1 20 2
.h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅
Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici.
Hitac je složeno gibanje koje se sastoji od jednolikog gibanja po pravcu početnom brzinom v0 i
slobodnog pada s ubrzanjem g. Za vertikalni hitac prema dolje vrijedi izraz
0,v v g t= + ⋅
gdje je v konačna brzina, a v0 početna brzina.
Računamo početnu brzinu tijela.
1 12 2 22 2
0 0 0/ 2
2 2h v t g t h v t g t h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⋅ = ⇒
2 2 22 2 2 2 2 2
0 0
1/
20v t g t h v t h g t v t h g t
t⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⋅
⋅⋅ ⇒
( )2
2 15 9.81 12 2210.1 .
0 2 2 1
mm s
h g t msvt s s
⋅ − ⋅⋅ − ⋅
⇒ = = =⋅ ⋅
Pri padu na tlo tijelo ima brzinu v.
10.1 9.81 1 19.91 .0 2
m m mv v g t s
s ss
= + ⋅ = + ⋅ =
Vježba 504
Kolikom početnom brzinom v0 treba baciti tijelo prema dolje da bi sa visine h = 150 dm palo
na zemlju za t = 1 s? Koliku brzinu v ima tijelo pri padu na tlo? (ubrzanje slobodnog pada
g = 9.81 m/s2)
Rezultat: 10.1 m / s, 19.91 m / s.
Zadatak 505 (Robert, gimnazija)
Automobil, mase 1400 kg, giba se stalnom brzinom 40 km / h. Koliko je potrebno povećati
vučnu silu motora da bi se brzina automobila povećala dva puta na putu 280 m? Trenje zanemarite.
Rješenje 505
m = 1400 kg, v0 = 40 km / h = [40 : 3.6] = 11.11 m / s, v = 2 · v0 = 2 · 11.11 m / s =
= 22.22 m / s, s = 280 m, F = ?
Prvi Newtonov poučak
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli, tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu. Zato kažemo da je tijelo tromo.
Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima
akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i
sila.
5
.F
a F m am
= ⇒ = ⋅
Drugi Newtonov poučak opisuje ponašanje tijela kad na njega djeluje određena vanjska sila F.
Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile.
Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za konačnu brzinu
v:
2 22 ,
0v v a s= + ⋅ ⋅
gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se počelo ubrzavati i gibati jednoliko ubrzano
akceleracijom a za vrijeme t.
Automobil se u početku gibao stalnom brzinom jer na nj nije djelovala sila. Na putu s zbog djelovanja
sile F brzina automobila povećala se na v pa vrijedi:
2 2 2 2 2 22 2 2
0 0 0v v a s v a s v a s v v
F m a F m a F m a
= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒
= ⋅ = ⋅ = ⋅
( )2 2 2 22 2
02 2 2002 02 2
1/
2
v v v va s v v ma F m F v vs s sF m a
s
F m a
− −⋅ ⋅ = − =⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ − =⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅
⋅⋅
2 21400
22.22 11.11 925.74 .2 280
kg m mN
m s s= ⋅ − =
⋅
Vježba 505
Automobil, mase 1.4 t, giba se stalnom brzinom 40 km / h. Koliko je potrebno povećati
vučnu silu motora da bi se brzina automobila povećala dva puta na putu 0.28 km? Trenje zanemarite.
Rezultat: 925.74 N.
Zadatak 506 (Marko, gimnazija)
Tijelo pada s visine h. U trenutku udara o tlo ima brzinu v. S koje visine je palo tijelo koje u
trenutku udara ima brzinu 2 · v?
. 2 . 3 . 4 . 8A h B h C h D h⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Rješenje 506
h, v, v1 = 2 · v, h1 = ?
Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom
akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijedi izraz:
22 ,v g h= ⋅ ⋅
gdje je h visina pada.
Za dvije promjenjive međusobno zavisne veličine x i y kažemo da su razmjerne, upravo razmjerne ili
direktno proporcionalne s koeficijentom razmjernosti (proporcionalnosti) k, k ≠ 0, ako je
, .y
y k x kx
= ⋅ =
Svako povećanje (smanjenje) jedne veličine dovodi jednako toliko puta do povećanja (smanjenja)
druge veličine.
1.inačica
( )
22 222 2
2
metoda
zamje2 2 n2 4 22 21 1 11
e
v g hv g h v g h
v g h v g hv g h
= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
6
4 2 2 8 21
/2
2 8 2 81 1 1 1
g h g h g h g h g hg
g h g h g h⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅⋅ ⋅⋅
⋅ ⇒
4 .1
h h⇒ = ⋅
Odgovor je pod C.
2.inačica
Preoblikujemo formulu za slobodni pad.
12 2 2 22 2 2
1
2/
2.v g h g h v g h v
gh v
g= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
⋅⋅
⋅=
Vidimo da je visina razmjerna s kvadratom brzine jer je g konstantno.
1 12.
2 2
2 2h v
g gh v h v= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒
⋅ ⋅∼
Poveća li se brzina 2 puta, visina će biti 4 puta veća (22 = 4).
Odgovor je pod C.
Vježba 506
Tijelo pada s visine h. U trenutku udara o tlo ima brzinu v. S koje visine je palo tijelo koje u
trenutku udara ima brzinu 3 · v?
. 6 . 9 . 3 . 27A h B h C h D h⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Rezultat: B.
Zadatak 507 (Karlo, srednja škola)
Tijelo se giba akceleracijom 14 cm / s2. Poslije 3 s od početka gibanja ima brzinu 82 cm / s.
a) Kolika je početna brzina?
b) Koliki je put prešlo tijelo za 10 s?
c) Nacrtajte v, t – dijagram.
Rješenje 507
a = 14 cm / s2, t = 3 s, v = 82 cm / s, t1 = 10 s, v0 = ?, s1 = ?
Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijede formule za brzinu v i put s:
1 20 0
,2
,v v a t s v t a t= + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅
gdje je a akceleracija, t vrijeme.
a)
Početna brzina tijela glasi:
82 14 3 40 .0 0 0 2
cm cm cmv v a t v a t v v v a t s
s ss
= + ⋅ ⇒ + ⋅ = ⇒ = − ⋅ = − ⋅ =
b)
Za vrijeme t1 tijelo će prijeći put s1.
( )1 1 22
40 10 14 10 1100 11 .1 0 1 1 22 2
cm cms v t a t s s cm m
s s
= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = =
c) Crtamo v, t – graf
40 140 2
cm cmv v a t v t
s s
= + ⋅ ⇒ = + ⋅
7
t / s 40 14
2
cm cmv t
s s
= + ⋅
t = 0 40 14 0 402
cm cm cmv v
s ss
= + ⋅ ⇒ =
t = 1 40 14 1 542
cm cm cmv s v
s ss
= + ⋅ ⇒ =
t = 2 40 14 2 682
cm cm cmv s v
s ss
= + ⋅ ⇒ =
t = 3 40 14 3 822
cm cm cmv s v
s ss
= + ⋅ ⇒ =
t / s 0 1 2 3
v / cm
s 40 54 68 82
t / s
v / cm
s
32
80
70
60
50
40
30
20
0
10
1
Vježba 507 Tijelo se giba akceleracijom 7 cm / s2. Poslije 6 s od početka gibanja ima brzinu 82 cm / s.
Kolika je početna brzina?
Rezultat: 40 cm / s.
Zadatak 508 (Jurja, gimnazija)
Vagon mase 15 tona giba se početnom brzinom 10 m / s i usporenjem 0.2 m / s2.
a) Kolika je sila kočenja?
b) Za koje će se vrijeme vagon zaustaviti?
c) Nađite zaustavni put vagona.
Rješenje 508
m = 15 t = 1.5 · 104 kg, v0 = 10 m / s, a = 0.2 m / s2, F = ?, t = ?, s = ?
Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima
akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i
8
sila.
.F
a F m am
= ⇒ = ⋅
Drugi Newtonov poučak opisuje ponašanje tijela kad na njega djeluje određena vanjska sila F.
Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile.
Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijede formule za brzinu v i put s:
1 20 0
,2
,v v a t s v t a t= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅
gdje je a akceleracija (usporenje, deceleracija), t vrijeme.
a)
Sila je po iznosu jednako velika kao kad bi morala vagon mase m jednoliko ubrzavati akceleracijom a
do vrzine v0. Sila kočenja iznosi:
41.5 10 0.2 3000 3 .
2
mF m a kg N kN
s
= ⋅ = ⋅ ⋅ = =
b)
Računamo vrijeme za koje se vagon zaustavi.
Budući da je konačna brzina jednaka nuli, vrijedi:
10000 50 .
0 0 00 0.2
2
1/
mvv
sv a t a t v a t v t sv v a t ma
s
a
= ⇒ = − ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = == − ⋅
⋅
c) Zaustavni put vagona je:
( )1 1 22
10 50 0.2 50 250 .0 22 2
m ms v t a t s s m
s s= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =
Vježba 508
Vagon mase 30 tona giba se početnom brzinom 10 m / s i usporenjem 0.1 m / s2.
a) Kolika je sila kočenja?
b) Za koje će se vrijeme vagon zaustaviti?
Rezultat: 3 kN, 100 s.
Zadatak 509 (Jurja, gimnazija)
Kolika sila mora djelovati na vagon koji stoji na pruzi da bi se počeo gibati jednoliko ubrzano
te za 20 s prešao put 16 m? Masa je vagona 20 tona. Za vrijeme gibanja na njega zbog trenja djeluje
sila koja iznosi 0.05 težine vagona te ima smjer suprotan gibanju. (ubrzanje slobodnog pada
g = 9.81 m / s2)
Rješenje 509
t = 20 s, s = 16 m, m = 20 t = 2 · 104 kg, Ftr = 0.05 · G, g = 9.81 m / s
2, F = ?
Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz
1 2222
,s
s a t at
⋅= ⋅ ⋅ ⇒ =
gdje je s put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za
vrijeme t.
Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima
akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i
sila.
.F
a F m am
= ⇒ = ⋅
Drugi Newtonov poučak opisuje ponašanje tijela kad na njega djeluje određena vanjska sila F.
9
Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile.
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo težnom silom (silom težom). Pod djelovanjem težne
sile sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku
,G m g= ⋅
gdje je G težna sila, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome
mjestu na Zemlji jednaka.
Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek
počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja.
Sila m · a koja vagon mase m ubrza tako da za vrijeme t prijeđe put s jednaka je razlici ukupne vučne
sile F i sile trenja Ftr.
m ⋅⋅⋅⋅ a
Ftr
F
m ⋅⋅⋅⋅ a = F - Ftr
0.05m a F F F F m a F m a F F m a Gtr tr tr⋅ = − ⇒ − = ⋅ ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒
2 20.05 0.05
2 2
2
2 s sF m m g F m g
t t
sa
t
G m g
⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ +
⋅=
= ⋅
⋅ =
( )
2 1642 10 0.05 9.81 11410 .
2 220
m mkg N
ss
⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ =
Vježba 509
Kolika sila mora djelovati na vagon koji stoji na pruzi da bi se počeo gibati jednoliko ubrzano
te za 20 s prešao put 0.016 km? Masa je vagona 20 tona. Za vrijeme gibanja na njega zbog trenja
djeluje sila koja iznosi 0.05 težine vagona te ima smjer suprotan gibanju. (ubrzanje slobodnog pada
g = 9.81 m / s2)
Rezultat: 11410 N.
Zadatak 510 (Jurja, gimnazija)
Automobil vozi po horizontalnoj cesti brzinom 36 km / h. U jednom trenutku vozač isključi
motor i automobil se zaustavi budući da je s isključenim motorom prešao 150 m. Koliko se dugo
automobil gibao isključenog motora? Koliki je faktor trenja pri tom gibanju? (ubrzanje slobodnog
pada g = 9.81 m / s2)
Rješenje 510
v0 = 36 km / h = [36 : 3.6].= 10 m / s, s = 150 m, g = 9.81 m / s2, t = =, µ = ?
Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijede formule za brzinu i put:
1 20 0
,2
,v v a t s v t a t= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅
gdje je a akceleracija kojom tijelo usporava, t vrijeme gibanja.
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela
padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.
10
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku
,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na
horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.
Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek
počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza
,F Ftr Nµ= ⋅
gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu
po kojoj se giba. Na vodoravnoj površini sila trenja za tijelo težine G iznosi:
.F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
U trenutku kada se automobil zaustavi njegova je brzina jednaka nuli pa slijedi:
000 .
0 0 00
1/
vvv a t a t v a t v a
v v a t tt
= ⇒ = − ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒
⋅ =
= − ⋅
Iz formule za put kod jednoliko usporenog gibanja izračunamo vrijeme t.
01 1 120 0
0 0 0 02 2 21 20
2
2
va v v
t s v t t s v t t s v t v t
ttt
s v a t
=
⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒= ⋅ − ⋅ ⋅
1 1 1 2 2 15030 .
0 0 02 20 0
2
10
/2
s ms v t v t s v t s t s
mv
s
v
⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = = =⋅ ⇒ =
Sila koja, nakon isključenja motora, zaustavlja automobil je sila trenja pa ćemo pomoću drugog
Newtona poučka dobiti:
1/F F m a G m a m g m a m g a gtr
mµ µ µ µ= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⇒
0 01/0 0
v v vg a g g
t t g t g
va
tµ µ µ µ= ⋅⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = =
⋅
10
0.034.
30 9.812
m
s
ms
s
= =
⋅
Vježba 510
Automobil vozi po horizontalnoj cesti brzinom 36 km / h. U jednom trenutku vozač isključi
motor i automobil se zaustavi budući da je s isključenim motorom prešao 0.15 km. Koliko se dugo
automobil gibao isključenog motora?
Rezultat: 0.034.
Zadatak 511 (Walter, gimnazija)
Na tijelo mase 2 kg koje leži na vodoravnoj podlozi djeluje stalna sila i daje mu akceleraciju
0.20 m / s2. Faktor trenja između tijela i podloge je 0.02. Kolika je vučna sila? (ubrzanje slobodnog
pada g ≈ 10 m / s2)
11
Rješenje 511
m = 2 kg, a = 0.02 m / s2, µ = 0.02, g = 10 m / s
2, F = ?
Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima
akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i
sila.
.F
a F m am
= ⇒ = ⋅
Drugi Newtonov poučak opisuje ponašanje tijela kad na njega djeluje određena vanjska sila F.
Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile.
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela
padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku
,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na
horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.
Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek
počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza
,F Ftr Nµ= ⋅
gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu
po kojoj se giba. Na vodoravnoj površini sila trenja za tijelo težine G iznosi:
.F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
Sila m · a koja tijelo mase m ubrzava akceleracijom a jednaka je razlici ukupne vučne sile F i sile
trenja Ftr.
m a F F F F m a F m a F F m a Gtr tr tr µ⋅ = − ⇒ − = ⋅ ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒
( ) 2 0.20 0.02 10 0.8 .2 2
m mF m a m g F m a g kg N
s s
µ µ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Vježba 511
Na tijelo mase 200 dag koje leži na vodoravnoj podlozi djeluje stalna sila i daje mu
akceleraciju 2 dm / s2. Faktor trenja između tijela i podloge je 0.02. Kolika je vučna sila? (ubrzanje
slobodnog pada g ≈ 10 m / s2)
Rezultat: 0.8 N.
Zadatak 512 (Darko, tehnička škola)
Na tijelo mase 2 kg koje se giba brzinom 5.5 m / s počne djelovati u smjeru gibanja tijela
stalna sila od 10 N tijekom 2 s. Koliku će brzinu imati tijelo nakon prestanka djelovanja sile?
Rješenje 512
m = 2 kg, v0 = 5.5 m / s, F = 10 N, t = 2 s, v = ?
Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima
akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i
sila.
.F
am
=
Drugi Newtonov poučak opisuje ponašanje tijela kad na njega djeluje određena vanjska sila F.
Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile.
12
Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za konačnu brzinu
v:
0.v v a t= + ⋅
Budući da sila F djeluje u smjeru gibanja tijela, ona ga ubrzava pa je tražena brzina v veća od početne
brzine v0 i iznosi:
105.5 2 15.5 .
0 20
Fa F m N m
m v v t sm s kg s
v v a t
=⇒ = + ⋅ = + ⋅ =
= + ⋅
Vježba 512
Na tijelo mase 3 kg koje se giba brzinom 5.5 m / s počne djelovati u smjeru gibanja tijela
stalna sila od 10 N tijekom 3 s. Koliku će brzinu imati tijelo nakon prestanka djelovanja sile?
Rezultat: 15.5 m / s.
Zadatak 513 (Miro, gimnazija)
Dva su tijela bačena sa istog mjesta okomito uvis jednakim početnim brzinama 12 m / s. Prvo
tijelo bačeno je 0.44 s ranije od drugog. Za koje će vrijeme od trenutka bacanja drugog tijela oba
tijela biti na istoj visini? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)
Rješenje 513
v0 = 12 m / s, ∆t = 0.44 s, t1 = t, t2 = t + ∆t, g = 9.81 m / s2, t = ?
Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici.
Vertikalni hitac uvis je gibanje složeno od jednolikog pravocrtnoga gibanja prema gore i
slobodnog pada prema dolje. Visina h u času kad je prošlo vrijeme t dana je izrazom
1 20 2
,h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅
gdje je v0 početna brzina.
Za vrijeme t1 prvo će tijelo biti na visini h1.
1 12 2.
1 0 1 1 1 02 2h v t g t h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅
Za vrijeme t2 drugo će tijelo biti na visini h2.
( ) ( )1 1 22
.2 0 2 2 2 02 2
h v t g t h v t t g t t= ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ∆ − ⋅ ⋅ + ∆
Iz uvjeta zadatka slijedi:
( ) ( )1 1 22
1 2 0 02 2h h v t g t v t t g t t= ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ + ∆ − ⋅ ⋅ + ∆ ⇒
( ) ( )1 1 22
/ 20 02 2
v t g t v t t g t t⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⋅ + ∆ ⋅∆ ⇒
( ) ( )22
2 20 0
v t g t v t t g t t⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ + ∆ − ⋅ + ∆ ⇒
( )( )22 22 2 2 2
0 0 0v t g t v t v t g t t t t⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ + ∆ ⇒
( )22 2
2 2 2 20 0 0
v t g t v t v t g t g t t g t⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⇒
( )2
2 22
20 0 0
22 v t g tv t g t v t g t t g t⇒ = + ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ⋅ ⋅ ∆⋅ ⋅ − − ⋅⋅ ⋅ ⋅ ∆⋅ − ⇒
( ) ( )2 2
0 2 2 2 20 0
v t g t t g t g t t v t g t⇒ = ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⇒
13
( )12
0.442 02 2 1 .0 2 2
9.81
1/
22
mv t ssg t t v t g t t s
mg
s
g t
∆⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⇒⋅
⋅ ⋅ ∆= − = − =
Vježba 513
Dva su tijela bačena sa istog mjesta okomito uvis jednakim početnim brzinama 24 m / s. Prvo
tijelo bačeno je 0.88 s ranije od drugog. Za koje će vrijeme od trenutka bacanja drugog tijela oba
tijela biti na istoj visini? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)
Rezultat: 15.5 m / s.
Zadatak 514 (Miro, gimnazija)
Dva tijela gibaju se jednoliko ubrzano pravocrtno jedno drugome u susret stalnim
akceleracijama 6 m / s2 i 4 m / s
2 i početnim brzinama 10 m / s i 15 m / s. Početna udaljenost između
njih je 750 m. Za koje će se vrijeme tijela sresti?
Rješenje 514
a1 = 6 m / s2, a2 = 4 m / s
2, v01 = 10 m / s, v02 = 15 m / s, s = 750 m, t = ?
Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz
2,
1
2s a t= ⋅ ⋅
gdje je s put tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za
vrijeme t.
Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za put s:
1 20 2
.s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅
Za vrijeme t, do susreta, tijela prevale putove:
1 12 2, .
1 01 1 2 02 22 2s v t a t s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅
Budući da je
,1 2
s s s+ =
slijedi:
možemo1 12 2 zanemariti
mjerne j01 1 02 22 edinic2 ev t a t v t a t s
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ ⇒
1 1 1 12 2 2 210 6 15 4 750 10 15 750
2 26 4
2 2t t t t t t t t⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒
2 2 2 210 3 15 2 750 10 3 15 2 750 0t t t t t t t t⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ⇒
2 2/: 5
25 25 750 0 5 25 750 0 5 150 0t t t t t t⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ + ⋅ − = ⇒
( )1 , 5 , 150 22 5 5 4 1 1505 150 0 2
4 1,2 2 11 , 5 , 1501,2 2
a b c
t tt
b b a ca b c t
a
= = = − − ± − ⋅ ⋅ −+ ⋅ − =⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ − ± − ⋅ ⋅ ⋅= = = − =
⋅
5 25
15 25 600 5 625 5 25 21,2 1,2 1,2 5 252 2 2
2 2
t
t t t
t
− + = − ± + − ± − ±
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒− − =
14
20101 12 1
20
2
30 nema fizikalnog smisla10 .
3
2
0 152
2 22
t t t st s
t st t
= = =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = = − = − = −
Vježba 514
Dva tijela gibaju se jednoliko ubrzano pravocrtno jedno drugome u susret stalnim
akceleracijama 6 m / s2 i 4 m / s2 i početnim brzinama 36 km / h i 54 km / h. Početna udaljenost
između njih je 750 m. Za koje će se vrijeme tijela sresti?
Rezultat: 10 s.
Zadatak 515 (Miro, gimnazija)
Kolikom početnom brzinom treba baciti tijelo okomito prema dolje da bi sa visine 15 m palo
na zemlju za 1 s? Otpor zraka zanemarite. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)
Rješenje 515
h = 15 m, t = 1 s, g = 9.81 m / s2, v0 = ?
Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom
akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijede izrazi:
2,
1
2h g t= ⋅ ⋅
gdje je h visina pada.
Ako tijelo ima početnu brzinu v0 tada formula za slobodni pad glasi:
1 20 2
.h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅
Računamo početnu brzinu v0.
1 12 2 22 2
0 0 0/ 2
2 2h v t g t h v t g t h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⋅ = ⇒
2 2 22 2 2 2 2 2
0 0
1/
20v t g t h v t h g t v t h g t
t⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⋅
⋅⋅ ⇒
9.81 1215
10.1 .0 2 1 2
ms
h g t m msvt s s
⋅⋅
⇒ = − = − =
Vježba 515
Kolikom početnom brzinom treba baciti tijelo okomito prema dolje da bi sa visine 150 dm
palo na zemlju za 1 s? Otpor zraka zanemarite. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)
Rezultat: 10.1 m / s.
Zadatak 516 (MaturantMSN, gimnazija)
Tijelo mase 20 kg bačeno je brzinom 12 m / s uz kosinu nagiba 30 °. Ako je koeficijent trenja
0.29, na kojoj će se udaljenosti od početka kosine zaustaviti? (ubrzanje slobodnog pada
g = 9.81 m / s2)
Rješenje 516
m = 20 kg, v = 12 m / s, α = 30°, µ = 0.29, g = 9.81 m / s2, s = ?
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.
Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
hipotenuze.
Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine
15
hipotenuze.
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo težnom silom (silom težom). Pod djelovanjem težne
sile sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku
,G m g= ⋅
gdje je G težna sila, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome
mjestu na Zemlji jednaka.
Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek
počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza
,F Ftr Nµ= ⋅
gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu
po kojoj se giba. Na vodoravnoj površini sila trenja za tijelo težine G iznosi:
.F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
Potencijalna energija je energija međudjelovanja tijela. Ona ovisi o međusobnom položaju tijela ili o
međusobnom položaju dijelova tijela. U polju sile teže tijelo mase m ima gravitacijsku potencijalnu
energiju
,E m g hgp = ⋅ ⋅
gdje je g akceleracija slobodnog pada, a h vertikalna udaljenost tijela od mjesta gdje bi prema
dogovoru tijelo imalo energiju nula.
Tijelo mase m i brzine v ima kinetičku energiju
1 2
2.E m v
k= ⋅ ⋅
Kad tijelo obavlja rad, mijenja mu se energija. Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu.
Tijelo obavlja rad W ako djeluje nekom silom F na putu s na drugo tijelo. Ako sila djeluje u smjeru
gibanja tijela, vrijedi
.W F s= ⋅
Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz
,
22
22
vv a s s
a= ⋅ ⋅ ⇒ =
⋅
gdje je v brzina tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za
vrijeme t. Ista formula vrijedi i kod jednoliko usporenog gibanja.
Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima
akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i
sila.
.F
a F m am
= ⇒ = ⋅
Drugi Newtonov poučak opisuje ponašanje tijela kad na njega djeluje određena vanjska sila F.
Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile, a obrnuto je razmjerna masi tijela.
Kutovi s međusobno okomitim kracima su sukladni.
16
αααα
αααα
1.inačica
Kada je tijelo na kosini njegovu težinu G rastavimo na dvije komponente:
• silu F1 usporednu sa kosinom koja tijelo ubrzava niz kosinu
• silu F2 okomitu na kosinu koja pritišće kosinu.
F2
F1
G
αααααααα
Sa slike vidi se:
1 1sin sin sin sin1 1
.cos cos
2 2 2 2cos c s
/
o /
F F
F G F m gG G
F F F G F m g
G G
G
G
α α α α
α αα α
= = = ⋅ = ⋅ ⋅⇒ ⇒
⋅
⇒= ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅=
Tada je sila trenja Ftr jednaka:
cos .2
F F F m gtr trµ µ α= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅
s
h
v
αααα
Iz pravokutnog trokuta čija je kateta h, a hipotenuza s pomoću funkcije sinus dobije se:
sin sin s/ in .h h
h ss s
sα α α= ⇒ = ⇒ = ⋅⋅
Rad W koji obavi sila trenja Ftr na putu s jednak je razlici kinetičke energije Ek koju tijelo ima u
17
početnom trenutku (u trenutku bacanja) i gravitacijske potencijalne energije Egp u trenutku
zaustavljanja na visini h kosine.
cos
s
1
in
2
2
FW E E F s m v m g hgp t
m
h sk
grr
t µ α
α
= ⋅= − ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
⋅ ⋅
= ⋅⇒
1 2cos sin
2m g s m v m g sµ α α⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
( )1 12 2
cos sin cos sin2 2
m g s m g s m v m g s m vµ α α µ α α⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⇒
( )( )
1 2co
1/
cos ss si
inn
2m g s m v
m g µµ α α
α α⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅⋅
+=
⋅+ ⋅ ⇒
( ) ( )
2
122
9.77 .0 02 cos sin
2 9.81 0.29 cos30 sin 302
m
v ss m
mg
s
µ α α⇒ = = =
⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ +
2.inačica
F
αααα
F1
Ftr
Sila F koja tijelo ubrzava uz kosinu po iznosu jednaka je zbroju sile trenja Ftr i komponente F1 sile
teže koja djeluje niz kosinu pa vrijedi:
cos
sincos sin
11
F F F F m gF m gtr
F mr gm gt
µ αα
αµ α= + ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅⇒
= ⋅+ ⋅
( )cos sin .F m g µ α α⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ +
Akceleracija a tijela mase m koje se giba uz kosinu pod djelovanjem sile F iznosi:
( )( ) ( )
cos sincos sin cos sin
F m gm g g
am
maF
mam
µ α αµ α α µ α α
= ⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +
⇒ = ⇒ = ⇒=
( )cos sin .a g µ α α⇒ = ⋅ ⋅ +
Budući da se tijelo giba jednoliko usporeno uz kosinu, prijeđeni put s iznosi:
( )
( )
cos sin 2
22 cos sin
2
a gv
sv gs
a
µ α α
µ α α
= ⋅ ⋅ +
⇒ = =⋅ ⋅ ⋅ +=
⋅
18
( )
2
12
9.77 .0 0
2 9.81 0.29 cos30 sin 302
m
sm
m
s
= =
⋅ ⋅ ⋅ +
Vježba 516
Tijelo mase 20 kg bačeno je brzinom 12 m / s uz kosinu nagiba 30 °. Ako je koeficijent trenja
0.29, na kojoj će se udaljenosti od početka kosine zaustaviti? (ubrzanje slobodnog pada
g = 9.81 m / s2)
Rezultat: 9.77 m.
Zadatak 517 (Marijan, tehnička škola)
Kojom brzinom treba baciti tijelo prema dolje da bi palo u dubinu 20 m za 1 sekundu prije
nego kad bi slobodno padalo? Zanemarite otpor zraka. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)
Rješenje 517
h = 20 m, ∆t = 1 s, g = 9.81 m / s2, v0 = ?
Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom
akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijedi izraz:
1 22
2,
hh g t t
g
⋅= ⋅ ⋅ ⇒ =
gdje je h visina pada.
Ako tijelo ima početnu brzinu v0 tada formula za slobodni pad glasi:
1 20 2
.h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅
Neka je t vrijeme za koje tijelo slobodno padne u dubinu h.
1 22. .
2
hh g t t
g
⋅= ⋅ ⋅ ⇒ =
Kada ga bacimo brzinom v0 u dubinu h, past će za ∆t prije nego kad bi slobodno padalo.
( ) ( ) ( ) ( )1 12 2
0 02 2h v t t g t t v t t g t t h= ⋅ −∆ + ⋅ ⋅ −∆ ⇒ ⋅ −∆ + ⋅ ⋅ −∆ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )1 12 2
0 02 2
1/v t t h g t t v t t h
t tg t t⇒ ⋅ −∆ = − ⋅ ⋅ − ∆ ⇒ ⋅ − ∆ = − ⋅ ⋅−∆
− ∆⋅ ⇒
( )
21 21 222
0 0
2
2
ht
g
hh g th g t t g
v vt t h
tg
⋅− ⋅ ⋅ −∆ − ⋅ ⋅ −∆ ⇒ = ⇒ ⇒ = =
−∆ ⋅
⋅=
−∆
2
1 2 2020 9.81 1
229.81
214.62 .
2 201
9.812
m mm s
ms
ms
sms
m
s
⋅ − ⋅ ⋅ −
= =⋅
−
19
Vježba 517
Kojom brzinom treba baciti tijelo prema dolje da bi palo u dubinu 200 dm za 1 sekundu prije
nego kad bi slobodno padalo? Zanemarite otpor zraka. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)
Rezultat: 14.62 m / s.
Zadatak 518 (Marijan, tehnička škola)
Tane i zvuk koji je pritom nastao dopru istodobno do visine 510 m. Kolikom je brzinom izašlo
tane iz cijevi, ako je brzina zvuka 340 m / s? Otpor zraka zanemarimo. (ubrzanje slobodnog pada
g = 9.81 m / s2)
Rješenje 518
h = 510 m, v = 340 m / s, g = 9.81 m / s2, v0 = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz
,s
s v t vt
= ⋅ ⇒ =
gdje je s put tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo stalnom, konstantnom brzinom v za
vrijeme t.
Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici.
Vertikalni hitac uvis je gibanje složeno od jednolikog pravocrtnoga gibanja prema gore i
slobodnog pada prema dolje. Visina h u času kad je prošlo vrijeme t dana je izrazom
1 20 2
,h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅
gdje je v0 početna brzina.
Neka je t vrijeme za koje tane i zvuk koji je pritom nastao dopru istodobno do visine h. Zvuk se širi
stalnom brzinom v i vrijedi
,h v t= ⋅
a tane se giba jednoliko usporeno pa je
1 2.
0 2h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅
Iz sustava jednadžbi dobijemo brzinu v0.
1 12 21 20 02
1/
2 0 2
h v t v t h v t h
h v t g t h v t g th v t g t
v⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ =
⇒ ⇒ ⇒= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅ − ⋅ ⋅
( )
metoda zamjene
supstituc
21
01 ij
0 2
e 22
ht
h hvh v g
v vh v t g t
=
⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
= ⋅ − ⋅ ⋅
2 2 21 1 1
0 0 0 22 2 2
h h h h h hv g h v h g v h g
v v v v v v
⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒
2 21 1 1
0 0 02 22 2/
22
2h h v h v v h
v h g v h g v gv h hv v
v vh
h h v h⇒ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⇒
1 1 510340 9.81 347.36 .
0 22 2340
h m m m mv v g
mv s sss
⇒ = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ =
20
Vježba 518
Tane i zvuk koji je pritom nastao dopru istodobno do visine 0.51 km. Kolikom je brzinom
izašlo tane iz cijevi, ako je brzina zvuka 340 m / s? Otpor zraka zanemarimo. (ubrzanje slobodnog
pada g = 9.81 m / s2)
Rezultat: 347.36 m / s.
Zadatak 519 (Tonka, medicinska škola)
Stojeći na koturaljkama učenik mase 60 kg odgurnuo se od zida tako da je dobio brzinu 2 m / s
u vremenu dodira 0.6 s. Kolika je sila ''odguravanja''?
Rješenje 519
m = 60 kg, v = 2 m / s, t = 0.6 s, F = ?
Ako je početna brzina nula, za tijelo mase m na koje je za vrijeme t djelovala sila F vrijedi:
,F t m v⋅ = ⋅
gdje je v brzina na kraju vremenskog intervala t za koji je sila djelovala. Umnožak
I F t= ⋅
zovemo impulsom sile F, a umnožak p m v= ⋅
količinom gibanja mase m.
Tražena sila iznosi:
60 2
200 .0.
1/
6
mkg
m v sF t m v F t m v F Ntt s
⋅⋅
⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = =⋅ =
Vježba 519
Stojeći na koturaljkama učenik mase 50 kg odgurnuo se od zida tako da je dobio brzinu 3 m / s
u vremenu dodira 0.5 s. Kolika je sila ''odguravanja''?
Rezultat: 300 N.
Zadatak 520 (Emaa, srednja škola ☺☺☺☺)
Vozač automobila počinje kočiti. Prilikom kočenja smanjuje brzinu ubrzanjem 2 m / s2.
Nakon 20 s automobil se zaustavi. Koliku je brzinu imao u trenutku kada je počeo kočiti? Koliki je
put prešao?
Rješenje 520
a = 2 m / s2, t = 20 s, v0 = ?, s = ?
Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijede izrazi
, , ,1 12
2 2v a t s a t s v t= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano
akceleracijom a za vrijeme t.
Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijede formule za trenutačnu
brzinu v i put s:
1 20 0
,2
.v v a t s v t a t= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅
1.inačica
Kada bismo snimili kamerom zaustavljanje automobila i nakon toga pustili snimljenu vrpcu unatrag
što bismo vidjeli? Automobil bi se gibao, doduše, unatrag, ali jednoliko ubrzano s jednakom
vrijednošću akceleracije kojom je u stvarnosti usporavao. Pritom bi prešao isti put za isto vrijeme i
postigao brzinu kojom se počeo usporavati. Brzina koju je automobil imao u trenutku kada je počeo
kočiti iznosi:
21
2 20 40 .0 2
m mv a t s
ss
= ⋅ = ⋅ =
Za to vrijeme automobil prijeđe put
( )1 1 22
2 20 400 .22 2
ms a t s m
s
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Ili ovako:
1 140 20 400 .
02 2
ms v t s m
s= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
2.inačica
U trenutku zaustavljanja trenutačna brzina v automobila jednaka je nuli pa vrijedi:
0 0 2 20 40 .0 0 20
v v a t m mv a t v a t s
sv s
= − ⋅⇒ − ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =
=
Prijeđeni put iznosi:
( )1 1 22
40 20 2 20 400 .0 22 2
m ms v t a t s s m
s s
= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =
Vježba 520
Vozač automobila počinje kočiti. Prilikom kočenja smanjuje brzinu ubrzanjem 2 m / s2.
Nakon 10 s automobil se zaustavi. Koliku je brzinu imao u trenutku kada je počeo kočiti?
Rezultat: 20 m / s.