Лекция №2 Механика

Кинематика материальной точки

15/02/2014

Алексей Викторович Гуденко

Кинематика

Ньютоновская (классическая) нерелятивистская механика.

Механическое движение. Кинематика точки. Основные понятия кинематики – путь,

перемещение, скорость, ускорение. Основная задача кинематики. Преобразование Галилея и закон сложения

скоростей. Примеры решения задач кинематики.

Демонстрации

Свободное падение тел в вакууме Жёлоб Галилея.

КинематикаОсновные понятия

Кинематика занимается описанием движения без выяснения причин, его вызывающих.

Система отсчёта: тело отсчёта + система координат + часы

Единица длины – метр (м); единица времени – секунда (с)

Модели: 1. материальная точка – тело, размерами которого при

описании движения можно пренебречь.2. абсолютно твёрдое тело – тело, деформациями

которого в условиях задачи можно пренебречь.

Классическая нерелятивистская механика – это механика макроскопических тел, движущихся с малыми скоростями.

Характерные скорости и массы

Скорость света: c = 300000 км/с = 3 108 м/с = 3 1010 см/с Скорость космического аппарата: v ~ 10 км/с. Скорость орбитального движения Земли: v ≈ 30 км/с. Погрешность: (v/c)2 ~ 10-9 ÷ 10-8

Протон в ускорителе: Δv = |v –c| ~ 1см/с;Электрон в ускорителе: Δv = |v –c| ~ 0,1мм/с – к таким частицам ньютоновская механика неприменима: Ускоритель рассчитывается по законам релятивистской механики.

Масса протона mp = 1,67 10-27 кг = 1,67 10-24 г Масса электрона me = 9,11 10-31 кг = 0,911 10-27 г

Природа квантовых флуктуаций – принцип неопределённости

Один из основополагающих законов физики - принцип неопределенности Гейзенберга: невозможно одновременно точно установить скорость частицы и ее положение.

Масштаб неопределённости: произведение неопределенности скорости ΔVx (импульса) частицы на неопределенность ее положения Δx должно всегда превышать очень маленькую величину, которая называется постоянной Планка.

Соотношение неопределённости Гейзенберга

Δx Δp ≥ h Δx Δv ≥ h/m (теория: Δx Δp ≥ ћ/2) h = 6,62 10-34 Дж с = 6,62 10-27 эрг с ћ = h/2π = 1,055 10-27 эрг с. m ~ 1г Δx Δv ≈ 1,055 10-27

Δx ~ 10-13 см; Δv ~ 10-13 см/c Для электрона: Δx Δv ~ 1(СГС)

– в атоме: Δx ~ 10-8 см; Δv ~ 108 см/c !!!– в электронно-лучевой трубке:

Δr ~ 0,1 мм = 10-2 см; Δv ~ 100 см/cU ~ 10 кВ v = 5 109 см/с; Δv/v = 10-7

Кинематики материальной точки

Описать движение материальной точки означает указать её положение в пространстве в любой момент времени, т.е. установить закон движения материальной точки.

координатный способ: x = x(t); y = y(t); z = z(t) – три степени свободы материальной точки

векторный способ: r = r(t) – радиус-вектор

Траектория движения тела – линия, которую описывает тело в процессе движения

Путь – длина траектории s. Перемещение – вектор, соединяющий

начальное положение точки с конечным: Δr = r – r0

Для малых перемещений Δr ≈ Δsττ – единичный вектор вдоль Δr

X

Y

xx0

y

y0

r0 r(t)

Δr

траектория

перемещение

X

Y

xx0

y

y0

r0 r(t)

Δr

траектория

перемещение

Скорость и ускорение

Скорость:v = dr/dt = τ ds/dt = vτ – скорость направлена по касательной к траектории в сторону движения

Ускорение:a = dv/dt = d(vτ)/dt a = dv/dt τ + v2/R n

aτ = dv/dt – тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения величины скорости

an = v2/R – нормальная составляющая ускорения направлена по нормали в сторону вогнутости и характеризует быстроту изменения направления скорости. (R – радиус кривизны траектории).

Полное ускорение a2 = an

2 + aτ2

Скорость и ускорение

Y

an

aτ

av

v2

v1

Δv

v1

v2

Δvτrr + dr

dr = sτ

X

v Δvn

0

Уравнение движения с постоянным ускорением

a = const dv/dt = a v = v0 + at – закон изменения скорости

при равноускоренном движении dr/dt = v0 + at r = r0 + v0t +at2/2

s = r - r0 = v0t +at2/2 – закон равноускоренного

движения

Свободное падение

Все тела, независимо от их массы приобретают в гравитационном поле одинаковые ускорения (Галилей).

В поле тяжести Земли тела движутся с постоянным ускорением g = 9,8 м/с2

V = V0 + gt r = r0 + v0t +gt2/2

Жёлоб Галилея и закон нечётных чисел

S1: S2: S3…= 1:3:5…

S = S1 + S2 + S3 + …= at2/2

Бросок под углом к горизонту

v0t sinα = gt2/2 время полётаt = 2v0sinα/g

Дальность полёта:s = Δr = v0tcosα = v0

2sin2α/g

Максимальная высота подъёма:h = gt2/8 = v0

2sin2α/2g

Радиус кривизны в верхней точке траектории:an = g = (v0cosα)2/r r = (v0cosα)2/g = 2hctg2α

Движение по окружности

ω = dφ/dt – угловая скорость. Вектор ω – направлен вдоль оси вращения по правилу буравчика.

ε = dω/dt - угловое ускорение v = [ωr] aτ = εr – тангенциальное ускорение;

an = ω2r = v2/r; an = -ω2r – центростремительное ускорение

T = 2π/ω – период обращения; f = 1/T – частота вращения.

Относительность движения Закон сложения скоростей

K′ поступательно движется относительно системы К r = r0 + r′

v = v0 + v′ классический (нерелятивистский) закон сложения скоростей:абсолютная скорость тела v равна векторной сумме относительной скорости v′ и переносной скорости v0 движущейся системы отсчёта

a = a0 + a′ a0 = 0 a = a′

при равномерном и прямолинейном движении СО относительно друг друга (v0 = const) ускорение тела в этих двух системах одинаково

r0

r

X

Y

X′

Y′

A

r′

K - системаK′ - система

O

O′

r0

r

X

Y

X′

Y′

A

r′

K - системаK′ - система

O

O′

Колесо

x = v0t + Rsinωty = R + Rcosωt

vx = x’ = v0 + ω Rcosωt = v0(1 + cosωt)vy = y’ = - ωRsinωt = - v0sinωt

Отсутствие проскальзывания: vx(φ = π) = 0 v0 = ωR

v2 = vx2 + vy

2 = 4v02cos2φ/2 v = 2v0cosφ/2 = ωDcosφ/2 =

ωAB радиус кривизны: a = a’ a = an = v0

2/R = (2v0)2/rкр rкр = 4R

Циклоида: x = R(φ + sinφ) y = R(1 + cosφ)

Радиус кривизны в вершине циклоиды: r = 4R

Тень бежит по скале: закон движения?

h(t) = R/cosφ – R ≈ R(1/(1 – ½φ2) – 1) ≈ φ2R/2 = ω2Rt2/2 = aэквt2/2

aэкв = ω2R = vэкв

2/R = 3,4 см/с2 h = 1 км

t = (2h/aэкв)1/2 ≈ 4 мин.

Примеры и задачи

Задача про колесо (№ 1.6) Задача про Лунную тень (№ 1.5) Венерианские сутки (№ 1.3) Скала на экваторе (1.12): за какое время километровая

скала на экваторе закроется тенью? Жёлоб Галилея(закон нечётных чисел): s1 : s2 : s3…=

1:3:5… Свободное падение: s = v0t + gt2/2: уравнение траектории;

время полёта; дальность полёта; максимальная высота, кривизна траектории (R = (x’2 + y’2)3/2/(x’y’’ – x’’y’) = (1 + y’2)3/2/y’’)

Стрелок и яблоко. Куда должен целиться стрелок, если яблоко отрывается в момент выстрела?

Эйнштейн о соотношении неопределённости

«Но ведь не гадает же господь Бог «орёл-решка», чтобы решить куда должен двигаться электрон!»

АльбеX рт ЭйнштеX йн (Albert Einstein) (1879 -1955) 

физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики,

лауреат Нобелевской премии по

физике 1921 года.