Upload
molly
View
120
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
國立臺灣海洋大學 河海工程學系. A Novel Perturbed Dynamical Newton-Like Methods for Solving Singular Initial Conditions problem of Nonlinear Equations. 蔡勇賢 博士班 2 年級. 2013 / 01 / 17. 緒論. 常見的數值方法如牛頓法,在 Jacobian 矩陣為奇異系同時,會遭遇到無法做反矩陣求解的問題。 - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
2
Perturbed Scalar Homotopy Algorithm (PSHA)
• PSHA 由顧承宇老師在 2012年所提出。
• 本法建立在純量同倫上,藉由引入攝動理論,用來解決當 Jacobian矩陣為奇異系統之非線性代數方程的問題。
]x)[F(xxFxB[]x)[F(xxFxB
xFxx 0
T
0T
kkkt
kkkt
kt
kk ee
eht
)()(
)()(2
)(2
2
1
3
Dynamical Newton-Like Method (DNM)• 由顧承宇老師在 2012 年所提出。
• DNM 是以純量同倫為基礎而發展出來的新方法。
• 其中 T = I 、 B-1 、 BT可以將其轉變為 DNM 、 DJIFM 與MBECA 。
)()(
)()()()(
)(
12
2
1 kkkkkk
k
mkk
t
htvxFxT
xFxTxBxF
xFxx
T
4
Perturbed Dynamical Newton-Like Methods
(P-DNM) 引入攝動理論的 DNM 法• 考慮一方程式 並將其轉換為純量
• 現將固定點牛頓同倫轉換為純量式
0xF
,02 xF 022
22
1
2 nxFxFxF xF
0)F(xF(x)xH 0 )1()( ,
0)1(2
1
2
1)(
22 )F(xF(x)x 0,h ]1,0[
5
• 引入擬時間函數
• 利用攝動理論,添加一極小的參數
• 考慮一致性條件
)(tQ
02
1)(
2
1)(
22 )F(xF(x)x 0tQ,th
02
1
2
1,
22 x)F(xxFx 0 tQth
0
dt
dh
t
h
dt
dh x
x 2)(
2
1F(x)tQ
t
h
xxFF(x)Bx
T
0)(tQh
6
• 令
• 其可能解為
• 可知
dt
dxx
xTFx
xFTxxFxFB
xFT
0T
2
2
tQ
tQ
其中 B 為 Jacobian 矩陣, T 可為 BT 、 B-1 、單位向量 I 或任何 n ×n 之矩陣
其中 B 為 Jacobian 矩陣, T 可為 BT 、 B-1 、單位向量 I 或任何 n ×n 之矩陣
7
• 本研究中令 T = I ,可得
• 再令
• 代回上式
xFxFxxFxFB
xFx T
0T
2
2
tQ
tQ
tt etQetQ )()(
xF
xFx])[F(xxFB
xFx
0
TT
2
)(2
)(
t
t
e
e
8
• 利用尤拉向前差分可將其改寫為疊代方程式
• 其中 ht 為虛擬時間步長、 ε 為一微小之值 ( 攝動參數 )
)()()()(
)(
2 TT
2
1 k
kkkkt
kt
kk
e
ehtxF
xF]x)[F(xxFxB
xFxx
0
9
• B.C.
• 有限差分離散
1,50
8,1
hx
hx
02 222
11
iiihhh
150
2
2
15050
49
48
3
2
1
50505049
504948
494847
432
321
21
1
0
0
0
0
8
2000000
200000
020000
000020
000002
0000002
h
h
h
h
h
h
hh
hhh
hhh
hhh
hhh
hh
02
02
22
Ndx
hdKh控制方程式
10
現利用 PDNM 與 PSHA 做比較 令 K = 2 、 N = 1×10-3
• 給予的參數為
• 當 x0 = 0 時,收歛步數為
擬時間步長 ht = 1×10-3
攝動參數 ε = 1×10-3
收斂誤差 1×10-5
PDNM 36158
PSHA 60000 步無法收斂
11
以 PDNM 之數值解與解析解做比較
12
13