Прикладная физика и математика 2014 №4

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

И МАТЕМАТИКА

APPLIED PHYSICS AND MATHEMATICS

4

∙ 2

01

4

ISSN 2307-1621

Учредители: ООО «Научтехлитиздат» ООО «Мир журналов»Журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор)

Свидетельство о регистрации: СМИ ПИ ФС77-50415 от 25.06.2012 г.

Подписные индексы: ОАО «Роспечать» 83190«Пресса России» 10363

Главный редактор: Академик РАН А.Н. Лагарьков

Зам. главного редактора д-р физ.-мат. наук А.Л. Рахманов

Редакция: В.Б. Гончарова, Н.Н. Годованец, Е.А. Боброва, И.Ю. Шабловская, В.С. Сердюк

Редакционная коллегия:Гуляев Ю.В., акад. РАН, (Россия)Загородный А.Г., акад. РАН и НАН Украины, (Украина)Лагарьков А.Н., акад. РАН, (Россия)Сигов А.С., акад. РАН, (Россия)Трубецкой К.Н., акад. РАН, (Россия)Хомич В.Ю., акад. РАН, (Россия)Щербаков И.А., акад. РАН, (Россия)Колачевский Н.Н., чл.-корр. РАН, (Россия)Силин В.П., чл.-корр. РАН, (Россия)Трубецков Д.И., чл.-корр. РАН, (Россия)Белоконов И.В. д-р техн. наук, проф., (Россия)Волошин И.Ф., д-р техн. наук, проф., (Россия)Галченко Ю.П., д-р техн. наук, (Россия)Громов Ю.Ю., д-р техн. наук, проф., (Россия)Джанджгава Г.И., д-р техн. наук, проф., (Россия)Джашитов В.Э., д-р техн. наук, проф., (Россия)Зоухди С., д-р наук, проф., (Франция)Калинов А.В., д-р техн. наук, проф., (Россия)Карась В.И., д-р физ-мат наук, проф., (Украина)Кейлин В.Е., д-р техн. наук, проф., (Россия)Ковалев К.Л., д-р техн. наук, проф., (Россия)Красильщик И.С., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Кусмарцев Ф.В., д-р философии, проф., (Англия)Кушнер А.Г., д-р физ-мат. наук, (Россия)Литвинов Г.Л., канд. физ.-мат. наук, (Россия)Лошак Ж., д-р философии, проф., (Франция)Лычагин В.В., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Первадчук В.П., д-р техн. наук, проф., (Россия)Рахманов А.Л., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Реутов В.Г., д-р техн. наук, (Россия)Романовский В.Р., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Рухадзе А.А., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Рыбин В.М., д-р техн. наук, проф., (Россия)Самхарадзе Т.Г., д-р техн. наук, проф., (Россия)Сихвола А., д-р наук, проф., (Финляндия) Уруцкоев Л.И., д-р физ-мат наук, проф., (Россия)Цаплин А.И., д-р техн. наук, проф., (Россия)Шалае В., д-р наук, проф., (США)Щелев М.Я., д-р физ.-мат. наук, (Россия)Фишер Л.М., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)

Дизайн и верстка: Б.Е. ГолишниковСтатьи, поступающие в редакцию, рецензируютсяАдрес редакции:

107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2, редакция журнала «Прикладная физика и математика»Тел.: 8 (985) 233-07-98, E-mail: [email protected]Подписано в печать 17.07.2014 г.Формат 60х88 1/8. Бумага мелованная матоваяПечать офсетная. Усл.-печ. л. 16,4. Уч.-изд. л. 16,9. Заказ ПФ-110. Тираж 420 экз.

Издатель: ООО «Научтехлитиздат», 107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2Оригинал-макет и электронная версия подготовлены ООО «Научтехлитиздат»Отпечатано в типографии ООО «Научтехлитиздат»107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2Тел.: 8 (499) 168-21-28

Содержание

ISSN 2307-1621 4 ∙ 2014НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ

ПРикЛАдНАя физикА и мАтемАтикА


Л.И. УруцкоевА.В. Чесноков

Возникновение и развитие дистанционных методов дозиметрии 3

А.Л. ГалиевР.Г. ГалиеваА.Ф. Шишкина

Анализ детектора огибающей устройства ослабления акустической обратной связи 20

ВЫСТАВКИ 24

КОНФЕРЕНЦИИ 26

ПРИКЛАДНАЯ мАтемАтИКА

С.Н. Чуканов

Определение потенциальной компоненты векторного поля системы управления на основе построения оператора гомотопии 40

В.Л. Вольфсон

Вероятностные свойства некоторых последовательностей на конечном интервале натурального ряда 47

ИСтОРИЯ

ФИЗИКИ И мАтемАтИКИ

Б.А. Кушнер

О А.Н. Колмогорове, В.А. Успенском и других крупнейших математиках мехмата МГУ времен «оттепели» 57

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

Founder and Publisher: Ltd. The Publishing House«Nauchtehlitizdat»LLC «World magazines»The journal is registered the Federal Service for Supervision of Communications, Information Technology and Communications (Roskomnadzor)

Certificate of Registration of Media: PI ФС77-50415 from 25.06.2012

Subscription numbers: The Public Corporation «Rospechat» 83190«Pressa Rossii» 10363

Editor in Chief: А.N. Lagarkov, acad. RAS

Deputy Editor in chief: А.L. Rahmanov, Doctor of Phys.-Math. Sciences

Editorial Staff: V.B. Goncharova, N.N. Godovanec, E.A. Bobrova, I.Ju. Shablovskaja, V.S. Serdjuk

Editorial Board:Belokonov I.V. (Russia)Caplin A.I. (Russia)Dzhandzhgava G.I. (Russia) Dzhashitova V.Je. (Russia) Fisher L. (Russia)Galchenko Ju.P. (Russia) Gromov Ju.Ju. (Russia) Guljaev Ju.V. (Russia)Homich V.Ju. (Russia)Kalinov A.V. (Russia) Karas' V.I. (Ukraine) Kejlin V.E. (Russia)Kolachevskij N.N. (Russia) Kovalev K.L. (Russia)Krasil'shhik I.S. (Russia) Kushner A.G. (Russia) Kusmartsev F.V (England) Lagarkov A.N. (Russia)Litvinov G.L. (Russia) Loshak Zh. (France) Lychagin V.V. (Russia) Rahmanov A.L. (Russia) Pervadchuk V.P. (Russia) Reutov V.G. (Russia)Romanovskij V.R. (Russia)Rukhadze A.A. (Russia)Rybin V.M. (Russia) Samkharadze T.G. (Russia)Shalae V. (USA) Shelev M.J. (Russia)Sherbakov I.A. (Russia)Sigov A.S. (Russia)Sihvola А. (Finland) Silin V.P. (Russia)Trubeckoj K.N. (Russia)Trubeckov D.I. (Russia)Uruckoev L.I. (Russia)Voloshin I.F. (Russia) Zagorodnyj A.G. (Ukraine) Zouhdi S. (France)

Design, Make-Up: B.E. GolishnikovArticles submitted articles are reviewedEditorial office address:

107258, Moscow, Alymov per., 17, bldg. 2 editors «Applied Physics and Mathematics»Phone: 8 (985) 233-07-98E-mail: [email protected] to the press: 17.07.2014 г.Format 60х88 1/8. Matt coated paperOffset printing. Conv. printer’s sheets 16,4. Uch.-ed. l. 16,9. The order ПФ-110. Circ. 420 экз. The layout and the electronic version of the journal are made by ltd. The Publishing House «Nauchtehlitizdat»Printed in ltd. The publishing house «Nauchtehlitizdat» 107258, Moscow, Alymov per., 17, bldg. 2Phone: 8 (499) 168-21-28

Content

SCIENTIFIC JOURNALISSN 2307-1621 4 ∙ 2014

AppLIEd phySICS ANd MAThEMATICS

APPLIED PHYSICS

L.I. Urutskoev A.V. Chesnokov

Occurrence and development of remote sensing methods of dosimetry 3

А.L. Galiev R.G. Galieva А.F. Shishkina

Analysis of the envelope detector device attenuation of acoustic feedback 20

EXHIBITION 24

CONFERENCE 26

APPLIED MAtHEMAtICS

S.N. Chukanov

Determination of potential component of the vector field of control system by constructing a homotopy operator 40

V.L. Vol'fson

Probabilistic properties of some sequences on a finite interval of the natural numbers 47

HIStORY OF

PHYSICS AND MAtHEMAtICS

B.A. Kushner

About A.N. Kolmogorov, V.A. Uspenskiy and the other prominent mathematicians from «Mechmath» of MGU of the so-called «thaw» epoque 57

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014 3

ПРикЛАдНАя физикА

Л.И. УРУцКоеВ – доктор физ.-мат. наук Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации (РАНХ и ГС), мФтИE-mail: [email protected]А.В. ЧеСНоКоВ – доктор техн. наук ФГБУ Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

ВОЗНИКНОВеНИе И РАЗВИтИе ДИСтАНцИОННыХ метОДОВ ДОЗИметРИИ

Настоящая работа посвящена истории развития дистан-ционных методов дозиметрии и соответствующих средств измерения. В работе кратко изложены теоретические основы методов и приведено значительное количество примеров практического использования методов дистан-

ционной дозиметрии для решения конкретных задач. Дан краткий обзор современного состояния данной области дозиметрии.Ключевые слова: поток γ-квантов, распределение γ-ак-тивности, коллиматор, гамма-визор, чернобыльская авария.

L.I. URUtSKoEV – Professor of MPhtI, Doctor of Phys.-Math. Sciences the Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (RANEPA) E-mail: [email protected]. ChESNoKoV – Doctor of tech. Sciences, National Research Center «Kurchatov Institute»

OCCuRRENCE AND DEvELOPMENt OF REMOtE SENSINg MEtHODS OF DOSIMEtRY

This paper is devoted to history of development of remote methods of dosimetry and appropriate means of measurement. In the article, a theoretical basis of methods is briefly stated and examples of practical application of these methods for the

solution of specific tasks are given. The short review of a current state of this area of dosimetry is given.Keywords: γ-ray flux, distribution of γ-activity, gamma-vizor, collimate, the Chernobyl disaster.

1. ВведениеМетоды и средства дистанционного определения уровней радиоактивного загрязнения, основанные на измерении потоков фотонного ионизирующего излучения, в настоящее время получили широкое распространение во всем мире [1–4]. Толчком к развитию этих методов послужила авария, про-изошедшая в 1986 году на Чернобыльской АЭС (ЧАЭС). Авария носила катастрофический харак-тер и сопровождалась выбросом за пределы актив-ной зоны реактора всего ядерного топлива, вме-сте с накопленными продуктами деления. Выброс гигантского количества радионуклидов привел к появлению радиационных полей с уровнями мощ-ностей доз, которые представляли опасность для жизни и здоровья людей, привлеченных к работам по ликвидации аварии. Это касалось персонала, ра-ботающего как в помещениях самой атомной стан-ции, так и на территории непосредственно к ней прилегающей.

Высокий уровень радиационных полей и бес-прецедентный масштаб радиоактивного загрязне-ния потребовали поиска новых физических прин-ципов, позволяющих обнаруживать радиоактивные источники со значительного расстояния, а также разработки дистанционных методов дозиметрии. Первоначально для решения возникшей задачи рас-сматривалось несколько физических принципов, основанных на регистрации: инфракрасного излу-чения, ультрафиолетового излучения и гамма-из-лучения. Наиболее плодотворным оказался метод, основанный на дистанционной регистрации пото-ков γ-излучения в ограниченном телесном угле. Для детектирования потока γ-излучения, ограниченного углом коллимации прибора используется либо по-зиционно-чувствительный детектор – прибор для визуализации γ-источников излучения (гамма-ви-зор) [1, 3, 5–8], либо спектрально-чувствительный детектор – радиометрические приборы (гамма-ло-катор) [2, 9, 10]. Областью применения разработан-ных методов является контроль и прогнозирование

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014 ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 20144


изменения радиационной обстановки в процессе проведения различных работ на радиационно-опас-ных объектах атомной энергии, как в процессе их эксплуатации, так и в процессе их ликвидации или вывода из эксплуатации.

2. Методы визуализации источников фотонного ионизирующего излученияНа первой стадии работ по ликвидации последствий аварии (ЛПА) на ЧАЭС, одним из наиболее важных вопросов являлось обнаружение мест расположения ядерного топлива, с целью определения его подкри-тичности. В предположении, что в местах скопления топлива должна наблюдаться наиболее значимая γ-активность, задача сводилась к поиску и визуали-зации областей наиболее интенсивного γ-излучения. Не менее важной являлась и задача поиска и иден-тификации ярких точечных источников γ-излучения, удаление которых могло привести к существенному улучшению радиационной обстановки и снижению воздействия γ-излучения на персонал, выполняю-щий радиационно-опасные работы. Для решения этих задач был разработан прибор, который был на-зван гамма-визором.

В основу работы гаммавизора был положен прин-цип формирования γ-изображения с помощью каме-ры-обскуры (см. рис. 1). γ-изображение, сформиро-ванное входным коллиматором камеры-обскуры 1, конвертируется в видимый свет с помощью сцинтил-лятора 2. Далее, световое изображение, усиливается с помощью электронно-оптического преобразователя (ЭОПа) 4. Толстое свинцовое стекло 5, которое игра-ет роль защиты от рассеянных γ-квантов, позволяло наблюдать γ-изображение на экране ЭОПа, либо ви-зуально, непосредственно глазом, либо регистриро-вать его помощью телекамеры на видеомагнитофон.

Фоновое γ-излучение, попадающее на детектиру-ющую часть прибора через боковые поверхности, минуя коллиматор камеры-обскуры, существенно ослаблялось толстой свинцовой или урановой защи-той, закрывавшей сцинтиллятор и ЭОП со всех сто-рон. Для сохранения пространственного разрешения γ-изображения при его конверсии в свет, в качестве позиционно-чувствительного детектора в гаммави-зоре используется, либо тонкий (~0,5 мм) сцинтил-лятор, либо матричный сцинтиллятор (см. рис. 2а) толщиной ~5 мм.

Матричный сцинтиллятор представлял собой прямоугольный массив светоизолированных ячеек, изготовленных из CsI(Tl). Светоизолирующие пере-городки между ячейками изготавливались из спла-ва Вуда. Таким образом, матричный сцинтиллятор был эквивалентен набору большого количества независимых детекторов (см. рис. 2а). Простран-ственное разрешение матричного сцинтиллятора определялось размером отдельной ячейки и не за-висело от толщины кристалла. Оптимизация кон-трастности и световыхода в матричном детекторе проводилась прямым численным моделированием рассеяния и поглощения γ-квантов в трехмерной среде, с помощью метода Монте-Карло. Из рисун-ка 2б видно, что рассеянные в центральной ячей-ке γ-кванты создают «серый» равномерный фон в остальных ячейках конвертора, интенсивность ко-торого не превышает 2% от интенсивности в цен-тральной ячейке.

Для проведения работ по ЛПА на ЧАЭС было разработано и изготовлено несколько вариантов гаммавизора: ручной (вес ~35 кг); для установки на вертолет (вес ~ 2 тонн); для установки на бронетран-спортер (вес ~300 кг). Различные варианты гаммави-зора отличались друг от друга толщиной защиты и способом записи информации. Требования к коэф-

РИС. 1 • Схема гамма-визора. 1 – урановый коллиматор; 2 – матричный сцинтиллятор; 3 – свинцовая защита;

4 – электронно оптические преобразователи; 5 – свинцовое стекло.

РИС. 2 • а) – внешний вид матричного сцинтиллятора; б) – контрастность светового изображения при

условии поглощения γ-излучения в одной ячейке.

Рис. 1. Схема гаммавизора. 1 - урановый коллиматор; 2 - матричный сцинтиллятор; 3 -

свинцовая защита; 4 - электронно оптические преобразователи; 5 - свинцовое стекло.

а)

б)

Рис. 2. а) – внешний вид матричного сцинтиллятора; б) – контрастность светового

изображения при условии поглощения гамма-излучения в одной ячейке.

ба



фициенту ослабления γ-излучения боковой защитой определяются из условия того, чтобы количество γ-квантов прошедших сквозь коллиматор камеры об-скуры и зарегистрированное ячейкой сцинтиллятора, превышало количество γ-квантов прошедших через все боковые поверхности защиты и поглотившиеся в этом же элементе изображения. Таким образом, при изотропном распределении γ-источников, коэффици-ент ослабления должен составлять К >> 4π/Ω ≈ 104. Чтобы выполнить это условие для энергии γ-квантов Е = 700 кэв, средняя толщина свинцовой защиты должна составлять Δ ~ 8 см, что конечно же было не-возможно обеспечить в ручном варианте прибора.

При поиске γ-активных источников, проблема визуализации обнаруженного γ-источника является не менее важным вопросом, чем задача получения γ-изображения самого источника. Поскольку гамма-визор позволяет обнаруживать γ-источники с рассто-яния в десятки и сотни метров, то, учитывая масштаб разрушений строительных конструкций, произо-шедший в момент аварии на ЧАЭС, сопоставление γ-изображения с реальным объектом представлялась особенно актуальным. Для решения этой проблемы, половина матричного сцинтиллятора была удалена, а перед камерой обскуры была установлена тонкая длиннофокусная линза. Линза не являлась сколь-нибудь значительной преградой для γ-квантов, но формировала в плоскости фотокатода ЭОПа опти-ческое изображение предметов, попадающих в теле-сный угол камеры обскуры. Таким образом, поле зрения прибора было разделено на две половины. На одной из них регистрировалось γ-изображение объекта, а другая половина использовалась как опти-ческий канал. Для визуализации γ-источника доста-точно было, путем поворота прибора, переместить наиболее яркий фрагмент гамма-изображения на границу оптического поля.

В августе – сентябре 1986 г. активно использова-лась вертолетная версия гаммавизора, с помощью ко-торой было получено изображение засыпки реактор-ного зала разрушенного блока [7]. Гамма-визор был ориентирован относительно оси вертолета таким образом, чтобы при движении вертолета оптическое изображение переходило в γ-изображение (на фото-кадре рисунка 3 вертолет двигался справа-налево). На рисунке 3 представлено изображение крышки ре-актора (схема «Е»), полученное с помощью гамма-визора при сканировании развала центрального зала разрушенного реактора. В результате проведенного сканирования было установлено, что в развалинах центрального зала наблюдается только два интенсив-ных источника γ-излучения: бассейн выдержки отра-ботанного топлива и схема «Е».

В ходе широкомасштабных работ по улучшению радиационной обстановки на территориях, прилега-ющих к аварийному реактору, которые проводились в сентябре – ноябре 1986 года, использовался вари-ант гаммавизора, установленного на БТР. Эта версия гаммавизора имела двух координатное сканирующее устройство, управлялась из кабины БТР и записыва-ла изображение на ПЗС камеру. Данная версия при-бора использовалась при работах по удалению ис-точников γ-излучения и радиоактивных загрязнений: на территориях между 3-им и 4-ым блоками станции; вблизи хранилища отработавшего ядерного топли-ва; на территории примыкающей к IV машинному залу. В качестве примера на рисунке 4 представлено γ-изображение западной стены объекта «Укрытие», полученное осенью 1986 г.

В то время работы по строительству объекта «Укры-тие» близились к завершению и территория вокруг 4-го блока была отсыпана слоем гравия, толщина кото-рого местами доходила до 3–6 м. Но несмотря на это, мощность дозы вблизи объекта продолжала оставаться порядка нескольких десятков мЗв/ч. Из рисунка 4 вид-но, что над западной стеной разрушенного реактор-ного зала, гаммавизором регистрируется диффузное γ-изображение. Создается впечатление, что излучает воздух над реактором. Данный эффект объясняется комптоновским рассеянием γ-квантов на электронах воздуха. Рассеиваясь в воздухе над развалом реакто-ра, γ-кванты теряют первоначальное направление и

РИС. 3 • Видимое (левая половина) и γ-изображение (правая половина) зоны разрушенного реактора

(вертолетный вариант)



РИС. 5 • Ручной вариант гамма-визора. а) γ-изображение точечного источника на экране ЭОПа.

б) Фотография источника после его извлечения из-под обломков.

отражаясь возвращаются на уровень земли, создавая γ-изображение на детекторе гаммавизора и, соответ-ственно, мощность экспозиционной дозы (МЭД) на земле, а также иллюзию существования мощного ис-точника γ-излучения, как бы парящего в воздухе.

Для обследования внутренних помещений IV блока использовалась переносная версия при-бора. Из-за ограничения по весу, в ручном вариан-те гамма-визора толщина защиты составляла всего ~ 2 ÷ 3 см, что приводило к уменьшению контраст-

ности γ-изображения. Однако, в тех случаях, когда вклад от визуализируемого γ-источника в общую мощность дозы был существенным, то ручной вари-ант прибора позволял уверенно идентифицировать радиоактивные источники. Переносная версия гам-мавизора не имела поворотного устройства, экран ЭОПа был защищен от внешнего γ-излучения свин-цовым стеклом толщиной 50 мм.

Ручная версия гаммавизора использовалась при обследовании подреакторных и вентиляционных по-мещений 4-го блока. В частности, с помощью гам-мавизора было установлено наличие интенсивного распределенного источника γ-излучения, находивше-гося у западного основания вентиляционной трубы 3-го и 4-го блоков. Следует отметить, что изображе-ние распределенного γ-источника было зарегистри-ровано из вентпомещения, которое расположено не-посредственно под вентиляционной трубой, сквозь потолочное перекрытие, которое сыграло роль до-полнительной защиты прибора. Этот γ-источник образовался из тех радиоактивных фрагментов ре-акторного графита, которые были выброшены из ре-актора в момент взрыва и, попав в вентиляционную трубу, осыпались к ее основанию.

С помощью ручного гаммавизора были также об-наружены фрагменты твэла в южном помещении на 43 отметке (рис. 5), фрагменты графитового блока на крыше лифтовой шахты в реакторном зале 3-го блока и другие точечные γ-источники. Следует от-метить, что найденные источники имели достаточно высокую активность, так как их удаление приводило к заметному улучшению радиационной обстановке во всем помещении, т.е. они вносили существенный вклад в МЭД γ-излучения во всех точках обследуемо-

ба

РИС. 4 • Изображение с экрана гамма-визора, полученное осенью 1986 г. с западной стороны

от разрушенного реактора (гамма-визор был установлен на бронетранспортере



го пространства. Таким образом, использование гам-мавизора в экстремальных условиях при проведении работ на ЧАЭС показало принципиальную работо-способность прибора.

После окончания работ по ЛПА на ЧАЭС, в те-чение ряда лет существенные усилия были направ-лены на модернизацию гаммавизора за счет оптими-зации отдельных составных его частей, в частности: улучшения контрастности и увеличения световыхода сцинтилляционного детектора, увеличению дина-мического диапазона ПЗС камер и т.д. В настоящее время гаммавизор достаточно широко используется в работах по реабилитации хранилищ РАО и работах по выводу из эксплуатации исследовательских реак-торов РНЦ «Курчатовский институт» [11–12]. Совре-менный детекторный блок гаммавизора, собранный в единое целое, состоит из сцинтилляционного де-тектора, ЭОПа и ПЗС матрицы, пристыкованной к экрану ЭОПа через фокон, что обеспечивает сведе-ние изображения с размеров экрана ЭОПа до разме-ров ПЗС матрицы [11]. Применение компьютерной обработки данных позволяет выравнивать поле зре-ния детектора, контрастировать изображение, оце-нивать относительную интенсивность источников в поле зрения прибора, накапливать и обрабатывать информацию с помощью компьютера [12].

Идентификация радиоактивных объектов произво-дится путем наложения оптического и γ-изо бражения на мониторе компьютера (см. рис. 6 на последней странице обложки). Такой путь позволяет сохранить вторую половину γ-изображения и не требует углово-го сканирования при проведении визуализации.

В современном приборе детектирующий блок удален на значительное расстояние (до 200 м) от управляющего компьютера, что значительно снижа-ет мощность дозы на оператора. На пульте управле-ния системы установлен персональный компьютер, производящий ряд предварительных операций по получению и обработке изображения. Измеритель-ная система снабжена мощным программным паке-том, с помощью которого производится управление всеми системами гаммавизора. Разработанное про-граммное обеспечение используется для получения, хранения, представления и обработки оптического и гамма-изображений.

3. Радиометрический метод измерения распределения поверхностной активности радионуклидовВ ходе обследования с помощью гаммавизо-ра помещений IV блока ЧАЭС и прилегающих территорий, достаточно быстро стало ясно, что

дозовая обстановка определяется не «яркими» точечными γ-источниками, а распределенным радиоактивным загрязнением почвы, стен и дру-гих поверхностей помещений и технологического оборудования. Таким образом, для контроля ра-диационной обстановки было необходимо разра-ботать дистанционный метод измерения распре-деления плотности радиоактивности. Основной принцип разработанной методики заключался в измерении величины потока квантов в ограничен-ном телесном угле.

Предположим, что на «чистой» плоскости су-ществует круг радиуса r, равномерно загрязненный радионуклидами с плотностью активности q извест-ного радиоизотопного состава (рис. 7а). Мощность дозы Р, на высоте Н над центром круга, можно вы-числить по известной формуле:

P = π Кγ q·ln(1 + (r /H)2), (3.1)

где Кγ – гамма постоянная, зависящая от спектраль-ного состава излучения. Поместив детектор γ-из-лучения на высоте Н по оси круга, мы получим сигнал пропорциональный плотности активности q (см. 3.1). Если окружить детектор свинцовой за-щитой как показано на рисунке 7б, то величина сиг-нала не изменится, поскольку не изменится количе-ство γ-квантов, попадающих в детектор. А значит, мы опять будем измерять сигнал ~ q. Теперь, если помимо загрязненного круга существуют другие ра-диоактивные источники (рис. 7в), то величина сиг-нала, при надлежащей толщине защиты, изменится незначительно, поскольку вклад радиоактивных за-грязнений расположенных вне основания конуса в сигнал детектора будет существенно ослаблен. Для случая изотропного потока квантов со всех направ-лений толщина защиты определяется из следующе-го условия:

KΩ0/4π >> 1, (3.2)

где К – коэффициент ослабления защиты.Показание детектора ΔN связано простым соот-

ношением с поверхностной плотностью активно-сти и не зависит явным образом от расстояния до поверхности:

ΔN = AqΩ0 / cosβ , (3.3)

где β – угол между направлением наблюдения и нор-малью к поверхности (см. рис.7в), А – калибровочный коэффициент, который зависит от устройства датчика и спектрального состава за-грязненной поверхности.

Таким образом, измеряя поток γ-квантов в задан-ном направлении θ, φ (где θ ϕ, – полярный и азиму-



тальный углы), можно измерить среднюю (по теле-сному углу коллиматора ΔΩ) поверхностную плотность активности:

q AA

N= ⋅Ω

∆0

cosβ . (3.4)

Имея информацию о поверхностной плотности активности элемента поверхности ΔS «загрязненно-го» помещения можно определить суммарную актив-ность, если известна геометрия поверхностей в ис-следуемом помещении:

Q q IA

N RSi

i

i i

ii= =

⋅∑ ∑( , )θ ϕ∆∆

2

, (3.5)

где Ri – расстояние от точки измерения до поверхно-сти, Проводя два измерения при каждом угловом по-

ложении прибора (с заглушкой и без), можно учесть фон, создаваемый γ-квантами, частично прошедши-ми сквозь защиту и попавшими в детектор.

В точке расположения коллимированного де-тектора мощность экспозиционной дозы Р опре-деляется общим количеством квантов, попавших в данную точку из всех телесных углов. Таким обра-зом, ее можно определить, проводя измерения по всем углам:

P k Nii

= ⋅ ⋅∑∆ Θ ∆Θ ∆sin ϕ , (3.6)

где Δθ и Δφ – шаг, с которым производятся измере-ния. Зная распределение плотности активности по всей внутренней поверхности помещения значение МЭД в произвольной точке пространства можно рас-считать по следующей формуле:

РИС. 7 • а – для случая радиоактивно-загрязненного круга, мощность дозы на высоте h определяется γ-квантами попадающими в телесный угол Ω0 ; б – сигнал дозиметра не меняется если его поместить в коллиматор с углом Ω0 ; в – измерение значения с помощью коллимированного детектора, при сканировании «загрязненной» плоскости.

ба

в



P k q SRi i

ii=

⋅∑ ∆2 (3.7)

Здесь Ri – расстояния от элемента поверхности ΔSi с плотностью активности qi до рассматриваемой точки. Из сопоставления экспериментального значе-ния МЭД в рассматриваемой точке определяется ко-эффициент пропорциональности k.

Расчет МЭД в «загрязненном» помещении по формуле (3.7) не учитывает влияния поглощения и рассеяния γ-квантов в воздухе. Однако, как показали результаты численных расчетов, учитывающих вза-имодействие γ-квантов с атомами воздуха, которые проводились с помощью метода Монте-Карло, оцен-ка МЭД по формуле (3.7), для помещений с характер-ным размером до 100 м, дает погрешность, не превы-шающую 30 %. Для реализации предложенной выше методики был разработан прибор, который получил название – гамма-локатор.

3.1. Ручная версия гамма-локатораПервые версии гамма-локатора, использовавшиеся в аварийных условиях 4-го блока ЧАЭС представляли собой коллимированный детектор (КД) γ-излучения, установленный на поворотном устройстве, которое позволяло перемещать детектор относительно вер-тикальной и горизонтальной осей и измерять углы поворота (θ, φ). Прибор состоял из свинцовой или урановой защиты, закрепленной на поворотном устройстве, в которой размещались сцинтиллятор и ФЭУ с предварительным усилителем. Регистрирую-щий блок располагался рядом с поворотным устрой-ством и соединялся с детектором с помощью прово-да [13]. Первоначально, в качестве регистрирующего блока при работе в токовом режиме использовались измерительные головки от ДРГЗ-01 или ДРГЗ-02, а при работе в счетном режиме – СРП-68. Толщина за-щиты определялась углом коллимации и требуемым соотношением полезный сигнал/фон. Основным от-личием КД от серийно выпускаемых промышленных дозиметров и радиометров было наличие защиты с коллиматором.

После завершения строительства объекта «Укры-тие» мощность дозы вокруг объекта и в помещении машинного зала заметно подросла. Рост мощности дозы был связан с тем, что крыша «Укрытия» была достаточно тонкой и, в основном, рассеивала, а не поглощала высокоэнергетичные γ-кванты, которые, за счет комптоновского эффекта, перерассеивались на атомах воздуха, и частично возвращались на по-верхность земли. Для корректного учета этого эф-фекта было необходимо измерить полный поток γ-квантов выходящих сквозь крышу объекта «Укры-

тия» и оценить их энергетический спектр. Для ре-шения этой задачи был использован КД. Измере-ния проводились из освинцованного батискафа, который служил дополнительной боковой защитой. Батискаф перемещался над крышей «Укрытия» с помощью мощного строительного крана, что позво-ляло детально сканировать поверхность разрушен-ного IV центрального зала с помощью КД сквозь фальш-настил и трубный накат, которые служили крышей объекта «Укрытие».

Детектирующая часть КД состояла из сцинтил-ляционного детектора (CsI(Tl), 15 мм в диаметре и 20 мм длиной) и кремниевого фотодиода, помещен-ных в свинцовую защиту толщиной 60 мм. КД был снабжен несколькими коллимирующими вставками и заглушкой. Входные углы коллимации вставок менялись от 5° до 25°, а заглушка была необходи-ма для определения вклада фонового излучения, прошедшего на детектор сквозь свинцовую защиту детектора. Поток γ-излучения был очень велик, и детектор работал в токовом режиме, без спектраль-ного разрешения. Для корректного учета спектра γ-излучения, детектор был предварительно откали-брован на точечном источнике – образце ядерного топлива, изъятого из развала реакторного зала. Чув-ствительность коллимированного детектора (отно-шение тока фотодиода к величине поверхностной активности) была определена для всех используе-мых вставок. Для оценки энергетического спектра γ-квантов применялись свинцовые фильтры (тол-щиной 3 и 5 мм).

На основе проведенных измерений было рас-считано распределение поверхностной плотности активности по засыпке разрушенного реактора (см. рис. 8). Полученное распределение активно-сти полностью совпало с качественной картинкой (см. рис. 3), полученной с помощью гаммавизора [7]. Поверхностная активность, показанная на ри-сунке 8, была рассчитана на основании измерений со свинцовыми фильтрами 5 мм толщины, т.е. по высокоэнергетичной части спектра (Е ≥ 200 кэВ). Для верификации измеренного распределения ак-тивности, с помощью численных методов, были рассчитаны значения МЭД в точках измерений и со-поставлены с данными стандартных дозиметриче-ских измерений (ДРГ-01-Т). Расхождение измерен-ных и рассчитанных значений не превышало 30 %, что указывало на удовлетворительную точность из-мерения распределения активности.

После того, как сквозь биологическую защи-ту реактора была пробурена скважина, появилась возможность измерения суммарного количества радиоактивности оставшегося в шахте реактора.



Для проведения измерений в шахте реактора был специально изготовлен коллимированный детектор, в качестве коллиматора которого был использован шар из обеденного урана диаметром 95 мм и теле-сным углом коллимации Ω0 = 0,115 стеррад [15]. В качестве детектора использовался газовый счетчик серии СИ-3БГ. Для выполнения фоновых измере-ний – определение потока γ-квантов, проходящих через боковую защиту, была предусмотрена заглуш-ка, полностью перекрывающая угол коллимации. По соотношению величин сигналов измеренных за 1 и 5-ти миллиметровыми свинцовыми фильтрами, была оценена энергия γ-квантов. Она оказалась рав-ной ~ 600 кэВ, что соответствовало энергии излу-чения основных радионуклидов, присутствующих в продуктах деления на то время. На основе этих измерений было рассчитано распределение поверх-ностной γ-активности на боковой цилиндрической поверхности шахты реактора, а также эффективная поверхностная γ-активность верхней и нижней тор-цевых поверхностей [15].

В июне 1988 внутри машинного зала 4-го блока ЧАЭС планировалось проведение масштабных стро-ительно-монтажных работ, связанных с укреплением части строительных конструкций, которые сильно пострадали в момент аварии. В связи с этим воз-никла острая необходимость в создании карт МЭД

для различных высот от уровня пола. Помещение машинного зала имеет размеры 20 м в высоту, 60 м в ширину и 200 в длину, поэтому составление под-робной карты распределения МЭД на высоте выше 5 м для столь масштабного помещения являлось для стандартных методов дозиметрии практически не-выполнимой задачей.

Для решения этой задачи был использован гам-ма-локатор. Из-за значительной протяженности по-мещения, измерения проводились из шести точек, что позволило добиться приемлемого простран-ственного разрешения в измерении распределения плотности γ-активности. Угловой шаг сканирования менялся от 5° до 25° и зависел от угла коллимации и места положения прибора. В каждой точке про-водилось два измерения: со свинцовой заглушкой и без нее. С помощью гамма-локатора было измерено распределение эффективной поверхностной актив-ности по полу, стенам и потолку помещения и на ос-новании всех полученных данных была построена карта распределения активности [13]. Интеграль-ный поток фотонов соотносился с МЭД в каждой точке измерения, полученные коэффициенты ис-пользовались при расчетах распределения МЭД во всем объеме помещения. МЭД рассчитывалась по сетке 6 × 6 м. Как пример на рисунке 9 представлено распределение МЭД на уровне 1 м над полом ма-

РИС. 8 • Распределение поверхностной активности по засыпке разрушенного реактора осенью 1986 г. Кривая 1 соответствует поверхностной активности выше 0.925 ТБк/м2 (25 Ки/м2),

2 – 1.85 ТБк/м2 (50 Ки/м2), 3 – 2.775 ТБк/м2 (75 Ки/м2).



шинного зала МЭД достигала 1,8 Зв/ч. Результаты расчета как качественно, так и количественно со-впадали с результатами измерений стандартными дозиметрами ДРГ-01Т (отклонение в точках изме-рения дозиметрами не превышало 20%). Основной вклад в МЭД на этой высоте вносило загрязнение пола помещения. Полученные карты МЭД позво-лили проектировщикам разработать оптимальную стратегию при проведении работ и тем самым сни-зить дозовые нагрузки, полученные персоналом в ходе работ по дезактивации этого помещения.

Другим важным преимуществом описываемого метода является возможность моделирования си-туации. Разработанное программное обеспечение позволяло моделировать проведение дезактиваци-онных или строительно-монтажных работ (напри-мер, «обшить» свинцовыми листами часть той или иной стены) и предсказывать к какому уменьше-нию МЭД может привести та или иная операция. Информация, полученная в результате численного моделирования, была использована в ходе проек-тно-конструкторских, строительно-монтажных и дезактивационных работ. Аналогичные измерения проводились и в ряде других помещений 4-го бло-ка [13], что позволило оптимизировать проведение строительно-монтажных работ и снизить дозовые нагрузки на персонал.

Разработанные в 1986–1988 годах методы и при-боры, позволили решить ряд задач, возникших в ходе ликвидации аварии на Чернобыльской АЭС. С появлением новой микроэлектронной базы стали доступны новые подходы к решению задач и раз-работка приборов следующего поколения. А с раз-витием компьютерной техники появилась возмож-ность дальнейшего развития ранее разработанных методов.

Поскольку проведение измерений с помощью гамма-локатора требовало заметного времени, то до-зовая нагрузка на оператора была значительной. По этой причине было необходимо автоматизировать процесс измерений.

3.2. Автоматизированная спектрально-чувствительная версия гамма-локатора На основе опыта, полученного при измерениях в «загрязненных» помещениях, был разработан гам-ма-локатор, управляемый с помощью компьютера [9]. Эта версия гамма-локатора представляла собой автоматическую измерительную систему, которая предназначена для радиационного обследования за-грязненных помещений и позволяет восстанавливать распределение МЭД в помещении с известной гео-метрией [13]. Измерительная часть гамма-локатора

РИС. 9 • Распределение МЭД в машинном зале 4-го блока Чернобыльской АЭС



была установлена на автоматизированное сканирую-щее устройство и могла быть удалена от управляю-щего компьютера на расстояние до 150 м. В качестве детектора фотонного ионизирующего излучения ис-пользовался сцинтилляционный кристалл CsI(Tl) размером 1×1×1 см3 и фотодиод со светочувствитель-ной площадью 1 см2. Использование фотодиода в ка-честве фоторегистратора заметно снижало размеры детектора (по сравнению с ФЭУ) и, соответственно, вес защиты, что заметно упрощало требования к по-воротному устройству.

Геометрия обследуемого помещения предвари-тельно вводилась в управляющий компьютер. Гам-ма локатор сканировал помещение с определенным угловым шагом и измерял поток фотонов ионизи-рующего излучения с выбранного направления. На основе измеренной поверхностной γ-активности и хорошо известных расстояний от места расположе-ния прибора до поверхности, компьютер рассчиты-вал распределение МЭД во всем объеме помещения. Также было разработано программное обеспечение для управления сканирующим устройством, расче-та эффективной поверхностной активности и на ее основе МЭД. В 1992 с помощью этой версии гамма локатора были выполнены измерения в дезактиви-рованном помещении машинного зала 4-го блока ЧАЭС. Было показано, что в процессе дезактивации зала, проведенной в 1990–1991 годах, удалось су-щественно снизить МЭД на полу зала за счет уда-ления загрязнения с пола и стен помещения. Од-нако удалить загрязнение крыши в пределах 48–52 строительных осей не удалось ввиду присутствия фальш-крыши, закрывавшей этот участок. Измере-ния показали, что именно загрязнение крыши яв-ляется основным, дозообразующим фактором для внутреннего объема машинного зала.

Естественным продолжением развития системы гамма-локатор стало создание спектрометрического варианта прибора и его модификация для измерения в условиях с неизвестной геометрией объекта. Для создания спектрально-чувствительного детектора на основе сцинтиллятор + фотодиод, было необходимо решить ряд технических задач: − оптимизировать форму сцинтиллятора и систему светосбора; − разработать фотодиод с минимально возможными обратными токами; − разработать компактный малошумящий предуси-литель.Для оптимизации формы сцинтиллятора была

разработана математическая модель светосбора, ос-нованная на монте-карловских вычислениях, которая учитывала следующие факторы:

− собственное поглощение света в кристалле; − различные модели отражения света от граней кристалла (диффузное, зеркальное и комбиниро-ванное отражения). − френелевское отражение света при переходе границы раздела сред с различными показате-лями преломления (сцинтиллятор – оптический контакт, оптический контакт – фотодиод и т.п.). Проведенные расчеты позволили решить задачу, связанную с оптимизацией формы и размеров кристалла при заданном его объеме. Это, в свою очередь, дало возможность создать детекторы с высокой счетной эффективностью (кристаллы большого объема) и хорошим энергетическим разрешением (Vkp ~ 20 см3, Δ E/E < 8% по линии 662 кэВ, 137Cs).Темновые токи определяются, в основном, ка-

чеством границы раздела кремний – окись кремния в месте выхода слоя объемного заряда на поверх-ность кремния. Применение пластин фирмы Wacker (Германия) позволили получить величину IT < 3 нА (при 20° С). Разработка технологии сборки детек-тора в части оптимизации оптического контакта и светоотражающего покрытия, позволили получить, в случае пары CsI(Tl) + Si фотодиод техническую конверсионную эффективность (при объеме сцин-тиллятора 1 см3) равную 12 %.

Был разработан также малогабаритный пред-усилитель с наклоном шумовой характеристики менее 18 эв/пФ и величиной собственного шума (по Si) – менее 1,2 кэВ[24].

Таким образом, модернизированный гамма-локатор включал следующие узлы и системы (см. рис. 10) [9]: − измерительный блок, включающий в себя скани-рующее устройство с датчиками поворота и кол-лимированный детектор; − лазерный дальномер; − ТV-камеру; − спектранализатор; − интерфейсные платы телекамеры и измеритель-ного блока. Измерительный блок гамма-локатора (см. рис. 11)

успешно использовался в условиях, где значения мощности экспозиционной дозы могли достигать 0,1 Зв/ч. Столь высокие радиационные поля наклады-вают дополнительные ограничения на используемые устройства и их конструкцию. Уровни измеряемой с помощью гамма локатора поверхностной активности могли достигать 3,7×1012 Бк/м2 (по 137Cs, угол колли-мации детектора 10о), и предполагалось, что потоки фотонов в точке расположения детектора составляют величины до 5×106 квант/(с×см2). Для уменьшения счетной эффективности при высоких уровнях за-



РИС. 11 • Внешний вид измерительного блока гамма-локатора

грязнения использовался детектор из СsI(Тl) малого размера (∅ 8 мм×2,5 мм) и коллиматор с входным от-верстием 8 мм. В этом случае счетная эффективность детектора для указанных выше уровней оценивалась 5 × 103 имп./с. Для нижнего диапазона измерений (3,7 × 106 – 3,7 × 109 Бк/м2) использовался детектор из СsI(Тl) размера (∅ 8мм × 20мм) и коллиматор с вход-ным отверстием 9 мм.

Данная версия гамма-локатора позволяла изме-рять эффективную поверхностную γ-активность загрязнения обследуемого объекта и, благодаря спектральному разрешению детектора, определять нуклидный состав загрязнения. При загрязнении нуклидом 137Cs, гамма-локатор позволял определять структуру радиоактивного загрязнения (поверх-ностное или объемное). Наличие лазерного даль-номера позволяло с высокой точностью измерять

расстояние до измеряемой поверхности и даже вос-станавливать саму форму поверхности, используя обработку данных [16].

С помощью разработанного гамма-локатора, в 1996 г. проводилось радиационное обследование реакторного зала разрушенного блока. Повторное проведение этих измерений было связано с «надеж-дами» ряда специалистов (в том числе и Западных) попытаться обнаружить значительное количество ядерного топлива под засыпкой центрального зала 4-го блока. Гамма-локатором было измерено рас-пределение активности 137Cs по всем поверхностям помещения, с учетом его проникновения вглубь ве-щества поверхности. На основе полученных данных было рассчитано распределение МЭД во всем объе-ме помещения, восстановлена трехмерная геометрия поверхности и на нее наложено распределение МЭД.

РИС. 10 • Блок-схема гамма локатора. 1 – коллимированный детектор; 2 – поворотное устройство; 3 – лазерный дальномер; 4 – ПЗС камера; 5 – контроллер; 6 – переключатель-передатчик; 7 – блок связи и управления; 8 – компьютер

1

2

3

45 6 7

200 m

8

Рис.10. Блок-схема гамма локатора. 1 – коллимированный детектор; 2 – поворотное

устройство; 3 – лазерный дальномер; 4 – ПЗС камера; 5 – контроллер; 6 – переключатель-

передатчик; 7 – блок связи и управления; 8 – компьютер.

Рис. 11. Внешний вид измерительного блока гамма-локатора.



Особенно тщательно была просканирована об-ласти расположения аварийного реактора. Эта по-верхность сканировалась с угловым шагом 1° как по вертикали, так и по горизонтали. Это позво-лило достаточно точно восстановить 3-х мерную поверхность в области расположения схемы «Е» после разрушения реактора 4-го блока. В качестве примера на рисунке 12 (см. последняя страница об-ложки) представлена геометрия этой поверхности с наложенным на нее распределением МЭД на рас-стоянии 2 м от нее. Максимальные значения МЭД соответствуют ярко красным областям и достигают значений 0,12 Зв/ч [16]. Результаты новых измере-ний полностью совпали с предыдущими, что сви-детельствовало об отсутствии ядерного топлива.

4. Методы измерения поверхностной и удельной активности 137cs в почвеК началу 90-ых годов основные строительно-мон-тажные работы на IV блоке ЧАЭС завершились, и на первый план вышла задача дезактивации насе-ленных пунктов. Чернобыльская авария привела к загрязнению радионуклидом 137Cs значительной пло-щади Европейской части бывшего СССР. Во многих городах и поселках уровень загрязнения оказался выше 1,5×106 Бк/м2 по 137Cs. Для определения уровня загрязненности почвы радиоизотопами существует ряд традиционных методов. Один из них – аэрогам-ма-спектрометрическая съемка, которая дает воз-можность установить уровень крупномасштабных загрязнений с пространственным разрешением не более 100 метров. Второй подход – метод пробоот-бора, признанный в настоящее время наиболее до-стоверным, имеет пространственное разрешение ~ 10 см. Однако он мало производителен и трудое-мок, поэтому в населенном пункте обычно проводят не более 5–10 измерений, что не позволяет постро-ить подробные карты распределения запаса 137Cs.

Поэтому неудивительно, что попытки проведения масштабных дезактивационных работ в населенных пунктах, предпринятые в 1986–1989 гг., большого успеха не имели. В первую очередь это было связано с отсутствием подробных карт распределения запаса 137Cs по подворьям населенных пунктов и отсутстви-ем приборов, позволяющих оперативно контролиро-вать эффективность проведения дезактивационных работ. Поэтому для принятия правильных решений по реабилитации населенных пунктов, подвергших-ся радиоактивному загрязнению, потребовалась разработка новой методики и соответствующего приборного обеспечения, позволяющих оперативно получать достоверное распределение плотности за-грязнения 137Cs в населенных пунктах.

Для составления карт загрязненности в населен-ных пунктах потребовалась разработка методики, которая позволяла бы оперативно определять плот-ность загрязнения 137Cs с пространственным раз-решением ~ 1–2 м и давала бы возможность произ-водить десятки тысяч измерений за один полевой сезон. При этом каждое измерение должно быть де-шевым и простым, чтобы проводимое обследование территории было экономически целесообразным.

4.1. описание методики определения плотности загрязнения и оценки величины заглубления в почве 137CsВсе рассуждения и выкладки, сделанные выше для КД, являются справедливыми для рассматриваемой методики. Действительно, пусть детектор, помещен-ный в свинцовый коллиматор достаточной толщины (рис. 13), расположен над плоскостью на некоторой высоте h. Если коллимированный детектор является спектрально-чувствительным и позволяет измерять скорость счета N в пике полного поглощения, кото-рая формируется только нерассеянным излучением, то показания такого детектора будут связаны с по-верхностной плотностью активности q и телесным углом коллиматора Ω0 простым соотношением:

N A q= ⋅ ⋅Ω0 , (4.1)

где А – калибровочный коэффициент, который зави-сит от устройства датчика и спектрального состава излучения загрязненной поверхности. Из выражения

РИС. 13 • Схема геометрии измерений: 1 – свинцовая защита и коллиматор;

2 – сцинтилляционный кристалл; 3 – слой почвы толщины Z, загрязненный 137Cs



(4.1) следует, что, с точностью до констан-ты, поверхностная плотность активности q будет определяться скоростью счета в пике полного поглощения. Для учета фоновой со-ставляющей, обусловленной прохождением гамма-квантов через боковые стенки свинцо-вой защиты, можно использовать процедуру поворота детектора вокруг горизонтальной оси на 180°. Действительно, поскольку в небе плотность активности q = 0, то в положении: «коллиматор смотрит в небо», скорость счета в определяется только γ-квантами, прошед-шими сквозь защиту и является фоновой со-ставляющей, которая затем вычитается из N. Таким образом, производя в каждой точке два измерения, можно по скорости счета в пике полного поглощения определять, среднее по углу зрения коллиматора детектора, значение поверхностной плотности активности q.

Однако, такой способ определения по-верхностной плотности активности (запаса) возможен при условии, что радионуклиды находятся только в верхнем тонком слое по-чвы. В реальной же ситуации с течением вре-мени происходит проникновение радиону-клидов в почву, что ослабляет нерассеянное излучение γ-квантов и делает некорректным определение запаса цезия, основанного на использовании выражения (4.1). Для созда-ния методики измерений запаса 137Cs с уче-том его заглубления был проведен анализ, основанный на результатах численных расче-тов методом Монте-Карло и эксперименталь-ном моделировании с применением эталон-ного объемного источника. Для различных условий заглубления цезия в почве рассчи-тывалось амплитудное распределение сиг-нала коллимированного детектора (отклик детектора) с учетом многократного взаимо-действия γ-квантов с почвой и сцинтилляци-онным кристаллом детектора (NaI размером Ø 50×50 мм). В расчетах учитывалось также ослабление нерассеянного излучения в свин-цовой защите и коллиматоре детектора. Ам-плитудное распределение сигнала детектора рассчитывалось с учетом функции распре-деления поглощенной энергии γ-квантов в сцинтилляционном кристалле. Предполага-лось, что амплитуды импульсов, выраженные в соответствующей шкале энергетической переменной Е, статистически распределены около среднего значения Q по нормальному закону.

РИС. 14 • Функции отклика детектора при регистрации излучения 137Cs равномерно заглубленного в почве

на величину: 1 - Z=0; 2 - Z=1; 3 - Z=2; 4 - Z=4 (в длинах свободного пробега).

Функция распределения поглощенной энергии гамма-квантов в кристалле – Р(Е0,Q) рассчитывалась методом Монте-Карло с учетом возможного процесса многократ-ного рассеяния квантов в сцинтилляторе. В окончатель-ном виде амплитудное распределение сигнала детектора N(Е0,Е) определялось по формуле:

N E E P E Q G Q E dQE

0 0

0

0

, , ,( ) = ( ) ( )∫ (4.2)

где G(Q, E) – функция нормального распределения величи-ны Е со средним значением Q и дисперсией σ 2.

На рисунке 14 представлены функции отклика детекто-ра, рассчитанные при условии равномерного заглубления радионуклидов в почве для различных длин свободного пробега (25–30 см в почве) при постоянной величине запа-са цезия. Из рисунка видно, что по мере увеличения заглу-бления скорость счета в области пика полного поглощения резко падает, а в диапазоне энергий 400–560 кэВ меняется достаточно слабо. Это означает, что скорость счета N1 в этом диапазоне энергий пропорциональна величине запаса цезия q и почти не зависит от величины заглубления, т.е. для этого энергетического диапазона для величин N1 и q имеет место соотношение, аналогичное выражению (4.1). Физически это объясняется тем, что в энергетическом



диапазоне 400–560 кэВ скорость счета форми-руется за счет регистрации детектором нерас-сеянного (первый компонент, комптоновская часть аппаратурного спектра) и рассеянного излучений (второй компонент). Второй компо-нент, в указанном энергетическом диапазоне спектра, обусловлен регистрацией детектором γ-квантов однократно рассеянных в почве на малые углы. По мере заглубления источника, первый компонент уменьшается, второй – воз-растает, причем так, что их изменения практи-чески компенсируют друг друга.

Следует отметить, что для небольших за-глублений скорость счета в указанном диа-пазоне спектра слабо зависит не только от глубины залегания цезия в почве, но и от ха-рактера его распределения по глубине. Дан-ное утверждение основано на результатах численного моделирования, проведенного для различных видов заглублений цезия в почве. На рисунке 15 приведены зависимости отно-сительной скорости счета в энергетическом интервале 400–560 кэВ (т.е. отношение скоро-сти счета заглубленного источника N1 к ско-рости счета незаглубленного – N01) от величи-ны заглубления: для равномерного (кривая 1), треугольного (кривая 2) и экспоненциального (кривая 3) профилей, а также плоского тон-кого заглубленного источника (кривая 4). Ис-следования, проведенные другими авторами, показали, что характер распределения цезия в почве, в основном, соответствует первым трем типам распределений или их комбина-циям. Таким образом, из рисунке 15 видно, что при заглублении радиоизотопа 137Cs до 3-х длин свободного пробега можно определять его запас в почве по скорости счета в компто-новской части спектра 400–560 кэВ, при этом методическая погрешность этого способа не будет превышать 30 %.

Для реализации методики был разработан и аттестован, как средство измерений, радио-метр РКГ-09Н («Корад» – коллимированный радиометр) [17]. В состав РКГ-09Н входят: коллимированный сцинтилляционный детек-тор NaI(Tl) размером 50×50 мм, пульт управ-ления, включающий в себя предусилитель, узел высоковольтного и низковольтного пи-тания, батарея типа 10НКГЦ-3.5-1, спектро-метрический усилитель с программируемым усилением, 256-канальный АЦП, микропро-цессор типа 80С31, ОЗУ, а также ППЗУ для программ обработки. РКГ-09Н позволял изме-

РИС. 15 • Зависимость относительной скорости счета γ-квантов в энергетическом интервале

(400-560) кэВ от величины

рять и хранить в памяти значения поверхностной актив-ности, содержание (концентрацию) нуклида, измеренные в 1000 точках, а также записывать 44 спектра излучения. Прибор обладает пространственным разрешением около 2,0 м2, а энергетическое разрешение детектора по линии 662 кэВ составляет 7,6 %.

Программное обеспечение радиометра позволяет осуществлять выбор условий и режима измерения, изме-рять спектры γ-излучения на местности, осуществлять обработку, запоминание, протоколирование, визуальную индикацию результатов измерений на экране встроен-ного дисплея. Программное обеспечение радиометра исключает возможность искажения результатов и обе-спечивает контроль соблюдения регламента измерений. Калибровка приборов проводилась на поверхностных плоских источниках, аттестованных во ВНИИФТРИ Госстандарта РФ.

С помощью РКГ-09Н было выполнено большое коли-чество измерений на загрязненных территориях Чернигов-ской области Украины, Гомельской, Могилевской областей Белоруси, Брянской, Тульской, Челябинской областей РФ [18]. Для каждого обследованного участка строились кар-ты распределения содержания 137Cs, глубины его проник-новения внутрь почвы и МЭД на 1 м от поверхности почвы [19–21]. В качестве примера на рисунке 16 (см. последняя страница обложки) представлена карта распределения со-держания 137Cs в почве одного из обследованных участков Брянской области.



С помощью прибора «РКГ-09Н» были выполне-ны измерения удельной активности естественных радионуклидов на отвалах урановых рудников ПО «Висмут» (Восточная Германия). В ходе совмест-ных российско-немецких измерений «РКГ-09Н» был откалиброван на калибровочных площадках для измерения удельной активности 226Ra и 40K. Спектры γ-излучения почвы отвалов показали, что удельную активность 226Ra можно определить по линии 609 кэВ, а удельную активность 40K – по ли-нии 1460 кэВ. Сравнение результатов лаборатор-ного анализа проб грунта, полученных немецкими специалистами, и измерений «РКГ-09Н» показало, что в местах, где один радионуклид превалирует над остальными, возможно корректное определение удельной активности этого радионуклида. Результа-ты, полученные этими двумя методами, отличались друг от друга на величину, не превышающую 30%. Предел чувствительности прибора для определе-ния удельной активности 40K оказался 200 Бк/кг, а 226Ra – около 100 Бк/кг. Эти величины достаточны для картирования отвалов рудников и измерения удельной активности естественных радионуклидов в стройматериалах [22].

5. ЗаключениеРазработанные методы и средства измерений по-казали свою эффективность при проведении пол-ного цикла измерений в условиях радиоактивно загрязненных территорий и помещений [23]. Ком-пьютерные базы данных, полученные в результате измерений, оказались полезными для классифи-кации помещений с точки зрения радиационной опасности. Представленные версии приборов мо-гут применяться в качестве дистанционных систем контроля за изменением радиационной обстановки в случае внештатной ситуации на ядерно-опасных объектах или предприятиях ядерного цикла.

Показана возможность применения таких систем для измерения удельной активности отвалов урано-вых рудников и строительных материалов. Динамиче-ский диапазон измерений средств измерения менялся в широких пределах от 20 кБк/м2 до 2.5 ТБк/м2 и опре-делялся только размерами применяемых сцинтилля-ционных детекторов, что позволяло решать большой набор конкретных задач: от измерения уровней р/а загрязнения почв до контроля за радиационной обста-новкой внутри конструкции разрушенных реакторов или хранилищ высокоактивных отходов.

Авторы благодарят Рудакова Л.И., руководившего эти-ми исследованиями на начальных стадиях работ и внес-шего большой вклад в трактовку результатов измерений. Авторы бесконечно признательны всем своим коллегам, принимавшим участие в этих работах, и тем соратникам по работам на ЧАЭС, с которыми свела судьба.

Литература

1. Ramsden D., Bird A.J., Palmer M.J., Durrand P.T., Gamma-ray imaging system for the nuclear environment, Remote techniques for hazardous environments, BNES, 1995. PP. 283–289.

2. Mottershead G., Orr C.H. A gamma scanner for pre-decommissioning monitoring and waste segregation, The Nuclear Engineer, 1996. Vol. 37. 1. PP. 3–6.

3. Gal O., Izac C., Jean F., Laine F., Leveque C., Nguyen A., «CARTOGAM – a portable gamma camera for remote localization of radioactive sources in nuclear facilities,» Nucl. Instrum. Meth., 1999. vol. A 460. РP. 138–145.

4. Santo J.T., Maul M., Lucero R., Clapham M., Battle B. et al, Application of Remote Gamma Imaging Surveys at the Turkey Point PWR Reactor Facility. [on line] http://www.pajaritoscientific.net/pdf/TECH_APP_REMOTE_GAMMA_IMAGING_TURKEY_POINT_FACILITY.pdf

5. A.N. Sudarkin, O.P. Ivanov, V.E. Stepanov, L.I. Urutskoev, Portable gamma-ray imager and its application for the inspection of the near-reactor premises contaminated by radioactive substances, Nucl. Instr. and Meth. A 414, 1998. PP. 418–426.

6. O.P. Ivanov, A.V. Chesnokov, A.N. Sudarkin, V.E. Stepanov, L.I. Urutskoev, History of development of gamma-ray imagers in Russia since 1986, –Nucl. Instr. and Meth. A 422. 1999. 1–3. PP. 677–682.

7. В.Г. Волков, А.Г. Волкович, В.И. Ликсонов и др., Прибор для поиска и идентификации источников гамма-излучения и получения гамма-изображений (гамма-визор). Атомная энергия, 1991. т. 71. вып. 6. 578 с.

8. А.Г. Волкович, А.Н. Сударкин, В.Е. Степанов, Л.И. Уруцкоев. Разработка и создание приборов визуа-лизации и дистанционного измерения плотности активности источников излучения для ликвидации последствий аварий на ядерных объектах. Тезисы докладов Всероссийской конференции Радиологи-ческие, медицинские и социально-экономические последствия аварии на ЧАЭС реабилитация терри-торий и населения» М. 21–25 мая, 1995. С.11–12.

9. С.М. Игнатов, В.Н. Потапов, Л.И. Уруцкоев, А.В. Чесноков, С.Б. Щербак, Автоматизированная систе-ма дистанционного определения характеристик по-лей фотонного ионизирующего излучения аварий-ных объектов, ПТЭ, 1998. 4. С. 134–139.

10. A.V. Chesnokov, S.M. Ignatov, V.N. Potapov, et al. Determination of surface activity and radiation spec-trum characteristics inside buildings by a gamma loca-tor, Nuclear Instruments and Methods in Physics Re-search – Section A. 1997. Vol. 401. PP. 414–421.

11. Волкович А.Г., Потапов В.Н., Смирнов С.В. и др., «Измерения полей фотонов ионизирующего излуче-ния в реакторном зале 4-го блока ЧАЭС», Атомная энергия, 2000. т. 88. 3. С. 203–207.

12. О.П. Иванов, Новый подход к созданию портатив-ной гамма-камеры с максимальным углом обзо-ра, Атомная энергия, 2010. т. 108. вып. 1. С. 46–50.

13. А.Г. Волкович, Ю.В. Коба, В.И. Ликсонов и др., Применение коллимированного детектора при лик-



видации последствий аварии в машинном зале 4-го энергоблока ЧАЭС, Атомная энергия, 1990. т. 69. вып.6. С. 389–391.

14. В.Г. Волков, Ю.А. Зверков, О.П. Иванов, и др., Ликвидация труднодоступного хранилища вы-сокоактивных отходов РНЦ «Курчатовский ин-ститут», Атомная энергия, 2008. T. 105. вып. 3. С. 164–169.

15. А.Г. Волкович, В.И. Ликсонов, Д.А. Лобановский, и др., Измерение распределения поверхностной плот-ности активности в шахте реактора 4-го энергобло-ка Чернобыльской АЭС, Атомная энергия, 1990. т. 69. в. 3. С. 164–167.

16. V.I. Fedin, A.A. Gulyaev, V.N. Potapov, et al, Appli-cation of Gamma Locator for Contamination Measure-ments inside 4-th Reactor Hall of Chernobyl NPP, IEEE Trans. On Nucl. Sci. 1998. Vol. 45. 3. part. PP. 986–991.

17. А.П. Говорун, В.И. Ликсонов, В.П. Ромашко и др. Спектрально-чувствительный переносной колли-мированный гамма-радиометр «КОРАД», ПТЭ 5. 1994. C. 207–208.

18. A.V. Chesnokov, A.P. Govorun, M.V. Ivanitskaya, V.I. Liksonov S.B. Shcherbak, Cs-137 Contamination of Techa Flood Plain in Brodokalmak Settlement, Applied Radiation & Isotopes, 1999. Vol. 50. Р. 1121–1129.

19. В.Н. Потапов. Разработка радиометрических си-стем и методов полевых и дистанционных измере-ний радиоактивного загрязнения на основе моде-лирования переноса излучений», Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-матема-тических наук, 2009 г. 324 с.

20. О.П. Иванов, В.Н. Потапов, С.Б. Щербак, Расчет мощности экспозиционной дозы гамма-излучения над плоской поверхностью с неравномерно распре-деленной активностью радионуклидов, –Атомная энергия, 1995. 79. Вып. 2. С. 130–134.

21. Arapis G., Chesnokov A., Ivanova T., Potapov V., So-kolik G. Evaluation of dose equivalent rate reduction as a function of vertical migration of Cs-137 in contami-nated soils, Journal of Environmental Radioactivity, November 1999. Vol. 46. Issue. 2. Р. 251–263.

22. В.Г. Волков, В.Е. Степанов, Л.И. Уруцкоев, А.В. Чесноков, Радиометрические методы измерения удельной активности радионуклидов уранового ряда, Атомная энергия, декабрь 2009. т. 107. вып. 6. С. 329–334.

23. В.Е. Степанов, В.Н. Потапов, С.В. Смирнов, А.С. Данилович, «Радиационное обследование помеще-ний реактора МР с использованием дистанционно-управляемой сканирующей системой». Атомная энергия, 2012, т. 113. вып. 2. С.101–105.

24. Игнатов С.М., Уруцкоев Л.И. и др. Энергетические разрешения детекторов гамма-излучения, изготов-ленных на основе системы сцинтиллятор-СsI(Тl) Si фотодиод. ПТЭ, 1994. вып. 2. 38 с.

References

1. Ramsden D., Bird A.J., Palmer M.J., Durrand P.T., Gamma-ray imaging system for the nuclear envi-ronment, Remote techniques for hazardous environ-ments, BNES, 1995. PP. 283–289.

2. Mottershead G., Orr C.H. A gamma scanner for pre-decommissioning monitoring and waste segregation, The Nuclear Engineer, 1996. Vol. 37. 1. PP. 3–6.

3. Gal O., Izac C., Jean F., Laine F., Leveque C., Nguyen A., «CARTOGAM – a portable gamma camera for remote localization of radioactive sources in nuclear facilities,» Nucl. Instrum. Meth., 1999. Vol. A 460. РP. 138–145.

4. Santo J.T., Maul M., Lucero R., Clapham M., Battle B. et al, Application of Remote Gamma Imaging Sur-veys at the Turkey Point PWR Reactor Facility. [on line] http://www.pajaritoscientific.net/pdf/tech_app_remote_gamma_imaging_turkey_point_facility.pdf.

5. A.N. Sudarkin, O.P. Ivanov, V.E. Stepanov, L.I. Uruts-koev, Portable gamma-ray imager and its application for the inspection of the near-reactor premises con-taminated by radioactive substances, Nucl. Instr. and Meth. A 414, 1998. PP. 418–426.

6. O.P. Ivanov, A.V. Chesnokov, A.N. Sudarkin, V.E. Stepanov, L.I. Urutskoev, History of development of gamma-ray imagers in Russia since 1986, Nucl. Instr. and Meth. A 422. 1999. 1–3. PP. 677–682.

7. V.G. Volkov, A.G. Volkovich, V.I. Liksonov i dr., Pribor dlya poiska i identifikacii istochnikov gam-ma-izlucheniya i polucheniya gamma-izobrazhenij (gamma-vizor). Atomnaya energiya [Device for the search and identification of gamma-ray sources and the gamma images (gamma-visor). Nuclear energy], 1991. T. 71. Vyp. 6. 578 p.

8. A.G. Volkovich, A.N. Sudarkin, V.E. Stepanov, L.I. Urutskoev. Razrabotka i sozdanie priborov vizualiza-cii i distancionnogo izmereniya plotnosti aktivnosti istochnikov izlucheniya dlya likvidacii posledstvij avarij na yadernyh obektah. Tezisy dokladov Vser-ossijskoj konferencii Radiologicheskie, medicinskie i social'no-ekonomicheskie posledstviya avarii na ChAÈS reabilitaciya territorij i naseleniya» [De-sign and creation of instruments of visualization and remote measurement of the density of activ-ity radiation sources for mitigation of accidents at nuclear facilities. Abstracts of All-Russian Confer-ence of Radiology, health and socio-economic con-sequences of the Chernobyl accident rehabilitation of territories and population] M. 21–25 may, 1995. PP. 11–12.

9. S.M. Ignatov, V.N. Potapov, L.I. Urutskoev, A.V. Chesnokov, S.B. Scherbak, Avtomatizirovannaya sistema distancionnogo opredeleniya harakteristik polej fotonnogo ioniziruyuschego izlucheniya ava-rijnyh obektov, PTE [Automated system for remote characterization fields photon-ionizing radiation emergency facilities, PTE], 1998. 4. PP. 134–139.

10. A.V. Chesnokov, S.M. Ignatov, V.N. Potapov, et al. Determination of surface activity and radiation spec-trum characteristics inside buildings by a gamma lo-



cator, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research – Section A. 1997. Vol. 401. PP. 414–421.

11. Volkovich A.G., Potapov V.N., Smirnov S.V. i dr., Iz-mereniya polej fotonov ioniziruyuschego izlucheniya v reaktornom zale 4-go bloka ChAÈS. Atomnaya energiya [Measuring the photon fields of ionizing ra-diation in the reactor hall of the 4th block Chernobyl. Nuclear Energy,], 2000. T. 88. 3. PP. 203–207.

12. O.P. Ivanov. Novyj podhod k sozdaniyu portativnoj gamma-kamery s maksimal'nym uglom obzora, At-omnaya energiya [A new approach to the creation of a portable gamma camera with a maximum view-ing angle, Atomic Energy], 2010. T. 108. Vyp. 1. PP. 46–50.

13. A.G. Volkovich, Yu.V. Koba, V.I. Liksonov i dr., Primenenie kollimirovannogo detektora pri likvidacii posledstvij avarii v mashinnom zale 4-go energob-loka ChAÈS, Atomnaya energiya [The use of a colli-mated detector in the aftermath of the machine room of the 4th power Chernobyl Nuclear Power], 1990. T. 69. Vyp.6. PP. 389–391.

14. V.G. Volkov, Yu.A. Zverkov, O.P. Ivanov, i dr., Likvi-daciya trudnodostupnogo hranilischa vysokoak-tivnyh othodov RNC «Kurchatovskij institut», At-omnaya energiya [Elimination of hard-to-high-level waste repository, RRC «Kurchatov Institute», is the atomic energy], 2008. T. 105. Vyp. 3. PP. 164–169.

15. A.G. Volkovich, V.I. Liksonov, D.A. Lobanovskij, i dr., Izmerenie raspredeleniya poverhnostnoj plot-nosti aktivnosti v shahte reaktora 4-go energobloka Chernobyl'skoj AÈS, Atomnaya ènergiya [Mea-surements of the surface density of activity in the reactor cavity of the 4th unit of the Chernobyl Nu-clear Power Plant, Nuclear Power], 1990. T. 69. V. 3. PP. 164–167.

16. V.I. Fedin, A.A. Gulyaev, V.N. Potapov, et al, Appli-cation of Gamma Locator for Contamination Mea-surements inside 4-th Reactor Hall of Chernobyl NPP, –IEEE Trans. On Nucl. Sci. 1998. Vol. 45. 3. part. PP. 986–991.

17. A.P. Govorun, V.I. Liksonov, V.P. Romashko i dr., Spektral'no-chuvstvitel'nyj perenosnoj kollimirovan-nyj gamma-radiometr «KORAD», PTÈ [Spectral-sensitive portable collimated gamma-radiometer «Ladder», PTE] 5. 1994. PP. 207–208.

18. A.V. Chesnokov, A.P. Govorun, M.V. Ivanitskaya, V.I. Liksonov S.B. Shcherbak, Cs-137 Contamina-tion of Techa Flood Plain in Brodokalmak Settle-

ment, Applied Radiation & Isotopes, 1999. Vol. 50. Р. 1121–1129.

19. V.N. Potapov. Razrabotka radiometricheskih sistem i metodov polevyh i distancionnyh izmerenij radio-aktivnogo zagryazneniya na osnove modelirovaniya perenosa izluchenij, Dissertaciya na soiskanie uche-noj stepeni doktora fiziko-matematicheskih nauk [Development of radiometric systems and methods of the field and remote sensing measurements of radioactive contamination on the basis of model-ing the radiation transport, Thesis for the degree of Doctor of Physical and Mathematical Sciences], 2009 g. 324 p.

20. O.P. Ivanov, V.N. Potapov, S.B. Scherbak, Raschet moschnosti ekspozicionnoj dozy gamma-izlucheniya nad ploskoj poverhnost'yu s neravnomerno raspredel-ennoj aktivnost'yu radionuklidov, -Atomnaya èner-giya [The calculation of the exposure dose of gamma radiation over a flat surface with the uneven distribu-tion of activity of radionuclides is the atomic energy], 1995. 79. Vyp. 2. PP. 130–134.

21. Arapis G., Chesnokov A., Ivanova T., Potapov V., Sokolik G. Evaluation of dose equivalent rate reduc-tion as a function of vertical migration of Cs-137 in contaminated soils, Journal of Environmental Ra-dioactivity, November 1999. Vol. 46. Issue. 2. РP. 251–263.

22. V.G. Volkov, V.E. Stepanov, L.I. Urutskoev, A.V. Chesnokov, Radiometricheskie metody izmereniya udel'noj aktivnosti radionuklidov uranovogo ryada, Atomnaya ènergiya [Radiometric methods for mea-suring specific activity of radionuclides of the urani-um series, Atomic Energy, December], 2009. T. 107. Vyp. 6. PP. 329–334.

23. V.E. Stepanov, V.N. Potapov, S.V. Smirnov, A.S. Danilovich, Radiacionnoe obsledovanie pomeschenij reaktora MR s ispol'zovaniem distancionno-upravly-aemoj skaniruyuschej sistemoj. Atomnaya ènergiya [Radiation survey of the premises MR reactor using a remote-controlled scanning system. nuclear energy], 2012. T. 113. Vyp. 2. PP. 101–105.

24. Ignatov S.M., Urutskoev L.I. i dr. Energeticheskie razresheniya detektorov gamma-izlucheniya, izgo-tovlennyh na osnove sistemy scintillyator-SsI(Tl) Si fotodiod. PTÈ [Energy resolution gamma-ray detec-tors made on the basis of the scintillator-CsI (Tl) Si photodiode. PTE], 1994. Vyp. 2. 38 p.

Сведения об авторах Information about the authors

Уруцкоев Леонид Ирбекович доктор физ.-мат. наук

Российская академия народного хоз. и гос. службы при Президенте Российской Федерации

(РАНХ и ГС), МФТИE-mail: [email protected]

Чесноков Александр Владимировичдоктор техн. наук

ФГБУ Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

urutskoev Leonid Irbekovich Professor of MPhTIDoctor of Phys.-Math. SciencesThe Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (RANEPA) E-mail: [email protected] Alexander vladimirovichDoctor of Tech. SciencesNational Research Center «Kurchatov Institute»



А.Л. ГАЛИеВ – доктор техн. наук, профессор, Р.Г. ГАЛИеВА – канд. пед. наук, доцентА.Ф. ШИШКИНА – канд. техн. наук, зам. директора, доцентE-mail: [email protected]Филиал Уфимского государственного авиационного технического университета Республика Башкортостан, г. Стерлитамак

АНАЛИЗ ДетеКтОРА ОГИБАющей УСтРОйСтВА ОСЛАБЛеНИЯ АКУСтИЧеСКОй ОБРАтНОй СВЯЗИ

В статье приведен анализ качественных характеристик детектора огибающей, использующегося в устройствах ослабления акустической обратной связи с компандиро-ванием огибающей речевого сигнала. Детектор выполнен на операционном усилителе по схеме однополупериодно-го выпрямителя, что позволяет реализовать линейную де-текторную характеристику в широком диапазоне амплитуд сигнала. Для получения аналитических выражений, доста-точно точно описывающих работу детектора, использует-ся аппроксимация детекторной характеристики, которая удовлетворяет большинству типов полупроводниковых диодов. При этом речевой сигнал в устройстве рассма-

тривается как амплитудно-модулированный. Анализ мате-матической модели и экспериментальные исследования работы детектора показали, что его включение в схему вызывает сдвиг фазы огибающей, диапазон которого не превышает одно-двух периодов частоты речевого сигна-ла. Малое смещение не снижает качество и разборчивость речи, но проявляется в виде нелинейных искажений синте-зированного сигнала.

Ключевые слова: детектор огибающей, акустическая обрат-ная связь, сдвиг фазы, коэффициент нелинейных искажений, операционный усилитель.

А.L. GALIEV – Doctor of tech. Sciences, ProfessorR.G. GALIEVA – Cand. of Pedag. Sciences, Associate ProfessorА.F. ShIShKINA – Cand. of techn. Sciences, Deputy Director, Associate ProfessorE-mail: [email protected] of ufa State Aviation technical university Republic of Bashkortostan, Sterlitamak

ANALYSIS OF tHE ENvELOPE DEtECtOR DEvICE AttENuAtION OF ACOuStIC FEEDBACK

The article is an analysis of the qualitative characteristics of the envelope detector is used in devices attenuation of acous-tic feedback companding envelope of the speech signal. The detector is formed by an operational amplifier circuit for half-wave rectifier, which allows to realize a linear detector re-sponse over a wide range of signal amplitudes. To obtain ana-lytical expressions, quite accurately describe the operation of the detector, the detector characteristics used approximation, which satisfies most types of semiconductor diodes. Thus the speech signal is considered as a unit of the amplitude-modu-

lated signal. Analysis of the mathematical model and experi-mental studies of the detector shown that its inclusion in the circuit shifts the phase of the envelope , the range which does not exceed one or two periods of the frequency of the speech signal . Small displacement does not reduce the quality and in-telligibility, but manifested in the form of non-linear distortion of the synthesized signal.

Keywords: envelope detector, acoustic feedback, phase shift, total harmonic distortion (THD), operational amplifier.

В системах ослабления паразитной акустической обратной связи с компандированием огибающей речевого сигнала [1] основным «источником» нели-нейных и фазовых (временных) искажений является детектор огибающей (ДО). В данной работе авторы анализируют качественные характеристики детек-тора огибающей, выполненного на операционном усилителе по схеме однополупериодного выпрями-теля. Применение операционного усилителя в ДО позволяет реализовать линейную детекторную ха-рактеристику (АХ) в широком диапазоне амплитуд речевого сигнала.

Для анализа речевой сигнал представим в виде амплитудно-модулированного сигнала с глубиной модуляции m, а для более полного исследования

свойств ДО и с целью получения более точных ана-литических выражений его характеристик, восполь-зуемся аппроксимацией АХ функцией, удовлетворя-ющей большинству полупроводниковых диодов:

UОГ = −a U cC( )1 1α α α , UC > 0, a > 1 (1)

где a = K × m; K R R= 2 1 - модуль коэффициента передачи ОУ с об-ратной связью; UС и UОГ - амплитуды напряжений речевого сигнала и его огибающей соответственно; с ≈ 0,1 мВ - параметр, определяемый по данным эксперимента; a - параметр, зависящий от типа полупроводнико-вого диода.



При определении модуля коэффициента пере-дачи ОУ сопротивлением диода VD2 в прямом на-правлении можно пренебречь, т. к. RVD пр << R2. За-висимость (1) с высокой точностью совпадает с экспериментальными кривыми в широком диапазо-не входных сигналов. Ошибка аппроксимации при входном напряжении более 1 мВ не превышает одно-го процента. Для большинства полупроводниковых диодов справедливо соотношение a = 2, тогда, ис-пользуя (1) можно получить аналитическое выраже-ние для коэффициента передачи ДО при отсутствии паразитной генерации в системе

KДО =−( )R

Rm U c

U

C

C

3

2

2

. (2)

Сравнение характеристик обычного диодного де-тектора и детектора на ОУ показывает, что динами-ческий диапазон анализируемого ДО на два порядка выше, чем у обычного диодного детектора.

Для вычисления коэффициента нелинейных иска-жений воспользуемся формулой [2]:

k mUS S m U

S S m UC

C

C

Г = ⋅+

+

1

4

1

36

1

8

1

2

2

2 2 2

0 2

2 2

, (3)

где S U U S U U S U U! C C0 1 2= = =ОГ ОГ ОГ' '' '''( ), ( ), ( ) .

В результате вычислений имеем:

S K mU U c

S K m c U U c

S

C C

C C

0

11

1 1

1

1

1 12

1 1

21

= ⋅ −

= ⋅−

−

− −

− −

α α α α

α α α α ααα

( )

( )

22 2

2 13

1 1

31 2= ⋅

− −−

− −K m c U U cC C( )( )

( )α α

αα α α α α

. (4)

Подставляя (4) в (3), получим:

k c

m cU c

U U c

C

C C

Г =−

×

×

+ −−

− +

αα

αα

α

α

α

α α

α α

1

4

1 21

11

8

1

2

2

2

2

1 1

2

1 1

( )

( )

( )( −− −

−

1 2

2

2 2

1 1

)( )

.

αα

α

α α

c m

U cC

(5)

При a = 2 выражение (5) упрощается и принимает вид:

k c mU cC

Г =−

1

8.

На рисунке 1 приведены зависимости коэффици-ента нелинейных искажений от амплитуды входного сигнала для четырех значений глубины модуляции m. Расчетные зависимости свидетельствуют, что ДО на ОУ способен работать при больших глубинах моду-ляции (при большом динамическом диапазоне рече-вого сигнала) с малыми нелинейными искажениями. Динамический диапазон линейного детектирования ДО достигает 40-60 дБ.

Экспериментально установлено, что детектор огибающей вызывает смещение огибающей рече-вого сигнала. Для анализа времени смещения оги-бающей после детектирования воспользуемся пере-ходной характеристикой ФНЧ ДО. Динамический коэффициент ФНЧ выразим через нормированную переходную характеристику h(t):

K j t h h e djt

( , ) ( ) ( )Ω Ω= + −∫0

0

τ ττ , (6)

Представляя переходную характеристику ФНЧ ДО как h(t) =1 - e-t/t, где t = R3 × C1 - постоянная вре-мени ФНЧ ДО, получаем выражение для динамиче-ского коэффициента передачи в комплексной форме:

K j t e ej

tj t

( , )ΩΩ

Ω

=−+

− −1

1

τ

τ. (7)

Модуль коэффициента передачи:

K t e e tt t

( )cos

ΩΩ

Ω=

+ −+

− −1 2

1

2

2 2

τ τ

τ. (8)

Для удобства анализа перейдем к безразмерным переменным: a = t/t, b = Ω × t и перепишем выражение (8) в виде нормированного коэффициента передачи:

K a b e e abb

a a

( , )cos

=+ −

+

− −1 2

1

2

2. (9)

Зависимости (9) позволяют определить макси-мальное значение постоянной времени цепи для за-данного значения смещения фазы огибающей. Сдвиг фазы огибающей можно представить как:

Djог = Ωог × t = Ωог × a × t = Ωог × tm ,

где Ωог - частота огибающей речевого сигнала; tm - максимальное смещение огибающей во времени.



РИС. 1 • Зависимости коэффициента нелинейных искажений от напряжения сигнала (в процентах): kg1(U) – m1= 0.3, kg2(U) – m2 = 0.5, kg3(U) – m3 =0.7, kg4(U) – m4 = 0.9

Частота огибающей определяется временной функцией речевого сигнала, основанной на общепри-нятой теории образования гласных звуков речи [3, 4] с использованием таких свойств процессов образо-вания голосовых звуков речи как медленность изме-нения резонансных параметров артикуляционного аппарата и наличие временных интервалов полного смыкания голосовых связок [5]. Временная функция речевого сигнала f(t) является решением дифферен-циального уравнения [6]:

a f t M tq

αα

α

⋅ ==∑ ( )

( ) ( )

0

2

, (10)

a f t M tq

α αα

* ( ) * ( )⋅ ==∑0

2

, (11)

где M t b h tn

( ) ( )( )= ⋅

=∑ α

α

α 0

, M t b h tn

* ( ) * ( )= ⋅=∑ α αα 0

,

f a (t) = d af / d t a - производные речевого сигнала f(t), fa(t) = f (t + a × Dt) - временные сдвиги речевого сиг-нала (a = 0, 1, 2, 2q), h(t) - импульсная функция основного тона, Dt - положительная константа.

Коэффициенты аa уравнения (10) связаны с полю-сами рa коэффициента передачи К(р) рассматривае-мой линейной акустической системы:

a0 + a1 × pa + a2q × pa2q = 0 (a = 1, 2, … q),

где q - число формант речевого тракта.В результате экспериментов и вычислений по

(10, 11) можно определить длительность интервалов

размыкания голосовых связок, позволяющих устано-вить среднее значение частоты огибающей сигнала [6]. Установлено, что средняя частота огибающей соответствует частоте размыкания голосовых свя-зок (частоте смены основного тона) и находится в пределах Ωог ≈ 5 ÷ 20 Гц. Тогда диапазон сдвига фазы огибающей:

Djог max = Ωог × t = Ωог × tm = (5 ÷ 20) × tm.

Эксперименты показали, что динамический ко-эффициент передачи ФНЧ достигает значения 0,7 при t = t для всех исследуемых частот сигнала [7]. Это позволяет исключить в канале передачи основ-ной частоты, использующей ДО, устройство за-держки, т.к. смещение во времени огибающей не превышает одного-двух периодов частоты речевого сигнала. Малое смещение во времени огибающей вызывает незначительный сдвиг фазы речевого сигнала, не снижающий качество и разборчивость речи, т.к., согласно закону Гельмгольца [8], слух ре-агирует только на частоты и амплитуды составляю-щих сложного колебания и не воспринимает фазу колебания. Роль фазовых соотношений в воспри-ятии речи рассматривается также в [9, 10, 11], где показано, что общий закон о невосприимчивости слуха к фазе остается верным и применительно к речевому сигналу. Однако, как и для других сигна-лов, фазовые соотношения между составляющими речевого колебания сказываются на звучании син-тезированной речи только в виде нелинейных ис-кажений в тракте слухового восприятия, определяе-мых пикфактором сигнала.

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

43.24

0.23

kg1 U( )

U( )

U

U

( )

kg2

kg3

kg4 U( )

302



Список литературы

1. Галиев А.Л., Шишкина А.Ф. Устрой-ство ослабления акустической об-ратной связи с компандированием огибающей речевого сигнала // Про-мышленные АСУ и контроллеры. 2011. 6. С. 48–50.

2. Крылов Н.Н. Нелинейные искажения при детектировании модулированных колебаний // Научные труды ЛВМУ. 1946. вып. 1. С. 154–161.

3. Фант Г. Акустическая теория речео-бразования. М., Наука, 1969. 228 с.

4. Flanagan J. L. Autamatic extraction of for-mant frequences from continnous speech. J. Acoust. Soc. America, 1956. 28. 1. С. 110–118.

5. Flanagan J. L. Evaluation of two auto-matic formant extractors. J. Acoust. Soc. America, 1956. 28. 1. PP. 118–125.

6. Собакин А. Н. Об определении фор-мантных параметров голосового трак-та по речевому сигналу с помощью ЦВМ // Акуст. ж., 1972. Т. 18. В.1.

7. Шишкина А.Ф. Элементы и устрой-ства повышения устойчивости элек-троакустических систем (развитие теории, исследования и разработка): автореферат диссертации на соиска-ние ученой степени кандидата тех-нических наук. Уфимский государ-ственный авиационный технический университет. Уфа, 2011. 159 с.

8. Helmholtz H.V. Die Lehre von Tonemp-findungen, Berlin, 1862.

9. Пирогов А. А. Синтезируемая теле-фония. М.: Связьиздат. 1963. 189 с.

10. Пирогов А.А. Роль фазовых соотно-шений в восприятии речи // Акуст. ж., 1974, Т.10, вып. 3. С. 144–146.

11. Сапожков М.А. О некоторых пу-тях улучшения качества синтезиру-емой речи // Акуст. ж., 1971. 17. 4. С. 605–609.

References

1. Galiev A.L., Shishkina A.F. Ustroystvo oslableniya akustiches-koy obratnoy svyazi s kompandirovaniem ogibayushchey re-chevogo signala [Device attenuation of acoustic feedback com-panded speech envelope]. Promyshlennye ASU i kontrollery [Industrial ACS and controllers]. 2011. 6. PP. 48–50.

2. Krylov N.N. Nelineynye iskazheniya pri detektirovanii modu-lirovannykh kolebaniy [Harmonic distortion in detecting the modulated oscillations]. Nauchnye trudy LVMU [Scientific pa-pers LVMU]. 1946. Vyp. 1. PP. 154–161.

3. Fant G. Akusticheskaya teoriya recheobrazovaniya [Acoustic theory of speech production]. M.: Nauka [Moscow: Publishing house «Science»], 1969. 228 p.

4. Flanagan J.L. Autamatic extraction of formant frequences from continnous speech. J. Acoust. Soc. America, 1956, 28, 1. PP. 110–118.

5. Flanagan J.L. Evaluation of two automatic formant extractors. J. Acoust. Soc. America, 1956. 28. 1. PP. 118–125.

6. Sobakin A. N. Ob opredelenii formantnykh parametrov goloso-vogo trakta po rechevomu signalu s pomoshchyu TsVM [On the determination of the parameters of the vocal tract formant speech signal by using a digital computer]. Akust. zh. [Acoustical jour-nal], 1972. T. 18. V. 1.

7. Shishkina A.F. Elementy i ustroystva povysheniya ustoychivo-sti elektroaku-sticheskikh sistem (razvitie teorii, issledovaniya i razrabotka): avtoreferat dissertatsii na soiskanie uchenoy stepeni kandidata tekhnicheskikh nauk [Elements and devices resilience elektroaku-audio systems (development of theory, re-search and development): Autoabstract of the dissertation for the degree of candidate of technical sciences]. Ufimskiy gosu-darstvennyy aviatsionnyy tekhnicheskiy universitet [Ufa State Aviation Technical University]. Ufa, 2011. 159 p.

8. Helmholtz H.V. Die Lehre von Tonempfindungen, Berlin, 1862.9. Pirogov A.A. Sinteziruemaya telefoniya [Synthesized telepho-

ny]. M.: Svyazizdat [Moscow: State publishing literature on communication and radio]. 1963. 189 p.

10. Pirogov A. A. Rol fazovykh sootnosheniy v vospriyatii rechi [The role of phase relations in the perception of speech]. Akust. zh. [Acoustical journal], 1974. T. 10. vyp. 3. PP. 144–146.

11. Sapozhkov M.A. O nekotorykh putyakh uluchsheniya kachest-va sinteziruemoy rechi [Some ways to improve the quality of synthesized speech]. Akust. zh. [Acoustical journal], 1971. 17. 4. PP. 605–609.

Сведения об авторах Information about the authors

Галиев Анвар Лутфрахмановичдоктор техн. наук, профессор, директор филиала

E-mail: [email protected]Галиева Раиля Гаммовна

кандидат пед. наук, доцент E-mail: [email protected]

Шишкина Анна Федоровна канд. техн. наук

зам. директора, доцент кафедрыФилиал Уфимского государственного

авиационного технического университета 453104, Республика Башкортостан

г. Стерлитамак, ул. Химиков, 21

galiev Anvar LutfrahmanovichDoctor of Tech. Sciences, ProfessorE-mail: [email protected] Railya gammovnaCand. of Pedag. Sciences, Associate ProfessorE-mail: [email protected] Anna FedorovnaCand. of Techn. SciencesDeputy Director, Associate ProfessorBranch of Ufa State Aviation Technical University 453104, Republic of BashkortostanSterlitamak, Himikov str., 21


Международная выставка инноваций «IEIK 2014»

• 19 ноября 2014 г. – 22 ноября 2014 г., срок подачи заявок до 1 октября 2014 г.

С 19 по 22 ноября 2014 г. в международном выставочно-конгрессном центре промышленной зоны вне-дрения высоких технологий г. Куньшань (Китай) пройдет 8-я международная выставка инноваций IEIK 2014, призванная открыть доступ к международным, в том числе китайскому рынкам интеллектуальной собственности, технических новаций, а также содействовать технологическому обмену в сфере научно-технических достижений, являющихся объектами промышленной собственности.

Выставка проводится при поддержке министерства науки и технологий, Государственного агентства по интеллектуальной собственности Китая и международной федерации ассоциаций изобретателей. тема-тика демонстрируемых разработок разнообразна – от самоделок для домашнего пользования до высо-котехнологичного оборудования и машин.

Учитывая планы организаторов, ожидается участие экспонентов из более 40 стран, число демонстриру-емых разработок – более 3000, а также насыщенная деловая программа: презентация «Kunshan Maker Fair» – познакомит с последними программными и It разработками предприятий зоны внедрения высо-ких технологий, форум «международный рынок интеллектуальной собственности», встречи разработ-чиков с инвесторами и производителями.

Лучшие разработки и технологии по результатам конкурсной программы будут отмечены призами, меда-лями и дипломами.

При обращении к организаторам мероприятия следует ссылаться на сайт «Конференции.ru» как на ис-точник информации.

Последний день подачи заявки: 1 октября 2014 г.Организаторы: Ассоциация «Российский Дом международного научно-технического сотрудничества»Контактная информация: макарычев Борис Александрович, тел.: (495) 629-03-35/73-29Эл. почта: [email protected]

выставка «RobotIcs Expo 2014»

• 27 ноября 2014 г. — 29 ноября 2014 г., срок подачи заявок: 21 ноября 2014 г.

С 27 по 29 ноября 2014 г. в москве, в КВц «Сокольники», состоится II ежегодная Выставка Робототехники и передовых технологий Robotics Expo 2014.

Впервые выставка Robotics Expo была проведена осенью 2013 года, моментально завоевав позиции на рынке, и став основополагающим звеном в развитии глобальной роботомании в России.

По данным регистрационной коллегии, Robotics Expo в 2013 г. собрала более 3500 человек, 150 из кото-рых приняли участие в научно-образовательной конференции. Среди спикеров конференции были веду-щие специалисты отрасли:

марина Фридин – израильская исследовательница ортопедической и реабилитационной робототехники, Людгер Ховештадт – профессор EtH Zürich (Швейцария), Амин Риги – директор RtS Lab (Иран), Вячеслав Кравцов – Rbot, юлия Антощенкова – бренд-менеджер Bosch и другие.

ВЫСтАВки


ВыСтАВКИ

мероприятие также вызвало небывалый интерес у представителей СмИ. Выставку освещали: Россия1, Russia today, москва24, Forbs, LifeNews, the village и другие.

В 2014 г. организаторы обещают максимально раскрыть робототехнический потенциал России и при-влечь как можно больше представителей зарубежных компаний для обмена опытом и инновациями. мероприятие станет главной бизнес-площадкой для всех представителей индустрии – производителей робототехники, разработчиков ПО и приложений для роботов, представителей научно-образовательных институтов и государственных учреждений, стартаперов, инвесторов, а также всех, кто заинтересован в инновационных технологиях.

Первый день выставки будет отведен под B2B-формат. Последующие два дня двери выставки будут от-крыты для всех желающих.

В 2014 г. экспозиция Robotics Expo станет еще шире и увлекательней. Выставку дополнит одно из самых перспективных направлений в России – «Промышленная робототехника».

Среди предлагаемых тематических направлений 2014 года:

– Сервисная робототехника (роботы-бармены, роботы для мытья окон, роботы-официанты, роботы-пылесосы);

– Роботы-промоутеры, развлекательные роботы, игрушки;

– Роботы телеприсутствия;

– Роботизированный транспорт;

– Дроны;

– Роботы для обеспечения безопасности (охранные дроны, роботы, патрулирующие территорию);

– Образовательные роботы для детей;

– Бытовая персональная робототехника;

– Персональные, развлекательные, социальные и реабилитационные роботы;

– Экзоскелеты, роботизированные конечности и органы;

– 3-D принтеры, AR-технологии для использования в бизнесе;

– «Умные вещи», гаджеты, девайсы.

Помимо стандартной экспозиции, участников ждет научная конференция, площадки для тестирования робототехники, зона виртуальной реальности, комфортная лаунж-зона для общения, площадка для стартапов Speed Dealing, зона квадрокоптеров и дронов, а также специальная интерактивная сцена для футуристических выступлений роботов-артистов.

Контакты:www.robot-ex.ru

Для экспонентов – [email protected]

Для спикеров – [email protected]

Для СмИ – [email protected]

Для посетителей – [email protected]

тел.: +7 (495) 212 11 28.

Последний день подачи заявки: 21 ноября 2014 г.

Организаторы: Smile Expo

Контактная информация: тел.: +7 495 212-11-28. Эл. почта: [email protected].

Веб: www.robot-ex.ru

Эл. почта: [email protected]


Международный форуМ «Горное дело: технолоГии. оборудование. спецтехника 2014»

• 24 сентября 2014 г. – 26 сентября 2014 г., срок подачи заявок: 10 сентября 2014 г.

С 24 по 26 сентября 2014 года в г. екатеринбурге (мВц «екатеринбург-Экспо») состоится международный форум промышленных технологий «мир промышленности/WIN RuSSIA uRAL». Официальное органи-зационное участие в Форуме примут Правительство Свердловской области, Союз машиностроителей России, международный союз металлургов, Государственная корпорация «Ростехнологии», Уральская торгово-промышленная палата.Форум «мир Промышленности/WIN Russia ural» направлен на реализацию задач по развитию базовых отраслей промышленности, обеспечивающих развитие региональной экономики. В первую очередь – это вопросы внедрения инновационных технологий, модернизации производственных мощностей пред-приятий горно-металлургического и машиностроительного комплексов, расширение делового партнер-ства и научно-технического сотрудничества. В работе над проектом задействованы профильные ассоциации и союзы, руководители и ведущие спе-циалисты отраслевых научных и образовательных учреждений. Оргкомитетом Форума определены основные направления деловой программы, которая объединит научно-практические конференции и семинары, обзорные технологические презентации и мастер-классы, демонстрационные сессии научно-технических и технологических проектов.В рамках Форума пройдет специализированная выставка «uralMining/Горное дело: технологии. Обо-рудование. Спецтехника», на которой будут представлены передовые решения для оснащения предпри-ятий горно-металлургического комплекса.Последний день подачи заявки: 10 сентября 2014 г.Организаторы: ЭкспоГрадКонтактная информация: г. екатеринбург, тел.: +7 (343) 202-04-84Эл. почта: [email protected]

Международный салон изобретений и новых технолоГий «новое вреМя»


С 25 по 27 сентября 2014 г. (сроки уточняются) в городе Севастополе министерство образования и науки Украины, Украинская академия наук и Севастопольская городская администрация проводят 10-й меж-дународный салон изобретений и новых технологий «Новое время».Салон проходит под лозунгом «Устойчивое развитие во время перемен», в его рамках проходят пре-зентации, ярмарка разработок и новых технологий, работает международное жюри во главе с Пьером Фюмьером (Бельгия). Победители Салона награждаются специальными призами и медалями.Организаторы определили 20 направлений науки и техники, по которым регистрируются разработки. Среди них – фундаментальная и прикладная наука, энергетика и электротехника, общая и инженерная механика, новые материалы и инструменты, электроника и робототехника, оптика и лазерная техника, транспорт, пищевая промышленность и сельское хозяйство, экология и защита окружающей среды, биофизика, био-технологии и биоинженерия, медицина и технологии для здоровья, инновационное предпринимательство.Участие отечественных изобретателей в салоне «Новое время» будет способствовать долгосрочному развитию двустороннего торгово-экономического и научно-технологического сотрудничества между российскими и украинскими организациями.Организаторы: Ассоциация «Российский дом международного научно-технического сотрудничества»Последний день подачи заявки: 1 сентября 2014 г.Контактная информация: тел.: (495) 629-03-35/73-29Эл. почта: [email protected]

кОНфеРеНЦии


КОНФЕРЕНЦИИ

xхxVIII Международная научно-практическая конференция «технические науки – от теории к практике»


Издание и рассылка сборника статей Конференции планируется 9 октября 2014 года (через 15 дней по-сле окончания конференции). Сборнику статей будут присвоены коды ISSN, УДК и ББК, он будет разо-слан по библиотекам, и зарегистрирован в Российской книжной палате.Все статьи принявшие участие в конференции проходят обязательное рецензирование квалифицирован-ными специалистами, а также проходят проверку на плагиат (используется сервис www.antiplagiat.ru). Оригинальность текста должна составлять не менее 75% от объема статьи.Обсуждение присланных статей будет проходить в дистанционном формате с 04.10 по 09.10 на сайте www.sibac.info.Все статьи принявшие участие в конференции 24.09.2014 будут проиндексированы в системе Российско-го индекса научного цитирования (РИНц). Для отслеживания цитируемости работы в научных изданиях необходимо зарегистрироваться на сайте eLIBRARY.Ru.По итогам конференции будет определен Лауреат конференции. Подробнее с правилами определения Лауреата конференции вы можете ознакомиться на сайте: www.sibac.info в разделе Правила участия. Лауреат конференции получает возможность бесплатно опубликовать одну статью в научном журнале «universum: технические науки».СеКцИИ КОНФеРеНцИИ:

Секция 1. Инженерная графика, САПР, CAD, CAEСекция 2. Информатика, вычислительная техника и управлениеСекция 3. ЭлектроникаСекция 4. машиностроение и машиноведениеСекция 5. Энергетика и энергетические техника и технологииСекция 6. Горная и строительная техника и технологииСекция 7. материаловедение и металлургическое оборудование и технологииСекция 8. транспорт и связь, кораблестроениеСекция 9. Аэро-космическая техника и технологииСекция 10. Строительство и архитектураСекция 11. Сельское и лесное хозяйство, агроинженерные системыСекция 12. Химическая техника и технологияСекция 13. технология продовольственных продуктовСекция 14. технология материалов и изделий легкой промышленностиСекция 15. Приборостроение, метрология, радиотехникаСекция 16. ЭлектротехникаСекция 17. Безопасность жизнедеятельности человека, промышленнаябезопасность, охрана труда и экологияСекция 18. Инжиниринговые и научно-технические системы и платформыСекция 19. Организация производства и менеджмент, системы управления качествомСекция 20. Нанотехнологии и наноматериалыСекция 21. методология и философия науки и техники

Стоимость публикации 1 страницы – 220 руб. Стоимость перевода аннотации и ключевых слов 300р. Сто-имость дополнительного сборника 350 руб./шт. Стоимость сертификата участника 100 руб./шт. На одну опубликованную статью бесплатно высылается один экземпляр сборника, в котором опубликована данная статья, независимо от числа соавторов. Стоимость доставки по Российской Федерации включена в стои-мость публикации. Стоимость доставки сборников в страны СНГ – 250 руб., дальнее зарубежье 400 руб.Контакты: 630075, г. Новосибирск, Залесского 5/1, оф. 605. тел.: 8 (383) 2-913-800; 8-913-915-38-00Последний день подачи заявки: 24 сентября 2014 г.Организаторы: НП «СибАК»Контактная информация: 630075, г. Новосибирск, Залесского 5/1, оф. 605.

тел.: 8 (383) 2-913-800; 8-913-915-38-00. Эл. почта: [email protected]



транспорт россии: проблеМы и перспективы – 2014

• 2 октября 2014 г. – 2 октября 2014 г.

Россия, Санкт-ПетербургФорма участия: очно-заочнаяОрганизаторы: Российская Академия наук; Отделение нанотехнологий и информационных технологий

РАН; министерство транспорта РФ; ОАО «Российские железные дороги»; Институт проблем транс-порта РАН им. Н.С. Соломенко

Контактная информация: Федеральное государственно бюджетное учреждение науки Институт проблем транспорта им. Н.С.Соломенко Российской академии наук. тел./факс: (812) 323-29-54, (812) 321-95-68, 8 (921)307-51-58


V Международная научно-практическая конференция «адаптация биолоГических систеМ к естественныМ и экстреМальныМ фактораМ среды»

• 2 октября 2014 г. – 3 октября 2014 г., срок подачи заявок: 15 сентября 2014 г.

СеКцИИ КОНФеРеНцИИ:1. Радиобиология и радиоэкология.2. Адаптация биосистем к естественным и экстремальным факторам среды.3. Психофизиологические закономерности адаптации человека на разных этапах онтогенеза.4. Экспериментальная и экологическая физиология.5. Физиология спорта и адаптивная физическая культура.6. медико-биологические основы формирования экологической культуры, здоровья и безопасного образа жизни.

Последний день подачи заявки: 15 сентября 2014 г.Организаторы: министерство образования и науки Челябинской области; Федеральное государственное

бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный педагогический университет», кафедра анатомии, физиологии человека и животных

Контактная информация: 454074, г. Челябинск, ул. Бажова, 46-а, естественно-технологический факультет ФГБОУ ВПО «ЧГПУ», кафедра анатомии, физиологии человека и животных. тел.: 8 (351) 772-17-03, эл. почта: [email protected]


всероссийская научно-техническая конференция «систеМы связи и радионавиГации»


В рамках конференции будут рассматриваться наиболее актуальные вопросы развития, проектирования и производства современных систем связи и радионавигации, внедрения новых технологий для радио-электронной аппаратуры. Работа конференции будет организована по следующим направлениям:

– системы спутниковой и тропосферной связи;– радионавигационные системы;– современные технологии для радиоэлектронной аппаратуры.

По итогам конференции будет издан сборник материалов конференции, лучшие доклады будут опубликова-ны в 12 номере международного научно-технического журнала «Успехи современной радиоэлектроники».Организаторы: ОАО «Научно-производственное предприятие «Радиосвязь» под эгидой Научно-техниче-

ского совета Госкорпорации «Ростехнологии»Контактная информация: ОАО «НПП «Радиосвязь», ул. Декабристов, д. 19, Красноярск, 660021. тел.: +7

(923) 270-52-52; тел./факс: (391) 221-79-30 Эл. почта: [email protected]



I Международная научно-практическая конференция «инновационные технолоГии в строительстве и ГеоэколоГии»

• 6 октября 2014 г. – 6 октября 2014 г., срок подачи заявок: 6 октября 2014 г.

I международная научно-практическая конференция «Инновационные технологии в строительстве и геоэкологии» для аспирантов, студентов, соискателей, научных работников, докторантов. В оргкомитет конференции входят ведущие ученые России.Конференция проводится по секциям:

1. Фундаметальные основы инновационных технологий; 2. Инновационные технологии и решения в строительстве и геоэкологии.

Последний день подачи заявки: 6 октября 2014 г.Организаторы: Кафедра «Инженерная химия и естествознание» ФГБОУ ВПО «Петербургский государ-

ственный университет путей сообщения императора Александра I» и крупнейшее научное издатель-ство «Спутник +»

Контактная информация: 109428, г. москва, Рязанский проспект, д. 8а. Издательство «Спутник +». тел.: 8-495-730-47-74, 778-45-60

E-mail: [email protected]Эл. почта: [email protected]

6-й Международный сиМпозиуМ по неравновесныМ процессаМ, плазМе, Горению и атМосферныМ явленияМ (NEpcAp-2014)


В тематике симпозиума – фундаментальные проблемы воспламенения и горения, включая горение в дви-гателях летательных аппаратов и в стационарных энергетических установках; новые методы инициирова-ния горения и детонации, в том числе лазерным излучением и электрическим разрядом; кинетика элемен-тарных процессов, включая ядерные реакции; неравновесные процессы в ударных волнах; физические и химические процессы в высокоскоростных потоках; физика газового разряда и процессы в низкотемпера-турной и кластерной плазме; управление цепными реакциями, горением; лазерная абляция; физико-хими-ческие механизмы образования вредных веществ, включая образование сажи, ионов, серных и азотистых соединений, полициклических углеводородов; физика и химия кластеров и аэрозолей, образующихся в выхлопных газах двигателей и энергоустановок, включая жидкие аэрозоли, частицы льда и заряженные частицы; химические процессы в атмосфере и атмосферные аэрозоли; влияние выбросов из энергоустано-вок на атмосферные процессы и климат; вопросы получения новых материалов на основе нанотехнологий. Сайт Симпозиума NEPCAP2014: http://nepcap2014.ciam.ru Регистрация участников Симпозиума NEPCAP2014 на сайте: http://www.nepcap2014.ciam.ru/reg?lang=eng Организаторы: центральный институт авиационного моторостроения им. П. И. Баранова (цИАм); Институт

химической физики им. Н. Н. Семенова РАН (ИХФ РАН); Отделение химии и наук о материалах РАН; Отделение энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН; Научный совет по химической физике РАН; Научный совет по горению и взрыву РАН

Контактная информация: (495) 361-64-68; факс: (495) 362-03-73Эл. почта: [email protected]

xV Международная заочная научно-практическая конференция «теория и практика совреМенной науки»

• 8 октября 2014 г. – 9 октября 2014 г., срок заявок: 6 октября 2014 г.

материалы конференции будут опубликованы в форме сборника научных статей и разосланы авторам, а также доступны в электронном виде на сайте.Сборнику будут присвоены ISBN, УДК, ББК.



материалы конференции будут включены в Российский индекс научного цитирования (РИНц).16 обязательных экземпляров будут отправлены в Книжную Палату РФ.

НАПРАВЛеНИЯ РАБОты КОНФеРеНцИИ:

01.00.00 Физико-математические науки02.00.00 Химические науки03.00.00 Биологические науки04.00.00 Геолого-минералогические науки05.00.00 технические науки06.00.00 Сельскохозяйственные науки07.00.00 Исторические науки08.00.00 Экономические науки09.00.00 Философские науки10.00.00 Филологические науки11.00.00 Географические науки12.00.00 юридические науки13.00.00 Педагогические науки14.00.00 медицинские науки15.00.00 Фармацевтические науки16.00.00 Ветеринарные науки17.00.00 Искусствоведение18.00.00 Архитектура19.00.00 Психологические науки22.00.00 Социологические науки23.00.00 Политические науки24.00.00 Культурология25.00.00 Науки о земле

Заявки подаются в электронном виде по форме, размещенной на нашем сайте, и состоят из двух файлов в формате WinWord:

1) анкета заявителя; название файла дается по фамилии автора заявки 2) текст статьи; тезисы для публикации высылаются на эл. почта оргкомитета [email protected].

Организаторы: НИИц «Институт Стратегических Исследований»Контактная информация: Эл. почта: [email protected]Эл. почта: [email protected]

14-й петербурГский Международный энерГетический форуМ


мероприятие проводится с 1999 года по инициативе Правительства РФ и ОАО «Газпром», и за более чем десятилетнюю историю стало одной из лучших коммуникационных площадок для представителей энергетической отрасли. традиционно в работе Форума принимают участие представители органов го-сударственной власти, профильных министерств и ведомств, руководители и специалисты ведущих рос-сийских и международных нефтегазовых компаний и предприятий смежных отраслей.С 2012 года Петербургский международный энергетический форум проводится один раз в два года.Перечень мероприятий Энергетического Форума 2014 года включает: деловую (пленарное заседание, 7 конференций, семинар минэнерго РФ), выставочную и конкурсную программы, а также Биржу дело-вых контактов. В качестве самостоятельного направления выделена конференция «Приоритетные не-фтегазовые проекты на шельфе России».На предстоящем Форуме основными темами для обсуждения станут вопросы добычи трудноизвлека-емых запасов углеводородного сырья, обеспечения аварийно-спасательных работ на предприятиях тЭК, современной нефтепереработки и нефтехимии, хранения и транспортировки нефти и нефтепро-



дуктов по трубопроводам, технической и экологической безопасности на объектах отрасли, инвести-ций в энергетике.Параллельно с деловой программой развернёт свою экспозицию выставочная экспозиция. Основные тематические направления выставки – геология, техника и технологии для эксплуатации нефтегазовых месторождений, трубопроводы, промышленно-экологическая безопасность, охрана окружающей сре-ды и охрана труда, информационное обеспечение работ.Организаторы: министерство энергетики Российской Федерации; министерство природных ресурсов и

экологии Российской Федерации; Федеральное агентство по недропользованию; Аппарат полномоч-ного представителя Президента Российской Федерации в Северо-Западном федеральном округе; Научный совет РАН по геологии и разработке нефтяных и газовых месторождений; ОАО «Газпром»; Российский научный центр «Курчатовский институт»; ООО «Газпром экспо»; Правительство Санкт-Петербурга; Правительство Ленинградской области; ВО «РеСтЭК®»

Контактная информация: Веб: www.forumtek.ru. Эл. почта: [email protected]. тел.: +7 812 3038863Эл. почта: [email protected]

Международная Молодежная школа-конференция «актуальные вопросы МатеМатики»

• 8 октября 2014 г. – 9 октября 2014 г., срок заявок: 15 сентября 2014 г.

цели школы-конференции – активизация и стимулирование научной работы молодых ученых (до 35 лет) и привлечение их к исследованиям по актуальным направлениям фундаментальной науки; обеспечение научных контактов молодых с ведущими специалистами в области математики; развитие системы моло-дежных научных школ по математике; ознакомление с новейшими достижениями и актуальными задача-ми в области математики и ее приложениями.

ОСНОВНые НАПРАВЛеНИЯ РАБОты КОНФеРеНцИИ:

1. Алгебра и математическая логика.2. Дискретная математика и ее приложения. 3. топология и геометрия. 4. Прикладные и практические аспекты математики.

Организаторы: министерство образования и науки Российской Федерации; министерство образования, науки и молодежной политики Республики Алтай; Горно-Алтайский государственный универси-тет (Россия, г. Горно-Алтайск); московский педагогический государственный университет (Россия, г. москва); Новосибирский государственный педагогический университет (Россия, г. Новосибирск); томский сельскохозяйственный институт – филиал ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный аграрный университет» (Россия, г. томск); томский областной институт повышения квалификации и переподготовки работников образования (Россия, г. томск);Павлодарский государственный уни-верситет им. С.торайгырова (Казахстан, г. Павлодар); Николаевский Национальный университет им. В.А. Сухомлинского (Украина, г. Николаев); марийский государственный университет (Республи-ка марий Эл, г. йошкар-Ола); Вильнюсский педагогический университет (Литва, г. Вильнюс)

Контактная информация: тел.: +7 9136918816, эл. почта: [email protected]; тел.: +7 9236624410; эл. почта: [email protected]


научно-практическая конференция студентов и аспирантов «актуальные проблеМы развития авиационной техники и Методов ее эксплуатации – 2014»


Иркутский филиал московского государственного технического университета гражданской авиации (Иркутский филиал мГтУ ГА) приглашает принять участие в региональной научно-практической конфе-ренции студентов и аспирантов «Актуальные проблемы развития авиационной техники и методов ее экс-плуатации – 2014», которая состоится в Иркутском филиале мГтУ ГА 9–10 октября 2014 г.



Работа конференции планируется по следующим направлениям:1. Летательные аппараты и авиадвигатели;2. Информационные технологии в гражданской авиации;3. Авиационные электросистемы и пилотажно-навигационные комплексы;4. Авиационное радиоэлектронное оборудование;5. Приложения естественно-научных дисциплин в гражданской авиации; 6. Приложения гуманитарных и социально-экономических дисциплин в гражданской авиации.

К началу работы будет издан сборник научных статей по материалам докладов. Сборнику присваи-ваются соответствующие библиотечные индексы УДК, ББK и международный стандартный книжный номер (ISBN).Оплата организационных взносов не требуется. Публикация и рассылка сборника Организаторы: Иркутский филиал мГтУ ГАКонтактная информация: г. Иркутск, ул. Байкальская 216А, отдел редакционно-издательской и научной ра-

боты Иркутского филиала мГтУ ГА. тел.: 8 (3952) 794-542 (доб. 121). E-mail: [email protected]

xIII Международная конференция «Мёссбауэровская спектроскопия и ее приМенения»

• 11 октября 2014 г. – 15 октября 2014 г., срок заявок: 20 мая 2014 г.

Форма участия: очнаяКонференция является очередной в цикле традиционных всероссийских (Всесоюзных) и, в последую-щем, международных научных конференций, посвященных исследованиям сверхтонких взаимодействий в конденсированных средах методом мёссбауэровской спектроскопии. цель проведения настоящей конференции – предоставить возможность российским ученым и их зарубежным коллегам обсудить по-следние достижения в области взаимодействия гамма-излучения с веществом. Предметом обсуждения будут фундаментальные и прикладные результаты, полученные в физике конденсированного состояния с использованием мёссбауэровского и синхротронного излучения. Кроме того, немаловажной задачей является обеспечение возможности для молодых ученых представить свои работы и перенять опыт вы-дающихся специалистов в данной области. На конференции планируются выступления с приглашенны-ми докладами ведущих специалистов из крупнейших научных центров.Организаторы: Российская академия наук; Совет РАН «Общая химия и наука о материалах»; Федераль-

ное государственное бюджетное учреждение науки Институт металлургии и материаловедения им. А.А. Байкова Российской академии наук; московский государственный технический универси-тет радиотехники, электроники и автоматики; Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В.Скобельцына; мГУ им. м.В. Ломоносова

Контактная информация: E-mail: [email protected]; тел.: +7(495) 939-20-48 Россия, москва, 119991, Ленинский пр-т, 49, Имет РАН


13-я Международная научная конференция-школа «Материалы нано-, Микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики:

физические свойства и приМенение»


Форма участия: очнаяНАУЧНые НАПРАВЛеНИЯ КОНФеРеНцИИ:

Секция 1. Наноматериалы и нанотехнологииСекция 2. Волоконная оптика Секция 3. Новые функциональные материалыСекция 4. Лазерные материалы и технологииСекция 5. Электронные явления в новых материалах и наноструктурах



Организаторы: Национальный исследовательский мордовский государственный университет им Н.П. Ога-рёва; Научный центр волоконной оптики РАН; Институт общей физики им. А.м. Прохорова РАН; Ин-ститут химии высокочистых веществ им. Г.Г. Девятых РАН; Национальный исследовательский Нижего-родский государственный университет им. Н.И. Лобачевского; Правительство Республики мордовия; Научный совет РАН по физике конденсированных сред

Контактная информация: Веб: www.vnksh.mrsu.ru. 430005, г. Саранск, ул. Большевистская, д.68. мГУ им. Н.П. Огарева, Институт физики и химии. тел./факс.: (8 834 2) 242444.


всероссийская конференция и школа для Молодых ученых «систеМы обеспечения техносферной безопасности»

• 14 октября 2014 г. – 16 октября 2014 г

Форма участия: очно-заочнаяВсероссийская конференция и школа для молодых ученых «Системы обеспечения техносферной без-опасности» г. таганрог. Инженерная технологическая академия южного федерального университета, 14–16 октября 2014 г.ОСНОВНые НАПРАВЛеНИЯ РАБОты КОНФеРеНцИИ:

– методы прогнозирования и ликвидации чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера

– технологии и системы обеспечения экологической безопасности– методы управления рисками и безопасностью в техносфере– Системы обеспечения безопасности на производстве.

В рамках школы для молодых ученых будут лекции обзорного плана ведущих ученых из числа членов программного комитета и приглашенных специалистов в области техносферной безопасностиК началу работы конференции будет издан сборник трудов конференции. Лучшие работы очных участников конференции будут опубликованы в журнале «Известия юФУ. техни-ческие науки», рекомендованным ВАК и индексируемом в наукоемкой базе РИНц в виде полнотексто-вых статей, а также отмечены дипломами. требования к статьям будут указаны во втором информацион-ном сообщении.Организаторы: Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального

образования «южный федеральный университет»; Академия государственной противопожарной службы мЧС России; Группа компаний «Промышленная безопасность», г. москва

Контактная информация: тел.: (8634) 37-16-24.Эл. почта: [email protected]

«совреМенные Методы функциональной диаГностики»


Форма участия: заочнаяматериалы, опубликованные в данной монографии, будут размещены на сайте http://elibrary.ru/, что подразумевает их индексацию в наукометрической базе РИНц (Российского индекса научного цитиро-вания). Это позволит отследить цитируемость монографии в научных изданиях.Организаторы: НП «СибАК»Контактная информация: 630075, г. Новосибирск, Залесского 5/1, оф. 605.

тел.: 8 (383) 2-913-800; 8-913-915-38-00. Ответственная за издание коллективных монографий – Гуцалова Надежда Георгиевна.




8-я Международная конференция по использованию инфорМационно-коММуникационных технолоГий


Форма участия: очная8-я международная конференция по использованию информационно-коммуникационных технологий (AICt2014) организованная Назарбаев Университетом, евразийским национальным университетом им. Гумилева, Университетом Кавказ, московским государственным университетом им. Ломоносова, Инсти-тутом информационной безопасности и криптологии, в партнерстве и при техническом спонсорстве Ин-ститута инженеров электротехники и электроники – IEEE (США) будет проводиться в столице Казахстана г. Астане с 15 по 17 октября 2014 года.Основываясь на успехе предыдущих AICt-конференций прошедших в Баку, ташкенте и тбилиси, AICt2014 будет и дальше стремиться стать форумом для представления и обсуждения результатов научных исследований и экспериментов в области информационно-коммуникационных технологий. AICt2014 ставит своей основной целью предоставление платформы для обмена опытом и обсуждения инновационных идей в области информационных технологий и их применения между исследователя-ми, учеными, студентами и специалистами из разных стран. международная конференция AICt в раз-ные годы привлекла внимание сотен исследователей из около 50 государств мира, включая Австралия, Азербайджан, Китай, Финляндия, Грузия, Германия, Индия, Иран, Италия, Япония, Казахстан, Корея, Латвия, малайзия, Пакистан, Филиппины, Португалия, Румыния, Россия, Словакия, Испания, Швеция, таиланд, турция, Украина, Соединенное Королевство, Соединенные Штаты Америки, Узбекистан и др.Организаторы: Назарбаев Университет, евразийский национальный университет им. Гумилева, Универ-

ситет Кавказ, московский государственный университет им. м.В. Ломоносова, Институт информаци-онной безопасности и криптологии при техническом спонсорстве Института инженеров электротех-ники и электроники – IEEE (США)

Контактная информация: tel: +7(7172) 709500 (internal 34306)(Astana), +994(12) 4482862 (Baku). Mirzoyana Str., 2, Astana, Republic of Kazakhstan, 010008 E-mail: [email protected]. Web: http://www.aict.info/2014


Международная научно-практическая конференция «интеллектуальное Месторождение: инновационные технолоГии

от скважины до МаГистральной трубы»


Россия, СочиОСНОВНые темы КОНФеРеНцИИ:

– передовые технологии сбора и обработки геологической и геофизической информации, создание геологической модели, цифровая модель керна;

– моделирование разработки месторождений: инновационные подходы, интегрированное модели-рование, программные комплексы;

– проектирование высокотехнологичных скважин;– удаленный мониторинг буровых работ, инновации в бурении наклонно-направленных и горизон-

тальных скважин, боковых стволов;– технологии «интеллектуального» заканчивания скважин, многостадийные ГРП;– проектирование, мониторинг и управление «интеллектуальной» разработкой нефтяного место-

рождения, планирование мУН;– интеллектуальный контроль скважин в процессе добычи нефти и газа, системы погружной теле-

метрии;– материалы, реагенты и технологии для «интеллектуальных» скважин, пакерное и вспомогательное

оборудование;



– оптимизация работы промысловых объектов нефтегазодобычи с помощью внедрения высокотех-нологичных систем измерений и контроля, станции дистанционного управления;

– автоматизированные системы управления технологическими процессами (АСУ тП) нефтегазодо-бывающего производства;

– энергоэффективные технологии в добыче нефти и газа;– технологии «интеллектуальных» скважин на ПХГ;– «интеллектуальные» тренажеры для обучения специалистов нефтегазового комплекса.

Организаторы: ООО «Научно-производственная фирма «Нитпо» и научно-технический журнал «Нефть. Газ. Новации»

Контактная информация: тел.: (861) 248-94-54, 248-94-51, веб: www.oilgasconference.ruЭл. почта: [email protected]

III Международная научная конференция «совреМенные тенденции технических наук»


Форма участия: заочнаяместо проведения конференции и издания сборника: г. Казань

ОСНОВНые НАПРАВЛеНИЯ РАБОты (СеКцИИ):

1. Информатика и кибернетика 2. Электроника, радиотехника и связь 3. Автоматика и вычислительная техника 4. Электротехника 5. Энергетика 6. металлургия 7. машиностроение 8. Строительство9. Архитектура10. Общие вопросы технических наук

Конференция состоится в заочной (дистанционной) форме в октябре 2014 г.

– прием материалов – до 30 сентября 2014 г.– размещение электронной версии сборника на сайте – 20 октября 2014 г.– рассылка печатных сборников авторам – ноябрь 2014 г.

Организаторы: Издательство «молодой ученый»Контактная информация: E-mail: [email protected]. тел.: +7 (499) 653-70-87, 8-800-555-1487.

Веб: http://www.moluch.ru/conf/tech/Эл. почта: [email protected]

IV Международная конференция «техническая хиМия. от теории к практике»


Россия, Пермь

цель проведения конференции «техническая химия. От теории к практике» – предоставить возмож-ность российским и зарубежным ученым обсудить последние достижения по проблемам фундамен-тальных и прикладных исследований в области органической химии и наук о материалах. Работа конференции будет проходить в двух секциях: «Органическая химия и гетерогенные процессы», «По-лимеры и композиты».



В рамках основного мероприятия пройдет молодежная конференция. Секция «Органическая химия и гетерогенные процессы»:

подсекция «Органический синтез» включает разделы:– Исследование реакционной способности и механизмов реакций органического синтеза;– Структура и реакционная способность гетероциклических соединений; – Направленная функционализация природных соединений;подсекция «Гетерогенные процессы» включает раздел:– теория и практика гетерогенных процессов, в том числе, экстракция и ионная флотация, адсорб-

ция и катализ.Секция «Полимеры и композиты» включает разделы:

– Синтез и исследование структуры и свойств полимеров, биополимеров; – Наносистемы и композиты.

Научная программа конференции будет включать пленарные доклады (30 мин), устные доклады (15 мин) и стендовую сессию. Рабочие языки конференции русский и английский.Организаторы: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки,

Институт технической химии Уральского отделения Российской академии наукКонтактная информация: тел.: (342) 237-82-69, факс: (342) 237-82-62Эл. почта: [email protected]

I Международная конференция «параллельная коМпьютерная алГебра и её приложения

в новых инфокоММуникационных систеМах»


Россия, СтавропольФорма участия: очно-заочная

ОСНОВНые НАПРАВЛеНИЯ РАБОты КОНФеРеНцИИ:

– компьютерная алгебра, новые технологии передачи, обработки и хранения данных;– методы и алгоритмы параллельной компьютерной алгебры;– модулярная арифметика и её приложения в инфокоммуникационных системах высокой произво-

дительности и надежности;– математическое и информационное моделирование сложных систем и прогнозирование экономи-

ческих процессов;– применение цифровой обработки сигналов, видеоизображений, речи в фундаментальных задачах

кодирования информации;– алгебраическая теория кодирования информации;– квантовые вычисления и их приложения в шифровании информации;– искусственные нейронные сети и их приложения в предметных областях.

Работа конференции будет организована в форме пленарных и проблемно-тематических заседаний.

ДНИ РАБОты:

день заезда: 20 октября 2014 г., дни работы конференции: 21–23 октября 2014 г., день отъезда: 24 октября 2014 г.Участие в конференции может быть заочным, с публикацией докладов. труды конференции будут изда-ны к началу работы конференции.Лучшие доклады в виде статей будут опубликованы в журналах из списка ВАК министерства образова-ния и науки РФ.



Организаторы: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высше-го профессионального образования «Северо-Кавказский федеральный университет», г. Став-рополь, Россия; Комитет Думы Ставропольского края по образованию и науке, г. Ставрополь, Россия; Институт проблем проектирования в микроэлектронике РАН, г. москва, Россия; На-учно исследовательский институт прикладных физических проблем имени А.Н. Севченко БГУ, г. минск, Белоруссия; Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «южный федеральный университет», г. Ростов-на-Дону, Россия; Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, г. Харьков, Украи-на; Национальный аэрокосмический университет им. Н.е. Жуковского, г. Харьков, Украина; univerzita sv. Cyrika a Metoda v trnave, Словаия; Институт проблем информатики и управле-ния министерства образования и науки республики Казахстан, г. Астана, Казахстан; Le Qui Don technical university, Hanoi, vietnam; щецинский технический университет, г. щецин, Польша; Федеральное государственное автономное научное учреждение «центр информационных тех-нологий и систем исполнительной власти», г. москва, Россия; Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Белго-родский государственный национальный исследовательский университет», г.Белгород, Россия; Военная академия связи имени маршала Советского Союза С.м. Буденного (филиал, г. Красно-дар), Россия; Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждения высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия; Серпуховской военный институт ракетных войск стратегиче-ского назначения, г. Серпухов, Россия

Контактная информация: тел.: 8-905-469-34-12; 8-918-753-56-73; 8-905-497-53-38Эл. почта: [email protected]

Международная конференция «EMc AcAdEMIc FoRuM RussIA & cIs 2014»


Форма участия: очнаяEMC Academic Forum – это ежегодная инновационная международная конференция, ориентированная на обсуждение актуальных вопросов образования в области информационных технологий. В 2014 г. Академический форум корпорации EMC пройдет на площадке факультета Вычислительной ма-тематики и Кибернетики московского государственного университета им. м.В. Ломоносова.Основная тема Форума – обсуждение инноваций в информационной инфраструктуре и развитии учеб-ного процесса вузов различных стран.Будут рассмотрены следующие учебно-методические комплексы:

– аналитика больших данных– облачные технологии– облачная безопасность– управление информацией

традиционно Форум собирает около ста сотрудников из десятков вузов (это как руководители, так и профессорско-преподавательский состав), а также представителей сферы бизнеса, заинтересованных в установлении деловых контактов в академической среде.Регистрация на мероприятие доступна по ссылке: http://russia.emc.com/academicforumПоследний день подачи заявки: 15 октября 2014 г.Организаторы: Академическое партнерство EMC Россия и СНГ;

Факультет Вычислительной математики и Кибернетики мГУ им. м.В. ЛомоносоваКонтактная информация: Веб: http://russia.emc.com/academicforumЭл. почта: [email protected]



всероссийская студенческая научно-практическая школа-конференция по инфорМационной безопасности 2014


Россия, тольяттиФорма участия: очнаяШкола-конференция будет проходить в городе тольятти с 21 по 25 октября 2014 на базе факультета инфор-матики и телекоммуникаций Волжского университета имени В.Н. татищева в санатории «Русский бор», расположенном на берегу Жигулевского моря в сосновом лесу, в привычном климате Средней полосы.целью проведения Школы-конференции является обсуждение и оценка основных тенденций развития науки и практики в области обеспечения информационной безопасности.Основными задачами Школы-конференции являются: обучение участников Школы-конференции по вопросам обеспечения информационной безопасности, противодействию утечки информации, обсуж-дение проблем, методов и подходов в решении задач, связанных с исследованием и внедрением пере-дового опыта в сфере информационной безопасности, знакомство участников с оборудованием, ис-пользуемым для выполнения задач по обеспечению информационной безопасности.Организаторы: Волжский Университет имени В.Н. татищеваКонтактная информация: тел.: (8482) 63-82-04Веб: http://cbb.vuit.ru/shc/Эл. почта: [email protected].

xVII Международная научная конференция «актуальные вопросы совреМенной техники и технолоГии»


Россия, ЛипецкФорма участия: заочнаяКонференция проводится на постоянной основе с 2010 годацеЛЬ КОНФеРеНцИИ:

публикация результатов научно-технических исследований ведущих ученых, аспирантов, докторантов, студентов вузов и ссузов; поиск решений по актуальным проблемам развития современной техники и технологии; установление контактов между учеными разных стран, обмен научными результатами и ис-следовательским опытом.темАтИКА КОНФеРеНцИИ:

Секция 1: «Информатика, вычислительная техника и управление»;Секция 2: «машиностроение и машиноведение, материаловедение»;Секция 3: «Электротехника, энергетика, электроника, радиотехника и связь, транспорт»;Секция 4: «металлургия и химическая технология»;Секция 5: «техника и технология в строительстве»;Секция 6: «техника и технология легкой промышленности, лесного и сельского хозяйства, продуктов

питания»;Секция 7: «Организация производства, метрология, стандартизация и управление качеством, без-

опасность и охрана труда, смежные вопросы».К участию в Конференции приглашаются ученые, преподаватели, аспиранты, докторанты, студенты и вузов, ведущие научные исследователи в области техники и технологии и проживающие на территории России, стран СНГ и дальнего зарубежья.По результатам каждой Конференции издается сборник докладов (присваиваются коды ISBN, УДК и ББК, производится регистрация в Российской книжной палате, рассылка по библиотекам). Рассылка авторских экземпляров производится в течение 1 месяца (ориентировочно) с момента окончания приема заявок.



Организаторы: Научное партнерство «Аргумент», Российская ассоциация содействия науке, технологи-ческий Университет таджикистана, Казахский Национальный медицинский Университет им. С.Д. Ас-фендиярова, БГтУ «ВОеНмеХ» им. Д.Ф. Устинова, Институт международного бизнеса и коммуни-кации, мАтИ – Российский Государственный технологический Университет им. К.Э. циолковского, Липецкое региональное отделение общероссийской общественной организации «Российский союз молодых ученых», Научно-исследовательский центр «Аксиома», молодежный парламент Липецкой области, Издательский центр «Гравис»

Контактная информация: Веб: http://www.science-conf.ru/tehnika.htm. тел.: +7 (4742) 39-79-73Эл. почта: [email protected]

III Международная научная школа-конференция «катализ: от науки к проМышленности»


Россия, томскФорма участия: очно-заочнаяШкола-конференция молодых ученых посвящена современным тенденциям в области фундаментально-го и прикладного катализа. В рамках школы-конференции будут рассмотрены научные основы приготов-ления катализаторов, механизмы, кинетика и моделирование каталитических реакций, аналитическое сопровождение каталитических технологий, перспективные направления развития катализа и реализа-ция каталитических процессов в промышленности.В научную программу школы-конференции будут включены пленарные и ключевые лекции ведущих уче-ных, устные и стендовые доклады молодых ученых. Среди приглашенных лекторов ведущие российские и зарубежные ученые, а также представители зарубежных фирм.Организаторы: томский государственный университет, г. томск; ООО «Новохим», ООО «Глиоксаль-т»Контактная информация: Лаборатория каталитических исследований ХФ тГУ, 634050, г. томск, ул. Аркадия

Иванова 49 (6 корпус тГУ); веб: http://lcr.tsu.ru. тел./факс: +7 (3822) 200419Эл. почта: [email protected]

«фундаМентальные и прикладные аспекты новых высокоэффективных Материалов»


Россия, КазаньОрганизационный комитет ожидает более 150 участников из России и стран СНГ. Конференция пройдет 28–28.10.2014 г. Количество докладов не лимитируется. Официальные языки конференции – русский, английский. Объем материалов для стендовых и секционных докладов не должен превышать 15 страниц. Более подробная информация по участию в работе конференции будет отправлена участникам после окончания регистрации.Основные темы конференции:

– Оценка качества новых материалов(физико-химические свойства, эксплуатационные свойства, долговечность, надежность)

– Пределы прочности материалов, диапазон применимости, пути распада– теоретические и экспериментальные исследования структуры и свойств материалов– технологии разработки новых материалов с заданными свойствами– Компьютерное проектирование материалов и компьютерный эксперимент.– Гетерогенные структуры и комплексы

Конференция проходит дистанционно, с использованием технологии виртуальных миров Pax grid.Организаторы: Сервис виртуальных конференций Pax gridКонтактная информация: Веб: http://paxgrid.ru/conference/index.php?c=material2014Эл. почта: [email protected]


ПРикЛАдНАя мАтемАтикА

С.Н. ЧУКАНоВ – доктор техн. наук, профессор, ведущий научный сотрудник Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омский филиал Омск, Российская Федерация, E-mail: [email protected]

ОПРеДеЛеНИе ПОтеНцИАЛЬНОй КОмПОНеНты ВеКтОРНОГО ПОЛЯ СИСтемы УПРАВЛеНИЯ НА ОСНОВе ПОСтРОеНИЯ ОПеРАтОРА ГОмОтОПИИ

В работе предложен метод декомпозиции векторного поля динамической системы на основе построения оператора гомотопии. При этом векторное поле декомпозируется на точную компоненту, соответствующую градиентному век-торному полю, и антиточную компоненту. В случае линейной динамической системы декомпозиция приводит компонен-там, соответствующим представлениям с симметричной и кососимметричной матрицами. Метод может быть использо-ван при конструировании систем управления динамически-ми системами для исследования устойчивости. Рассмотрена обратная задача динамики управляемой системы нахож-

дения вектора потенциальных сил для формирования дви-жения системы по требуемой траектории. Использование вышеизложенного метода декомпозиции для динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, позволяет сформировать такую функцию Лагранжа, что уравнения Эйлера-Лагранжа будут соответ-ствовать исходным дифференциальным уравнениям.

Ключевые слова: декомпозиция векторного поля, устойчи-вость системы управления, функция Ляпунова, оператор го-мотопии, обратная задача динамики.

S.N. ChUKANoV – Doctor of techn. Sciences, Professor, Leading Researcher Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences Omsk, Russian Federation, E-mail: [email protected]

DEtERMINAtION OF POtENtIAL COMPONENt OF tHE vECtOR FIELD OF CONtROL SYStEM BY CONStRuCtINg A HOMOtOPY OPERAtOR

A method for decomposing a vector field of a dynamical system based on the construction of homotopy operator is proposed in this paper. The vector field is decomposed on the exact compo-nent corresponding to the gradient vector field, and anti-exact component. In the case of a linear dynamic system the decom-position leads to components, corresponding representations of the symmetric and skew-symmetric matrices. The method can be used to construct systems of dynamic systems. The method can be used to construct systems of dynamic systems for the study of system stability. The inverse problem of the dynamics of the

controlled system of finding the vector potential forces for the formation of system movement on the required trajectory is considered. The use of the foregoing decomposition method for dynamical systems described by first order differential equations, allows to form the Lagrangian that Euler-Lagrange equations will correspond the original differential equations.

Keywords: decomposition of the vector field, stability of con-trol system, Lyapunov function, operator of homotopy, inverse problem of dynamics.

ВведениеВ 3-мерной теории поля известно разложение Гель-мгольца векторного поля f x x( )∈ ∈ 3 3

; в области Ω∈3 на безвихревое (потенциальное) поле и без-дивергентное (соленоидальное) поле [1, 2]:

f x x A x( ) = ∇ ( ) + ∇× ( ) ϕ ,

где A x( ) – векторный потенциал; ϕ x( ) – скалярный потенциал.

Граничные условия разложения Гельмгольца: век-торное поле ∇ϕ – нормальное к границе ∂Ω области Ω , векторное поле ∇×A касательное к границе ∂Ω . Градиент потенциальной функции

∇ ( ) = ( ) grad ϕ ϕx x

является наилучшей аппроксимацией векторного поля f x( ) .

Актуальность декомпозиции векторного поля для исследования динамических систем вида x f x= ( ) об-условлена тем фактом, что использование скалярной потенциальной компоненты функции ϕ x( ) в качестве функции Ляпунова [3, 4]: V x x( ) = − ( )ϕ позволяет оценивать устойчивость динамической системы, так как производная функции Ляпунова по времени:

V = VT Tx x f x x f x( ) ∇ ( )( ) ( ) = − ∇ ( )( ) ( )ϕ ,

в случае потенциального векторного поля f x( ) , рав-на V =x x( ) − ∇ ( ) ≤ϕ

2

0 . Декомпозиция Гельмгольца может быть записана

с использованием оператора Ходжа " "* для диффе-

ренциальных форм [2, 5]: f x x A x( ) = ( ) + ∗ ( )d dϕ .


ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

Однако при n > 4 оператор Ходжа 1-формам сопо-ставляет k-формы со значением k > 3 и декомпози-ция Ходжа-Гельмгольца некорректна.

Цель настоящей работы – построение алгоритмов декомпозиции векторного поля гладкой динамиче-ской системы f x x( )∈ ∈ n n; при n ≥ 2 . Для вы-полнения цели в работе решена задача построения потенциальной и соленоидальной компонент вектор-ного поля формированием оператора гомотопии для дифференциальной формы, соответствующей век-торному полю f x( ) .

Применение алгоритмов декомпозиции векторно-го поля системы управления позволяет конструиро-вать скалярную функцию Ляпунова для исследова-ния устойчивости.

1. Декомпозиция векторного поля динамической системы x = f(x)

Для динамической системы:

x f x= ( ) ; x f x∈ ( )∈ n n; ; f 0 0( ) = ,сформируем векторное поле X f x x= ( )∂ ∂ и соответ-ствующую дифференциальную форму ωω = ( )f x xd в дуальном базисе:

dx xij

ij, ∂ ∂ = δ .

Построим из векторного поля скалярный потен-циал применением оператора гомотопии с центром в x0 0≡ для формы ωω = ( )f x xd :

É xx

f x x x f x( ) = ∂∂

( )( ) = ( ) ⋅∫ ∫ λ λ λ λd d dT

0

1

0

1

; (1)

оператор гомотопии удовлетворяет тождеству ωω ωω ωω= ( ) +d d (см. приложение 1). Первый член разложения – является точной формой

ωω ωωeTd d d= ( ) = ( ) ⋅

∫ x f xλ λ

0

1

,

следовательно является замкнутой формой:

d d deωω ωω= ( )( ) = 0 .

Если считать ϕ x x( ) = ( )ωω скалярным потенциа-

лом, то потенциальное векторное поле ′ ∂∂

ϕx x являет-

ся дуальным форме ωω ωωe xd d= ( ) = ′ ϕ x .Второй член разложения: ωωa – является антиточ-

ной формой (по терминологии [6])

ωω ωω ωω ωω ωω ωωa e d d= − = − ( ) = ,

причем: ωω ωωa d= ( ) = 0 .Пример 1. Рассмотрим пример динамических

уравнений для компонент вектора угловой скорости

x = ( )x x x T1 2 3 при вращательном движении твер-

дого тела с главными компонентами тензора инерции 100 80 60( )и при действии на твердое тело управ-ляющего вектора момента

m = − ⋅ − ⋅ − ⋅( )0 1 0 1 0 11 2 3, , ,x x x T :

100 20 0 1

80 40 0 1

60 20 0 1

1 2 3 1

2 1 3 2

3 1 2

x x x xx x x xx x x

=

=

=

− ⋅− − ⋅

−

, ;

, ;

, ⋅⋅ x3..

Построим дуальную дифференциальную форму: ωω = − ⋅( ) +

+ − − ⋅( ) + − ⋅( )20 0 1

40 0 1 20 0 1

2 3 1 1

1 3 2 2 1 2 3

x x x dx

x x x dx x x x d

,

, , xx3 ,

к которой применим оператор гомотопии с x0 0≡ :

ϕ x x( ) = ( )( ) = − + +( ) ωω 0 05 1

2

2

2

3

2, x x x .

Отсюда точная форма:

ωω ωωe d d x x x

x dx x dx x dx

= ( ) = − + +( )( ) == − − −

0 05

0 1 0 1 0 1

1

2

2

2

3

2

1 1 2 2 3

,

, , , 33;

соответствующее дуальное потенциальное вектор-ное поле:

Xe xx

xx

xx

= −∂∂

−∂∂

−∂∂

0 1 0 1 0 11

1

2

2

3

3

, , , .

Векторное поле дуальное антиточной форме:

Xa x xx

x xx

x xx

=∂∂

−∂∂

+∂∂

20 40 202 3

1

1 3

2

1 2

3

.

Если выбрать в качестве скалярной функции Ляпунова

V

V V

x x x

x x x x( ) = − ( ) = ⋅

( ) > > ( ) = =

ϕ 0 05

0 0 0 0

2

, ;

, ; , , при при

то для производной функции Ляпунова по времени получим выражение:

V =

V V

x x

x x x x

( ) − ⋅

( ) < > ( ) = =

0 01

0 0 0 0

2

, ;

, ; , . при при

2. Декомпозиция векторного поля динамической системы x = A(x) ⋅ x

Гладкая динамическая система x f x= ( ) ; f 0 0( ) = может представлена в форме x = A x x( ) ⋅ . В свою очередь, правая часть выражения A x x( ) ⋅ может быть декомпозирована в форме:

A x x J x + R x x( ) ⋅ = ( ) ( )( ) ⋅ , (2)

где J x A x A x( ) = ⋅ ( ) − ( )( )0 5,T – кососимметриче-

ская компонента матрицы A x( ) ; R x A x A x( ) = ⋅ ( ) + ( )( )0 5,

T – симметрическая ком-понента матрицы.



Для векторных полей J x xx

( ) ∂∂

и R x xx

( ) ∂∂

по-

строим соответствующие дифференциальные формы в дуальном базисе:

ωωJ J x x x= ( )( )d и ωωR R x x x= ( )( )d .

Применим оператор гомотопии с центром x0 0≡ для формы ωωJ :

ωωJ x J x x x

xx

J x x x

x J x

( )( ) = ( )( ) =

=∂∂

( )( ) =

=

∫

d

d d

T

λ λ λ

λ

0

1

(( ) =∫ λ λxd0

1

0.

(3)

Применив оператор гомотопии с центром x0 0≡ для формы ωωR , получим скалярную потенциальную функцию ϕ x( ) : ϕ

λ λ λ

x x R x x x

xx

R x x x

R( ) = ( )( ) = ( )( ) =

=∂∂

( )( ) =

=

∫

ωω d

d d 0

1

xx R x x x R x xT Tdλ λ λ( ) = ( )∫0

1

.

(4)

Так как ωωJ x( )( ) = 0 ,то:

ωω ωωA Rx A x x x x x( )( ) = ( )( ) = ( )( ) = ( )d ϕ . (5)

Следовательно потенциальное (градиентное [7]) векторное поле системы:

f xx

xx

Rg =

∂ ( )( )∂ = ∂ ( )

∂ ωω ϕ ; (6)

со скалярным потенциалом ϕ x xR( ) = ( )( ) ωω . Тан-генциальное векторное поле системы f xt ( ) можно представить в форме:

f x A x x f x A x x xxt g( ) = ( ) ⋅ − ( ) = ( ) ⋅ − ∂ ( )∂

ϕ . (7)

ЕслиA x A( ) = , то

ϕ λ λ λx x x R x x x RxR( ) = ( )( ) = ( ) ⋅ = ⋅∫ ωω T Td0

1

0 5, ,

и потенциальное векторное поле системы: f Rxg = ; тангенциальное векторное поле: f Jxt = . Из выше-сказанного сформулируем следующее предложение:

Предложение 1. Векторное поле динамической системы: x f x A x x= ( ) = ( ) ⋅ может быть декомпози-ровано на потенциальное векторное поле:

f xxg =

∂ ( )∂

ϕ

и тангенциальное векторное поле:

f x A x x xxt ( ) = ( ) ⋅ − ∂ ( )∂

ϕ ,

где скалярная потенциальная функция ϕ x( ) опреде-ляется из выражения (4).

3. Устойчивость систем вида x = A ⋅ x+B ⋅ u

Для линейных стационарных динамических систем: x A x x B u= ( ) ⋅ + ⋅ , с управлением u = K x⋅ , выбе-рем в качестве функции Ляпунова функцию [8, 9]:

V p p VTii ij i jx x P x( ) = ⋅ ⋅ > > = ( ) =≠0 0 0 0 0; ; ;, ,

для которой dVdt

T T= +( ) + +( )( )x A BK P P A BK x; (8)

Если декомпозировать матрицу A на кососимме-трическую и симметрическую части в форме (2):

A J R J A A R A A= + = ⋅ −( ) = ⋅ +( ); ; 0 5 0 5, ,T T ,

то матрица A P PAT +( ) будет симметрической, так как матрицы J P PJT +( ) и R P PRT +( ) – симметри-ческие и обеспечение устойчивости сводится к на-хождению такой матрицы K , которая обеспечит вы-полнение условия:

x A P PA x x BK P P BK xT T T T+( ) < − ( ) + ( )( ) .

Из вышесказанного можно сформулировать сле-дующее предложение:

Предложение 2. Для линейных динамических си-стем вида

x A x B u= ⋅ + ⋅ ; B = diag b b bnn11 22 ( ) с управлением u = K x⋅ и функцией Ляпунова: V n nx x P I( ) = = ∈ ×2

; , условие стабилизации мо-жет быть представлено в виде условия для потенци-альной функции ϕ x( ) (см. (4)):ϕ x x Rx x BK x( ) = < − ⋅ ⋅T T . (9)

где R A A= ⋅ +( )0 5,T – симметрическая компонента

матрицы A . В неравенстве (9) используются компоненты век-

тора состояния x . В следующем примере показано, как можно получить оценку компонент матрицы K , которая не зависит от вектора состояния x x, > 0 .

Пример 2. Для системы x A x x B u= ( ) ⋅ + ⋅ при

A =

5 2 4

4 7 6

6 8 9

и u B = I∈ ∈ × 3 3 3;

получим

R = ( ) =

=r i jij

5 3 5

3 7 7

5 7 9

1 3; , , ,

и условие (9) выполняется для матрицы



K = ( ) =−

−−

∀ ∈ =

k

x x i j

ij

i j

11 26 0 0

0 16 72 0

0 0 24 65

1

,

,

,

, ; ,

;

,, , , 3

так как справедливо неравенство

r x r x x r xr

r rr x r xii i ij i j jj j

ij

ii jjii i jj j

2 2 2 22 1+ + ≤ +

+( ) ;

∀ ∈ > > =x x r r i ji j ii jj, ; , ; , 0 0 1 3 ,

которое следует из неравенства:

r x r x x xii i jj j i j−( ) ≥ ∀ ∈2

0; , .

Следовательно оценка максимальных значений компонент матрицы kij следующая:

rrr r

rr r

k11

12

11 22

13

11 33

111 11 26+ +

< ≤ −, ;

rrr r

rr r

k22

12

11 22

23

22 33

221 16 72+ +

< ≤ −, ;

rrr r

rr r

k33

13

11 33

23

22 33

331 24 65+ +

< ≤ −, .

4. Формирование уравнений Эйлера-Лагранжа для динамической системы, определяемой системой дифференциальных уравненийРассмотрим обратную задачу динамики управляе-мой системы [14, 15], которая заключается в нахож-дении потенциальной силы: F x x( ) = −∂ ∂

U , необхо-димой для формирования движения системы по назначенной траектории: x x* *

; ;t t t( ) ( ) ≥ 0 ; при из-вестных уравнениях движения системы И. Ньютона: x F= ( )t . Напомним, что прямая задача динамики заключается в нахождении траектории движения по известной силе F t( ) [14].

В соответствии с [12] для заданной динамической системы с функцией Лагранжа:

L T U= ( ) − ( )x x x, ,

где: T a x xiji j

i

n

j

n

===∑∑1

2 11

,

x∈n – вектор обобщенных координат; можно най-ти такое преобразование метрики (метрики Якоби) g T aik ikx( ) = ⋅2 , что геодезические на многообразии с этой метрикой будут являться траекториями задан-ной динамической системы.

Поставим задачу нахождения такой функции Ла-гранжа для динамической системы, определяемой системой дифференциальных уравнений первого по-рядка: x f x x f= ( ) ∈ ⋅( )∈; ; n n , что уравнения Эй-лера-Лагранжа приводят к этой системе дифферен-циальных уравнений.

Сформируем систему дифференциальных урав-нений второго порядка дифференцированием по времени:

x fx f x= ∂∂( ) ⋅ ( ) , (10)

и определим вектор:

F x fx f x F( ) = ∂∂( ) ⋅ ( ) ⋅( )∈; n . (11)

Декомпозируем вектор F x( ) :F x K x R x( ) = ( ) + ( ) , таким образом, что K x( ) :

K xx

xK( ) = −

∂ ( )∂

⋅( )∈U n; , (12)

– потенциальный вектор (вектор консервативной силы [13]);

R x F xx

xR( ) = ( ) +

∂ ( )∂

⋅( )∈U n; , (13)

– неконсервативный вектор [13]. Тогда система дифференциальных уравнений второго порядка:

x F xx

xR x= ( ) = −

∂ ( )∂

+ ( )U

; (14)

соответствует второму закону И. Ньютона. Найдем скалярную потенциальную функцию формировани-ем оператора гомотопии (1):

U dTx x F x( ) = − ( ) ⋅∫ λ λ0

1

.

Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа в форме [8]:

ddt

L L∂∂( ) − ∂ ∂ = ( )x x R x .

Рассмотрим динамическую систему с функцией Лагранжа:

L T U a x x Uik i ki

n

k

n

= ( ) − ( ) = − ( )==∑∑x x x x,

1

2 11

,

где x∈n – вектор обобщенных координат. При aik ik= δ функция Лагранжа принимает вид:

L UT= − ( )12 x x x .

Из уравнений Эйлера-Лагранжа получим:

x F x x R= ( ) = −∂ ∂ +U ,

что соответствует (14), если F x( ) определяется в со-ответствии с соотношением (11), U x( ) определяется



в соответствии с (1), R x( ) определяется в соответ-ствии с (13).

При известной функции Лагранжа найдем вектор обобщенного импульса, сопряженный вектору обоб-щенных координат x :

p x x p= ∂ ∂ = ∈L n

; ,

и гамильтониан:

H L UTx p x p x x p x, ,( ) = − ( ) = + ( )

12

2 .

Пример 3. Рассмотрим динамическую систему, определяемую системой дифференциальных уравне-ний первого порядка:

x f xxx

= ( ) = ( )( )

=

− ⋅ +− ⋅ −

ff

x xx x

1

2

1 2

2 1

0 1

0 1

,

,.

Дифференцируя эту систему по времени, получим:

xf x

xf x=

∂ ( )∂

( ) =−− −

⋅

− ⋅ +− ⋅ −

0 1 1

1 0 1

0 1

0 1

1 2

2 1

,

,

,

,

x xx x

;

откуда:

F xf x

xf x

K x R x

( ) =∂ ( )∂

( ) =

= ( ) + ( ) =− ⋅ −− ⋅ +

0 99 0 2

0 99 0 2

1 2

2 1

, ,

, ,

x xx x

.

Применим оператор гомотопии (1) к F x( ) для на-хождения потенциальной функции U x( ) :

U d x xTx x F x( ) = − ( ) ⋅ = ⋅ +( )∫ λ λ0

1

1

2

2

20 495, ;

получим вектор потенциальных сил:

K xx

x( ) = −

∂ ( )∂

= − ⋅

U xx

0 991

2

, ;

вектор неконсервативных сил:

R x F xx

x( ) = ( ) +

∂ ( )∂

=−

U xx

0 22

1

, ;

функцию Лагранжа:

L T U x x x x= ( ) − ( ) = +( ) − ⋅ +( )x x x, ,

1

20 4951

2

2

2

1

2

2

2 ;

вектор обобщенного импульса:

p x= ∂ ∂ =

L x

x

1

2

;

и гамильтониан:

H L x x x xTx p x p x x, , ,( ) = − ( ) = +( ) + ⋅ +( )

1

20 4951

2

2

2

1

2

2

2 .

В 1929 году Л. Эйзенхарт (Luther Pfahler Eisenhart) предложил геометрическую формулировку ньюто-новской динамики, которая использует многообразие M ×2 с локальными координатами

M x xN N= = ( )∈ x 1, , ,

дополнительными координатами x xN0 1 2,

+( )∈ и псевдоримановой метрикой:

ds g dx dx a dx dx

U dx dx dx

iji j

N

2

02

0 12 2

= = −

− ( )( ) + +

µνµ ν

x, (15)

где µ ν, , , , , ,∈ + ∈0 1 1 N i j N; , g = ( )gµν – метрический тензор Эйзенхарта; aij ij= δ – компоненты кинетической энергии.

Соотношение между геодезическими кривыми этого многообразия и движением динамической си-стемы содержится в теореме Эйзенхарта [16]: геоде-зические кривые с положительной длиной дуги, определяемой выражением: ds dt2 2= , соответству-ют движению динамической системы при выборе ко-ординаты xN +1 :

x t LdNt

+ = − ∫1

0

12

τ , (16)

где L – функция Лагранжа: L UTx x x x x, ( ) = − ( )1

2.

Рассмотрим задачу формирования метрического тензора g , обеспечивающего требуемые траектории динамической системы, как обратную задачу динами-ки. В локальных координатах x s x sN0 1( ) ( )( )+

, , уравнение для геодезических кривых имеют вид [12]:

d xds

dxdsdx

ds i j k Ni

jki j k2

2 0 0 1+ = = +Γ ; , , , , ,

где s – параметр длины геодезической дуги кривой (предполагается суммирование по повторяющимся индексам); коэффициенты Кристоффеля Γ jk

i связан-ные с gij( ) задаются в форме:Γ jki im mk

jmj

kjk

m

ijij

g gx

gx

gx

g g

= ∂∂

+ ∂∂

− ∂∂

( ) ( )

12

;

= . 1

Ненулевые символы Кристоффеля метрический тензор Эйзенхарта равны:

Γ Γ00 0

1iiN

iUx= − = ∂∂

+

и уравнения для геодезических (с учетом ds dt= ):

d xdt

2 0

2 0= ,

указывает на линейную зависимость x0 от t ; без по-тери общности можно принять x t0 = ;d x

dtUx

i

i

22 = −∂ ∂ , уравнения И.Ньютона;

d xdt

dLdt

N2 1

2

+= − – представление (16) в диффе-

ренциальной форме.Запишем соотношение для возмущенной геодези-

ческой кривой: x s x s J si i i( ) = ( ) + ( ) , где вектор гео-



дезического отклонения (девиации) J = ( )+J J N0 1,

подчиняется уравнениям Jacobi-Levi-Civita (JLC):

d Jds R dx

ds Jdxds

kijrk i j r2

2 0+ = ;

Rijkl – компоненты тензора Римана:

R x xijkl jk

l

iikl

j jkr

irl

ikr

jrl= ∂

∂− ∂

∂+ −Γ Γ Γ Γ Γ Γ .

Для метрического тензора Эйзенхарта ненулевы-ми компонентами являются R U

x xjk

j k0 0

2

= ∂ ∂ ∂ и урав-

нение JLC для вектора девиации:

dds

U22

2

2J

xJ= −

∂∂

. (17)

Для обеспечения устойчивости процесса измене-ния вектора девиации J необходимо обеспечить вы-полнение условия:

Re ; , ,λi i N( ) < ∀ =0 1 ,

где λi – собственные числа матрицы

−∂ ∂ ∂

=

2

1Ux x j k Nj k

; , , , .

Пример 4. Для потенциальной функции U x( ) , полученной с использование оператора гомотопии в примере 3 U x xx( ) = ⋅ +( )0 495 1

2

2

2, получим метриче-

ский тензор:

g =

− +( )

0 99 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

1

2

2

2, x x

.

Так как

−∂∂

=

−−

2

2

0 99 0

0 0 99

Ux

,

,

и собственные числа матрицы −∂∂

2

2

Ux

отрицатель-

ные (λ λ1 2 0 99 0= = − <, ), то процесс изменения век-тора девиации J , определяемый соотношением JLC: d

ds2

2

0 99 0

0 0 99

J J=−

−

,

,, является устойчивым.

ЗаключениеРассмотрен метод декомпозиции векторного поля ди-намической системы на основе построения оператора гомотопии. Предложен метод определения эквивалент-ности векторных полей на основе SVD-декомпозиции потенциальной компоненты векторного поля. Метод декомпозиции векторного поля динамической систе-мы может быть использован для построения функций Ляпунова систем управления вида:

x f x f 0 0= ( ) ( ) =; .

Показано, что для динамических систем, описыва-емых дифференциальными уравнениями первого по-рядка, на основе изложенного метода декомпозиции может быть сформирована такая функция Лагранжа, что уравнения Эйлера–Лагранжа будут соответство-вать исходным дифференциальным уравнениям.

Приложение 1 [6, 10]. Метод оператора гомотопииОбозначим элементы тангенциального векторного пространства в точке x∈n :

X x x x( ) = ( ) ∂∂

( ) ∈=∑ f

xfi

ii

n

i1

; ;

элементы котангенциального пространства (диффе-ренциальные формы):

ωω x x( ) = ( ) ∈=∑ω ωi ii

n

idx1

, .

Для дифференциальных форм можно ввести диф-ференциальный оператор d со свойствами:

(1) d d dωω ωω ωω ωω1 2 1 2+( ) = + ;

(2) dxdx

iiϕ

ϕ= ( ) = ∂

∂ωω x ;

(3) d dωω( ) = 0 ; и оператор внутреннего произве-дения векторного и ковекторного поля X ωω со свойствами: (1) X f = 0 ; (2) X Xωω ωω= ( ) ; (3) X X X ω ω ω ω1 2 1 2+( ) = + . Построим оператор гомотопии – линейный

оператор, действующий на форму ωω x( ) :

ωω ωω( )( ) = −( ) ∂∂

( ) ⋅ −∫x xx x

xdi i

i

k0 1

0

1

λ λ λ ;

k = ( )deg ωω .

При k =1 ; x0 0≡ :

ωω ωω( )( ) = ∂∂( ) ( )∫x xx x dii

λ λ0

1

.

Свойства оператора гомотопии:

(1) d dH H I+ = ;

(2) ωω ωω( )( )( ) = ( )( ) =x xi i0 00

;

(3) xxii

∂∂

= 0 .

Первый член разложения формы ωω ωω ωω= ( ) +d d – точная форма ωω ωωe d= ( ) яв-ляется замкнутой; форма ωω ωωa d= является анти-точной. Для случая ωω = dϕ получим: dϕ ϕ ϕ( )( ) = ( ) − ( )x x x0 .



Список литературы

1. Saffman P.G. Vortex dynamics. Cambridge Uni-versity Press. 1992. 312 p.

2. Chukanov S.N. Definitions of invariants for n-dimensional traced vector fields of dynamic sys-tems. Pattern Recognition and Image Analysis, 2009. Vol. 19. 2. PP. 303–305.

3. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения, 1959. М.: ГИФМЛ, 211 с.

4. Зубов В.И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). М.: Высшая шко-ла, 1984. 232 с.

5. Multimedia tools for communicating mathemat-ics. ed. K. Polthier, J. Rodrigues. Springer-Ver-lag. 2002. PP. 241–264.

6. Edelen D.G.B. Applied Exterior Calculus. John Wiley&Sons, Inc. 1985. 472 p.

7. Wang Y., Lia Ch., Cheng D. Generalized Hamil-tonian realization of time-invariant nonlinear sys-tems. Automatica, 2003. Vol. 39. PP. 1437–1443.

8. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С., III. Оптимальное управление системами, 1982. М.: Радио и связь. 392 p.

9. Wang Y., Cheng D., Ge S.S. Approximate Dissi-pative Hamiltonian Realization and Construction of Local Lyapunov Functions. Systems and Con-trol Letters, 2007. Vol. 56. PP. 141–149.

10. Hudon, N., Hoffner K., Guay M. Equivalence to Dissipative Hamiltonian Realization. In: Proceed-ings of the 47-th Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico. 2008. PP. 3163–3168.

11. Cheng D., Shen T., Tarn T.J. Pseudo-hamiltonian realization and its application. Communications in information and systems, Dec. 2002. Vol. 2. 2. PP. 91–120.

12. Pettini M. Geometry and Topology in Hamiltoni-an Dynamics and Statistical Mechanics. Springer Science+Business Media, LLC. 2007. 452 p.

13. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука. 1987. 304 с.

14. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики в те-ории автоматического управления, 2004. М.: Машиностроение. 576 с.

15. Галиуллин А.С. Аналитическая динамика. М.: Высшая школа. 1989. 264 с.

16. Lichnerowicz A. Theories Relativistes de la Grav-itation et de l’Electromagnetisme. Paris: Mas-son. 1955. 298 p.

РАБОтА ВыПОЛНеНА ПРИ ФИНАНСОВОй ПОДДеРЖКе РОССИйСКОГО ФОНДА ФУНДАмеНтАЛЬНыХ ИССЛеДОВАНИй

(ПРОеКты 14-07-00272 И 14-08-01132)

Сведения об авторе Information about the author

Чуканов Сергей Николаевич доктор техн. наук, профессор

ведущий научный сотрудникИнститут математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омский филиал

644043, Омск, Российская Федерация, Певцова, 13 E-mail: [email protected]

Chukanov Sergey Nikolaevich Doctor of Techn. Sciences, Professor, Leading ResearcherSobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk branch644099, Omsk, Russian Federation, Pevtsova, 13 E-mail: [email protected]

References

1. Saffman P.G. Vortex dynamics. Cambridge University Press. 1992. 312 p.

2. Chukanov S.N. Definitions of invariants for n-dimensional traced vector fields of dynamic systems. Pattern Recognition and Image Analysis. Vol.19. 2. 2009. PP. 303–305.

3. Krasovskii N.N. Nekotorye zadachi teorii ustojchivosti dvizheniya [Some problems in the theory of stability of mo-tion]. M. GIFML, 1959. 211 p.

4. Zubov V.I. Ustojchivost' dvizheniya (metody Lyapunova i ih primenenie) [Stability of motion (Lyapunov methods and their application)]. M.: Vys’shаya shkola. [Moskow: Publish-ing house «Higher School»], 1984. 232 p.

5. Multimedia tools for communicating mathematics. ed. K. Pol-thier, J. Rodrigues. Springer-Verlag. 2002. PP. 241–264.

6. Edelen D.G.B. Applied Exterior Calculus. John Wiley&Sons, Inc. 1985. 472 p.

7. Wang Y., Lia Ch., Cheng D. Generalized Hamiltonian realiza-tion of time-invariant nonlinear systems. Automatica, 2003. Vol. 39. PP. 1437–1443.

8. Sage A.P., White C.C., III. Optimalnoe upravlenie sistemami [Optimal control systems]. M.: Radio and communication [Moskow: Publishing house «Radio i svyaz»], 1982. 392 p.

9. Wang Y., Cheng D., Ge S.S. Approximate Dissipative Hamil-tonian Realization and Construction of Local Lyapunov Func-tions. Systems and Control Letters, 2007. Vol. 56. PP. 141–149.

10. Hudon, N., Hoffner K., Guay M. Equivalence to Dissipa-tive Hamiltonian Realization. In: Proceedings of the 47-th Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico. 2008. PP. 3163–3168.

11. Cheng D., Shen T., Tarn T.J. Pseudo-hamiltonian realization and its application. Communications in information and sys-tems. Dec. 2002. Vol. 2. 2. PP. 91–120.

12. Pettini M. Geometry and Topology in Hamiltonian Dynamics and Statistical Mechanics. Springer Science+Business Media, LLC, 2007. 452 p.

13. Merkin D.R. Vvedenie v teoriyu ustojchivosti dvizheniya [In-troduction to Motion Stability Theory]. M.: Nauka [Moscow: Publishing house «Sciences»], 1987. 304 p.

14. Krut’ko P.D. Obratnye zadachi dinamiki v teorii avto-maticheskogo upravleniya [Inverse problems of the dynamics in automatic control theory]. M.: Mashinostroyeniye [Mos-kow: Publishing house «Mechanical Engineering»], 2004. 576 p.

15. Galiullin A.S. Analiticheskaya dinamika [Analytical dy-namics]. M.: Vys’shаya shkola. [Moskow: Publishing house «Higher School»], 1989. 264 p.

16. Lichnerowicz A. Theories Relativistes de la Gravitation et de l’Electromagnetisme. Paris: Masson, 1955. 298 p.



В.Л. ВоЛьФСоН – кандидат техн. наук, ведущий аналитик ЗАО «Ланит» москва, Российская Федерация, E-mail: [email protected]

ВеРОЯтНОСтНые СВОйСтВА НеКОтОРыХ ПОСЛеДОВАтеЛЬНОСтей НА КОНеЧНОм ИНтеРВАЛе НАтУРАЛЬНОГО РЯДА

В работе получена формула для определения отклонения значения плотности последовательности кратных чисел на конечном интервале натурального ряда от асимптоти-ческой плотности данной последовательности. Приведе-на оценка этого отклонения и показано, что она обратно пропорциональна длине конечного интервала. Показа-но, что на большом конечном натурального ряда с высо-кой точностью выполняется независимость событий, что натуральное число кратно различным простым числам. Найдено значение максимальной абсолютной ошибки в определении вероятности событий, что натуральные числа на конечном интервале натурального ряда не кратны различным простым числам, дана оценка относи-тельной ошибки указанных событий. Автором показано, что для плотности последовательности простых чисел, независимость событий кратности различным простым числам не выполняется. Получены формулы для опреде-ления асимптотической плотности и количества простых чисел, а также последовательности, полученной после определенного числа шагов решета Эратосфена. В рабо-

те проведено обобщение вероятностного пространства на конечном интервале натурального ряда на множество кортежей k-кратного прямого произведения конечного интервала натурального ряда. Доказаны утверждения об алгебре событий и вероятностной мере (плотности k-кортежей) на конечном вероятностном пространстве. Рассмотрены свойства k-арных отношений на конечном пространстве. Определена асимптотическая плотность k-кортежей на бесконечном пространстве k-кратного прямого произведения натурального ряда. Выделены три случая асимптотической плотности k-кортежей, рас-смотрены свойства асимптотической плотности и приве-дены примеры определения асимптотической плотности. Автором работы высказаны две гипотезы в отношении значений функции Римана.

Ключевые слова: плотность последовательности, асимпто-тическая плотность, вероятность, независимость событий, натуральный ряд, простые числа, решето Эратосфена, кор-теж, гипотеза, функция Римана.

V.L. VoL'FSoN – Cand. of tech. Sciences, JSC «Lanit» Moscow, Russian Federation, E-mail: [email protected]

PROBABILIStIC PROPERtIES OF SOME SEQuENCES ON A FINItE INtERvAL OF tHE NAtuRAL NuMBERS

The author obtained a formula for determining the deviation of the density of the sequence (a natural number is divisible by different primes on a finite interval) from the asymptotic density of the sequence. The work gives an estimate of the deviation and shows that it is inversely proportional to length of a finite interval. The article show that in the big finite interval of the natural numbers with high precision is executed the independence of the events that a natural number is divisible by different primes. The author has found the maximum absolute error in the determination of the probability of events (the natural numbers in a finite interval are not divisible by different primes) and the estimation of the relative error of these events. The article shows that the independence of the events (a natural number is divisible by different primes

on a finite interval) generally not satisfied. The author found the formula for determining the asymptotic density and the number of primes after a certain number of steps of the sieve of Eratosthenes. The paper contains a generalization of the probability space on a finite interval of the natural numbers to the density of k-tuples. The author defines the asymptotic density of k-tuples into the infinite space of the natural numbers. He investigates three cases of asymptotic density of k-tuples. The author demonstrates two conjectures about the values of the Riemann function.

Key words: density of the sequence, asymptotic density of the sequence, probability, independence of events, natural numbers, primes, the sieve of Eratosthenes, conjecture, Riemann function.

1. ВведениеАсимптотическая плотность целочисленной строго возрастающей последовательности f(n) определяет-ся, как:P f f x

xx( , , ) lim

( , , ).1

1∞ =

→∞

π

Данная асимптотическая плотность обладает ин-тересным свойством по отношению к последователь-ностям

f n p n1 1( ) = ⋅ , f n p n2 2( ) = ⋅ и f n p p n12 1 2( ) = ⋅ ⋅ ,

где p p1 2, – простые числа, а n – натуральное число:

P f p( , , ) /1 11 1∞ = , P f p( , , ) /2 21 1∞ = ,

P f p pp p P f P f

( , , ) /

/ / ( , , ) ( , , ).

12 1 2

1 2 1 1

1 1

1 1 1 1

∞ = == ⋅ = ∞ ⋅ ∞

Таким образом, мы видим, что по отношению к асимптотической плотности “события” кратности натуральных чисел различным простым числам не-зависимы. Однако, асимптотическая плотность це-лочисленной строго возрастающей последователь-ности не является вероятностной мерой, так как не



выполняется свойство – счетная аддитивность [1], поэтому нельзя говорить о вероятностном простран-стве и его событиях.

Дадим определение плотности последователь-ности f (n) на конечном интервале натурального ряда [A, B]:

P f A B f A BB A

( , , )( , , )

.=−

π

В работе [1] были доказаны утверждения.Утверждение 1

Целочисленные строго-возрастающие последова-тельности на конечном интервале натурального ряда с добавлением последовательности не имеющих чле-нов и последовательностей, имеющих один член на данном интервале образуют сигма-алгебру.

Утверждение 2

Плотности целочисленных строго возрастающих последовательностей на конечном интервале нату-рального ряда [A, B] с добавлением последователь-ности, не имеющей членов и последовательностей, имеющих один член на данном интервале являются значениями конечной вероятностной меры.

На основании утверждений 1, 2 плотность любой целочисленной строго возрастающей последователь-ности является значением вероятностной меры на конечном интервале натурального ряда или просто вероятностью.

Воспользуемся этим для получения оценок плот-ности указанных выше последовательностей на ко-нечном интервале натурального ряда.

2. Вероятностные свойства некоторых последовательностей на конечном интервале натурального рядаНатуральные числа, делящиеся без остатка на нату-ральное k, принадлежат последовательности

f n kn( ) = .

Плотность последовательности f n kn( ) = на ко-нечном интервале натурального ряда [1, x], где х – большое натуральное число ( )x k достигает максимума при x kN= (N – натуральное число):

P f kN f kN kN N kN k( , , ) ( , , ) / / /1 1 1= = =π , (1)

равному значению асимптотической плотности дан-ной последовательности на бесконечном интервале.

При значении x kN k= + −( )1 плотность последо-вательности f n kn( ) = на конечном интервале нату-рального ряда [1, x], где x – большое натуральное число ( )x k , достигает минимума равного:

P f kN k

f kN k kN k kxk

( , , ( ))

( , , ( )) / ( )

[ ]

1 1

1 1 11

1

+ − =

= + − + − =−

π , (2)

В следующей точке kN k+ плотность последова-тельности снова достигает своего максимума – 1/k.

Таким образом, на основании (1), (2) период функции плотности последовательности P f x( , , )1 равен k и колебания между максимумом и миниму-мом равно:

∆ = −+

−< =

1 1

11

1

k k kx k

kNk x k

[ / ]

/[ / ]

. (3)

При больших значениях ( )x k значение (3) примерно равно

∆ ≈1 / x (4)

и достаточно мало. В случае k p p= ⋅1 2 , где p p1 2, – различные про-

стые числа, плотность последовательности f n p p n( ) = 1 2 , на интервале натурального ряда [1, x], где x – большое натуральное число ( )x p p 1 2 , на основании (1) равна:

P f x k p p

p p P f x P f x

( , , ) / /

/ / ( , , ) ( , , ),

1 1 1

1 1 1 1

1 2

1 2 1 2

= = =

= = ⋅ (5)

где P f x P f x( , , ), ( , , )1 21 1 – соответственно плотности последовательностей f n p n f n p n1 1 2 2( ) , ( )= = с ошиб-кой на основании (4) равной

∆ ≈1 / x . (6)

Период функции плотности последовательности f n p p n( ) = 1 2 , определяемой по формуле (5), на ин-тервале натурального ряда [1, x], где x – большое на-туральное число ( )x p p 1 2 , – равен k p p= 1 2 .

При больших значениях x, на основании (6), зна-чение максимальной ошибки Δ мало и с высокой сте-пенью точности выполняется равенство:

P f x P f x P f x( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 11 2= ⋅ . (7)

Учитывая, что последовательности

f n p n f n p n1 1 2 2( ) , ( )= =

являются целочисленными строго возрастающими на интервале натурального ряда [1, x], где x – боль-шое натуральное число ( )x p p 1 2 , плотности по-следовательностей P f x P f x( , , ), ( , , )1 21 1 на данном интервале являются значениями вероятностной меры



(или просто вероятностью) соответственно событий, что натуральные числа на интервале [1, x] делятся на простые числа p p1 2, без остатка.

Следовательно, формула (7) означает независи-мость событий A A1 2, , заключающихся в том, что на-туральные числа на интервале натурального ряда [1, x], где х – большое натуральное число ( )x p p 1 2 соответственно делятся на p p1 2, без остатка.

Это можно записать в виде:

Pr A A Pr A Pr A( ) ( ) ( )1 2 1 2⋅ = ⋅ . (8)

На основании независимости событий (8), неза-висимыми являются соответственно противополож-ные события A A1 2, , что натуральные числа на ин-тервале [1, x] не делятся на простые числа p p1 2, без остатка:

Pr A A Pr A Pr A( ) ( ) ( )1 2 1 2⋅ = ⋅ . (9)

Вероятности противоположных событий соответ-ственно равны:

Pr A Pr A Pr A Pr A( ) ( ), ( ) ( )1 1 2 21 1= − = − ,

поэтому на основании (9):

Pr A Pr A Pr Ap p

( ) ( ( ))( ( ))

( / )( / ).

= − − == − −

1 1

1 1 1 1

1 2

1 2

(10)

Формула (10) справедлива при больших значени-ях х ( )x p p 1 2 . Максимальная ошибка в определе-нии вероятности Pr A( ) равна:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆= − + − +1 2 2 1 1 21 1 1 1( / ) ( / )p p , (11)

где ∆ii ip x p

<1

[ / ]. (12)

При больших значениях x ( )x p p 1 2 на основа-нии (11) и (12) справедлива оценка:

∆ ∆ ∆≈ − + −1 2 2 11 1 1 1( / ) ( / )p p , (13)

где ∆i x≈

1 .

Формулу (13) можно записать в виде:

∆∆ ∆

= − −−

+−

( / )( / )(/ /

)1 1 1 11 1 1 1

1 2

1

1

2

2

p pp p

(14)

и при больших значениях x ( )x p p 1 2 на основании (14) справедливо соотношение:

∆ = − −−

+−

11 1 1 1

1

1 1

1

1 11 2

1 2xp p

p p( / )( / )(

/ /) . (15)

Из (15) видно, что значение ± ∆ мало. Вероятность Pr A( ) равна плотности последова-

тельности g(n) натуральных чисел на интервале [1, x] не кратных простым числам p p1 2, , т.е. P g x( , , )1 .

Минимум функции плотности последовательно-сти g(n) на интервале [1, x] при больших значениях x ( )x p p 1 2 равен ( / )( / )1 1 1 11 2− −p p , а максимум равен ( / )( / )1 1 1 11 2− − +p p ∆ , где ± ∆ определяется формулой (15).

Период колебаний функции последовательности g(n) на интервале [1, x] при больших значениях x ( )x p p 1 2 равен p p1 2⋅ .

Формулу (9) можно обобщить на конечное число событий:

Pr A Pr A A A

Pr A Pr A Pr A p

m

m ii

( ) ( ... )

( ) ( ) ... ( ) ( / )

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ = −

1 2

1 2 1 1

==∏1

m

, (16)

где A – событие, что натуральное число из интервала [1, x] не кратно одновременно простым чис-лам – p p pm1 2, ,..., , а Ai – событие, что натуральные числа из интервала [1, x] не кратно простому числу pi .

Формула (16) справедлива при больших значени-ях x ( )x p p 1 2 . Максимальная ошибка в определе-нии Pr A( ) по формуле (16) равна:

∆∆

= −−= =

∏ ∑( / )/

1 11 11 1

ppi

i

mi

ii

m

,

где ∆ii ip x p

<1

[ / ].

При больших значениях x ( )x p p 1 2 справедли-ва следующая оценка максимальной ошибки:

∆ = −−= =

∏ ∑1 1 11

1 11 1

/ ( / )/

x ppi

i

m

ii

m

. (17)

Величина относительной ошибка при больших x ( )x p p 1 2 :

∆oii

m

xp

=−=

∑11

1 11

//

(18) мала.

Например, если

x p p p p p= = = = = =10 2 3 5 7 118

1 2 3 4 5, , , , , ,

то величина максимальной абсолютной ошибки, определяемой по (17), равна ∆ = ⋅ −

2 571 108

, . Величи-на относительной ошибки, полученной по формуле (18), равна ∆o = ⋅ −

7 0166 108

, .Рассмотрим последовательность g nr ( ) , получен-

ную после r-ого шага решета Эратосфена на интер-вале [1, x], при условии большого x ( ... )x pr 2 3⋅ ⋅ ⋅ .

Плотность g nr ( ) на основании (16) равна:

P g x prp pr

( , , ) ( / )1 1 1= −≤∏ . (19)

Максимальная ошибка в определении плотности последовательности g nr ( ) на основании формулы (17) равна:



∆rp p p px p

pr r

= −−≤ ≤

∏ ∑1 1 11

1 1/ ( / )

/. (20)

Относительная ошибка в определении плотности последовательности g nr ( ) на основании формулы (18) равна:

∆orp px

pr

=−≤

∑11

1 1/

/. (21)

Оценим величину относительной ошибки, опре-деляемой по формуле (21):

∆orp p p p

p p p p

x p xpp

x p xr

r r

r r

=−

=−

=

= +−

<

≤ ≤

≤ ≤

∑ ∑

∑ ∑

1 1

1 1

1

1

11

1

1

1

/( )

( ) ( ++ +

+ +

2

1

(ln(ln( )

( / ln( ))),

p

B O p

r

r

(22)

где В = 0,26419.При получении формулы (22) использовано, что: 1

12

12 1

p pp B O p

p p p pr r

r r−< = + +

≤ ≤∑ ∑ (ln(ln( )) ( / ln( ))) .

Например, при x r= =−10 100

8, на основании (22)

получим: ∆or < ⋅ −1 0653 10

6, .

На основании теоремы о решете Эратосфена для того, чтобы все натуральные числа на интервале [2, x] r-ом шаге решета были простыми должно вы-полняться условие:

p x pr r2

1

2< < + . (23)

С другой стороны для независимости событий, чтобы все числа натурального ряда на интервале [2, x] не были кратны простым числам: 2 3, ,..pr должны выполняться условия:

x pr 2 3⋅ ⋅ ⋅... . (24)

Таким образом, на основании (23), (24) для неза-висимости указанных событий должно выполняться условие

p pr r+ ⋅ ⋅ ⋅1

22 3 ... . (25)

Однако, условие (25) не выполняется уже при r >1. Поэтому указанные события зависимы и плот-ность последовательности простых чисел g(n) на ин-тервале [2, x] определяется по формуле:

P g x C x pp x

( , , ) ( ) ( / )2 1 1= −≤∏ , (26)

где С(х) – коэффициент зависимости.Например, при r = 3 плотность последовательно-

сти простых чисел g(n) на интервале от 2 до pr2 25= , определяемая как

P g pp

( , , ) ( / ) /2 25 1 1 4 15

5

= − =≤∏ .

Фактическое значение плотности

P g* ( , , ) /2 25 1 4= .

Обратите внимание, что P g P g( , , ) ( , , )*2 25 2 25> , т.е. С(х) < 1.

При r = 5 плотность последовательности простых чисел g(n) на интервале от 2 до pr2 121= равна:

P g pp

( , , ) ( / ) /2 121 1 1 48 231

11

= − =≤∏ .

Фактическое значение плотности

P g* ( , , ) /2 121 1 4= .

В данном случае относительная ошибка достига-ет уже 20%. Обратите внимание, что

P g P g( , , ) ( , , )*2 121 2 121< , т.е. С(х)>1.

Таким образом, при небольших значениях x ко-эффициент зависимости C(x) с ростом r колеблется около 1 и возрастает по модулю.

Гренвилле в своей работе [2] утверждает, что ошибка в определении плотности простых чисел на интервале [2, x], определяемой по формуле:

( / )1 1−≤∏ pp x

,

колеблется в интервале от − −2

1 2rrp/ до + −

21 2r

rp/ , где r-номер шага решета Эратосфена.

Следуя Гренвилле, при росте x на конечном ин-тервале [2, x] (на каждом шаге решета Эратосфена) значение С(х) в формуле (26) колеблется около 1, и при больших значениях x.

Определим значение С(х) при больших значениях х. На основании асимптотического закона распре-

деления простых чисел для плотности последова-тельности простых чисел g(n) на интервале [2, x] для больших значений x выполняется:

P g x x o x( , , ) / ln( ) ( / ln( ))2 1 11= + . (27)

Используя теорему Мертенса можно записать:

1 0 5 1 1 12/ ln( ) , ( / ) ( / ln( ))x e p o xp x

= − +≤∏γ , (28)

где γ = 0 577215, ... – постоянная Эйлера.На основании формул (27) и (28) для больших

значений x справедливо равенство:

P g x e p o xp x

( , , ) , ( / ) ( / ln( ))2 0 5 1 1 1= − +≤∏γ , (29)

где o x o x o x( ) ( ) ( )= +1 2 .



Формулу (29) можно записать в виде:

P g x e pp x

( , , ) ~ , ( / )2 0 5 1 1γ −

≤∏ ,

из которой вытекает, что для больших значений x выполняется:

C C x ex

= =→∞lim ( ) ,0 5 γ . (30)

Равенство (29) также является вероятностью, что выбранное наугад натуральное число из интервала [2, x], где x – большое натуральное число, является простым.

Обозначим, через F x y( , ) число натуральных чи-сел, меньших или равных x, не делящихся на про-стые числа, меньшие или равные y.

На основании формула Мейсселя [3]:

F x p x x p x p p

x p p

r ip M

i jp p M

r

i i j

( , ) [ / ] [ / ( )]

... ( ) [ / (

| |

= − + +

+ + −

∑ ∑

1 1 2.... )],

... |

prp p p Mr1 2

∑ (31)

где pi – i-ое простое число, а M p p pr= 1 2... .Обозначим количество натуральных чисел после-

довательности fr , получаемой на r-ом шаге решета Эратосфена на интервале [2, x] – ± π( , , )f xr 2 .

Для того, чтобы получить значение ± π( , , )f xr 2 надо добавить к функции F x pr( , ) значение r, так как она не включает первые r простых чисел, кото-рые содержит последовательность fr , и вычесть 1, так как она не содержится в интервале [2, x].

Поэтому количество натуральных чисел последо-вательности fr , получаемой на r-ом шаге решета Эратосфена на интервале [2, x] равно:

π( , , ) [ / ]

[ / ( )] ...

( ) [

|

|

f x r x x p

x p p

r ip M

i jp p M

r

i

i j

2 1

1

= − + − +

+ + +

+ −

∑

∑

xx p p prp p p Mr

/ ( ... )].

... |

1 2

1 2

∑

(32)

На основании (32), при больших значениях x ( x pr 2 3⋅ ⋅ ⋅... ) плотность последовательности fr , получаемой на r-ом шаге решета Эратосфена на интервале [2, x] равна: P f x r x x x p

x p p

r ip M

i jp p M

i

i j

( , , ) ( ) / / ( [ / ]

[ / ( )] ...

|

|

2 1 1 1= − + − +

+ +

∑

∑ ++

+ − ∑( ) [ / ( ... )])).

... |

1 1 2

1 2

rr

p p p Mx p p p

r

(33)

Например, при x r= =10 38, на основании (33)

получим:

P f xr( , , ) ,2 2 10 0 2666666638= ⋅ +− . (34)

Теперь определим плотность данной последова-тельности по формуле (19):

P f xr( , , )

/ / / / ,

2

1 2 2 3 4 5 4 15 0 266666666

== ⋅ ⋅ = =

. (35)

Сравнивая (34) и (35), получаем, что абсолютная ошибка определения плотности для данного случая по формуле (20):

∆ = ⋅ + ⋅ = ⋅− − −2 10 3 10 2 3 10

8 9 8, . (36)

На основании (36) относительная ошибка опреде-ления плотности для данного случая равна:

∆o =⋅

= ⋅−

−2 3 10

4 158 625 10

8

8,

/, . (37)

Теперь определим относительную ошибку в определении плотности для данного случая по фор-муле (22):

∆o < + +

+ = ⋅

−

−

10 3 2 0 26419

10 9 355 10

8

8 8

( ( ,

ln(ln( ))) ,. (38)

Сравнивая со значением (37) мы видим, что усло-вие (38) действительно выполняется.

При x pr 2 3⋅ ⋅ ⋅... формулу (33) можно предста-вить в виде:

P f x r x pr ii

r

( , , ) ( ) / ( / )2 1 1 1

1

≈ − + −=∏ . (39)

На основании решета Эратосфена, для того, чтобы все числа на интервале [2, x] были простыми необходи-мо, чтобы на r-ом шаге решета выполнялось условие

± ≤p xr . Поэтому шаг решета Эратосфена r в форму-ле (32) выбирается из этого условия. Таким образом, количество натуральных чисел в последовательности простых чисел f определяется по формуле:

π π( , , ) ( ) [ / ]

[ / ( )] ...

( )

|

|

f x x x x p

x p p

ip M

i jp p M

i

i j

2 1

1

= − + − +

+ + +

+ −

∑

∑rr

rp p p M

x p p pr

[ / ( ... )],

... |

1 2

1 2

∑

(40)

где ± ≤p xr . На основании (40), плотность последовательно-

сти простых чисел f на интервале [2, x] равна:

P f x x x x x p

x p p

ip M

i jp p M

i

i j

( , , ) ( ( ) ) / / ( [ / ]

[ / ( )] .

|

|

2 1 1 1= − + − +

+ +

∑

∑

π

...

( ) [ / ( ... )]),

... |

+

+ − ∑1 1 2

1 2

rr

p p p Mx p p p

r

(41)

где ± ≤p xr .



На основании (41) для плотности последователь-ности простых чисел на интервале [ , ]2 x для боль-ших значений x выполняется формула:

P f x x x pii

r

( , , ) ( ( ) ) / ( / )2 1 1 1

1

≈ − + −=∏π , (42)

где r выбирается из условия ± ≤p xr .Полученные в работе формулы для определения

плотности рассмотренных последовательностей на интервале [2, x] можно использовать для получения оценок количества членов этих последовательностей на данном интервале. На основании формулы (19) для больших x получаем приближенную формулу для оценки количества членов последовательности, полученной после r-ого шага решета Эратосфена fr(n) на интервале [2, x]:

π( , , ) [ ( / )]f x x pr ii

r

2 1 1

1

≈ ⋅ −=∏ . (43)

с относительной ошибкой ± ∆or , определяемой по формуле (22).

Например, для x r= =10 58, :

π( , , ) [ ( / )] ,f pii

5

8 8

1

5

72 10 10 1 1 2 08 10≈ ⋅ − = ⋅

=∏ .

Из формулы (22) следует, что ∆or O x= ( / )1 , поэ-тому lim

x or→∞

=∆ 0 . Следовательно, для оценки количе-ства членов последовательности, полученной после r-ого шага решета Эратосфена f nr ( ) на интервале [2, x] справедлива асимптотическая формула:

π( , , ) ~ [ ( / )]f x x pr ii

r

2 1 1

1

⋅ −=∏ . (44)

Из формулы (29) следует асимптотическая фор-мула для определения количества членов последова-тельности простых чисел f n( ) на интервале [2, x]:

π γ( , , ) ~ [ , ( / )]f x e x p

p x

2 0 5 1 1⋅ −≤∏ , (45)

3. обобщение вероятностного пространства на конечном интервале натурального рядаРассмотрим обобщение вероятностного простран-ства, данного в работе [1].

Пусть A конечное множество последовательных натуральных чисел, т.е. A N=1 2, ,... и k – целое по-ложительное число. Обозначим Ak множество всех кортежей < >x xk1,... из Ak , т.е.

A x x x A x Akk k= < > ∈ ∈ ,... | ,... 1 1 . (46)

Иначе говоря, множество Ak является k-кратным прямым произведением множества A.

Пусть предикат R x xk( ,... )1 имеет смысл для всех элементов множества Ak , т.е. для любого кортежа ( ,... )x xk1 из Ak значение предиката R x xk( ,... )1 либо истинно, либо ложно.

Выделим подмножество B Ak⊂ , состоящее в точности из тех кортежей < >x xk1,... из Ak , для кото-рых R x xk( ,... )1 истинно, т.е.

B x x A R x xkk

k= ∈( ,... ) | ( ,... ).1 1 (47)

Пример.

R x x x x x x x x( , , ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 2 30 0= + = ∪ − + < .

Утверждение 3

Алгебра < ∅ ∪ > , , ( ), ,A P Ak k является алге-брой событий, где P Ak( ) – множество всех подмно-жеств непустого множества Ak , а ∪ , – соответ-ственно операции объединения и дополнения подмножеств.

Перед доказательством утверждения напомню определение алгебры событий. Множество P C( ) , элементами которого являются подмножества мно-жества C , удовлетворяющее условиям:1. Множество P C( ) содержит достоверное событие

(множество C ).2. Вместе с любым событием (подмножеством),

множество P C( ) содержит противоположное со-бытие (дополняющее подмножество).

3. Вместе с любыми двумя событиями (подмноже-ствами), множество P C( ) содержит их объеди-нение.доказательство

Известно, что алгебра < ∅ ∪ > , , ( ), ,A P Ak k является алгеброй типа (2,1), поэтому для любых подмножеств непустого множества Ak , выполняются условия 2 и 3.

Множество , , ( )A P Ak K∅ содержит достовер-ное событие – Ak , т.е. выполняется условие 1, а так-же содержит противоположное для него событие (до-полняющее подмножество) – ∅ и наоборот.

Таким образом, для достоверного события и пу-стого множества также выполняется условие 2.

Объединение любого подмножества множества Ak и множества Ak является множеством Ak , а объ-единение любого подмножества множества Ak и пу-стого множества ∅ является тем же подмножеством множества Ak .

Следовательно, все условия 1, 2, 3 для алгебры < ∅ ∪ > , , ( ), ,A P Ak k выполнены и поэтому она является алгеброй событий ч.т.д.

Напомню определение вероятностной (нормиро-ванной) меры на конечном пространстве событий.



Пусть Ω конечное множество (множество элемен-тарных событий), F – алгебра подмножеств Ω (алге-бра событий).

Тогда вероятностной мерой на ± ( , )Ω F называется функция P , отображающая F на множество действи-тельных чисел, обладающая следующими свойствами:1. Для любого события D F∈ выполняется P D( ) ≥ 0 .

2. Для любых двух событий D F1 ∈ и D F2 ∈ вы-полняется P D D P D P D( ) ( ) ( )1 2 1 2∪ = + .

3. P( )Ω =1 .Пусть Ω = Ak . В утверждении 3 показано, что алгебра

< ∅ ∪ > , , ( ), ,A P Ak k

является алгеброй событий, где E Ak( ) – множество всех подмножеств непустого множества Ak , а ∪ , – соответственно операции объединения и допол-нения подмножеств.

Таким образом, в данном случае –

F A E Ak k=< ∅ ∪ > , , ( ), , .

Введем функцию плотности k -кортежей на мно-жестве B Ak⊆ , определяемую по формуле:

P B B Nk( ) ( ) /= π , (48)

где π( )B – количество k-кортежей в множестве B .Покажем, что P B( ) является вероятностной ме-

рой на конечном пространстве событий.Утверждение 4

Плотность k-кортежей на множестве B Ak⊆ , определяемая по формуле (48) – P B B Nk

( ) ( ) /= π яв-ляется вероятностной мерой на конечном простран-стве событий.

доказательство

Свойство 1. Для любого события D F∈ выполня-ется P D( ) ≥ 0 , так как π( )D ≥ 0 и Nk > 0 .

Свойство 2. Для любых двух событий D F1 ∈ и D F2 ∈ выполняется P D D P D P D( ) ( ) ( )1 2 1 2∪ = + , если D1 и D2 не совместны.

На основании определения (48)

P D D D D Nk( ) ( ) /1 2 1 2∪ = ∪π . (49)

Так как D1 и D2 не совместны, то соответствую-щие подмножества не пересекаются.

Поэтому π π π( ) ( ) ( )D D D D1 2 1 2∪ = + и на основа-нии (49) P D D D D N

D N D N P D P D

k

k k

( ) ( ) /

( ) / ( ) / ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

∪ = ∪ =

= + = +

π

π π (50).

Свойство 3. P( )Ω =1 . Если Ω = Ak , то на основа-нии (48)

P A A N N Nk k k k k( ) ( ) / /= = =π 1 . (51) ч.т.д.

Рассмотренная ранее вероятностная мера цело-численной строго возрастающей последовательно-сти на ограниченном интервале натурального ряда [1] является частным случаем вероятностной меры последовательности k -кортежей на Ak , определен-ной в (48).

Поясним это – k -местный предикат R x xk( ,... )1 является условием, накладываемым одновременно на k свободных переменных: x xk1,... , каждая из ко-торых принимает значение от 1 до N .

В рассмотренной ранее вероятностной мере [1] условие накладывалось только на одну свободную переменную, чтобы она принимала значение из какой-либо целочисленной строго возрастающей последовательности на ограниченном интервале натурального ряда. Например, в гипотезе Харди-Литлвуда для простых близнецов рассматривается случай, когда натуральное число x удовлетворяет условию истинности предиката от одной свобод-ной переменной:

R x x P x P( ) ( ) ( )= ∈ ∩ + ∈2 ,

где P – множество простых чисел.Истинность k -местного предиката (от k сводных

переменных) соответствует выполнению k незави-симых событий. Например, когда предикат

R x x x P x Pk k( ,... ) ( ) ... ( )1 1= ∈ ∩ ∩ ∈

является истинным.Условие истинности k -местного предиката со-

ответствует следующей вероятностной модели. На шарах надписываются номера от 1 до N и они укла-дываются в урну. Далее из урны поочередно наугад выбираются шары. Сначала выбирается первый шар, записывается его номер x1 и шар обратно кла-дется в урну. Затем выбирается второй шар, записы-вается его номер x2 и шар обратно кладется в урну и.т.д. до k -ого шара включительно. После этого проверяется выполнение условия истинности kместного предиката R x xk( ,... )1 для полученного k кортежа ( ,... )x xk1 .

Если бы шары не возвращались в урну, то не была бы реализована независимость событий, так как не был бы возможен случай повторения значений:

x x xk1 2= = =... .

Определим плотность k -кортежей для случая по-вторения значений по формуле (48):

P x x x N N Nkk k

( ... ) / /1 2

11= = = = = − . (52)

Рассмотрим еще один пример нахождения плот-ности k -кортежей для случая истинности предиката R x x( )2 1> :



P x x N N N N( ) ( ) / / ( / )2 1

2 22 1 2 1 1> = − = − . (53)

Известно, что k -арное отношение R – это мно-жество k -кортежей < >∈x x Rk1,... , которое является подмножеством прямого произведения Ak .

Напомню, что k -арное отношение является реф-лексивным на множестве A , если для любого x A∈ выполняется < >∈x x R,... .

Назовем главной диагональю прямого произведе-ния Ak k -кортежи < >x xk1,... , удовлетворяющие ус-ловию < >∈x x Rk1,... .

Отсюда следует, что рефлексивному k -арному отношению принадлежит главная диагональ множе-ства Ak .

Пример рефлексивного k -арного отношения: ( )x x x R1 2 3≤ ≥ ∈ .

Известно, что k -арное отношение является анти-рефлексивным на множестве A , если для любого x A∈ выполняется < >∉x x R,... .

Отсюда следует, что антирефлексивному k -арно-му отношению не принадлежит главная диагональ множества Ak .

Пример антирефлексивного k -арного отноше-ния: ( )x x x R1 2 3> < ∈ .

Напомню, что бинарное отношение R на множе-стве A называется симметричным на A , если для любых x A x A1 2∈ ∈, из < >∈x x R1 2, следует, что< >∈x x R2 1, .

Обобщим это свойство – k -арное отношения R на множестве A является симметричным, если для любых x A x Ak1∈ ∈,... из < >∈x x Rk1,... следует, что

( , ,... ) ... ( , ,... )< >∈ ∩ ∩ < >∈x x x R x x x Rk k k2 1 1 ,

т.е R принадлежат все перестановки xi .Таким образом, для симметричного k-арного от-

ношения кортежи < >∈x x Rk1,... расположены сим-метрично относительно главной диагонали.

Примером симметричного k -арного отношения является отношение между k взаимно простыми числами. На основании указанной выше вероятност-ной модели – проверяется условие, что номера k по-следовательно вынутых шаров (с возвратом) окажут-ся взаимно простыми числами.

Назовем k -арное отношение R на множестве A антисимметричным, если для любых x A x Ak1∈ ∈,... из < >∈x x Rk1,... следует, что

( , ,... ) ... ( , ,... )< >∉ ∪ ∪ < >∉x x x R x x x Rk k k2 1 1 .

Таким образом, в антисимметричном k -арном от-ношении для кортежа < >∈x x Rk1,... нет симметрич-ного относительно главной диагонали и сама главная диагональ не принадлежит R .

Пример несимметричного k -арного отношения:

R x x x x x xk k k( ,... ) ( ) ... ( )1 1 2 1= > ∩ ∩ >− .

Указанные выше свойства k-арных отношений по-могают в определении вероятности по формуле (48).

Например, формула (53) получается, как количе-ство точек, имеющих натуральные значения в A2 , т.е. N 2 , за вычетом точек, находящихся на главной диаго-нали – N и деленное пополам, так как нас интересуют только точки, находящиеся над главной диагональю.

Рассмотрим также асимптотическую плотность k -кортежей на множестве B Ak⊆ , определяемую по формуле:

′ =→∞

P B BNN k( ) lim( )π . (54)

Для асимптотической плотности (54) выполня-ются свойства 1-3 плотности, введенной по формуле (48), но не выполняется свойство счетная аддитив-ность, которое необходимо для того, чтобы асимпто-тическая плотность (54) являлась вероятностной ме-рой на бесконечном пространстве событий.

Обозначим BN множество B при фиксированном значении N , а ± π( )BN – количество k -кортежей < >x xk1,... на множестве BN .

В силу определения последовательность ± π( )BN является неубывающей (монотонно возрастающей).

Рассмотрим 3 случая данной последовательности:1. Последовательность ± π( )BN , начиная с некоторо-

го N0 не возрастает, т.е. остается постоянной ве-личиной. В этом случае

′ = =→∞

P B BNN

Nk( ) lim

( )π0 .

2. Последовательность ± π( )BN возрастает неограни-ченно, как O N s

( ) , где s k< . В этом случае

′ = =→∞

P B BNN

Nk( ) lim

( )π0 .

Примером случая 2 является формула (52).3. Последовательность ± π( )BN возрастает неограни-

ченно, как O N s( ) , где s k= , но π( )B NN

k≤ .

В этом случае ′ = =→∞

P B BN

aN

Nk( ) lim

( )π , где постоян-

ная ± ≤a 1 . Примером случая 3 – (53). В этом случае асимптотическая плотность равна 1 2/ .Приведу еще пример для случая 2.Пусть из последовательности натуральных чисел:

1 2, ,...N наугад выбираются k -чисел k N< , притом числа могут повторяться.

Определить асимптотическую плотность (54) простых k -кортежей, т.е что все выбранные числа окажутся простыми.

На основании асимптотического закона простых чисел значение π( ) / ln ( )B N NN

k k= , поэтому из (54) получаем:



′ = = =→∞ →∞

P B BN

N NNN

Nk N

k k

k( ) lim( )

lim/ ln ( )π

0 .

Интересно, что асимптотическая плотность (54) для k -кортежей взаимно простых чисел относится к случаю 3 и не равна 0 , как для простых чисел, т.е. их плотность значительно больше.

Рассмотрим этот пример случая 3. Пусть из по-следовательности натуральных чисел: 1 2, ,...N наугад выбираются k чисел k N< , притом числа могут повторяться.

Требуется определить асимптотическую плот-ность (54) для k -кортежей взаимно простых чисел, т.е что выбранные наугад k чисел окажутся взаимно простыми.

Ранее было рассмотрено свойство симметрично-сти для k -арных отношений. Если k -арное отноше-ние между k взаимно простыми числами является симметричным, то. кортежи < >x xk1,... данного от-ношения расположены симметрично относительно главной диагонали ( ... )x xk1 = = .

Сначала рассмотрим случай k = 2. В этом случае кортежи < >x x1 2, расположены

симметрично относительно главной диагонали( )x x1 2= , поэтому можно определить количество пар взаимно простых чисел при x x1 2> , и умножив его на 2 , получим общее количество пар взаимно про-стых чисел, не превосходящих натуральное число N .

В случае, если x x1 2> , то количество взаимно простых чисел с x1 равно ϕ( )x1 , где ϕ( )x1 – функция Эйлера для натурального числа x .

Просуммировав количество взаимно простых чи-сел с x1 при значениях x1 от 1 до N получим

ϕ( )nn

N

=∑1

– количество пар взаимно простых чисел, не

превосходящих N , при условии x x1 2> .

На основании [3]:

ϕ π( ) / ( ) ( ln( ))n N O N Nn

N

=∑ = +1

2 23 . (55)

Умножив выражение (55) на 2 , для учета симме-тричных кортежей < >x x1 2, для случая x x2 1> , полу-чим общее количество пар взаимно простых чисел на интервале от 1 до N :

π π( ) / ( ) ( ln( ))B N O N NN = +6 2 2 . (56)

На основании (56) определим вероятность, вы-бранной наугад пары натуральных чисел, не превос-ходящих N , быть взаимно простыми по формуле (48):

Pr B B N O N NN N( ) ( ) / / ( ) (ln( ) / )= = +π π2 26 . (57)

Используя (57) определим искомую асимптотиче-скую плотность пар взаимно простых чисел по фор-муле (54):

′ = = +

+ = =→∞ →∞

P B B N

O N NN N N

( ) lim ( ) / lim / ( )

(ln( ) / ) / ( ) / (

π π

π ζ

2 2

2

6

6 1 2)), (58)

где ζ – функция Римана.На основании [4] для k > 2 на множестве делите-

лей S , состоящего из одного числа1 , получаем оцен-ку количества взаимно простых k-кортежей:

Pr B B N k O NN Nk

( ) ( ) / / ( ) ( / )= = +π ζ1 1 (59)

На основании (48) и (59) получаем вероятность, что k -кортеж состоит только из взаимно простых на-туральных чисел, не превосходящих N :

Pr B B N k O NN Nk

( ) ( ) / / ( ) ( / )= = +π ζ1 1 . (60)

Асимптотическая плотность k -кортежей, состоя-щих только из взаимно простых натуральных чисел, на основании формул (54) и (60) равна:

′ = =

= + =→∞

→∞

P B B N

k O N kN N

k

N

( ) lim ( ) /

lim / ( ) ( / ) / ( ),

π

ζ ζ1 1 1 (61)

где ζ – функция Римана.Асимптотическая плотность, определенная по

формуле (54), имеет с вероятностью, определенной по формуле (48) общие свойства.

Пусть Ω множество k -кортежей Nk ( k -ое пря-мое произведение натурального ряда), а F – алгебра подмножеств Ω.

Тогда для асимптотической плотности k -корте-жей – P B'( ) , определенной по формуле (54) выпол-няются следующие свойства:

Для любого подмножества D F∈ выполняется′ ≥P D( ) 0 .Для любых двух подмножеств D F1 ∈ и D F2 ∈

выполняется ′ ∪ = ′ +P D D P D P D( ) ( ) ( )1 2 1 2 .

′ =P ( )Ω 1 .

Но этого конечно не достаточно для того, чтобы асимптотическая плотность, определенная на беско-нечном пространстве Nk , была вероятностью, так как выполняется только свойство 2 – конечная адди-тивность и не выполняется свойство – счетная аддитивность.

Приведу пример, подтверждающий это.Рассмотрим асимптотическую плотность нату-

ральных чисел кратных натуральному числу d . Она равна – 1 / d . Если просуммировать данную асим-птотическую плотность для всех значений d от 1 до бесконечности, то получим сумму гармонического ряда равную бесконечности.

Если бы асимптотическая плотность, опреде-ленная в (54) была бы вероятностью, то выпол-нялась бы счетная аддитивность и на основании



свойства 3 асимптотической плотности этой сумма была бы равна 1.

С другой стороны, если рассмотреть асим-птотическую плотность натуральных чисел, имеющих остаток от деления на d от 0 до d −1 , т.е. последовательности вида – dn l+ , где l d= −0 1,... , то асимптотическая плотность каж-дой из них также равна 1 / d .

Если просуммировать асимптотическую плотность этих последовательностей для всех остатков от l = 0 до l d= −1 , то получим 1, так как для асимптотической плотности выполняют-ся свойства 2 и 3.

Есть еще одно свойство асимптотической плот-ности, вытекающее из определений (48) и (54):

′ =→∞

P B Pr BN N( ) lim ( ) . (62)

Данное свойство я использовал во всех приме-рах для нахождения асимптотической плотности.

Рассмотрим подробнее последний пример определения асимптотической плотности для k-кортежей взаимно простых чисел, т.е что вы-бранные k чисел окажутся взаимно простыми.

На основании (62) формулу (61) можно запи-сать в виде:

′ = =

= + =→∞

→∞

P B Pr B

k O N kN N

N

( ) lim ( )

lim / ( ) ( / ) / ( ),1 1 1ζ ζ (63)

где ζ – функция Римана.На основании определения (48) последова-

тельность вероятностей Pr BN( ) является после-довательностью рациональных чисел, а ее пре-дел – асимптотическая плотность, к которой стремится данная последовательность, в общем случае, не является рациональным числом. В слу-чае k = 2 асимптотическая плотность пар взаим-но простых чисел, на основании (58), равна

± 62

/ ( )π , т.е. является иррациональным числом, поэтому она ни как не может быть вероятностью, определенной по формуле (48).

Возможно, что асимптотическая плотность k-кортежей взаимно простых чисел, определенная по формуле (61) – 1 / ( )ζ k , является иррациональ-ным числом при всех натуральных значениях k >1.

Отсюда напрашиваются гипотезы.

Вольфсон Виктор Леонидович канд. техн. наук, ведущий аналитик ЗАО «Ланит»

105425, Москва, Российская Федерацияул. Доброслободская 5, стр. 1

E-mail: [email protected]

vol'fson viktor LeonidovichCand. of Tech. Sciences, JSC «Lanit» 105425, Moscow, Russian Federation Dobroslobodskaya st. 5, str. 1E-mail: [email protected]


Гипотеза 1

Функция Римана ζ( )k принимает иррациональные значения при всех натуральных значениях k >1 .

В пользу этой гипотезы говорит следующее. Известно, что функция Римана при четных значениях является ирра-циональным числом. Также известно, что функция Рима-на иррациональна при k = 3 [4]. Также известна бесконеч-ность иррациональных значений функции Римана в нечетных числах, а наличие иррациональных значений функции Римана в некоторых наборах нечетных чисел [5].

Гипотеза 2

Функция Римана ζ π( ) ( ) / ( )k C kk= , где C k( ) – посто-янная зависящая от натурального k >1 , C k( ) – рацио-нальное число и C k k

( ) ( )< π .Из гипотезы 2 следует гипотеза 1, поэтому гипотеза 2

носит более общий характер. В пользу гипотезы 2 гово-рит следующее. Известно, что гипотеза 2 выполняется при четных значениях k [6]:

ζ π( ) ( ) ( ) / ( )!2 1 2 2 21 2

2m B mm mm= − + , (64)

где B m2 – число Бернулли. Например, на основании (64):

ζ π ζ π( ) ( ) / , ( ) ( ) /4 90 6 18904 6= = .

Литература1. Вольфсон В. Л., Вероятностные модели и предпосылки гипотез

о простых числах, Прикладная физика и математика, 2013. 5. С. 87–98.

2. Granville A. «Harald Cramér and the distribution of prime num-bers», Scandinavian Actuarial Journal, 1995 Т. 1. PP. 12–28.

3. Бухштаб А.А. Теория чисел. Издательство «Просвещение», Москва, 1966. 384 с.

4. Roger Apéry (1979), «Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)», Astérisque Т. 61. PP. 11–13.

5. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. М, 1953.6. Зудилин В.В. Об иррациональности значений дзета-функции в

нечетных точках, УМН. 56:2(338) (2001). C. 215–216.

References1. Volfson V.L. [Veroyatnostnye modeli i predposylki gipotez o prostyh

chislah, Prikladnaya fizika i matematika] Probalistic models and assumptions of conjectures about prime numbers, Applied fhysics and mathematics, 2013. 5, PP. 87–98.

2. Granville A. «Harald Cramér and the distribution of prime num-bers», Scandinavian Actuarial Journal, 1995 Т. 1. PP. 12–28.

3. Buchstab A.A. [Teoriya chisel] Number Theory. M.: Prosveshcheni-ye [Moscow: Publishing house «Education»], 1966. 384 p.

4. Roger Apéry (1979), «Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)», Astérisque. Т. 61. PP. 11–13.

5. E.K. Titchmarsh. [Ob irracional'nosti znachenij dzeta-funkcii v nechetnyh tochkah] The theory of the Riemann zeta function. M, 1953.

6. V.V. Zudilin. Irrationality of values of zeta function at odd points, UMN, 56:2(338), 2001. PP. 215–216.


Б.А. КУШНеР – выпускник мехмата мГУ, член Союза писателей москвы профессор математики Питтсбургского университета г. Джонстаун, США, E-mail: [email protected]

О А.Н. КОЛмОГОРОВе, В.А. УСПеНСКОм И ДРУГИХ КРУПНейШИХ мАтемАтИКАХ меХмАтА мГУ ВРемеН «ОттеПеЛИ»

Выпускник мехмата МГУ (поступил в 1959) Борис Кушнер, известный специалист в области математической логики, ученик и сотрудник одного из ее создателей А.А. Маркова (младшего), продолжает в этом своем втором очерке реми-нисценции о МГУ самых креативных годов, называемых от-тепелью 1960-х (первый очерк о А.А. Маркове опубликован в ИНТ-2014-3). В предлагаемом читателю очерке расска-зывается о великом русском математике ХХ века А.Н. Кол-

могорове, В несколько меньшей степени фигурируют знаменитые математики В.А. Успенский, П.С. Александров, Д.Е. Меньшов, И.Г. Петровский, А.В. Кузнецов, Н.А. Шанин. Упоминаются другие замечательные имена. Прекрасно передана атмосфера на их лекциях и семинарах. В конце 1960-х гг «оттепель» закончилась, ушел из жизни ректор МГУ Петровский (1973). Сменилась эпоха. Годы расцвета мехмата МГУ закончились.

B.A. KUShNER – Professor of Mathematics university of Pittsburgh at Johnstown Johnstown, PA 15904, uSA, E-mail: [email protected]

ABOut A.N. KOLMOgOROv, v.A. uSPENSKIY AND tHE OtHER PROMINENt MAtHEMAtICIANS FROM «MECHMAtH» OF Mgu OF tHE SO-CALLED «tHAW» EPOQuE

Mechmath graduate (entered it in 1959) Boris Kushner, a renowned expert in mathematical logic, a representative of the famous school of A.A. Markov (Jr), keeps on, in this second essay, reminiscences of the most creative mathematician period of MGU, called «thaw of 1960s». (His first essay narrating of A.A. Markov was published in INT-2014-3). Now the reader is told about the great Russian mathematician of the twentieth

century A.N. Kolmogorov. Several famous mathematicians: V.A. Uspenskiy, P.S. Alexandrov, D.E. Men’shov, I.G. Petrovsky, A.V. Kuznetsov, N.A. Shanin and others are mentioned. The author perfectly conveys the atmosphere of their lectures and seminars. In the late 1960s, the «thaw» expired, Rector Petrovsky died (1973). The famous epoch ended. Mechmath of MGU changed irreversibly

иСтОРияфизики и мАтемАтики

Нет памяти о прежнем: да и о том, что будет, не останется памяти у тех, которые будут послеЕкклесиаст, 1:11

В.А. Успенский о работах А.Н. Колмогорова и сопутствующие событияСтатья В.А. Успенского [1] о работах Колмогорова по математической логике представляется мне зна-чительным событием. А.Н. Колмогоров, несомнен-но, один из самых выдающихся математиков нашего столетия, оставил огромное духовное наследие. Для того чтобы сколько-нибудь подробно представить его вклад в самые различные области чистой и приклад-ной математики понадобились бы усилия большого коллектива авторов. Такой коллектив можно было бы образовать из учеников Колмогорова, ибо в любой математической дисциплине, к которой он обращал-ся хотя бы ненадолго, хотя бы эпизодически, он оста-вил свой след и свою школу. Не представляет собою

исключения и математическая логика. Хотя работы А.Н. в этой области относительно немногочисленны, они отмечены печатью его гения, и время все более и более подтверждает непреходящее их значение. Вме-сте с тем, как я убедился на собственном опыте, по крайней мере, ранние логические работы Колмого-рова все еще мало известны на Западе.

Вряд ли возможно найти лучшего автора для ста-тьи под названием «Колмогоров и математическая логика», чем Владимир Андреевич Успенский. Один из ближайших учеников и сотрудников Колмогорова, великолепный математик, один из создателей совре-менной теории нумераций, автор первой советской монографии о рекурсивных функциях, автор ряда других книг, человек, высоко одаренный гуманитар-но, Успенский обладает самой высокой профессио-нальной и персональной квалификацией для написа-


ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

ния подобной работы. И если мне чего-то недостает в созданном В.А. Успенским великолепном обзоре, то именно личных его воспоминаний, о богатстве которых я могу только догадываться. В течение мно-гих лет В.А. был в центре математической жизни не-обычайной интенсивности, и я убежден, что ему под силу подарить историкам математики живые образы таких ученых, как А.Н. Колмогоров, П.С. Алексан-дров, П.С. Новиков... Если настоящие строки побу-дят В.А. взяться за эту нелегкую задачу, я буду чув-ствовать, что трудился не зря.

Я впервые увидел Успенского в 1960 или 1961 году, когда я был студентом механико-математического факультета МГУ. Это, действительно, были «золо-тые годы» советской математики. Проходя по кори-дору факультета (мех-мат занимал с 12 по 16 этаж Главного Здания МГУ), молодой человек вроде меня мог в течение минуты встретить А.Н. Колмогорова, П.С. Александрова, А.А. Маркова, И.Г. Петровско-го, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова, Л.А. Люстерника, Д.Е. Меньшова, И.М. Гельфанда, А.Г. Куроша...

В 1959 году, когда я поступил на мех-мат, еще не улеглось возбуждение, вызванное великолепным до-стижением В.И. Арнольда, студента Колмогорова, решившего одну из проблем Гильберта. Нам предсто-яло вскоре услышать и о таких именах, как А.А. Ки-риллов, Я.Г. Синай, Ю.И. Манин, С.П. Новиков...

Сама атмосфера мех-мата была электризующе духовной, сочетание живых, доступных классиков и бурлящей (порой через край) энергии молодежи было уникальным, во всяком случае, я никогда ниче-го подобного более не встречал. Сейчас мне кажется, что это был отблеск давно распавшейся Лузитании, о которой так интересно пишет один из ее участников Л.А. Люстерник [2–4]. Так же, как и тогда, процветал студенческий фольклор, по рукам ходили длинные поэмы о мех-мате, написанные непременным раз-мером Евгения Онегина, на вечеринках исполнялась трагическая песнь о студенте, умершем под невыно-симым грузом экзаменов. Мелодия и сюжетные идеи были заимствованы из популярной фольклорной песни «Раскинулось море широко» (повидимому, восходящей к русско-японской войне; у многих лю-дей старшего поколения песня эта ассоциировалась с Л. Утесовым). О времени создания студенческого шедевра судить трудно – мы пели примерно так:

Анализ нельзя на арапа сдавать,Тумаркин тобой недоволен...Изволь теорему Коши доказать,Иль будешь с мех-мата уволен. Однако позже мне приходилось слышать эту

фразу с Ефимовым вместо Тумаркина. Видимо, многие деканы мех-мата побывали в этой песне. За-

канчивалась она весьма выразительной строкой, ис-пользованной Г.Е. Шиловым в качестве эпиграфа к его популярной книжке о графиках: «А синуса гра-фик волна за волной по оси абсцисс убегает...». Это было волнующее время хрущевской оттепели, вы-хода человека в космос... В день, когда запустили в Космос Гагарина, меня пригласил к себе профессор Г.Е. Шилов. Он только что сочинил мелодию песни о Гагарине, недоставало стихов. В тот же вечер песня была исполнена в праздничном концерте. Конечно, это было довольно наивное мое сочинение, но вряд ли уступавшее многочисленной профессиональной продукции, произведенной в те дни.

Во время любой оттепели остаются опасные, не-растаявшие места. Можно поскользнуться. Один наш однокурсник (было это на третьем курсе, в 1961 г.) разговорился в общежитии, другой однокурсник на него немедленно донес. Последовал громкий скан-дал с многочисленными комсомольскими собрания-ми. «Преступник» был, в конечном счете, изгнан из комсомола, а затем из Университета. Детали истории изложены в постперестроечной московской газете «Куранты», в статье: «Нас не травили разве что ду-стом» [Куранты, 166 (933), 2 сентября 1994 г.].

А вкратце дело было так.В начале 1995 г. я получил из Москвы газету, в ко-

торой цитировалась сов. секретная Справка от 20 но-ября 1961 г., адресованная ЦК КПСС и подписанная Зав. отделом науки, вузов и школ ЦК КПСС В. Ки-риллиным и Зам. зав. Отделом науки, школ и куль-туры ЦК КПСС по РСФСР Ф. Герасиным. Документ излагал памятные события «дела Лейкина» в партий-ной интерпретации. Не без изумления обнаружил я и свою фамилию (написанную через «и») в списке зачинщиков: «Вместе с тем Лейкин и поддержива-ющие его Шапиро, Буевич, Кушнир, Томм, Фирсов, Мищенко и Боримечков до собрания провели опре-деленную работу в группах. Ведение собрания ока-залось по существу в их руках». Собрание, о котором идет речь, отказалось исключить Лейкина из комсо-мола и, тем самым, из Университета. Конечно, было организовано сверху другое собрание, выполнившее волю партии. В то время я и не подозревал о таком высоком внимании к нам. Но, очевидно, справке не был дан серьезный ход в партийных инстанциях в от-ношении других, помимо Лейкина, перечисленных в ней фамилий. Во всяком случае, я не почувствовал заметных последствий при приеме в аспирантуру, а потом на работу (кроме обычных для «лиц еврейской национальности» затруднений).

Из этих собраний особенно запомнился следующий эпизод: молодой комсомольский вожак сообщил боль-шой аудитории, что его отец был в свое время репрес-



сирован. «Ну и что?!» – горячо обратился он к своим сокурсникам. Мы молчали... Призрак Павлика Морозо-ва продолжал бродить по стране, а хватка коммунисти-ческой машины не ослабевала. Много лет спустя, один мой старший коллега, вспоминая это время, сказал: «я вступил тогда в партию, чтобы сделать ее лучше». Че-ловеческая наивность воистину беспредельна...

о Д.е. МеньшовеТем не менее, неясные, наивные надежды витали в воздухе, наверное, как и в дни Лузитании. Так же, как и тогда, математика была окружена романтиче-ским ореолом, а об ее творцах существовал значи-тельный фольклор. Место Жуковского в персони-фикации хрестоматийного образа рассеянного, не от мира сего математика занял Дмитрий Евгеньевич Меньшов, выдающийся представитель Лузитании. Перескажу только две из многих легенд.

Однажды Д.Е. прогуливался за городом. Глубоко погрузившись в свои мысли, он каким-то образом миновал часовых, оказался в центре запретной зоны, был задержан и препровожден в Комендатуру. Чтобы понять происшедшую там сцену, необходимо знать, что Д.Е. был весьма высокого роста, очень худой, с короткой, но всклокоченной бородой. Одежде своей он, выражаясь мягко, не уделял большого внимания. Кроме того, Д.Е. обладал необычной хрипловатой и несколько отрывистой манерой речи.

– Ты кто такой?– Я – математик. – Смех.– Может быть, ты еще и профессор?– Да, я профессор Московского Университета. –

Громкий смех.– Может быть, ты еще и академик?– Нет, я член-корреспондент.– Служивая публика

рыдает от смеха...К счастью, комендант, в конце концов, позвонил

в Университет...Другая сцена. Как-то во время войны Д.Е. читал

лекцию студентам, кажется, в Ташкенте. Помещений не хватало, погода была жаркая. Соответственно сту-денты сидели во дворе, на свежем воздухе, а Д.Е. об-ращался к ним с небольшого балкончика. Как обычно, Д.Е. воодушевился и начал жестикулировать. Как ре-агировали на его вдохновение закаленные студенты, неизвестно, но проходившие по улице мусульмане стали опускаться на колени, считая, что приехал по-чтенный высокоученый мулла и читает проповедь...

На школьных математических кружках в те годы все еще рассказывали о драматическом прорыве в бесконечность, совершенном Кантором. Боюсь, что сейчас молодым людям преподносят что-нибудь бо-лее полезное и преходящее.

Даже неизменный и порою небезопасный старик-ферматист с потертым футляром от скрипки и стопкой витиевато исписанных листов – очередным доказатель-ством Теоремы Ферма, предлагаемым для немедленно-го, на месте прочтения всем любопытствующим, – ка-зался неотъемлемым элементом этого необычайного мира. В футляре от скрипки в зимнее время хранились доказательства Теоремы Ферма. По легендам, не отри-цаемым самим их героем, летом Д. плавал на речных пароходах, играл на скрипке для отдыхающей публики, зарабатывая на жизнь и на возможность размышлять над великой загадкой Ферма. По моим наблюдениям производительность труда Д. составляла 1.5-2 дока-зательства Теоремы Ферма за сезон. В мое время он представлял математической публике доказательства, кажется, под номером 16 (варианты доказательств от-мечались добавлением букв, скажем 16 Е). Д. прекрас-но знал все ведущие советские Университеты и мате-матические учреждения и всех ведущих математиков. Его отношения с последними были непростыми, с кем-то он, по его утверждению, даже и судился. Легенда ут-верждала, что вскоре после учреждения фототелеграфа Д. послал в Математический Институт имени Стеклова новогоднюю фототелеграмму. На бланке можно было видеть симпатичную коллекцию ослиных голов, под каждой головой была каллиграфически выписана фа-милия очередного знаменитого математика. Впрочем, сам я никогда не видел Д. в агрессивном состоянии, он обычно сидел в углу на скамье, окруженный студента-ми и рассказывал желающим свою работу. По оконча-нии он просил отзыв вполне умеренного содержания: «Я, такой-то, студент такого-то курса мех-мата, ознако-мился с доказательством 16 Е Великой Теоремы Фер-ма, принадлежащим Д.; при поверхностном просмотре явных ошибок не обнаружено». Трудно сказать верил ли Д. в свои доказательства сам. Однажды он сказал при мне не без гордости: «Это доказательство я пока-зывал Михаилу Михайловичу Постникову; Постников сообщил мне, что мои ошибки становятся все более и более витиеватыми». Помимо теоремы Ферма, Д. в мо-лодости работал и над perpetuum mobile. Здесь он лю-бил рассказывать о доценте, который сначала прогонял его, потом начал называть его идеи гениальными, но в этот момент, когда сотрудничество пошло на лад, до-цента забрали в сумасшедший дом. Желающим также позволялось заглянуть в киносценарий «Математиче-ский Сталинград», посвященный участи математиков (названных поименно), отрицавших идеи Д.

о П.С. АлександровеПавел Сергеевич Александров, уже в мое время но-сивший очки с огромными выпуклыми линзами, всегда был окружен толпой последователей. Из-за



близорукости он порою путал своих учеников с «по-сторонними» студентами. Так, один мой сокурсник был приятно ошеломлен, когда П.С. протянул ему руку в лифте и без долгих предисловий спросил: «Здравствуйте, как поживаете?» В конце недолгого пути на 13 этаж мой друг признался все-таки, что он первокурсник. «А я, было, возвел Вас в аспирантское достоинство» – засмеялся П.С.

Даже в то время память о П.С. Урысоне, трагиче-ски погибшем во Франции в 1924 г. (он утонул, ку-паясь в море), была свежа, как будто беда случилась совсем недавно. Плавание составляло неизменный элемент знаменитых «топологических прогулок» (выездов Александрова с учениками за город), а од-нажды Александров едва не погиб, купаясь в Дне-стре, из-за неосторожности водителя катера. Дружба двух «П.С.» была окутана романтическим ореолом, а ученики Александрова любили рассказывать тро-гательную историю о том, как однажды П.С. Алек-сандров подарил П.С. Урысону оттиск с дарственной надписью «ПСУ от ПСА».

П.С. Александров, один из отцов современной топологии был человеком необычайным. Он, на-пример, мог без малейших затруднений произнести длинную цитату из «Фауста» (в оригинале, конечно) во время заседания Ученого Совета (несомненно, за-седания эти довольно часто давали повод вспомнить и о Фаусте и о Мефистофеле). Однажды, в середине 60-х годов я был на публичной лекции П.С. о геоме-трии, каковую он, разумеется, трактовал во француз-ском духе, то есть очень широко. Большая аудитория на первом этаже Главного Здания МГУ была запол-нена математиками и прочей университетской пу-бликой. Лекция развивалась блестяще, но в середине ее послышался шум в дверях, и после секундного замешательства в зал ворвалась целая армия фото, теле и кинокорреспондентов. За ними в окружении группы людей в штатском появился Ректор Универ-ситета И.Г. Петровский с Президентом Франции Де Голлем, наносившим в те дни официальный визит в Москву (1961 г). И.Г. Петровский и Де Голль сдела-ли в сторону П.С. жест, смысл которого на всех язы-ках был: «Ради Бога, извините, и не обращайте на нас внимания...» П.С. мгновенно перешел на фран-цузский язык и продолжил вдохновенный рассказ о теории размерности. Гости внимательно слушали из своего первого ряда. Но минут через десять Пе-тровский извинился, прервал лекцию, и П.С. усту-пил кафедру Де Голлю. Президент в свою очередь извинился и обратился к собравшимся с небольшой речью, в которой он выразил сожаление, что из-за недостатка времени лишен возможности дослушать великолепную лекцию академика Александрова, что

он крайне признателен и лектору и Ректору за эту возможность говорить в стенах столь прославленно-го заведения и т.д. Затем Де Голль и Ректор направи-лись к выходу, а за ними и вся толпа исчезла также быстро, как и явилась. Я, признаться, в этот момент подумал, что, видимо, политика и политики все же меняются со временем: Наполеон, возможно, дослу-шал бы такую лекцию до конца1.

Повидимому, П.С. мог быть и довольно колю-чим. На одном из этажей мех-мата висела большая картина, выполненная в лучших традициях социа-листического реализма. Картина изображала встре-чу «Всероссийского старосты» М.И. Калинина с преподавателями мех-мата в тридцатых годах. Вся сцена дышала благолепием, вокруг головы Калини-на почти различался нимб. В одном из первых рядов узнавался молодой Александров, видимо задавав-ший лидеру партии и правительства какой-то во-прос. Старожилы любили вспоминать этот вопрос. Дело в том, что туалетов в старом здании мех-мата на Моховой не хватало, и были они в плачевном со-стоянии. (Об этом, кстати, пишет и Люстерник [3]). Вот Павел Сергеевич и спросил Калинина, не мог бы тот содействовать устройству дополнительного туалета для преподавателей. Калинин, с удоволь-ствием отвечавший на общие вопросы о постановке высшего образования в СССР, о роли науки в ком-мунистическом воспитании и т.д., рассердился и посоветовал П.С. обратиться к завхозу.

Большим успехом пользовались музыкальные вечера, которые П.С. регулярно устраивал в сту-денческих общежитиях. Из его огромной коллек-ции извлекались редкие пластинки; прослушивания обыкновенно предварялись небольшой его речью. Должен сказать, что я никогда не встречал человека с таким потрясающим красноречием2. Речь П.С. была великолепно организована, она текла плавно, краси-во, без малейших затруднений. Сюжеты, образы, ас-социации рождались сами собой. Однажды на моих глазах П.С. абсолютно плавно, я бы сказал аналити-чески, перешел от Брамса к аморальности бактерио-логического оружия, а затем столь же плавно возвра-тился к Брамсу. Мне довелось также несколько раз присутствовать при публичных выступлениях П.С., основанных на его персональных воспоминаниях. Эти его рассказы производили впечатление чуда: на глазах оживали такие имена, как Гильберт, Хаусдорф,

1 Интерес Наполеона к математике вообще и к геометрии в частности общеизвестен. Ему даже приписывается из-ящная теорема о треугольниках (так называемая теорема Наполеона).

2 Из ораторов, которых я слышал, пожалуй, только И.Г. Эрен-бург, В.А. Успенский и Б.В. Гнеденко приближались к П.С.



Брауэр, Нетер... Не могу удержаться, чтобы не попы-таться воспроизвести здесь один из живых рассказов П.С. Речь шла о семестре, проведенном им в Гёттин-гене, если я не ошибаюсь, в середине 1920-х годов. П.С. читал лекции по юной тогда теретико-множе-ственной топологии, параллельно другой математи-ческий курс читался Н.Винером, также гостившим в Гёттингене. П.С. был необычайным лектором, Винер же, будучи выдающимся математиком, видимо не был самым лучшим педагогом. Во всяком случае, студенты перемещались от него к П.С., пока у Ви-нера почти никого не осталось. Отношения между молодыми математиками натянулись, так как Винер, видимо, приписывал происходившее проискам П.С. и даже жаловался в Министерство Просвещения. По традиции, все гостившие в Гёттингене ученые наносили визиты местным профессорам. Когда по-дошла очередь Эмми Нётер (одного из создателей современной абстрактной алгебры и автора знамени-той теоремы о связи законов сохранения с симметри-ей), Винер попросил ее назначить время визита. «Ну, приходите, скажем, завтра часов в семь» ответила Нётер, не особенно интересовавшаяся формально-стями. На следующее утро, ровно в 7 утра П.С. (а он жил в доме Нётер) был разбужен настойчивым сту-ком в дверь. Полагая, что произошло какое-то недо-разумение с молочницей, менявшей по утрам пустую бутылку за дверью на бутылку с молоком, П.С., как был, в трусах, прошел к двери, отпер ее, приоткрыл и выглянул наружу... В этот момент рассказа на лице П.С. появился ужас, совершенно не утративший сво-ей свежести за прошедшие полвека. «Вообразите! За дверью стоял Винер во фраке!»

Однажды я выступал на защите кандидатской диссертации в качестве оппонента. Речь шла о те-ореме Жордана для конструктивной плоскости. Я упомянул среди прочего и давнюю работу Брауэра, рассматривавшую аналогичную проблему с интуи-ционистской точки зрения. Работу эту было нелегко читать. При упоминании о Брауэре П.С. оживился, стал задавать мне вопросы. Видно было, что само имя Брауэра связано для него с самыми живыми вос-поминаниями. «Да, Брауэр был великий геометр, его геометрическая интуиция была необычайной. Види-мо, поэтому работы его трудно читать» – заключил П.С. этот врезавшийся мне в память разговор.

Последний раз я слышал публичное выступление П.С. в середине 1970-х годов опять-таки на канди-датской защите. Представленная работа относилась к математической лингвистике и подводила итоги многолетних исследований автора, видного специ-алиста в этой дисциплине. К тому времени в со-ветской математике отчетливо сформировалось то,

что А.А. Марков однажды в беседе со мной назвал «царством тьмы». В этом царстве были представле-ны самые разные личности, течения, человеческие слабости. Частично это был обычный конфликт по-колений, частично беспринципные личности, ис-пользующие комсомольские и партийные каналы в карьерных целях, иногда талантливые и очень та-лантливые люди, частично националисты и т.д. В данном случае национальность диссертанта была безупречной (как и диссертация), зато работа была выполнена на кафедре математической логики, воз-главлявшейся А.А. Марковым, и, сверх того, в деле имелся положительный отзыв А.Н. Колмогорова. Последнее обстоятельство, видимо, играло роль красной тряпки для упомянутой выше публики. Уже в те годы наметилась тенденция, усилившаяся позже, пренебрежительно относиться к отзывам, предложе-ниям и т.д., подписанным Колмогоровым. Не рискуя прямо атаковать стареющего гиганта, многочислен-ные моськи вдоволь лаяли за спиной. Будет ли им когда-нибудь стыдно? Хочется надеяться...

И в этот раз диссертация была атакована двумя представителями темного царства, хорошо извест-ными в Московском Университете. За нападавшими стояла молчаливая и хорошо управляемая группа членов Ученого Совета. Совершенно неожиданно для меня в поддержку диссертации выступил из-вестный геометр, один из представителей старшего поколения П.К. Рашевский. Тема диссертации была крайне далека от его интересов, но молчать перед ли-цом явного разбоя он не мог.

Надо сказать, что один из нападавших, скажем X, демагогически требовал, чтобы диссертант объяс-нил ему сложные построения в формальных грам-матиках за минуту, «на пальцах». П.С. Александров взял слово. У меня упало сердце, когда я увидел его сгорбленную небольшую фигуру, печальные глаза за огромными стеклами очков. Речь не была длинной.

– Мне довелось знать Брауэра – сказал П.С. – и я могу утверждать, что если бы X. потребовал от него показать «на пальцах», почему, скажем, трехмерное образование не может быть топологически отобра-жено на двухмерное, Брауэр, великий Брауэр отка-зался бы отвечать на такой вопрос.

Сопоставление имен Брауэра и X. прозвучало убийственно!

Не могу не вспомнить здесь слова, сказанные Александровым у гроба одного из его коллег: «Когда я умру, и вы будете меня хоронить, прошу, не гово-рите, что я был «принципиальным», «принципиаль-ность» – суррогат живых человеческих чувств...» И когда день пришел, на панихиде Александрова этих слов не говорили. Было море цветов, музыки,



боли, несколько поколений учеников, коллег, дру-зей... Был Колмогоров, которого подвели, поддержи-вая, к гробу Синай и Арнольд, и который пытался, победив болезнь, поразившую речь его, сказать по-следнее «прости» другу своей жизни, великому че-ловеку и великому ученому...

о В.А. Успенском, А.Н. Колмогорове и А.В. КузнецовеВ.А. Успенский производил и производит сильное впечатление своей артистической манерой чтения лекций и всем своеобразием своей личности. В 1966 или 1967 году в Московском Университете были ор-ганизованы курсы для учителей математики средних школ. Большое количество учителей со всей страны приехало в Москву. Успенский прочел несколько лекций по математической логике, а аспиранты ка-федры вели вслед за ним семинарские занятия. На первой же лекции В.А. совершенно ошеломил свою своеобразную аудиторию. Я видел изумленное вос-хищение на многих лицах: «Неужели о математике можно говорить так интересно?!». Объясняя, почему импликацию с ложной посылкой целесообразно счи-тать истинной (что, по меньшей мере, неочевидно), В.А. приводил примерно такое рассуждение.

– Представьте себе, что я сказал: «провалиться мне на этом месте, если я вру!» Это значит «если я вру, то я провалюсь». Импликация. Убедительная сила подобных высказываний состоит в том, что они предполагаются истинными. Но ведь посылка-то ложная! Смотрите.

В.А. осторожно (дело было на 16 этаже!) попро-бовал пол ногою – я же не проваливаюсь!

На следующий день я не без содрогания, остро чувствуя свои 25 лет, вошел в класс, заполненный учителями, в том числе и хрестоматийными убелен-ными сединами учительницами. Тут уж мне действи-тельно хотелось сквозь пол провалиться. Аудитория, однако, оказалась крайне доброжелательной. В один момент, когда в задних рядах было особенно шумно (слушатели были заметно возбуждены предстоящей экскурсией по Москве) я остановился и укоризненно посмотрел в аудиторию. Стало тихо, а потом мы все дружно засмеялись. Я пытался рассказать что-то из алгебры логики, но слушатели упорно возвращались к одной и той же теме: Успенский. Сколько ему лет, как долго он занимается математикой... Кто-то даже спросил, женат ли он. Пришлось прочесть малень-кую лекцию о Владимире Андреевиче, что я сделал не без удовольствия.

В начале 1960-х годов я начал посещать семинар В.А.Успенского по вычислимым функциям. Помню, как на одном из первых же заседаний, В.А., будучи

не в состоянии ответить на какой-то вопрос из ауди-тории, прямо заявил: «Я знаю, что этот семинар ри-скует потерять всех своих участников из-за тупости руководителя, но я все-таки не знаю, что Вам отве-тить!» После каждого заседания слушателям пред-лагались задачи, и каждый раз в начале семинара за-давался все тот же ритуальный вопрос: «Кто решил задачи?» При этих словах мы дружно поворачива-лись в дальний правый угол комнаты, куда смотрел и В.А. А там высоко тянул руку, широко улыбаясь, человек богатырского сложения.

– Ну, конечно ты, Саша! – заявлял Успенский, – Ну а кто еще? Неужели никто?!

«Сашей» был выдающийся математик Александр Владимирович Кузнецов, одна из самых ярких и всеми любимых личностей среди советских мате-матических логиков.3 Самородок, не имевший даже формального среднего образования, А.В. Кузнецов занимался широким кругом проблем математиче-ской логики, всегда был окружен молодежью и оста-вил после своей безвременной смерти своеобразную и значительную школу. Доброжелательный, спокой-ный, с удивительной плавной, распевной манерой речи, он иногда вдруг вспыхивал, подчас в очень неподходящих ситуациях. Я помню, что уже после переезда А.В. в Кишинев, в один из его наездов в Москву у него случился острый, чтобы не сказать больше, конфликт с офицером милиции, изводившим его придирками из-за прописки. В приступе гнева А.В. сорвал с милиционера погоны. Пострадавший позже особенно возмущался из-за того, что он бук-вально накануне получил из пошивки совершенно новое обмундирование. Последовало формальное разбирательство и все могло бы кончиться крайне плачевно, если бы не энергичное вмешательство Маркова и Колмогорова.

А.В. имел свои милые слабости. Однажды он де-лал длинную серию докладов (об интуиционистских аналогах штриха Шеффера) на семинаре Маркова и Нагорного в Вычислительном Центре АН СССР. За-седания начинались формально ровно в 11 утра, но А.В. неизменно и с точностью часового механизма появлялся в 11.40. Когда это случилось первый раз, А.В. пространно извинялся и говорил, что ему по-мешало... Солнце! Действительно, великолепное, чи-стое, зимнее московское Солнце рвалось в окно, А.В. щурился с удовольствием... И вправду, до штриха ли Шеффера в такой день? Каждый следующий раз, ког-да А.В. открывал рот, чтобы приступить к извинени-ям за очередное сорокаминутное опоздание, Марков

3 А.В. Кузнецов родился 28 октября 1926 года и умер 24 июля 1984 года.



опережал его: «Это было Солнце!» торжественно заявлял он. Все смеялись. Удивительная, солнечная атмосфера была на этих докладах А.В. Кузнецова! Говорил и писал А.В. плавно, часто возвращался к уже сказанному, почти половина времени уходила на напоминание изложенного на предыдущем семи-наре. Никто не возражал: все были покорены гармо-ничностью и глубиной его результатов, цельностью его стиля и личности. Это было, как с хорошей кни-гой, читаешь ее, читаешь, и не по себе становится, что меньше и меньше остается страниц и все ближе расставание с ее миром... Оставалась правда загад-ка «кванта опоздания», таинственных сорока минут, повторявшихся с настойчивостью Закона Природы. Проблему решил Н.М. Нагорный. «Все очень про-сто. От дома А.В. до Вычислительного Центра ровно 40 минут пешком. Семинар начинается в 11.00, сле-довательно, ровно в 11.00 А.В. выходит из дому!»

При всей своей основательности, неторопливости А.В. имел отличную реакцию, ценил чувство юмора в других и обладал им сам. В одном из только что упомянутых докладов он по какому-то поводу сказал

– А здесь я буду рассуждать конструктивно! – Как же так? Вы же классик! – не без ехидства

заметил Марков. – Ну, знаете, с волками жить, по-волчьи выть! –

мгновенно и к всеобщему удовольствию нашелся А.В. Добродушие А.В. иногда принималось за наи-

вность. Напрасно. Он был человеком огромного, острого ума, артистической личностью. На Первой Всесоюзной Конференции (Симпозиуме) по Матема-тической Логике в Алма-Ате в июне 1969 года часо-вой обзорный доклад был сделан одним из лидеров молодой тогда советской школы в математической кибернетике (позже вошел в употребление термин «дискретная математика»). Лидер этот, без сомне-ния человек незаурядный, со сложной судьбой, к сожалению, все больше и больше увлекался внема-тематическими маневрами, борьбою за власть... Впо-следствии его школа почти в полном составе дружно влилась в «царство тьмы». Доклад показался мне не-сколько странным. Речь шла, если я не ошибаюсь, об оценке числа предполных классов в многозначных логиках. В центре изложения была давняя кандидат-ская диссертация докладчика, а также впечатляюшие результаты Розенберга (I. Rosenberg), анонсирован-ные в Докладах Французской Академии Наук. После этой публикации ряд результатов Розенберга был, как выражался докладчик, «независимо» доказан в его школе. Следует сказать, что А.В. Кузнецов был одним из пионеров теории многозначных логик, от-крывшим фундаментальную теорему о конечности числа предполных классов в конечно-значных логи-

ках. Отдавая должное Кузнецову, докладчик, однако, справедливо заметил, что Кузнецов не указал явного перечня предполных классов для 3-х значной логи-ки. Такое описание было найдено докладчиком. На следующий день конференция закрывалась. Было много формальных и неформальных выступлений. Пришел черед А.В. Он вышел к кафедре, поглядел в большой амфитеатр аудитории. Южное Алма-Атин-ское Солнце пробиралось через далекие, узкие окна у самого потолка и играло на его лице. А.В. с явным удовольствием щурился. У него и в самом деле были особые, персональные отношения с Солнцем! А.В. начал говорить в своей обычной, добродушной, не-сколько убаюкиваюшей манере, продолжая улыбать-ся Солнцу.

– Конференция была интересной, очень интерес-ной. Большой успех. Очень интересно. Я услышал много замечательных докладов. Но самый понят-ный доклад сделал вчера Х. Давно я не слышал та-кого понятного доклада. Да, конечно, я не посчитал предполных классов в трехзначной логике. Софья Александровна4 говорила мне тогда: «Саша, посчи-тай классы!» А я не посчитал! – здесь А.В. с полным удовольствием зажмурился и погрузил лицо свое в теплый солнечный свет... – Я ...поленился!

Задевать А.В., как видно, было небезопасно.Когда в 1961 или в 1962 году, будучи студентом

мех-мата, я выбрал специализацию по кафедре мате-матической логике [5], интерес к философии и осно-ваниям математики был одним из мотивов. Тогда же я сделал доклад об интуиционистской математике на семинаре по истории математики, а несколько позже на семинаре по математической логике и конструк-тивной математике (под руководством А.А. Марко-ва и Н.М. Нагорного). Основным источником моей эрудиции в то время были две небольшие книжки Вейля и Гейтинга [6–7], переведенные еще до войны известным историком математики А.П. Юшкевичем. Из интересных воспоминаний Юшкевича о Колмо-горове [8] можно узнать, что Колмогоров был иници-атором этих великолепно выполненных переводов.

4 С.А. Яновская (1896–1966), выдаюшийся специалист в математической логике и философии математики. Один из организаторов кафедры математической логики в МГУ. О ее роли в предвоенной математической жизни интересно вспоминает Люстерник [3]. В мои студенческие и особен-но аспирантские годы Софья Александровна уже страдала тяжелой болезнью. Тем не менее, она продолжала читать свой традиционный курс математической логики и сору-ководить научно-исследовательским семинаром кафедры. С.А. до самого конца сохраняла острый интерес ко всему новому в математике. В один из весенних дней 1966 года я провожал ее домой. Прощаясь, она сказала, что эта весна для нее последняя, что она уже не слышит запахов этой весны... 25 октября того же года ее не стало.



В то время я еще пребывал в блаженном неведении трудностей, с которыми сталкивается переводчик подобных работ, особенно в случае автора со столь ярким литературным талантом, как Г. Вейль. Тогда же я прочел и две ранние работы (1925 и 1932 года [9–10]) Колмогорова, посвященные интуиционист-ской логике. Содержание этих работ детально оха-рактеризовано в обзорной статье Успенского [1]. Трудно удержаться от изумления, думая о работе 1925 года. Написанная 22-летним студентом, работа эта отличается огромной зрелостью и намного лет опережает современный юному автору уровень на-уки. В работе ясно чувствуется творческий почерк колмогоровского таланта: постановка проблем, глу-боко мотивированных философски, огромная мощь в разработке необходимого концептуального и тех-нического аппарата, в преодолении конкретных ма-тематических трудностей. Достаточно сказать, что в этой студенческой публикации впервые предпринято математическое изучение интуиционистской логики, сформулированы аксиоматические системы для этой логики, предвосхищающие гораздо более позднюю аксиоматизацию интуиционистской математики, выполненную А. Гейтингом. Здесь же по существу (с точностью до технических деталей) впервые по-строено так называемое минимальное исчисление, переоткрытое в 1937 году Иохансоном (которо-му принадлежит и сам термин). Еще более важной представляется мне изобретенная Колмогоровым идея погружения классической математики в интуи-ционистскую, в результате чего становится возмож-ным доказательство непротиворечивости классиче-ской математики относительно интуиционистской. С этой целью предложена и первая из известных ныне погружаюших операций, основанная на глу-боком проникновении в природу математического оперирования с отрицанием. Сама идея о том, что интуиционистская математика лишь по видимости уже классической могла быть высказана в то время только пророком. Только в 1933 году эти идеи были переоткрыты К. Гёделем. Вся описанная только что проблематика подсказана глубокими философскими проблемами, связанными с законом исключенного третьего. После критики Брауэра сомнительность этого логического принципа в применении к беско-нечным совокупностям ощущалась рядом математи-ческих мыслителей, в частности Д. Гильбертом и Г. Вейлем. Не чужды были эти сомнения и Колмогоро-ву. Во всяком случае, 22-летний студент (в отличие от многих своих старших коллег) ясно ощущал вы-зов, заключенный в вопросе: почему сомнительность или даже незаконность неограниченного употребле-ния принципа исключенного третьего так долго оста-

валась незамеченной и почему такое неограниченное употребление не приводит к противоречиям5.

Ответ Колмогорова на этот вызов вкратце состоит в следующем.

Во-первых, употребление закона исключенного третьего вполне оправдано в случае конечных со-вокупностей, т.е. в области финитарных суждений. Во-вторых, имеет место гораздо более сильное об-стоятельство: если бы противоречие было найдено в классической теории, свободно оперируюшей с принципом исключенного третьего, то противоречие существовало бы и в одноименной интуиционист-ской теории, в которой использование этого прин-ципа ограничено только безопасными финитными случаями. Иными словами, принцип исключенного третьего не добавляет новых противоречий. И если в первом положении чувствуется заметное влияние Гильберта, то вторая идея (погружения классической математики в интуиционистскую) представляется ошеломляюще новой. Техническим аппаратом для реализации такого погружения оказывается концеп-ция формализации математических теорий, разра-ботанная Гильбертом, и идея погружающей опера-ции, открытая Колмогоровым. Помимо оправдания употребления закона исключенного третьего (важ-нейшего математического орудия с самых древних времен) подход Колмогорова доставляет, очевидно, и определенное обоснование нашей замечательной, но, как и все замечательное, не вполне безопасной способности оперировать с актуальной бесконечно-стью. Классическая математика с ее актуально бес-конечными множествами погружается в математи-ческий мир, где бесконечность допускается лишь в своей гораздо более мягкой, потенциальной форме.

— —

В 1974 году А.Г. Драгалина6 и меня попросили напи-сать статью об интуиционизме для третьего издания Большой Советской Энциклопедии. Статья [11] была направлена на отзыв Колмогорову. Когда я увидел рукопись с колмогоровскими замечаниями, я еще раз поразился свежести его восприятия математической и философской области, которую он оставил столько лет назад...

5 Как хорошо известно, принцип исключенного третьего не несет ответственности за парадоксы теории множеств.

6 Замечательный математик Альберт Григорьевич Драгалин (10 апреля 1941 г. – 18 декабря 1998г.) один из самых ярких участников школы А.А. Маркова. Воспоминания о Драга-лине выдающегося голландского математика A. Troelstra можно найти на http://staff.science.uva.nl/~anne/dragalin.html, некролог: S. Artemov, B. Kushner, G. Mints, E. Nogina, and A. Troelstra, In Memoriam: Albert G. Dragalin, The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 5, 3, 389–391,1999.



Небезинтересен вопрос, почему молодой сту-дент вообще заинтересовался такими окраинными вопросами, по видимости, далекими от интересов окружавшей его математической среды. Конечно, нельзя исключать огромного влияния Д. Гильберта и острой дискуссии по основаниям математики, раз-вернувшейся между ним и лидером интуиционистов Брауэром. Но и сделанное выше замечание о матема-тической среде, окружавшей молодого Колмогорова тоже глубоко неверно! В силу совпадения ряда раз-нородных причин проблемы оснований математики и, в частности, интуиционистской математики часто и горячо дискутировались в Москве в 1920-е годы.

Н.Н. Лузин и В.И. ЛенинПубличные сообщения об интуиционизме делал А.Я. Хинчин, им была опубликована в 1926 году статья об интуиционизме, отголоски этого интереса можно различить и в некоторых его книгах. Наконец, следует сказать, что основатель Лузитании, учитель Колмогорова, Александрова и многих других выдаю-щихся математиков Н.Н. Лузин был не только выда-ющимся практическим математиком, но и глубоким математическим мыслителем. Достаточно упомянуть его участие в начале века в знаменитой переписке-дискуссии по основаниям теории множеств и, в осо-бенности, аксиомы выбора, между ведущими фран-цузскими математиками [12]. Достойно восхищения и пророческое предсказание Лузиным позднейших результатов о независимости в теории множеств. Не-удивительно, что ученики Лузина ощущали матема-тику не как технические манипуляции с формулами и головоломками, а как живой организм, само функ-ционирование которого представляло волнующую загадку. На этот фон парадоксальным образом нало-жился и марксистский энтузиазм, характерный для ранних послереволюционных лет. Мне трудно судить до какой степени этот энтузиазм уже в те годы был отравлен низким карьеризмом, демагогией и полной догматизацией философии, которые мне довелось наблюдать в моей молодости. Трудно, однако, изба-виться от впечатления, что многие горячие головы в то время вполне искренне полагали, что в философии Маркса найден своего рода «философский камень», окончательный научный ответ на все вопросы Бытия. Возможно, чтение работ В.И. Ленина проливает опре-деленный свет на этот интересный психологический феномен. Неиссякаямая, просто религиозная убеж-денность в обладании окончательной, единственно верной методологией, позволяющей понять и объяс-нить все и вся, приводит к тому, что Ленин, наделен-ный, среди прочего, исключительно острым крити-ческим умом, без тени сомнения и юмора вторгается

в области знания, в которых он абсолютно некомпе-тентен, поучает Пуанкаре, Маха, Эйнштейна и т.д. Из этого же настроения рождаются и знаменитые ле-нинские афоризмы, вроде: «электрон так же неисчер-паем, как и атом», «учение Маркса всесильно потому, что оно верно» и т.д. и т.п., буквально вколоченные (среди прочих куда менее безобидных догм) больше-вистской пропагандой в сознание (и в подсознание!) подданных бывшей советской Империи (я цитирую здесь В.И. Ленина по памяти). Пожалуй, одной из вершин этой смехотворной агрессивной некомпетент-ности является знаменитое ленинское заявление: «...ДАЖЕ в математике нужна фантазия, ДАЖЕ для того чтобы открыть дифференциальное исчисление нужна была фантазия». (Эти бессмертные «даже» выделены мною). Позднее, в случае, скажем, Сталина эта перво-начальная убежденность в обладании абсолютной ис-тиной, конечно, померкла перед обладанием абсолют-ной властью и ощущением полной безнаказанности. И все же кое-что от этой убежденности оставалось, например, в знаменитых изысканиях вождя всех на-родов по языкознанию. Той же породы, видимо, было и настроение, в котором незабвенный «партийный идеолог и эстет» А.И. Жданов учил (кажется, даже за роялем) Шостаковича, Прокофьева и Хачатуряна, как сочинять хорошую мелодичную музыку...

Неудивительно, что в 1920-е годы велик был со-блазн применить волшебное Марксово лекарство к лечению математики. Дискуссии по основаниям мате-матики поощрялись и, наряду с тоннами словесного мусора, несомненно, много интересных соображе-ний было высказано в те далекие, холодные и голод-ные годы. В своих воспоминаниях о Колмогорове А.П. Юшкевич [8] упоминает одну из таких дискуссий и впечатление, произведенное на него безыскусным по форме выступлением Колмогорова, в особенности замечанием о том, что интуиционистская математика только по форме уже чем классическая. Думаю, что это замечание лет на 50 опередило свое время. Во вся-ком случае, я слышал подобные высказывания только в начале восьмидесятых годов, и делались они на ос-новании огромного технического опыта, накопленно-го несколькими поколениями исследователей.

об интуиционистской логике А.Н. Колмогорова и немного о других направлениях его работСтоль же оригинальна и вторая предвоенная логи-ческая статья Колмогорова [10]. Опубликованная семью годами позже, чем [9], на немецком языке, работа посвящена истолкованию интуиционистской логики. Если с семантикой классической логики дело обстояло более или менее благополучно, то во-



круг содержания интуиционисткой логики велось немало дискуссий. Говоря очень упрощенно, клас-сическая теретико-множественная концепция мате-матики, восходящая к Кантору, предполагает некий платонистский, идеальный, завершенный мир, в котором математические объекты существуют неза-висимо от нашего творческого сознания в таком же смысле, как существуют звезды на небе. Завершен-ная, актуальная бесконечность является вполне гар-моничной идеей для такого мира (в самом деле, на-пример, натуральный ряд в этом завершенном мире тоже должен быть завершенным, актуально беско-нечным, иначе придется допустить существование наибольшего натурального числа, что, по меньшей мере, странно). Математические утверждения вы-ражают обстояния вещей в этом мире и потому они также независимо от нашего сознания, состо-яния знаний и т.д. либо истинны, либо ложны. Не только абсолютизация экзистенциального статуса математических объектов, но и абсолютизация са-мого познания доведена в этой концепции до конца. Математические теоремы не столько изобретаются, сколько открываются математиками примерно так же, как открывались мореплавателями новые остро-ва. Ясно, что закон исключенного третьего вполне естественен в этом «черно-белом» мире и что клас-сическая логика является, таким образом, логикой теоретических истин, то есть логикой идеализиро-ванного математического бытия.

В контрасте с этой концепцией, интуиционистский математический мир принципиально незавершен, он развивается в результате творческой активности субъекта. Образно говоря, акт Творения математиче-ского мира передан от Бога к человеку, точнее к идеа-лизированному человеческому существу, живущему и творящему во времени. От активности и умений такого творческого субъекта и зависит характер соот-ветствующего математического мира. Что же в таком случае выражает интуиционистская логика, эта свое-го рода конституция интуиционистской математики? Предложенная Колмогоровым концепция исходит из того, что объектами интуиционистской математики, а, следовательно, и логики являются не абсолютные истины (как в традиционном случае), а задачи (про-блемы). Логические операторы формируют новые проблемы из уже поставленных, а сами формулы интуиционистской логики выражают умение решить те или иные составные задачи. Таким образом, ин-туиционистская логика оказывается логикой уме-ний. Закон исключенного третьего теряет при таком подходе свой универсальный характер. Принятие его означало бы постулирование умения решить в каждый момент времени любую задачу, что вряд ли

убедительно. Интересной стороной интерпретации Колмогорова является ее нейтральность: интуици-онистская логика может теперь быть объяснена ис-следователю, не понимающему сложной философии интуиционизма или просто не заинтересованному в ней. Интуиционистская логика в какой-то мере те-ряет свой «религиозный», эзотерический характер и становится заманчивым объектом исследования для «обыкновенного» математика. Мне кажется, что значительный прогресс в изучении интуиционист-ской логики, достигнутый в послевоенные годы (и открывший, помимо прочего, дорогу к практическим ее применениям в информатике), в большой степе-ни обязан этому новому подходу, восходящему к Колмогорову.

Исследования Колмогорова по интерпретации интуиционистской логики развивались параллель-но с усилиями выдающего голландского логика, ученика и последователя Брауэра А. Гейтинга. Многие идеи этих ученых оказались очень близ-кими. Однако в логической литературе до недав-него времени имя Колмогорова в этой связи почти не упоминалось. Мне кажется очень важным, что, восстанавливая историческую справедливость, два выдающихся представителя голландской школы, ученики Гейтинга Д. ван Дален и А. Трулстра в сво-ей недавней великолепной двухтомной монографии [13] ввели в употребление термин «интерпретация Брауэра-Гейтинга-Колмогорова». С именем Трул-стры связана и недавняя публикация писем Колмо-горова Гейтингу [14–15]. Письма эти были обнару-жены Трулстрой в архивах А. Гейтинга. Профессор Трулстра, с которым я состоял в течение ряда лет в дружеской переписке, любезно прислал мне копии этих бесценных исторических документов, отно-сящихся к началу 1930-х годов. Естественно, было бы крайне интересно найти письма Гейтинга к Кол-могорову в бумагах последнего. К сожалению, если я не ошибаюсь, это оказалось невозможным. Тем временем В.А. Успенский предложил опубликовать русские переводы писем Колмогорова (оригиналы написаны на немецком и французском языках) в Успехах Математических Наук, что и было сделано с любезного согласия профессора Трулстры. Кор-респонденция между Колмогоровым и Гейтингом, даже доступная только частично, проливает новый свет на раннюю историю интуиционизма и на лич-ности обоих выдающихся ученых.

Как это случилось и с работой 1925 года, новая ра-бота Колмогорова по интуиционистской логике оста-лась малоизвестной. Повидимому, Клини не знал об этой работе, когда он писал свою знаменитую статью о реализуемости [16]. Семантика реализуемости,



оказавшаяся столь плодотворной, перекликается с ранними идеями Колмогорова из [10].

Вообще есть какая-то тайна в судьбе этих двух ра-бот. Несмотря на всемирную репутацию их автора, они остались практически неизвестными за предела-ми России. Как уже говорилось, многие результаты были переоткрыты другими исследователями. Даже и сейчас, как я мог убедиться после своего переезда в США, значение и само существование этих работ неизвестно многим первоклассным экспертам на За-паде. Можно надеяться, что статья Успенского, опу-бликованная по-английски и в одном из самых чита-емых логических журналов, поможет исправить эту достойную сожаления ситуацию.7

Дальнейшая часть обзора Успенского посвяще-на трудам Колмогорова по общей теории алгорит-мов и алгоритмическим основаниям теории ве-роятностей. Следует сказать, что В.А. Успенский принял самое живое участие в этой деятельности А.Н. Колмогорова. Широко известная ныне общая концепция алгоритма, задуманная Колмогоровым и реализованная им совместно с Успенским, пови-димому дает наиболее общее точное описание ин-туитивных алгоритмов. Алгоритмы, подпадающие под эту концепцию, обычно называют алгоритмами Колмогорова-Успенского. Я специально подчер-киваю это обстоятельство, не отмеченное В.А. по понятным причинам. Определение Колмогорова-Успенского оказалось очень плодотворным, как с точки зрения приложений (теория сложности), так и с точки зрения оснований математики. Если в дру-гих классических точных определениях (машина Тьюринга, рекурсивные функции, нормальные ал-горифмы Маркова и т.д.) ставилась задача воспро-извести работу любого интуитивного математиче-ского алгоритма посредством некоторого алгоритма из данного точного класса (возможность всегда до-стичь этой цели и провозглашалась Тезисом Чёр-ча, тезисом Тьюринга, принципом нормализации и т.д.), то определение Колмогорова–Успенского пытается непосредственно представить наиболее общие мыслимые математические алгоритмы. Ана-лиз природы финитарных процессов, приводящий к

7 В связи с подобными проблемами часто приходится слы-шать о языковом барьере. Боюсь, однако, что дело обстоит сложнее. Во-первых, скажем, Колмогорову не легче чи-тать по-английски, чем любому его англоязычному кол-леге по-русски. Во-вторых, статья 1932-го года написана по-немецки, а статья 1925-го года уже довольно давно (1967 г.) опубликована в английском переводе профессо-ром Хейенортом [17]. В третьих, трудно не вспомнить об аналогичной судьбе выдаюшейся работы П.С. Новикова [18], опубликованной в 1943 году по-английски. И это не помогло – работа эта по сей день остается практически не-известной за пределами (бывшего) Советского Союза.

упомянутому определению, представляет большой методологический интерес. Некоторые авторы по-лагают даже, что этот анализ доставляет легитим-ное доказательство Тезиса Чёрча (см. работу Мен-дельсона [20]).

Несомненный исторический интерес представля-ют замечания Успенского о семинаре «Рекурсивная Арифметика», которым Колмогоров пригласил его соруководить в 1953/1954 учебном году. Историкам математики будет небесполезно проследить связь между трудами по дескриптивной теории множеств московской школы Лузина и изучением рекурсив-но-перечислимых множеств в этом семинаре8. (Ана-логичные события происходили примерно в то же время и на семинарах П.С. Новикова.) На этом же семинаре Колмогоровым были высказаны основные идеи будущей теории нумераций, впервые развитые в точной форме В.А. Успенским.

Ярко представлен Успенским и один из послед-них творческих подвигов А.Н. Колмогорова – соз-дание им и очередным поколением его учеников ос-нов алгоритмической теории информации и теории вероятностей. Эти труды А.Н. Колмогорова ведут непосредственно в сегодняшний день. Соответству-ющие теории еще не обрели завершенные формы, продолжается поиск основных концепций, оттачива-ется интуиция. Драматические начальные шаги этого процесса, протекавшие в 60-е годы, во всей их живой полноте представлены Успенским. Я могу только до-полнить его описание несколькими наблюдениями и воспоминаниями, поскольку я тоже был непосред-ственным свидетелем происходящего.

Мне не довелось быть непосредственныи учени-ком Колмогорова, и мои личные встречи с ним были немногочисленны. Но каждая навсегда врезалась в память. Первая такая встреча произошла в середи-не 1960-х годов, когда я был аспирантом на кафедре математической логики. С.А. Яновская планировала организовать заседание Математического Общества по программным методам обучения с участием веду-щих математиков, педагогов и психологов. Написав записку А.Н., она попросила меня отвезти это посла-ние на дачу в Болшево-Комаровке, вблизи Москвы, которую Колмогоров в течение многих лет разделял с П.С. Александровым. Дача эта, конечно же, была знаменита в математических кругах. Дело было зим-ним холодным вечером, и я нашел не особенно при-метный дом не без труда. Колмогоров вышел ко мне в лыжном костюме, как всегда, голова его была чуть-чуть наклонена вперед. Обращение его с любым со-

8 Связь этих двух теорий особенно ясно ощущается в иерар-хиях множеств в теории рекурсивных функций (иерархия Клини-Мостовского и т.д.).



беседником, независимо от возраста и ранга, всегда было предельно корректным. Вот и сейчас, увидев меня первый раз, он протянул руку, пригласил сесть и погреться. Прочитав записку, А.Н. сказал, что, к со-жалению, не сможет сделать доклад, о чем его про-сила Яновская, так как не чувствует себя экспертом в данной области. Он рекомендовал обратиться к Б.В. Гнеденко, который и сделал требуемый доклад. Из самого заседания Математического общества мне запомнился лишь не лишенный комизма эпизод. Один из выступавших, энтузиаст-психолог увлечен-но излагал свое необычайное и окончательное реше-ние проблемы обучения детей математике.

– Как, например, учить сложению? – риториче-ски спросил он, – мало кто знает, что такое сложе-ние! – И, посмотрев в зал, заполненный математика-ми, добавил:

– Вы не знаете, что такое сложение! И здесь не выдержал А.Г. Курош. – МЫ знаем, что такое сложение! – возмущенно

возразил он. Вообще подготовка этого заседания оказалась

крайне благотворной для меня. Я ближе позна-комился с С.А. Яновской, с ее учеником филосо-фом Б.В. Бирюковым, от которого я впервые ус-лышал о замечательном ученом и замечательной личности – академике, адмирале А.И. Берге (много лет спустя Аксель Иванович энергично вмешался, когда моя монография застряла в недрах Редакци-онно-издательского совета издательства «Наука»). В те дни мне довелось провести несколько часов в доме матери Б.В. Бирюкова в одном из исчезнувших теперь Таганских переулков. Как жаль, что я тогда же не записал ее рассказ: какой трагический, какой подлинный документ о жизни в коммунистическом государстве мог бы получиться!

Мои дальнейшие персональные встречи с А.Н. Колмогоровым почти всегда были связаны с представлением моих работ в Доклады АН СССР. Запомнился следующий случай. Я получил представ-лявшиеся мне интересными результаты по некото-рым довольно экзотическим системам вычислимых действительных чисел. Как обычно в таких случаях, Марков позвонил Колмогорову, и тот попросил при-нести ему работу для представления. А.Н. встретил меня у дверей своей квартиры в одном из крыльев главного здания МГУ, нашел уголок на заваленном бумагами огромном письменном столе, просмотрел рукопись, написал свое представление и попросил оставить ему копию статьи. Я поблагодарил А.Н., протянул ему копию манускрипта и собрался ухо-дить. Но А.Н. остановил меня и сделал несколько (к большой моей радости вполне положительных) за-

мечаний о моей работе. Замечания эти не были про-стой любезностью, из них я с изумлением убедился, что А.Н. знал содержание моих предыдущих работ и вполне ясно представлял характер полученных мною результатов. Надо сказать, что большинство моих коллег, целиком посвятивших себя математической логике, не имели никакого представления о тематике, над которой я тогда работал.

Универсальный характер колмогоровского талан-та, его способность видеть буквально всю математи-ку (и не только ее) сразу целиком поразительны. Еще в студенческие мои годы я слышал граничащие с легендами рассказы о легкости, с которой Колмого-ров читает математические работы. Однажды один профессор-механик рассказал мне, как на защите его друга на доске появилась многоэтажная форму-ла, представлявшая какую-то вероятность. Сложные вычисления по этой формуле диссертант не произ-водил (компъютеров тогда не было), так что вероят-ность эта оставалась своего рода вещью в себе. Од-нако он услышал негромкую реплику Колмогорова, без особой настойчивости сказавшего, что обсужда-емая вероятность, скорее всего, равна 1/3 (или что-то около этого). Замечание поразило диссертанта, и он, вернувшись домой, приступил к вычислениям, занявшим значительное время и подтвердившим прогноз Колмогорова. Я помню также, как была из-умлена моя жена, вернувшись с семинара по тур-булентности. Доклад академика Миллионщикова привлек многих слушателей, пришел и Колмогоров. Хорошо известно, что А.Н. выполнил выдаюшие-ся исследования по турбулентности и даже создал свою школу в этом направлении. Однако в 1970-е годы турбулентность вряд ли была в центре его ин-тересов. Тем не менее, из нескольких сделанных им по ходу доклада замечаний было ясно, что он по-нимает происходящее быстрее, яснее и глубже при-сутствовавших, среди которых были первокласные эксперты по данной проблеме.

Приведу одну забавную фольклорную историю. Однажды в какой-то математической компании зашел разговор о формализации «женской логики». Колмо-горов немедленно предложил следующий принцип: «Если В следует из А, и В приятно, то А – истинно».

Публичные лекции А.Н.Колмогорова всегда вы-ливались в большие события. В 1960-е годы А.Н. прочел несколько лекций по теории автоматов. В большой аудитории первого этажа обычно нехвата-ло мест, и многие слушатели располагались в фойе, куда лекция транслировалась по внутреннему радио. В те годы еще не были забыты дискуссии вокруг ки-бернетики, которую марксистские философы успели окрестить «буржуазной лженаукой». Возможно, это



было одним из последних рецидивов марксистского энтузиазма, о котором я уже говорил.

Демагогия является обычной и широко распро-страненной болезнью общественного сознания, одна-ко в тоталитарном обществе порок этот приобретает особо злокачественный характер. Думается, было бы крайне полезно перевести на многие языки стеногра-фический отчет о дискуссии по биологии в 1948 году в ВАСХНИЛ (Всесоюзная Академия Сельскохозяй-ственных Наук имени Ленина – Ленин, конечно, был также и великим новатором сельского хозяйства!). Война, развязанная с благословения Сталина против буржуазной теории «вейсманизма-морганизма-мен-делизма» (то есть против научной генетики) шар-латаном Лысенко и его подручными, завершилась разгромом советской биологической науки. Как вся-кая война, эта война собрала свои жертвы, жертвы в буквальном смысле слова... Некоторых героев этой войны, вроде пресловутого академика Митина, мож-но было видеть и на других полях сражений, видимо дарования их были универсальны. С их помощью на химической дискуссии была разоблачена буржуазная квантовая теория молекулы, кажется, водорода, злов-редно, в ущерб передовой отечественной концепции Бутлерова-Марковникова, развитая капиталистиче-ским мракобесом Полингом (если я не ошибаюсь, почти в то же самое время или несколько позже тот же ученый при немного другом прочтении его фами-лии – Паулинг – фигурировал в советской пропаган-де, как прогрессивный деятель, друг СССР, борец за мир, лауреат Нобелевской премии и т.д.)

На одной из своих лекций А.Н. рассказывал о кругосветном плавании, совершенном им на науч-но-исследовательском судне Академии Наук. Среди экипажа возник спор по поводу какой-то научно-популярной передачи, принятой по радио. Мнения разделились. Спор улегся лишь, когда в следующей передаче выступил с разъяснениями академик Х.

– Но ведь и я говорил им то же самое – изумлялся Колмогоров, – Да куда там... Свой академик, здесь, на борту вроде бы и не академик. Вот чужой, по ра-дио – это другое дело...

Нет пророков в своем отечестве... Многообразные интересы Колмогорова включали

и проблемы преподавания. Здесь можно упомянуть созданную в Москве при активном его участии шко-лу-интернат для математически одаренных детей, реформу преподавания математики в средней школе и многое другое. В 1972 году Колмогоров впервые прочел обязательный курс по математической логике для студентов-математиков МГУ. О необычной ат-мосфере и событиях, окружавших этот курс, я уже писал в [5]. Думаю, что математическая логика обя-

зана А.Н. и сохранением своего научного центра в Московском Университете. Когда в 1979 году скон-чался А.А. Марков, возникла реальная угроза погло-щения кафедры математической логики уже упоми-навшейся выше школой «дискретной математики», к тому времени достигшей значительного администра-тивного влияния. Повидимому так бы и случилось, если бы не вмешательство Колмогорова. Несмотря на уже расстроенное здоровье, он возглавил кафедру, и с тех пор в течение ряда лет его можно было видеть во главе исследовательского семинара, связанного с именами П.С. Новикова, А.А. Маркова, С.А. Янов-ской. В последние годы было видно, как тяжело ему дается само присутствие на семинаре, и все же он почти неизменно занимал свое место в первом ряду.

Запомнился доклад Н.А. Шанина (25.05.1919–17.09.2011) о кванторах предельной осуществимо-сти. Доклады Николая Александровича всегда явля-лись событиями. Они покоряли как значительностью расматриваемых проблем, так и темпераментом и человеческим обаянием докладчика, его беском-промиссным «правдоискательством» в математике. Я, как правило, не разделял философских установок Н.А. и часто вступал с ним в дискуссии, порой до-вольно горячие. Не отставали от меня и некоторые другие участники наших семинаров. Должен заме-тить, что Н.А. явно любил эти баталии, в тех редких случаях, когда все сходило тихо, он выглядел замет-но разочарованным. Упомянутый доклад вызывал у меня особый интерес, поскольку я интересовался си-стемами вычислимых действительных чисел, осно-ванными как раз на такого рода квантификациях. Эти мои интересы неоднократно осуждались Н.А. Со-ответственно я предвкушал своего рода возмездие. Дискуссии, однако, не получилось. Колмогоров, си-девший в первом ряду, выглядел настолько нездо-ровым, что ни о чем другом и думать было нельзя. Николай Александрович быстро прочел свой доклад, его печаль и тревога были очевидны. И все же Кол-могоров нашел силы приподняться и поблагодарить Н.А. в конце семинара. Думаю, что это был послед-ний раз, когда я слышал Колмогорова. Спасибо ему.

В начале 1960-х годов Колмогоров приступил к разработке новой концепции теории информации и теории вероятностей на основе введенного им по-нятия алгоритмической сложности конструктивного объекта. Неожиданность и смелость этого начинания мало с чем можно сравнить. Известно, что теория ве-роятностей еще в начале нынешнего столетия сохра-няла мистический налет, и попытки поставить ее на прочный математический фундамент не были вполне успешными. Теория эта еще ждала своего Вейерш-трасса. Именно Колмогорову в начале тридцатых



годов удалось создать общепринятую сегодня стро-гую аксиоматику теории вероятностей, сводящую последнюю к теории меры. Таким образом, Колмого-рова с полным основанием можно считать одним из отцов математической науки о вероятностей. И вот на фоне огромных достижений, безопасности и ком-форта, достигнутого в теории вероятностей, сам ее творец возвращается снова к самому началу, к за-гадке случайного и предлагает совершенно новый подход ко всей этой проблеме. Отсылая читателя за математическими подробностями к великолепному изложению В.А. Успенского, я хочу добавить, что примерно в те же годы вопросами сложности алго-ритмов заинтересовался и А.А. Марков.

Если к началу 1960-х годов уже были достигну-ты определенные успехи в изучении сложности ал-горитмических вычислений9, то проблемы изучения сложности описаний тех или иных алгоритмов еще предстояло решать. Пионерские работы А.А. Мар-кова 1962–1964 годов [22–23] заложили основы со-ответствующей теории. В частности, во многих случаях оказалось возможным найти новое количе-ственное представление сложности неразрешимо-сти алгоритмических проблем через так называемые оценки сложности разрешения. Поясню вкратце сказанное. Предположим, что мы хотим отыскать алгоритм, распознающий принадлежность произ-вольного натурального числа n данному множеству M. Как известно, во многих случаях искомый алго-ритм невозможен. Вместе с тем данную проблему P можно аппроксимировать финитарными проблема-ми Pk – каждая такая проблема состоит в отыскании алгоритма, распознающего принадлежность к M на-туральных чисел, не превосходящих k. При каждом k можно попытаться оценить сложность описания алгоритма, решающего соответствующую финитар-ную проблему. Ясно, что если указанная сложность неограниченно возрастает с ростом k, то начальная проблема P алгоритмически неразрешима.

Результаты и идеи Маркова получили значитель-ное развитие в работах его учеников. И так как из-учение колмогоровской сложности конструктивных объектов и сложности алгоритмов по Маркову часто приводили к сходным проблемам, в 1960-е годы раз-вилось значительное сотрудничество между школа-ми Маркова и Колмогорова. Так же, как это когда-то случилось с Успенским, молодой математик Н.В. Пе-три был приглашен А.Н. Колмогоровым вести со-

9 Одни из первых результатов в оценке сложности алгорит-мических вычислений были получены еще в 1950-х годах учеником А.А. Маркова Г.С. Цейтиным. Великолепное введение в указанную проблематику можно найти в книге Б.А. Трахтенброта [21].

вместный семинар по сложности алгоритмов. И здесь я хочу упомянуть о проявленной А.Н. деликатности. Поскольку Петри был учеником Маркова, Колмо-горов позвонил Андрею Андреевичу и спросил, не имеет ли тот возражений против этой идеи. Об этом телефонном звонке мне рассказывал Марков.

– Конечно, я ответил, что никаких возражений нет. Совсем наоборот... – добавил Марков.

Я видел, что он был очень доволен.С другой стороны на семинарах Маркова стали

появляться ученики Колмогорова нового поколения. Особенно запомнился блестящий, темпераментный и эксцентричный Л. Левин (ныне профессор Бостон-ского Университета). Непредсказуемость Левина по-рою выводила Маркова из себя10, но А.А. высоко це-нил большой математический талант Левина и позже принимал живое участие в его судьбе. В особенно-сти, когда в 1971 году «царство тьмы» расправилось с диссертацией Левина (защита происходила в Но-восибирске). Конечно, к этому были все основания: диссертант имел возмутительную национальность, и вдобавок его руководителем был А.Н. Колмогоров!

— —

Пасмурным октябрьским днем 1987 года московские математики прощались с Андреем Николаевичем Колмогоровым. Деревья под охраной чугунных во-рот, старых, красных кирпичных стен и милиционе-ров еще желтели негромкими красками московской осени. Было тепло, тихо, только вороны кричали о чем-то своем, вечном... Далеко за рекой, на холме угадывался силуэт Университета. Когда я бросил по старому обычаю горсть земли в открытую могилу, я вдруг остро почувствовал душою то, что мой ум дав-но понимал: с Колмогоровым навсегда ушла целая эпоха. Я видел эту боль и на многих лицах вокруг. Потом все разбрелись по кладбищу. У каждого кто-то был здесь. Если не родственник, друг, то хотя бы Чехов и Шостакович. Я поклонился могиле П.С. Но-викова. Л.В. Келдыш, постоял у доски, за которой скрыта урна с прахом С.А. Яновской и пошел к воро-там. Уже темнело, кончался 1987 год. Впереди было мое расставание с Россией. 10 Помню, как жаловался мне А.Г. Драгалин: «Попросил я Леню сделать доклад о теории информации на моем семи-наре. А он мало того, что порядочно опоздал, да и еще и на-чал так: «Рассмотрим какой-нибудь бессмысленный набор слов, скажем, «Слава КПСС!»» Припоминаю и следующий комический эпизод на одном из наших семинаров. Обсуж-дался вопрос о количестве информации, содержащейся в одном конструктивном объекте о другом конструктивном объекте. Левин стоял у доски, а Марков задавал ему хи-трый вопрос: «Ну, какая информация содержится в теле-фонной книге об Евгении Онегине?» – «Телефон Евгения Онегина» подсказал с места кто-то.



Литература

1. Uspensky V.A. Kolmogorov and Mathematical Logic. The Journal of Symbolic Logic, 1992. Vol. 57. 2. PP. 385–412.

2. Люстерник Л.А. Ранние годы Московской математиче-ской школы. Успехи Математических Наук. T. 22, 1. 1967. C. 137–161.

3. Люстерник Л.А. Ранние годы Московской математической школы. Там же, T. 22. 2. 1967. C. 199–239.

4. Люстерник Л.А. Ранние годы Московской математической школы, 1967. Там же. T. 22. 4. C. 199–239.

5. Кушнер Б.А. Марков и Бишоп. Вопросы Истории Естествозна-ния и Техники, 1. 1992. C. 70–81.

6. Вейль Г. О философии математики. Сборник работ (пер. с не-мецкого) ГТТИ, 1934.

7. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики, М.-Л., ОНТИ, 1936.

8. Юшкевич А.П. Встречи с А.Н. Колмогоровым. Препринт. 1990.9. Колмогоров А.Н. О принципе «tertium non datur», Математиче-

ский Сборник, 1924/1925. T. 32. C. 646–667. 10. Колмогоров А.Н. Zur Deutung der intuitionistischen Logic. Math-

ematische Zeitschrift, 1932. Vol. 35. C. 58–65. 11. А.Г. Драгалин, Б.А. Кушнер. Математический Интуиционизм.

Большая Советская Энциклопедия, 1974. T. 15. 488 c.12. Borel E. Lecons sur theorie des fonctions, 3rd ed., Gauthier-Villars,

Paris, 1928.13. Dalen D. van, Troelstra A.S. Constructivity in Mathematics. An

Introduction. Vol.1–2, North-Holland, Amsterdam-New York-Ox-ford-Tokyo, 1988.

14. Troelstra A.S. On the Early History of Intuitionistic Logic.In P.Petkov, Ed. Mathematical Logic, 3–17, Plenum Press, New York-London, 1990.

15. Колмогоров А.Н. Письма к Гейтингу. Успехи Математических Наук, 1988. T. 43. 6. C. 75–77.

16. Kleene S.C. On the interpretation of intuitionistic number theory. Journal of Symbolic Logic, 1945. Vol. 10. C. 109–124.

17. Heijenort J. van (Ed.) from Frege to Goedel: a source-book in math-ematical logic, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1967.

18. Новиков П.С. On the consistency of certain logical calculus. Мате-матический сборник, 1943. T. 12 (54). C. 231–261.

19. Feferman A.B. Politics, Logic, and Love. The Life of Jean van Hei-jenoort. Jones and Bartlett Publ., Boston-London, 1993.

20. Mendelson E. Second Thoughts about Church’s Thesis and Math-ematical Proofs. The Journal of Philosophy, 1990. Vol. 87. 5. PP. 225–233.

21. Трахтенброт Б.А. Сложность алгоритмов и вычислений. Ново-сибирск, 1967.

22. Марков А.А. О нормальных алгорифмах, вычисляющих буле-вы функции. Доклады АН СССР, 1964. T. 157б. 2. C. 262–264.

23. Марков А.А. О нормальных алгорифмах, связанных с вычис-лением булевых функций. Известия АН СССР, сер. мат., 1967. T. 31. 1. C. 161–208.

References

1. Uspensky V.A. Kolmogorov and Mathematical Logic. The Journal of Symbolic Logic, 1992. Vol. 57. 2. PP. 385–412.

2. Lyusternik L.A. Rannie gody Moskovskoy matematicheskoy shkoly[The early years of the Moscow mathematical school]. Us-pekhi Matematicheskikh Nauk, 1967. Vol. 22. 1. PP. 137–161 (in Russian).

3. Lyusternik L.A. Rannie gody Moskovskoy matematicheskoy shkoly [The early years of the Moscow mathematical school]. Tam zhe [Ibi-dem]. 2. PP. 199–239.

4. Lyusternik L.A. Rannie gody Moskovskoy matematicheskoy shko-ly [The early years of the Moscow mathematical school] Tam zhe [Ibid], 1967. Vol. 22. 4. PP. 199–239.

5. Kushner B.A. Markov A.A. i E. Bishop. Voprosy Istorii Estest-voznaniya i Tekhniki [Kushner B.A., Markov A.A. and Bishop E. Some Questions of History of Science and Technology], 1992. 1. PP. 70–81.

6. Weil A. O filosofii matematiki. Sbornik rabot (per. s nem.) [On the Philosophy of Mathematics. Collected works (translated from Ger-man)] GTTI, 1934.

7. Geyting A. Obzor issledovaniy po osnovaniyam matematiki[Review of researches on the foundations of mathematics] Moscow-Lenin-grad. Publishing house of «Obzory nauchno-technicheskoy informa-cyi (ONTI)», 1936.

8. Yushkevich A.P. Vstrechi s A.N. Kolmogorovym. [Meetings with Kholmogorov]. Preprint. 1990.

9. Kolmogorov A.N. O princype «tertium non datur», Matematiches-kiy Sbornik [On the principle of «tertium non datur», Mathematical Collection], 1924/1925. Vol. 32. PP. 646–667.

10. Kolmogorov A.N. Zur Deutung der intuitionistischen Logic. Math-ematische Zeitschrift, 1932. Vol. 35. PP. 58–65.

11. A.G. Dragalin, B.A. Kushner. Matematicheskiy Intuitsionizm. [Mathematical Intuitionism]. Bol’shaya Sovetskaya Enciklopediya [Great Soviet Encyclopedia], 1974. T. 15. 488 p.

12. Borel E. Leçons sur théorie des fonctions, 3d ed., Gauthier-Villars, Paris, 1928.

13. Dalen D. van, Troelstra A.S. Constructivity in Mathematics. An Introduction. Vol. 1–2, North-Holland, Amsterdam-New York-Ox-ford-Tokyo, 1988.

14. Troelstra A.S. On the Early History of Intuitionistic Logic.In P.Petkov, Ed. Mathematical Logic, PP. 3–17, Plenum Press, New York-London, 1990.

15. Kolmogorov A.N. Pis’ma k Geytingu [Letters to Geyting] Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 1988 Vol. 43, 6. PP. 75–77. (in Russian).

16. Kleene S.C. On the interpretation of intuitionistic number theory. Journal of Symbolic Logic, 1945. Vol. 10. PP. 109–124.

17. Heijenort J. van. (Ed.). From Frege to Goedel: a source-book in mathematical logic, 1879–1931, Harvard University Press, Cam-bridge, Massachusetts, 1967.

18. Novikov P.S. On the consistency of certain logical calculus. Matematicheskiy sbornik Vol. 12 (54), 231–261, 1943..[ Mathemat-ics collection] 1943. Т. 12 (54). PP. 231–26.

19. Feferman A.B. Politics, Logic, and Love. The Life of Jean van Hei-jenoort. Jones and Bartlett Publ., Boston-London, 1993.

20. Mendelson E. Second Thoughts about Church’s Thesis and Math-ematical Proofs. The Journal of Philosophy. 1990. Vol. 87 5. PP. 225–233.

21. Trakhtenbrot B.A. Slozhnost’ algoritmov i vychisleniy [The com-plexity of algorithms and computation]. Novosibirsk 1967.

22. Markov A.A. O normal’nykh algorifmakh, vychislyayushchikh Bu-levy funkcii [Normal algorithms to compute Boolean functions]. Doklady AN SSSR [Reports of the USSR], 1964. Vol. 157b. 2. PP. 262–264.

23. Markov A.A. O normal’nykh algorifmakh, svyazannykh s vy-chisleniem Bulevykh funkciy [Normal algorithms related to the computation of Boolean functions] Izvestiya AN SSSR, ser. mat. [Proceedings of the USSR, mathemat. series], 1967. Vol. 31. 1. PP. 161–208.


Кушнер Борис Абрамович выпускник мехмата МГУ

член Союза писателей Москвы профессор математики Питтсбургского университета

г. Джонстаун, США, E-mail: [email protected]

Kushner Boris Abramovich Professor of Mathematics University of Pittsburgh at Johnstown Johnstown, PA 15904, USAE-mail: [email protected]

1. При направлении материалов для публикации в журнале необходи-мо заполнить карточку «Сведения об авторе» (на русском и англий-ском языках).

Фамилия...... Имя...... Отчество...... Дата и место рождения......Адрес регистрации (прописки) по паспорту с указанием почтового индекса.......Адрес фактического проживания с указанием почтового индекса.......Контактная информация (домашний, служебный и мобильный телефоны, электронный адрес).......Название организации (место работы (учебы)) вместе с ведомством, к которому она принадлежит, занимаемая должность, адрес организации с указанием почтового индекса...Ученая степень и звание ( диплома, аттестата, кем и когда выдан).......

2. Объем статьи не должен превышать 40 страниц машинописного текста. текст необходимо набирать в редакторе Word шрифтом 12, times New Roman; текст не форматируется, т.е. не имеет та-буляций, колонок и т.д. Статьи должны быть свободны от сложных и громоздких предложений, математических формул и особенно формульных таблиц, а также промежуточных математических вы-кладок. Все сокращения и условные обозначения в схемах и фор-мулах следует расшифровать, размерности физических величин давать в СИ, названия иностранных фирм и приборов – в транс-крипции первоисточника с указанием страны.

3. Аннотация и ключевые слова должны быть на русском и английском языках. В аннотации полностью должна быть раскрыта содержатель-ная сторона публикации и полученные результаты (выводы). Аннота-ция должна иметь объeм от 100 до 250 слов. После нее дается пере-чень ключевых слов – от 5 до 10.

4. Список использованной литературы (лишь необходимой и органи-чески связанной со статьей) составляется в порядке упоминания и дается в конце статьи. Ссылки на литературу в тексте отмечают-ся порядковыми цифрами в квадратных скобках, а именно: [1, 2]. Желательно, чтобы список литературы содержал не менее 10–12 источников, в том числе как минимум – 3 зарубежные публикации (желательно из трех стран) в данной области за последние 5–10 лет. После списка литературы приводится список литературы в ро-манском алфавите, который озаглавливается References и явля-ется комбинацией англоязычной [перевод источника информации на английский язык дается в квадратных скобках] и транслитери-рованной частей русскоязычных ссылок. В конце статьи приводит-ся название статьи, фамилия, имя, отчество автора (ов), ученая степень, ученое звание, должность и место работы, электронный адрес хотя бы одного из авторов для связи и точный почтовый адрес организации (место работы автора) на русском и англий-ском языках, при этом название улицы дается транслитерацией. Список литературы следует оформлять в соответствии с междуна-родными стандартами.

ПРИМеР оФоРМЛеНИЯ ЛИТеРАТУРЫ

Баранов М.И., Веселова Н.В. основные достижения отече-ственных и зарубежных научных школ в области техники вы-соких напряжений. Часть 1: Московская, Ленинградская, Том-ская и Киевская школы ТВН // История науки и техники. 2012. Т. 2. 3. C. 38–52.Baranov M.I., Veselova N.V. osnovnye dostizheniya otechestven-nykh i zarubezhnykh nauchnykh shkol v oblasti tekhniki vysokikh napryazheniy. Chast 1: Moskovskaya, Leningradskaya, tomskaya i Kievskaya shkoly tVN [the main achievements of Russian and for-eign scientific schools in the art of high voltages. Part 1: Moscow, Leningrad, tomsk and Kiev school tVN]. Istoriya nauki i tekhniki [history of science and Engineering], 2012. Vol. 2. 3. PP. 38–52.Ищенко А.М. отечественное приборостроение: становление и развитие. М.: Научтехлитиздат, 2011. 240 с.Ishchenko A.M. otechestvennoe priborostroenie: stanovle-nie i razvitie [Domestic instrument: Development and Evo-lution] M.: Nauchtekhlitizdat [Moscow: Publishing house «Nauchtehlitizdat»], 2011. 240 p.

Название издательства «Научтехлитиздат» на английский язык не пе-реводится, поэтому пишется латинскими буквами. если книга и/или монография издана в издательстве название, которого переводится на английский, то сначала надо дать транслитерацию названия издатель-ства, а потом в квадратных скобках указать перевод этого названия на английский язык.

Иванов И.И. Проблемы разработки недр. М.: Наука, 2012. 320 с. Ivanov I.I. Problemy razrabotki nedr [Problems of deve lopment of mineral resources]. M.: Nauka [Moscow: Publishing house «Sciences»], 2012. 320 p.

Особо обращаем внимание авторов, что если Вы ссылаетесь на статью, то обязательно надо указать страницы от и до, на которых она напеча-тана, при этом букву «с» надо ставить перед страницами. если дается ссылка на монографию, то буква «с» ставится после указания количе-ства страниц.

ЭТАПЫ РАССМоТРеНИЯ И ПУБЛИКАцИИ СТАТьИ

Регистрация статьи и присвоение ей индивидуального номера. Опреде-ление соответствия содержания статьи тематике журнала. если содер-жание не совпадает с тематикой публикуемых статей в журнале, статья снимается с рассмотрения; об этом сообщается автору (или авторам). Неопубликованный материал авторам не возвращается. Направление статьи рецензенту, крупному специалисту в данной области. Рассмо-трение замечаний и пожеланий рецензента; при необходимости обра-щение к автору с просьбой учесть замечания и пожелания рецензента. При получении от рецензента отрицательной рецензии статья передает-ся другому рецензенту. При отрицательном результате повторного ре-цензирования статья снимается с рассмотрения. Научное редактирова-ние. Литературное редактирование. Корректура статьи. Верстка статьи.

После прохождения вышеперечисленных этапов статья включается в список подготовленных для публикации статей и публикуется в по-рядке общей очереди.

ПРАВИЛА РецеНЗИРоВАНИЯ СТАТеЙ

Любая статья, поступающая в редакцию журнала, независимо от лич-ности автора(ов) направляется рецензенту, крупному специалисту в данной области. Статья рецензенту передается безличностно, т.е. без указания фамилии автора (ов), места работы, занимаемой должности и контактной информации (адреса, телефона и E-mail адреса).

Рецензент на основе ознакомления с текстом статьи обязан в разумный срок подготовить и в письменной форме передать в редакцию рецен-зию, в обязательном порядке содержащую оценку актуальности рас-смотренной темы, указать на степень обоснованности положений, вы-водов и заключения, изложенных в статье, их достоверность и новизну. В конце рецензии рецензент должен дать заключение о целесообраз-ности или нецелесообразности публикации статьи.

При получении от рецензента отрицательной рецензии статья пере-дается другому рецензенту. Второму рецензенту не сообщается о том, что статья была направлена рецензенту, и что от него поступил отрицательный отзыв. При отрицательном результате повторного ре-цензирования статья снимается с рассмотрения и об этом сообщается автору(ам). Автору(ам) редакция направляет копии рецензии без ука-зания личности рецензента.

В исключительных случаях, по решению редакционной коллегии, при получении от двух рецензентов отрицательного отзыва, статья может быть опубликована. такими исключительными случаями являются: предвзятое отношение рецензентов к рассмотренному в статье новому направлению научного нововведения; несогласие и непризнание рецен-зентами установленных автором фактов на основе изучения и анализа экспериментальных данных, результатов научно-исследовательских, опытно-конструкторских и других работ, выполненных на основании и в рамках Национальных и государственных программ и принятых заказ-чиком; архивных и археологических изысканий, при условии предостав-ления автором документальных доказательств и т.д.

ПРАВиЛА ОфОРмЛеНия, РАССмОтРеНия,

ПУБЛикАЦии и РеЦеНзиРОВАНия СтАтеЙ


И МАТЕМАТИКА

APPLIED PHYSICS AND MATHEMATICS

4

∙ 2

01

4

ISSN 2307-1621

Documents

Прикладная физика и математика 2014 №4