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形象思维与工程语言 2014/10/30 杨培中 博士 副教授 上海交通大学 [email protected]. 建模与优化. 工程设计不仅仅是给出一个方案,而是要给出一个最佳方案。 通常情况下,最佳方案会受到各种约束的影响,如可用资源,法律规定等。 优化问题通常比较复杂,需要长时间的试凑方法。有些情况下,可使用解析方法。 要使用解析方法,首先需要将关心的优化量进行解析表达。. 学习目标. 理解解析建模与优化的重要性。 利用微积分和线性规划方法提出并解决简单问题。 理解平坦式最优和陡峭式最优以及偏离最优时的参数选择 。. 解析建模. 建立数学模型 列出你的需求 - PowerPoint PPT Presentation
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建模与优化
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建模与优化
建模与优化
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1. 工程设计不仅仅是给出一个方案,而是要给出一个最佳方案。
2. 通常情况下,最佳方案会受到各种约束的影响,如可用资源,法律规定等。
3. 优化问题通常比较复杂,需要长时间的试凑方法。有些情况下,可使用解析方法。
4. 要使用解析方法,首先需要将关心的优化量进行解析表达。
建模与优化
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1. 理解解析建模与优化的重要性。
2. 利用微积分和线性规划方法提出并解决简单问题。
3. 理解平坦式最优和陡峭式最优以及偏离最优时的参数选择。
学习目标
建模与优化
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建立数学模型
1. 列出你的需求2. 列出所有可能的关系式
• 质量守恒• 动量守恒• 能量守恒• 资金守恒• 几何关系• 物理关系
3. 消去冗余关系4. 检查量纲
解析建模
建模与优化
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为了优化,首先要将目标函数进行表达,目标函数应表示成独立变量的函数。
如果目标函数(如成本)能表示成:
则最优解可通过对 F 进行微分,然后让导数为零得到。
原则上,还须求出二阶导数以确定是否为最大或最小解。
优化—微积分方法
F F x1, x2 ,
F
x1
F
x2
0
建模与优化
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优化
通常,目标函数会有一个或多个约束。
2,1;0,, 21 ixxGi
2,1;0,, 21 ixxHi
建模与优化
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例 1 — 容器的设计
假设你要做一个封闭的罐子或者圆柱形容器,能够装载的容积为 Vo 。容器的壁厚给定。需要确定容器高度 (h) 和半径 (r) 的关系,使得制作该容器所使用的材料最少。
h
2 r
建模与优化
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Vo r2h
S 2 rh 2 r2
假定该容器壁厚很小,相对于高度或半径可以忽略不计。容器的容积为:
表面积为 :
消去高度参数,有 :
S 2Vo
r 2r 2
例 1 — 容器的设计
建模与优化
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dS
dr
2Vo
r2 4 r 0
2Vo
4r3
h 2r
对半径求导,并令其为零,有:
or
将容积公式带入,得:
或者说:直径与高度相等。
例 1 — 容器的设计
建模与优化
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虽然大的存储容器通常有接近于最优解的尺寸,但很多容器并没有按照这样的尺寸进行设计制造。
譬如饮料罐,会选择较小的半径。我们可以得出结论,外观的魅力以及使用的方便性是非常重要的,或者说偏离最优解所增加的成本相对较少。
例 1 — 容器的设计
建模与优化
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敏感性
确定最优解对参数的敏感性是非常重要的。如果最优解是平坦的,比较大的偏离只需较低的代价;如果最优解是陡峭的,则较小的偏离则会付出巨大的代价。
Cost
Shallowoptimum
VariableOptimum
建模与优化
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对于容器,我们有 :
h
V
r
VV
VS
hrVS
rrV
S
31
31
31
000
0
0
20
2
112
22
敏感性
建模与优化
14
32
31
32
31
32
31
31
31
32
or
2
2
0
22
0
xxy
hr
rh
V
S
hhr
rhr
V
S
敏感性
建模与优化
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32
31
or
2
3/23/1
3/23/1
xxy
hr
rh
V
S
o
x=0.50 y = 2.3811 yopt = 26%x=1.00 y = 2.0000 yopt = 5.8%x=1.50 y = 1.9079 yopt = 0.9%x=2.00 y = 1.8899 yopt = 0%x=2.50 y = 1.9001 yopt = 0.5%x=3.00 y = 1.9230 yopt = 1.7%x=3.50 y = 1.9521 yopt = 3.3%
敏感性
建模与优化
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课堂练习(3 分钟 )
课堂练习 1
建模与优化
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确定长方形盒子的尺寸,使得其体积最大。要求:最小截面的周长加上和它垂直的边的长度小于 84 in.
a
b
c
课堂练习 1
建模与优化
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a
b
c
体积为 :
约束为:
V a b c
2(b c) a 84
消去 a ,得:
V (84 2 (b c)) bc
84 bc 2 b2 c 2 bc2
课堂练习 1
建模与优化
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对 b 和 c 求便导,有:
V
b84 c 4 b c 2 c2 0
V
c84 b 2 b2 4 bc 0
42 2 b c 0
42 b 2c 0
简化得:解为 :
b c 14
V 84 bc 2 b2 c 2b c2
a
b
c
课堂练习 1
建模与优化
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例 -II
例 -II
建模与优化
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回归— Taylor刀具寿命公式
1. 对金属进行机加工时,发现当切削速度增加时,刀具寿命缩短。
2. 如果所有其它因素都为常数,可以将刀具寿命T表示成切削速度 V 的函数。
3. 如果切削速度接近于零,则刀具寿命就会接近无穷大。如果切削速度接近于无穷大,则刀具寿命就会接近零。
4. 通过这些想法,我们可以观测刀具寿命和切削速度的关系曲线,从而得出其关系式具有幂次关系。
建模与优化
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V
T
V C
Tn
切削速度 vs 刀具寿命
回归— Taylor刀具寿命公式
建模与优化
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Tool material Work material n C: m/min fpmHigh speed steel Steel
Cast iron0.1250.14
14 47
Cemented carbide SteelCast iron
0.200.25
46 150
Sintered oxide Steel 0.7 122 400
注意 C 的单位: 如果速度的单位为 m/min 如果速度的单位为 fpm
这些常数可以从手册中查到。
meters minutes n 1
feet minutesn 1
回归— Taylor刀具寿命公式
建模与优化
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刀具寿命和切削速度之间的关系可以用以下经验公式来表示:
其中 V 为切削速度, T 为刀具寿命, n 和 C 为依赖于刀具材料和加工材料的常数。
显然,若提高切削速度,产量会提高;但高速会导致刀具短寿,提高刀具成本,增加了更换刀具的频率。
假设我们只加工若干件,我们就必须找到最优化的切削速度,从而降低单件的刀具成本。
VTn C
回归— Taylor刀具寿命公式
建模与优化
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线性规划
线性规划
建模与优化
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1. 通常 , 在参数允许变动的区域,成本函数是单调递增或单调递减函数,无法通过微分法来求出最大最小值。
2. 最简单也是常见的情形为:需要优化的函数以及约束函数都是变量的线性组合。
3. 在这种情形中,最优解一定位于约束函数相交的角点处。
4. 对于多变量问题,我们必须使用计算机来求解,但对两个变量的问题,我们可以用图示法求解。
线性规划
建模与优化
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例 -III
例 -III
建模与优化
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如何选择 x和 y ,使得如下的目标函数最大。
f=3x+4yx 和 y 有下面的约束 :
x>0y>02x+y-4<0
由于只有两个变量,所有可以用图示法来求解。
例 -III
建模与优化
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首先在 x-y 平面上将可能的解区域绘制出来。最后一个约束通过它与 x与 y的交点坐标便很容易绘制出来了。令 y=0, 得 x=2 ;令 x=0, 则 y=4 。可能的解区域如右图所示。
y
4
2
00 2 x
可能的解区域
y=4-2x
例 -III
建模与优化
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既然成本函数是线性的,最大值必然落在角点上。分别计算各个角点的值:f(0,0)=0
f(2,0)=6f(0,4)=16.
显然最优解落在点 (0,4).
y
4
2
00 2 x
y=4-2x
例 -III
可能的解区域
建模与优化
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例 -IV
例 -IV
建模与优化
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一家椅子产商有 1000 板英尺(体积单位)硬木和 750 板英尺软木。
每板英尺的成本分别为 $0.3 和 $0.15.
公司可以用这些硬木和软木来生产椅子,每把椅子需要 5 板英尺硬木和 10 板英尺软木。也可以生产桌子,每张桌子需要 25 板英尺硬木和 15 板英尺软木。
每把椅子的售价为 $75 ,利润为 $12;而每张桌子的售价为 $150 ,利润为 $30 。分别生产多少椅子和桌子才能获得最大利润?
例 -IV
建模与优化
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NC: 椅子数NT: 桌子数
利润公式P=12•NC + 30•NT
木材量的约束5•NC + 25•NT 100010•NC + 15•NT 750交点为 (36,20)P(0,0) = 0P(0,75) =12•75 =900P(40,0) =30•40 =1200P(36,20) =12•20 + 30•36 =1320
NC
200
allowable domain 100 75 (36,20)
0 0 40 50 NT
例 -IV
建模与优化
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课堂练习(3 分钟 )
课堂练习 2
建模与优化
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一名卡车司机可以运输两种类型的箱子。 A型箱子重 100kg ,体积为 4 m3 。 B A型箱子重200kg ,体积为 2 m3 。
卡车可容纳 200 m3 ,能运载 10,000 kg.
如果司机运输一只A型箱子可以获得 $20 利润,运输一只B型箱子可以获得 $15 利润 , 要获得最大利润,应运输多少 A型箱子和 B型箱子?
课堂练习 2
建模与优化
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Box A Box B MaxKgVol
100 200 10,0004 2 200
P=20 NA +15 NB
100 NA +200 NB 10,000
4 NA +2 NB 200
利润为 :
约束为:
课堂练习 2
建模与优化
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P=20 NA +15 NB
100 NA +200 NB10,0004 NA +2 NB 200
NA
NB
50
100
100
50
交点 : NA=33.33 , NB=33.33
NA NB P50 0 1000 0 50 65033 33 115534 32 116032 34 1150
由于交点非整数,需要选取可能解区域中相关的整数点进行计算 :
Possible points of maximum profit
课堂练习 2
建模与优化
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一般来说 , 允许任意数量的约束。这时就必须检查所有的角点。
NA
NB
50
100
100
50
最大利润的可能点
新约束
课堂练习 2
建模与优化
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学习目标:
• 理解解析建模与优化的重要性。
• 利用微积分和线性规划方法提出并解决简单问题。
• 理解平坦式最优和陡峭式最优以及偏离最优时的参数选择。
建模与优化
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个人作业: 列举与你专业相关或相近的优化问题。 要求 : ( 1 )微分法和线性规划法各一个; ( 2 )给出题目和答案; ( 3 )以 WORD文档格式通过 EMAIL在一周内提交。
建模与优化
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Any question?
谢 谢 !