材料力学を楽しむ会 · 2019. 11. 17. · 材料力学を楽しむ会 2019年第9回断面の特性値追加面積は微小な破片を寄せ集めた大きさ，断面2次モーメントは微小な破片の

2019年9月28日

中本昭

材料力学を楽しむ会 2019年度第9回

新しい材料力学第4版

2. はりの曲げ

（1）断面2次モーメント

（2）曲げモーメントとせん断力

（3）曲げ応力と断面係数

（4）せん断力によるたわみ

（5）応力関数による曲げの解析

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2019年第9回材料力学を楽しむ会

断面の特性値追加

面積は微小な破片を寄せ集めた大きさ，断面2次モーメントは微小な破片の大きさに軸からの距離の2乗を掛けて寄せ集めた大きさ

断面積以外は，基準となる軸を指定する必要がある

断面積断面1次モーメント断面2次モーメント断面2次極モーメント

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P. 216

図 13.14 図 13.15

演習 1. ハッチングした部分の面積と軸に関する断面2次モーメントを求めなさい。

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面積 P. 216

図 13.14 図 13.15

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断面2次モーメント P. 216

図 13.14 図 13.15

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断面1次モーメントと図心 P. 65

断面2次モーメントの基準は断面の図心を通る軸

図 6.15

軸に関する断面1次モーメント

軸に関する断面1次モーメント

（6.23）

（6.24）

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重要な定理追加

図心の位置，断面1次モーメント，断面2次モーメントに関する重要な性質

平行軸の定理

：軸に関する断面1次モーメント


2つの断面を合成した断面の図心と断面2次モーメント

：図心の位置


図 6.16 （6.26）

図 6.17

（6.27）

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追加

単に断面2次モーメントと言えば，図心に関するそれを指す

演習 3.

150

180

12

12

（1）（2）

150

180

12

12

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追加

演習 4.

（1）（2）（3）

軸に関する断面2次モーメントを求めなさい。

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断面2次モーメントの特性追加

断面2次モーメントは，図形の演算で求めることができる

（1）（2）（3）

＝－－

＝

（＋）

＋

＝＋

＋＋

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断面2次モーメントの特性追加

（1）（2）（3）

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追加

演習 5. 軸に関する断面2次モーメントを求めなさい。

（1）（2）（3）

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正3角形の場合追加

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正3角形の場合追加

正3角形の断面2次モーメントは傾きに関係なく一定

ところで，

だから，

したがって，

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正n角形の場合追加

正n多角形の場合も同様に考えることができ，傾きに関係なく一定

：円の場合

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正n角形の場合追加

次の3つの定理を使って上式の関係を導く

：ド・モアブルの定理

：等比級数

：加法定理

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同じはりを2つ重ねた場合追加

上下のはりの界面でせん断力が伝達できれば剛性が増加する

（a）単に重ねた場合（b）しっかり固着した場合

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材質の異なる2つのはりを重ねた場合追加

（a）単に重ねた場合（b）しっかり固着した場合

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材質の異なる2つのはりを重ねた場合追加

中立軸は，中央から高剛性側に移動する

曲げ剛性は，軸剛性ほど増加しない

（b）しっかり固着した場合

のとき，

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はりの外力と内力 P. 51,72

はりの外から作用する力と内部に発生する力

下凸：＋

：外力

：内力

図6.34

図5.18

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荷重が作用しない部位 P.72

せん断力の変化率はゼロ，せん断力はモーメントの変化率に等しい

図6.35

力のつり合い

モーメントのつり合い

（6.53）

（6.54）

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集中荷重が作用する部位 P.72

せん断力は s で急変する。 s におけるせん断力の大きさは?

図6.36

力のつり合い

モーメントのつり合いより

（6.55）

（6.55）

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分布荷重が作用する部位 P.73

モーメントの2回微分は分布荷重の大きさに等しい

図6.37

力のつり合い

モーメントのつり合いより

（6.56）

（6.57）

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せん断力線図SFD，曲げモーメント線図BMD P.73

表 6.1

傾きが連続変化連続変化分布荷重

傾きが不連続に変化不連続変化集中力

線形に変化一定

なし

BMDSFD外力（6.53）～（6.57）

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せん断力線図SFD，曲げモーメント線図BMD P. 74

はりを仮想的に分割し，両側の断面に「正」の内力が作用するものと考えて，力のつり合い式を立てる

図 6.42

等価等価

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せん断力線図SFD，曲げモーメント線図BMD P. 74

力のつり合い式を解いてせん断力と曲げモーメントを得る

結果を線図に書く

図 6.42

（6.62）

（6.64）

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せん断力線図SFD，曲げモーメント線図BMD 追加

曲げモーメント線図の傾きは，その位置のせん断力の大きさに等しい。

せん断力の積分値は，その位置の曲げモーメントの大きさに等しい。

曲げモーメントが最大になるのは，せん断力がゼロになる位置である。

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曲げ応力 P. 64

曲げ応力と曲げモーメントおよび軸力の関係

圧縮

引張

中立軸

I ：断面2次モーメント，S ：断面1次モーメント

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曲げ応力 P. 71

曲率と曲げ変形および曲げ応力の関係

（1.3）

圧縮

引張

中立軸

（6.48）

：断面係数

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断面係数 P. 71

断面内の最大（引張）曲げ応力と最小（圧縮）曲げ応力

（6.49）

圧縮

引張

中立軸

圧縮

引張中立軸

（6.51）（6.52）

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せん断応力の分布 P. 79

この考え方は矛盾を含んでいる

深さ方向のせん断変形と応力の分布

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はりの上下面には外力が作用しないので，せん断応力はゼロでなければならない

はりの深さ方向にせん断ひずみが変化するので，はりの断面は平面ではなくなる

拡大

せん断力せん断応力

深さ方向のせん断変形と応力の分布

せん断力によるたわみを求める方法

1. 曲げ応力とのつり合いからせん断応力の分布を求める2. せん断力による仕事とせん断ひずみエネルギが等しい

図 6.56

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矩形断面はりの微小な部分に関する力のつり合い

曲げモーメントとせん断力を受けるはりの微小な部分の力のつり合いを考える。

図 6.57

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（6.111）

（6.112）

（6.113）

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せん断応力は，はりの中央で最大になる

（6.117）

（6.118）図 6.58

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I 型はりのせん断応力追加

I 型はりでは，フランジの面内にもせん断応力が発生する

（一社）日本橋梁建設協会http://www.jasbc.or.jp/whatsnew/files/DE155.pdf

ウェブのせん断応力

フランジのせん断応力

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http://www.jasbc.or.jp/whatsnew/files/DE155.pdf




I 型はりのせん断応力追加

I 型はりでは，ウエブがほとんどのせん断応力を負担する

2.78

2.170.15

0.70

断面のせん断応力分布：平均せん断応力

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P. 81

せん断力による仕事とせん断ひずみエネルギは等しい

せん断力による仕事

せん断ひずみエネルギ

（6.121）

図 6.59（6.122）

だから，

（6.123）

（6.124）

（6.125）

（6.126）

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P. 82

はりのが0.1を超えるような場合にはせん断たわみを考慮する必要あり

SFD

曲げたわみ

せん断たわみ

（a）

（b）

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2次元問題の厳密解（理論解，解析解） P. 107,125,155

ひずみと変位の関係，応力のつり合い式，応力とひずみの関係式を満足するひずみと応力が2次元応力状態の厳密解を与える

変位ひずみと変位の関係

応力のつり合い式

（8.9）

応力とひずみの関係式

（10.10）平面応力状態

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2次元問題の厳密解 P. 125

エアリの応力関数を発見すれば，応力の厳密解が得られる

これらの応力成分は，応力のつり合い式（8.9）式を満足する。

応力とひずみの関係式（10.10）式からひずみ成分が求まり，これを積分することで変位成分が求まる。

エアリの応力関数は重調和関数である

（8.11）

（8.13）

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図 8.6

（8.19）

（8.20）

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2次元問題の厳密解追加

応力関数：

応力成分：

ｙ

の分布の分布

はり理論

図 8.7

（6.117）式（P. 81）と一致

（8.21）

（8.22）

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曲げたわみは（b）式と完全に一致する

せん断たわみは（a）式の45%程度の大きさ

曲げたわみせん断たわみ

図 8.6

（8.25）

中央のたわみ：

（b）

（a）

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今後の予定


2019年第10回～2020年第3回

あくまでも予定です

2019年第10回

第11回

第12回

2020年第1回

第2回

第3回

サンブナンのねじり，薄肉はりのねじり，曲げねじり剛性，せん断中心，など

薄板の曲げ，Kirchhoffの仮定，支配方程式，極座標表示，

円板の曲げ，矩形版の曲げ，など

連続体の力学，2次元問題，主応力，主ひずみ，3次元問題，

変形勾配テンソル，有限ひずみ，など

Airyの応力関数，複素応力関数，円孔や楕円孔の応力集中，

クラック近傍の応力分布，応力拡大係数，など

マトリックス法，剛性マトリックスの合成と座標変換，

剛性方程式の求解，など

有限要素法，形状関数，アイソパラメトリック要素，ガウス積分，

テトラ要素とヘキサ要素，など

以上

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