動機

•去年は、“ブラックバスが琵琶湖を埋め尽くすのは何年後か ! ？”…指数関数

•見栄えのいいものを目指して！　　　　　　　　　　できるもの。•3D パズル・ミツバチがなぜ減っているのか？・　回転寿司の回転数と客の動員数の関係・ 3D 数独

目的

•パスカルの三角形には、様々な規則性が見つけられている。

•2 次元→ 3 次元へ拡張した場合規則性は、どのように変化するのか？

•3 次元ならではの規則性があるのか？

パスカルの三角形

•各列の和は、２ n-1 である。

•最初の列を除いて各段を横に見てみると１１ n になる。

•フィボナッチ数列１．１．２．３．５．８……

→8

→4

→2

→11

1

2

3

5

3 次元への拡張～立体～

2次元

3次元

3 次元への拡張～平面～

1段目

2段目 3段

目 4段目

5段目

6段目

性質の比較

•各段落の合計について　・ 2 次元の時は、 2n-1で求めることができる。　・ 3 次元の場合は、下表のようになる

段数 計算式 合計1 段目 1 1=30

2 段目 1×3 3=31

3 段目 1×3+2×3 9=32

4 段目 1×3+3×6+6 27=33

5 段目 1×3+4×6+6×3+12×3 81=34

6 段目 1×3+5×6+10×6+20×3+30×3 243=35

表を見たら分かるように 3次元にすると n段目の合計は 3n-1

•各段の個数について・ 2 次元では、 1 ・ 2 ・ 3 ・ 4 ・ 5… というように各段落の個数が増加していく。

・ 3 次元の場合は、　　　　　 1 ・ 3 ・ 6 ・ 10 ・ 15 ・ 21… となる。

・このような数列を階差数列という。　階差数列は、２・３・４…となり　　初項 a=2 交差 d=1 　の階差数列になる。

2 3 64 5

・各段の個数は、 an= a1+ ∑n-1 bk で求まる。

　この数列 {an} の段差数列を {bn} とすると、　　　　 {an}{bn} は…　 {an} ＝ 1 ・ 3 ・ 6 ・ 10 ・ 15…

　　　　　　　 {bn} ＝ 2 ・ 3 ・ 4 ・ 5 ・ 6…

{bn} は初項 2, 交差 1 の等差数列である。よって bn=n+1 　ゆえに n≧2 の時　　 an=a1+ ∑n-1 (k+1)=1+ ∑n-1 k+ ∑n-1 1

　　　　　　 =1+1/2(n-1)n+(n-1)　　 an=1/2n2+1/2n

初項は a1=1 なので、 n=1 も成り立つ。

k=1

k=1 k=1 k=1

an=1/2n2+1/2n

•中央の個数

3段目4段目

5段目上の図のように、三角形で囲まれた部分を中央の個数とする。そうすると、中央の個数は…　 1 ・ 2 ・ 3 段目＝ 0 個　 4 段目＝ 1 個　 5 段目＝3 個これを表にすると、

段数 1 2 3 4 5 6 7 8中央の数の個数

0 0 0 1 3 610

15

となる。

1~3 段目までは、 0 個なので 1 段にまとめる（下表）段数（実際の段） 1 （ 1~

3 ）2(4)

3(5)

4(6)

5(7)

6(8)

中央の数の個数 0 1 3 6 10 15

先ほども利用した an= a1+∑n-1 bk を利用する。k=1

数列 {an} ＝ 0 ・ 1 ・ 3 ・ 6… とすると階差数列 {bn} ＝1 ・ 2 ・ 3 ・ 4…{bn} は a=1,d=1 の等差数列である。よって、 bn=n

ゆえに、 n≧2 のとき　　　　　　 an=a1+ ∑n-1 (n) =0+ ∑n-1 (k) =0+ 1/2(n-1)n = 1/2n2-1/2n …①　　　また、初項は a1=0 なので、①は n=1 のときも成り立つ。　　　　　以上により一般項は　　　　　　　　　　

k=1

k=1

　 an= 1/2n2-1/2n

↑ 　 2次元のパスカルの三角形を　　　　　　　　　　　　　　　　　 2で割った場合白色・・・（奇数）青色・・・（偶数）

・ 3次元でもフラクタル図形が現れるか調べる。

・立体的な図ではわかりにくいので、　　　　　　　　　　　各段に分けて調べてみる。

・ 3次元へ拡張した場合、　　　　　　　　側面は 2次元の場合と同じである。

フラクタル図形

• ２で割った場合　白色…奇数　　 青色…偶数

1 段目 2 段目

3 段目

4 段目 5 段目

6 段目 7 段目 8 段目

9 段目

10 段目

11 段目

12 段目

13 段目

14 段目

15 段目

16 段目

17 段目

18 段目

19 段目

8段が 1 周期フラクタル図形が現れる。

20 段目

3 次元の場合

• 3 次元に拡張するとｎ段の合計が、 3n-1で表わされることがわかった。 M 次元→ mn-1

• 各段の個数については、一般項 an=1/2n2+1/2nで求めることができる。

• 中央の個数は an=1/2n2 － 1/2nで求めることができる。• 中央の数の合計については、規則性がなく一般化できなかった。

• 3 次元へ拡張したときでもフラクタル図形が現れる。　（ 1 周期は 8 段）

結果

•中央の数の合計を一般化する。•10 段ぐらいまで自分で制作してみる。•フラクタル図形をプログラムして n 段目でも求められるようにする。 ( 他の数で）

20 段目の Max の値は 36.832.392

考察