Wang chenggang

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第 3 章 立体的投影

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平面立体

曲面立体

棱柱

棱锥

回转体

非回转体

立体

概述

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3-1 平面立体

高平齐

长对正

宽相等

(一 ).棱柱

1:投影图特点

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2:表面上的点 ,线(一 ).棱柱

1:投影图特点

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宽相等

高平齐

长对正

二：棱锥 1:投影图特点

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a)

2：棱锥面上取点、线

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3-2 常见的回转体回转体的形成

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素线

转向轮廓线

下底圆

回转轴线

上底圆

喉圆

纬圆

赤道圆

回转体的及投影

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b) 投影图

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（一）圆柱

AB

圆柱由圆柱面和上、下底面围成。圆柱面可看成是由一直母线 绕轴线 旋转而成的。O O

1

2

（ ）由于轴线垂直于水平面，因此圆柱的水平投影是个圆，其中圆周是整个圆柱面的投影，具有积聚性。

（ ）正面与侧面投影是以轴线为对称线的 大小完全相同的矩形。

、

A B

圆锥是由圆锥面和底面围成。圆锥面可看成是由一直母线 绕与它相交的轴线 旋转而成。

O o

1

2

（ ）轴线垂直于水平面的圆锥，其水平投影为圆，由于锥面上所有素线均倾斜于水平面，故该圆没有积聚性。

（ ）正面与侧面投影都是轴对称的 完全相同的等腰三角形。

、

AB ( O O

球是由球面围成的。球面可看成是由半圆母线 绕其直径 轴线 ）旋转而的。

1

2

（ ）球的三面投影都是大小相同的圆 ，且没有积聚性。

（ ）圆的直径等于球的直径。

圆

柱

圆

锥

球

形成方式 轴测图 三视图 投影特性

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圆柱体表面上的点与线

( )

( )

(1) 作圆柱左视图(2) 作特殊点 A(3) 作一般点 B(4) 作一般点 CD（完）

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(二 ):圆锥

AB

圆柱由圆柱面和上、下底面围成。圆柱面可看成是由一直母线 绕轴线 旋转而成的。O O

1

2

（ ）由于轴线垂直于水平面，因此圆柱的水平投影是个圆，其中圆周是整个圆柱面的投影，具有积聚性。

（ ）正面与侧面投影是以轴线为对称线的 大小完全相同的矩形。

、

A B

圆锥是由圆锥面和底面围成。圆锥面可看成是由一直母线 绕与它相交的轴线 旋转而成。

O o

1

2

（ ）轴线垂直于水平面的圆锥，其水平投影为圆，由于锥面上所有素线均倾斜于水平面，故该圆没有积聚性。

（ ）正面与侧面投影都是轴对称的 完全相同的等腰三角形。

、

AB ( O O

球是由球面围成的。球面可看成是由半圆母线 绕其直径 轴线 ）旋转而的。

1

2

（ ）球的三面投影都是大小相同的圆 ，且没有积聚性。

（ ）圆的直径等于球的直径。

圆

柱

圆

锥

球

形成方式 轴测图 三视图 投影特性

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求解过程已知条件

圆锥面上取点

( )

(1) 作圆锥左视图(2) 作特殊点 A(3) 作一般点 B(用辅助平面法）(4) 作一般点 B（用素线法）（完 )

辅助平面 辅助素线

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AB

圆柱由圆柱面和上、下底面围成。圆柱面可看成是由一直母线 绕轴线 旋转而成的。O O

1

2

（ ）由于轴线垂直于水平面，因此圆柱的水平投影是个圆，其中圆周是整个圆柱面的投影，具有积聚性。

（ ）正面与侧面投影是以轴线为对称线的 大小完全相同的矩形。

、

A B

圆锥是由圆锥面和底面围成。圆锥面可看成是由一直母线 绕与它相交的轴线 旋转而成。

O o

1

2

（ ）轴线垂直于水平面的圆锥，其水平投影为圆，由于锥面上所有素线均倾斜于水平面，故该圆没有积聚性。

（ ）正面与侧面投影都是轴对称的 完全相同的等腰三角形。

、

AB ( O O

球是由球面围成的。球面可看成是由半圆母线 绕其直径 轴线 ）旋转而的。

1

2

（ ）球的三面投影都是大小相同的圆 ，且没有积聚性。

（ ）圆的直径等于球的直径。

圆

柱

圆

锥

球

形成方式 轴测图 三视图 投影特性

(三 ):球

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(1) 作球体左视图(2) 作特殊点 A、 B(3) 作一般点 C(用辅助平面法）(4) 判别可见性、光滑连线（完 )

辅助平面

球面上取点

求解过程已知条件

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(四 ):圆环

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(五 ):一般回转体

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第 4章立体表面的交线4-1 概述

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截 平 面

截 交 线

截 断 面

截交的基本概念4 -2平面与立体相交

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一、平面与平面立体相交

b) 作左视图 c) 求截面的实形并加深、整理

图 2.30 求直线 AB与三棱锥表面的交点

p'

a

b

cd

e

a'

b'

c'd' (e') e" d"

c"

b"

a"

y 1y 2y 3

p'

y1y2

y3

O1

X1

OX

p1

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c'' b''a''

s''例 :补画切口三棱锥的水平投影和侧面投影

4"

1

1 " 6"

a

b

c

s

S

A

B

C

续 2

2"1'

4'

3 '6'2'

5' 5"

5

　Ⅳ

I

　Ⅲ

　Ⅱ

Ⅴ

Ⅵ

c'b'a'

s'

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S

A

B

C

　Ⅳ

I

　Ⅲ

　Ⅱ

Ⅴ

Ⅵa

b

c

s

c'b'a'

s'

c'' b''a''

s''

4

基点

∥AB

3

2

1 " 6"1'

4'

3 '6'2'

5'

4"

2"

5"

15

6

例 :补画切口三棱锥的水平投影和侧面投影 (续 )

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完

c'' b''a''

s''

a

b

c

s

c'b'a'

s'

无线无线

无线轮廓线

整理

例 :补画切口三棱锥的水平投影和侧面投影 (续 )

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二 平面与回转立体相交

截平面位置 垂 直 于 轴 线 倾 斜 于 轴 线 平 行 于 轴 线

截 交 线 圆 椭 圆 两 平 行 直 线 （矩 形 ）

轴 测 图

投 影 图

1. 平面与圆柱体相交 表 3.1平面与圆柱相交的三种方式

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(1)作圆柱的左视图

平面与圆柱体相交举例之一

根据主视图和俯视图补出立体的左视图。

解： (2)作特殊点(3)作一般点(4)依次光滑连接

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(1)作圆柱的左视图

平面与圆柱体相交举例之 2

根据主视图和俯视图补出立体的左视图。

a) 题图

解： (2) 作左切块上的投影

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27/86平面与圆柱体相交举例之 2

(3) 作下部通槽的投影

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(4) 判别可见性，整理、加深完成全图

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圆柱截交线 3

12

1″

2″

34

3″

4″

1′

2′

3′

4′

Ⅰ

Ⅱ

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30/86通孔

直线 圆曲线

通孔

圆柱截交线 4

2″

1″

1(2)

2′

1′

Ⅰ

Ⅱ

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31/86

通孔

直线

椭圆曲线

圆曲线

通孔

圆柱截交线 5

通孔

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平面与圆锥体相交

2.平面与圆锥体相交

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求圆锥截交线1

c

ab

c'

b'

a's''

s

s'

c''

b''

a''特殊点

纬圆法定点

斜截圆锥

返回

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a

s''

s

s'

c

b

c'

b'

a'c''

b''

a''特殊点

纬圆法定点

斜截圆锥

求圆锥截交线1

d' d''

d

一般点描深图线

完 返回

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平面与圆锥体相交举例

[例 ] 补全立体的三面投影

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ Ⅳ

Ⅴ

辅助平面

纬圆

辅助平面

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36/86平面与圆锥体相交举例

[例 ] 补全圆锥截切后的水平投影和侧面投影 .

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平面与球体相交

3. 平面与球体相交

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d'

c'

b'

a'圆球截交线 1

返回

t'

d

c

b''

d''

a''

a

t

t''

先求特殊点：A， B， C，

D， T

Wang chenggang

39/86

d'

c'

b'

a'

t'

d

c

b''

d''

a''

a

t

t''

圆球截交线 1续

返回

2'

1'

1

1''

2''

2

再求一般点Ⅰ,Ⅱ

顺次连点画椭圆

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d'

c'

b'

a'

t'

d

c

b''

d''

a''

a

t

t''2'

1'

1

1''

2''

2

圆球截交线 1续

返回

分析轮廓，描深图线

作业中保留作图辅助线

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[例 ] 补画立体的水平投影和侧面投影 .

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截切 :组合回转体

P

圆锥圆柱 1 圆柱 2

双曲线 直线 直线

截面返回

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顶点

纬圆法求一般点

完 返回

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4. 平面与 一般回转面相交

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4-3 —立体与立体相交 相贯

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一、利用积聚性求相贯线

a) 求特殊点 b) 求一般点

12

5

6

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两圆柱相贯的三种形式

相交形式

轴

测

图

投

影

图

两外表面相交 外表面与内表面相交 两内表面表交

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两圆柱相对大小的变化对相贯线的影响

两圆柱直径的关系相贯线特点

轴

测

图

投

影

图

水平圆柱直径较大 两圆柱直径相等 水平圆柱直径较小

上、下两条空间曲线 两个相互垂直的椭圆 左、右两条空间曲线

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两圆柱相对位置的变化对相贯线的影响

两轴线垂直相交两轴线垂直交叉

偏 互两轴线平行

贯 贯

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二、辅助平面法求相贯线[例 ]求圆柱与圆锥的相贯线

a) 求特殊点 b）求一般点，连线，整理图 3.15 圆柱与圆锥相贯举例

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例 4-11 已知圆锥与圆球相贯 ,完成其投影图

PV PV

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[例 ] 求圆柱与球体的相贯线

( )

Wang chenggang

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1

1″2″

4

3″

4″

2′

1′3′

4′

2

3

利用积聚性标出特殊点

利用积聚性标出特殊点

二求三

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顺次光滑连接各点

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可见分界

描深

虚线

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求作相贯线的一般方法及步骤：

(1) 分析立体的构成方式、基本形状、空间位置 (即立体为何种基本几何体，处于空间何种位置 )；

(2) 分析两立体的相对位置及相对大小 (即两立体轴线是否相交、是否垂直，是贯入还是互贯，从而判断相贯线的性质及形状。 )；

(3) 求相贯线上的特殊点 (即轮廓线、转向轮廓线上的共有点及极限位置点 )；

(4) 求相贯线上的一般点 (主要采用辅助平面法 ,求适量的一般点，使相贯线作图准确完整 )；

(5) 判别可见性，顺次光滑连接各交点，即得相贯线的投影。

(6) 补充完成立体上未参与相贯的轮廓线、转向线的投影，整理并完成全图。

小结

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三、 相贯线的特殊情况

相贯线 相贯线相贯线

1. 具有公共回转轴的两回转体相贯——相贯线为垂直于公共 回转轴线的圆

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2. 轴线相互平行的两圆柱相贯，或共锥顶的两圆锥相贯—— 相贯线为直线

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3. 具有公共内切球的两曲面立体相贯—— 相贯线为椭圆

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例 ;:补画穿孔圆柱的水平投影

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例：求圆球的穿孔后的投影

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4-3-3 组合相贯柱球相贯

柱柱相贯

球

柱

柱