第 33讲┃平移与旋转

第 33讲┃ 考点聚焦

考点聚焦考点 1 平移

定义 在平面内，将一个图形沿某个 ________移动一定的 ________，这样的图形移动称为平移

图形平移有两个基本条件

(1)图形平移的方向就是这个图形上的某一点到平移后的图形对应点的方向； (2)图形平移的距离就是连接一对对应点的线段的长度

平移性质

(1)对应线段平行 ( 或共线 ) 且 ________，对应点所连的线段 ____________，图形上的每个

点都沿同一个方向移动了相同的距离(2)对应角分别 ________，且对应角的两边分

别平行、方向一致(3)平移变换后的图形与原图形 ________

方向 距离

相等平行且相等

相等

全等

第 33讲┃ 考点聚焦

考点 2 旋转

定义

在平面内，把一个图形绕着某一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点叫做________，转动的角叫做 ________

图形的旋转有三个基本条件

(1)旋转中心； (2)旋转方向； (3)旋转角度

旋转的性质

(1)对应点到旋转中心的距离 ________(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角

等于 ________(3)旋转前后的图形 ________

旋转中心 旋转角

相等

旋转角全等

第 33讲┃ 归类示例

归类示例► 　类型之一　图形的平移

命题角度：1. 平移的概念；2. 平移前后的两个图形的对应角、对应线段的关系．

C

例 1 [2012·义乌 ]如图 33－ 1，将周长为 8的△ ABC沿 BC方向平移 1个单位得到△ DEF，则四边形 ABFD的周长为 ( 　 　 )A． 6　　B． 8　　C． 10　　D． 12

图 33－ 1

第 33讲┃ 归类示例

[ 解析 ] 将周长为 8 个单位的等边△ ABC沿边BC向右平移 1 个单位得到△DEF，∴ AD＝ 1 ，BF＝ BC＋ CF＝ BC＋ 1 ，DF＝ AC.又∵ AB＋ BC＋ AC＝ 8 ，∴四边形 ABFD的周长＝ AD＋ AB＋ BF＋DF＝ 1 ＋ AB＋ BC＋ 1 ＋ AC＝ 10

第 33讲┃ 归类示例

利用“平移前后的两个图形全等”，“平移前后对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法．

► 　类型之二　　图形的旋转命题角度：1. 旋转的概念；2. 求旋转中心、旋转角；3. 求旋转后图形的位置和点的坐标．

第 33讲┃ 归类示例

例 2 [2012·南充 ] 在 Rt△POQ中，OP＝OQ＝4 ，M 是 PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△ POQ的两直角边分别交于点 A 、 B.

(1)求证：MA＝MB；(2)连接 AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△ AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值？若不存在，请说明理由．

第 33讲┃ 归类示例

图 33－ 2

第 33讲┃ 归类示例

[ 解析 ]　(1) 连接 OM ，证明△ AMO　 BMQ.　△(2)设 OA＝ x ，利用勾股定理列式求出 AB ，再根据二次函数的最值问题求出周长最小时的 x 的值．

第 33讲┃ 归类示例

解：(1)证明：连接 OM.　

∵ △ PQO是等腰三角形且M是斜边 PQ的中点，　

∴ MO＝MQ，∠MOA＝∠MQB＝45° .　

∵ ∠AMO＋∠OMB＝90° ，∠OMB＋∠BMQ＝90° ，　

∴ ∠AMO　＝∠BMQ.　

∴ △ AMO　≌△ BMQ.　

∴ MA＝MB.　

(2)由(1)中△ AMO　≌△ BMQ得 AO＝BQ.　

设 AO＝x，则 OB＝4－x.　

在 Rt△ OAB中，　

AB＝ OA2＋OB2＝ x2＋（4－x）2＝ 2（x－2）2＋8　 .　

　 ∴ 当 x＝2时，AB的最小值为 2 2，　

∴ △ AOB的周长的最小值为 2 2＋4.　

(1)求旋转角时，只要找到一对对应点和旋转中心的夹角即可； (2)旋转不改变图形的大小，旋转前后的两个图形全等．

第 33讲┃ 归类示例

► 类型之三 平移、旋转的作图

第 33讲┃ 归类示例

命题角度：1. 平移作图；2. 旋转作图；3. 平移、旋转的综合作图．

图 33－ 3

(0， 0)

90

例 3[2012· 济宁] 如图 33－3，在平面直角坐标系

中，有一 Rt△ABC，且 A

－1，3，B

－3，－1，C

－3，3，

已知△A1AC1是由△ABC旋转变换得到的．

(1)请写出旋转中心的坐标是 ________，旋转角是________度；

(2)以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转 90° 、180° 的三角形；

(3)设 Rt△ABC两直角边 BC＝a，AC＝b，斜边 AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．

第 33讲┃ 归类示例

　 [ 解析 ]　(1)由图形可知，对应点的连线CC1、 AA1的垂直平分线过点 O，点 O即为旋转中心，再根据网格结构，观察可得旋转角为 90°；(2)利用网格结构，分别找出旋转后对应点的位置，然后顺次连接即可；(3)利用面积，根据正方形 CC1C2C3的面积等于正方形 AA1A2B的面积加上△ ABC的面积的 4倍，列式计算即可得证．

第 33讲┃ 归类示例

解： (1)(0， 0) 90(2) 画出图形如图所示．(3) 由旋转的过程可知，四边形 CC1C2C3 和四边形

AA1A2B 是正方形．∵ S 正方形 CC1C2C3＝ S 正方形 AA1A2B＋

4S ABC,　△ (a∴ ＋ b)2＝ c2＋ 4×0.5ab ，a2＋ 2ab＋ b2＝ c2＋ 2ab ，∴ a2＋ b2＝ c2.

求一个图形旋转后、平移后的图形的某点的坐标，一般应把握三点：一是根据图形平移、旋转的性质；二是利用图形的全等关系；三是点所在象限的符号．

第 33讲┃ 归类示例

第 33讲┃ 回归教材

旋转解全等妙不可言

回归教材

教材母题　人教版九上 P61习题 T10

如图 33－ 4 ，△ ABD，△ AEC都是等边三角形． BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？

图 33－ 4

第 33讲┃ 回归教材

解：∵△ ABD是等边三角形，∴AB＝ AD，∠ BAD＝ 60°.同理 AE＝ AC，∠ EAC＝ 60°.∴以点 A为旋转中心将△ ABE顺时针旋转 60°就得到△ ADC，∴△ABE ADC≌△ ，∴ BE＝ DC.

第 33讲┃ 回归教材

[点析 ]　旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量 (或全等 )关系，或通过旋转 (割补 )图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．

第 33讲┃ 回归教材

中考变式1． [2010·绥化 ]　如图 33－ 5所示，已知△ ABC和

△ DCE均是等边三角形，点 B、 C、 E在同一条直线上， AE与 BD交于点 O， AE与 CD交于点 G， AC与 BD 交于点 F ，连接 OC 、 FG ，则下列结论：① AE＝ BD；② AG＝ BF；③ FG∥BE；④∠ BOC＝∠ EOC，其中正确结论的个数为 ( 　 　 )A． 1　　B． 2　　C． 3　　D． 4

图 33－ 5

D

第 33讲┃ 回归教材

2． [2010·内江 ]　如图 33－ 6，△ ACD和△ BCE都是等腰直角三角形，∠ ACD＝∠ BCE＝ 90°， AE交 DC于 F， BD分别交 CE、 AE于点 G、 H.试猜测线段 AE和 BD的位置和数量关系，并说明理由．

图 33－ 6

第 33讲┃ 回归教材

解：猜测 AE＝ BD， AE⊥BD.　理由如下：∵∠ACD ＝∠ BCE＝ 90° ，∴∠ACD ＋∠ DCE ＝∠ BCE ＋∠ DCE ，即∠ ACE ＝

∠ DCB.∵△ACD 和△ BCE 都是等腰直角三角形，∴ AC＝ DC， CE＝ CB.∴△ACE≌△DCB(SAS) ．∴ AE＝ BD ，∠ CAE ＝∠ CDB.∵∠AFC ＝∠ DFH ，∴∠DHF ＝∠ ACD＝ 90° ，∴AE BD.⊥