Upload
others
View
34
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра прикладной математики и информатики
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Практикум по высшей математике
Самара 2008
Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ
УДК 514.742.2
Векторная алгебра. Практикум по высшей математике. Учебное пособие / Сост.
Е.В. Башкинова, О.С. Афанасьева. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2008. –37 с.
Приведены краткие сведения и формулы по теме «Векторная алгебра», а так же большое
количество примеров. Представлены задачи для самостоятельного решения (группа А и груп-
па В). Примеры группы А предназначены для решения в аудитории, группы В – для самостоя-
тельной внеаудиторной работы. Для самоконтроля все примеры групп А и В приведены с от-ветами. Предназначено для студентов первого курса машиностроительного и физико-
технололического факултетов.
Библиогр.: назв. 4
УДК 514.742.2
Составители: канд. физ.-мат. наук Е.В. Башкинова,
О.С. Афанасьева
Рецензент: канд. физ.-мат. наук В.Н. Маклаков
© Е.В. Башикнова, О.С. Афанасьева,
составление, 2008
© Самарский государственный технический университет, 2008
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый практикум по высшей математике «Векторная ал-
гебра» предназначен для студентов инженерных специальностей фа-
культетов МиАТ и ФТ. Его цель – помочь студентам самостоятельно
или с помощью преподавателя овладеть методами решения задач
векторной алгебры. Каждый раздел соответствует одному практиче-
скому занятию по высшей математике, и в нем приводятся основные
теоретические сведения и необходимые формулы. Внимание уделено
как решению типовых задач по данной тематике, так и примерам для
самостоятельной работы.
В пособии использована сквозная нумерация задач. По каждой
теме предлагаются задачи для разбора и решения их в аудитории
(часть А), а также задачи для самостоятельного решения (часть Б).
Задачи расположены по мере возрастания их сложности. Ко всем за-
дачам приведены ответы. В заключении приведен тренировочный
тест для проверки знаний учащихся по данной теме.
4
1. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
1.1. Основные сведения о векторах
Вектором называется направленный отрезок AB с начальной
точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать парал-
лельно самому себе).
Вектор обозначается двумя точками AB или
одной маленькой буквой a (рис.1).
Координаты вектора AB , заданного двумя точ-
ками 1 1 1; ;A x y z и
2 2 2; ;B x y z в декартовой сис-
теме координат, вычисляются по формуле:
2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1; ; ; ; ; ;AB x y z x y z x x y y z z .
Длиной (или модулем) вектора AB называет-
ся число, равное длине отрезка AB : 2 2 2
2 1 2 1 2 1AB x x y y z z .
Для вектора, заданного в виде ; ;x y za a a a , модуль имеет вид:
22 2
x y za a a a .
Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называ-
ется нулевым вектором и обозначается 0 AА .
Вектор AB называется единичным вектором или ортом, если
длина вектора 1AB .
Единичный вектор можно получить из любого ненулевого век-
тора a по следующему правилу: a
a.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных пря-
мых, называются коллинеарными.
Несколько векторов называются компланарными, если сущест-
вует плоскость, параллельная всем прямым, на которых эти вектора
расположены.
А
В
a
Р и с. 1
5
Вектор ; ;x y za a a a , заданный в координатном пространстве
Oxyz, может быть представлен в виде x y za a i a j a k . Такое
представление называется разложением вектора по осям коорди-
нат (или разложением по ортам).
Векторы i, j,k – орты координатных
осей Ox, Oy, Oz, т.е. это единичные
векторы ( 1i j k ), направление
каждого из которых совпадает с поло-
жительным направлением соответст-
вующей оси: 1;0;0i , 0;1;0j ,
0;0;1k (рис. 2).
1.2. Основные операции над векторами
Пусть заданы два вектора ; ;x y za a a a и ; ;x y zb b b b .
Сумма векторов ; ;x x y y z za b a b a b a b определяется по
правилу параллелограмма (рис. 3) или по правилу треугольника
(рис. 4).
Произведением вектора a на действительное число k назы-
вается вектор ; ;x y zka ka ka ka , имеющий длину ka k a , на-
правление которого совпадает с направлением вектора a , если
0k , и противоположно ему, если 0k .
Противоположным вектором -a называется произведение
вектора a на число (–1), т.е. 1a= a .
Разностью двух векторов a и b ; ;x x y y z za b a b a b a b
называется сумма вектора a и вектора b , противоположного b
(рис. 5).
a
b
a + b
Р и с. 3
a
b
a + b
Р и с. 4
b
a
a - b
Р и с. 5
i
j y
z
x
k
Р и с. 2
6
Проекциями вектора a на координатные оси Ox, Oy, Oz на-
зывают координаты вектора: cos ,xa a cos ,ya a cosza a
(рис. 6), где cos , cos , cos – направляющие косинусы вектора;
, , – углы между вектором a и осями координат Ox, Oy, Oz
(рис. 6).
Для направляющих косинусов
выполняется равенство: 2 2 2cos cos cos 1,
где cos , cos ,cosyx z
aa a
a a a.
Проекцией вектора a на век-
тор b называется число
cosb
пр a a a b .
1.3. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число,
равное произведению модулей векторов, умноженное на косинус уг-
ла между векторами:
cosa b a b a b
Свойства скалярного произведения:
1) a ba b a пр b b пр a ;
2) если a b , то 0a b (условие ортогональности векторов);
3) 2
a a a (так называемый квадрат вектора 22a a );
4) a b b a (переместительный закон);
5) 1i i j j k k , 0i j i k j k ;
6) x x y y z za b a b a b a b ;
7) 2 22 2 2 2
cosx x y y z z
x y z x y z
a b a b a ba ba b
a b a a a b b b
;
8) a b c a c b c (распределительный закон);
za
ya
xa
a
z
y
x
Р и с. 6
7
9) работа силы F на прямолинейном участке l : A F l .
1.4. Условие коллинеарности векторов
Два вектора ; ;x y za a a a и ; ;x y zb b b b будут коллинеарными,
(обозначается a b ), если выполняется условие yx z
x y z
aa a
b b b.
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1.1. Вычислить 2a b , если 3; 4;1a , 1;0;5b .
Решение. 2 2 3; 4;1 6; 8;2a ,
2 6; 8;2 1;0;5 6 1 ; 8 0; 2 5 7; 8; 3a b ,
2 2 22 2 22 7 8 3 49 64 9 122a b x y z .
Ответ: 122 .
Пример 1.2. Найти проекцию вектора AB на ось Oz, если
3;4;1A , 1; 3;5B .
Решение. Проекцией вектора AB на ось Oz (или вектор k ), яв-
ляется координата z данного вектора, поэтому
5 1 4Oz kпр AB пр AB .
Ответ: 4.
Пример 1.3. Найти координаты точки B, если 8; 2; 5CB и
3; 2; 1C .
Решение. CB : С – начало вектора, В – конец вектора, поэтому
; ; 3; 2; 1 8; 2; 5B C B C B C B B BCB x x y y z z x y z .
Далее 3 8Bx , 2 2By , 1 5Bz ;
11Bx , 0By , 4Bz .
Ответ: В (11; 0; 4).
8
Пример 1.4. Вектор составляет с осями Ох и Oz углы 30о и 60
о,
найти угол с осью Оу.
Решение. Дано =30о , =60
о. Используя свойства направляю-
щих косинусов 2 2 2cos cos cos 1, получим 2 2
2 2 2 3 1 3 1cos 1 cos cos 1 1 0
2 2 4 4,
2cos 0 и =90о.
Ответ: =90о.
Пример 1.5. Найти a b , если 12a , 4b , 3a b .
Решение. Определим 2
2 22a b a b a b a a b b .
Для этого надо найти 2 2,2 ,a a b b . Имеем
2 22 12 144a a ,
2 22 4 16b b , из 2
2 22a b a b a b a a b b .
Подставим исходные данные 23 144 2 16a b , 2 151a b , полу-
чим 2
2 2a b a a b 2b 144 151 16 311, 311a b .
Ответ: 311a b .
Пример 1.6. Найти орт вектора 3;0; 4a .
Решение. Орт – это единичный вектор, с координатами
cos ;cos ;cos ; ;yx z
aa a
a a a. Находя
2 2 2 9 0 16 25 5a x y z ,
получим координаты орта: 0
3 4; ; ;0;
5 5
yx zaa a
aa a a
.
Ответ: 0
3 4;0;
5 5a .
9
Пример 1.7. Дано 5c , 6d , а угол между векторами c и d
равен 60о. Найти c d .
Решение. Используя определение скалярного произведения, по-
лучим 1
cos 5 6 cos60 30 152
oc d c d c d .
Ответ: 15c d .
Пример 1.8. Даны векторы 3; 4;1a , 1;0;2b . Найти
1) a b ; 2) 2b ; 3) 2 3a b a b .
Решение. 1) По свойству 6 скалярного произведения (стр. 3)
имеем:
x x y y z za b a b a b a b 3 1 4 0 1 2 3 2 1.
2) По свойству 3 скалярного произведения имеем: 2
2b b b b ,
1 0 4 5b , 22
2 5 5b b .
3) Способ 1. Найдем
2 2 3; 4;1 1;0;2 6; 8;2 1;0;2 7; 8;0a b ;
3 3; 4;1 3 1;0;2 3; 4;1 3;0;6 0; 4;7a b ;
2 3 7; 8;0 0; 4;7 7 0 8 4 0 7 32a b a b .
Способ 2. Используя свойство 8 скалярного произведения, рас-
кроем скобки: 2 22 3 2 2 3 3 2 6 3a b a b a a a b b a b b a a b b a b .
По свойству 4 скалярного произведения имеем a b b a . Следова-
тельно, 2 22 3 2 5 3a b a b a a b b . Подставляя 1a b ,
2 5b в последнее выражение, найдем 2
22 2 2 2a a x y z
9 16 1 26 и окончательно получим: 2 22 3 2 5 3 2 26 5 1 3 5 32a b a b a a b b .
10
Ответ: 1) 1a b ; 2) 2 5b ; 3) 2 3 32a b a b .
Пример 1.9. Найти проекцию вектора a b на направление
вектора c , если 3;2;0a , 1;1;3b , 3; 2;1c .
Решение. Введем обозначение d a b и найдем
3;2;0 1;1;3 3 1;2 1;0 3 2;3;3d . По определению
проекции имеем cosc cпр a b пр d d d c . Используя свойст-
во 7 скалярного произведения cosd c
d cd c
, получим
c
d c d cпр a b d
cd c 22 2
2 3 3 2 3 1 6 6 3 3
9 4 1 143 2 1
.
Ответ: 3
14cпр a b .
Пример 1.10. Найти значение t, при котором векторы 4;2;a t
и 1;1;2b ортогональны.
Решение. Векторы будут ортогональны, если выполняется ра-
венство 0a b (свойство 2 скалярного произведения). Найдем
4;2; 1;1;2 4 1 2 1 2 4 2 2 6 2a b t t t t .
Решаем уравнение 6
6 2 0 32
t t .
Ответ: 3t .
Пример 1.11. Даны три силы 1 2; 2;3F , 2 0;3; 1F ,
3 4;5;3F , приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу
производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения
движется прямолинейно из положения 0;1; 1А в положение
4;5;3В .
11
Решение. Работа силы F на перемещение l находится по фор-
муле A F l . Найдем равнодействующую сил:
1 2 3 2 0 4; 2 3 5; 3 1 3 2; 6; 5F F F F .
Определим вектор перемещения:
4;5;3 0;1; 1 4;4;4l АВ .
В итоге имеем:
2; 6; 5 4;4;4 2 4 6 4 5 4 36A F l .
Ответ: 36А .
Пример 1.12. Даны вершины треугольника 2;5;3А ,
3;0; 1В , 4;3; 1С . Определить внутренний угол треуголь-
ника при вершине С.
Решение. Искомый угол находится между
векторами СА и СВ , выходящими из вершины С
(из рис. 7 видно, что если неверно выбрать одно
из направлений векторов, то можно ошибочно
найти смежный угол с внутренним). Найдем эти
векторы:
2;5;3 4;3; 1 6;2;4СА ;
3;0; 1 4;3; 1 1; 3;0СВ .
Угол между векторами находится с помощью формулы свойство
7 скалярного произведения: cosCA CB
CCA CB
. Имеем
6;2;4 1; 3;0 6 6 0 0CA CB , откуда
cos 0CA CB
CCA CB
090C – треугольник прямоугольный.
Ответ: внутренний угол треугольника при вершине С равен 90о.
Пример 1.13. Найти значения и , при котором векторы
4 2a i j k и 2b i j k коллинеарны.
С
А
В
Р и с. 7
12
Решение. Из условия коллинераности yx z
x y z
aa a
b b b получаем
4 2
1 2. Составляя уравнения
4 2
1 и
2
1 2, найдем 2 и
4 .
Ответ: 2 , 4 .
Задания для самостоятельного решения по теме
«Векторы. Линейные операции над векторами.
Скалярное произведение векторов»
Группа А
1.А. Вычислить модуль вектора AB , если
А(3; –1; –1), В(–7; –11; 4).
Ответ: AB =15.
2.А. По заданному a =9 и a (7; –4; z), найти координату z.
Ответ: z= 4.
3.А. Найти координаты вектора a , если 3 2a и углы между
вектором и осями координат =45о, =90
о, а – неизвестен.
Ответ: =45о(или =135
о), a =(3; 0; 3).
4.А. Вычислить направляющие косинусы вектора a (5; –12; 0).
Ответ: cos 5/13 , cos 12/13 , cos 0 .
5.А. Найти орт вектора a (8; –9; 12).
Ответ: 0
8 9 12; ;
17 17 17a .
6.А. Проверить коллинеарность векторов АB и СD , если
2; 5;1А , 3;0; 1В , 4;2; 1С , 6;12; 5D .
7.А. Даны вектора 2; 3; 1a , 5;1; 1b . Определить проекции
векторов 2a b и 1
32
a b на координатные оси.
Ответ: 1) (12; –1;–3); 2) (3,5; –9,5; –2,5).
8.А. Даны вершины треугольника 2;5;3А , 2;5; 1В ,
4;3; 1С . Определить длину медианы AK.
Указание. Координаты середины отрезка находятся по формулам
13
1 2 1 2 1 2; ;2 2 2
x x y y z zx y z .
Ответ: 42АK .
9.А. Найти 2a b , если 4a , 4b , 3 8a b .
Ответ: 2a b =4.
10.А. Векторы c и d образуют угол 2
3, 2c , 7d . Найти:
1) c d ; 2) 2c ; 3) 2
2c d ; 4) 2 3c d c d .
Ответ: 1) 7c d ; 2) 2 4c ; 3) 2
2 93c d ;
4) 2 3 146c d c d .
11.А. Даны векторы 9c , 4d , угол между векторами 60о.
Найти c d и c d .
Ответ: 133c d , 61c d .
12.А. Даны векторы 1; 4;2a , 1;0; 5b . Найти
1) a b ; 2) 2b ; 3) 2a b a b .
Ответ: 1) 11a b ; 2) 2 26b ; 3) 2 5a b a b .
13.А. Вычислить работу силы 2;3;1F , когда ее точка при-
ложения перемещается из начала в конец вектора l (4; 7; 9).
Ответ: А=22.
14.А. Даны вершины четырехугольника A(1; –2; 2), B(1; 4; 0),
C(–4; 1;1), D(–5; –5;3). Доказать, что его диагонали взаимно перпен-
дикулярны.
15.А. Определить при каком векторы 2 3a i j k и
4 6b i j k взаимно перпендикулярны.
Ответ: =11.
16.А. Найти косинус угла между векторами 3; 6;2a ,
1;0; 5b .
14
Ответ: 1
cos26
a b .
17.А. Даны вершины треугольника 2;5;3А , 3;0; 2В ,
4;3; 1С . Определить внутренний угол при вершине А.
Ответ:6
cos7
A .
18.А. Вычислить проекцию вектора 1;0; 5b на ось вектора
3; 6;2a .
Ответ: 1aпр b .
19.А. Определить будут ли векторы 2 3a i j k и
8 4 12b i j k коллинеарными.
Задания для самостоятельного решения по теме
«Векторы. Линейные операции над векторами.
Скалярное произведение векторов»
Группа В
1.В. Вычислить проекцию вектора 1;0; 5b на ось, состав-
ляющую одинаковые углы с координатными осями Ox, Oy, Oz.
Ответ: 2 3 .
2.В. Найти 2 22 4a a b b , если 2;1; 1a , 0;4; 3b .
Ответ: 2 22 4 105a a b b .
3.В. Векторы 2c , 1d , образуют угол 45о. Вычислить ко-
синус угла между векторами p c d и q c d .
Ответ: 1
5.
4.В. Даны три силы 1 1; 3;5F , 2 2; 3;1F ,
3 7; 3; 5F , приложенные к одной точке. Вычислить работу
равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения движется
прямолинейно из положения 3; 1; 2C в положение 1;0;7D .
Ответ: А=8.
15
5.В. Даны три вектора 2 5 4a i j k , 5 2 7b i j k и
4 3c j k . Вычислить: 1)спр а b , 2)
b спр а .
Ответ: 1) 21
5, 2)
56
77.
6.В. Даны вершины параллелограмма 1; 2;2А , 1;4;0В ,
4;1;1С . Найти координаты точки D и угол между диагоналя-
ми параллелограмма AC и BD.
Ответ: D (–4;–5; 3), 1
cos161
.
7.В. Даны вершины треугольника 2;0;3А , 3;0; 1В ,
2;3;1С . Определить внешний угол при вершине В.
Ответ: 13
cos574
.
8.В. Найти значения s и t, при котором векторы 5 4a si j k
и 10b i j tk коллинеарны.
Ответ: 1
, 82
s t .
9.В. Найти значение k, при котором векторы 7 8a ki j k и
10 5b i j k ортогональны.
Ответ: k=30.
10.В. Вектор x коллинеарен вектору 3 4 12a i j k , образует
острый угол с осью Оу. Зная, что 39x , найти его координаты.
Ответ: 9;12; 36 .
16
2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
2.1. Определение векторного произведения
Векторы a , b и c называются компланарными, если они лежат
в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой
из них считается первым, какой – вторым, какой – третьим. Напри-
мер, в записи , ,a b c вектор a считается первым, b – вторым, c –
третьим; в записи , ,b c a вектор b – первый, c – второй, a – тре-
тий.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется
правой, если после приведения их к общему началу из конца третье-
го вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совер-
шающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка на-
зывается левой.
Определение. Векторным произведением вектора a на вектор
b называется вектор a b , который
определяется тремя условиями:
1) длина вектора a b равна
sina b , где – угол между век-
торами a и b , т.е. a b численно
равен площади параллелограмма,
построенного на векторах a и b ;
2) вектор a b перпендикуля-
рен каждому из векторов a и b ;
3) векторы a , b , a b образуют правую тройку векторов
(рис. 8).
2.2. Основные свойства векторного произведения
1. Если a и b – коллинеарные векторы, то 0a b 0a a .
S a
b
φ
900
900
a b
Р и с. 8
17
2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов a и
b равна площади S параллелограмма, построенного на этих векто-
рах (рис. 8)
S a b .
Отсюда, площадь треугольника
1
2S a b .
3. a b b a (свойство антикоммутативности).
4. a b a b (свойство сочетательности по отношению к
скалярному множителю).
5. a b c a c b c (свойство распределительности отно-
сительно суммы векторов).
6. Момент силы: M r F , где r – радиус-вектор точки, F –
сила, приложенная к точке.
2.3. Выражение векторного произведения
через координаты векторов
Т е о р е м а. Если векторы a и b заданы своими координатами
1 1 1; ;a X Y Z , 2 2 2; ;b X Y Z , то векторное произведение вектора a
на вектор b определяется формулой
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1; ;a b Y Z Y Z Z X Z X X Y X Y .
Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно за-
писать в виде
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
; ;Y Z X Z X Y
a bY Z X Z X Y
,
или через символический определитель третьего порядка:
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
i j kY Z X Z X Y
a b X Y Z i j kY Z X Z X Y
X Y Z
.
18
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 2.1. Даны 10a , 2b , 12a b . Вычислить a b .
Решение. Используя формулы cosab
a b и 2 2sin cos 1 ,
где – угол между векторами a и b , найдем sin 0 :
12 3cos
2 10 5,
23 4
sin 15 5
.
Тогда по определению векторного произведения имеем
4sin 10 2 16
5a b a b .
Ответ: 16a b .
Пример 2.2. Векторы a и b образуют угол 2
3. Зная, что
1a , 2b , вычислить:
1) 2
a b ; 2) 2
2 2a b a b .
Решение. 1) По определению векторного произведения: 22
2 21 2 sin 2 sin
3 3a b
2
2 sin3
2
32 3
2.
2) Используя свойства 1, 3 и определение векторного произведе-
ния, найдем
2 2 2 2 2 2a b a b a a a b b a b b
4 3a b a b a b ,
откуда 2
2 23 3 1 2 sin 27
3a b .
19
Ответ: 1) 3; 2) 27.
Пример 2.3. Даны точки 2; 1;2A , 1;2; 1B и 3;2;1C . Най-
ти координаты векторных произведений:
1) AB BC ; 2) 2BC CA CB .
Решение. Найдем координаты векторов AB , BC , CA , CB :
1 2; 2 1 ; 1 2 1;3; 3AB ;
2;0;2BC ; 1; 3;1CA ; 2;0; 2CB .
1) 3 3 1 3 1 3
1 3 30 2 2 2 2 0
2 0 2
i j k
AB BC i j k
6 4 6i j k ;
2) 2 2; 6;2CA ; 2 4;6;0BC CA ;
6 0 4 02 4 6 0
0 2 2 22 0 2
i j k
BC CA CB i j
4 612 8 12
2 0k i j k .
Ответ: 1) 6 4 6i j k ; 2) 12 8 12i j k .
Пример 2.4. Векторы a и b составляют угол 450. Найти пло-
щадь треугольника, построенного на векторах 2a b и 3 2a b , если
5a b .
Решение. Найдем векторное произведение вектора 2a b на век-
тор 3 2a b :
2 3 2 3 2 2 3 2 2a b a b a a a b b a b b 8a b .
Так как по условию задачи известны длины векторов a , b и
угол между ними, вычислим площадь треугольника, построенного на
этих векторах. Итак,
20
01 1 1sin 8 5 5 sin 45 50 2
2 2 2S a b a b .
Ответ: 50 2 .
Пример 2.5. Вычислить длины диагоналей и площадь параллело-
грамма, построенного на векторах a k j и b i j k .
Решение. Как видно из рис. 9
1 2d a b i k ,
2 2d b a i j .
Найдем длины диагоналей:
2 2
1 1 2 5d ,
2 2
2 1 2 5d .
Зная свойство 2 векторного произведения, найдем площадь па-
раллелограмма, построенного на векторах a и b :
2 2 20 1 1 2 2 1 1 6
1 1 1
i j k
S a b i j k .
Ответ: 6 , 1 2 5d d .
Пример 2.6. Сила 3;2; 4F приложена к точке 2; 1;1A .
Определить моменты этой силы относительно начала координат.
Решение. Момент силы F относительно точки O задается век-
тором OA F .
Найдем координаты вектора 2; 1;1OA . Тогда момент силы
F относительно точки O :
2 1 1 2 11 7
3 2 4
i j k
M OA F i j k .
Ответ: 2 11 7i j k .
a
b
1d 2d
Р и с. 9
21
Задания для самостоятельного решения
по теме «Векторное произведение»
Группа А
1А. Даны векторы 2;5;7a и 1;2;4b . Найти координаты
X , Y , Z векторного произведения a b .
Ответ: 6; 1; 1 .
2А. Определить и построить вектор a b , если: 1) 3a i ,
2b k ; 2) a i j , b i j ; 3) 2 3a i j , 3 2b j k . Найти в
каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах
a и b .
Ответ: a b равно: 1) 6 j ; 2) 2k ; 3) 6 4 6i j k . Площадь
равна: 1) 6; 2) 2; 3) 2 22 .
3А. Даны векторы 2; 3;1a , 3;1;2b и 1;2;3c . Вы-
числить a b c и a b c .
Ответ: 7;14; 7a b c ; 10;13;19a b c .
4А. Вычислить площадь треугольника с вершинами 7;3;4A ,
1;0;6B и 4;5; 2C .
Ответ: 24,5.
5А. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
2a m n и 2a m n , где m и n – единичные векторы, образую-
щие угол 030 .
Ответ: 1,5.
6А. Сила 2; 4;5F приложена к точке 4; 2;3M . Опреде-
лить момент этой силы относительно точки 3;2; 1A .
Ответ: 4;3;4 .
22
Задания для самостоятельного решения
по теме «Векторное произведение»
Группа В
1В. Даны векторы 3; 1; 2a и 1;2; 1b . Найти координа-
ты векторных произведений: 1) a b ; 2) 2a b b ; 3) 2a b
2a b .
Ответ: 1) 5;1;7 ; 2) 10;2;14 ; 3) 20;4;28 .
2В. Построить треугольник с вершинами 1; 2;8A , 0;0;4B и
6;2;0C . Вычислить его площадь и высоту BD .
Ответ: 2 21
7 5;3
S BD .
3В. Вектор x , перпендикулярный к векторам 4; 2; 3a и
0;1;3b , образует с осью Oy тупой угол. Зная, что 26x , найти
его координаты.
Ответ: 6 24 8x i j k .
4В. Вычислить синус угла , образованного векторами
2; 2;1a и 2;3;6b .
Ответ: 5 17
sin21
.
5В. Построить параллелограмм на векторах 2a j k и
2b i k и вычислить его площадь и высоту.
Ответ: 21; 4,2S h .
6В. Сила 3;4; 2F приложена к точке 2; 1; 2C . Опреде-
лить величину и направляющие косинусы момента этой силы отно-
сительно начала координат.
Ответ: 15; 2 2 11
cos ; cos ; cos3 15 15
.
23
3. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
3.1. Определение и геометрический смысл смешанного произведения
Определение. Смешанным произведением трех векторов a , b ,
c называется число, равное скалярному произведению вектора a на
векторное произведение векторов b и c , т.е.
a b c .
Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанно-
го произведения.
Т е о р е м а 3.1. Смешанное произведение a b c равно объе-
му V параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , взятому
со знаком «+», если тройка a , b , c – правая, со знаком «–», если
тройка a , b , c – левая. Если же a , b , c компланарны, то
0a b c .
Следствие. Из теоремы выводится тождество
a b c a b c , (3.1)
т.е. знаки « » и « » в смешанном произведении можно менять мес-
тами.
В силу тождества (3.1) смешанные произведения a b c и
a b c можно обозначить более простым символом abc .
3.2. Выражение смешанного произведения
через координаты векторов
Т е о р е м а 3.2. Если векторы a , b , c заданы своими коорди-
натами:
1 1 1, ,a X Y Z , 2 2 2, ,b X Y Z , 3 3 3, ,c X Y Z ,
то смешанное произведение abc определяется формулой
1 1 1
2 2 2
3 3 3
X Y Z
abc X Y Z
X Y Z
. (3.2)
24
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 3.1. Найти смешанное произведение векторов
2; 1; 1a , 1;3; 1b , и 1;1;4c .
Решение. По формуле (3.2) находим
2 1 1
1 3 1 24 1 1 3 4 2 33
1 1 4
abc .
Ответ: 33.
Пример 3.2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами
2;2;2A , 4;3;3B , 4;5;4C и 5;5;6D .
Решение. На рис. 10 схематично
изображена пирамида ABCD . Объем
пирамиды V равен 1
6 объема паралле-
лепипеда, построенного на векторах
AB , AC и AD ; отсюда из теоремы 3.1
заключаем, что V равен 1
6 абсолютной
величины смешанного произведения
AB AC AD . Найдем координаты век-
торов AB , AC и AD , совпадающих с
ребрами пирамиды:
2;1;1AB ; 2;3;2AC , 3;3;4AD .
По формуле (3.2) находим смешанное произведение векторов
AB , AC и AD :
AB AC
2 1 1
2 3 2 7
3 3 4
AD ,
итак, 1 7
76 6
V .
A
B
D
C
Р и с. 10
25
Ответ: 7
6V .
Пример 3.3. Показать, что векторы 3 2a i j k ,
2 3 4b i j k , 3 12 6c i j k компланарны, и разложить век-
тор c по векторам a и b .
Решение. Из теоремы 3.1 известно, что для компланарных векто-
ров смешанное произведение равно нулю. Найдем смешанное произ-
ведение векторов a , b , c по формуле (3.2):
1 3 2
2 3 4 18 48 36 18 36 48 0
3 12 6
abc .
Смешанное произведение 0abc , следовательно, векторы ком-
планарны.
Разложение вектора c по векторам a и b можно записать в сле-
дующем виде:
, ,c a b R .
Подставляя координаты векторов a , b , c в последнюю формулу и
записывая полученное векторное равенство в координатной форме,
получим следующую систему уравнений:
3;12;6 1;3;2 2; 3; 4 .
Решим ее относительно и :
2 3;4; 4; 5;
3 3 12;2 3; 4 2 3; 1.
2 4 6;
Тогда разложение вектора c по векторам a и b имеет вид:
5c a b .
Ответ: векторы компланары; 5c a b .
26
Задания для самостоятельного решения
по теме «Смешанное произведение трех векторов»
Группа А
1А. Найти смешанное произведение векторов 1; 1;1a ,
1;1;1b и 2;3;4c .
Ответ: 4.
2А. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами 0;0;1A ,
2;3;5B , 6;2;3C и 3;7;2D .
Ответ: 20.
3А. Определить, какой является тройка a , b , c (правой или ле-
вой), если:
1) a k , b i , c j ; 2) a i , b k , c j ; 3) a i j ,
b i j , c j .
Ответ: 1) правая; 2) левая; 3) векторы компланарны.
4А. Векторы a , b , c , образующие правую тройку, взаимно пер-
пендикулярны. Зная, что 4a , 2b , 3c , вычислить a b c .
Ответ: 24.
5А. Построить векторы 4a i j k , 2b i j и
3 3 4c i j k , показать, что они компланарны, и разложить вектор
c по векторам a и b .
Ответ: векторы компланарны; 2c a b .
27
Задания для самостоятельного решения
по теме «Смешанное произведение трех векторов»
Группа В
1В. Построить пирамиду с вершинами 2;0;0A , 0;3;0B ,
0;0;6C и 2;3;8D . Вычислить ее объем, площадь грани ABC и
высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
Ответ: 14V , 3 14S , 14h .
2В. Показать, что точки 2; 1; 2A , 1;2;1B , 2;3;0C и
5;0; 6D лежат в одной плоскости.
3В. Построить параллелепипед на векторах 3 4a i j ,
3b j k , 2 5c j k и вычислить его объем. Правой или левой
будет связка векторов a , b , c ?
Ответ: 51, левая.
4В. Вектор c перпендикулярен векторам a и b , угол между a и
b равен 300. Зная, что 6a , 3b , 3c , вычислить a b c .
Ответ: 27.
5В. Объем тетраэдра 5V , три его вершины находятся в точках
2;1; 1A , 3;0;1B , 2; 1;3C . Найти координаты четвертой вер-
шины D , если известно, что она лежит на оси Oy .
Ответ: 1 0;8;0D ;
2 0; 7;0D .
4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА
ПО БАЗИСУ
4.1. Понятие о линейном пространстве
Рассмотрим некоторое множество L, составленное из элементов
x, y, z, …, которые мы условимся называть векторами.
28
Множество L называется линейным пространством, если вы-
полняются следующие три группы условий (аксиом).
1. Любым векторам x, y L сопоставлен вектор z L , называе-
мый суммой векторов x и y (обозначается z x y ); при этом имеют
место аксиомы сложения:
1) x y y x (коммутативность);
2) ( ) ( )x y z x y z (ассоциативность);
3) : , (L x x x L называется нулевым элемен-
том);
4) :x L y L x y (в этом случае y называется про-
тивоположным элементом по отношению к x).
2. Для любого x L и любого R определено произведение
x вектора на число, при этом выполняются следующие аксиомы
умножения на число:
1) 1 ( )x x x L ;
2) 1 2 1 2 1 2( ) , , ,x x x L R .
3. Относительно указанных действий имеют следующие аксио-
мы дистрибутивности:
1) 1 2 1 2( )x x x ;
2) ( ) .x y x y
4.2. Линейная независимость системы векторов
Рассмотрим линейную комбинацию векторов 1 2, , , :nx x x L
1 1 2 2
1
( ).n
n n i i i
i
x x x x R
Векторы 1 2, , , nx x x называются линейно независимыми, если ра-
венство
1
n
i i
i
x (4.1)
выполняется лишь при условии 1 2 0.n
Если равенство (4.1) выполняется, когда хотя бы один из коэффи-
циентов i отличен от нуля, то система векторов называется линей-
но зависимой.
29
Т е о р е м а 4.1. Если в систему векторов входит нулевой вектор,
то эта система векторов линейно зависима.
Т е о р е м а 4.2. Для того чтобы система векторов была линейно
зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векто-
ров являлся линейной комбинацией остальных.
4.3. Базис и размерность линейного пространства
Упорядоченная система п линейно независимых векторов
1 2, , , ne e e называется базисом в линейном пространстве L, если
любой вектор x L является их линейной комбинацией, т.е. Lx
справедливо представление вида
1 1 2 2 n nx e e e (4.2)
Числа 1 2, , , n в разложении (4.2) называются координата-
ми вектора х в базисе 1 2, , , ne e e . Записывают
1 2, , , nx .
Соотношение (4.2) – разложение вектора х по базису 1 2, , , ne e e .
Таким образом, при наличии базиса произвольное линейное
пространство может рассматриваться как п-мерное пространство nR .
Т е о р е м а 4.3. Координаты вектора в заданном базисе опреде-
ляются однозначно.
Размерностью линейного пространства L называется такое
число n N , что в L существует п линейно независимых векторов, а
любые п + 1 векторов являются линейно зависимыми.
Иными словами, размерность пространства – это максимальное
число линейно независимых векторов в этом пространстве.
Следующие теоремы связывают понятия базиса и размерности.
Т е о р е м а 4.4. В линейном пространстве L размерности п су-
ществует базис, содержащий ровно п векторов.
Т е о р е м а 4.5. Если в линейном пространстве L существует
базис, то размерность L равна числу базисных векторов.
4.4. Евклидово пространство
Линейное пространство, в котором определено скалярное произ-
ведение векторов, называется евклидовым пространством.
Величина
,x x x
30
называется модулем (длиной) вектора x в евклидовом пространстве.
Если 1x , то x называется нормированным (единичным).
Всякий ненулевой вектор x можно нормировать следующим об-
разом: x
x.
Углом между векторами x и y в евклидовом пространстве на-
зывают число , удовлетворяющее условию:
,cos
x y
x y.
Векторы x и y называются ортогональными тогда и только то-
гда, когда , 0x y .
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 4.1. Выяснить, является ли система векторов
3 4a i j k , 3 5 6b i j k и 2 2 10с i j k линейно зави-
симой.
Решение.
Векторное равенство
1; 3;4 3;5;6 2;2;10a b c
3 2 ; 3 5 2 ;4 6 10
равносильно совокупности следующих числовых равенств:
3 2 0,
3 5 2 0,
4 6 10 0.
Найдем главный определитель этой однородной системы урав-
нений относительно , , :
1 3 2
3 5 2 50 36 24 40 12 90 152 0
4 6 10
.
Поскольку главный определитель однородной системы не равен
нулю, то система имеет нулевое решение.
31
Следовательно 0 , а это означает, что система векто-
ров , ,a b c линейно независима.
Ответ: система векторов линейно независима.
Пример 4.2. В двумерном пространстве показать, что вектора
1 2;3a и 2 2;4a образуют базис, и найти координаты вектора
6;3b в этом базисе.
Решение. Проверим, что векторы 1 2;3a и
2 2;4a линейно не-
зависимы. Составим линейную комбинацию:
1 2 2;3 2;4 2 2 ;3 4a a = .
Вычислим главный определитель этой системы:
2 28 6 2 0
3 4.
Векторное равенство равносильно двум скалярным
2 2 0,
3 4 0.
Векторы 1 2,a a линейно независимы и, значит, образуют базис.
Найдем координаты вектора ;b в новом базисе 1 2,a a . Составим
векторное уравнение 2;3 2;4b 2 2 ;3 4
6;3 . Записывая его по координатам, получим систему уравнений
2 2 6,
3 4 3,
решая которую, находим 9, 6
Ответ: 1 29 6b a a .
Пример 4.3. Является ли линейным пространством множество
систем четырех действительных чисел 1 2; ;0;0 ,
1 2; ;0;0 ,
1 2; ;0;0 , где 1 2 1 2 1 2, , , , , – всевозможные действительные
числа? Сумма двух элементов определятся равенством
1 1 2 2; ;0;0 , а произведение любого элемента на любое число
– равенством 1 2 1 2; ;0;0 ; ;0;0 .
32
Решение. Обозначим 1 2; ;0;0x ,
1 2; ;0;0y ,
1 2; ;0;0z . Проверим выполнимость аксиом, определяющих ли-
нейное пространство.
1. 1 1 2 2; ;0;0x y ,
1 1 2 2; ;0;0y x
y x x y . Аналогично видно, что y z z y и z x x z .
2. 1 1 2 2; ;0;0x y и
1 1 2 2; ;0;0y z
1 1 1 2 2 2; ;0;0x y z ,
1 1 1 2 2 2; ;0;0x y z x y z x y z
3. Нуль элементом является 0;0;0;00 получим
1 2 1 20; 0;0;0 ; ;0;0+0x x .
4. Элемент 1 2; ;0;0 является противоположным элементу
1 2; ;0;0 , так как 1 2; ;0;0 +
1 2; ;0;0 = 0;0;0;0 0 .
5. 1 21 1 ;1 ;0;0x x .
6. 1 2 1 2; ;0;0 ; ;0;0x x .
7. 1 2; ;0;0x
1 1 2 2; ;0;0 1 2 1 2; ;0;0 ; ;0;0 x + x .
8. 1 1 2 2 1 2 1 2; ;0;0 ; ;0;0 ; ;0;0x y
= x y .
Все свойства линейного пространства для заданного множества
выполняются, следовательно, данное множество является линейным.
Ответ: множество систем четырех действительных чисел явля-
ется линейным пространством.
Пример 4.4. Векторы 1 2 3 4 5, , , ,e e e e e образуют ортонормирован-
ный базис. Найти скалярное произведение и длины векторов
1 2 52x e e e , 2 3 4 53 2y e e e e .
Решение. По определению скалярного произведения имеем 5
1
1; 2;0;0;1 0;3;1; 1;2i i
i
x y x y
1 0 2 3 0 1 0 1 1 2 4 .
Найдем длины векторов:
33
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 1 4 0 0 1 6x x x x x x ,
0 9 1 1 4 15y .
Ответ: 4x y , 6x , 15y .
Пример 4.5. Рассматривается линейное пространство много-
членов не выше второй степени. Доказать, что векторы 2
1 1 2 3p t t , 2
2 2 3 4p t t и 2
3 3 5 7p t t линейно зависимы.
Решение.
Составим линейную комбинацию векторов и приравняем к мно-
гочлену второй степени, заданному в общем виде: 2 2 2 21 2 3 2 3 4 3 5 7t t t t t t a bt ct .
Сгруппируем коэффициенты при соответствующих степенях 0 2, ,t t t :
2 22 3 2 3 5 3 4 7t t a bt ct .
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях t :
2 3 ; 1 2 3
2 3 5 ; 2 3 5 21 24 30 27 20 28 0
3 4 73 4 7 ;
a
b
c
.
Следовательно, данные векторы линейно зависимы.
Пример 4.6. Найти нормированный вектор, соответствующий
вектору 3;0;4a .
Решение. Нормировка производится следующим образом:
0 ; ;yx z
aa aa
a a a. Найдем 2 2 2
x y za a a a 9 0 16 5 в
итоге получим нормированный вектор 0 3 4;0;
5 5a .
Ответ: 0 3 4;0;
5 5a .
34
Задания для самостоятельного решения по теме
«Линейное пространство. Разложение вектора по базису»
Группа А
1.А. Выяснить, будут ли следующие векторы линейно зависимы:
1) 1 2; 1;3a ,
2 1;4; 1a , 3 0; 9;5a ;
2) 1 1;2;0a ,
2 3; 1;1a , 3 0;1;1a .
Ответ: 1) да; 2) нет.
2.А. Доказать, что векторы 1 1;2e и
2 3;4e образуют ба-
зис. Найти координаты вектора 7;10x в этом базисе.
Ответ: 1 22x e e .
3.А. Установить, образует ли система векторов 2 3a i j k ,
3b i j k и 2 3с i j k базис, и если она образует базис,
разложить вектор 4m i k по базису a , b , c .
Ответ: система векторов образует базис, 9 12 26
2 5 7m a b c .
4.А. В евклидовом пространстве найти угол между следующими
парами векторов: 1) 1;1;1;1a , 3; 5;1;1b , 2) 4;0;2;0;4a ,
3;3;3;3;0b .
Ответ: 1) /2; 2) /3.
5.А. Проверить, ортогональны ли векторы 1;1;1;1x и
1;2;3; 3y .
6.А. Можно ли в пространстве многочленов не выше второй сте-
пени выбрать за базис 1) 27 3 2t t , 23 7 8t t и 21 t t . 2) 2 3t , 23 t t и 21 3t t .
Ответ: 1) нет; 2) да.
35
7.А. Показать, что матрицы 1
1 0
0 0e ,
2
0 2
0 0e ,
3
0 0
3 0e
и 4
0 0
0 4e образуют базис линейного пространства для множества
квадратных матриц второго порядка.
8.А. Является ли линейным пространством множество систем
четырех действительных чисел 1 2; ;1;1 ,
1 2; ;1;1 , 1 2; ;1;1 , где
1 2 1 2 1 2, , , , , – всевозможные действительные числа?
Ответ: нет, так как сумма двух элементов не будет принадле-
жать данному множеству.
9.А. Из линейного пространства исключен некоторый вектор x .
Может ли полученное множество оставаться линейным.
Ответ: нет, так как могут найтись векторы сумма которых рав-
на x .
10.А. Образует ли линейное пространство совокупность троек
целых чисел ; ; .
Ответ: нет, так как при умножении на нецелое число полу-
чим элемент, не принадлежащий множеству.
11.А. Может ли линейное пространство состоять: 1) из одного
вектора; 2) из двух различных векторов.
Ответ: 1) да, из нулевого вектора; 2) нет, поскольку векторы
x y , обратный вектор, нулевой и другие должны принадлежать
этому пространству.
12.А. Найти нормированный вектор AB , если А(3;6;–2;1) и
В(4;5;3;1).
Ответ: 0 1 1 5
; ; ;03 3 3 3 3 3
AB .
36
Задания для самостоятельного решения по теме
«Линейное пространство. Разложение вектора по базису»
Группа В
1.В. Даны векторы 1 2 3a e e e , 2 32 3b e e , 2 35c e e , где
1 2 3, ,e e e – базис линейного пространства. Доказать, что векторы
, ,a b c образуют базис. Найти координаты вектора 1 2 32d e e e в
базисе , ,a b c .
Ответ: 2 2d a b c .
2.В. Убедится, что следующие векторы линейно независимы:
1 1;2;1;0b , 2 0;1;0;1b ,
3 1;0;1;0b , 4 0;2;3;0b .
3.В. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника с
вершинами 5;4;4;4;2A , 5;2;8;4;6B , 4;5;9;7;2C .
Ответ: 6AB AC BC , / 3A B C .
4.В. Доказать, что векторы, лежащие на прямой, проходящей че-
рез начало координат, образуют линейное подпространство. Будут ли
векторы образовывать линейное пространство, если прямая не про-
ходит через начало координат?
Ответ: да.
5.В. Образуют ли линейное пространство множество всех мно-
гочленов не выше третьей степени.
Ответ: да.
6.В. Будет ли система векторов обычного трехмерного про-
странства линейно зависима:
1) 2 2i j k и 2 4 4i j k ; 2) 2 3 2i j k и 4 6i j k .
Ответ: 1) да; 2) нет.
7.В. Образует ли линейное пространство совокупность векторов
плоскости, концы которых лежат во второй четверти (векторы откла-
дываются от начала координат).
Ответ: нет.
37
Векторная алгебра
Тренировочный тест
№
п/п Задания Ответы
1 Определить длину вектора AB , если А(1;-2;3),
В(0;3;-4). А 65 Б 74 В 75
Г 123 Д 17
2 Среди векторов a (2;1;-1), b (6;3;-3), c (4;2;-2)
указать коллинеарные.
А a и b Б Нет
В b и c Г Все Д a и c
3 a =20, угол наклона вектора a к оси ОХ равен
/3, прОХ a =…
А 5 Б 10 В 15
Г 30 Д 17
4 Найти скалярное произведение векторов
a (4;-2;0), b (2;-2;1).
А 11 Б 12 В 7
Г (8;2;0) Д -7
5 Найти угол между векторами a и 2 b , если
a (-4;2;4), b (1;1;0,5).
А /6 Б 0 В /2
Г 3 /4 Д /4
6 Даны векторы a и b , ( a b )=60о, 3c a b .
Определить длину вектора c , если a =2, b =1.
А 10 Б 1.5 В 7
Г 0.5 2 Д 13 6 2
7 a (1;2;0), b (-1;0;3), a b …
А (6;3;-2) Б (-6;-3;2)
В (6;0;2) Г (-6;2;3)
Д (6;-3;2)
8 a =3, b =2, a b =2 /3, a b … А 1.5 Б 0.5 В 3 3
Г 0 Д 3
9 Найти объем параллелепипеда, построенного на
векторах 3a i j , 2b i k , 2c j k .
А 4 Б 8 В 7
Г 10 Д 12
10
Найти проекцию вектора c на направление век-
тора b , если 2b m n , 2c m n , m =1,
n =2, ( m n )=60о.
А 18
13 Б
10
15 В
5
23
Г 18
13 Д
9
13
11
Какие из заданных величин являются скалярны-
ми: 1) b d c , 2) a b d ,
3) 3a b c b .
А только 2
Б только 1 и 2
В ни одно Г все
Д только 3
12
Какие из заданных равенств являются верными
1) c d d c , 2) c d d c ,
3) b c d b c b d
А все
Б только 1 и 2
В ни одно
Г только 2 и 3
Д только 3
Ответы: В, Г, Б, Б, В, В, Д, В, А, Д, Б, А.
38
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч.1. М.: Оникс 21 век, Мир и Образование,
2007. 304 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.:
Наука, 2007. 200 с.
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб-
ры. М.: Физматлит, 2008. 312 с.
4. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика -2 для студентов вузов.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Самара: изд-во Сам-
ГТУ, 2000. 92 с.
39
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное
произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Основные сведения о векторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Основные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Условие коллинеарности векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Задания для самостоятельного решения (группа А) . . . . . . . . . 1
2
Задания для самостоятельного решения (группа В) . . . . . . . . . 1
4
2. Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6
2.1. Определение векторного произведения . . . . . . . . . . . . . . . 1
6
2.2. Основные свойства векторного произведения. . . . . . . . . . 1
6
2.3. Выражение векторного произведения через координаты 1
7
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
8
Задания для самостоятельного решения (группа А) . . . . . . . . . 2
1
Задания для самостоятельного решения (группа В) . . . . . . . . . 2
2
3. Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3
3.1. Определение и геометрический смысл смешанного про-
изведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
3.2. Выражение смешанного произведения через координаты 2
3
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4
Задания для самостоятельного решения (группа А) . . . . . . . . . 2
6
Задания для самостоятельного решения (группа В) . . . . . . . . . 2
7
4. Линейное пространство. Разложение вектора по базису. . . . 2
7
4.1. Понятие о линейном пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
40
7
4.2. Линейная независимость системы векторов . . . . . . . . . . . . 2
8
4.3. Базис и размерность линейного пространства . . . . . . . . . . 2
9
4.4. Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
9
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0
Задания для самостоятельного решения (группа А) . . . . . . . . . 3
4
Задания для самостоятельного решения (группа В) . . . . . . . . . 3
6
Тренировочный тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7
Список рекомендуемой литературы 3
7
Векторная алгебра
Составители: БАШКИНОВА Елена Викторовна
АФАНАСЬЕВА Ольга Сергеевна
Печатается в авторской редакции
Подп. в печать 15.07.08 Формат 60х841/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. п. л. 2,32.
Уч. изд. л. 2,28. Тираж 150 экз. Рег. №240. Заказ № 472 _______________________________________________________________________
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Самарский государственный технический университет»
443100. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус.
Отпечатано в типографии
Самарского государственного технического университета 443100 г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус № 8