Upload
christos-pappas
View
354
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
κενφξκψδξχωβνφ,δ ψξχωηψνφλθδψιωψξνφλδψωθιηψφλδξωιλξφδωμιλ΄φδξψωολδφιψξωλμιφψδξωλμιφξψωμψφι ωιφδξωλιφ φιξωλιφκξω ξοφδιωφξφιμλξω ιξθφδωολιφξωμιλφ θξοφωιξωιφξω ιξφιωξφμιω
Citation preview
Σελίδα 1 από 3
Επαναληπτικό διαγώνισμα των φροντιστηρίων ΄΄ΟΡΟΣΗΜΟ ΘΗΒΑΣ ΄΄
Μάθημα : Μαθηματικά κατέυθυνσης
Ύλη : Διαφορικός λογισμός
Ημερομηνία : 20-3-2011
ΘΕΜΑ 1 ο :
Α) α) Να διατυπωθεί το θεώρημα Rolle. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του ;
Μονάδες 10
β) Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ;
Μονάδες 5
Β) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος ;
α) Όταν μία συνάρτηση είναι συνεχής τότε είναι και παραγωγίσιμη.
β) Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και υπάρχει ξ∈(α,β) τότε ισχύει f(α)= f(β).
γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) τότε υπάρχει ξ∈(α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ, με Α(α,f(α)) και Β(β,f(β)).
δ) Αν f ’(x)=g ’(x) , για κάθε x∈Δ , τότε ισχύει : f(x)=g(x).
ε) Αν για μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και xο εσωτερικό του Δ ισχύουν f ΄(xο)= 0 και f ΄(xο)> 0 τότε η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο .
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ 2 ο :
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αlnx – ln(lnx) η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 = .
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f και να υπολογιστεί ο αριθμός α∈ℝ.
Για α = 2 να υπολογίσετε: Μονάδες 7
β) Να βρείτε το είδος του ακρότατου της f Μονάδες 5
γ) Να δείξετε ότι ισχύει x2≥2e lnx. Μονάδες 6
δ )Να βρείτε την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της f Μονάδες 7
Σελίδα 2 από 3
ΘΕΜΑ 3ο :
Δίνεται η συνάρτηση f(x)= lnx + x – 1
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να δείξετε ότι αυτή είναι 1 – 1 . Μονάδες 3
β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f Μονάδες 5
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0 Μονάδες 5
δ) Να λυθεί η ανίσωση f-1(ex) > f-1(x+1) Μονάδες 5
ε) Να δείξετε ότι f(x+1)>2f(x+3)-f(x+5) Μονάδες 7
ΘΕΜΑ 4ο :
Α) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με και για κάθε
ισχύει ο τύπος:
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Μονάδες 2
β) Βρείτε τα ακρότατα της f Μονάδες 2
γ) Να δείξετε ότι: για Μονάδες 5
δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες Μονάδες 3
Β) Αν δίνεται η μη σταθερή συνάρτηση f:R->R ,ώστε για κάθε x,y R να ισχύει
και η f να είναι παραγωγίσιμη στο 0 , τότε να αποδείξετε ότι :
ι) |f(x)|< 2 για κάθε x∈ℝ Μονάδες 5
ii) η f είναι περιττή Μονάδες 3
ιιι) η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε xo∈ℝ Μονάδες 5
Επιμέλεια :
Σελίδα 3 από 3
Χρήστος Παππάς – Κωνσταντίνος Γρίβας