Μαθηματικά Β Γυμνασίου (Τεύχος Β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑB΄ Γυμνασίου B΄ Tεύχος

ΠΑΙ∆ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

YΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

Β΄ Γυμνασίου

B΄ τεύχος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

Μαθηματικά B΄ Γυμνασίου, Τεύχος Β΄

Συγγραφή:

Αθανασίου Ανδρέας

Αντωνιάδης Μάριος

Γιασουμής Νικόλας

Ματθαίου Κυριάκος

Μουσουλίδου Μαριλένα

Παπαγιάννης Κωνσταντίνος

Φιλίππου Ανδρέας

Συντονιστής:

Χρίστου Κωνσταντίνος, Καθηγητής Πανεπιστήμιο Κύπρου

Εποπτεία:

Θεοφίλου Στέλιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης

Κωστή Αντώνιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης

Παντελή Παντελής, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης

Παπαγιάννη Όλγα, Επιθεωρήτρια Μέσης Εκπαίδευσης

Σχεδιασμός εξωφύλλου:

Σιαμμάς Χρύσης, Λειτουργός Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων

Συντονισμός έκδοσης: Παρπούνας Χρίστος, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων

Έκδοση 2012 Εκτύπωση: Cassoulides Masterprinters Ltd © ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ISBN: 978-9963-0-4640-9

Στο εξώφυλλο χρησιμοποιήθηκε ανακυκλωμένο χαρτί σε ποσοστό τουλάχιστον 50%, προερχόμενο από διαχείριση απορριμμάτων χαρτιού. Το υπόλοιπο ποσοστό προέρχεται από υπεύθυνη διαχείριση δασών.

ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΣΕΛΙΔΕΣ

ENOTHTA 6: Συναρτήσεις – Συστήματα

- Αντιστοιχία - Συνάρτηση

- Γραμμική Συνάρτηση – Ευθεία

- Ειδικές Περιπτώσεις Ευθείας

- Κλίση Γραμμικής Συνάρτησης – Ευθείας

- Γραμμικά Συστήματα Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους.

1 - 40

ENOTHTA 7: Λόγοι – Αναλογίες

- Λόγοι - Αναλογίες

- Ιδιότητες Αναλογιών

- Ποσοστά

- Ευθέως Ανάλογα Ποσά

- Αντιστρόφως Ανάλογα Ποσά

41 -76

ENOTHTA 8: Γεωμετρία ΙΙ: Τετράπλευρα – Κύκλος

- Παραλληλόγραμμο

- Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο

- Ρόμβος

- Τετράγωνο

- Τραπέζιο

- Μέτρηση (Τρίγωνα – Τετράπλευρα - Κύκλος)

77 -116

ENOTHTA 9: Στατιστική - Πιθανότητες

- Μέτρα Θέσης

- Στατιστική με Χρήση Λογιστικού Φύλλου στον Υπολογιστή

- Πιθανότητες (Πείραμα Τύχης – Αρχή της Απαρίθμησης)

117 - 134

ENOTHTA 10: Τριγωνομετρία

- Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

- Επίλυση Τριγώνου

135 - 149

Ενότητα 6:

Συναρτήσεις - Συστήματα

Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ενότητα 6: Συναρτήσεις – Συστήματα 3

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Αντιστοιχία-Συνάρτηση

Εξερεύνηση

Στο βιβλιάριο υγείας κάθε παιδιού υπάρχει το διπλανό διάγραμμα που παρουσιάζει τη φυσιολογική ανάπτυξη ενός αγοριού από τη γέννηση του μέχρι τους μήνες της ηλικίας του. Όταν το ύψος του παιδιού, καθώς μεγαλώνει, βρίσκεται μεταξύ των καμπυλών και , τότε η ανάπτυξη του παιδιού θεωρείται φυσιολογική. Να ερμηνεύσετε το διάγραμμα.

Διερεύνηση (1)

Με βάση την πιο πάνω εξερεύνηση τι ύψος πρέπει να έχει ένα παιδί στους μήνες, ώστε να θεωρείται η ανάπτυξή του φυσιολογική; Να μελετήσετε τον πιο κάτω πίνακα και να εξηγήσετε κατά πόσο η ανάπτυξη ενός παιδιού με βάση τις πιο πάνω γραφικές παραστάσεις ήταν φυσιολογική.

Μήνας Γένν. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Ύψος 53 57 60 65 70 73 76 78 79 80 81 82 83 84

4 Ενότητα 6: Συναρτήσεις – Συστήματα


Ένας ποδηλάτης στη δίωρη προπόνησή του κινείται με σταθερή μέση ταχύτητα κάθε λεπτά. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα.

α) Πόση απόσταση διένυσε ο ποδηλάτης ύστερα από μια ώρα;

β) Πόσο χρόνο χρειάζεται, για να διανύσει ;

Μαθαίνω

Αντιστοιχία ονομάζεται ένας κανόνας που συνδέει στοιχεία ενός συνόλου με στοιχεία ενός άλλου συνόλου. Στο διπλανό σχήμα ο κανόνας αυτός συμβολίζεται με το γράμμα του λατινικού αλφαβήτου . Το σύνολο ονομάζεται σύνολο αφετηρίας και το σύνολο ονομάζεται σύνολο άφιξης. Η αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων των δύο συνόλων και μπορεί να δοθεί με διάφορους τρόπους όπως:

α) με βελοειδές διάγραμμα,

β) περιγραφικά ή συμβολικά,

γ) ως σύνολο διατεταγμένων ζευγών,

δ) με τη χρήση τύπου,

ε) με γραφική παράσταση.


Συνάρτηση ονομάζεται μια αντιστοιχία από ένα σύνολο σε ένα σύνολο , όταν κάθε στοιχείο του συνόλου αντιστοιχίζεται (απεικονίζεται) με μόνο ένα στοιχείο του συνόλου .

π.χ.

Μια συνάρτηση που συνδέει τα στοιχεία του συνόλου με το σύνολο μπορεί να δοθεί ως εξής:

α) με βελοειδές διάγραμμα

β) περιγραφικά ή συμβολικά, όπως φαίνεται στον πιο κάτω πίνακα:

Περιγραφικά Συμβολικά Διαβάζεται Το -1 αντιστοιχίζεται ΜΟΝΟ με το 1.

Η τιμή της συνάρτησης του είναι ίση με 1.

Το 0 αντιστοιχίζεται ΜΟΝΟ με το 0.

Η τιμή της συνάρτησης του 0 είναι ίση με 0.





γ) ως σύνολο διατεταγμένων ζευγών:

.

δ) με τη χρήση τύπου

όπου με συμβολίσαμε τη μεταβλητή που παίρνει όλες τις τιμές του συνόλου και με τον κανόνα που αντιστοιχίζει κάθε τιμή του συνόλου με μια τιμή του συνόλου .

Το σύνολο 𝐺 ονομάζεται γράφημα της συνάρτησης 𝑓.


ή

όπου με συμβολίσαμε τη μεταβλητή που παίρνει όλες τις τιμές του συνόλου και με τη μεταβλητή που παίρνει τις αντίστοιχες τιμές στο σύνολο .

ε) με γραφική παράσταση.

Παραδείγματα

1. Να εξετάσετε ποιές από τις πιο κάτω αντιστοιχίες ορίζουν συνάρτηση.

Λύση:

α) Η αντιστοιχία ορίζει συνάρτηση, γιατί κάθε στοιχείο του συνόλου (πεδίο ορισμού της συνάρτησης ) απεικονίζεται σε μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β.

α) β) γ) δ)

Γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι η αναπαράσταση των διατεταγμένων ζευγών σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων.

Το σύνολο αφετηρίας 𝛢 ονομάζεται Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης 𝑓.

Το σύνολο άφιξης 𝛣 ονομάζεται Πεδίο Τιμών της συνάρτησης 𝑓.


β) Η αντιστοιχία δεν ορίζει συνάρτηση, γιατί το στοιχείο απεικονίζεται στο και στο . Για να ήταν συνάρτηση, θα έπρεπε να απεικονίζεται σε ένα μόνο στοιχείο του συνόλου .

γ) Η αντιστοιχία δεν ορίζει συνάρτηση, γιατί το στοιχείο γ δεν απεικονίζεται σε στοιχείο του συνόλου Για να ήταν συνάρτηση, θα έπρεπε κάθε στοιχείο του συνόλου Α να απεικονίζεται σε ένα στοιχείο του συνόλου .

δ) Η αντιστοιχία ορίζει συνάρτηση, γιατί κάθε στοιχείο του συνόλου

απεικονίζεται σε μόνο ένα στοιχείο του συνόλου .

2. Δίπλα δίνεται η γραφική παράσταση μιας αντιστοιχίας. Να γράψετε το γράφημα της αντιστοιχίας και να εξετάσετε κατά πόσο η αντιστοιχία ορίζει συνάρτηση.

Λύση: Το γράφημα της αντιστοιχίας είναι: .

Η αντιστοιχία δεν ορίζει συνάρτηση, διότι στην τιμή αντιστοιχούν δύο τιμές του , δηλαδή και . Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε εύκολα, αν μετακινήσουμε το μολύβι μας κάθετα πάνω στον άξονα των τετμημένων.

Θα διαπιστώσουμε ότι όταν περνά από το , θα καλύψει δύο σημεία, το και το . Τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τετμημένη αλλά διαφορετική τεταγμένη .


Δραστηριότητες

1. Να εξετάσετε κατά πόσο τα πιο κάτω βελοειδή διαγράμματα ορίζουν συνάρτηση:

α)

β)

γ)

δ)

2. Δίνεται το βελοειδές διάγραμμα:

α) Είναι η αντιστοιχία συνάρτηση; β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα

γ) Να γράψετε το γράφημα της αντιστοιχίας και να κάνετε τη γραφική παράσταση.


3. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών γραφημάτων. Να εξετάσετε κατά πόσο τα γραφήματα ορίζουν συνάρτηση.

α)

β)

γ)

4. Να παραστήσετε το γράφημα μίας αντιστοιχίας .

α) με τη χρήση πίνακα τιμών, β) με τη χρήση βελοειδούς διαγράμματος, γ) με τη χρήση γραφικής παράστασης, δ) να εξετάσετε κατά πόσο οι συντεταγμένες των σημείων ορίζουν συνάρτηση.

5. Η Κατερίνα αμείβεται την εβδομάδα για την επίβλεψη των παιδιών μιας

οικογένειας. α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τα χρήματα που αμείβεται η Κατερίνα σε

συνάρτηση με τον αριθμό των εβδομάδων που εργάζεται.


Εβδομάδες ( 1 2 3 4 5

Αμοιβή (

β) Να δώσετε έναν τύπο που να εκφράζει την πιο πάνω συνάρτηση.

6. Μια εταιρεία παραγωγής φυσικών χυμών έχει υπολογίσει ότι από κάθε κιλό πορτοκάλια που παίρνει από τον παραγωγό, παράγει λίτρα χυμό.

α) Πόσα λίτρα χυμού θα παραχθούν, με πορτοκάλια;

β) Να εκφράσετε με τύπο την ποσότητα του χυμού (σε λίτρα) που παράγεται,

ως συνάρτηση της ποσότητας (σε κιλά) των πορτοκαλιών που χρειάζονται.

γ) Πόσα κιλά πορτοκάλια πρέπει η εταιρεία να χρησιμοποιήσει, ώστε η παραγωγή

σε χυμό να είναι λίτρα;

7. Ο πίνακας παρουσιάζει τους ποδοσφαιριστές της Εθνικής Κύπρου με τις περισσότερες συμμετοχές. Στη στήλη “Πρώτη εμφάνιση” καταγράφεται η χρονιά που συμμετείχαν για πρώτη φορά στην εθνική ομάδα.

# Όνομα Πρώτη

εμφάνιση Συμμετοχές

Εν ενεργεία το 2011

1 Γιάννης Οκκάς 1997 101 Ναι 2 Πάμπος Πίττας 1987 82 Όχι 3 Νίκος Παναγιώτου 1994 75 Οχι 4 Γιώργος Θεοδώτου 1996 70 Οχι 5 Γιαννάκης Γιαγκουδάκης 1980 68 Όχι 6 Μάριος Χαραλάμπους 1991 60 Οχι 7 Μιχάλης Κωνσταντίνου 1998 60 Ναι 8 Γιασεμής Γιασεμάκης 1998 55 Οχι 9 Δημήτρης Ιωάννου 1991 50 Οχι

10 Γιώργος Σαββίδης 1982 47 Όχι

Η αντιστοιχία που συνδέει τη χρονιά που έκαναν πρώτη εμφάνιση οι ποδοσφαιριστές με τον αριθμό συμμετοχών τους, είναι συνάρτηση; Να εξηγήσετε.


Γραμμική Συνάρτηση – Ευθεία


Η διπλανή γραφική παράσταση δείχνει τη θερμοκρασία του νερού καθώς το θερμαίνουμε σε μία κατσαρόλα σε σχέση με το χρόνο θέρμανσης (σε λεπτά).

α) Να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται η

θερμοκρασία του νερού κατά τη

διάρκεια των λεπτών.

β) Τα σημεία και είναι

συνευθειακά;

Διερεύνηση

Δίνονται οι συναρτήσεις και με τους ακόλουθους τύπους:

και

α) Να συμπληρώσετε τους πίνακες με τέσσερις τυχαίες τιμές του και τις αντίστοιχες

τιμές και .

Πίνακας 1:

Πίνακας 2:

Να χρησιμοποιήστε το λογισμικό GeoGebra για τα πιο κάτω:

β) Για την συνάρτηση :

i. Να τοποθετήσετε τα σημεία που προκύπτουν από τον πίνακα σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Να εξετάσετε αν τα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

ii. Να τοποθετήσετε ένα τυχαίο σημείο στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων.


Να εξετάσετε αν το σημείο μαζί με όλα τα προηγούμενα σημεία είναι συνευθειακά. Τι πρέπει να συμβαίνει για να ανήκει το σημείο στην ίδια ευθεία με τα αρχικά σημεία;

iii. Για την τιμή το αντίστοιχο σημείο που θα προκύψει, θα ανήκει στην ίδια ευθεία με τα αρχικά σημεία;

iv. Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο «BEn6_y=2x+1.ggb», για να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα.

Τι θα συμβεί αν σημειώσουμε

πολύ περισσότερα σημεία στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων;

Τι σχήμα θα προκύψει αν γίνουν άπειρα αυτά τα σημεία.

γ) Για την συνάρτηση :

i. Να τοποθετήσετε τα σημεία που προκύπτουν από τον πίνακα σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων.

ii. Να εξετάσετε αν τα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία.


Μαθαίνω

H γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο είναι μια ευθεία γραμμή.

Μια συνάρτηση της μορφής ή , όπου ,

ονομάζεται γραμμική συνάρτηση.

Ο τύπος ονομάζεται εξίσωση της ευθείας.

Για παράδειγμα η παριστάνεται στη διπλανή γραφική παράσταση με ευθεία

γραμμή.

Αντίστροφα κάθε ευθεία γραμμή μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση με τύπο ,

με εξαίρεση τις ευθείες που είναι κάθετες στον άξονα των .

Αν ένα σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση της ευθείας τότε

οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.

Η ευθεία τέμνει τον άξονα των τεταγμένων στο σημείο .



1. Να εξετάσετε ποια από τα σημεία και ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

Λύση:

α) Γραφική Λύση (Τεχνολογία - λογισμικό GeoGebra ).

Για να κατασκευάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ,

ακολουθούμε τα πιο κάτω βήματα:

Στο πεδίο « » καταχωρούμε την εξίσωση της

ευθείας και πατούμε “ ”.

Στο πεδίο « » καταχωρούμε διαδοχικά τα σημεία:

« )» , « » , « » και «

», πατώντας κάθε φορά “ ”.

β) Αλγεβρική λύση:

Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες των σημείων και στον τύπο της

συνάρτησης και ελέγχουμε κατά πόσο αυτές επαληθεύουν τον τύπο.

: τότε αληθής

: τότε αληθής

: τότε ψευδής

: τότε ψευδής

Τα σημεία και ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

ενώ τα και δεν ανήκουν.

Από τη γραφική παράσταση

δίπλα συμπεραίνουμε ότι τα

σημεία 𝛢 και 𝛣 ανήκουν στην

ευθεία ενώ τα σημεία 𝛤 και 𝛥 δεν

ανήκουν στην ευθεία.

Γενικά όταν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν τον τύπο μιας

συνάρτησης, τότε το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση της

συνάρτησης.


2. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση τέμνει τους άξονες.

Λύση:

Το σημείο στο οποίο η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των τετμημένων έχει τεταγμένη

Για

Άρα, η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο

.

Το σημείο στο οποίο η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των τεταγμένων έχει τετμημένη

.

Για .

Άρα, η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των τεταγμένων στο σημείο .

3. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο .

Λύση:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι ευθεία γραμμή.

Δύο σημεία ορίζουν μια ευθεία. Επομένως, αρκεί να βρούμε δύο σημεία της ευθείας, για να κατασκευάσουμε τη γραφική της παράσταση.

4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία και .

Λύση:

Η εξίσωση της ευθείας έχει τη μορφή . Χρησιμοποιούμε τα σημεία που δίνονται για να υπολογίσουμε τις τιμές των και . Το σημείο ανήκει στην ευθεία, άρα οι συντεταγμένες του και

0 2

2 8


επαληθεύουν την εξίσωση :

Άρα η εξίσωση της ευθείας είναι . Το σημείο ανήκει στην ευθεία, άρα οι συντεταγμένες του και επαληθεύουν την εξίσωση :

Άρα, η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας είναι .

5. Μια εταιρεία τηλεπικοινωνιών χρεώνει τη σταθερή γραμμή τηλεφώνου σε κάθε νοικοκυριό με πάγιο τέλος 15 ευρώ το μήνα. Χρεώνει επίσης τις κλήσεις προς 3 σεντ το λεπτό. Να βρείτε και να περιγράψετε ένα τύπο που να υπολογίζει τη μηνιαία χρέωση της εταιρείας για μια σταθερή γραμμή σε κάποιο νοικοκυριό.

Λύση:

Η μηνιαία χρέωση σε ευρώ για κλήσεις διάρκειας λεπτών δίνεται από τον τύπο:

. Δηλαδή η χρέωση ξεκινά από τα ευρώ που είναι το πάγιο και προστίθεται στη χρέωση το κόστος των κλήσεων που υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τα λεπτά ομιλίας επί σεντ.



1. Δίνεται η συνάρτηση .

α) Να βρείτε 3 σημεία που ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης .

β) Να εξετάσετε κατά πόσο τα σημεία

ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης .

2. Να εξετάσετε κατά πόσο τα δεδομένα που δίνονται στον πιο κάτω πίνακα συνδέονται

με γραμμική σχέση.

3. Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο «BEn6_y=2x+b.ggb» , και να συμπληρώσετε τον

πιο κάτω πίνακα για διάφορες τιμές του .

1

(0,1)

α) Nα παρατηρήσετε πώς μεταβάλλεται το σημείο τομής της συνάρτησης με τον

άξονα των τεταγμένων καθώς αλλάζει το .

β) Να αποδείξετε ότι το σημείο ανήκει πάντοτε στη γραφική παράσταση

της γραμμικής συνάρτησης με εξίσωση (όπου .

-2 0 2 4

1 5 9 13


4. Ένα τμήμα ενός Γυμνασίου επισκέπτεται ένα μουσείο, που χρεώνει είσοδο για κάθε μαθητή. Για τη μεταφορά των μαθητών στο μουσείο, η εταιρεία των λεωφορείων χρεώνει συνολικά . Να βρείτε και να περιγράψετε τον τύπο που υπολογίζει το κόστος της επίσκεψης των μαθητών.

5. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες της ευθείας με τύπο και να κατασκευάσετε τη γραφική της παράσταση.

6. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της γραφικής της παράστασης με τον άξονα των τεταγμένων.

7. Να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσεις των πιο κάτω γραμμικών συναρτήσεων: α)

β)

γ)

δ)

ε)

8. Να βρεθεί ο τύπος της ευθείας που περνά από τα σημεία: α)

β)

9. Δίνεται η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης.

Να βρείτε:

α) Τα σημεία τομής της συνάρτησης με τους

άξονες.

β) Δύο άλλα σημεία που ανήκουν στην ευθεία.

γ) Δύο σημεία που δεν ανήκουν στην ευθεία

δ) Το τύπο της συνάρτησης.


Ειδικές Περιπτώσεις Ευθείας


Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο «BEn6_y=αx+b.ggb»

α) Να μετακινήσετε το δρομέα β, ώστε να πάρει την τιμή 0. i. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας;

ii. Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τους άξονες; iii. Να μετακινήσετε το δρομέα α και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει.

β) Να μετακινήσετε το δρομέα β, ώστε να πάρει την τιμή 2 και το δρομέα α, ώστε να

πάρει την τιμή 0.

i. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας; ii. Ποιο είναι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της ευθείας αυτής;

iii. Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τον άξονα των y; iv. Να μετακινήσετε το δρομέα και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει. v. Ποια είναι η εξίσωση του άξονα των ;

γ) Να πατήσετε το κουμπί , για να μην φαίνεται η ευθεία και

ακολούθως να πατήσετε το κουμπί , για να εμφανιστεί μια άλλη ευθεία.

i. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας; ii. Ποιο είναι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της ευθείας αυτής;

iii. Ορίζει η ευθεία αυτή συνάρτηση; iv. Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τον άξονα των ; v. Να μετακινήσετε το δρομέα κ και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει.

vi. Ποια είναι η εξίσωση του άξονα των ;


Μαθαίνω

Η γραφική παράσταση της (ορίζει συνάρτηση) είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων

π.χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης περνά από την αρχή των αξόνων.

Η γραφική παράσταση της είναι ευθεία κάθετη στον άξονα των στο σημείο

(H είναι σταθερή συνάρτηση)

π.χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κάθετη στον άξονα των στο σημείο

Η γραφική παράσταση της ευθείας είναι ευθεία κάθετη στον άξονα των στο σημείο . (Η δεν ορίζει συνάρτηση)

π.χ. Η γραφική παράσταση της εξίσωσης είναι ευθεία κάθετη στον άξονα των τετμημένων στο σημείο .

Ο άξονας των έχει εξίσωση .

Ο άξονας των έχει εξίσωση (δεν ορίζει συνάρτηση).


Παράδειγμα

Να βρείτε τους τύπους των πιο κάτω γραφικών παραστάσεων: α)

β)

γ)

Λύση: α) Είναι της μορφής . Περνά από το Άρα είναι η β) Είναι της μορφής , γιατί περνά από το .

Περνά όμως και από το σημείο οι συντεταγμένες του οποίου επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Δηλ. . Άρα είναι η .

γ) Είναι της μορφής . Περνά από το Άρα είναι η


1. Να αντιστοιχίσετε τις γραφικές παραστάσεις με τις εξισώσεις των ευθειών.

Α.

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

Β.

Γ.


2. Να βρείτε τους τύπους των ευθειών που σχηματίζουν το πιο κάτω τρίγωνο:

3. Δίνεται η συνάρτηση . Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το

σημείο .

α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράστασή της.

β) Να υπολογίσετε την τιμή του .

4. Δίνεται η συνάρτηση . Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία που διέρχεται πάντοτε από το σημείο:

i. ii. iii. iv.

β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (1 , 2), τότε:

i. ii. iii. iv.

γ) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (2 ,1), τότε:

i. ii. iii. iv.

δ) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (-1 , 2), τότε: i. ii. iii. iv.

ε) Αν α = 3, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο:

i. ii. iii. iv.


Κλίση Γραμμικής Συνάρτησης- Ευθείας


Σε μια σχολή για δεξιότητες με πατίνι (skateboard), οι μαθητές πρέπει να εξασκηθούν σε μια από τις τέσσερεις διαφορετικές ράμπες που φαίνονται πιο κάτω.

Α. Β. Γ. Δ.

O διευθυντής της σχολής, για λόγους ασφάλειας, είπε στους αρχάριους μαθητές να επιλέξουν τη ράμπα που είναι λιγότερο ανηφορική.

Να βρείτε ποια είναι αυτή και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.


Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο: «Ben6_KlisiEuthias.ggb».

4m

4m 6m

3m

2m

2m 2m

3m


α) Να μετακινήσετε τους δρομείς και , για να κατασκευάσετε την εξίσωση της ευθείας που φαίνεται στην πρώτη στήλη του πίνακα. Στη συνέχεια να μετακινήσετε τα σημεία και για να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Εξίσωση

ευθείας

Σημείο

Α

Σημείο

Β

Οριζόντια

μεταβολή

Κατακόρυφη

μεταβολή

β) Να παρατηρήσετε τον πιο πάνω πίνακα και να απαντήστε τις πιο κάτω ερωτήσεις:

Να εξετάσετε αν αλλάζει ο λόγος

, όταν πάρουμε

διαφορετικά σημεία για την ίδια ευθεία.

Να εξετάσετε αν συνδέεται ο λόγος

με κάποιο

στοιχείο του τύπου της ευθείας;


Μαθαίνω

Έστω ότι θέλουμε να «μετακινηθούμε» από ένα σημείο σε ένα σημείο μιας ευθείας. Σε αυτή την περίπτωση θα έχουμε μια οριζόντια μετατόπιση (μεταβολή) και μια κατακόρυφη μετατόπιση (μεταβολή) .

Κλίση μιας ευθείας είναι ο λόγος της κατακόρυφης μεταβολής , (από ένα σημείο

σε ένα σημείο της ευθείας), προς την οριζόντια μεταβολή .

Η κλίση συμβολίζεται με το γράμμα

,

δηλαδή αυτό είναι ο ρυθμός μεταβολής της ευθείας.

Αν η εξίσωση της ευθείας δίνεται στη μορφή τότε η κλίση της είναι ίση με

το συντελεστή του , δηλαδή .

π.χ. Για την ευθεία που παριστάνεται στη γραφική παράσταση, για «μετακίνηση» από το σημείο στο σημείο έχουμε:

κατακόρυφη μεταβολή

και

οριζόντια μεταβολή .

Άρα

.

Παρατηρούμε ότι η κλίση είναι ίση με τον συντελεστή του 𝒙 στην εξίσωση της ευθείας με

τύπο 𝑦 𝛼𝑥 𝛽. Η εξίσωση της ευθείας δίνεται και από τον τύπο

𝑦 𝜆𝑥 𝛽.



1. Να βρείτε την κλίση των ευθειών που έχουν εξίσωση: α) β) γ) δ) ε)

Λύση:

α Ο συντελεστ ς του ε ναι . Άρα β γ Μετασχηματ ζουμε την εξ σωση στη μορφ :

.

δ , δηλαδ ε , δηλαδ

2. Να βρείτε την κλίση και την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία και

Λύση: Βρίσκουμε πρώτα την κλίση:

I. Τοποθετούμε τα σημεία και σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων.

II. Φέρουμε ευθεία που περνά από τα δύο σημεία.

III. Υπολογίζουμε το λόγο της κατακόρυφης προς την οριζόντια μεταβολή.

IV. H εξίσωση της ευθείας δίνεται στην μορφή με

.

Άρα,

.

Για τον προσδιορισμό του β παίρνουμε ένα σημείο πάνω στην ευθεία π.χ. το και το αντικαθιστούμε στην εξίσωση (αφού την επαληθεύει). Έτσι έχουμε:

Η εξίσωση της ευθείας δίνεται από τον τύπο:

ή


3. Να δείξετε ότι δεν ορίζεται η κλίση της ευθείας .

Λύση:

Έστω ότι η ευθεία περνά από δύο σημεία .

Η κλίση της υπολογίζεται ως εξής:

4. Να αντιστοιχίσετε κάθε εικόνα της στήλης με μία πρόταση της στήλης και να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

α.

i. Η κλίση δεν ορίζεται

ii. Θετική κλίση ( )

iii. Αρνητική κλίση ( )

iv. Μηδενική κλίση ( )

β.

γ.

δ.


Λύση: διότι , . Άρα

διότι , . Άρα


δεν ορίζεται


=0


1. Να βρείτε την κλίση των ευθειών:

α)

β)

γ) 2

δ)

ε)

στ)

2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αν :

α) περνά από το σημείο και έχει κλίση .

β) περν από το σημείο και έχει κλίση .

γ) περνά από το σημείο και έχει κλίση

.

δ) περνά από τα σημεία και .

3. Ο Μάριος γέμισε τη μοτοσυκλέτα του με 5 λίτρα

βενζίνη. Στη γραφική παράσταση φαίνεται ότι απέμειναν 3 λίτρα βενζίνης στη μοτοσυκλέτα, όταν ο Μάριος κάλυψε 40 χιλιόμετρα.

α) Να βρείτε την κλίση της συνάρτησης.

β) Να εξηγήσετε τη σημασία της.

γ) Πόσα χιλιόμετρα θα καλύψει με τα 5

λίτρα βενζίνης;


4. Στις πιο κάτω προτάσεις δίνονται γραμμικές συναρτήσεις με τύπο της μορφής . Να αναγνωρίσετε την κλίση , και την παράμετρο και να εξηγήσετε τη σημασία τους σε κάθε περίπτωση.

α) Το κέρδος σε ευρώ από την πώληση προϊόντων δίνεται από τη σχέση .

β) Ένας σταλακτίτης μεγαλώνει σύμφωνα με τη σχέση , όπου

αντιπροσωπεύει το μήκος του σταλακτίτη σε και τον χρόνο σε έτη από την πρώτη μέτρηση του μήκους του σταλακτίτη.

γ) Ο πληθυσμός μιας πόλης δίνεται από την σχέση , όπου το αντιπροσωπεύει τον πληθυσμό και το αντιπροσωπεύει το χρόνο σε έτη από το 2000 μέχρι σήμερα.

δ) Μια τηλεφωνική εταιρεία χρεώνει τους πελάτες της με βάση τη σχέση , όπου είναι η μηνιαία χρέωση σε ευρώ και ο χρόνος ομιλίας σε λεπτά.


Γραμμικά Συστήματα Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους.


Ένας επιχειρηματίας χρειάζεται να ενοικιάσει μια εξειδικευμένη συσκευή και αποτάθηκε σε δύο εταιρείες για να πάρει προσφορές.

Εταιρεία Α

Ζητά πάγιο ποσό την εβδομάδα και επιπλέον για κάθε ώρα χρήσης της συσκευής. Να συμπληρώσετε τον πίνακα του εβδομαδιαίου κόστους ( ) σε σχέση με τις ώρες χρήσης της συσκευής ( ).

ώρες χρήσης ( ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

εβδομαδιαίο κόστος ( )

Εταιρεία Β

Ζητά πάγιο ποσό την εβδομάδα και επιπλέον για κάθε ώρα χρήσης της συσκευής. Να συμπληρώσετε τον αντίστοιχο πίνακα πιο κάτω:

ώρες χρήσης ( ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

εβδομαδιαίο κόστος ( )

Η πιο κάτω γραφική παράσταση παρουσιάζει το εβδομαδιαίο κόστος χρήσης της συσκευής σύμφωνα με τις προσφορές και από τις δύο εταιρείες.

Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση ή τους πιο πάνω πίνακες να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν:


α) Αν ο επιχειρηματίας θα χρησιμοποιεί την συσκευή 2 ώρες την εβδομάδα πόσα θα πληρώνει την εταιρεία Α και πόσα την εταιρεία Β;

β) Αν ο επιχειρηματίας θα χρησιμοποιεί την συσκευή 9 ώρες την εβδομάδα πόσα θα πληρώνει την εταιρεία Α και πόσα την εταιρεία Β;

γ) Πόσες ώρες την εβδομάδα πρέπει να χρησιμοποιεί την συσκευή ώστε το κόστος να είναι το ίδιο, σύμφωνα με τις προσφορές των δυο εταιρειών;

Μαθαίνω

Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους (π.χ. και

) και αναζητούμε το ζεύγος των αριθμών που είναι ταυτόχρονα λύση και των δύο εξισώσεων, τότε λέμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους .

Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και ονομάζεται κάθε ζεύγος τιμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του.

π.χ.

Η λύση του γραμμικού συστήματος 2 3

9

y x

x y

είναι το ζεύγος διότι επαληθεύει

και τις δύο εξισώσεις του συστήματος, αφού επαληθεύεται

και επαληθεύεται.

Για τη γραφική λύση ενός γραμμικού συστήματος εργαζόμαστε ως εξής: Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες που αντιστοιχούν στις δύο

γραμμικές εξισώσεις.

Προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους . Το ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

π.χ.

Για το σύστημα 2 3

9

y x

x y

κατασκευάζουμε τις

ευθείες και . Ακολούθως βρίσκουμε το σημείο τομής τους

που είναι το . Η λύση του συστήματος

είναι η .


Για τη αλγεβρική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με δύο μεταβλητές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. π.χ.

Για να λύσουμε το σύστημα

εργαζόμαστε ως εξής:

Βήματα

Λύνουμε την μια από τις δύο εξισώσεις

του συστήματος ως προς τη μια

μεταβλητή.

Λύνουμε την ως προς

και έχουμε την .

Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση

του συστήματος. Λύνουμε την εξίσωση

του προκύπτει.

Αντικαθιστούμε στη θέση του

στην εξίσωση και έχουμε:

Την τιμή της μεταβλητής που βρήκαμε

την αντικαθιστούμε σε μια από τις δύο

αρχικές ή σε μια ισοδύναμή τους και

βρίσκουμε την τιμή της άλλης

μεταβλητής.

Αντικαθιστούμε το στην εξίσωση

και έχουμε:

Άρα η λύση του συστήματος είναι το

ζεύγος που βρήκαμε.

Άρα η λύση του συστήματος είναι

και δηλαδή το ζεύγος

.



1. Δίνονται οι εξισώσεις και .

α) Ποια από τα πιο κάτω ζεύγη αριθμών είναι λύσεις της εξίσωσης και ποια είναι

λύσεις της εξίσωσης ;

Α) B)

Γ) Δ)

β) Ποιο ζεύγος είναι λύση του συστήματος των εξισώσεων και ;

Λύση:

α) Τα ζεύγη Α και Β είναι λύσεις της , γιατί την επαληθεύουν, δηλ. και . Τα ζεύγη Β, Γ και Δ είναι λύσεις της , γιατί την επαληθεύουν, δηλ. , και .

β) Το ζεύγος Β είναι λύση του συστήματος των εξισώσεων και , γιατί επαληθεύει και τις δύο.

2. Ο Χρίστος και ο Αλέξης έχουν μαζί . Αν ο Χρίστος έχει τα διπλάσια χρήματα από τον

Αλέξη, να βρείτε πόσα χρήματα έχει ο καθένας;

Λύση:

Συμβολίζουμε με τα χρήματα που έχει ο Χρίστος και τα χρήματα που έχει ο Αλέξης. Τότε:

και Αντικαθιστούμε στη θέση του στην εξίσωση και έχουμε:

Αντικαθιστούμε το στην εξίσωση και έχουμε:

Άρα ο Χρίστος έχει και ο Αλέξης .



1. Να εξετάσετε κατά πόσο το ζεύγος αριθμών , είναι η λύση του συστήματος:

1

2 0

x y

x y

2. Ποια από τα πιο κάτω ζεύγη αριθμών είναι η λύση του συστήματος: 3 6

2 5

y x

x y

Α) B) Γ) Δ)

3. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “BEn6_Sistimata.ggb”.

α) Να βρείτε γραφικά τη λύση των

πιο κάτω συστημάτων με την

βοήθεια του υπολογιστή

μετακινώντας τους δρομείς

ώστε να πετύχετε τις πιο κάτω

εξισώσεις.

Α) 2 1

3

y x

y x

Β) 3 1

1

y x

y x

Γ) 3 1

3 3

y x

y x

Δ) 3 3

3 3

y x

y x

β) Να γράψετε το πλήθος των λύσεων του καθενός από τα πιο πάνω συστήματα.

Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα αυτά.

4. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα εξισώσεων:

α)

β)

γ)

5. Ο Στέφανος και η Μαρίλια έχουν συνολικά . Αν ο Στέφανος δώσει στην Μαρίλια , τότε θα έχουν τα ίδια χρήματα. Πόσα χρήματα είχε αρχικά ο καθένας;

6. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 260 παιδιά, τα οποία μένουν σε σκηνές των και ατόμων (οι οποίες είναι όλες γεμάτες). Να υπολογίσετε πόσες είναι οι σκηνές των και πόσες των ατόμων.

7. Σε μια εκδρομή πήγαν συνολικά παιδιά αγόρια και κορίτσια. Τα αγόρια ήταν τριπλάσια από τα κορίτσια. Να βρείτε πόσα ήταν τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια.


Δραστηριότητες ενότητας

1. Να εξετάσετε, κατά πόσο οι πιο κάτω αντιστοιχίες ορίζουν συναρτήσεις:

α)

β)

γ) δ)

2. H σχέση που συνδέει τους βαθμούς Φαρενάιτ ( ) με τους βαθμούς Κελσίου ( ) είναι . Αν οι ενδείξεις ενός θερμομέτρου Φαρενάιτ ήταν κατά σειρά , ποιες ήταν οι αντίστοιχες θερμοκρασίες σε βαθμούς Κελσίου;

3. Δίνονται τα ακόλουθα 5 σημεία:

Στο πίνακα που ακολουθεί να συμπληρώσετε κάτω από κάθε συνάρτηση ένα από τα πιο πάνω σημεία, που ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΟ

4. Να γράψετε τις εξισώσεις δύο ευθειών για κάθε μια από τις πιο κάτω περιπτώσεις: α) να έχουν κλίση 3 β) να τέμνουν τον άξονα των τεταγμένων στο σημείο γ) να διέρχονται από το σημείο (1,2)


5. Η γραφική παράσταση παρουσιάζει την απόσταση (εκατοστά) που καλύπτει ένα σαλιγκάρι συναρτήσει του χρόνου (λεπτά). α) Πόση απόσταση διανύει κάθε 1 λεπτό; β) Πόσο χρόνο χρειάστηκε να καλύψει μια

απόσταση ;

6. Από το διπλανό σχήμα:

α) Να βρείτε την κλίση της ευθείας .

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας

γ) Δίνεται η ευθεία .

Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες και και να την παραστήσετε γραφικά στο ίδιο ορθογώνιο σύστημα αξόνων με την ευθεία .

δ) Αν να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου

7. Ο Αλέξης φεύγει από το σπίτι με τα πόδια για το σχολείο. Η διαδρομή του Αλέξη

περιγράφεται από τη σχέση όπου είναι η απόσταση από το σχολείο σε μέτρα και είναι ο χρόνος του σε λεπτά. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση που περιγράφει την πιο πάνω σχέση.

8. Η εταιρεία που ανέλαβε τη φωτογράφηση της τελετής αποφοίτησης του σχολείου Α χρεώνει για το βασικό πακέτο και για κάθε επιπρόσθετη φωτογραφία. Να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση , όπου είναι το συνολικό κόστος και ο αριθμός των επιπρόσθετων φωτογραφιών, για να κατασκευάσετε έναν πίνακα που να παρουσιάζει το συνολικό κόστος παραγγελίας μέχρι επιπρόσθετων φωτογραφιών.

9. (α) Να εξετάσετε κατά πόσο τα δεδομένα του πιο κάτω πίνακα συνδέονται με γραμμική σχέση. (β) Αν ναι, να υπολογίσετε την κλίση, να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα των τεταγμένων και να γράψετε την εξίσωσή της.

2 3 5 8 12

5 8 14 23 35

x


10. Να αντιστοιχίσετε τις γραφικές παραστάσεις της πρώτης στήλης με τις περιγραφές της

δεύτερης στήλης του πίνακα και να επεξηγήσετε σε κάθε περίπτωση τι αντιπροσωπεύει η κλίση της γραφικής παράστασης.

Γραφική παράσταση. Περιγραφή

Α.

Ι. Ένας υπάλληλος πληρώνεται την ώρα και επιπλέον για κάθε προϊόν που κατασκευάζει κάθε ώρα.

Β.

ΙΙ. Ένα άτομο πληρώνει την εβδομάδα σε ένα φίλο του, για να αποπληρώσει ένα δάνειο αξίας .

Γ.

ΙΙΙ. Ένας επαγγελματίας οδηγός εισπράττει καθημερινά για φαγητό και επιπλέον για κάθε χιλιόμετρο που καλύπτει.

11. Να λύσετε τα ποιο κάτω συστήματα εξισώσεων: α)

β)

12. Σε ένα βιβλιοπωλείο τετράδια και πέννα κοστίζουν , ενώ τετράδια και πέννες κοστίζουν . Να βρείτε πόσο κοστίζει κάθε τετράδιο και κάθε πέννα.

13. Μια παρέα ατόμων θα πάνε εκδρομή και θα μεταφερθούν με οχήματα-

αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες. Με κάθε αυτοκίνητο μεταφέρονται άτομα, ενώ με κάθε μοτοσικλέτα . Να βρείτε πόσα αυτοκίνητα και πόσες μοτοσικλέτες χρησιμοποίησαν.


Δραστηριότητες Εμπλουτισμού

1. Σε ένα ζαχαροπλαστείο ο βοηθός ζαχαροπλάστης ετοιμάζει 6 γλυκά την ώρα. Ο ζαχαροπλάστης ετοιμάζει 10 γλυκά την ώρα, αλλά ξεκινά να εργάζεται δύο ώρες μετά από το βοηθό ζαχαροπλάστη. Οι δύο ζαχαροπλάστες πρέπει να ετοιμάσουν συνολικά 92 γλυκά. Σε πόσες ώρες, από τη στιγμή που θα ξεκινήσει να εργάζεται ο βοηθός ζαχαροπλάστης, θα έχουν τελειώσει; Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης, η οποία υπολογίζει τον αριθμό των γλυκών που ετοιμάζονται σε ώρες.

2. Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου δύο αυτοκινήτων Α και Β. α) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει την ταχύτητα με το χρόνο για τα δύο αυτοκίνητα

και να αναφέρετε κατά πόσο αυτή είναι γραμμική. β) Να περιγράψετε την κίνηση των δύο αυτοκινήτων (με ποια ταχύτητα ξεκινά το

καθένα, με ποιο ρυθμό μεταβάλλεται η ταχύτητα τους, σε ποια χρονική στιγμή έχουν την ίδια ταχύτητα, ποιο αυτοκίνητο κινείται πιο γρήγορα και σε ποιό χρονικό διάστημα).

3. Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο:

“Ben6_PO_PT.ggb”

Να μετακινήσετε το σημείο και να βρείτε:

α) Τις τιμές και

β) Το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης .

γ) Το Πεδίο Τιμών της συνάρτησης .


4. Ο Μιχάλης και ο Αντώνης αναχωρούν με το ποδήλατο από το σπίτι τους για το σχολείο την ίδια ώρα. Οι αποστάσεις (σε μέτρα) των θέσεων του Μιχάλη και του Αντώνη από το σχολείο συναρτήσει του χρόνου (σε λεπτά) δίνονται από τους τύπους και . Με τη βοήθεια κατάλληλης γραφικής παράστασης, να βρείτε ποιος από τους δύο θα φτάσει πρώτος στο σχολείο. Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή που τα δύο αγόρια θα ισαπέχουν από το σχολείο;

5. Να εξετάσετε κατά πόσο οι πιο κάτω γραφικές παραστάσεις ορίζουν συνάρτηση.

α)

β)

γ)

δ)

ε)

στ)


Ενότητα 7

Λόγοι - Αναλογίες


Ενότητα 7: Λόγοι – Αναλογίες 43

ΛΟΓΟΙ - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ


Στον πιο κάτω πίνακα φαίνονται τα στοιχεία τριών ζωολογικών κήπων στην Ευρώπη.

Ζωολογικός

κήπος

Έκταση

σε εκτάρια

Αριθμός

ζώων

Είδη

ζώων

Λονδίνου

Βερολίνου

Πράγας

Να μελετήσετε τα στοιχεία του πίνακα και να συγκρίνετε τους ζωολογικούς κήπους ως

προς την έκταση τους, τον αριθμό των ζώων και τα είδη των ζώων.


Η τροχαία θέλει να τοποθετήσει μια κάμερα για

έλεγχο των τροχαίων παραβάσεων. Αποφάσισε να

κάνει μια έρευνα στα πιο επικίνδυνα σημεία του

οδικού δικτύου της πόλης. Κατέγραψαν για μια

εβδομάδα τις παραβιάσεις του ορίου ταχύτητας στα

διάφορα σημεία και παρουσίασαν στο διευθυντή

τροχαίας τα πιο κάτω αποτελέσματα:

Σε ποιο σημείο πιστεύετε ότι πρέπει να τοποθετηθεί η κάμερα, λαμβάνοντας υπόψη τις

πιο πάνω πληροφορίες;

44 Ενότητα 7: Λόγοι – Αναλογίες


Ο Ανδρέας αποφάσισε να βάψει το δωμάτιο του και

έκανε μόνος του την ανάμειξη των χρωμάτων για να

φτιάξει μια συγκεκριμένη απόχρωση του γαλάζιου.

Ανάμιξε λίτρα μπλε μπογιά με λίτρα άσπρη

μπογιά. Η μπογιά που έφτιαξε δεν ήταν αρκετή και

έφτιαξε νέο μείγμα στο οποίο ανάμιξε λίτρα μπλε

μπογιά με λίτρα άσπρη μπογιά.

Να εξετάσετε αν ο Ανδρέας πέτυχε την δεύτερη φορά να

φτιάξει την ίδια απόχρωση του γαλάζιου με την αρχική.

Μαθαίνω

Λόγος δύο ομοειδών μεγεθών και , που εκφράζονται με την ίδια μονάδα

μέτρησης, είναι το πηλίκο των μέτρων τους.

Ο λόγος του προς το μπορεί να γραφεί ως: προς ή ή

.

Ο λόγος δύο μεγεθών που εκφράζονται με διαφορετική μονάδα μέτρησης (λόγος μη

ομοειδών μεγεθών), θα ονομάζεται ρυθμός μεταβολής ή πιο απλά ρυθμός του ενός

μεγέθους ως προς το άλλο.

Αναλογία ονομάζεται η ισότητα δύο λόγων,

Οι , , και λέγονται όροι της αναλογίας.

Οι και λέγονται άκροι όροι της αναλογίας.

Οι και λέγονται μέσοι όροι της αναλογίας.

Οι και λέγονται ηγούμενοι όροι της αναλογίας.

Οι και λέγονται επόμενοι όροι της αναλογίας.



1. Ο πύργος του Άιφελ κτίστηκε το 1889 και πήρε το όνομα του από τον μηχανικό που τον

σχεδίασε, το Γουστάβο Άιφελ. Εκείνη τη χρονική περίοδο ήταν το ψηλότερο κτίριο στο

κόσμο, με ύψος . Σήμερα παραμένει το ψηλότερο κτίριο στο Παρίσι. Στη συνέχεια

κατασκευάστηκαν αντίγραφα του πύργου του Άιφελ σε άλλες περιοχές του κόσμου. Στο

πιο κάτω σχήμα παρουσιάζονται διάφορες κατασκευές του πύργου, διαφορετικού

μεγέθους. Να βρεθεί ο λόγος του ύψους του πύργου στο Παρίσι ως προς το ύψος κάθε

ενός από τους υπόλοιπους.

Λύση:

Ύψος πύργου Παρισιού προς ύψος πύργου Μίσιγκαν:

Άρα ο πύργος του Παρισιού είναι πενήντα φορές ψηλότερος από αυτόν του Μίσιγκαν.

Ύψος πύργου Παρισιού προς ύψος πύργου Λας Βέγκας:

Ύψος πύργου Παρισιού προς ύψος πύργου Τεννεσί:

2. Δύο σημεία στο χάρτη που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, απέχουν . Να

υπολογίσετε την κλίμακα του χάρτη, αν η πραγματική απόσταση των δύο σημείων είναι

.

Λύση:

Μετατρέπουμε τις αποστάσεις στην ίδια μονάδα μέτρησης:

Η κλίμακα του χάρτη είναι



1. Δίνεται μια συνταγή για κέικ γεωγραφίας, να γράψετε:

(α) το λόγο της ποσότητας του λαδιού προς τη ποσότητα του γάλακτος

(β) το λόγο της ποσότητας της

ζάχαρης προς την ποσότητα

του αλευριού

(γ) το λόγο της ποσότητας του

λαδιού προς την ποσότητα της

ζάχαρης.

2. Ένα ορθογώνιο έχει μήκος και πλάτος . Να βρείτε το λόγο του πλάτους προς

το μήκος του ορθογωνίου.

3. Σε ένα καλαθοσφαιρικό αγώνα, ο καλαθοσφαιριστής ευστόχησε στις από τις

ελεύθερες βολές που πραγματοποίησε, ενώ ο καλαθοσφαιριστής ευστόχησε στις

από τις βολές. Να γράψετε το λόγο των εύστοχων βολών προς τον αριθμό των

ελεύθερων βολών που έριξε ο κάθε καλαθοσφαιριστής. Ποιος καλαθοσφαιριστής είχε

μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας;

4. Να συμπληρώσετε τα κενά στις πιο κάτω αναλογίες:

(α)

(β)

(γ)

(δ)

5. Να χρησιμοποιήσετε τους λόγους

για να σχηματίσετε τέσσερεις

αναλογίες.


6. Στη διπλανή φωτογραφία φαίνονται έξι διαφορετικά

μοντέλα τρένων. Το καθένα έχει κατασκευαστεί με

συγκεκριμένη κλίμακα όπως φαίνεται στον πιο κάτω

πίνακα. Να βρείτε το λόγο που αντιστοιχεί στο μικρότερο

τρένο της φωτογραφίας.

Μοντέλο Κλίμακα

7. Ένα ζαχαροπλαστείο κατασκευάζει ένα

συγκεκριμένο είδος τούρτας με βάση

τετράγωνο, όπως φαίνεται πιο κάτω

(α) Να βρείτε το λόγο της πλευράς βάσης της τούρτας προς την πλευρά της τούρτας

.

(β) Αν γύρω από κάθε τούρτα τοποθετείται διακοσμητική κορδέλα, ποιος είναι ο λόγος

του μήκους της κορδέλας της τούρτας προς το μήκος της κορδέλας της τούρτας

;

(γ) Να βρείτε το λόγο του εμβαδού της βάσης της τούρτας προς το εμβαδόν της

βάσης της τούρτας .

τούρτα 𝛢 τούρτα 𝛣 με πλευρά 𝑐𝑚 με πλευρά 𝑐𝑚


Ιδιότητες Αναλογιών


Ο Λουκάς θέλει να φτιάξει πορτοκαλάδα για το πάρτι που

θα έχει το απόγευμα στην πισίνα του σπιτιού του.

Σύμφωνα με τις οδηγίες της συσκευασίας, πρέπει να

αναμίξει δόση συμπυκνωμένου χυμού πορτοκαλιού με

δόσεις νερού.

Να γράψετε στην πρώτη στήλη του πιο κάτω πίνακα τους κατάλληλους λόγους της ποσότητας

του χυμού προς την ποσότητα του νερού, ώστε η πορτοκαλάδα να έχει πάντα την ίδια γεύση.

Να συγκρίνετε το γινόμενο των άκρων όρων και το γινόμενο των μέσων όρων κάθε αναλογίας. Τι

παρατηρείτε;

Nα συμπληρώσετε τον πίνακα, σύμφωνα με το παράδειγμα, και να γράψετε τις παρατηρήσεις

σας.

Να γράψετε μια δική σας αναλογία και να εξετάσετε κατά πόσο ισχύουν τα συμπεράσματά σας.

I II III IV V

ΑΝ

ΑΛ

ΟΓ

ΙΑ

Να αντιστρέψετε

τους λόγους

Να αλλάξετε

θέσεις στους

μέσους όρους

Να αλλάξετε θέσεις

στους άκρους όρους

Να προσθέσετε στους

ηγούμενους τους

επόμενους όρους της

αναλογίας

Να προσθέσετε

τους

ηγούμενους

μεταξύ τους και

τους επόμενους

όρους μεταξύ

τους

Να γράψετε μια δική σας αναλογία


Μαθαίνω

Ιδιότητες αναλογιών:

i. Αν

Το γινόμενο των άκρων όρων μιας αναλογίας

είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων της.

ii. Αν

Αν αλλάξουμε τη θέση των μέσων όρων μιας

αναλογίας προκύπτει αναλογία.

iii. Αν

Αν αλλάξουμε τη θέση των άκρων όρων μιας

αναλογίας προκύπτει αναλογία.

Απόδειξη ιδιοτήτων αναλογιών:

i. Δίνεται η αναλογία:

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο

μέρη της ισότητας με :

( )

( )

Το γινόμενο των άκρων όρων μιας αναλογίας είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων της.

ii. Δίνεται η αναλογία:

,

Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο των άκρων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων δηλαδή:

Διαιρούμε και τα δύο μέρη της

πιο πάνω ισότητας με το

iii. Δίνεται η αναλογία:

Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο των άκρων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων δηλαδή:

Διαιρούμε και τα δύο μέρη της

πιο πάνω ισότητας με το :


Απόδειξη ιδιοτήτων αναλογιών:

iv. Δίνεται η αναλογία:

,

Προσθέτουμε και στα δύο μέρη της

αναλογίας τη μονάδα και έχουμε:

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι:

v. Δίνεται η αναλογία:

,

Θέτουμε:

( )

Άρα ισχύει:

iv. Αν

Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τους

επόμενους όρους στους αντίστοιχους

ηγούμενους όρους μιας αναλογίας

προκύπτει αναλογία.

v. Αν

Αν προσθέσουμε όλους τους ηγούμενους

όρους μιας αναλογίας μεταξύ τους και όλους

τους επόμενους όρους μεταξύ τους, ο λόγος

που προκύπτει είναι ίσος με τους

προηγούμενους λόγους της αναλογίας.



1. Δίνεται η αναλογία

. Να βρείτε την τιμή του .

Λύση:

2. Στη διπλανή φωτογραφία φαίνονται ένα εκπαιδευτικό

αεροπλάνο και ένα μοντέλο που είναι πιστό αντίγραφό

του. Το αεροπλάνο έχει μήκος , ενώ το μήκος του

φτερού του είναι . Αν το μοντέλο κατασκευάστηκε με

κλίμακα , να βρείτε τις αντίστοιχες διαστάσεις του

μοντέλου.

Λύση:

Συμβολίζουμε με το μήκος του μοντέλου.

Συμβολίζουμε με το μήκος του φτερού του μοντέλου.

3. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν λόγο και διαφορά

Λύση:

Έστω ότι ο ένας αριθμός είναι και ο άλλος .

Άρα,

και .

Αλλάζω θέση στους μέσους, για να προκύψουν

ως ηγούμενοι οι αριθμοί και .

Εφαρμόζω την ιδιότητα των αναλογιών.

Υπολογίζω τον αριθμό :

Υπολογίζω τον αριθμό :



1. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις:

(α)

(β)

(γ)

(δ)

2. Δύο πόλεις απέχουν μεταξύ τους . Να βρείτε την απόστασή τους σε χάρτη με

κλίμακα .

3. Οι διαστάσεις μιας φωτογραφίας είναι μήκος και πλάτος. Θέλουμε να

μεγεθύνουμε τη φωτογραφία, διατηρώντας σταθερό το λόγο του μήκους προς το

πλάτος. Να βρείτε το μήκος της μεγέθυνσης, αν το πλάτος θα είναι .


. Να βρείτε τους λόγους:

(α)

(β)

(γ)

(δ)

5. Δίνεται η αναλογία:

. Να προσδιορίσετε την τιμή του , ώστε να ισχύει .

6. Ένας βιολόγος μελετά μικροοργανισμούς στο μικροσκόπιό του, το οποίο προσφέρει

μεγέθυνση .

(α) Πόσα είναι το πραγματικό μήκος ενός μικροοργανισμού, που στο μικροσκόπιο

φαίνεται ότι είναι ;

(β) Πόσα θα είναι το μήκος ενός μικροοργανισμού στο μικροσκόπιο, όταν το

πραγματικό του μήκος είναι ;

7. Τρεις ψαράδες αγόρασαν συνεταιρικά ένα καΐκι και τον εξοπλισμό του. Ο πρώτος έβαλε

κεφάλαιο , ο δεύτερος και ο τρίτος . Μέσα σε ένα χρόνο, είχαν

κέρδος . Να βρείτε το μερίδιο από τα κέρδη που θα έχει ο καθένας από τους

τρεις ψαράδες.

8. Ένα χρηματικό έπαθλο μοιράστηκε στους πρώτους τρεις νικητές ενός διαγωνισμού

σύμφωνα με τον αριθμό των σωστών απαντήσεων τους. Ο πρώτος απάντησε σωστά σε

ερωτήσεις, ο δεύτερος σε και ο τρίτος σε . Να βρείτε πόσα χρήματα πήρε ο

καθένας.

9. Τέσσερα άτομα, ο Δημήτρης, ο Άλκης, ο Βαγγέλης και ο Γιώργος, δούλεψαν σε μια εργολαβία και

χρέωσαν . Να υπολογίσετε πόσες ώρες δούλεψε ο Δημήτρης, αν γνωρίζετε ότι ο Άλκης

δούλεψε ώρες, ο Βαγγέλης και ο Γιώργος από ώρες και ότι ο Δημήτρης πήρε .


10. Ένας εργάτης του δήμου για να υπολογίσει το ύψος ενός κυπαρισσιού, τοποθέτησε ένα

κοντάρι στο έδαφος και μέτρησε τη σκιά του. Αν τη συγκεκριμένη στιγμή, η σκιά του

κονταριού ήταν και η σκιά του δέντρου ήταν , να τον βοηθήσετε να

υπολογίσει το ύψος του κυπαρισσιού.

Στο μυθιστόρημα «Το θεώρημα του Παπαγάλου», του Γάλλου συγγραφέα Denis Guedj θα βρείτε μια ωραιότερη περιγραφή του πιο πάνω γεγονότος.

Ο αρχαίος Έλληνας ιστορικός Διογένης ο Λαέρτιος γράφει ότι ο Θαλής, κατά τη διάρκεια της

παραμονής του στην Αίγυπτο, κατάφερε να μετρήσει το ύψος της τετραγωνικής Πυραμίδας του

Χέοπα με τη βοήθεια της σκιάς της. Ο Θαλής πραγματοποίησε τη μέτρηση, παρατηρώντας το εξής: αν

κάποια μέρα η σκιά του γινόταν ίση με το ύψος του, τότε το ίδιο θα συνέβαινε και με τη σκιά

του ύψους της πυραμίδας. Άρα, το μεσημέρι μιας τέτοιας μέρας όπου η σκιά του Θαλή γινόταν ίση με

το ύψος του, θα είχαμε, 𝜪𝜥′ ⊥ 𝜝𝜞,

Ύ𝝍𝝄𝝇 𝝅𝝊𝝆𝜶𝝁ί𝜹𝜶𝝇 𝜥𝜪 𝜪𝜥′ 𝜪𝜠 𝜠𝜥′ 𝜜𝜝

𝟐 𝜠𝜥′,

Την εποχή της κατασκευής της, το 2560 π. Χ., η πυραμίδα του Χέοπα είχε ύψος 146,6 μέτρα. Για

3800 χρόνια ήταν το ψηλότερο μνημείο στον κόσμο. Σήμερα γνωρίζουμε ότι το ύψος της είναι

138,8 μέτρα, περίπου, αφού εκτός από καθίζηση έχει υποστεί και φθορές.


Ποσοστά


Ένα από τα πιο δημοφιλή μηνύματα που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο

είναι ένα φιλμάκι που παρουσιάζει πώς θα ήταν η γη, αν ήταν ένα

χωριό μόνο κατοίκων.

Η αρχική ιδέα ήταν της δημοσιογράφου και καθηγήτριας του

Πανεπιστημίου Donella Meadows, η οποία παρουσίασε τη

μικρογραφία αυτή του κόσμου σε άρθρο της στο The Global Citizen,

το . Από τότε οι αλλαγές που σημειώθηκαν κατά τα τελευταία

χρόνια είναι αξιοσημείωτες. Ο παγκόσμιος πληθυσμός έχει ήδη ξεπεράσει τα . Τα

δεδομένα τώρα έχουν ως εξής:

Αν η γη ήταν ένα χωριό των κατοίκων:

Εξήντα θα ήταν Ασιάτες ( θα κατάγονταν από την Ινδία και την Κίνα), θα ήταν Αφρικανοί,

θα ήταν Ευρωπαίοι και από τη Βόρεια και Νότια Αμερική.

Είκοσι έξι θα ήταν παιδιά και ενήλικες από τους οποίους οι 8 θα ήταν πάνω από χρονών.

Ογδόντα τρεις μόνο θα μπορούσαν να γράφουν και να διαβάζουν ενώ θα ήταν αναλφάβητοι.

Ένας θα πέθαινε από την πείνα και άλλοι θα υποσιτίζονταν, τη στιγμή που θα ήταν

παχύσαρκοι.

Δεκατρείς δεν θα είχαν πρόσβαση σε καθαρό νερό.

Sources: 2012 - Fritz Erickson, Provost and Vice President for Academic Affairs, Ferris State University (Formerly Dean of Professional and

Graduate Studies, University of Wisconsin - Green Bay) and John A. Vonk, University of Northern Colorado, 2006; Returning Peace Corps

Volunteers of Madison Wisconsin, Unheard Voices: Celebrating Cultures from the Developing World, 1992; Donella H. Meadows, The Global

Citizen, May 31, 1990.

Να σχολιάσετε γιατί το πιο πάνω άρθρο εντυπωσίασε και συνεχίζει να εντυπωσιάζει για τον

τρόπο που επέλεξε η Meadows να παρουσιάσει τα δημογραφικά δεδομένα του πληθυσμού.

Να εξηγήσετε πώς θα μπορούσατε να παρουσιάσετε τα δημογραφικά δεδομένα της Κύπρου που

συλλέχτηκαν κατά την απογραφή πληθυσμού του (Στατιστική Υπηρεσία,

http://www.mof.gov.cy/cystat ) με παρόμοιο τρόπο.

Αν η Κύπρος ήταν ένα χωριό των 100 κατοίκων, τότε …

http://www.mof.gov.cy/cystat


Μαθαίνω

Το σύμβολο ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό και είναι

ίσο με το λόγο

.

Χρησιμοποιούμε επίσης το ποσοστό που διαβάζεται ποσοστό επί τοις χιλίοις και

είναι ίσο με το

.


1. Ο κύριος Ανδρέας αγόρασε ένα αυτοκίνητο και πλήρωσε . Πλήρωσε

επιπρόσθετα της αξίας του αυτοκινήτου για διάφορες επιδιορθώσεις και ακόμα

για τις άδειες κυκλοφορίας. Στη συνέχεια το πώλησε για . Να εξετάσετε αν

ζήμιωσε ή αν κέρδισε και να υπολογίσετε το ποσοστό κέρδους ή ζημίας;

Λύση:

Έξοδα για επιδιορθώσεις: της αξίας του.

Δηλαδή, του

Άρα, ο κύριος Ανδρέας έδωσε: =

Ο κύριος Ανδρέας το πώλησε . Άρα ζήμιωσε: ευρώ

To ποσοστό που ζήμιωσε ήταν:

Α΄ τρόπος

Άρα, ζήμιωσε τελικά

Β΄ τρόπος

Άρα, ζήμιωσε τελικά


2. Η κατανάλωση του ηλεκτρικού ρεύματος μιας οικίας

χρεώνεται με βάση το διπλανό πίνακα. Επιπλέον ο

καταναλωτής χρεώνεται με μια σταθερή επιβάρυνση

και Φ.Π.Α. Να υπολογίσετε πόσα θα

πληρώσει ένας καταναλωτής που είχε συνολική

κατανάλωση .

Λύση:

Υπολογίζουμε τη χρέωση ως εξής:

Α΄ τρόπος:

Β΄ τρόπος:

Στη χρέωση θα προστεθεί το Φ.Π.Α. , δηλαδή σε μια χρέωση , θα προστεθεί

άρα η συνολική χρέωση θα είναι . Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της αναλογίας

μπορούμε να υπολογίσουμε πόσο θα είναι η συνολική χρέωση για το ποσό των

Άρα,

Χρέωση

(σε )

Φ.Π.Α.

(σε )

Συνολική χρέωση

(σε )

Η χρέωση στρογγυλοποιείται σε δύο δεκαδικά ψηφία, άρα στον λογαριασμό θα

αναγράφεται

Κατανάλωση

σε

Χρέωση

ανά

προς

προς

προς

προς

και άνω προς

Κατανάλωση Χρέωση

Για τις πρώτες

Για τις επόμενες

Οι υπόλοιπες

Σταθερή επιβάρυνση

ΣΥΝΟΛΟ

Στην χρέωση θα προστεθεί το Φ.Π.Α. ,

δηλαδή το του

Άρα το συνολικό ποσό που πρέπει να πληρώσει ο

καταναλωτής είναι:

Η χρέωση στρογγυλοποιείται σε δύο δεκαδικά

ψηφία, άρα στον λογαριασμό θα αναγράφεται


3. Κατέθεσε κάποιος στην τράπεζα το ποσόν των

και μετά χρόνο έκανε ανάληψη των χρημάτων και

πήρε . Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε το

συγκεκριμένο κεφάλαιο;

Λύση:

Το ποσόν που κατατέθηκε στην τράπεζα: ( )

Το ποσόν έγινε μετά από χρόνο: ( ) ( )

Άρα

Το Επιτόκιο της τράπεζας είναι .


1. Σε ένα γυμνάσιο το των μαθητών είναι Α΄ Γυμνασίου και το είναι Β΄

Γυμνασίου. Πόσα είναι οι μαθητές της Γ΄ τάξης , αν όλοι οι μαθητές είναι ;

2. Ένα κατάστημα προσφέρει έκπτωση στην αρχική τιμή σε όλα τα προϊόντα του. Να

υπολογίσετε την τελική τιμή ενός προϊόντος αν η αρχική του τιμή είναι .

3. Σε έρευνα της τροχαίας στα αυτοκίνητα οι οδηγοί δε φορούσαν ζώνη και στις

μηχανές το των οδηγών δεν φορούσε κράνος.

(α) Να υπολογίσετε το ποσοστό των οδηγών των αυτοκινήτων που φορούσε ζώνη

ασφαλείας

(β) Να υπολογίσετε τον αριθμό των μοτοσικλετιστών που δεν φορούσαν κράνος.

(γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό των οδηγών που παρανομούσαν επί του συνόλου των

οδηγών.


4. Μια οικογένεια έχει μηνιαία έξοδα , τα οποία

ξοδεύει, όπως φαίνεται στο διπλανό κυκλικό διάγραμμα.

(α) Να υπολογίσετε πόσα χρήματα ξοδεύει η οικογένεια

για τις σπουδές των παιδιών της.

(β) Να βρείτε τον λόγο των χρημάτων που ξοδεύει για

ενοίκιο προς τα χρήματα που ξοδεύει για

διασκέδαση.

5. Ο κύριος Μανώλης πήρε αύξηση στο μισθό του. Να υπολογίσετε το ποσοστό αύξησης

του μισθού του αν από έγινε ;

6. Μια κτηματική εταιρεία αγόρασε ένα διατηρητέο σπίτι για . Πλήρωσε επιπλέον

για την ανακαίνισή του. Το κράτος επιχορηγεί το κόστος ανακαίνισης με . Πόσα

χρήματα επέστρεψε το κράτος στην εταιρεία;

7. Ο πληθυσμός μιας πόλης το έτος 2009 ήταν 25000 κάτοικοι. Το 2010 αυξήθηκε κατά

8%, το 2011 κατά 3% και το 2012 μειώθηκε κατά 1,5%. Να βρείτε τον τελικό πληθυσμό

του 2012.

8. Τον Απρίλιο διοργανώθηκε μία εκδήλωση στη Λευκωσία. Τα έσοδα της εκδήλωσης

δόθηκαν για ενίσχυση του ταμείου του Ραδιομαραθωνίου. Το κανονικό εισιτήριο της

εκδήλωσης ήταν , για τους συνταξιούχους ήταν και για τα παιδιά .

Στην εκδήλωση έλαβαν μέρος άτομα, από τα οποία το ήταν συνταξιούχοι και

εισπράχθηκε συνολικά από όλους τους συμμετέχοντες το ποσό των .

(α) Να υπολογίσετε τι ποσοστό έκπτωσης έγινε στο εισιτήριο των συνταξιούχων.

(β) Να υπολογίσετε πόσοι συνταξιούχοι και πόσα παιδιά έλαβαν μέρος στην

εκδήλωση.

9. Κατέθεσε κάποιος στην τράπεζα το ποσόν των και μετά από χρόνο έκανε

ανάληψη των χρημάτων και πήρε . Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε το

συγκεκριμένο κεφάλαιο;


Ευθέως Ανάλογα Ποσά


Μια ηλεκτρονική μηχανή συσκευάζει αεροστεγώς τα προϊόντα ενός τυροκομείου. Η

απόδοση της μηχανής φαίνεται στη διπλανή γραφική παράσταση.

Κατά τη διάρκεια της παραγωγής, η μηχανή βγήκε εκτός λειτουργίας. Ένας εργάτης συνέχιζε

να συσκευάζει τα προϊόντα με τη χειροκίνητη μηχανή. Πιο κάτω φαίνεται η απόδοση του

εργάτη.

Να γράψετε τις παρατηρήσεις σας.

Χρόνος σε ώρες

Αρ

ιθμ

ός

τεμ

αχί

ων

Χρόνος σε ώρες

Αρ

ιθμ

ός

τεμ

αχί

ων



Με βάση τη γραφική παράσταση, που παριστάνει την

απόδοση της ηλεκτρονικής μηχανής, να συμπληρώσετε το

διπλανό πίνακα:

Αν η μηχανή συνέχιζε τη λειτουργία της για ακόμη μια

ώρα, πόσα τεμάχια θα είχε συσκευάσει;

Να γράψετε τη σχέση που συνδέει το χρόνο λειτουργίας

με την απόδοση σε τεμάχια της ηλεκτρονικής μηχανής.


Η Μαρίλια σπουδάζει βρεφονηπιοκόμος.

Στον ελεύθερο της χρόνο ενδιαφέρεται να

προσέχει παιδιά. Μια μέρα διάβασε στην

εφημερίδα την αγγελία που φαίνεται δίπλα

και αποτάθηκε στην οικογένεια

Κωνσταντινίδη για εργοδότηση.

Να συμπληρώσετε τον πίνακα.

Να εξετάσετε τον τρόπο που μεταβάλλονται τα

ποσά χρόνος και αμοιβή.

Να γράψετε το λόγο δύο τιμών του χρόνου

εργασίας και να τον συγκρίνετε με το λόγο των

δύο αντίστοιχων τιμών της αμοιβής. Τι

παρατηρείτε;

Χρόνος σε

ώρες

Απόδοση σε

τεμάχια

Χρόνος εργασίας

σε ώρες

Αμοιβή

σε ευρώ


Να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα διατεταγμένα ζεύγη ( ) του

πίνακα, να κάνετε τη γραφική παράσταση και να γράψετε τις παρατηρήσεις σας.

Να κατασκευάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση, αν η αμοιβή της

Μαρίλιας ήταν 8 ευρώ την ώρα. Να συγκρίνετε τις δύο γραφικές παραστάσεις.

Μαθαίνω

Δύο ποσά ονομάζονται ευθέως ανάλογα ή απλά ανάλογα όταν οι αντίστοιχες τιμές τους

δίνουν πάντα το ίδιο πηλίκο.

Δηλαδή,

και είναι ανάλογα

, όπου α σταθερός αριθμός.

Ο σταθερός αριθμός λέγεται συντελεστής της αναλογίας.

Στα ανάλογα ποσά ισχύει ότι:

πολλαπλασιάζοντας (ή διαιρώντας) τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, τότε

και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού πολλαπλασιάζονται (ή διαιρούνται)

αντίστοιχα με τον ίδιο αριθμό.

Π.χ.:

Ο διπλασιασμός, του ενός ποσού, επιφέρει τον διπλασιασμό του άλλου ποσού.

ο λόγος δύο τιμών του ενός ποσού είναι ίσος με το λόγο των αντίστοιχων τιμών του

άλλου ποσού.

Αν ισχύει μια από τις πιο πάνω σχέσεις, τότε τα ποσά είναι ανάλογα.

Παράδειγματα

1. Να εξετάσετε κατά πόσο τα ποσά που δίνονται στον πιο κάτω πίνακα είναι ανάλογα. Αν

είναι ανάλογα, να βρείτε το συντελεστή της αναλογίας.


Λύση:

Εξετάζουμε τους λόγους

Παρατηρούμε ότι ο λόγος

των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερός, άρα τα ποσά είναι

ανάλογα. Ο συντελεστής της αναλογίας είναι το .

2. Ένας γεωργός, θέλει να ψεκάσει μια καλλιέργεια λαχανικών. Η δοσολογία για το

φυτοφάρμακο που θα χρησιμοποιήσει είναι για κάθε φυτοφάρμακο νερό. Να

βρείτε πόσα λίτρα νερό θα χρησιμοποιήσει, για να φτιάξει διάλυμα στο οποίο θα

διαλύσει δύο συσκευασίες φυτοφαρμάκου των .

Λύση:

Τα ποσά είναι ευθέως ανάλογα. Οι αντίστοιχες τιμές που παίρνουν πρέπει να έχουν

πάντα το ίδιο πηλίκο (Ποσότητα φυτοφαρμάκου : Ποσότητα νερού).

Έστω ότι η άγνωστη ποσότητα του νερού είναι .

Θα χρησιμοποιήσει λίτρα νερό.

Ποσότητα

φυτοφαρμάκου

Ποσότητα

νερού

Ευθέως ανάλογα ποσά


3. Τον Αύγουστο ένα κατάστημα ηλεκτρικών ειδών προσφέρει στους πελάτες του

έκπτωση.

(α) Να γράψετε τη σχέση που συνδέει την αρχική τιμή πώλησης πριν τις εκπτώσεις με

την αναγραφόμενη τιμή κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων.

(β) Να βρείτε την αρχική τιμή πώλησης μιας τηλεόρασης που πωλήθηκε κατά τη

διάρκεια των εκπτώσεων .

Λύση:

(α) Αφού η έκπτωση είναι τα διάφορα ηλεκτρικά είδη θα πωλούνται στο της

αρχικής τους τιμής.

Η αρχική τιμή πώλησης και η τιμή πώλησης κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων είναι

ποσά ανάλογα.

Θέτουμε:

την αρχική τιμή πώλησης

την τιμή πώλησης κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων

(β) .

Άρα η αρχική τιμή πώλησης πριν τις εκπτώσεις ήταν .


1. Δίνεται ο πιο κάτω πίνακας με τις τιμές δύο ποσών και . Να εξετάσετε κατά πόσο τα

ποσά είναι ευθέως ανάλογα και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(α) (β) (γ)


2. Να εξετάσετε κατά πόσο τα ποσά και που δίνονται στους πιο κάτω πίνακες είναι

ανάλογα:

(α)

(β)

Αν τα ποσά είναι ανάλογα, να γράψετε τη σχέση που τα συνδέει.

3. Να εξετάσετε κατά πόσο τα πιο κάτω ζεύγη ποσών είναι ανάλογα:

4. Αν γνωρίζουμε ότι γραμμάρια άσπρου ψωμιού περιέχουν θερμίδες, να

υπολογίσετε πόσες θερμίδες πήρε ο Κωνσταντίνος από τα γραμμάρια ψωμιού που

έφαγε με το φαγητό του;

5. Ο Αλέξης είναι σήμερα δύο χρονών

και έχει ύψος Ο αδελφός

του υπολόγισε ότι, όταν θα γίνει ο

Αλέξης χρονών, θα έχει ύψος

.

Να ελέγξετε την ορθότητα της

απάντησής του.

(α) Η περίμετρος ενός τετραγώνου και το μήκος της πλευράς του.

(β) Το εμβαδόν ενός τετραγώνου και το μήκος της πλευράς του.

(γ) Η τιμή ενός υφάσματος και το μήκος του.

(δ) Η παροχή νερού μίας βρύσης και ο χρόνος που χρειάζεται η βρύση για να γεμίσει

μια δεξαμενή.

(ε) Η αμοιβή ενός ωρομίσθιου εργάτη και ο χρόνος εργασίας του.

(στ) Το ύψος ενός ανθρώπου και το βάρος του.


6. Μια κλωστοϋφαντουργική μηχανή παράγει νήμα σε ώρες. Σε πόσες ημέρες θα

παραχθούν νήμα, αν η μηχανή θα λειτουργεί ώρες κάθε ημέρα;

7. Το κρασί που μας δίνει κάποια συγκεκριμένη ποικιλία σταφυλιού είναι το της μάζας

τους.

(α) Να γράψετε τη σχέση που συνδέει τη μάζα των σταφυλιών ( ) με τη ποσότητα του

κρασιού ( ) σε κιλά.

(β) Να υπολογίσετε πόσα κιλά κρασί θα πάρουμε από σταφύλια.

(γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση.

8. Ο κύριος Ανδρέας θα ταξιδεύσει στις Η.Π.Α., για να

επισκεφτεί μια έκθεση για μηχανήματα. Υπολόγισε

ότι θα χρειαστεί για το ξενοδοχείο και τα

διπλάσια λεφτά για τα προσωπικά του έξοδα.

(α) Πόσο συνάλλαγμα σε δολάρια θα χρειαστεί να

πάρει μαζί του;

(β) Η κόρη του ζήτησε να της αγοράσει από τις

Η.Π.Α. ένα βιντεοπαιχνίδι, το οποίο πωλείται

στην Κύπρο προς . Σε ποια τιμή πρέπει να το βρει ο κ. Ανδρέας, για να συμφέρει

να το αγοράσει;

Τιμές Συναλλάγματος σε σχέση με το €

GBP Αγγλική Λίρα 0,85

USD Δολάριο Αμερικής 1,30

JPY Ιαπωνικό Γεν 100,30

CHF Φράγκο Ελβετίας 1,21

CAD Δολάριο Καναδά 1,34

AUD Δολάριο Αυστραλίας 1,42

RUB Ρωσικό Ρούβλι 45,15

CNY Κινέζικο Γιουάν 9,25


Αντιστρόφως Ανάλογα Ποσά


Ένα εργοστάσιο έχει στη γραμμή παραγωγής του ένα συγκεκριμένο αριθμό μηχανών της

ίδιας δυναμικότητας, οι οποίες δουλεύουν ανεξάρτητα. Ο υπεύθυνος παραγωγής θέλει να

προγραμματίσει την παραγωγή, ώστε να παραδώσει μια συγκεκριμένη παραγγελία στην

ημερομηνία που προνοεί το συμβόλαιο παράδοσής της. Ο υπεύθυνος έχει τη δυνατότητα

να θέτει σε λειτουργία διαφορετικό αριθμό μηχανών.

Ποια από τις πιο κάτω γραφικές παραστάσεις παριστάνει το χρόνο ολοκλήρωσης της

παραγγελίας σε σχέση με τον αριθμό των μηχανών που τίθενται σε λειτουργία;


Στο εφαρμογίδιο

«BEn_9_emvadon_orthogoniou.ggb» δίνεται ένα

ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με σταθερό

εμβαδόν . Η σταθερή κορυφή του είναι

στο σημείο ( ). Η κορυφή είναι απέναντι

από το σταθερό σημείο .

Αριθμός Μηχανών Αριθμός Μηχανών Αριθμός Μηχανών

Χρ

όνο

ς

Χρ

όνο

ς

Χρ

όνο

ς


Να συμπληρώστε τον πίνακα:

Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες της κορυφής .

Να γράψετε το λόγο δύο τιμών του μήκους και να τον συγκρίνετε με το λόγο των δύο

αντιστοιχών τιμών του πλάτους . Τι παρατηρείτε;

Να μετακινήσετε το δρομέα κ και να παρατηρήσετε τις διάφορες θέσεις που

παίρνει η κορυφή .

Να επιλέξετε το εικονίδιο και να παρατηρήσετε τη γραφική παράσταση που

σχηματίζεται.

Μαθαίνω

Δύο ποσά ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα όταν το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών

τους είναι πάντα σταθερό.

Δηλαδή,

και είναι αντιστρόφως ανάλογα , όπου α σταθερός αριθμός.

Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά ισχύει ότι:

όταν πολλαπλασιάζονται οι τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, τότε οι

αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό.

Μήκος

ορθογωνίου

Πλάτος


Εμβαδόν


Συντεταγμένες

κορυφής

( )


π.χ.

Ο διπλασιασμός του ενός ποσού, επιφέρει τον υποδιπλασιασμό του άλλου ποσού.

ο λόγος δύο τιμών του ενός ποσού είναι ίσος με τον αντίστροφο λόγο των

αντίστοιχων τιμών του άλλου ποσού.

Αν ισχύει μια από τις πιο πάνω σχέσεις, τότε τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.


1. Να εξετάσετε κατά πόσο τα ποσά που δίνονται στον πιο κάτω πίνακα είναι αντιστρόφως

ανάλογα.

Λύση:

Υπολογίζουμε τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών:

Παρατηρούμε ότι το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερό. Άρα τα ποσά

είναι αντιστρόφως ανάλογα.

2. Σε ένα εργοστάσιο μηχανές είναι σε λειτουργία ώρες για να ολοκληρώσουν την

ημερήσια παραγωγή η οποία είναι σταθερή. Αν μια συγκεκριμένη ημέρα μηχανές θα

είναι εκτός λειτουργίας για συντήρηση, πόσες ώρες πρέπει να δουλέψουν οι υπόλοιπες

μηχανές, για να μην επηρεαστεί η ημερήσια παραγωγή του εργοστασίου;

Λύση:

Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί όταν οι τιμές του ενός ποσού (αριθμός

μηχανών) πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό, οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού

(ώρες) διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό.

Άρα, οι αντίστοιχες τιμές που παίρνουν πρέπει να έχουν πάντα το ίδιο γινόμενο

(Αριθμός Μηχανών Ώρες).


Αριθμός

Μηχανών Ώρες

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

Οι υπόλοιπες μηχανές πρέπει να δουλέψουν 18 ώρες.


1. Δίνεται ο πιο κάτω πίνακας με τις τιμές δύο ποσών, και . Να εξετάσετε αν τα πιο

κάτω ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας:

2. Κατά τη διάρκεια των υποβρύχιων ελέγχων σε ένα μέρος ενός ωκεανού, μια

επιστημονική ομάδα παρατήρησε ότι η θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου ( ) είναι

αντιστρόφως ανάλογη του βάθους σε χιλιόμετρα ( ). Όταν κατέγραψαν θερμοκρασία

, οι δύτες βρίσκονταν σε βάθος κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας.

(α) Να βρείτε την θερμοκρασία αν θα καταδυθούν σε βάθος .

(β) Σε ποιο βάθος θα πρέπει να καταδυθούν για να καταγράψουν θερμοκρασία ;

3. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα, ώστε τα ποσά να είναι αντιστρόφως ανάλογα.

(α) (β) (γ)


4. Ο Απόστολος παρατήρησε ότι όσο πιο πολύ χρόνο

αφιερώνει στην παρακολούθηση τηλεόρασης τόσο

λιγότερο χρόνο αφιερώνει για την καθημερινή μελέτη των

μαθημάτων του. Τη Δευτέρα είδε τηλεόραση για ώρα,

και διάβασε για άλλη ώρα. Την Τρίτη είδε τηλεόραση

ώρες και διάβασε μόνο ώρα και την Τετάρτη είδε μόνο

μισή ώρα τηλεόραση και διάβασε ώρες. Με βάση τα δεδομένα αυτά, ο Απόστολος

κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο χρόνος που βλέπει τηλεόραση και ο χρόνος που

αφιερώνει για διάβασμα καθημερινά είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Έχει δίκιο ή όχι

και γιατί;

5. Τέσσερα ίδια εμπορικά αυτοκίνητα διανομής κάνουν καθημερινά εννιά δρομολόγια το

καθένα, για να μεταφέρουν κιβώτια με προϊόντα, από το εργοστάσιο στην

αποθήκη. Πόσα τέτοια δρομολόγια θα κάνει το κάθε ένα από δώδεκα αυτοκίνητα του

ίδιου τύπου, για να μεταφέρουν τον ίδιο αριθμό κιβωτίων σε μια μέρα;

Δραστηριότητες Ενότητας

1. Ένα αρχιτεκτονικό σχέδιο κατασκευάστηκε με κλίμακα . Αν οι διαστάσεις ενός

ορθογώνιου δωματίου στο σχέδιο είναι πλάτος και μήκος, να βρείτε τις

πραγματικές διαστάσεις του δωματίου.

2. Τι ποσοστό από τους αριθμούς είναι τετράγωνοι αριθμοί;

3. Να επιλέξετε τη θέση που θα τοποθετήσετε τα έπιπλα

στο δωμάτιό σας και ακολούθως να τα σχεδιάσετε

στο αρχιτεκτονικό σχέδιο του δωματίου, που είναι

σχεδιασμένο με κλίμακα . Οι διαστάσεις των

επίπλων είναι:

Κρεβάτι

Κομοδίνο

Γραφείο



. Να βρείτε τους λόγους:

(α)

(β)

(γ)

(δ)

5. Το σωματείο της γειτονιάς έκδωσε και πώλησε λαχνούς των για την ανέγερση του

οικήματος του. Οι λαχνοί συμμετέχουν σε κλήρωση με μεγάλο έπαθλο και άλλα

πλούσια δώρα. Τρεις φίλοι έδωσαν το ποσό , και αντίστοιχα και αγόρασαν

ένα λαχνό των . Να υπολογίσετε τι ποσό πρέπει να πάρει ο καθένας τους αν

κερδίσουν το μεγάλο έπαθλο;

6. Οι υπάλληλοι που δουλεύουν σε μια υπεραγορά δικαιούνται έκπτωσή στις αγορές

τους στα είδη του αρτοποιείου. Πόσα θα πληρώσει ένας υπάλληλος της υπεραγοράς, αν

αγόρασε είδη αρτοποιείου αξίας ;

7. Ένας έμπορος αγόρασε στερεοφωνικά προς το ένα και πλήρωσε της

συνολικής αξίας τους για έξοδα μεταφοράς. Θέλει να τα πουλήσει με κέρδος. Πόσα

θα εισπράξει συνολικά;

8. Τρεις τεχνίτες πήραν από μια εργασία . Ο πρώτος ως εργοδηγός πήρε το του

ποσού και τα υπόλοιπα μοιράστηκαν ανάλογα προς τις ημέρες εργασίας αυτών. Αν ο

πρώτος εργάστηκε ημέρες ο δεύτερος ημέρες και ο τρίτος ημέρες. Πόσα

χρήματα πήρε ο καθένας;

9. Μια χορηγία του Δήμου θα μοιραστεί στα σχολεία της περιφέρειας, ανάλογα με

τον αριθμό των μαθητών τους. Το έχει , το και το παιδιά. Το

μεγαλύτερο σχολείο αποφάσισε να δωρίσει το των χρημάτων που θα πάρει σε ένα

σχολείο της Κένυας. Να υπολογίσετε τι ποσό θα κρατήσει το σχολείο.

10. Στις τελευταίες δημοτικές εκλογές από τα άτομα που ήταν γραμμένα στους

εκλογικούς καταλόγους μιας κοινότητας, ψήφισαν το Να βρείτε πόσους ψήφους

πήρε ο εκλεγμένος δήμαρχος, αν τον ψήφισε το των ατόμων που ψήφισαν.


11. Αν ένα ποσό είναι ανάλογο κάποιου άλλου ποσού , και διπλασιάσουμε το ένα ποσό,

τότε το άλλο ποσό θα το:

(α) πολλαπλασιάσουμε με (β) διαιρέσουμε με (γ) πολλαπλασιάσουμε με

12. Τα ποσά και είναι ανάλογα.

(α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

(β) Να βρείτε το συντελεστή αναλογίας και να γράψετε τη σχέση που συνδέει το με το

.

(γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της πιο πάνω σχέσης – συνάρτησης.

13. Ο καφές χάνει το

του βάρους του, όταν καβουρδιστεί. Πόσα κιλά καφέ χρειαζόμαστε

για να πάρουμε καβουρδισμένου καφέ;

14. Ένα σύστημα αυτόματου ποτίσματος παίρνει νερό από μια δεξαμενή. Αν το σύστημα

λειτουργεί ώρες την ημέρα, το νερό της δεξαμενής επαρκεί για ημέρες. Αν το

σύστημα λειτουργεί για ώρες την ημέρα, για πόσες ημέρες επαρκεί το νερό της

δεξαμενής;

15. Ένας μελισσοκόμος μπορεί να τοποθετήσει το μέλι του σε βάζα των το

καθένα.

(α) Αν χρησιμοποιήσει βάζα των το καθένα, πόσα βάζα θα χρειαστεί;

(β) Αν κάθε βάζο των κοστίζει και κάθε βάζο των κοστίζει

, ποια συσκευασία συμφέρει να χρησιμοποιήσει;

16. Ο Αλέξανδρος υποστηρίζει ότι η μάζα του ανθρώπου είναι ανάλογη του ύψους του.

Κατέγραψε στον πιο κάτω πίνακα τη μάζα και το ύψος τεσσάρων συμμαθητών του. Να

επιβεβαιώσετε ή να απορρίψετε τον ισχυρισμό του Αλέξανδρου. Να εξηγήσετε τον

τρόπο που εργαστήκατε.

Μάζα σε kg

Ύψος σε m


17. H Ελένη διάβασε σε ένα άρθρο ότι ένα άτομο, πάνω από χρονών, χάνει περίπου

από το ύψος του κάθε χρόνο.

(α) Αν ο ογδοντάχρονος παππούς της Ελένης έχει ύψος , ποιο θα ήταν το

ύψος του παππού, όταν ήταν χρονών.

(β) Ο θείος της Εβελίνας, ο Νικόλας, είναι χρονών και έχει ύψος . Με

βάση τα στοιχεία του άρθρου, να υπολογίσετε πόσο ύψος θα έχει, όταν θα γίνει

χρόνων.


1. Το Δημοτικό Συμβούλιο της πόλης, έχει

εγκαταστήσει στην είσοδο της πόλης μια πινακίδα

που καλωσορίζει τον επισκέπτη και δείχνει το

ποσοστό των οδηγών που οδηγούν εντός του ορίου

ταχύτητας.

(α) Γιατί νομίζετε ότι το συμβούλιο χρησιμοποίησε

αυτό τον τρόπο για να αναπτύξει την οδική

συνείδηση; Γιατί επέλεξαν ο πίνακας να δείχνει

το ποσοστό των οδηγών που τηρούν το όριο

και όχι αυτών που παρανομούν;

(β) Πώς θα μπορούσε να περιγραφεί, χρησιμοποιώντας μικρότερους αριθμούς, το

πλήθος των οδηγών που τηρούν το όριο ταχύτητας σε σχέση με το συνολικό πλήθος

των οδηγών που πέρασαν από το σημείο;

(γ) Υποθέτουμε ότι το επόμενο αυτοκίνητο που περνά από την κάμερα τρέχει με

μεγαλύτερη ταχύτητα από την επιτρεπόμενη. Το ποσοστό θα αυξηθεί ή θα μειωθεί;

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

2. Η γραφική παράσταση της σχέσης που συνδέει τα ποσά και είναι μια ημιευθεία με

αρχή το σημείο ( ). Αν το σημείο ( ) είναι σημείο της πιο πάνω ημιευθείας:

(α) Να εξηγήσετε γιατί τα ποσά και είναι ανάλογα και να βρείτε τον συντελεστή

αναλογίας.

(β) Να γράψετε τη σχέση που συνδέει τα ποσά και και να συμπληρώσετε τον

πίνακα:

(γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της σχέσης που συνδέει τα ποσά και .


3. Μια υπεραγορά πωλούσε το ψωμί προς . Τη συγκεκριμένη μέρα εισέπραξε

από την πώληση των ψωμιών. Να βρείτε πόσα κιλά σιτάρι χρησιμοποιήθηκαν,

για να παρασκευαστεί η ποσότητα της ημέρας αυτής, αν γνωρίζουμε ότι κιλά σιτάρι

δίνουν αλεύρι και αλεύρι δίνουν ψωμιά.

4. Η Άννα είχε ψηφιακούς δίσκους στη συλλογή της και η Ραφαέλα . Η Άννα αγόρασε

ψηφιακούς δίσκους και η Ραφαέλα . Να βρείτε δύο δυνατές τιμές για τα και , αν

γνωρίζουμε ότι ο λόγος των ψηφιακών δίσκων της Άννας προς τους δίσκους της

Ραφαέλας παρέμεινε σταθερός. Να εξηγήσετε τον τρόπο που εργαστήκατε.

5. Η συχνότητα του ήχου είναι αντιστρόφως ανάλογη του μήκους του κύματος . Ένας

συγκεκριμένος ήχος έχει συχνότητα και μήκος κύματος . Να

υπολογίσετε την συχνότητα , όταν η αριθμητική τιμή της συχνότητας ( ) είναι η ίδια με

την αριθμητική τιμή του μήκους του κύματος ( ).

6. Σε μια ισορροπημένη εφηβική διατροφή, η αναλογία υδατανθράκων προς πρωτεΐνες

πρέπει να είναι , ενώ η αναλογία λιπών προς υδατάνθρακες πρέπει να είναι .

Κάθε γραμμάριο λίπους είναι θερμίδες, κάθε γραμμάριο υδατανθράκων είναι

θερμίδες και κάθε γραμμάριο πρωτεΐνης είναι θερμίδες. Αν ένας έφηβος θέλει να

παίρνει θερμίδες την ημέρα, πως θα φτιάξει το διαιτολόγιο του;

7. Η καρέκλα κατασκευάστηκε το και θεωρείται ένα από τα

σημαντικότερα αντικείμενα στην ιστορία των επίπλων. Η μινιατούρα της

καρέκλας αυτής έχει ύψος , βάθος και πλάτος . Για την

κατασκευή της χρησιμοποιήθηκε κλίμακα .

(α) Να υπολογίσετε τις πραγματικές διαστάσεις της καρέκλας .

(β) Μια άλλη μινιατούρα της ίδιας καρέκλας κατασκευάστηκε από άλλο

εργοστάσιο αρχικά με κλίμακα . Στη συνέχεια το εργοστάσιο

χρησιμοποίησε την ίδια κλίμακα, για να φτιάξει μοντέλο της πρώτης μινιατούρας. Η

ίδια διαδικασία εφαρμόστηκε τρεις φορές. Να συγκρίνετε τις διαστάσεις του

τελευταίου μοντέλου της καρέκλας που κατασκεύασε το εργοστάσιο αυτό με τη

μινιατούρα που κατασκεύασε το πρώτο εργοστάσιο και να γράψετε τις

παρατηρήσεις σας.

(γ) Να βρείτε την κλίμακα με την οποία κατασκευάστηκε το τρίτο μοντέλο της καρέκλας.

http://www.design-museum.com/index.php?cl=moredetails&cnid=miniatures&anid=20200101


8. Να μελετήσετε τη χρυσή τομή.

Οι Αρχαίοι Έλληνες μελέτησαν τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώματος από τον 𝜊 αιώνα π.Χ..

Ένας συγκεκριμένος λόγος, ο λόγος της χρυσής τομής , είναι η σχέση που συνδέει

όλα σχεδόν τα μέλη του ιδανικού σώματος π.χ. Μ1:Μ2, Μ2:Μ3, Μ3:Μ4 κ.ο.κ . Οι αρχαίοι

γλύπτες, έφτιαχναν τα αγάλματα τους τηρώντας τις αναλογίες της χρυσής τομής. Αργότερα με

το θέμα των ιδανικών αναλογιών, ασχολήθηκε και ο Leonardo Da Vinci.

Ο ≪Δορυφόρος≫ του Πολύκλειτου (ρωμαϊκό μαρμάρινο αντίγραφο του χάλκινου αυθεντικού έργου).

Η χρυσή τομή φ ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών 𝜶

𝜷 όταν ισχύει

𝜶

𝜷

𝜶 𝜷

𝜶 που ισούται περίπου με 1,618. Πιστεύεται ότι ο Φειδίας ήταν ο πρώτος που την

εφάρμοσε στα γλυπτά του. Γι’ αυτό, στον αριθμό που εκφράζει αυτή την αναλογία δόθηκε στις

αρχές του 𝜊𝜐 αιώνα από τον Mark Barr, έναν Αμερικανό μαθηματικό, η ονομασία, από το

πρώτο γράμμα του ονόματος του γλύπτη. Θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες και για το

λόγο αυτό έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την αρχαία

Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση.

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%98%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B9%CF%84%CE%B5%CE%BA%CF%84%CE%BF%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CE%AE

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%96%CF%89%CE%B3%CF%81%CE%B1%CF%86%CE%B9%CE%BA%CE%AE

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B1%CE%AF%CE%B1_%CE%95%CE%BB%CE%BB%CE%AC%CE%B4%CE%B1

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B1%CE%AF%CE%B1_%CE%95%CE%BB%CE%BB%CE%AC%CE%B4%CE%B1

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE%BD%CE%B1%CE%B3%CE%AD%CE%BD%CE%BD%CE%B7%CF%83%CE%B7


Ενότητα 8

Γεωμετρία ΙΙ: Τετράπλευρα - Κύκλος


Ενότητα 8: Γεωμετρία ΙΙ (Τετράπλευρα - Κύκλος) 79

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

Παραλληλόγραμμο


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “Ben8_IdiotitesPRAL.ggb”.

Να μετακινήσετε τις κορυφές του

παραλληλογράμμου και να

παρατηρήσετε το μέτρο των γωνιών και

τα μήκη των πλευρών και διαγωνίων

του.

Να συγκρίνετε τα μήκη των

ευθύγραμμων τμημάτων με και

με . Να καταγράψετε τις παρατηρήσεις σας.

Μαθαίνω

Παραλληλόγραμμο ονομάζεται το τετράπλευρο επίπεδο σχήμα που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου ονομάζεται κέντρο του παραλληλογράμμου

Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι πιο κάτω ιδιότητες:

Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες.

Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες.

(

Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται, δηλαδή το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι το μέσο των διαγωνίων του

80 Ενότητα 8: Γεωμετρία ΙΙ (Τετράπλευρα - Κύκλος)


Στο σχήμα το είναι παραλληλόγραμμο. Να υπολογίσετε τις τιμές των και .

Λύση:


1. Αν είναι παραλληλόγραμμο, να συμπληρώσετε τις

πιο κάτω προτάσεις και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις

σας.

α) …… β) ……… γ) …… δ) ……

ε) …… στ) ……… ζ) ……. η) ……


2. Αν είναι παραλληλόγραμμο να υπολογίσετε:

α) Το μήκος των πλευρών και .

β) Τις γωνίες του παραλληλογράμμου.

3. Αν είναι παραλληλόγραμμο, να

υπολογίσετε το μήκος των ευθύγραμμων

τμημάτων και .

4. Αν και είναι

παραλληλόγραμμα, να δείξετε ότι .


Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “Ben8_IdiotitesORTHOG.ggb”.


ορθογωνίου παραλληλογράμμου

και να παρατηρήσετε το μέτρο

των γωνιών τα μήκη των πλευρών

και των διαγωνίων του.

Υπάρχουν ιδιότητες του

ορθογωνίου που δεν ισχύουν στο

παραλληλόγραμμο;

Να καταγράψετε τις

παρατηρήσεις σας.

Μαθαίνω

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή πιο απλά ορθογώνιο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει και τις τέσσερις γωνίες του ορθές.

Κάθε ορθογώνιο είναι και παραλληλόγραμμο.

Σε κάθε ορθογώνιο ισχύουν οι πιο κάτω ιδιότητες:

Όλες οι ιδιότητες που ισχύουν στο

παραλληλόγραμμο.

Οι διαγώνιοι του είναι ίσες

Παρατήρηση: Στο ορθογώνιο οι διαγώνιοι του είναι ίσες και διχοτομούνται.

Άρα



Στο διπλανό ορθογώνιο δίνονται: ,

Να υπολογίσετε:

α) τα μήκη των τμημάτων β) τις γωνίες ω και φ.

Λύση:

√ .

(το τρίγωνο είναι ισοσκελές


1. Αν είναι ορθογώνιο και , , να υπολογίσετε το .

2. Να υπολογίσετε το μήκος του , αν είναι ορθογώνιο, και

.

3. Να υπολογίσετε τις γωνίες που φαίνονται στο ορθογώνιο , αν .


Ρόμβος


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “BEn8_IdiotitesROMVOS.ggb”.

Να μετακινήσετε τις κορυφές του ρόμβου

και να παρατηρήσετε τα μήκη των πλευρών

και των διαγωνίων του.

Τι σχέση έχουν οι διαγώνιοι και .

Τι σχέση έχει η διαγώνιος με τις γωνίες

και .

Να καταγράψετε τις παρατηρήσεις σας.

Μαθαίνω

Ρόμβος ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει και τις τέσσερεις πλευρές του ίσες.

Κάθε ρόμβος είναι και παραλληλόγραμμο.

Σε κάθε ρόμβο ισχύουν οι πιο κάτω ιδιότητες:


παραλληλόγραμμο.

Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες.

Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες

του

Παρατήρηση: Στο ρόμβο ισχύει ότι οι απέναντι

γωνίες είναι ίσες. Άρα:



Δίνεται ρόμβος με γωνία . Να υπολογίσετε τις γωνίες του ρόμβου και να δικαιολογήσετε γιατί οι διαγώνιες του τέμνονται κάθετα.

Λύση:


1. Αν είναι ρόμβος, και να υπολογίσετε:

α) τις γωνίες , και .

β) το μήκος των και

2. Δίνεται ρόμβος και το σημείο τομής των διαγωνίων του. Αν ,

και , να υπολογίσετε:

α) τη γωνία

β τo

γ) το μήκος των και


Τετράγωνο


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “Ben8_IdiotitesTETRAGONO.ggb”.


τετραγώνου και να παρατηρήσετε το

μέτρο των γωνιών, τα μήκη των

πλευρών και των διαγωνίων του.

Να εξετάσετε αν οι ιδιότητες του

ρόμβου και του ορθογωνίου ισχύουν

και στο τετράγωνο.

Να καταγράψετε τις παρατηρήσεις σας.

Μαθαίνω

Τετράγωνο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει τις πλευρές του ίσες και τις γωνιές του ίσες.

Κάθε τετράγωνο είναι παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο και ρόμβος.

Σε κάθε τετράγωνο ισχύουν οι πιο κάτω ιδιότητες:


παραλληλόγραμμο στο ορθογώνιο και στο

ρόμβο.

Δηλαδή:

- Οι γωνίες του τετραγώνου είναι όλες

ορθές.

- Οι διαγώνιοι του τετραγώνου διχοτομούνται, είναι κάθετες, είναι ίσες και

διχοτομούν τις γωνιές του.



Δίνεται τετράγωνο με πλευρά . Να υπολογίσετε το μήκος των και τη γωνία .

Λύση: Στο διπλανό τετράγωνο έχουμε Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο :

√

√ √

√

√


1. Στο πιο κάτω σχήμα το είναι τετράγωνο. Να υπολογίσετε

τα και :

2. Στο διπλανό σχήμα το είναι τετράγωνο με πλευρά . Να βρείτε:

α) Ευθύγραμμα τμήματα με μήκος .

β) Ευθύγραμμα τμήματα με μήκος √ .

γ) Ευθύγραμμα τμήματα με μήκος √ .

δ) Γωνίες με μέτρο .

ε) Γωνίες με μέτρο .

3. Αν το είναι τετράγωνο με διαγώνιο √ , να

υπολογίσετε:

α) το

β) τα μήκη των πλευρών του.


Τραπέζιο


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “Ben8_IdiotitesTRAPEZIO.ggb”.


τραπεζίου και να παρατηρήσετε το

μέτρο των γωνιών, τα μήκη των


Να μετακινήσετε το δρομέα, ώστε

η γωνία να γίνει ορθή και να

παρατηρήσετε το μέτρο των

γωνιών, τα μήκη των πλευρών και

των διαγωνίων του.

Να μετακινήσετε το δρομέα ή και τις κορυφές του τραπεζίου, ώστε οι γωνίες

και να γίνουν ίσες. Να παρατηρήσετε το μέτρο των γωνιών του, τα μήκη των


Να καταγράψετε τις παρατηρήσεις σας

Μαθαίνω

Τραπέζιο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει μόνο τις δύο πλευρές του παράλληλες.

Οι παράλληλες πλευρές του τραπέζιου ονομάζονται βάσεις του τραπεζίου.

Η απόσταση των δύο παράλληλων πλευρών του τραπεζίου ονομάζεται ύψος του τραπεζίου.

Τραπέζιο Ορθογώνιο τραπέζιο Ισοσκελές τραπέζιο

Το τραπέζιο που έχει μια ορθή γωνία ονομάζεται ορθογώνιο τραπέζιο.

Το τραπέζιο που έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες ονομάζεται ισοσκελές τραπέζιο. Σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο ισχύουν οι πιο κάτω ιδιότητες:

- Οι προσκείμενες σε κάθε βάση γωνίες του είναι ίσες .

- Οι διαγώνιες του είναι ίσες ( ).



Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με ,

και . Να υπολογίσετε τις

γωνίες του τραπεζίου

Λύση:

( ισοσκελές τραπέζιο).


1. Για καθένα από τα ακόλουθα τραπέζια, να ονομάσετε τις βάσεις και τις προσκείμενες σε κάθε βάση γωνίες.

α) β) γ)

2. Για καθένα από τα ακόλουθα ισοσκελή τραπέζια, να υπολογίσετε το μέτρο των γωνιών τους.

α) β) γ)

3. Αν σε ένα ισοσκελές τραπέζιο η μία γωνία είναι , να υπολογίσετε τις υπόλοιπες.

4. Να εξετάσετε κατά πόσον οι πιο κάτω ιδιότητες είναι δυνατόν να ισχύουν για ένα τραπέζιο.

α) Τρείς πλευρές ίσες. β) Μια πλευρά εκτός από τις βάσεις να είναι μεγαλύτερη από τις βάσεις. γ) Τρεις γωνίες ορθές. δ) Ίσες βάσεις. ε) Δύο πλευρές ίσες χωρίς να είναι το τραπέζιο ισοσκελές.


ΜΕΤΡΗΣΗ (Τρίγωνα – Τετράπλευρα – Κύκλος) Τετράγωνο – Ορθογώνιο


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “Ben8_EmvTetOrth.ggb”.

Να μετακινήσετε τις κορυφές των τετραπλεύρων και να υπολογίσετε το

εμβαδόν και την περίμετρό τους.

Να γράψετε τον τρόπο με τον οποίο εργαστήκατε.

Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο που να είναι

ισεμβαδικά.

Μαθαίνω

Το εμβαδόν του τετραγώνου πλευράς α είναι ίσο με το

τετράγωνο της πλευράς του.

Η περίμετρος του τετραγώνου πλευράς είναι ίση με το

τετραπλάσιο της πλευράς του.

Το εμβαδόν του ορθογωνίου με διαστάσεις

είναι ίσο με το γινόμενο των διαστάσεών του.

Η περίμετρος του ορθογωνίου με διαστάσεις

είναι ίσο με το διπλάσιο του αθροίσματος των διαστάσεών του.

Δύο επίπεδα σχήματα που έχουν το ίδιο εμβαδόν λέγονται ισοδύναμα ή

ισεμβαδικά.



Τετράγωνο είναι ισεμβαδικό με ορθογώνιο που έχει περίμετρο και το μήκος του είναι διπλάσιο του πλάτους του. Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου.

Λύση: Έστω οι διαστάσεις του ορθογωνίου και η πλευρά του τετραγώνου.

α

√

ή √ √


1. Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση:

α) Η περίμετρος ορθογωνίου με μήκος και πλάτος είναι

β) Το εμβαδόν τετραγώνου με πλευρά είναι:

γ) Αν διπλασιάσουμε και τις δύο διαστάσεις ενός ορθογωνίου, το εμβαδόν του:

Α. παραμένει σταθερό Β. γίνεται το μισό Γ. διπλασιάζεται

Δ. οκταπλασιάζεται Ε. τετραπλασιάζεται

2. Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν των πιο κάτω τετραπλεύρων: α)

β)

γ)

3. Να υπολογίσετε το μήκος και την περίμετρο ορθογωνίου αν το εμβαδόν του είναι

και το πλάτος του . 4. Να υπολογίσετε τις διαστάσεις ορθογωνίου με εμβαδόν , αν το μήκος του είναι

διπλάσιο από το πλάτος του. 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του διπλανού σκιασμένου

τετραγώνου, αν η πλευρά του είναι ίση με τη διαγώνιο του ορθογώνιου .


Παραλληλόγραμμο - Τρίγωνο


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο

“Ben8_EmvdoParall.ggb”.

Να μετακινήσετε τις κορυφές

του παραλληλογράμμου και να

βρείτε τον τύπο υπολογισμού

του εμβαδού του.


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “Ben8_EmvdoTrig.ggb”.

Να μετακινήσετε τις κορυφές του τριγώνου και να βρείτε ένα τύπο για τον

υπολογισμό του εμβαδού του.


Μαθαίνω

Παραλληλόγραμμο

Κάθε πλευρά του

παραλληλογράμμου μπορεί να ονομαστεί βάση του παραλληλογράμμου. Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά ονομάζεται ύψος του παραλληλογράμμου. Π.χ. για τις βάσεις και το ύψος είναι το , ενώ για τις βάσεις και το ύψος είναι το .

Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο της βάσης επί το

αντίστοιχο ύψος του.

β

Η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι ίση με το διπλάσιο του αθροίσματος

των βάσεων (πλευρών) του.

Τρίγωνο

Κάθε πλευρά του τριγώνου μπορεί να ονομαστεί βάση του τριγώνου.

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της βάσης επί το αντίστοιχο ύψος του.

β

Η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των πλευρών του.



1. Στο διπλανό σχήμα το είναι παραλληλόγραμμο. Να υπολογίσετε:

α) τo εμβαδόν του παραλληλογράμμου , β) τo ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά Δ.

Λύση:

α)

β)

2. Δίνεται τρίγωνο με εμβαδόν . Aν η βάση του είναι εξαπλάσια από το αντίστοιχο ύψος του, να υπολογίσετε τη βάση και το ύψος του.

Λύση:

√


1. Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο των πιο κάτω παραλληλογράμμων.

α) β) γ)

2. Παραλληλόγραμμο έχει βάση και αντίστοιχο ύψος . Το εμβαδόν του είναι:

3. Παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν και ύψος . Να υπολογίσετε τη βάση που αντιστοιχεί στο ύψος αυτό.


4. Παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 64 . Αν η βάση του είναι τετραπλάσια από το αντίστοιχο ύψος, να υπολογίσετε τη βάση και το ύψος του.

5. Ένα παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο και η μία πλευρά του είναι . Αν το

εμβαδόν του είναι , να υπολογίσετε τα ύψη του. 6. Παραλληλόγραμμο με βάση είναι ισεμβαδικό με τετράγωνο πλευράς . Να

υπολογίσετε το ύψος που αντιστοιχεί στη πλευρά αυτή. 7. Ένα παραλληλόγραμμο έχει το ίδιο εμβαδόν και την ίδια περίμετρο με ένα ορθογώνιο

που έχει διαστάσεις και . Αν η μία πλευρά του παραλληλογράμμου είναι , να υπολογίσετε τα ύψη του. Τι παρατηρείτε;

8. Να βρείτε το εμβαδόν των πιο κάτω σκιασμένων τριγώνων:

α) β) γ)

9. Η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι και η μια κάθετη πλευρά του είναι ίση με . Να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρό του.


Ρόμβος


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “BEn8_EmvdoRomvou.ggb”.

Να μετακινήσετε τις κορυφές του ρόμβου και να βρείτε ένα τύπο για τον

υπολογισμό του εμβαδού του, χρησιμοποιώντας τις διαγώνιες του.

Μαθαίνω

Το εμβαδόν του ρόμβου με διαγώνιους αι είναι ίσο με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του.

Το εμβαδόν του ρόμβου μπορεί να υπολογισθεί και ως εμβαδόν παραλληλογράμμου:

Η περίμετρος του ρόμβου πλευράς είναι ίση με το τετραπλάσιο της πλευράς του.



Δίνεται ο ρόμβος με κέντρο . Αν η πλευρά του ρόμβου είναι και η διαγώνιος , να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρό του.

Λύση:

Στο ρόμβο οι διαγώνιες του είναι κάθετες και διχοτομούνται. Άρα:

.

√

Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρο ρόμβου με διαγωνίους και .

2. Ρόμβος έχει εμβαδόν και η μια διαγώνιος του ισούται με . Να υπολογίσετε

την άλλη διαγώνιο και την περίμετρο του ρόμβου. 3. Ο χαρταετός του διπλανού σχήματος είναι ρόμβος με διαγωνίους

και . Να υπολογίσετε την περίμετρο του χαρταετού και το εμβαδόν της επιφάνειας του.

4. Η μια διαγώνιος του ρόμβου είναι τετραπλάσια από την άλλη. Το εμβαδόν του ρόμβου είναι Να υπολογίσετε τις διαγωνίους του ρόμβου.

5. Ορθογώνιο έχει περίμετρο και είναι ισοδύναμο με ρόμβο. Αν το μήκος του ορθογωνίου είναι εξαπλάσιο από το πλάτος του και η μία διαγώνιος του ρόμβου είναι ίση με , να υπολογίσετε:

α) τις πλευρές του ορθογωνίου, β) το εμβαδόν του ορθογωνίου, γ) την άλλη διαγώνιο του ρόμβου, δ) την περίμετρο του ρόμβου.


Τραπέζιο


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “Ben8_EmvdoTrapeziou.ggb”.

Να μετακινήστε τις κορυφές του τραπεζίου και να βρείτε έναν τύπο για τον

υπολογισμό του εμβαδού του, χρησιμοποιώντας τα μήκη των βάσεων του

και του ύψους του.

Μαθαίνω

Οι δύο παράλληλες πλευρές του τραπεζίου λέγονται βάσεις του

τραπεζίου. Συμβολίζουμε με και τις δύο βάσεις. Ύψος του τραπεζίου ορίζεται η απόσταση των δύο βάσεων.

Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεων του επί το ύψος του.

Η περίμετρος του τραπεζίου είναι ίσο με το άθροισμα των τεσσάρων πλευρών του.



1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται τραπέζιο με βάσεις ,

και β . Να βρεθεί το ύψος του.

Λύση:

( )

2. Ένα τραπέζιο έχει βάσεις και . Να υπολογίσετε το ύψος του τραπεζίου, αν το

τραπέζιο είναι ισοδύναμο με τετράγωνο που έχει περίμετρο . Λύση: 20 m

( )


1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν των πιο κάτω τραπεζίων :

α)

β)

δ)

ε)


2. Να υπολογισθεί το εμβαδόν των πιο κάτω τραπεζίων.

α)

β)

3. Πόσο είναι το ύψος τραπεζίου που έχει εμβαδόν και βάσεις και .

4. Δίνεται τραπέζιο με εμβαδόν και ύψος ίσο με Αν η μια βάση του είναι διπλάσια από την άλλη, να υπολογίσετε τις δυο βάσεις.

5. Δίνεται τραπέζιο με εμβαδόν , ύψος και μια βάση . Να υπολογίσετε

την άλλη βάση του. 6. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου με ,

και . 7. Να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου .

8. Ορθογώνιο τραπέζιο ( ) έχει και . Να υπολογίσετε τις βάσεις του τραπεζίου.


Κύκλος


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “Ben8_pi.ggb”.

Να μετακινήσετε το δρομέα « » και να παρατηρήσετε το λόγο:

.

Τι παρατηρείτε;

Να βρείτε έναν τύπο για τον υπολογισμό του μήκους του κύκλου


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “Ben8_EmvadoKyklos.ggb”.

Να επιλέξετε το κουτί και να ακολουθήσετε τις οδηγίες.

Να βρείτε έναν τύπο για τον υπολογισμό της επιφάνειας του κυκλικού δίσκου

συναρτήσει της ακτίνας.



Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “Ben8_EmvΚΤ_ΜΤ.ggb”.

Να μετακινήσετε το δρομέα και να συμπληρώσετε τον πιο κάτω

πίνακα για διαφορετικές τιμές της γωνίας ω, όταν η ακτίνα ρ=10 cm.

Μήκος κύκλου

Μήκος τόξου

Εμβαδόν κυκλικού

δίσκου

Εμβαδόν κυκλικού

τομέα .

Μέρος (κλάσμα) κυκλικού δίσκου

ή μήκος κύκλου

α.

β.

γ.

δ.

ε.

Να βρείτε έναν τύπο για να υπολογίζετε την επιφάνεια του κυκλικού τομέα συναρτήσει

των και .

Να βρείτε έναν τύπο, για να υπολογίζετε το μήκος τόξου κύκλου συναρτήσει των και

.

Να διαφοροποιήσετε το . Τι παρατηρείτε;


Μαθαίνω

Ο λόγος του μήκους του κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του είναι πάντα

σταθερός και συμβολίζεται με το γράμμα «π».

δηλαδή:

3.141592653589793238462643383279502...

Ο αριθμός π είναι άρρητος.

Το π στις πράξεις το χρησιμοποιούμε συνήθως με ακρίβεια δύο δεκαδικών θέσεων δηλ.

Το μήκος ενός κύκλου με ακτίνα είναι:

Το εμβαδόν του κύκλου (ή εμβαδόν κυκλικού δίσκου) με ακτίνα ρ είναι:

Το εμβαδόν κυκλικού τομέα ( ) σε κύκλο με ακτίνα και με αντίστοιχη επίκεντρη γωνία είναι:

Το μήκος τόξου ( ) σε κύκλο με ακτίνα και με αντίστοιχη επίκεντρη γωνία είναι:

Το «π» πήρε την

ονομασία του από το

αρχικό γράμμα της

λέξης «περιφέρεια».



1. Δίνεται κύκλος με ακτίνα όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν το μήκος του τόξου ΓΕ, α υπολογίσετε συναρτήσει του π: α) To εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.

β) Το μήκος του κύκλου.

γ) Τoν εμβαδόν του τομέα

δ) Το μήκος του τόξου

Λύση:

α)

β)

γ)

δ)

.


2. Στο διπλανό σχήμα το είναι ορθογώνιο, το είναι το μέσο της ,

το είναι ημικύκλιο και το τεταρτοκύκλιο.

Να βρείτε:

α) το εμβαδόν και

β) την περίμετρο της σκιασμένης επιφάνειας.

Λύση:

α) ( )

+

(

)

) (

)

(

)

β)

𝚾𝛒𝛈𝛔𝛊𝛍𝛐𝛑𝛐𝛊𝛐 𝛍𝛆 𝛔𝛕𝛊𝛓 𝛑𝛒 𝛏𝛆𝛊𝛓 𝛑 𝟑 𝟏𝟒



1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν και το μήκος κύκλου με ακτίνα .

2. Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με . Να βρείτε το μήκος του κύκλου.

3. Γύρω από τον κορμό ενός αιωνόβιου δέντρου τυλίγουμε ένα σκοινί. Μετράμε το σκοινί και βρίσκουμε ότι έχει μήκος . Να υπολογίσετε την ακτίνα του κορμού. (Η απάντηση να δοθεί με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων.)

4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα στον στίβο της σφαιροβολίας με

ακτίνα και γωνία 60°

5. Ένας κυκλικός τομέας γωνίας έχει εμβαδόν . Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου.

6. Ο υαλοκαθαριστήρας ενός αυτοκινήτου έχει μήκος . Το σημείο περιστροφής απέχει από το λάστιχο καθαρισμού . Αν ο υαλοκαθαριστήρας διαγράφει γωνία , να υπολογίσετε την επιφάνεια που καθαρίζει.

7. Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου του κύκλου που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία .

8. Αν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε:

α) το μήκος του κύκλου:

Α Β Γ Δ

διπλασιάζεται τριπλασιάζεται τετραπλασιάζεται παραμένει το ίδιο

β) το εμβαδόν του:

Α Β Γ Δ

διπλασιάζεται τριπλασιάζεται εξαπλασιάζεται εννεαπλασιάζεται.

9. Ένας ποδηλάτης, που προετοιμάζεται για τους αγώνες, προπονείται σε στίβο

σχήματος κύκλου με ακτίνα . Πόσες στροφές θα κάνει σε 3 ώρες προπόνησης, αν κινείται με ταχύτητα ;

10. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους (κυκλικού δακτυλίου), αν και .


11. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά . Να βρεθεί (κατά προσέγγιση) η ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου που είναι ισοδύναμος με το τετράγωνο.

12. Μια κυκλική πλατεία έχει ακτίνα . Ένας προβολέας είναι τοποθετημένος στο κέντρο της πλατείας και εκπέμπει δέσμη φωτός που φωτίζει έναν κυκλικό τομέα γωνίας . α) Να βρείτε το εμβαδόν της πλατείας. β) Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που φωτίζεται.

13. Ο ωροδείκτης ενός ρολογιού έχει μήκος και ο λεπτοδείκτης . Τι μήκος θα διαγράψουν οι άκρες των δύο δεικτών μαζί, σε δύο ώρες;

14. Δύο ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες και ,

αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος.



1. Να υπολογίσετε τις τιμές των στα πιο κάτω παραλληλόγραμμα:

α)

β)

2. Αν είναι παραλληλόγραμμο, και να συμπληρώσετε τον

πίνακα:

α) β) γ)

δ) ε) στ)

4. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις (Να σημειώσετε Σωστό (Σ) ή Λανθασμένο (Λ) στη δεύτερη στήλη του πίνακα):

α) Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες.

β) Οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες.

γ) Όλες οι πλευρές του ορθογωνίου είναι ίσες.

δ) Όλες οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες.

ε) Οι διαγώνιοι του τετραγώνου τέμνονται κάθετα.

στ) Ένα τετράπλευρο είναι πάντα παραλληλόγραμμο ή τραπέζιο.


5. Στον πιο κάτω πίνακα να σημειώσετε όταν ισχύει , η ιδιότητα που αναφέρεται

στην πρώτη στήλη του πίνακα.

ΙΔΙΟΤΗΤΑ Παραλληλόγραμμο Ορθογώνιο Τετράγωνο Ρόμβος

Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες. Οι διαγώνιοι είναι ίσες. Οι πλευρές είναι ίσες. Οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα. Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. Οι γωνίες του είναι . Δυο διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές

Οι διαγώνιοι διχοτομούνται. Οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες του.

6. Στη διπλανή κατασκευή το είναι παραλληλόγραμμο. Αν

, και , να υπολογίσετε:

α) το μήκος των και ΟΛ,

β) το μέτρο των και .

7. Να χαρακτηρίσετε ως προς το είδος τους καθένα από τα πιο

κάτω τετράπλευρα (παραλληλόγραμμο, τετράγωνο,

ορθογώνιο, ρόμβος, ή κανένα σχήμα από τα προηγούμενα).

α)

β)

γ)

δ)

ε)


8. Ένας κύκλος έχει εμβαδόν ίσο αριθμητικά με το μήκος του. Η ακτίνα του είναι ίση με:

Α Β Γ Δ

4 2 6 5

9. Ένας κύκλος έχει μήκος περισσότερο από το μήκος ενός άλλου κύκλου. Πόσο μεγαλύτερη

είναι η ακτίνα του; (Η απάντηση να δοθεί με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων.)

10. Τρεις ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες αντίστοιχα. Αν , ,

είναι τα μήκη της περιφέρειας των τριών κύκλων, αντίστοιχα, να

συμπληρώσετε τον πίνακα:

11. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σκιασμένων επιφανειών στα παρακάτω τετράγωνα πλευράς

. Τα τόξα στα πιο κάτω σχήματα είναι ημικύκλια ή τεταρτοκύκλια.

(α) (β) (γ) (δ)

12. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που έχει τετραπλάσιο εμβαδόν από τον κύκλο με ακτίνα

.

13. Το εμβαδόν κυκλικού τομέα γωνίας είναι . Να βρείτε το εμβαδόν του κύκλου

στον οποίο ανήκει ο τομέας.

14. Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος έχει διάμετρο Β και εμβαδόν ². Να

υπολογίσετε τα εμβαδά και .


15. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του διπλανό σχήματος

16. Το τρίγωνο του πιο κάτω σχήματος είναι ισοσκελές

με και . Να υπολογίσετε

το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με το

ύψος ΑΔ του τριγώνου.

17. Ο ιδιοκτήτης ενός καταστήματος παράγγειλε το διπλανό

πάγκο εργασίας. Να υπολογίσετε το συνολικό εμβαδό

της επιφάνειας του πάγκου.

18. Ένα πάρκο σχήματος τετραγώνου πλευράς 100 m θα

φυτευτεί με γρασίδι (σκιασμένο χωρίο), όπως φαίνεται

στο διπλανό σχήμα. Κάθε κιλό σπόρου καλύπτει .

Πόσα κιλά σπόρο θα χρειαστεί;

19. Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο των σκιασμένων περιοχών:

α) β) γ)


Δραστηριότητες εμπλουτισμού

1. Να υπολογίσετε το μήκος των πλευρών και των διαγωνίων των πιο κάτω τετραπλεύρων

και να τα χαρακτηρίσετε ως προς το είδος τους.

α) β)

2. Να ερμηνεύσετε το πιο κάτω Βέννειο διάγραμμα και να γράψετε τις παρατηρήσεις σας.

3. Να εξετάσετε κατά πόσο οι ακόλουθες προτάσεις είναι αληθείς (Να σημειώσετε Σωστό

(Σ) ή Λανθασμένο (Λ) στη δεύτερη στήλη του πίνακα):

α) Κάθε παραλληλόγραμμο είναι και τετράγωνο.

β) Κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος.

γ) Κάθε ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο.

δ) Κάθε ρόμβος είναι τετράγωνο.

ε) Κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο.

στ) Κάθε ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο.

4. Με βάση το σχήμα να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του

τραπεζίου είναι :

β β


5. Για να χαραχτούν οι γραμμές ενός γηπέδου Σάλας τοποθετούνται σημάδια με σχοινί και

πασσάλους, όπως στο διπλανό σχήμα. Το μήκος και το πλάτος πρέπει να είναι

και . Οι πάσσαλοι στα σημεία μπορούν να

μετακινούνται. Μπορούν, επίσης, να γίνονται μετρήσεις και με μετροταινία.

Να εξηγήσετε πως πρέπει να μετακινηθούν οι πάσσαλοι και τι μετρήσεις πρέπει να

γίνουν ώστε να είμαστε σίγουροι ότι το γήπεδο να είναι ορθογώνιο.

6. Ένας κτηνοτρόφος θέλει να περιφράξει ένα ορθογώνιο κομμάτι γης . Μπορείτε

να τον βοηθήσετε να βρει τις διαστάσεις της ορθογώνιας αυτής της περιοχής, ώστε να

χρησιμοποιήσει το μικρότερο μήκος περίφραξης;

7. Το παιχνίδι «τάνγκραμ» αποτελείται από 7 κομμάτια, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα

μικρό τετράγωνο με πλευρά μήκους √ , δύο μικρά ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα με

βάσεις μήκους √ , ένα μεσαίου μεγέθους ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρά 4,

δύο μεγάλα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα με πλευρά √ και ένα τετράπλευρο , όπως

φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

α) Να εξηγήσετε γιατί το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

β) Να εξηγήσετε γιατί το τετράπλευρο που σχηματίζεται με όλα τα κομμάτια είναι

τετράγωνο.

γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου και το εμβαδόν του τετραπλεύρου που

σχηματίζεται με όλα τα κομμάτια.


8. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις cm και και μη παράλληλες

πλευρές Να υπολογίσετε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας.

9. Στο πιο κάτω σχήμα, το είναι ορθογώνιο τραπέζιο με

Με κέντρο το και ακτίνα σχηματίζουμε τεταρτοκύκλιο. Να

βρείτε:

α) το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους, β) την περίμετρο του σκιασμένου μέρους.

(Να αντικαταστήσετε το π με

)

10. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος με κέντρο και ακτίνα καθώς και τα ημικύκλια

με διαμέτρους και . Αν και , να υπολογίσετε το εμβαδόν και

την περίμετρο της σκιασμένης περιοχής. (Να δώσετε την απάντησή σας συναρτήσει του ).


11. Πιο κάτω δίνονται δύο ίσα τετράγωνα με πλευρές μήκους β. Το πρώτο χωρίζεται σε

δύο μικρότερα τετράγωνα και δύο ορθογώνια και το δεύτερο σε ένα τετράγωνο και

τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα. Χρησιμοποιώντας τα πιο κάτω σχήματα να αποδείξετε

το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

12. Στο διπλανό σχήμα και Μ μέσο της ΒΓ. Δίνονται, , ° ,

° και εμβαδό του τριγώνου . Να υπολογίσετε τις γωνίες

, , και το ύψος του τριγώνου .

13. Τέσσερα ίσα ορθογώνια και ένα τετράγωνο τοποθετούνται (χωρίς να επικαλύπτονται)

για να δημιουργήσουν ένα άλλο τετράγωνο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν το

κάθε ορθογώνιο έχει περίμετρο να υπολογίσετε το εμβαδόν του μεγάλου

τετραγώνου.


Ενότητα 9

Στατιστική - Πιθανότητες


Ενότητα 9: Στατιστική - Πιθανότητες 119

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Μέτρα Θέσης


Στους αγώνες ρυθμικής γυμναστικής, έξι κριτές

βαθμολογούν το διαγωνιζόμενο από το 1 μέχρι το

10. Αφού αφαιρεθεί η μικρότερη και η

μεγαλύτερη βαθμολογία, αθροίζουν τις

υπόλοιπες τέσσερεις και διαιρούν το άθροισμα

με το 4. Αυτή είναι η τελική βαθμολογία του κάθε

διαγωνιζόμενου.

Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει τη βαθμολογία των ολυμπιονικών, στους Ολυμπιακούς αγώνες της Αθήνας το 2004.

α) Γιατί, νομίζετε, ότι αφαιρείται η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή;

β) Να υπολογίσετε τη βαθμολογία της αθλήτριας που πήρε το χρυσό.


Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει τον αριθμό των γραμμάτων του ονοματεπώνυμου 21

μαθητών ενός τμήματος.

120 Ενότητα 9: Στατιστική - Πιθανότητες

α) Πόσα γράμματα έχει το μικρότερο ονοματεπώνυμο;

β) Πόσα γράμματα έχει το μεγαλύτερο ονοματεπώνυμο;

γ) Ποιος αριθμός γραμμάτων εμφανίζεται τις περισσότερες φορές;

δ) Αν διπλώσουμε στη μέση το χαρτί που είναι γραμμένος ο ποιο πάνω πίνακας, ποια

παρατήρηση θα βρούμε εκεί που διπλώνει το χαρτί; Να σχολιάσετε την παρατήρηση

σας.

ε) Αν τη συγκεκριμένη μέρα απουσίαζε ο μαθητής Χρίστος Γεωργίου, να εξετάσετε πώς

θα επηρεαστεί η διαδικασία στο ερώτημα (δ) αν συμπεριληφθεί το όνομά του;

στ) Αν ο μαθητής που απουσίαζε ονομαζόταν Χρυσοβαλάντης Παπαχριστοδούλου, θα

άλλαζε η απάντηση σας στο ερώτημα (ε);

ζ) Να αφαιρέσετε δύο ονόματα έτσι ώστε η μεσαία παρατήρηση:

i. να μην αλλάξει,

ii. να μεγαλώσει.


Ο πιο κάτω πίνακας δίνει τις μέγιστες θερμοκρασίες (σε ) για τις πρώτες 15 μέρες του Ιανουαρίου.

15 15 12 9 5

11 15 16 15 16

16 14 14 13 11

α) Ποια θερμοκρασία εμφανίζεται τις περισσότερες φορές;

β) Ποια είναι η μικρότερη και ποια η μεγαλύτερη τιμή της θερμοκρασίας;

γ) Ποια είναι η διαφορά της μικρότερης από τη μεγαλύτερη θερμοκρασία;

δ) Αν βάλουμε τις θερμοκρασίες με τη σειρά από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη,

ποια θερμοκρασία θα βρίσκεται στη μέση;

ε) Αν προσθέσουμε όλες τις θερμοκρασίες και διαιρέσουμε με 15, τι αποτέλεσμα

θα βρούμε;

στ) Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί το αποτέλεσμα στο (ε) είναι μικρότερο ή

μεγαλύτερο από το (δ);


Μαθαίνω

Μέση Τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων λέγεται το πηλίκο του αθροίσματος των τιμών

των παρατηρήσεων δια του πλήθους των παρατηρήσεων.

Διάμεσος ενός συνόλου παρατηρήσεων διατεταγμένων σε αύξουσα σειρά είναι:

η μεσαία τιμή-παρατήρηση για περιττό αριθμό παρατηρήσεων,

η μέση τιμή τωv δύo μεσαίωv παρατηρήσεωv για άρτιο αριθμό

παρατηρήσεων.

Επικρατούσα τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων είvαι η τιμή με τη μεγαλύτερη

συχvότητα (εμφανίζεται τις περισσότερες φορές).

Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες έχουμε περισσότερες από μία επικρατούσες

τιμές.

π.χ.

Δίνονται οι θερμοκρασίες σε βαθμούς Κελσίου που καταγράφηκαν το πρώτο

δεκαπενθήμερο του Ιουλίου στην Λευκωσία:

Παρατηρούμε ότι οι θερμοκρασίες και βαθμοί Κελσίου είναι οι θερμοκρασίες

με τη μεγαλύτερη συχνότητα (καταγράφηκαν από 4 φορές η κάθε μια). Άρα, οι

επικρατούσες τιμές είναι και .


1. Δίνονται οι βαθμοί μαθητών που πήραν στο διαγώνισμα των μαθηματικών. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των βαθμολογιών

79 84 63 95 89 71 90 81 77 54 75 Λύση:

Μέση τιμή

Η μέση τιμή των βαθμών είναι 78.

Για να βρούμε τη διάμεσο πρέπει να διατάξουμε τις βαθμολογίες από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη: 5 παρατηρήσεις 5 παρατηρήσεις

54, 63, 71, 75, 77, 79,81, 84, 89, 90, 95


Ο αριθμός των βαθμών είναι περιττός ( ). Άρα η διάμεσος είναι ο μεσαίος, δηλ. το .

2. Το διάγραμμα που ακολουθεί δείχνει πόσα αδέλφια έχουν οι μαθητές μιας τάξης. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή.

Λύση:

Μέση τιμή=

= 2 αδέλφια

10 παρατηρήσεις 10 παρατηρήσεις

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 6

Υπάρχουν αριθμοί, έτσι η διάμεσος είναι η μέση τιμή των δύο μεσαίων αριθμών δηλ. του ου και του ου αριθμού. Ο ος και ος είναι και . Άρα η διάμεσος είναι αδέλφια. Η επικρατούσα τιμή, όπως φαίνεται στο διάγραμμα, είναι ένας αδελφός αφού στην τιμή 1 αντιστοιχεί η μεγαλύτερη συχνότητα που είναι το 7.


1. Ο Γιάννης πήρε τρεις βαθμολογίες και η Μαίρη πήρε βαθμολογίες . Να υπολογίσετε και να συγκρίνετε τη μέση τιμή των βαθμολογιών τους.


2. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό.

α) Η επικρατούσα τιµή των παρατηρήσεων είναι ο αριθµός . ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

β) Η διάμεσος των παρατηρήσεων είναι ο αριθμός . ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

γ) Η διάµεσος των παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η µεσαία παρατήρηση, όταν ο αριθμός τους είναι περιττός.

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

δ) Αν αντικαταστήσουμε τη μεγαλύτερη παρατήρηση με μια πολύ μεγαλύτερη τιμή τότε η διάμεσος των παρατηρήσεων θα αλλάξει.

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

3. Ο αριθµός των µαθητών των τµηµάτων ενός Λυκείου είναι:

. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή της µεταβλητής “αριθµός µαθητών ανά τµήµα”.

4. Η µέση τιµή επτά αριθµών είναι 5. Οι πέντε από αυτούς τους αριθµούς είναι οι . Να βρείτε τους άλλους δύο αριθµούς, αν γνωρίζουµε ότι ο ένας είναι διπλάσιος του άλλου.

5. Η βαθµολογία στα µαθήµατα ενός µαθητή Λυκείου είναι:

. Να υπολογίσετε:

α) τη µέση τιµή, β) τη διάµεσο, γ) την επικρατούσα τιμή,

6. Τα ύψη 8 αθλητών µιας οµάδας καλαθόσφαιρας είναι (σε cm): 172, 175, 183, 177, 190, 193, 189, 195.

α) Να βρείτε:

i) Το µέσο ύψος των αθλητών.

ii) Τη διάµεσο των υψών.

β) Να υπολογίσετε ξανά τη µέση τιµή και διάµεσο, για τις πιο κάτω περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: Αν από την ομάδα φεύγει ο αθλητής µε ύψος . Περίπτωση 2: Αν στην ομάδα έρχεται ακόµα ένας αθλητής µε ύψος . Περίπτωση 3: Αν από την ομάδα φεύγει ο αθλητής µε ύψος και έρχεται

ένας αθλητής µε ύψος .


Στατιστική με Χρήση Λογιστικού Φύλλου στον Υπολογιστή Σε όλους τους υπολογιστές σήμερα υπάρχουν εγκατεστημένα λογιστικά φύλλα τα οποία μας επιτρέπουν να επεξεργαζόμαστε δεδομένα.

Δημιουργία Διαγραμμάτων

Ραβδόγραμμα ή Κυκλικό Διάγραμμα: Μπορούμε εύκολα να δημιουργήσουμε ένα Ραβδόγραμμα ή Κυκλικό Διάγραμμα ακολουθώντας τη πιο κάτω διαδικασία:

I. Καταγράφουμε τον πίνακα συχνοτήτων στο λογιστικό φύλλο κι επιλέγουμε την

περιοχή αυτή (Α1:B6)

II. Επιλέγουμε τη γραμμή εργαλείων «Εισαγωγή (Insert)».

III. Επιλέγουμε ένα από τα γνωστά μας διαγράμματα, ραβδόγραμμα ή κυκλικό

διάγραμμα.

Ο υπολογιστής θα δημιουργήσει αυτόματα ένα από τα δύο διαγράμματα. Ακολούθως υπάρχουν πολλές επιλογές για καλύτερη μορφοποίηση του διαγράμματος, αν το επιθυμούμε.


Υπολογισμός περιγραφικών μέτρων

Καταχωρούμε τα δεδομένα στο πρόγραμμα όπως φαίνεται στον πίνακα. Χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες συναρτήσεις στον υπολογιστή, υπολογίζουμε γνωστά περιγραφικά μέτρα:


1. Ομαδική Εργασία (2-3 Άτομα):

Μια Διεθνής Εκπαιδευτική Έρευνα στην οποία συμμετείχε η Κύπρος είναι η έρευνα TIMSS. Μερικά από τα δεδομένα που συλλέχθηκαν στα πλαίσια της έρευνας δίνονται στο αρχείο: “BEn9_DATA.xlsx ” (Δεδομένα από Έρευνα TIMSS). Τα δεδομένα αναφέρονται σε μαθητές της Β΄ Γυμνασίου ενός σχολείου της Κύπρου. α) Να επεξεργαστείτε τα δεδομένα κατασκευάζοντας στον υπολογιστή κατάλληλα

διαγράμματα ή υπολογίζοντας μέτρα θέσης και απόκλισης. β) Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την επεξεργασία των

δεδομένων. γ) Τι εισηγήσεις θα μπορούσατε να κάνατε προς τους συμμαθητές ή προς τους

καθηγητές σας με βάση τα αποτελέσματα αυτά.

2. Ομαδική Εργασία (3-5 Άτομα):

Να βρείτε από την ιστοσελίδα της Στατιστικής Υπηρεσίας:

http://www.mof.gov.cy/cystat στατιστικά στοιχεία για την Κύπρο, να τα

επεξεργαστείτε με κατάλληλες μεθόδους και να τα παρουσιάσετε στους συμμαθητές

σας.

A

1 Δεδομένα

2 11

3 12

4 12

5 14

6 17

7 15

8 14

9 13

10 14

11 10

Συνάρτηση στο λογιστικό φύλλο

Στατιστικό περιγραφικό μέτρο

Αποτέλεσμα

=AVERAGE(A2:A11) Μέσος όρος 13,2

=MODE( A2:A11) Επικρατούσα τιμή 14

=MEDIAN( A2:A11) Διάμεσος 13,5

=MIN( A2:A11) Ελάχιστη τιμή 10

=MAX( A2:A11) Μέγιστη τιμή 17

http://www.mof.gov.cy/cystat


ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Πείραμα Τύχης – Αρχή της Απαρίθμησης


Ο Παύλος και η Μυρτώ παίζουν με το διπλανό τροχό της

τύχης. Γυρίζουν το δείκτη δύο φορές και καταγράφουν

τα αποτελέσματά τους. Αν το άθροισμα είναι θετικός

αριθμός, κερδίζει ο Παύλος. Αν είναι αρνητικός αριθμός,

κερδίζει η Μυρτώ.

Ποιος έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει;

Μαθαίνω

Σε ένα πείραμα τύχης, με ισοπίθανα αποτελέσματα, η πιθανότητα πραγματοποίησης

ενός ενδεχομένου ή πιθανότητα του ενδεχομένου είναι ο λόγος του πλήθους των

ευνοϊκών αποτελεσμάτων του προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων του

πειράματος.

Δηλαδή:

( )

( )

( )

Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει ( )

Όταν η εκτέλεση ενός πειράματος τύχης πραγματοποιείται σε δύο ή περισσότερες

φάσεις, τότε όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος μπορούν να βρεθούν και με

τη βοήθεια ενός δενδροδιαγράμματος.

−1


π.χ. Σε ένα παιχνίδι επιλέγουμε διαδοχικά, ένα ζευγάρι από δύο διαφορετικά ζεύγη παπουτσιών, ένα από τρία διαφορετικά ζεύγη καλτσών και ένα από τρία διαφορετικά χρώματα καπέλων.

μπλε παπούτσια, μπλε κάλτσες, πράσινο καπέλο

μπλε παπούτσια, μπλε κάλτσες, κόκκινο καπέλο

μπλε παπούτσια, μπλε κάλτσες, μπλε καπέλο

. . . . . . . .

καφέ παπούτσια, άσπρες κάλτσες πράσινο καπέλο

καφέ παπούτσια άσπρες κάλτσες κόκκινο καπέλο

καφέ παπούτσια, άσπρες κάλτσες μπλε καπέλο

Ο δειγματικός χώρος του πιο πάνω πειράματος περιλαμβάνει:

Στο πιο πάνω παράδειγμα, αν εφαρμόσουμε την αρχή της απαρίθμησης θα έχουμε:

στοιχεία.

Γ’ φάση: Έχω τρία καπέλα για να επιλέξω

Β’ φάση: Έχω τρία ζευγάρια

κάλτσες για να επιλέξω

Α’ φάση: Έχω δύο ζευγάρια παπούτσια για να

επιλέξω

Ισχύει γενικότερα: Όταν ένα πείραμα εκτελείται σε τρεις ή περισσότερες φάσεις και κάθε φάση μπορεί να πραγματοποιηθεί με 𝜿, 𝝀, 𝝁,… τρόπους, αντίστοιχα, τότε το πείραμα έχει 𝜿 𝝀 𝝁 … δυνατά αποτελέσματα. Η πιο πάνω διαδικασία ονομάζεται «Αρχή της απαρίθμησης».



1. Να καταγράψετε όλα τα πιθανά αποτελέσματα από τη

ρίψη δύο ζαριών. Ακολούθως να υπολογίσετε την

πιθανότητα:

α) τα δύο ζάρια να έχουν την ίδια ένδειξη και

β) τουλάχιστον ένα από τα δύο ζάρια να φέρει την ένδειξη 6.

Λύση: Για να βρούμε το δειγματικό χώρο του πειράματος χρησιμοποιούμε πίνακα διπλής εισόδου. Όπως φαίνεται στον πίνακα υπάρχουν δυνατά αποτελέσματα.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

α) Παρατηρούμε ότι έχουμε έξι αποτελέσματα στα οποία τα δύο ζάρια έχουν την ίδια ένδειξη:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Το πλήθος των ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι .

( )

β) Παρατηρούμε ότι έχουμε έντεκα αποτελέσματα στα οποία τουλάχιστο το ένα

ζάρι φέρει την ένδειξη 6:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Το πλήθος των ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι .

( )


2. Ο Ανδρέας και ο Λεωνίδας, για να επιλέξουν ποιος θα παίξει πρώτος με ένα

ηλεκτρονικό παιχνίδι, αποφάσισαν να ρίξουν διαδοχικά δύο νομίσματα του ενός

ευρώ. Συμφώνησαν να παίξει πρώτος ο Αντρέας αν τα νομίσματα έχουν την ίδια

όψη. Διαφορετικά θα παίξει πρώτος ο Λεωνίδας. Να εξετάσετε κατά πόσο ο τρόπος

που επέλεξαν είναι δίκαιος.

Λύση:

Ονομάζουμε την μια όψη του νομίσματος «Κορώνα» και τη συμβολίζουμε με «Κ»

και την άλλη όψη «Γράμματα» και τη συμβολίζουμε με «Γ».

Κατασκευάζουμε το πιο κάτω δενδροδιάγραμμα:

Ο δειγματικός χώρος είναι:

Η πιθανότητα να ξεκινήσει ο Ανδρέας το παιχνίδι είναι:

( )

Η πιθανότητα να ξεκινήσει ο Λεωνίδας το παιχνίδι είναι:

( )

Τα δύο ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Έτσι το πείραμα τύχης δίνει την ίδια πιθανότητα

και στα δύο παιδιά. Άρα, είναι ένας δίκαιος τρόπος να αποφασίσουν.

Γ Κ

Γ

Κ Κ

Γ



1. Το κεντρικό μαθητικό συμβούλιο ενός σχολείου

αποφάσισε ότι η επιτροπή αξιολόγησης στο διαγωνισμό καθαριότητας του σχολείου θα αποτελείται από ένα άτομο από την επιτροπή περιβάλλοντος και ένα άτομο από την επιτροπή εκδηλώσεων. Να βρείτε όλους τους δυνατούς τρόπους σύνθεσης της επιτροπής.

2. Τρία ζάρια, ένα κόκκινο, ένα μαύρο και ένα άσπρο, τοποθετούνται σε ένα κουτί. Σε ένα πείραμα επιλέγουμε τυχαία ένα ζάρι από το κουτί, το ρίχνουμε και καταγράφουμε πρώτα το χρώμα και ακολούθως την ένδειξή του. Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου του πειράματος.

3. Ρίχνω πρώτα ένα νόμισμα και ακολούθως ένα ζάρι.

α) Να καταγράψετε το δειγματικό χώρο.

β) Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει στο νόμισμα η ένδειξη κορώνα και στο ζάρι ο

αριθμός .

4. Σε ένα τουρνουά ποδοσφαίρου κληρώθηκαν να παίξουν στον ίδιο όμιλο οι ομάδες Μ, Α, Π και Γ. Οι 4 ομάδες παίζουν μεταξύ τους δύο αγώνες (εντός και εκτός έδρας).

α) Να καταγράψετε το δειγματικό χώρο.

β) Να καταγράψετε τις περιπτώσεις στις οποίες η ομάδα Μ αγωνίζεται εκτός

έδρας.

γ) Να καταγράψετε τις περιπτώσεις στις οποίες η ομάδα Π θα παίξει με την ομάδα

Γ.

5. Γυρίζουμε τον τροχό και ακολούθως τον τροχό τύχης. Αφού καταγράψετε το δειγματικό χώρο, να υπολογίσετε την πιθανότητα των πιο κάτω ενδεχομένων:

α) Στον πρώτο τροχό να εμφανιστεί και στο δεύτερο .

β) Και στους δύο τροχούς να εμφανιστεί άρτιος αριθμός.

γ) Το άθροισμα των δύο ενδείξεων να είναι . δ) Οι ενδείξεις των δύο τροχών να διαφέρουν κατά .

Επιτροπή Περιβάλλοντος

Επιτροπή Εκδηλώσεων

Άννα Γιώργος

Μάριος Ειρήνη

Αντρέας

Παναγιώτης


6. Ο Μηνάς και ο Χαράλαμπος θα παίξουν το παιχνίδι «Πρόβλεψη γινομένου». Θα ρίξουν δύο ζάρια. Αν το γινόμενο των ενδείξεων των δύο ζαριών είναι άρτιος, ο Μηνάς παίρνει ένα βαθμό. Αν όμως το γινόμενο είναι περιττός, ένα βαθμό παίρνει ο Χαράλαμπος.

α) Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα για να βρείτε όλα τα πιθανά γινόμενα από τη ρίψη των δύο ζαριών.

β) Να βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει ο Μηνάς το παιχνίδι.

7. Ο Ανδρέας και ο Αλέξης κρατούν από ένα ζάρι και το ρίχνουν διαδοχικά από μία φορά. Κάθε φορά προσπαθούν να προβλέψουν το άθροισμα των δύο ζαριών. Αυτός που θα προβλέψει σωστά κερδίζει. Ο Ανδρέας προβλέπει άθροισμα , ο Αλέξης και ακολούθως ρίχνουν τα ζάρια. Αφού καταγράψετε το δειγματικό χώρο, να εξετάσετε ποιός έκανε την καλύτερη πρόβλεψη. Ποια είναι η πιθανότητα να μην κερδίσει κανένας από τους δύο;



1. Στον πιο κάτω πίνακα καταγράφονται οι θερμοκρασίες σε συγκεκριμένες ώρες τεσσάρων ημερών.

α) Ποια στιγμή σημειώθηκε η χαμηλότερη και ποια στιγμή η ψηλότερη θερμοκρασία;

β) Να υπολογίσετε τη Μέση Θερμοκρασία κάθε μέρας.

γ) Ποια μέρα είχαμε τη ψηλότερη και ποια τη χαμηλότερη Μέση Θερμοκρασία;

2. Ο ακόλουθος πίνακας περιλαμβάνει την ποσότητα χαρτιού που ανακυκλώθηκε στην Κύπρο από το 2000 μέχρι το 2007.

Έτος 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Χαρτί (σε τόνους) 6,45 6,60 6,85 6,99 7,97 8,77 9,82 10,21

α) Ποιο έτος παρουσιάζεται η μεγαλύτερη και ποιο έτος η μικρότερη ποσότητα ανακύκλωσης χαρτιού;

β) Ποιο έτος σημειώθηκε η μεγαλύτερη αύξηση σε σχέση με το προηγούμενο έτος; Πόσους τόνους αυξήθηκε;

γ) Πόση ήταν η μέση ποσότητα ανακύκλωσης χαρτιού για τα πιο πάνω έτη;

δ) Ποια έτη ανακυκλώθηκε μεγαλύτερη ποσότητα χαρτιού από τη μέση ποσότητα της περιόδου 2000-2007;

3. Σε ένα Λύκειο θέλουμε να εξετάσουμε την επίδοση μαθητών στο μάθημα των

Μαθηματικών στο τέλος του β΄ τετραμήνου. Πήραμε τις ακόλουθες βαθμολογίες:

Να βρείτε:

α) Ποια είναι η μέση τιμή της βαθμολογίας των μαθητών ;

β) Τι ποσοστό των μαθητών έχουν βαθμό μικρότερο από τη μέση τιμή της βαθμολογίας;

γ) Να υπολογίσετε μια βαθμολογία (από τις πιο πάνω ή άλλη μη ακέραια) η οποία να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το 50 % των βαθμολογιών και μικρότερη ή ίση με το των βαθμολογιών.

δ) Ποια είναι η διαφορά της μεγαλύτερης από τη μικρότερη βαθμολογία;

ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΕΣ (σε °C)

6 π.μ. 9 π.μ. μεσημέρι 3 μ.μ. 8 μ.μ.

Δευτέρα 15° 17° 20° 21° 19°

Τρίτη 15° 15° 15° 10° 9°

Τετάρτη 8° 10° 14° 13° 15°

Πέμπτη 8° 11° 14° 17° 20°


4. Σε ένα παιχνίδι η Ελευθερία και ο Μιχάλης ρίχνουν δύο ζάρια. Αν το άθροισμα των

ενδείξεων των δύο ζαριών είναι πρώτος αριθμός, κερδίζει η Ελευθερία. Αν όμως το

άθροισμα των ενδείξεων είναι σύνθετος αριθμός, κερδίζει ο Μιχάλης. Αφού καταγράψετε

το δειγματικό χώρο, να εξετάσετε ποιος είναι πιο πιθανόν να κερδίσει.

5. Ο Χρίστος και ο Αλέξης γυρίζουν τους πιο κάτω τροχούς της τύχης από μία φορά. Κερδίζει

όποιος πετύχει μεγαλύτερο αριθμό από τον άλλο. Αφού καταγράψετε το δειγματικό χώρο,

να βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει ο Αλέξης;

6. Ρίχνουμε δύο ζάρια. Αφού καταγράψετε το δειγματικό χώρο, να βρείτε την πιθανότητα:

α) : το άθροισμα των δύο ενδείξεων να είναι μικρότερο του .

β) : η ένδειξη και στα δύο ζάρια να είναι .

γ) : το γινόμενο των δύο ενδείξεων να είναι άρτιος αριθμός.

δ) : η μια τουλάχιστον ένδειξη να είναι .

ε) τα ζάρια να μην έχουν την ίδια ένδειξη.



1. Να μελετήσετε τον πίνακα που παρουσιάζει τους βαθμούς των μαθητών μιας τάξης στο

διαγώνισμα των μαθηματικών και της Φυσικής. Να παρουσιάσετε τα αποτελέσματα

αυτά στους συμμαθητές σας, χρησιμοποιώντας κατάλληλες στατιστικές μεθόδους.

Να συγκρίνετε και να σχολιάσετε τα αποτελέσματα στα δύο μαθήματα.

2. ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (Να εργαστείτε σε ομάδες των − ατόμων) Να συγκεντρώσετε δεδομένα για κάποιο θέμα που σας ενδιαφέρει. Στη συνέχεια, να

οργανώσετε και να παρουσιάσετε τα δεδομένα χρησιμοποιώντας κατάλληλες

στατιστικές μεθόδους. Να σχολιάσετε και να καταγράψετε διάφορα συμπεράσματα

που μπορούν να εξαχθούν εύκολα με βάση τον τρόπο που οργανώσατε τα δεδομένα ή

με βάση τις στατιστικές μεθόδους που χρησιμοποιήσατε.

3. Ρίχνουμε δύο ζάρια, ένα άσπρο και ένα μαύρο, με τη σειρά που αναφέρονται.

α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

Α: «η ένδειξη του άσπρου ζαριού είναι μικρότερη από την ένδειξη του

πράσινου» Β: «το άθροισμα των ενδείξεων είναι » Γ: «το γινόμενο των ενδείξεων είναι περιττός αριθμός».

4. Ρίχνουμε ένα νόμισμα διαδοχικά μέχρι να φέρουμε μία φορά γράμμα ( ) ή τρεις

συνεχόμενες φορές κορώνα ( ) Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

Μάθημα Βαθμοί

Μαθηματικά Φυσική

Ενότητα 10 Τριγωνομετρία


Ενότητα 10: Τριγωνομετρία 137

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί


Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό Geogebra ή Capri II plus ή το αρχείο

“BEn10_DierevnisiTrigArithmoi.ggb”, για τις πιο κάτω δραστηριότητες:

α) Να κατασκευάσετε γωνία .

β) Να τοποθετήσετε σημείο

πάνω στην ημιευθεία .

γ) Από το σημείο Β να φέρετε

ευθύγραμμο τμήμα ,

όπου σημείο της .

δ) Να βρείτε το μήκος των

τμημάτων και το

μέτρο της .

ε) Να βρείτε τους λόγους

.

στ) Να μετακινήσετε το σημείο πάνω στην ημιευθεία και να συμπληρώσετε

τον πιο κάτω πίνακα για διαφορετικές θέσεις του :

ζ) Να παρατηρήσετε την επίδραση που έχει η μετακίνηση του σημείου :

i. στη γωνία,

ii. στα μήκη των πλευρών,

iii. στους λόγους των πλευρών.

138 Ενότητα 10: Τριγωνομετρία

Μαθαίνω

Η τριγωνομετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μέτρηση των

στοιχείων του τριγώνου.

Ονομασία πλευρών ορθογωνίου τριγώνου σε σχέση με μια οξεία γωνία του.

Τριγωνομετρικός αριθμός οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του μήκους

δυο πλευρών του τριγώνου.

Λεκτικά Τύπος Σχήμα

Ημίτονο της =

Συνημίτονο της =

Εφαπτομένη της =

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί σε ορθογώνιο τρίγωνο σχετίζονται μόνο με τις οξείες γωνίες

του τριγώνου και όχι με την ορθή γωνία.

ΑΓ: Υποτείνουσα

ΒΓ: Απέναντι πλευρά της ∡ ω

ΑΒ

: Πρ

οσ

κείμ

ενη

π

λευ

ρά

τη

ς ∡

ω

ΒΓ: Προσκείμενη πλευρά της ∡ φ

ΑΒ

: Απ

ένα

ντι

π

λευ

ρά

τη

ς ∡

φ



1. Να ονομάσετε τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου σε σχέση με τις γωνίες και .

Λύση:

Σε σχέση με τη

: Υποτείνουσα

: Απέναντι κάθετη πλευρά της

Προσκείμενη κάθετη πλευρά της

Σε σχέση με τη

Υποτείνουσα

Προσκείμενη κάθετη της

Απέναντι κάθετη της

2. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας και της γωνίας .

Λύση:


3. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής.

Λύση: Για να κατασκευάσω τη γωνία των , κατασκευάζω ορθογώνιο και ισοσκελές

τρίγωνο με .

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα άρα

( ) ( ) ( ) ( )

( ) √

√

√


1. Στο ορθογώνιο τρίγωνο να ονομάσετε τις πλευρές του σε σχέση με την γωνία .

2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο με , να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς:

.

3. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας .

√


4. Να βρείτε:

α) ποιος τριγωνομετρικός αριθμός της είναι ίσος με

.

β) ποιος τριγωνομετρικός αριθμός της είναι ίσος με

.

5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία ισχύει ότι

να υπολογίσετε το και .

6. Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο με και να μετρήσετε το μήκος των

πλευρών του. Να εξετάσετε κατά πόσο ισχύει η σχέση . (Υπόδειξη:

Χρήση Π.Θ.)


Επίλυση Τριγώνου


O Χαράλαμπος βρίσκεται στην παραλία της Αγίας

Θέκλας και θέλει να υπολογίσει την απόσταση της

αγκυροβολημένης βάρκας από την ευθεία που περνά

από τα σημεία και , χωρίς όμως να αναγκαστεί να

κολυμπήσει. Έχει μαζί του έναν εξάντα, μια

υπολογιστική μηχανή και μια μετροταινία. Να τον

βοηθήσετε να υπολογίσει την ζητούμενη απόσταση. Υπόδειξη: Να κάνετε χρήση του εφαρμογιδίου

«BEn10_DierevnishAgiaThekla.ggb»

Ο εξάντας είναι ένα γωνιομετρικό όργανο που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση κατακόρυφων ή

οριζόντιων γωνιών σταθερών αντικειμένων από τη θέση του παρατηρητή.

Μαθαίνω

α) Επίλυση τριγώνου είναι ο υπολογισμός του μέτρου των γωνιών του και του μήκους των

πλευρών του.

β) Για να επιλυθεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο πρέπει να είναι γνωστό:

το μήκος μίας πλευράς του και το μέτρο μίας οξείας γωνίας του ή

το μήκος δύο πλευρών του.

γ) Στην υπολογιστική μηχανή οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας υπολογίζονται με

την βοήθεια των πιο κάτω εντολών:

Τριγωνομετρικός Αριθμός Εντολή Υπολογιστικής

Ημίτονο

Συνημίτονο Εφαπτομένη

Αντίστροφο ή

δ) Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας μπορούν να υπολογιστούν και με την

βοήθεια του τριγωνομετρικού πίνακα σελίδα .

SHIFT



1. Να υπολογίσετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς κατά προσέγγιση τριών

δεκαδικών ψηφίων.

α) ημ30ο β) συν 42ο γ) εφ 70ο

Λύση: Στην υπολογιστική μηχανή ισχύουν τα πιο κάτω

Πράξη Εντολές υπολογιστικής Στην οθόνη

ημ 30ο sin 30 0.5

συν 42ο cos 42 0.7431448255

εφ 70ο tan 70 2.747477419

Η Υπολογιστική μηχανή θα πρέπει να είναι ρυθμισμένη σε μοίρες, να φέρει την ένδειξη «DEG» ή «D»

2. Ο κύριος Αβραάμ θέλει να υπολογίσει το ύψος του δέντρου στον κήπο του. Τοποθέτησε

τον εξάντα σε απόσταση και υπολόγισε το μέγεθος της γωνίας προς την κορυφή του

δέντρου που ήταν Να υπολογίσετε το ύψος του δέντρου. (Οι τριγωνομετρικοί

αριθμοί να υπολογιστούν κατά προσέγγιση δεκαδικών ψηφίων)

Λύση: Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με χρήση τριγωνομετρικών

αριθμών.

Στο τρίγωνο που δημιουργήθηκε δεδομένη είναι η γωνία των

και η προσκείμενη πλευρά της γωνίας αυτής με μήκος .

Το ζητούμενο της άσκησης είναι το ύψος του δέντρου, δηλαδή η

απέναντι πλευρά της γωνίας . Άρα θα χρησιμοποιήσουμε τον

τύπο της εφαπτομένης που συνδέει τις πλευρές αυτές.

Με τη χρήση υπολογιστικής μηχανής υπολογίζουμε ότι η

Το ύψος του δέντρου είναι .

0 = sin 3

2 cos 4 =

tan 7 0 =


3. Ένας πολιτικός μηχανικός θέλει να υπολογίσει την οξεία γωνία που δημιουργεί ο πύργος

της Πίζας με το έδαφος.

Λύση: Ζητούμενη είναι η γωνία ενώ γνωστές είναι η προσκείμενη προς αυτή πλευρά

και η υποτείνουσα του τριγώνου.

Ο τριγωνομετρικός αριθμός που συνδέει την προσκείμενη πλευρά με την υποτείνουσα

είναι το συνημίτονο.

∡

(0.09090909 )

Η ζητούμενη γωνία είναι .

Για να υπολογίσω τη γωνία θα γράψουμε

στην υπολογιστική την εντολή «αντίστροφη

πράξη του συνημίτονου» δηλαδή

0.0909090909 ή

(5 ÷ 55 )



1. Να συμπληρώσετε το πιο κάτω πίνακα:

Τριγωνομετρικός Αριθμός

Εντολή Υπολ.

Αποτέλεσμα Αντίστροφο Εντολή

Υπολογιστικής Αποτέλεσμα

30

2. Να υπολογίσετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς με την χρήση

υπολογιστικής μηχανής. Η απάντηση να δοθεί με 3 δεκαδικά ψηφία.

α) β) γ) δ) ε)

3. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω οξείες γωνίες. Η απάντηση να δοθεί σε προσέγγιση

ακεραίου.

α) β) √

γ) δ) ε)

στ)

ζ) η) θ)

4. Να υπολογίσετε το μήκος των πλευρών ΑΓ και ΒΓ. Η απάντηση να δοθεί με ένα

δεκαδικό ψηφίο.

sin sin


5. Να υπολογίσετε τις τιμές του σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις.

Οι απαντήσεις να δοθούν σε προσέγγιση ακεραίου.

α)

β)

γ)

δ)

ε)

6. Να υπολογίσετε τα μήκη και με προσέγγιση εκατοστού (χωρίς υπολογιστική

μηχανή), χρησιμοποιώντας τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς:

√

√

√

√

7. Να υπολογίσετε το ύψος του σπιτιού αν γνωρίζετε ότι:


8. Σε τρίγωνο με κορυφές ( ) ( ) και ( ) να υπολογίσετε την

γωνία .

9. Ο Χρίστος ισχυρίζεται ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία η υποτείνουσα

είναι διπλάσια από την πλευρά που βρίσκεται απέναντι της γωνίας των . Να

εξετάσετε αν ο ισχυρισμός αυτός είναι ορθός.

10. Να υπολογίσετε τούς άγνωστους και στις πιο κάτω περιπτώσεις:

α) β) γ)

δ) ε) στ)

11. Να υπολογίσετε την απόσταση που έχει το πλοίο από τον πύργο αν είναι γνωστό ότι

Να λύσετε την άσκηση χωρίς την χρήση υπολογιστικής μηχανής.



1. Η Σοφία προσπαθεί να υπολογίσει το ύψος του

τοίχου. Πήρε ένα βιβλίο το τοποθέτησε κοντά στο

μάτι της έτσι ώστε όταν κοιτάζει κατά μήκος της μιας

πλευράς του βιβλίου να φαίνεται η συμβολή του

τοίχου με την οροφή και όταν κοιτάζει κατά μήκος

της άλλης πλευράς του βιβλίου να φαίνεται η

συμβολή του τοίχου με το πάτωμα. Αν η απόσταση

του ματιού της από το έδαφος είναι και από

τον τοίχο να υπολογίσετε το ύψος του τοίχου.

2. Ο κύριος Ζήνωνας θέλει να σχεδιάσει μια γέφυρα

για πεζούς η οποία θα περνά πάνω από το

τραίνο. Για να σχεδιάσει τη γέφυρα πρέπει να

υπολογίσει το ύψος, , από το έδαφος μέχρι

την κορυφή του τρένου . Να τον βοηθήσετε να

υπολογίσει το ύψος αυτό.

3. Να υπολογίσετε την τιμή του στο σχήμα.

4. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των και χωρίς τη χρήση

υπολογιστικής μηχανής. (Υπόδειξη: Με χρήση ισόπλευρου τριγώνου πλευράς )


Documents

Μαθηματικά Β Γυμνασίου (Τεύχος Β)