الطبيعي التوزيع

للموضوع تمهيد

: يلي ما ونسأل أعينهم يغمضوا أن الطالب من نطلب ... ؟؟؟؟ حلوة الحياة كيف أقزام الناس وجميع نفسك تخيل

؟؟؟ .. كيف الناسعمالقة وجميع نفسك تخيل األنفي .. وتعالى سبحانة الله ايات من اية سترى للواقع ارجع

تحصى . وال تعد ال التي نعمة من الناسونعمة خلقوالعقلية الجسمية البشرية الصفات معظم أن نالحظ حيث

كلما النسب وتقل الوسط في الغالبية تكون بحيث تتوزع... االتجاهين من كل في متماثلة بصورة الوسط عن ابتعدنا

كبير مجتمع في الصفات لهذة التوزيع منحنى رسمنا ولو: التالي الشكل على لحصلنا

منحنى يسمى والذيالطبيعي التوزيع

سمي ولقد السوي أو المعتدل أوالظواهر هذه ألن طبيعيا

. الطبيعة في موجودة ظواهر

التوزيع بمنحنى والمتعلقة الهامة النقاط بعض يلي فيماالطبيعي

متماثل تعريفه بأنه ويمتاز التكرارية التوزيعات صور أحد هومنه المرسوم المنحنى ويأخذ الحسابي الوسط حول

الجرس شكل أمثلهعليه

, , , , المسافات الزمن الحجوم االوزان ، األطوالالذكاء , معدالت األسعار الحرارة درجات

اكتشافه

علماء من مجموعة أعمال إلى اكتشافه يرجعبالسوجاوسخالل وال لوفير دي منهم الرياضيات

عشر والتاسع عشر الثامن القرنينوعلى أهميته المختلفة االحصائية الظواهر وتحليل دراسة

أنه كما حادثة أي تحقق احتمال ايجاد الخصوصفيإدارة ونواحي االقتصادية النواحي في جدا هام

األعمال.

خواصه

الوسط -1 حول الجرسمتماثل يشبه شكلهالحسابي.

هي - -2 الممكنه س ∞إلى ∞قيممع -3 الوسيط مع الحسابي الوسط قيمة تتساوى

المنوالالمحور -4 يمس وال نهايه ال ما إلى طرفاه يمتد

أبدا يقطعه وال السينيبمعرفة -5 تماما بمعرفة المنحنى شكل يتحدد

. المعياري واالنحراف الحسابي الوسطالطبيعي -6 المنحنى تحت المساحة جملة إن

من إليها النظر تم إذا صحيحا واحدا تساوي . حيث النسبية التكرارات مجموع نظر وجهة

النصف وعلىيساره المساحة نصف و يمين علىالثاني.

7-

مالحظة:الفئة : -1 تكرار هو للفئة النسبي بالتكرار المقصود

مضروب والجواب التكرارات مجموع على مقسوماالتكرارات 100في مجموع أن بالذكر والجدير

يساوي تكراري لجدول واحد % 100النسبية أيصحيح.

رقم -2 الخاصية :5شرح السابق الجدول من

وبقي أ- الحسابي الوسط تغير إذافإن ثابتا المعياري االنحراف

أو يمينا يتغير التوزيع مننحنى

ال التوزيع شكل ولكن يسارايتغير.

المعياري - االنحراف تغير إذا بفإن ثابتا الحسابي الوسط وبقيالمركز حول المنحنى وتباعد تشتت

ويزيد ع قيمة صغرت كلما يقلكبرت كلما

ع- من كال قمة تغيرت إذا جو الحسابي والوسطيتغير التوزيع مركز فإن

المركز حول منحناه وتباعد. كذلك يتغير

مثال 119ص 1مناقشة

المعياري الطبيعي التوزيع

مقترح تمهيد

طول تكون عندما االحتمال حساب تتضمن أسئلة طرحالمعياري االنحراف مضاعفات من ليست الفترة

الجوابلحساب خاصة جداول صممت المسائل هذه مثل لحل

للمساحات . الطبيعي التوزيع جداول سميت المساحات ) , بهذه ) سنحتاج وبالتالي مختلف منحنى ع و زوج لكل وألن

صممت الجداول من والعديد والعديد للعديد الطريقةصفر = و وسطه واحد طبيعي لمنحنى خاصة جداول

المعياري = الطبيعي 1وانحرافه التوزيع منحنى سميالعشوائ . للمتغير ويرمز بالرمز يالمعياري التوزيع هذا في

ز

تدريب 120ص 1مناقشة

للمساحة الطبيعي التوزيع جداول فوائد

مساحة عناء تخفيف على لتعمل الجداول هذه صممت. المياري الطبيعي التوزيع منحنى تحت معينة

الموجبة المعيارية للقيم فقط الجداول هذه صممت

: هامة مالحظة

الواردة للمساحات الطبيعي التوزيع جداول صممتز قيم يسار المساحة إليجاد المدرسي الكتاب في

الموجبة أو يسار أوعلى الموجبة ز قيم يمين المساحة إليجاد

الطبيعي التوزيع خواص نستخدم السالبة ز قيم يمينالمساحات بجداول نستعين ثم ومن المعياري

المعطى.

جداول باستخدام المساحات استخراج كيفيةللمساحات الطبيعي التوزيع

) ( : الجدولية القياسية الحالة األولى الحالةالواقعة المساحة تعيين كيفية

الموجبة ز قيم يساروهو: بغايةالسهولة الجواب

مباشرة الجدول من المساحة نستخرج

مثال:: يلي ما فأوجد معياريا طبيعيا متغيرا ز كان إذا

ز ) -1 (1‚ 5 >لز ) -2 (3 >ل

الحل:ز ) -1 ل مباشرة الجدول ‚ 9332( = 1‚ 5 >منز ) -2 ل مباشرة الجدول ‚ 9987 ( = 3 >من

: ز قيم يمين الواقعة المساحة الثانية الحالةالموجبة

: الواقعة المساحة نعين كيف س

الموجبة؟؟؟ ز قيم يمين

الجواب:يمين الواقعة المساحة حساب نستطيع ال الحالة هذه في

نستخدم ولكن مباشرة الجدول من الموجبة ز قيم: التالية القاعدة

الموجبة = ز قيمة يمين قيمة- 1المساحة يسار المساحة. الموجبة ز

مثال::1إذ يلي ما فأوجد معياري طبيعي متغير ز كانز ) -1 (1‚5 <لز ) -2 (3 >ل

الحل:المطلوبة -1 المساحة لتحديد كروكي رسم نرسم أوال

ز ) = 1‚5 <ل - ز( = يسار المساحة 1‚5ا = 1 -9332 ‚ = 8 660 ‚

المساحة -2 لتحديد للشكل كروكي رسم نرسمالمطلوبة

ز ) ز = –ا ( = 3 >ل يسار 3المساحة - ‚ 0013 = ‚ 9987ا =

: الثالثة قيم ‚ 9987 الحالة يسار الواقعة المساحةالسالبة ز

السالبة: ز قيم يسار الواقعة المساحة نحسب كيف س

الجواب:ز = قيمة يمين المساحة السالبة ز قيمة يسار المساحة

الموجبة - ز = قيمة يسار المساحة ا

الموجبة

: يلي: ما فأوجد معياريا طبيعيا متغيرا ز كان إذا مثالز ) -1 ( 1‚ 5- >لز ) -2 (3 - >ل

الحل:ز- ) 1 = 1‚ 5- >ل - ز( = يسار المساحة 1‚5ا

= 1 -9332 ‚ = 8 660 ‚

ز- ) 2 ز = –ا ( = 3 - >ل يسار 3المساحة - ‚ 0013 = ‚ 9987ا =

: السالبة ز قيم يمين المساحة الرابعة الحالةالسالبة؟؟: ز قيم يمين المساحة نحسب كيف س

الجواب: = ز قيمة يسار المساحة السالبة ز قيمة يمين المساحة

الموجبةمباشرة الجدول من تستخرج

مثال:: يلي ما فأوجد معياريا طبيعيا متغيرا ز كان إذا

ز ) -1 ( 1‚ 5- <لز ) -2 (3 - <ل

الحل:ز ) -1 ل مباشرة الجدول ‚ 9332( = 1‚ 5- <منز ) -2 ل مباشرة الجدول ‚ 9987 ( = 3 - <من

: هامة مالحظة المساح إيجاد قيم ةطريقة هي ةيسار الموجبة ز

ز قيمة يمين الواقعة المساحة إيجاد طريقة نفسهاالسالبة

المناظرة ) المساحة تستخرج الحالتين في وهي ) مباشرة الجدول من الموجبة ز لقيمة

هي الموجبة ز قيمة يمين المساحة إيجاد طريقةز قيمة يسار الواقعة المساحة إيجاد طريقة نفسها

السالبة

: الحالتين في وهي(1-) الموجبة ز قيمة يسار المساحة

زسواء : قيمتي بين المحصورة المساحة الخامسة الحالةوأخرى , , موجبة قيمة سالبتين قيمتين موجبتين قيمتين

سالبة

السابقة : الحاالت من كل فيز = قيمة يسار المساحة المطلوبة -1المساحة

ز قيمة يسار 2المساحة

: يلي: ما فأوجد معياريا طبيعيا متغيرا ز كان إذا مثال (2 >ز > 1ل )-1 (3 ->ز >2ل )--2(1‚ 5 >ز > 2‚ 5ل)- -3

الحل: (2 >ز > 1ل- )1

= ز= يسار = – 2المساحة ز يسار 1المساحة=9772 ‚ - 8413 ‚ = 1359,

= (3 ->ز >2ل- )-2- = ز يسار =-– 3المساحة ز يسار 2المساحة- = ز يسار 3المساحة

= 1 –= ز يسار 3المساحة= 1 -9987 ‚= 0013 ‚

-= ز يسار 2المساحة = 1= ز- يسار 2المساحة = 1 -9772 ‚ = 0228 ‚

ل )- ‚ 0013 - ‚ 0228= (3 ->ز >2إذن= 0215 ‚

(1‚ 5 >ز > 2‚ 5ل )- -3

= ز= يسار = – 1‚ 5المساحة ز يسار 2‚ 5- المساحة = ز يسار مباشرة ‚ 9332 = 1‚ 5المساحة الجدول من = ز يسار 2‚ 5- المساحة

= 1= ز- يسار 2‚ 5 المساحة = 1 -9938 ‚= 0062 ‚

‚ 0062 - ‚ 9332( = 1‚ 5 >ز > 2‚ 5ل )- إذن = 9270 ‚

معياري غير طبيعي لمتغير االحتماالت ايجاد

الطبيعي للمنحنى مصممة المساحات جداول كانت لماإال مباشرة الجداول هذه استخدام يمكن ال فإنه المعياري

إلى له الجداول استخدام المراد التوزيع قيمة تحويل بعد: مشابهة معيارية قيم

تلخيصخطوات ويمكن: يلي ما إلى معياري غير طبيعي لمتغير االحتماالت ايجاد

متغير -1 إلى س المعياري غير الطبيعي المتغير نحول: األتية المعادلة بإستخدام ز معياري طبيعي

ع = - / و س ز- : بين واقعة المعيارية الدرجة قيم هامة ≥ز ≥ 4مالحظة

حسابي 4 خطأ هناك فيكون الحد هذا عن تزيد قيمة وأي

سابقا .- 2 ورد كما المساحات جداول إلى نلجأ

ومسائل تمارين (4 ,3 ,2 ,1 )4مناقشة

تتبع 500تقدم -1 أطوالهم كانت فإذا التجنيد إلدارة شاببمتوسط طبيعي قدرة 170توزيع وتباين سم 64سم

فأوجد:من أ- أقل أطوالهم الذين الشباب سم 160عدد

- الحد كان إذا للتجنيد المقبولين غير الشباب عدد بللطول سم؟ 156االدنى

الحل: ( ز- ل ز ( = ) 8 ( /170 – 160 ) >أ (1‚ 25>ل

= 8944 ‚عن أطوالهم تقل الذين الشباب االحتمال = 160عدد ×سم

لهم الكلي العدد = 8944 ‚ × 500 = 447

شاب

ط ) ب- ز ( = ) 156 <ل يسار- 1 ( = 1 <ل المساحة 1ز=

= 1 -8413 ‚ = 1587 ‚شاب 79= ‚ 1587× 500العدد =

: هامة مالحظةالطبيعي التوزيع منحنى على الحياتية التطبيقات حل عند

: األتية القواعد الطالب إعطاء يفضل

علمت ) ( إذا ز المعيارية العالمة استخراج كيفيةالمساحة

االحتمال = عدد أي أو الطلبة عدد الكلي ×إليجاد العدداالحتمال = المئوية النسبة 100×إليجاد

النسبة = المئوية النسبة بمعلومية االحتمال إليجاد100 ÷المئوية

ز ) ( المعيارية العالمة استخراج تلخيصخطوات يمكن: يلي ما إلى المساحة علمت إذا

1- ) ( الرسم خالل من سالبة أم موجبة ز إشارة تحديدالمسالة . في المعطاة للمساحة التوضيحي

االحتمال ) (-2 المعطاة المساحة إيجاد خطوات كتابةبمعلومية المساحة هذه على الحصول تم كيف بمعنى

. سابقا معنا مر كما الموجبة ز قيم يسار المساحةأننا -3 مالحظة مع ز قيمة بالعكسنجد الجدول من

االتية : الثالث الحاالت إحدى سنجد

المعطاة ز المساحة قيمة إيجاد كيفية) الموجبة)

الجدول في بالضبط لهذه موجودة المقابلة القيمةالمساحة

الجدول في موجودة غيرمساحة من جدا قريبة ولكنها

بالجدول موجودة

المقابلة ز قمة نأخذمن جدا القريبة للمساحة

المعطاة المساحةالجدول في موجودة غير

بين موجودة ولكنهاالجدول في مساحتين

المتوسط هي ز قيمة تكونالمقابلة ز لقيمتي الحسابي

بينهما الموجودة للمساحتينالمعطاة المساحة

رقم مثال 123ص 4مناقشة رقم ص ) ( 3مناقشة 1ج

: ومسائل تمارين

قطيع -2 أوزان توزيع يمثل سمتغيرعشوائي كان إذاالحسابي = وسطه الخراف وانحرافه 27من كغم

من 5المعياري أي بذبح يسمح ال أنه علم فإذا كغممعين . وزن تبلغ أن بعد إال الخراف هذه

أن علم إذا الوزن هذا الخراف %24 ‚ 2فعين هذه منمسموح غير

بذبحها؟؟؟

الحل:الخراف وزن يمثل عشوائي سمتغير نفرضأن

ز ) ‚ 242 ( = 27 –س >ل 5

سالبة ز قيمة الرسم منز ) - 1 ( = 27 –س >ل ( - س- يسار ( =27المساحة242 ‚

5 5 - ( - س يسار ‚ 758 = ‚ 242- 1 ( = 27المساحة

5 الجدول - –من ‚ 7 ( = 27س )

5

‚ 7 × 5 = 27س- + 23‚ 5 = 3‚ 5 – 27س =

هو الخروف لذبح وزن وزنه ) 23‚ 5أقل خروف أي يعنيعليه (23‚ 5 الله رحمة أكثر أو

موزعه- 2 تكون النبات من معين نوع أطوال أن وجدبمتوسط طبيعي أن 60توزيع علم فإذا ع وانحراف سم

من %1 ‚22أطوال أقل النبات هذا أوجد , 51من سمالنبات؟؟؟ هذا أطوال لتوزيع التباين

الحل:ط ) ‚ 0122 ( = 51 >لز ) ‚ 0122 ( = 60 – 51 >ل

ع

سالبة ز الرسم منز ) يسار- - )1 ( = 60 – 51 >ل ع ( / 60 – 51المساحة

‚ 0122ع = يسار - ) ‚ 9878 = ‚ 0122- 1ع ( / = 60 – 51المساحة

بالعكس - ) الجدول 2 ‚ 25ع ( / = 60 – 51من4 = 2‚ 25 / 9ع = = 16التباين

أ ,-3 طريقين أحد باستخدام عمله إلى علي أبو يذهباالول , الطريق في يستخدمه الذي الوقت ويتبع ب

الحسابي وسطه طبيعي وانحراف ‚ 5توزيع ساعهحسابي 5معياري بمتوسط الثاني والطريق 31دقائق

فأي . دقيقتين قدره معياري وانحراف دقيقة: كان إذا افضل الطريقين

عمله؟؟ 32لديه إالى ليصل االكثر على دقيقة

الحل:ن ) ز ( = ) 32 >ل ز ( = ) 5 ( /30 -32 )>ل >ل