Тема дослідницької Тема дослідницької роботи:роботи:

Деякі нестандартні Деякі нестандартні методи розв’язування методи розв’язування алгебраїчних рівняньалгебраїчних рівнянь

Учениця: Лях ЮліяУчениця: Лях Юлія

Керівник: Троян Н.М.Керівник: Троян Н.М.

Об’єктом Об’єктом дослідженнядослідження є є

процеси навчання процеси навчання алгебри і початків алгебри і початків аналізу у старшій аналізу у старшій

школі.школі.

Предметом Предметом дослідження цієї дослідження цієї

роботироботи нестандартні нестандартні способи способи

розв’язування розв’язування алгебраїчних рівнянь.алгебраїчних рівнянь.

Метою науково-дослідницької роботи Метою науково-дослідницької роботи є формування апарату розв’язування є формування апарату розв’язування

рівнянь з модулями, симетричних, рівнянь з модулями, симетричних, ірраціональних рівнянь тощо, що надасть ірраціональних рівнянь тощо, що надасть змогу учням на випускних випробуваннях, змогу учням на випускних випробуваннях,

зовнішньому незалежному тестуванні зовнішньому незалежному тестуванні справитися з нетрадиційними завданнями справитися з нетрадиційними завданнями творчого характеру, з рівняннями вищих творчого характеру, з рівняннями вищих

степенів, які потрібно не просто степенів, які потрібно не просто розв’язати, а ще й дослідити в них розв’язати, а ще й дослідити в них

функціональні залежності.функціональні залежності.

Завданням науково-дослідницької Завданням науково-дослідницької роботироботи є розширення теоретичних є розширення теоретичних

відомостей про рівносильні відомостей про рівносильні перетворення і про застосування перетворення і про застосування

того чи іншого методу розв’язування того чи іншого методу розв’язування рівнянь; виявлення труднощів, які рівнянь; виявлення труднощів, які

виникають у учнів при вивченні даної виникають у учнів при вивченні даної теми; в опрацюванні теоретичних теми; в опрацюванні теоретичних

основ матеріалу.основ матеріалу.

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ДОСЛІДЖЕННЯДОСЛІДЖЕННЯ

Означення.Означення. Рівнянням з однією змінною Рівнянням з однією змінною xx (невідомою (невідомою xx) ) називається рівність виразів та , що називається рівність виразів та , що визначені на множинах та і для якої поставлено задачу визначені на множинах та і для якої поставлено задачу відшукати таку множину значень змінної, що вирази і відшукати таку множину значень змінної, що вирази і мали б однакові значення .мали б однакові значення .

Означення. Рівняння , лівою частиною якого є многочлен степеня n від x, називається алгебраїчним рівнянням n-го степеня з одним невідомим.

Означення. Відповідно до загального означення розв’язку рівняння кожне значення невідомого х, при якому ліва частина рівняння дорівнює нулю, називається розв’язком, або коренем, цього рівняння

Методи розв’язування Методи розв’язування алгебраїчних рівняньалгебраїчних рівнянь::

1. Метод розкладання на 1. Метод розкладання на множники.множники.

2. Метод введення допоміжного 2. Метод введення допоміжного невідомогоневідомого..

3. Графічний метод.3. Графічний метод.

4. Штучні методи.4. Штучні методи.

Метод розкладання на Метод розкладання на множникимножники

Цей метод ґрунтується на одній з Цей метод ґрунтується на одній з теорем:теорем:Теорема 3.Теорема 3. Якщо ліва частина рівнянняЯкщо ліва частина рівняння

в області допустимих в області допустимих систем значень невідомих розкладається систем значень невідомих розкладається на множники на множники

,, то в області визначення рівняння то в області визначення рівняння рівносильне сукупності рівнянь.рівносильне сукупності рівнянь.

Метод введення допоміжного Метод введення допоміжного змінногозмінного

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Відповідь:

Графічний методГрафічний метод

0642 23 zzz

4

22 bbxx

Приклад. Розв’язати графічно рівняння Розв’язання

ЕФЕКТИВНІ ШЛЯХИ ЕФЕКТИВНІ ШЛЯХИ РОЗВ’ЯЗАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ РОЗВ’ЯЗАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ

РІВНЯНЬ У БАЗОВІЙ ШКОЛІРІВНЯНЬ У БАЗОВІЙ ШКОЛІ

Метою вивчення даної теми є Метою вивчення даної теми є сформувати апарат сформувати апарат розв’язування рівнянь з розв’язування рівнянь з модулями, параметрами, модулями, параметрами, ірраціональних рівнянь тощо.ірраціональних рівнянь тощо.

Рівносильні перетворення та Рівносильні перетворення та такі, при яких можлива такі, при яких можлива поява сторонніх коренів поява сторонніх коренів

До появи сторонніх коренів можуть, До появи сторонніх коренів можуть, наприклад, привести (але не обов’язково наприклад, привести (але не обов’язково приводять) такі перетворення: піднесення до приводять) такі перетворення: піднесення до квадрата (або іншого парного степеня) обох квадрата (або іншого парного степеня) обох частин рівняння, множення обох частин частин рівняння, множення обох частин рівняння на алгебраїчний вираз, що містить рівняння на алгебраїчний вираз, що містить змінну тощо.змінну тощо.

Щоб вияснити, чи існують серед коренів Щоб вияснити, чи існують серед коренів рівняння-наслідку сторонні корені початкового рівняння-наслідку сторонні корені початкового рівняння, необхідно перевірити кожний із рівняння, необхідно перевірити кожний із знайдених коренів підстановкою його у знайдених коренів підстановкою його у початкове рівняння.початкове рівняння.

Симетричні рівнянняСиметричні рівняння Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язанняОскільки , ділимо обидві частини рівняння на :

. Вводимо заміну

Відповідь:

Ірраціональні рівнянняІрраціональні рівняння

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Помножимо дане рівняння на вираз Перший спосіб.

Другий спосіб. Помножимо чисельник і знаменник дробу лівої частини рівняння на

Для маємо: звідки

Рівняння, що містять невідоме під Рівняння, що містять невідоме під знаком (знаками) модуля (модулів)знаком (знаками) модуля (модулів)

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язування

, або , чи

та - не має розв’язків.

розв’язків не має.

ВИСНОВКИВИСНОВКИ У даній роботі розглянуто й осмислено теорію У даній роботі розглянуто й осмислено теорію

методів розкладання на множники, введення методів розкладання на множники, введення допоміжного невідомого, графічного і штучного допоміжного невідомого, графічного і штучного методів розв’язування рівнянь, за допомогою методів розв’язування рівнянь, за допомогою яких рівняння вищих степенів зводяться до яких рівняння вищих степенів зводяться до простіших, підібрано й розв’язано багато простіших, підібрано й розв’язано багато прикладів. Ми також дізналися, які особливості, прикладів. Ми також дізналися, які особливості, проблемні питання виникають при розв’язанні проблемні питання виникають при розв’язанні рівнянь нестандартними методами. Звернули рівнянь нестандартними методами. Звернули увагу на рівносильні перетворення та такі, при увагу на рівносильні перетворення та такі, при яких можлива поява сторонніх коренів. яких можлива поява сторонніх коренів. Розглянули методи розв’язування симетричних, Розглянули методи розв’язування симетричних, ірраціональних рівнянь, рівнянь, що містять ірраціональних рівнянь, рівнянь, що містять невідоме під знаком (знаками) модуля (модулів).невідоме під знаком (знаками) модуля (модулів).

Виконала: учениця 11- Б класуВиконала: учениця 11- Б класу Чернігівського ліцею № 32Чернігівського ліцею № 32 Лях Юлія Лях Юлія Вчитель математики вищої категорії Вчитель математики вищої категорії Чернігівського ліцею №32Чернігівського ліцею №32 Троян Ніна МиколаївнаТроян Ніна МиколаївнаНауковий керівник: кандидат педагогічних Науковий керівник: кандидат педагогічних

наук, доцент кафедри педагогіки, наук, доцент кафедри педагогіки, психології та методик викладання психології та методик викладання фізики і математики Чернігівського фізики і математики Чернігівського педагогічного університету імені педагогічного університету імені Т.Г.Шевченка Філон Лідія Григорівна Т.Г.Шевченка Філон Лідія Григорівна