ΔΕΙΞΤΕ ΨΥΧΡΑΙΜΙΑ (ΠΡΩΤΟ)

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεμελιώδες θεώρημα του

ολοκληρωτικού λογισμού.

(9 μονάδες)

Α2. Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος και της διαφοράς

δύο μιγαδικών.

(3 μονάδες)

Α3. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] ;

(3 μονάδες)

Α4. Να χαρακτηρίσετε ως «Σωστό» ή «Λάθος» κάθε έναν από τους

παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και έχει σημείο

καμπής στο α, τότε f ΄΄(α)=0

2. Αν για τις συναρτήσεις f,g ισχύει f(x) > g(x) για κάθε x πραγματικό,

τότε το εμβαδόν ανάμεσα στις γραφικές τους και τις χ=α, χ=β δίνεται

από το: ( ) ( )a

E f x g x dx

3. Ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει

Re2(z)+Im2(z)=1, είναι ο μοναδιαίος κύκλος

4. Αν για την συνεχή και μη σταθερή στο [α,β] συνάρτηση f ισχύει ότι

( ) 0,

a f x dx τότε η f(x) δεν έχει ρίζα στο [α,β].

5. Ισχύει η ισοδυναμία: lim ( ) lim ( ) 0o ox x x xf x l f x l

(10 μονάδες)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση 3 23 3( ) , . f x x x x x

Β1. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

(4 μονάδες)

Β2. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=2013

(7 μονάδες)

Β3. Να βρεθούν τα κοινά σημεία της με την ευθεία y=x.

(4 μονάδες)

Β4. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των 1 .f fC C

(10 μονάδες)

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται ο μη πραγματικός μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο γνωρίζουμε ότι

ισχύει η σχέση: 1 2z ( i)|z| i

Γ1. Να δείξετε ότι: 2 6 5 0|z| |z| και να υπολογίσετε τον z.

(12 μονάδες)

Γ2. Να δείξετε ότι : 16

4 5 0z i

(5 μονάδες)

Γ3. Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w βρίσκεται στο εσωτερικό κυκλικού

δίσκου με κέντρο (0,0) και ακτίνα 4 και η συνάρτηση 1f(x) |xz ( x)w| είναι

συνεχής στο [0,1] , να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα

στο (0, 1).

(8 μονάδες)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση: 2

2

2 tx

x t x tx

ef(x) dt, x .

e e

Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη .

(5 μονάδες)

Δ2. Να αποδείξετε ότι: 2x xf(x) e e , x .

(7 μονάδες)

Δ3. Να αποδείξετε ότι : 0 *f(x), ά x .

x

(6 μονάδες)

Δ4. Για κάθε x < 0, να δείξετε ότι υπάρχει 2 4 1 0( x,x) ώ xe .

(7 μονάδες)