Неопределенный интеграл

СодержаниеОпределения. Свойства

Интегрирование

Неопределенный интеграл

С. Лабовский

26 февраля 2013

С. Лабовский Неопределенный интеграл



Содержание

1Определения. Свойства

Определения

Свойства неопределенного интеграла

2Интегрирование

Основная таблица интегралов

Методы интегрирования

Интегрирование рациональных функций



ИнтегрированиеОпределенияСвойства неопределенного интеграла












Два главных понятия

Первообразная

Первообразная как результат обратного к дифференцированию

действия


Под неопределенным интегралом понимается все множество

первообразных




Обратная задача дифференцирования

Определение

Пусть f (x) – функция, определенная и непрерывная в некотором

интервале (a, b). Функция F (x), такая что F

0(x) = f (x) для всех

x 2 (a, b), называется первообразной по отношению к функции

f (x).

Например,

Если f (x) = x

2

, то F (x) = x

3/3,

Если f (x) = sin x , то F (x) = � cos x .

Примеры прикладных задач:

Отыскание пройденного пути по скорости или ускорению

движения,

Отыскание кривой по заданному закону изменения

касательной.




Свойства первообразных

Теорема (Существование первообразной)

Всякая непрерывная в некотором интервале (a, b) функция имеет

в этом интервале первообразную.

Теорема (Множество всех первообразных)

Если F (x) – некоторая первообразная для функции f (x), то

F (x) + C, где C – некоторая постоянная, – тоже первообразная.

Все множество первообразных исчерпывается этой формулой.

Example

Функции arctg x и � arctg(1/x) являются первообразными для

функции 1/(1 + x

2). Постоянна ли их разность? Почему?





Определение


Zf (x) dx = F (x) + C, x 2 (a, b)

это множество всех первообразных функции f (x).

Example:

Zx

2

dx =x

3

3

+ C.

Странное обозначение неопределенного интеграла возникло

исторически по причине связи с определенным интегралом. Кроме

того, оно удобно для практических вычислений.




Примеры

1Доказать, что

Zx

↵dx =

x

↵+1

↵+ 1

+ C, ↵ 6= �1.

2Найти

Rx

2

dx ,

R px dx ,

Zdx

x

2

,

Rx

3

px dx .


Zx dxp1 + x

2

=p

1 + x

2 + C


Zsin

3

x cos x dx =sin

4

x

4

+ C.















Свойства

Интеграл и дифференциал взаимно обратны

1d

Zf (x) dx = f (x) dx

2

ZdF (x) = F (x) + C

Линейность

1

ZAf (x) dx = A

Zf (x) dx

2

Z(f (x) + g(x)) dx =

Zf (x) dx +

Zg(x) dx




Основная таблица интеграловМетоды интегрированияИнтегрирование рациональных функций













Интегралы от алгебраических функций

1

Zx

n

dx =x

n+1

n + 1

+ C (n 6= �1)

2

Zdx

x

= ln |x |+ C, два случая (�1, 0) и (0,1)

3

Zdx

1 + x

2

= arctg x + C

4

Zdx

a

2 + x

2

=1

a

arctg

x

a

+ C

5

Zdx

a

2 � x

2

=1

2a

ln

��a + x

a � x

��+ C (три случая)

6

Zdxp

a

2 � x

2

= arcsin

x

a

+ C

7

Zdxp

x

2 ± a

2

= ln

��x +p

x

2 ± a

2

��+ C





Интегралы от трансцендентных функций

1

Ze

x

dx = e

x + C

2

Za

x

dx =a

x

ln a

+ C, (a > 0, a 6= 1)

3

Zsin x dx = � cos x + C

4

Zcos x dx = sin x + C

5

Zdx

cos

2

x

= tg x + C

6

Zdx

sin

2

x

= � ctg x + C

Важное упражнение. Проверьте справедливость формул в этой

таблице!

















Важное замечание

Нет простого алгоритма, позволяющего находить интегралы

от элементарных функций.

Не для всякой элементарной функции первообразная

является элементарной.





Способ разложения

Способ разложения

Это наиболее простой способ, основанный на свойствах

линейности и таблице. Пример:

Zx

2

dx

1 + x

2

=

Zx

2 + 1 � 1

1 + x

2

dx =

Z ✓1 � 1

1 + x

2

◆dx

=

Zdx �

Zdx

1 + x

2

= x � arctg x + C.





Примеры

Z(x2 �1)3

dx =

Z �x

6 � 3x

4 + 3x

2 � 1

�dx =

x

7

7

� 3x

5

5

+x

3 �x +C.

Z(x2 � 1)3

x

2

dx =

Z ✓x

4 � 3x

2 + 3 � 1

x

2

◆dx =

x

5

5

�x

3+3x+1

x

+C.

Zx

2 � 3xpx

dx =

Z ⇣x

3/2 � 3x

1/2

⌘dx =

2

5

x

2

px � 2x

px + C.

Ztg

2

x dx =

Z ✓1

cos

2

x

� 1

◆dx = tg x � x + C.





Пример движения материальной точки

Example

Тело движется под действием постоянной силы с ускорением

a = 4 (м/c). Найти закон движения x = x(t), если в начальный

момент времени t = 0 оно неподвижно.

1Так как v

0(t) = a, то

v(t) =

Za(t) dt = at + C.

Так как v = 0 при t = 0, то C = 0. Поэтому v(t) = at = 4t .

2Так как x

0(t) = v(t) = 4t , то

x(t) =

Zv(t) dt =

Z4t dt = 2t

2 + C

1

.

Если считать, что x(0) = 0, то C

1

= 0, и x(t) = 2t

2

.





Замена переменной (упрощение)

Пусть Zf (x) dx = F (x) + C.

Тогда для произвольной дифференцируемой функции u = u(x)

Zf (u) du = F (u) + C.

Это следует из свойства инвариантности формы дифференциала.

Еще одна форма представления той же формулы:

Zf (u)u0

dx = F (u(x)) + C.





Примеры I

F (u) = u

2

Zsin

2

x cos x dx =

Zu

2

u

0dx| {z }

du

=

Zu

2

du =u

3

3

+ C =sin

3

x

3

+ C.

(однако вычислить интеграл

Rsin

2

x dx будет уже сложнее)





Примеры II

F (u) = 1/p

1 � u

2

Zx dxp1 � x

4

=1

2

Z2x dxp1 � x

4

=1

2

Zduz }| {

u

0dxp

1 � u

2

=1

2

Zdup

1 � u

2

=1

2

arcsin u + C =1

2

arcsin(x2) + C

Упрощение

Zx dx

1 + x

2 + x

4

=

x

2 = u

�=

1

2

Zdu

1 + u + u

2

.





Замена переменной. Подстановка I

Подстановка x = '(t)

Пусть функция f (x) непрерывна, а функция x = '(t) непрерывно

дифференцируема. Тогда

Zf (x) dx =

Zf ('(t))'0(t) dt .

После вычисления интеграла в правой части требуется

возвращаться к переменной x , поэтому обычно предполагается,

что функция '(t) имеет обратную.





Замена переменной. Подстановка II

Example

Zdx

1 +p

x

=

x = t

2

�=

Z2t dt

1 + t

= 2

Z(t + 1 � 1) dt

1 + t

= 2

Z ✓1 � 1

1 + t

◆dt = 2(t � ln |1 + t |) + C

= 2(p

x � ln

��1 +

px

��) + C.





Метод интегрирования по частям I

Формула интегрирования по частям

Если функции u и v дифференцируемы, то

Zu dv = uv �

Zv du.

Пример:

Zx sin x dx =

u = x , sin x dx = dv

v = � cos x , du = dx

�

= x(� cos x)�Z(� cos x)dx = �x cos x + sin x + C.





Метод интегрирования по частям II

Чаще всего метод интегрирования по частям применяется для

интегрирования произведений вида

P(x)ekx , P(x) cos kx , P(x) sin kx ,

где P(x) – алгебраический многочлен, P(x) = a

0

x

n + a

1

x

n�1 + · · · ,а также к произведениям

P(x) ln kx , P(x) arctg kx , P(x) arcsin kx .

















Классы интегрируемых функций

Как уже было сказано, не всякая элементарная функция имеет

интеграл в классе элементарных функций. Однако для некоторых

классов элементарных функций эта задача может быть решена до

конца. Одним из таких классов является класс рациональных

функций.





Рациональные функции

Рациональной функцией является всякая, значение которой

может быть получена с помощью операций сложения, вычитания,

умножения и деления. Исходными данными служат константы и

переменная x . Всякая такая функция может быть представлена в

виде

f (x) = R(x) =P(x)

Q(x),

где P(x) и Q(x) – многочлены, т.е.

P(x) = a

0

x

m + a

1

x

m�1 + · · ·+ a

m

, Q(x) = b

0

x

n

+ b

1

x

n�1 + · · ·+ b

n

.

В случае, когда степень числителя рациональной дроби не меньше

степени знаменателя, она называется неправильной, если же

m < n, то правильной.





Простые дроби

Идея интегрирования такой рациональной дроби состоит в

возможности ее представления в виде суммы более простых

рациональных дробей (и возможно многочлена). Из алгебры

известно, что такими дробями являются выражения следующих

форм

1A

x � a

,

2A

(x � a)k

,

3Ax + B

x

2 + px + q

,

4Ax + B

(x2 + px + q)k

.

Эти выражения называют также простейшими дробями.





Разложение на простейшие дроби I

Всякий многочлен может быть разложен в произведение

константы и множителей первой и второй степени, т.е.

множителей вида

x � a и x

2 + px + q.

Обычно дискриминант квадратного трехчлена x

2 + px + q

считается неотрицательным, p

2 � 4q < 0.

Example

x

4 + 4 = x

4 + 4x

2 + 4 � 4x

2 = (x2 + 2)2 � 4x

2

= (x2 + 2x + 2)(x2 � 2x + 2).

В случае неправильной рациональной дроби она может быть

представлена в виде суммы целой части – некоторого многочлена,

и ее правильной части. Разложение рациональной правильной





Разложение на простейшие дроби II

дроби (m < n) начинают с разложения знаменателя на

множители. Разложение дроби имеет следующий вид:

P(x)

(x � a)k (x2 + px + q)l · · · =A

1

x � a

+ · · ·+ A

k

(x � a)k

+

+M

1

x + N

1

x

2 + px + q

+ · · ·+ M

l

x + N

l

(x2 + px + q)l

+ · · ·

Таким образом, каждому множителю знаменателя соответствует

сумма в разложении одного из двух указанных типов.





Example

x

x

3 + 1

=x

(x + 1)(x2 � x + 1)=

A

x + 1

+Bx + C

x

2 � x + 1

.

Приводя к общему знаменателю правую часть, получим

x = A(x2�x+1)+(Bx+C)(x+1) = (A+B)x2+(�A+B+C)x+A+C.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x ,

получим систему 8><

>:

0 = A + B,

1 = �A + B + C,

0 = A + C.

Решая эту систему, находим A = �1/3, B = C = 1/3. Итак,

x

x

3 + 1

=1

3

✓� 1

x + 1

+x + 1

x

2 � x + 1

◆.





Интегрирование простейших дробейИнтегрирование дробей

A

1

x � a

,A

k

(x � a)k

не представляет затруднений, например,

ZA

1

x � a

dx = A ln |x � a|+ C.

Рассмотрим примеры рациональных дробей второго типа.

Вычислить интеграл

I =

Zx dx

x

2 + 4x + 5

.

Выделяя полный квадрат в знаменателе имеем

I =

Zx dx

(x + 2)2 + 1

=

x + 2 = t

�=

Zt � 2

t

2 + 1

dt

=1

2

ln(t2+1)�2 arctg t+C =1

2

ln((x+2)2+1)�2 arctg(x+2)+C.


Documents

Неопределенный интеграл