第三章 聚类分析 第一节 集合论基础

第二节 模糊集合的基本知识

第三节 模糊聚类分析

第四节 动态聚类分析 第五节 系统聚类分析

第一节 集合论基础 集合论是进行系统分析的重要理论基础。

尤其是其中许多概念，方法等，在系统分析中有哲广泛的应用。因此介绍有关集合论的基础知识，对深刻理解和掌握系统工程的基本理论和方法有着重要意义。

为更好理解下面介绍的有关集合论的基本知识，先介绍几个常用的逻辑运算符号的物理意义。

“１．逻辑非（ＮＯＴ）记作 ”；

“ ∧ ”２．逻辑与（ＡＮＤ）记作 ；

“ ∨ ”３．逻辑或（ＯＲ）记作 。

一 几个逻辑运算符号

以上三个运算符号被广泛应用。下面用真值表来说明它们的物理意义。 设 P 、 Q 为两个逻辑变量 其取值为 :

则、∧、∨真值表如表３－１所示。

P QT TURE 1

F FALSE 0、

，或，或

表 3-1 、 、、真值表

P ┐ P Q P∧ Q P∨ Q

TTFF

FFTT

TFTF

TFFF

TTTF

由表３－１可知：逻辑非（）具有反意词的意义。如Ｐ代表学生，则Ｐ表示不是学生；逻辑与（∧）、逻辑或（∨）代表两个逻辑变量的运算结果。对于逻辑与（∧）来讲，当Ｐ、Ｑ同时为Ｔ时，Ｐ∧Ｑ为Ｔ，否则为假（Ｆ）。对逻辑或（∨）来讲，则Ｐ与Ｑ至少有一个为Ｔ，Ｐ∨Ｑ为Ｔ，否则为（Ｆ）。 对真值表的理解，从简单的开关电路中看的更为清楚。设Ｐ、Ｑ代表两个电源开关，开关关上为Ｔ，打开为Ｆ。电路的灯泡则代表逻辑与（∧）和逻辑或（∨），电灯泡亮为Ｔ，不亮为Ｆ。显然，图３－１开关串联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑与（∧）的取值，图３－２的开关并联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑或（∨）的取值。

P Q

P Q

图 3-1 开关串联电路

图 3-2 开关并联电路

P

Q

P Q

４．条件语句 条件语句是表示逻辑变量之间，或等式之间相互因果关系的一种表达形式 , 分为单向条件语句和双向条件语句。 （１）单向条件语句记成“ＰＱ”，读作有Ｐ必有Ｑ。若Ｐ为Ｔ，且有Ｑ为Ｔ，则单向条件语句成立，ＰＱ＝Ｔ；反之若Ｐ为Ｔ，而Ｑ为Ｆ，则条件语句不成立，ＰＱ＝Ｆ。 （２）双向条件语句记成“ＰＱ”，读作有Ｐ必有Ｑ，有Ｑ必有Ｐ。若Ｐ为Ｔ（Ｆ），且有Ｑ为Ｔ（ F) ，则双向条件语句成立，ＰＱ＝Ｔ；若Ｐ为Ｔ (F) ，而Ｑ为 F( Ｔ ) ，

则条件语句不成立，ＰＱ＝Ｆ。 同样，条件语句的物理意义也可用真值表说明，见表３－２。

P Q 单向条件语句P Q

双向条件语句P Q

TTFF

TFTF

TFFT

TFFT

表 3-2 条件语句真值表

５．量词 在数学描述式中，特别是在集合论中，经常用到下面两个量词： ( １ ) 万有量词，可读成“全部”、“所有”、“一切”…。如 ∈ ， 等。 ( ２ ) 存在量词，可读成“总有”、“至少有”…。如 , 读成至少一个 属于 ，而 不属于 。

0 jxx

xBxAx

A

A x B

二 普通集合的基本概念1. 集合与元素 当我们把一群确定的事物当作整体来考察时，则该整体就叫作集合，或简称集。例如某学校的全体教职员工可视为一个集合；全体教职员工、教学实验设备等也可视为一个集合，习惯上，我们常用大写字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ…表示集合，集合中的每一个具体事物叫做这个集合的元素（或简称元），并用大括号括起来，以表示是一个整体。集合的元素一般用小写字母ａ、ｂ、ｃ、ｄ…来表示。例如已知集合Ａ为 A={a1 , a2 , … , an}

说明集合 A中含有 n个元素。我们又定义集合中元素的个数叫集合的势或基数，记｜Ａ｜＝ｎ。

当集合中的元素为有限个时，叫有限集合，集合中的元素为无限时叫无限集合。 元素与集合的关系不是属于关系就是不属于关系，二者必居其一。 若ａ是集合Ａ的一个元素，即ａ属于Ａ，记为ａ∈Ａ，若ａ不是集合Ａ的一个元素，即ａ不属于Ａ，记为ａＡ。 上述元素与集合的关系可用特征函数来描述，即

时当时当

Ax

AxxA 1

0)(

2. 集合的表示方法 集合的表示方法有多种多样。就给定的集合来讲，一般有三种表达形式：

( １ )列举法 指把集合中的所有元素一一列举出来的方法。

如Ａ＝ {1,2,3,4}, B={b1,b2,b3} 等。

( ２ )趋势法 这种表达方法仅适用于集合中元素的排列具有某种规律性，此时只需列举出有限个元素，其余元素可用省略号“……”表示。例如： A={…,-1,0,1,2,…}

B={a1 , a2 , … , an}

(３ ) 描述法 又称谓语语句法，这是一种广泛应用的集合表示方法。其一般表达式如下 A={x|p(x)}

式中： x －表示集合元素；

p(x)-作为谓语，用以说明 x 是什么，或在什么范围内变化。例如： Ａ＝ {x｜ 1≤ x ≤2} 这里 p(x) 是说明集合Ａ的元素是由〔１ , ２〕闭区间全体实数组成的。又如： 此集合与 完全等价。

},,2,1{ nixA i

},,,{ 21 nxxxA

3. 集合的包含与相等 包含关系是用来描述集合与集合之间关系的一种表示方法。设有Ａ、Ｂ二集，如果属于Ａ的元素全部属于Ｂ，则Ａ称作Ｂ的一个子集，或说集Ｂ包含集Ａ，记成Ａ B ，或Ｂ A 。其数学描述如下：

一个集合 A称为Ｂ的真子集，则Ａ与Ｂ的关系叫真包含关系，记成ＡＢ。其数学描述如下： 例如： A＝ {a,b},B={a,b,c}，则有ＡＢ。 根据包含关系，我们可定义两个集合相等的关系式，即 (3-3) 如果两个集合存在着包含关系的话，不是相等关系，就是真包含关系。 (3-3) 式则是全面反映了这两种关系。

AyByBxAxBA 不一定

AyByBxAxBA

ABBABA

注意：对于两个相等的集合还有以下两个性质： (１ ) 重复元素没有意义，即 Ａ＝ {1,2,2,4}={1,2,4} (２ ) 同一集合不同表达形式当然相等。例如：

Ａ＝ {x|x(x-1)=0}，Ｂ ={0,1} 则Ａ＝Ｂ。

4. 几个重要集合 ( １ )空集 Φ 指不含有任何元素的集合。其表达式如下： Φ＝ {x｜P(x)∧P(x)} 式中谓语 P(x)∧P(x) 说明既满足Ｐ (x) ，又满足Ｐ (x) 的元素是不存在的。因为Ｐ (x) 为Ｔ， P(x) 为 F ，显然这样的 x是不存在的，故为空集。 (２ ) 单元素集 只含有一个元素的集合叫单元素集，如 {a} ，{b}… 等。单元素集与单元素是两个完全不同的概念。如“学生”做为集合的一个元素，可能是男学生，女学生，也可能是若干个学生，而 { 学生 } ，则表示学生的全体。 (３ ) 全集 U 指由论域全体元素组成的集合叫全集，一般记成 U 。其表达式为 : U ={x｜P(x)∨ Ｐ (x)} 式中的谓语 P(x)∨ P(x) 与并运算等价。意指满足Ｐ (x) 和不满足Ｐ (x)都是集合的元素。

(4)幂集 设 A为任意有限集合，则包含Φ和Ａ在内的全部子集族称作集合Ａ的幂集，记为 ρ(A) 。 例如： 当

根据上面的例子，我们归纳给出求幂集势的一般公式如下因为

所以

n21nn21n

333

222

111

AaaAabaA

AbcacabcbaAcbaA

AbaAbaA

AAaA

,,,,,

:::

:::

,,,,,,,,,

,,,,

,

| | , | |

| | , | |

| | , | |

| | , | |

A 1 PA 2 2

A 2 PA 2 4

A 3 PA 2 8

A n PA 2

1 11

2 22

3 33

n nn

三 直积集

顾名思言，直积集可表面理解成两个以上集合直接相乘而得到的集合。但事实并非完全如此。直积集又叫序集，它是建立在有序对概念基础上而定义的新集合，这也是它与普通集合的本质区别所在。为了给出直积集的一般定义。我们需首先介绍有序对的概念。

1. 有序对 在解析几何中我们知道，可用一对有顺序的实数（ x，ｙ）来表示平面座标上的一个点。某中规定ｘ所在位置叫第一座标，代表在ｘ轴上的取值；ｙ所在位置叫第二座标，代表在ｙ轴上的取值。显然， #!& 随着 x,y的不同取值，便对应着平面上不同的点，并且一般情况下， (x,y)≠(y,x) 如图３－３所示， (3,1)≠(1,3) ， (-1,3)≠(3,-1) ， (-2,2)≠(2,-2) 等等。这说明，有序对引入了位序的概念，而普通集合则与元素排列顺序无关，如 {1， 2}={2， 1}。 两个有序对，只有当它们的第一座标和第二座标分别相等时 ,才认为它们是相等的，即 (a,b)=(p,q)a=p∧b=q

(3,1)

x

(-1,3)

(2,-1)

(3,-1)

(1,3)

(-2,2)

y

图 3-3 直角坐标系

2. 直积集 设Ａ、Ｂ为任意两个非空集合，则由Ａ、Ｂ中的全体元素组成的有序对（ａ ,ｂ）叫做Ａ到Ｂ的直积集，记为Ａ×Ｂ，即 Ａ×Ｂ ={(a， b)｜ a∈ Ａ∧ b∈ Ｂ，且ａ ,ｂ取遍 A、Ｂ中的一切元 } 式中 ( ａ，ｂ）又叫有序二元，并且ａ位于第一座标，ｂ位于第二座标。 如果第一座标取自Ｂ的一切元，第二座标取自Ａ的一切元，则全体有序对（ｂ ,ａ）组成的直积集叫Ｂ到Ａ的直积集，记成Ｂ×Ａ，即 Ｂ×Ａ＝ {(b， a)｜b∈B∧a∈A，且 b， a取遍B，A的一切元 } 根据有序对的定义，显然有Ａ×Ｂ≠Ｂ×Ａ 如果 A=B, 则有 A×B=B×A=A2=B2 此时 A2(B2) 叫集上直积集，又叫直幂集。

实例：

例１：已知 ，求A到 B的直积集。解： A×Ｂ＝ {(a， b)｜ a∈A∧b∈B，且 a， b取遍A，B的一切元 } 例 2：已知Ｘ＝Ｙ＝ {-∞<x,y<∞}，求直积集。解：

其中 叫二维笛卡空间，也即是说，若Ｘ取全体实数集合，则其直幂集代表平面上全部点的集合。

A a a B b b b1 2 1 2 3 , , , ,

a b a b a b a b a b a b1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3, , , , , , , , , , ,

X Y Y X X Y

x y xy

D

2 2

2

, | .

D2

3. 推广 以上我们研究的是两个集合的直积集问题，其中有序对叫有序二元。那么，我们完全可以仿照这种思路，把直积集的概念推广到几个集合。 设已知 个非空集合，则 到 ， 到 …的直积集记成 ，且 式中：（ ） --叫有序n元。 当ｎ＝２时，则为两个集合的直积集；当ｎ＝３时，则是三个集合的直积集等等。

n

1iiA

n

1in21n21nn2211n21i AAAaaaAaAaAaaaaA 的一切元取遍且 ,,,,,|,,

A A A1 2 n A1 A2 A3A2

n21 aaa ,,

同理，当上式 时，则

称作直幂集。 关于直积集的势，给出如下两个计算公式：

当 A1=A2=…=A ｎ时，

A A A1 2 n

nn

1ii AA

|||||| n21

n

1ii AAAA

nn

1ii AA ||

四 关系集

研究直积集的根本目的，就是为了进一步研究关系集做准备。客观物质世界普遍存在着各种各样的联系，而这种联系又都可表现为各种关系。例如：在社会中 , 在家庭中 , 在数学上 , 在生物界 ,

在一部机器上等等。任何一种联系都可定义一种关系。关系集就是各种关系的数学描述方法，对我们认识和改造客观世界有着重要指导意义。

1. 关系集的数学描述 设 为ｎ个非空集合，则直积集 的一个子集 叫 的一个ｎ元关系集，显然

根据全集的定义， 即是 n元关系全集，故可令

在客观世界中，存在着二元关系、三元关系、四元关系等多元关系。如一个家庭、若干国家组成的经济共同体、各种球类比赛的各个球队等，都属于多元关系。但是，在多元关系中，二元关系是大量的，也是最基本的。因此，我们将重点讨论二元关系。

A A A1 2 n, , ,

n

1iiA

Rn

n

1iiA

n

1ii

n AR

n

1iiA

n

1iiAU

2. 二元关系集的定义 由 式可知，当ｎ＝２时，则

叫做 的一个二元素关系集， 叫二元关系全集。然

而，无论 式，还是 式，它们都没有

对关系子集的确切含意加以说明，因此，也就无法给出具体

的关系子集。

※以后讨论的二元关系集都记成Ｒ，而不记成 。

UAR2

1ii

2

n

1ii

n AR

2

1iiA

2

1iiA

UAR2

1ii

2

R Ani

i 1

n

R2

设已知Ａ、Ｂ两个非空集合，则Ａ×Ｂ的一个子集ＲＡ×Ｂ叫Ａ×Ｂ的一个二元关系集，且 Ｒ＝ {(a,b)｜ a∈A∧b∈B∧a与 b是什么关系 } 显然，上式中的谓语是定义ａ与ｂ是什么关系的，也是我们给出二元关系集的基本依据。 例 1：已知集合 A ={1,2,3}, 定义 A上的一个二元关系集为 R={(a,b)｜ a,b∈A∧a≤b}。则有 : Ｒ ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}A2同理，若定义Ｒ ={(a,b)｜ a,b∈A∧a＝ b} 则有 Ｒ＝ {(1,1),(2,2),(3,3)}A2

例 2：已知小张（女）、小王（男）、小李（女）三名同学分别记为ａ、ｂ、ｃ。即Ａ＝ {a， b， c}。我们做如下定义： １． R={(a， b)｜ a， b∈A∧a与 b为同学关系 }，则

２． R={(a， b)｜ a， b∈A∧a与 b为女同学关系 }，则 R={(a， a) ， (a， c) ， (c， a) ， (c， c)} ３． R={(a， b)｜ a， b∈A∧a与 b为男同学关系 }，则 R={(b， b)} 由上面例题不难看出，任何一个关系子集都需给出明确的定义，关系子集与关系全集之间具有一般包含关系（）。 与普通集合一样，任意一个二元关系（ａ，ｂ）可能属于关系集 R，也可能不属于关系集 R，为以后分析问题方便，我们规定： 当 (a， b)∈Ｒ时，则说明ａ与ｂ具有关系 R，记成ａRｂ； 当 (a， b)∈Ｒ时，则说明ａ与ｂ不具有关系 R，记成ａ ｂ。

R A a a a b a c b b b a b c c c c a c b2= = {( ),( ),( ),( ),( ),( ,( ),( )( )}， ， ， ， ， ， ） ， ， ，

R

3. 关系图、关系矩阵

二元关系与运筹学的分枝“图论”有着密切的关系。可以说

二元关系是图论的基础，而图论是二元关系的图形表示。

空间集合的二元关系，都可抽象成平面上点集之间的对应关

系。并规定用一条矢线从第一座标指向第二座标来表示这种关

系。这样，任意一个二元关系，都可画成相对应的关系图，从

而使二元关系变得更加清晰明了。下面举两个实例。

例１：已知

要求画出Ａ×Ｂ的全关系图。答案如图 3-4所示。

例 2：已知Ａ＝ {1,2, ３ },R为定义在Ａ上的一个二元关系集，Ｒ＝

{(a,b)|a,b∈A∧a≤b}，要求画出Ａ上的全关系图和Ｒ关系图。

因为

={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)(3,3)}

根据二元关系规定，给出关系图如图 3-5所示。

A a a a B b b b1 2 3 1 2 3 , , , , ,

A2

A Ba1

a2

a3

b1

b2

b3

图 3-4 A×B 全关系图

图 3-5 A 上关系图

a. 全关系图 b. R 关系图

1

2

3

1

2

3

一个关系图必对应一个关系矩阵，相反亦成立。对关系矩阵做如下定义：

上式表明关系矩阵是个０－１矩阵。根据全关系图和 R关系图可给出如下关系矩阵：

ji

ji

bRa0Rba1

Rij

mxnRij

R

m

mM当当,,

)(

M

1 1 1

1 1 1

1 1 1

U

M

1 1 1

0 1 1

0 0 1

R

4. 二元关系的性质 二元关系有五个重要性质，深刻了解这些性质，对正确分析系统中的各种关系非常重要。设Ｒ是集合Ａ上的一个二元关系。则Ｒ可能具有如下五个性质： (1)R具有反身性 x∈AxRx. (2)R具有反反身性 xAx x. (3)R具有对称 x.y∈A∧xRyyRx。 (4)R具有反对称 x.y∈A∧xRyy x。 (5)R具有传递 x.y.z∈A∧xRy∧yRzxRz。 假设已知集合Ａ＝ {1,2,3}，集上的二元关系分别为：

R

R

(1) 当 R={(a,b)｜a.b∈A∧a=b}，则 R={(1,1)(2,2)(3,3) 说明 R满足反身性，即ｘ∈Ａ xRｘ。 (2) 当 R={(a,b)｜a.b∈A∧a ＜ b}，则 R={(1,2),(1,3),(2,3)}。 说明 R满足： a.反反身性 ｘ∈ Ax x b.反对称性 x.y∈A∧xRyy x c. 传递性 1,2,3∈A∧1R2∧2R31R3。 (3) 当 R={(a,b)｜a.b∈A∧a≥b}，则 R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),(3,2),(3,1)}. 说明 R满足 : a.反身性 x∈AxRx b.反对称性 x.y∈A∧xRyy x c. 传递性 3,2,1∈A∧3R2∧2R13R1。

RR

R

五 序集 顺序或排序在系统分析与评价中经常用到 .从集合的观点出发，如果依据某种原则，如大小关系、优序关系、包含关系等，将集合的元素排成一定序列，我们就称该集合为序集。在系统分析与评价中，经常用到的序集有以下几个。

1. 偏序集 定义 设Ａ为一非空集合，Ｒ是Ａ上的一个二元关系，如果Ｒ满足： (1) 反身性 (2) 反对称性 (3)传递性 则说 R是 A上的一个偏序关系集 , 记成 P={A,≤} 式中：Ｐ－代表偏序集合 ≤ -是偏序关系代号，可能是“”、“≤”、“≥”等关系。 P={A, ≤ } 式可读作在集Ａ上的偏序（≤）关系集合。

例１：已知Ａ＝ {a,b}， ρ(A)={Φ， ， ， } 则幂集上的包含关系便是一个偏序集，即 R=P={ρ(A),}={(a， b)｜a， b∈ρ(A)∧ab} ={(Φ,Φ),(Φ, ),(Φ, ),(Φ, ),( , ) ( , ), ( , ), （ , ),( ， )} 很容易看出，Ｒ关系集满足反身性、反对称性和传递性三个性质，所以Ｒ为偏序关系集。另外，我们还可通过关系图了解的更清楚，如图 3-6所示。 为了简化关系图，特做如下规定： ①省略反身关系和传递关系； ②要求各关系枝的箭头方向由下向上指。经过简化的关系图叫 H图。

ab

a

a

a

b

a abb

bb abab ab

abab

图 3-6 偏序关系图及其对应的 H图

a. 偏序关系图 b. H 图

ba

abab

a b

另外，在偏序集中，允许存在不可比较元素。如 与 之间就没有枝相 连，故不可比较。 例２：已知Ａ ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, 设Ａ

上的一个二元关系为Ｒ＝ {(a,b)｜ a,b∈A∧b/a=整数 }。则此二元关系集也是一个偏序关系集。对应的 H图如图 3-7所示。

a b

图 3-7 A 上整除关系 H 图

1

23

5

10

8

7

96

11

12

4

2.拟序集 定义 设Ａ为一非空集合，Ｒ是Ａ上的一个二元关系集，若满足 (１ ) 反反身性 (２ ) 反对称性 (３ )传递性 则说Ｒ是Ａ上的一个拟序关系集，记成 Q={A, } 式中：Ｑ－代表拟序集合， 是拟序关系符号，可能是“”、“ <” 、“ >” 等关系。

例１：设Ａ ={a,b}，其幂集为 ρ(A)={Φ， ， ， )} 则集上的真包含关系是一个拟序关系集。即 Ｒ =Q={ρ(A) ， }={(a,b)｜ a,b∈ρ(A)∧a b} ={(Φ， ) ， (Φ， ) ， (Φ， ) ， ( ， ) ， ( ， )}

显然，Ｒ关系集满足定义拟序集的三个性质，其关系图和Ｈ图如图 3-8 所示。

a

a

a abab ab

ab

b

b

b

图 3-8 拟序关系图及其对应的 H 图

a. 拟序关系图 b. H 图

ba

abab

a b

例 2：大系统单元层次结构关系是拟序关系。

任何一个复杂大系统都可划分成许多层次。层

次之间存在着真包含关系，这种真包含关系，便

形成了大系统单元集合巢式结构的无限序列。如

图 3-9所示便是一个典型例子。

A - 某农业系

统

… A A

B

A

BC

A

BCD

B - 某县级系

统

C - 某县级系

统

D -国家大系

统

图 3-9 大系统单元集合巢式结构无限序列

3. 全序集 全序集是偏序集的一个特例。 如果一个集合Ａ上的偏序关系（≤），满足ａ， b∈ Ａ，且ａ≤ｂ或ａ≥ｂ必有一个成立，则称此偏序为全序，此时的偏序集又叫全序集，记成 Ｔ＝ {A，≤ } 式中：Ｔ－代表全序集。 ≤ －全序关系符号。 例如：设Ａ＝ {1,2,3}，定义Ａ上的一个二元关系 Ｒ ={(a,b)｜ a,b∈A∧a≤b}，则 Ｒ =T={A,≤}={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}即是偏序集，也是全序集。对应的关系图和Ｈ图如图 3-10所示。 实际上，全序的概念是依据某种要求（关系），将集合中的元素排成一列。如图 3-10中的Ｈ图所示。在实际工作中，方案评价排序就是全序集的应用。

图 3-10 全序关系图及其对应的 H 图

1

2

3

a. 全序关系图 b. H 图

3

2

1

六 划分与覆盖1.划分 设 A为一给定的非空有限集合， 为 A的非空子集族，若满足 (１ ) (２ )则 叫 A的一个划分，记成

例如，设Ａ为某个农业系统，则

就是 A 的一个划分。

}{ 54321

渔副牧林农）（

A，

A，

A，

A，

AA

}{ 21 nA，，A，AA ）（nA，，A，A 21

nA，，A，A 21

AAn

ii

1

jiAA ji

如果在第一次划分的基础上继续划分下去，称作化分加细，分两种情况：一是划分真加细；二是一般划分加细。划分真加细是指对第一次划分的四个子系统再次划分。即

且 。 根据以上要求继续往下划分，便得到一个划分真加细序列。

4,3,2,121 iAA ii

},,,,

{4241

4

3231

3

2221

2

1211

1

AA

A，

AA

A，

AA

A，

AA

AA ）（

一般划分加细是指在第一次划分的基础上 ,只有部分子系统被划分加细了 , 而有的子系统仍保持不变。根据以上要求继续往下划分，便得到一个一般划分加细序列。即

具体见图 3-13所示。

},,,

{ 43231

3

2221

2

1211

1 A，AA

A，

AA

A，

AA

AA ）（

图 3—13

划分加细序列

A

A1

A2 A3

A21

A22

A4

A31

A32

A42

A41A11

A12

A21

A22 A31

A32

A4

A11

A12

一般划分加细序列

划分真加细序列

1

（ A ） 11

（ A ）

（ A ）

2. 覆盖 覆盖也是一种划分，故也称覆盖划分。假如某非空有限集合Ａ的划分如图 3-14所示。显然 ，我们把这种划分叫覆盖划分。这也是划分与覆盖的唯一区别，下面给出覆盖划分的定义。 定义 设Ａ为一给定的非空有限集合 , 为 A的一个非空子集族 , 若满足

则 叫Ａ的一个覆盖划分，记成

43 AA

nA，，A，A 21

AAn

ii

1

nA，，A，A 21

}{ 21 nA，，A，AACov ）（

图 3—14 覆盖划分

A3

A4

A

A1

A2

A3

A4

同划分一样，覆盖也有覆盖加细和覆盖真加细之分。设 为Ａ的一个覆盖划分，在此基础上，若 再进行一次覆盖划分，则称覆盖真加细划分；若只部分 被划分，则称覆盖加细划分。 例如，

则 为 的一个覆盖真加细。其层次结构如图 3-15所示。

},,,{)( 210 nAAAACov

),,2,1( niAi

iA

},,

,,,

{)( 210 dcb

A

cba

AACov }

,,

,,

,,

,{)( 4321

1 ed

B

dc

B

cb

B

ba

BACov

},,,,{ edcbaA

)(1 ACov )(0 ACov

图 3—15 覆盖真加细层次结构

A1

A

A2

B1 B2 B3 B4

a b c d e

COV0 （ A ）

COV1 （ A）

例如，

则 为 的一个覆盖加细。其层次结构如图所示。

},,,,{ edcbaA

},,,

,,

{)( 3210 ed

A

dcb

A

ba

AACov ，

},

4,

,,,,

,{)( 321

1 ed

B

dc

B

cb

B

ba

BACov ，

)(1 ACov )(0 ACov

图 3—16 覆盖加细层次结构

A1

A

A3

B1 B2 B3 B4

a b c d e

COV0

COV1

A2

第二节 模糊集合的基本知识 一、模糊数学简介 1965年，美国著名控制论专家查德（ L.A.Zadeh）最先在一个杂志上发表了一篇题为“ Fuzzy sets” 的论文，它标志着模糊数学的诞生。 随着科学技术的进步，特别是计算机科学的发展，人们要处理的问题愈来愈多，范围愈来愈广泛。尤其涉及许多复杂大系统问题，要求对大量的模糊概念做出量的回答，这便是模糊数学产生和发展的客观实践基础。 最后强调一点，模糊数学不是使数学模糊数化，而是用精确定义的概念刻化模糊现象，从而使数学这种工具应用到经典数学所不能及的领域中。

二、模糊集合的定义

我们知道，对于一个普通集合Ａ，可以用

来表示这个集合， 称为集合Ａ的特征函数。

和普通集合一样，我们把被讨论的对象的全体称为论

域（集），常用大写字母Ｘ，Ｙ，…表示，用小写字母，

， ，…表示论域（全集）中的元素。

Ax

AxxA 0

1)(

)(xA

x y

设 为所论全集， 的一切模糊子集记为 ，则映射

式中： 称为 的隶属函数， 的具体取值称为 对

的隶属度。如 ＝１，说明 百分之百属于 ； ＝ 0.

8，说明 有八成属于 。

]1,0[)(

]1,0[:

~

xXAAx

X

A

A

～～

～

)(~

xA

xx

x

～A

～A

～A

～A)(

~

xA

)(~

xA

)(~

xA

～AX X

模糊子集一般写成

可见，模糊集合于普通集合的根本区别在于： 若 ： X{0,1} 为普通集合 ： X[0 ， 1] 为模糊集合 这表明模糊集合的隶属关系扩展到整个 [0 ， 1]区间取值，这就便于描述真实世界。 如，

})(

,,)(

,)(

{ ~~~

2

2

1

1

~n

nAAA

x

x

x

x

x

xA

}5

1.0,

4

6.0,

3

1,

2

6.0,

1

2.0,

0

0{

~A

三、模糊集合三要素 １．概念或命题 指所研究的是什么问题，这是模糊研究的前提。如研究的是“模糊相似关系”、“青年人”、“天气热”、“天气凉爽”等等都是模糊概念。 ２．论值 支持给定概念的具体内容，这里讲的内容依概念不同而不同。如给定概念是“模糊相似关系”，则论值即指研究对象的集合；如给定概念是“青年人”，则论值即指部分年龄的集合，设Ｘ代表人们年龄的全集，则子集 A={10,18,40,50} AX就是“青年人”概念的论值。

３．隶属度 论值 x属于给定概念的资格程度叫ｘ的隶属度，以上面所论对象为“青年人”为例。论值中有四个年龄。它们分别属于“青年人”的资格我们可通过不同方法求得。现假设它们的隶属度为

于是得到如下模糊子集，即

A A

A A

~ ~

~ ~

10 0.5, 18 1.0

40 0.8, 50 0.6

A 10 /10, 18 /18, 40 / 40, 50 / 50

0.5 /10,1.0 /18,0.8 / 40,0.6 / 50

~A A A A~ ~ ~ ~

模糊集合三要素之间的关系如图 3－ 17所示。

显然，用模糊集合描述客观世界将更真实，更实际，

这也是经典数学所无法比拟的。

模糊集合的重要工作就是计算隶属度。其计算方

法主要有经验模糊评分法、相对系数评分法和功效

系数法。前两种方法在第九章系统评价中介绍，下

面就功效系数法的应用举几个例子。

论

值

值

域

10

岁 1

8岁

40

岁 5

0岁

1.0

0.5

0

青年人

概念

图 3—17 模糊集合三要素关系图

例 4-1 经费在１万元到 10万元之间越多越好。此题概

念是《经费越多越好》，故取 其余经费的隶属

度按线性变化，如图 3 － 18 所示。

例 4-2 根据某地区多年降雨情况分析，降雨量在 400

500毫米基本是丰收年，而≤ 200毫米，≥ 700毫米将出

现严重旱、涝灾害，试求降雨量隶属丰收年的隶属度。根据

题意知 ，降雨量在 200700毫米之间降雨

量的隶属度变化如图 3-19所示。

A A400 500 10 200700 0 . , ,

A A10 1 1 0 ,

图 3—18

1.0

0.5

10万元5 万元1 万元

µA （ 5 ） = 4 / 9

图 3—19

1.0

0.5

0700

450

100

200

300

500

600

A(x)

降雨（毫米）

四、模糊集合定义的几个基本运算 １．相等 论域Ｘ上两个模糊子集 与 相等的必充条件是：

２．余集 论域 X上模糊子集 的余集记为 ，其隶属度定义为 例如：设 ={0/0,0.1/1,0.4/2,0.7/3,0.9/4,1.0/5} ={1.0/0,0.9/1,0.6/2,0.3/3,0.1/4,0/5}

～B

)()(~~~~

xxBA BA

～A

～A

)(1)(~~

xx AA

～A

～A

～A

３．并集 论域Ｘ上模糊子集 和 的并记作 ，其隶属度定义为

例如

则

～A

～B

~BA

～

)}(),(max{)(~~ ~

xxx BABA ～

}/.,/.,/.,/.,/{

}/.,/.,/.,/.,/{

}/.,/.,/.,/.,/{

~~

~

~

49030126012000

49037024011000

46030126012000

BA

B

A

４．交集 论域Ｘ上的模糊子集 和 的交记作 ，其隶属度定义为

例如，以上面并集运算中的 和 为例，其交集为

～A

～B

~BA

～

)}(),(min{)(~~ ~

xxx BABA ～

4}6037024011000 /.,/.,/.,/.,/{~

BA～

～A

～B

五、模糊关系与模糊等价关系 １．模糊关系 前面我们介绍的关系集都是二值逻辑范畴，即

式中 叫二元关系的特征函数。 但是，在现实生活中，还有许多关系是不能完全用二值逻辑来刻划的。比如两个人的相象关系，用“象”与“不象”就说不明白。恰在这个问题上，人们多用“象”、“非常象”、“很象”、“有点象”等词汇加以刻划。由此不难看出引入模糊关系的必要。仿照模糊子集的定义方法，我们给出模糊关系的定义如下：

RyxxRy

RyxyRxyxR

),(,,1

),(,,0),(

或说明或说明

),( yxR

设已知论域Ｘ和Ｙ，则Ｘ×Ｙ的一个模糊子集 称为Ｘ到Ｙ的一个模糊关系，且

式中 叫模糊关系的隶属函数，因其在〔０，１〕取值，这就使得精确刻划模糊关系成为可能。 例如：已知 X 和 Y 分别代表两组人体体重集合，且

试求两组“体重相似”关系，即

~R

]1,0[),(

]1,0[:

~

~

yx

YXR

R

),(~

yxR

506040

||||||321 xxx

X

70655035

||||||||4321 yyyy

Y

]1,0[),(},),{(~~

yxYyXxyxR R体重相似关系

求解此问题的步骤如下： １ ) ．建立二元关系矩阵

y y y y

X Y

x

x

x

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

1 2 3 4

1

2

3

1 1 1 2 1 3 1 4

2 1 2 2 2 3 2 4

3 1 3 2 3 3 3 3

( , ), , , , , ,

, , ( , ), , , ,

, , , , , , ,

y y y yx

x

x

4035 4050 4065 4070

6035 6050 6065 6070

5035 5050 5065 5070

1 2 3 4

1

2

3

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , , ,

２ ) ．将二元关系矩阵转换成模糊关系矩阵

上式就叫模糊关系矩阵。显然，如能求出 (i=1,2,3;j=1,2,3,4) ，则便求得量化的模糊关系矩阵。假如通过某种准则对其量化后得到：

R~

y y y y

R

x

x

x

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

1 2 3 4

1

2

3

R 1 1 R 1 2 R 1 3 R 1 4

R 2 1 R 2 2 R 2 3 R 2 4

R 3 1 R 3 2 R 3 3 R 3 4

~

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , , ,

iiR yx ,~

y y y y

R

x

x

x

0.9, 0.85, 0.8, 0.7

0.7, 0.85, 0.9, 0.8

0.8, 1.0, 0.8, 0.75

1 2 3 4

~

1

2

3

上面的例子是研究两个集合之间的模糊关系。而在许多情况下是探讨集上的模糊关系，如模糊聚类分析就是如此，即

X在这里就是聚类单元全集。 设 ，求Ｘ上的模糊相似关系。很明显，其模糊相似关系矩阵如下：

X x x x x x1 2 3 4 5 , , , ,

44R34R24R14R

43R33R23R13R

42R32R22R12R

41R31R21R11R

4

3

2

1

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

x

x

x

x

R

xxxx

,,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,,,

~~~~

~~~~

~~~~

~~~~

~

]1,0[: 2

~XR

由上式我们可得出如下重要认识： １） , 我们定义成反身性，即自己与自己总是１００％相似。 ２） ，我们定义成对称性。 ３）由上面两点可知，集上的相似关系矩阵是个主对角线为１的对称矩阵。

ji1xx jiR ,,~

)(,,~~

ji ijRjiR xxxx

２．模糊等价关系

聚类分析的目的是把研究对象的组成单元分成若干个等价类、而任何一个等价类 ,都满足三个性质：

１）反身性

２）对称性

３）传递性

如一个班级的同学关系就是一个等价类。

我们已经知道，集上的模糊相似关系已满足反身性和对称性要求，唯独是否满足传递性还不清楚，因此，还必须在此基础上求出模糊等价关系。模糊等价关系定义如下： 设 是Ｘ上的一个模糊关系，若满足：１） 满足反身性

２） 满足对称性３） 满足传递性

R~

R~

R~

R~

x X x x 1R~

, x X x x x x x xi j R i j R j i

~ ~, ,

R R2

~ ~

为了在模糊关系的基础上求模糊等价关系，有如下定理： 设 是Ｘ上的一个模糊关系，且 |X|=n，则必有Ｋ≤ｎ，使下式成立

则 便是Ｘ上的模糊等价关系，记为 （此定理证明从略） 在应用本定理求模糊等价关系时，可取 的偶次幂，

这样可节省大量计算时间，下面举例加以说明。

R~

t R R R R R Rk k 1

~ ~ ~ ~ ~ ~

Rk

~

R R R2 4 8

~ ~ ~、 、

t R~

R~

例如，已知如下模糊关系矩阵

显然， 满足反身性和对称性，但是否满足传递性还不得而知，为此要进行矩阵合成运算，即连续求 ，计算便告结束。 这里应当注意的是，模糊矩阵相乘与普通矩阵相乘有很大不同，它应遵循模糊集定义的运算规划，即两个数相乘取极小（∧运算），多个数相加取极大（∨运算）。如 矩阵中的第一行与第二列（行）相乘的结果是：

R~

R

1 01 08

01 1 05

08 05 1~

. .

. .

. .

R R R R R R t R2 4 8 8 4 4

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~,、 、 。若 则令

R~

max

01 1 05

1 01 08

max 01 01 05 05

. .

. .

. . . .

R~

另外，考虑对称矩阵的特点，不用将两个相同矩阵并列起来再行、列相乘，而把列号当成行号即可。本例计算过程及结果如下：

R

1 05 08

05 1 05

08 05 1

2

~

. .

. .

. .

R

1 05 08

05 1 05

08 05 1

4

~

. .

. .

. .

因为 故计算停止 则R R

t R

1 05 08

05 1 05

08 05 1

2 2 2

~ ~

~

, ,

. .

. .

. .