第九章应力状态理论

工程力学系工程力学系第九章应力状态分析第九章应力状态分析

第九章应力状态理论9-1 一点应力状态的概念

9-2 平面应力状态分析的解析法

9-3 平面应力状态分析的图解法

9-4 三向应力状态简介

9-5 广义虎克定律

9-6 平面应力状态的测定

9-7 复杂应力状态下的变形比能


问题的提出内力计算找到危险截面位置应力计算找到危险点位置

然而受力状态完全相同（即危险截面和危险点相同），破坏形态可能不同

低碳钢受扭产生平面断口

铸铁受扭产生 45° 螺旋面断口

为什么？


说明不同材料破坏的危险方位不同。

应力状态理论解决危险方位的问题。


§9-1 一点应力状态的概念一、轴向拉压杆斜截面上的应力

0 x 0 AAp 由

cosA

Ap得

2coscos p 2sin

2sin p斜截面上

90 9090 0 0 时＝＝讨论当当当

00 00 ＝＝时

45 4545 2 2 时＝＝

在纵向拉伸等直杆中截取的一段

m

n

A

A

A

F

x

p

p


同一点各个方位上的应力大小和方向各不相同。某一点各个不同方位的截面上的应力及其相互关系，称为一点的应力状态

二、一点应力状态

三、单元体概念

剪应力等于 0 的截面称为主平面；作用在主平面上的应力称为主应力。

在构件内部取一个微分六面体，代表一个点，分析 6 个微面上的应力，这个微分六面体称为单元体

y

x

z

yx yz

zyzx xz

xy


四、应力状态分类

　　三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力都不等于 0;

y

x

z

yx yz

zyzx xz

xy

y

x

yx

xyx

y

yx

xy

　　二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力都不等于 0;

x x

单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于 0


§9-2 平面应力状态分析的解析法

平面初始应力状态包括 x y xy yx

表示

y

x

yx

xyx

yyx

xy

平面应力状态的简化表示

y

x

yx

xyx

y

yx

xy


一、任意斜截面上的应力

从 x 轴方向逆时针为正

拉应力为正；压应力为负

绕单元体顺时针为正，反之为负

设斜截面上的应力为

y

x

yx

xyx

yyx

xyn

t斜截面上的各参量的正负号规定

n

x

x

xy

yyx

t


对三角形单元体建立平衡方程

0nF ( cos )cos ( cos )sin ( sin )sin ( sin )cos 0x xy y xydA dA dA dA dA

n

x

x

xy

yyx

t

0tF ( cos )sin ( cos )cos ( sin )cos ( sin )sin 0x xy y xydA dA dA dA dA

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x y x yxy

x yxy

整理后


二、主应力、主方位

由斜截面上的应力表达式可知随角度不同而变化，都是的函数，由此可求正应力和剪应力的极值。

、

2 sin 2 cos 2 02

x yxy

d

d

主平面

、

将的表达式对求导：

0 =

可见在的截面上，正应力具有极值（最大或最小）0 ＝

主应力


0

21

2xy

x y

arctg

2

2maxmin

0

2 2

21

2

x y x yxy

xy

x y

arctg

即平面应力状态主应力、主方位表达式

0 =令 sin 2 cos 2 02

x yxy

即

0

22 xy

x y

tg

得

将上式带入的表达式：


将的表达式对求导：

三、剪应力极值、剪应力极值平面

( ) cos 2 2 sin 2 0x y xy

d

d

122x y

xy

tg

1

1

2 2x y

xy

arctg

将上式带入的表达式： 2

2maxmin

1

2

1

2 2

x yxy

x y

xy

arctg

即剪应力极值、剪应力极值平面表达式


由主应力方位角和剪应力极值方位角可知

0

22 xy

x y

tg

122x y

xy

tg

0 12 2tg tg

0 12 22

0 1 4

即：剪应力极值平面和主平面夹角为 45°


§9-3 平面应力状态分析的图解法

斜截面应力解析表达式cos 2 sin 2

2 2

sin 2 cos 22

x y x yxy

x yxy

将公式的结构进行变换cos 2 sin 2

2 2

sin 2 cos 22

x y x yxy

x yxy

2 2

2 2

2 2x y x y

xy

一、应力圆方程

工程力学系工程力学系第九章应力状态分析第九章应力状态分析2 2

2 2

2 2x y x y

xy

发现此方程为圆方程，圆心半径, 02

x y

2

2

2x y

xy

观察方程

称此圆为应力圆。

2x y

2

2

2x y

xyR

O 1O

由于应力圆最早由德国工程师莫尔（ otto.mohr,1835-1918 ）提出，故又称为莫尔圆。

RAB


二、应力圆作法

(1) 在坐标系内画出 A1( )x xy ,

(2) 在坐标系内画出 B1( )y yx ,

O

1( , )x xyA y

x

yx

xy

1( , )y yxB


二、应力圆作法

O

1( , )x xyA

y

x

yx

xy

1( , )y yxB

(3)A1 B1 连线与轴交点即圆心 O1

(4) 以 O1 为圆心，以 O1A1 为半径画圆

1O


三、斜截面应力

y

x

yx

xy

n

O

1( , )x xyA

1( , )y yxB

1O

(1) 过 A1 作 A1K∥x 轴，交圆于 K点

K

(2) 过 K 作 KP∥n( 斜截面法线 ) ，交圆于P 点

则 P 点的坐标为 ( , )P

( ) ,


四、主应力、主平面、剪应力极值和剪应力极值平面

y

x

yx

xy

1

O

1( , )x xyA

1( , )y yxB

1O

K

0A

0B

2x y

AB

应力圆与 x 轴的交点横坐标即为正应力极值

2 2maxmin

( )2 2

x y x yxy

OA

OB

KA 和 KB 的射线方向即主平面法线方向

0

2

应力圆与应力状态的对应关系

图示主应力状态

1 2x yOO

1 0 xyA A

1 0 2x yO A


y

x

yx

xy

2x y

O

1( , )x xyA

1( , )y yxB

1O

K

0A

0B AB

max

Q

Q

过圆心作垂直于 x 轴的线，与圆交点为 Q 和 Q’ ，两点的纵坐标即为剪应力极值

1 2 2maxmin 1

( )2

x yxy

O Q

O Q

KQ 和 KQ’ 的射线方向即剪应力极值平面法线方向

图示剪应力极值应力状态

1


例题 1 ：取梁截面中 C 点的应力状态进行分析， C 点的应力状态如图，用解析法求解，并用图解法验证。 q

mM

mA B

C70

50

C

解： 70 MPa; 0 ; 50 MPa;x y xy

max 0 max 1min min

、、、

0

2 2 502 1.429

70 0xy

x y

tg

0

27.5

117.5

2 2maxmin

26( ) MPa

962 2x y x y

xy

2 2maxmin

( ) 61 MPa2

x yxy

1 0

72.545

162.5


1( 70,50)A

1(0, 50)B

1O

Q

Q

1O

1( 70,50)A

1(0, 50)B

max

min

B

A

K

00

K1

1

图解法验证

O

O

查 A 点和 B 点的横坐标数值，即可得到主应力为 26 MPa 和 -96 MPa ，测量 KA 及 KB 与 x 轴的夹角，即可得到主平面方位角为 27.5° 和 117.5° ；

作 C 点应力状态的应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。

查 Q 点和 Q’ 点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为 ± 61 MPa ，测量KQ 及 K Q’ 与 x 轴的夹角，即可得到剪应力极值平面方位角为 27.5° 和 117.5° ；


例题 2 ：已知某点应力状态如图，用解析法求并用图解法验证。

o o max max30 30min min

、、、

4030

25

2 2maxmin

51.7( ) MPa

36.72 2x y x y

xy

max minmaxmin

44.2 MPa2

30cos60 sin 60 49.7MPa

2 2o

x y x y o oxy

40 MPa; 25 ; 30 MPa;x y xy

解：解析法求解

30cos 60 sin 60 13.1 MPa

2o

x y o oxy

o30

o30


O

1( 25,30)B

1O

1(40, 30)A

A

B

Q

Q

图解法验证

4030

25

K

o30

(49.7,13.1)C

o o30 30 ，

作应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。

查 Q 点和 Q’ 点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为 ± 44.2 MPa

过 K 点作直线与 x 轴呈 30° 角，与圆的交点的坐标即查 A 点和 B 点的横坐标数值，即可得到主应力为 51.7 MPa 和 -36.7 MPa


§9-4 三向应力状态简介

只有主应力的三向应力状态称为三向主应力状态

2

13

2

1

1 2 3

一、三向主应力状态的应力圆

O

123


1

二、三向主应力状态的最大剪应力 2

max

2o45

最大剪应力由和决定1 3

1 3maxmin 2

最大剪应力方位角，与相差 45°1

O

123

max

min


1

3

2

1

2三、斜截面上的应力

与三个主平面成任意角度的斜截面上的正应力和剪应力，可以用坐标系某一点的坐标值表示。

O

123

xx

该点位于三个应力圆所围成的阴影范围内。


§9-5 广义虎克定律

一、广义虎克定律

( 一 ) 、单向应力状态下的虎克定律

E

E

E

G

G


( 二 ) 、复杂应力状态下的虎克定律

xy yz xzxy yz xzG G G

1x x y zE

1y y x zE

1z z x yE


二、体积应变

三向主应力状态下的虎克定律

1 1 2 3

1

E

2 2 1 3

1

E

3 3 1 2

1

E

2

13

2

1

x

y

z

设变形前六面体边长分别为

V abc

则六面体原始体积为

a b c、、


2

13

2

1

x

y

z

变形后六面体边长分别为 a a b b c c 、、

受力后体积为

1

1 2 3

( )( )( )

(1 )(1 )(1 )

V a a b b c c

abc

略去高阶微量后

1 1 2 3(1 )V abc

11 2 3

V V

V —— 体积应变


将主应力下的广义虎克定律代入体积应变公式

1 2 3

1 2 3

1 2( )

E

1mK

3(1 2 )

EK

1 2 3

1( )

3m

—— 体积弹性模量

—— 平均应力


§9-6 平面应力状态的测定一、平面应力状态的虎克定律

1

1

2(1 )

x x y

y y x

xyxy xy

E

E

G E

2

2

1

1

x x y

y y x

xy xy

E

E

G

由上公式可知：只要确定了

则该点的应力状态就随之确定了

x y xy 、、


y

x

yx

xy

n平面应力状态任意斜截面上的线应变，可以表示为

90

1o

E

将

代入上式，得

cos 2 sin 22 2

x y x yxy

90o x y

cos 2 sin 22 2 2

x y x y xy

此式表明：可以由任意三个方向得线应变表示剪应变

二、平面应力状态的测定


所以只要确定一点任意三个方向的线应变，就可以确定该点的应变分量和应力分量。

试验测定中使用应变花进行平面应力状态的测定。

o45

o45

分别测定三个线应变

即可确定该点的应力状态0 45 90 、、

0

4590

0 x

y


§9-7 复杂应力状态下的变形比能一、变形比能

变形比能：单位体积的变形能。1

2U W F

3 2

11 122 2

F LW F Lu

V L L L

量纲分析

L

F

L

F

0

三向应力状态时

1 1 2 2 3 3

1

2u


1x x y zE

1y y x zE

1z z x yE

由三向应力状态虎克定律知

所以2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1

12 ( )

2u

E


二、体积变形比能和形状改变比能

v fu u u

把三向应力状态作如下分解2

1

3

2

1 m

m

mm

m 1 m

3 m 2 m

1 m 2 m

同时把变形比能分成两部分，体积改变比能 uv 和形状改变比 uf 能，即：

其中：称为平均应力。1 2 3

1( )

3m

21 2 3

1 1 2( )

2 6v m m m m m muE

其中：

工程力学系工程力学系第九章应力状态分析第九章应力状态分析例题 3 ：如图的刚性支座内放置一铅块，大小为 1×1×1cm ，材料泊松比 μ=0.

33 ，弹性模量 E=70 GMPa.

求： 1 2 3 、、 F

解：由题意知

3

22

3

1 0 3

3 4

6 1060 MPa

1 10

F

A

2 3 0.33 60 19.8 MPa

2 0

2 2 1 3

1

E 由广义虎克定律

所以

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