例举初等数学与高等数学的一些联系

例举初等数学与高等数学的一些联系演讲：张小明

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A．仿射几何仿射几何：对坐标内的点进行放缩、旋转和平移后，相应研究其中的不变性质的几何叫做仿射几何，它是射

影几何的一部分 .

所谓放缩

一、仿射几何与平面几何

11 2

2

, 0X k x

k kY k y

0

0

X x x

Y y y

cos sin

sin cos

X x y

Y x y

11 12 0

21 22 0

X a x a y x

Y a x a y y

11 12

21 22

0a a

a a 11 22 21 12 0a a a a

，平移：，旋转

所以仿射变换指的是（ 1.1 ）

，即其中：

性质 1.1 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性 .说明：一一对应性指的是变换


（ 1 ）有逆变换，其实逆变换也是仿射变换；（ 2 ）同素性指的是：点变换成点，直线变换成直线 . 后者也就是说：若三点连线，变换后新三点也连线 . 证明：若

1 1 2 2 3 3, , , , ,x y x y x y 三点连线，则

1 1

2 2

3 3

11

1 02

1

x y

x y

x y

，则

1 1 11 1 12 1 0 21 1 22 1 0

2 2 11 2 12 2 0 21 2 22 2 0

3 3 11 3 12 3 0 21 3 22 3 0

1 11 1

1 12 2

1 1

X Y a x a y x a x a y y



11 1 12 1 21 1 22 1

11 2 12 2 21 2 22 2

11 3 12 3 21 3 22 3

11

12

1

a x a y a x a y

a x a y a x a y

a x a y a x a y

11 1 21 1 11 1 22 1

11 2 21 2 11 2 22 2

11 3 21 3 11 3 22 3

1 11 1

1 12 2

1 1

a x a x a x a y

a x a x a x a y

a x a x a x a y

12 1 21 1 12 1 22 1

12 2 21 2 12 2 22 2

12 3 21 3 12 3 22 3

1 11 1

1 12 2

1 1

a y a x a y a y

a y a x a y a y

a y a x a y a y

1 1 1 1

11 22 2 2 12 22 2 2

3 3 3 3

1 11 1

1 12 2

1 1

x y x y

a a x y a a x y

x y x y

1 1

11 22 12 22 2 2

3 3

11

1 02

1

x y

a a a a x y

x y

所以 1 1 2 2 3 3, , , , ,X Y X Y X Y 三点连线 .

性质 1.2 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线 .

说明：我们不妨证明两条平行直线（，）

的原像是平行直线 . 它们的原像满足


显然命题为真 .

1 0AY BX C 2 0AY BX C

21 22 0 11 12 0 1 0A a x a y y B a x a y x C

21 11 22 12 0 0 1 0Aa Ba x Aa Ba y Ay Bx C

，

和 21 11 22 12 0 0 2 0Aa Ba x Aa Ba y Ay Bx C

性质 1.3 仿射变换保持简比不变 .说明：若新直线的定比分点满足


1 23 1

X XX

1 2

3 1

Y YY

和，则有

11 1 12 1 0 11 2 12 2 011 3 12 3 0

21 1 22 1 0 21 2 22 2 021 3 22 3 0

,1

,1

a x a y x a x a y xa x a y x

a x a y y a x a y ya x a y y

1 2 1 211 3 12 3

1 2 1 221 3 22 3

0,1 1

0,1 1

x x y ya x a y

x x y ya x a y

1 23

1 23

0,1

0,1

x xx

y yy


abc

ABC

11 22 12 21ABC

abc

Sa a a a

S

性质 1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量 .说明：其实我们在性质 1.1的说明中，已经证明了

与

的面积之比为

.推论 1.1 (1) 两个平行四边形面积之比是仿射不变

量 . (2) 两个封闭图形面积之比是仿射不变量 .

一、仿射几何与平面几何 A B C A B C

A B C A B C

性质 1.5 在平面上给定不共线三点、、及不共线三点、、 ,总存在一仿射变换把、、分别变到、、

1 1 2 2 3 3, , , , ,x y x y x y说明：若的坐标分别为， A B C、、 1 1 2 2 3 3, , , , ,X Y X Y X Y的坐标为， A B C、、

1 1

2 2

3 3

1

1 0

1

x y

x y

x y

1 1

2 2

3 3

1

1 0

1

X Y

X Y

X Y

则问题化为：在

和的条件下， 11 12 21 22 0 0, , , , ,a a a a x y

1 11 1 12 1 0

1 21 1 22 1 0

2 11 2 12 2 0

2 21 2 22 2 0

3 11 3 12 3 0

3 21 3 22 3 0

X a x a y x

Y a x a y y

X a x a y x

Y a x a y y

X a x a y x

Y a x a y y

问关于的方程

是否有解 . ABC A B C 推论 1.2 (1) 在平面上给定不共线三点 A、 B、 C, 总存在一仿射变换把三角形变到等腰直角

ABC A B C (2) 在平面上给定不共线三点 A、 B、 C, 总存在一仿射变换把三角形变到等边 .


ABC B Rt ABCD

B．若干应用例 1.1 、将平形四边形 ABCD 各边三等分 (如图 ) , 连 EF、 FH、 HG、

GE, 求证： S△A EF= S△DFH= S△CHG= S△BGE

证明：通过仿射变换，把变成等腰直角三角形（），则此时平形四边形 ABCD为正方形

△AEF、△ DFH、△ CHG、 S△BGE为全等三角形，命题得证 .

一、仿射几何与平面几何例 1.2 求证：三角形的三条中线共点 .

一、仿射几何与平面几何 2 2

2 21

y x

a b ab例 1.3 求证椭圆的面积为 .

一、仿射几何与平面几何例 1.4 能否在三角形 ABC中找一个内接四边形 PQRS，如图，使得1 2 3 4S S S S ？

二、算术 - 几何平均不等式与最值单调定理

数学奥林匹克中不等式的题目甚多，几乎每届 IMO 与 CMO 都有一道不等式 .在我国高中联赛中，不等式也是屡见不鲜 .







三、局部调整法， Schur 条件与最值压缩定理












四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明






五、对称条件与非对称结果




参考文献[1] 杨拥良 . 荀洋滔 . 伸缩变换的一个重要结论及其应用 . 中等数学， 2009 年 2 期， P.8-11.

[2] 何作发 . 仿射几何的几点应用 . 湖北大学成人教育学院学报， 2004 年第 8 期， P.76-78.

[3] 张小明，褚玉明 . 解析不等式新论 . 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社， 2009 年 6 月 .

[4]Albert W ． Marshall,Ingram Olkin. Inequalities:theory of majorization and its applications[M] ．New York :Academic Press,Inc,1979 ．[5] 王伯英．控制不等式基础 [M] ．北京：北京师范大学出版社， 1990 年．[6] 张小明 . 三角形不等式的“ B-C” 证法．不等式研究（杨学枝主编），拉萨：西藏人民出版社， 2000 年 6 月 .

[7] 杨学枝 . 两个三元不等式及其应用 . 中国初等数学研究， 2009 年第 1 期， P.7-16.

[8]Vasile Cirtoaje.Old and New Methods.GIL Publishing House (Zalau, Romania),2006.

[9]http://www.irgoc.org/viewtopic.php?f=25&t=23&sid=5a884a2ab0d6108cb568b1faa4cd8c82

作者介绍：张小明，浙江电大海宁学院数学副教授，校科研督导处主任，安徽大学 93 届硕士毕业生，全国不等式研究会常务理事、秘书长，全国初等数学研究会常务理事，《中国初等数学研究》编委 . 在国内外发表学术论文五十多篇，出版学术专著两本 .

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