一、 最佳逼近元的存在性

定理 5.3.1 对任意的 f(x)∈C［ a,b ］ ,在 Pn［ a,b ］中都存在对 f(x) 的最佳一致逼近元 ,记为 p*

n

(x), 即 ‖f(x)-p*

n(x)‖∞=inf{‖f(x)-pn(x)‖∞} 成立 .证明略

2 最佳一致逼近元的充要条件定理 5.3.2 (Chebyshev 定理） pn

*(x)∈P ［ a,b] 对 f(x)∈C ［ a,b ］的最佳一致逼近元的充要条件是误差曲线函数 f(x)- pn

*(x) 在区间［ a,b ］上存在一个至少由 n+2 个点组成的交错点组 . 即存在点集 a t1 <…< tn+2 b 使得

*( ) ( ) || ( ) ( ) ||k n kf t p t f x p x

证明充分性用反证法 . 设 f(x)- pn

*(x) 在［ a,b ］上存在一个至少由 n+2 个点组成的交错点组，但 pn

*(x)不是最佳一致逼近元 .

不妨设 Pn［ a,b ］中的元素 qn(x) 为最佳一致逼近元，即

‖f(x)-qn(x)‖∞<‖f(x)-pn*(x)‖∞. (4)

令 Q(x)=pn*(x)- qn(x)

= 〔 f(x)-qn(x) 〕 -〔 f(x)-pn*(x) 〕

记 {x1*, x2

*,…, xn+2*} 为误差曲线函数 f(x)- p

n*(x) 在［ a,b ］上的交错点组，

由 (4) 式可知 n次多项式 Q(x) 在点集 {x1*,

x2*,…, xn+2

*} 上的符号完全由 f(x)- pn*

(x) 在这些点上的符号所决定， {x1

*, x2*,…, xn+2

*} 为 f(x)-pn*(x) 的交错

点组，即 f(x)- pn*(x) 在这 n+2 个点上正

负 (或负正 )相间至少 n+1 次，从而至少 n+1 次改变符号，

故 Q(x) 也至少 n+1 次改变符号，说明 n次多项式 Q(x) 至少在［ a,b ］上有n+1 个根，矛盾 . 即必有

‖f(x)- pn*(x)‖∞≤‖f(x)-qn(x)‖∞.

三、 最佳一致逼近元的惟一性

定理 5.3.3在 Pn［ a,b ］中 ,若存在对函数 f(x)∈C ［ a,b ］的最佳一致逼近元，则惟一 .

证明：反证，设有 2个最佳一致逼近元，分别是 pn

* (x) 和 qn(x) 。

则它们的平均函数 也是一个最佳一致逼近元。

* ( ) ( )( )

2n n

n

p x q xp x

现设误差曲线函数 f(x)-pn(x) 在区间［ a,b］上的一个交错点组为 {x1, x2,…, xn+2} ，为此

En=|f(xk)-pn(xk)|

=1/2|(f(xk)-pn*(xk))+(f(xk)-qn(xk) ) |.若对某一个 k,1≤k≤n+2,f(xk)-pn

*(xk)≠f(xk)-qn(xk)

那么上式两个差中至少有一个达不到 En 或 -En ，从而

En ＝ |f(xk)-pn(xk)|

≤ 1/2 (| f(xk)-pn*(xk)|)+|f(xk)-qn(xk)|)

< 1/2(‖f(x)- pn*(x)‖∞+‖f(x)-qn(x)‖∞)

＝ 1/2(En+En)=En. 这是不可能的，因此只有：

f(xk)-pn*(xk)= f(xk)-qn(xk), k=1,2 ，…， n+2

即 pn*(xk)=qn(xk), k=1,2,…， n+2.

而 pn*(xk),qn(xk)∈Pn ［ a,b ］，故必有 pn(x)=qn

(x).

（ 2）所求的逼近多项式为低次多项式关于交错点组的定理

定理 5.3.4 设 pn*(x)∈Pn ［ a,b ］为对 f(x)∈C

［ a,b ］的最佳一致逼近元 . 若 f(n+1)(x)在区间［ a,b ］上不变号，则 x=a 和 b为误差曲线函数 f(x)-pn(x) 在区间［ a,b ］上交错点组中的点 .

证明：用反证法 . 若点 a ( 点 b类似 )不属于交错点组，那么在区间 (a,b) 内至少存在 n+1 个点属于交错点组 .

即区间 (a,b) 内 n+1 个交错点上， f(x)-pn*(x) 的

一阶导数等于零 . 这样，由 Rolle 定理便可推得在(a,b) 内至少存在一点 ,使得 f (n+1) ( ) =0.

这与 f(n+1)(x) 在［ a,b ］上不变号矛盾

若 f(x) 足够光滑，由交错点组的定义，可以推出(a,b) 内的交错点必为误差曲线函数 f(x)-pn

*(x) 的驻点

故点 x=a 属于交错点组 .