УМОВА ЗАДАЧІ

В групі 25 студентів. Яка ймовірність ,що в двох з них день народження в один день?

ДЛЯ СПРОЩЕННЯ НЕЗВАЖАЙМО НА

НЕРІВНОСТІ РОЗПОДІЛУ

НАРОДЖУВАННОСТІ ПРОТЯГОМ РОКУ,

І ПРИПУСТИМО, ЩО ІСНУЄ 365 ДНІВ

РІВНИХ МІЖ СОБОЮ.

ЯКЩО P(A) ЙМОВІРНІСТЬ ЗБІГУ ЩОНАЙМЕНШЕ ДВОХ ДНІВ НАРОДЖЕННЯ, ТОДІ МОЖЛИВО БУДЕ ЛЕГШЕ ОБЧИСЛИТИ P(A'), ЙМОВІРНІСТЬ ТОГО, ЩО В ГРУПІ НЕ МАЄ ДВОХ ЛЮДЕЙ З ОДНАКОВИМ ДНЕМ НАРОДЖЕННЯ. ЧЕРЕЗ ТЕ, ЩО P(A) ТА P(A') ЄДИНІ ДВІ МОЖЛИВІ ЙМОВІРНОСТІ І ВОНИ ВИКЛЮЧАЮТЬ ОДНА ОДНУ, P(A') = 1 − P(A).

КОЛИ ПОДІЇ НЕЗАЛЕЖНІ ОДНА ВІД ОДНОЇ, ЙМОВІРНІСТЬ НАСТАННЯ ЇХ УСІХ ДОРІВНЮЄ ДОБУТКУ ЙМОВІРНОСТЕЙ КОЖНОЇ ОКРЕМОЇ ПОДІЇ. ЧЕРЕЗ ЦЕ, ЯКЩО P(A') МОЖНА ОПИСАТИ ЯК 25 НЕЗАЛЕЖНИХ ПОДІЇ, ТОДІ P(A') МОЖЕ БУТИ ВИРАХУВАНА ЯК P(1) × P(2) × P(3) × ... × P(25).

P(1)=100%=365/365=1P(2)=364/365P(3)=363/365………….P(25)=341/365

(1) P(A') = 365/365 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 341/365

РІВНЯННЯ (1) МОЖНА ДАЛІ ЗАПИСАТИ ЯК:(2) P(A') = (1/365)² × (365 × 364 × 363 × ... × 341)

ДЛЯ ПОДАЛЬШОГО СПРОЩЕННЯ РІВНЯННЯ (2), РОЗПИШЕМО ФАКТОРІАЛ 365 ЯК:(3) 365! = 365 × 364 × 363 × ... × 341 × 340!.

(4) 365 × 364 × 363 × ... × 341= 365!/340!

ТЕПЕР ПІДСТАВИМО РІВНЯННЯ (4) В РІВНЯННЯ (2):(5) P(A') = 365!/340! × (1/365) ²

ОБЧИСЛЕННЯ РІВНЯННЯ (5) НАМ ДАЄ P(A') = 0.49

ВІДПОВІДНО, P(A) = 1 − 0.49 = 0.51 (51%)

ПРЕЗЕНТАЦІЮ ВИКОНАЛА:САБАТ ІРИНА

МВЕ-21