지구의 크기 측정

지구의 크기 측정♥ 에라토스테네스의 지구 크기 측정 가정 : 지구는 완전한 구형이다 . <- 측정원리를 이용하기 위한 가정

지구로 들어오는 햇빛은 평행하다 . <- 중심각 측정을 위한 가정

측정 과정 : 알렉산드리아에서 수직으로 세운 막대와 막대의 그림 자 끝이 이루는 각을 재고 , 알렉산드리아에서 시에네 까지의 거리를 발걸음 폭으로 측정하였다 .

에라토스테네스의 지구 측정 원리♥ 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다 .

지구 반지름과 호의 길이 사이의 관계 호의 길이 : 부채꼴의 중심각 = 지구의 둘레 : 지구의

중심각

R : R : 지구의 반지름지구의 반지름 l l : : 알렉산드리아에서 시에네 까지의 거리알렉산드리아에서 시에네 까지의 거리 θ : 알렉산드리아와 시에네 사이의 중심각

∴ 지구의 반지름 R = 360°°/ 2π × l / θ

l : θ = 2πR : 360°

에라토스테네스의 지구 측정 과정♥ 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다 . 지구의 반지름 R = 360°/ °/ 2π × l / θ

① 호의 길이 측정 (l ) 알렉산드리아에서 시에네 까지의 거리를 발걸음 폭을 이용하여 측정 -> 5,000 스타리아 ≒ 925km


② 중심각 측정 (θ) 알렉산드리아와 시에네 사이의 중심각을 직접 측정할 수 없으 므로 , 하짓날에 수직으로 세운 막대의 그림자를 이용하여 측정 -> 7.2°° (∵ 엇각의 원리 )

지구의 크기 측정♥ 엇각의 원리 두 직선 A 와 B 가 평행하면 θ 와 θ’ 은 엇각으로 그 크기가 같다 .

따라서 θ 는 실제로 측정할 수 없으므로 θ 와 엇각으로 그 크기가 같은 θ’ 을 측정하여 θ 값을 구한다 .


③ 비례식 세우기 호의 길이 : 부채꼴의 중심각 = 지구의 둘레 : 지구의 중심각

925km : 7.2°= 2πR : 360°°

④ 지구의 크기 ( 반지름 ) 계산 결과

∴ R ≒ 7365km (∵ 실제 지구의 반지름 ≒ 6370km)

에라토스테네스의 지구 측정 결과 지구의 크기 ( 반지름 ) 의 계산 결과 R ≒ 7365km (∵ 실제 지구의 반지름 ≒ 6370km) -> 계산값과 측정값에 차이가 있다 .

♥ 실제 반지름과 오차가 난 이유 - 알렉산드리아와 시에네가 동일 경도 상에 위치하지 않는다 . - 시에네에서 하짓날 태양의 남중 고도가 정확히 90°° 가 아니다 . - 지구는 완전한 구가 아니고 타원체이다 . - 측량 기술이 발달하지 못해서 두 지점 사이의 거리 측정에 오차가 있었다 .

에라토스테네스의 가정이 필요한 이유♥ 가정 : 지구는 완전한 구형이다 . 지구로 들어오는 햇빛은 평행하다 .

① 만약 지구가 완전한 구가 아니라면 - 지구의 중심을 자른 단면이 원이 되지 않는다 . - 호의 길이와 중심각의 크기가 비례한다는 원리가 성립하지 않는다 .② 만약 햇빛이 평행하지 않다면 - 시에네와 알렉산드리아 사이의 중심각과 햇빛과 탑 사이의 각도가 엇각이나 동위각의 관계를 이루지 못한다 . - 두 지점 사이의 지구 중심각의 크기를 구할 수 없다 . ( 햇빛이 평행하다고 가정한 이유 : 태양과 지구 사이의 거리

가 멀고 , 태양에 비해 지구의 크기가 매우 작기 때문 )

북극성의 고도 차를 이용한 지구 크기 측정♥ A, B 두 지점의 북극성의 고도차가 중심각의 크기와 같다 .

예 ) θ1 가 60°°, θ2 가 30°° 이면

중심각의 크기는 30°° -> 60°-°- 30°=°= 30°°

∴ 중심각 (θ) = 북극성의 고도차 = 위도차 ( 북극성의 고도 = 위도 이므로 )

< 비례식 > 2πR : 360° = l : 두 지점의 북극성의 고도차 (θ)

위도 차를 이용한 지구 크기 측정♥ 경도가 같은 두 지점의 위도 차가 중심각의 크기와 같다 .

예 ) 서울의 위도가 37.5°N, °N,

광주의 위도가 광주의 위도가 35°N 35°N 일 때일 때 ,,

중심각의 크기는 중심각의 크기는 2.5°2.5° -> 37.5°-°- 35°=°= 2.5°°

∴ 중심각 (θ) = 같은 경도에 있는 두 지점의 위도차

< 비례식 > 2πR : 360° = 두 지점 사이의 거리 : 두 지점의 위도 차 (θ)

지구 모형의 크기 측정

● 에라토스테네스가 이용한 지구의 크기 측정 원리를 안다 .

● 지구 모형의 크기를 측정할 수 있다 .

탐구 목표 | 지구 모형의 크기 측정

준비물

지구본지구본 , , 빨판이 달린 막대 빨판이 달린 막대 22 개개 , ,

줄자줄자 , , 실실 , , 각도기각도기

1. 지구본을 놓고 , 첫번째 막대를 세운다 .그리고 , 첫번째 막대와 같은 경도 상의 한 지점(= 세 칸 뒤 ) 에 두번째 막대를 세운다 .

2. 두번째 막대의 끝에 있는 실을 첫번째 막대와 평행이 되도록 하여 막대사이의 거리 ( 줄자 ) 와 각도 ( 각도기 ) 를 잰다 .

3. 두번째 막대를 한 칸 뒤로 하여 2 와 동일한 방식으로 막대사이의 거리 ( 줄자 ) 와 각도 ( 각도기 ) 를 잰다 .

4. 두번째 막대를 한 칸 더 뒤로 하여 2 와 동일한 방식으로 막대사이의 거리 ( 줄자 ) 와 각도 ( 각도기 ) 를 잰다 .

* 실험을 하기 전 , 두번째 막대의 끝에 실을 테이프로 붙인다 .

탐구 과정 | 지구 모형의 크기 측정

준비물

지구본지구본 , , 빨판이 달린 막대 빨판이 달린 막대 22 개개 , ,

줄자줄자 , , 실실 , , 각도기각도기

1. 햇빛이 잘 드는 곳에 지구본을 놓고 , 막대 AA′ 을 그림자가 생기지 않도록 세운다 . 그리고 , 막대 AA′ 과 같은 경도 상의 한 지점에 지구 중심을 향하도록 막대 BB′ 을 세운다 .


2. 두 막대 사이의 거리 l을 측정한다 .


3. 막대 BB′ 의 끝과 그림자의 끝 C 를 실로 연결한 다음 각도기로 각 θ 를 측정한다 .


유의사항1. 1. 세우는 위치세우는 위치 - - 막대 막대 AA’AA’ 과 막대 과 막대 BB’BB’ 은 은 경도는 같고경도는 같고 , ,

위도는 다르게 위도는 다르게 세운다세운다 ..

2. 2. 막대 막대 AA’AA’ 은 은 그림자가 생기지 않도록그림자가 생기지 않도록 세운다 세운다 ..

3. 3. 막대 막대 BB´BB´ 의 그림자가 지구본 위에 맺히도록 의 그림자가 지구본 위에 맺히도록 하고하고 , , 지구본 지구본 바깥으로 나가지 않도록 한다바깥으로 나가지 않도록 한다 ..

4. 4. 손전등을 사용할 경우 손전등을 사용할 경우 지구 모형에 빛이 평행하게 비치도록 지구 모형에 빛이 평행하게 비치도록 면적이 넓은 손전등을 멀리서면적이 넓은 손전등을 멀리서 비춘다 비춘다 ..

5. 5. 각 를 정확히 측정하기 위해서는 그림자의 끝인 각 를 정확히 측정하기 위해서는 그림자의 끝인 CC 점을 점을 정확히 정하고정확히 정하고 , , 각도기의 눈금을 정확히 읽을 수 있도록 각도기의 눈금을 정확히 읽을 수 있도록 한다한다 ..

탐구 결과 | 지구 모형의 크기 측정

1.1. 막대 사이의 거리 막대 사이의 거리 ll 과 각 과 각 θθ 는 각각 얼마인지 구해 보는 각각 얼마인지 구해 보자자 ..

l θ

예 ) 4.1cm4.1cm 2424˚̊

2. 2. θ θ 의 값을 측정하는 이유를 생각해보자의 값을 측정하는 이유를 생각해보자 ..


호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 지구본의 둘레를 구하기 위해서는 두 막대 사이의 중심각을 측정해야 한다 .

이때 중심각을 직접 측정할 수 없으므로 , 오른쪽 그림과 같이 같은 크기의 각도를 측정해야 한다 .

θ

θ

O

3. 3. 지구 모형의 둘레와 반지름지구 모형의 둘레와 반지름 (R)(R) 의 관계는의 관계는 와 같다와 같다 . . 지구 모형의 반지름과 둘레를 구해 보자지구 모형의 반지름과 둘레를 구해 보자 ..


예 ) l=4.1cm, θ=24˚ 인 경우 ,1. 지구 모형의 반지름 R=(360×4.1)÷(2π×24)= 약 9.8cm2. 지구모형의 둘레 2πR=4.1×(360÷24)=61.5cm

4. 4. 줄자로줄자로 실제 지구 모형의 둘레를 측정한 값과 비교해 실제 지구 모형의 둘레를 측정한 값과 비교해 보자보자 ..


실험 결과에 따라 약간씩 차이가 발생하는데 ,

원인은 다음 세 가지의 경우가 대표적이다 .

1) l 과 θ 의 측정값의 정확하지 않았다 .2)( 손전등을 사용했을 경우 ) 손전등에서 나오는 광선이 서로 평행하지 않았다 .

3)두 막대를 동일 경도 상에 장치하지 않았다 .

탐구 퀴즈 |

1. 에라토스테네스의 지구 크기 측정 원리를 이용하여 지구 모형의 크기를 구하기 위해 측정해야 할 값은 무엇인가 ?

막대 사이의 거리 l, ∠BB′C (θ )

지구 모형의 크기 측정

BB′

A A′

θ

lC

1. 1. 인터넷의 자료들을 이용해서 지구가 둥글다는 증거를 인터넷의 자료들을 이용해서 지구가 둥글다는 증거를 찾아보자찾아보자 ..

마무리 | 지구 모형의 크기 측정

* 태양과 별이 뜨는 시각이 동쪽으로 갈수록 빨라진다 .* 남북으로 떨어진 두 지점에서 동일한 별의 고도가 다르다 .

* 어느 한 방향으로 계속 항해하면 제자리로 돌아온다 .* 먼 바다에서 항구로 들어오는 배는 돛대부터 보인다 . * 멀어져 가는 배가 수평선 밑으로 가라앉는 것처럼 보인다 .

* 월식 때 달에 비친 지구의 그림자가 둥글다 .* 높이 올라갈수록 시야가 넓어진다 .* 인공위성에서 찍은 지구의 모습이 둥글다 .

2. 2. 서울과 광주는 거의 같은 경도선 상에 있으며서울과 광주는 거의 같은 경도선 상에 있으며 , , 두 두 지역 간의 거리는 약 지역 간의 거리는 약 280km280km 이다이다 . . 서울과 광주에서 서울과 광주에서 북극성의 고도가 각각 북극성의 고도가 각각 37.637.6 ˚ ˚ 와 와 35.135.1 ˚ ˚ 일 때 일 때 지구의 반지름을 구해보자지구의 반지름을 구해보자 ..

마무리 | 지구 모형의 크기 측정

R = (360°/ 2π) × (l / θ) = (360°/ 2 ×3.14) × ( 280km/ 2.5°) ≒ 6420km

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