音速抑制法による太陽内部の対流数値計算

横山研究室 修士 2 年堀田英之

共同研究者 : 横山央明 [1], M. Rempel[2], Y. Fan[2]

[1] 東京大学 [2]HAO(High Altitude Observatory)

太陽黒点数 11 年周期太陽の黒点数 ( 面積 ) は 11 年の周期を持って変動している

1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

Hathaway/webDate1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

90

30

EQ

30

90

太陽ダイナモ太陽の磁場活動を駆動していると考えられているのが太陽ダイナモダイナモとは運動エネルギーを磁場エネルギーに変換すること

トロイダル方向

ポロイダル方向

太陽ダイナモは Ω 効果と α 効果という 2 つの機構で成り立っていると考えられている。Ω 効果：差動回転により磁場を引き延ばす。ポロイダル磁場からトロイダル磁場α 効果：いつどこで、効果が効いているのか諸説あるが、コリオリ力によって、磁場の方向を変える。トロイダル磁場からポロイダル磁場

( 桜井ほか｢太陽｣ )

Ω 効果

α 効果

修士課程での研究磁束輸送ダイナモにおける表面乱流拡散の

重要性 (Hotta & Yokoyama, 2010a, ApJ, 709, 1009)

太陽大規模磁場の対称性 (Hotta & Yokoyama, 2010b, ApJL, 714, L308)

自転角速度の大きい太陽型星の内部角速度分布 (Hotta & Yokoyama, 2010c in prep)

音速抑制法による太陽内部の対流数値計算(Hotta et al., 2011, in prep)

磁束輸送ダイナモにおける表面乱流拡散の重要性

Hotta & Yokoyama, 2010aApJ線：ポロイダル磁場の磁力線色のコンター：トロイダル磁場の強さ

今までのモデルでは極付近に観測と合わない磁場が生成されてしまったが、対流層上部に強い乱流拡散があると仮定することでこれを避けることができる。

太陽大規模磁場の対称性どうやったら磁場は双極子になるのか

明るい色 : 対称な磁場暗い色 : 反対称な磁場

Symmetric Parameter

dipole

diffusivity profile quadrupole

Hotta & Yokoyama, 2010b, ApJL表面付近に強い乱流拡散があると、双極子磁場になることを発見。

回転の速い星での差動回転

1 24

816

dV

zR

2

20

2ntp

1P

自転角速度が大きくなると差動回転が Taylor-Proudman状態に近くなる。

Our sun

real solar DR by observation

non-Taylor-Proudman parameter

Tayl

or-P

roud

man

最終的な動機付け( 博士課程での研究 )

日震学により得られた太陽の差動回転(Thompson+ 2003)

450 nHz

425 nHz400 nHz375 nHz

350 nHz325 nHz

300 nHz

Taylor-Proudman state(Rempel 2005)

太陽内部角速度分布を再現する自己無撞着なモデルの確立太陽内部の対流を解きつつ、角運動量輸送、放射層での物理を調べる。 Miesch+(2000) などでは高解像度のシミュレーションを行うことで新たな知見を得ている。

太陽の対流層を計算するのはなにが難しいのか？

音速が速いことである。対流層の底で音速が 200 km/s 。それに対して、対流の速度は 100 m/s 。対流の時間スケールもしくは、 11 年スケールの現象を知りたいが、CFL条件により時間ステップは音速で解かなければいけない。対流層の底でスケールハイトが 70000 km 10 点で解像したとき時間ステップは、 40 秒ほどとなる。これを 100TFLOPS の計算機で 11 年分計算するのに数 10 年かかる。

この難しさを回避する何らかの方法をとらなければ、今の計算資源では太陽対流層を計算して、科学的結果を得ることができない。

アネラスティック近似

対流速度 音速

アネラスティック近似

velocity100 m/s 200 km/s

他の方法 ?

00 v

M. Miesch 氏提供

アネラスティック近似では、音速を無限大とする。マッハ数が1 より十分小さい時、良い近似である。しかし、数値計算では通信が多く発生し、 2000CPUくらいまでしかスケールしない(M. Miesch 氏談 )通信の少ない方法は逆の方向に行くことで達成できるのでは ?

音速抑制法RSS(Reduced Sound Speed) technique

以下の方法で、人工的に連続の式を変えることで音速を遅くする

2 v

t v

t

この方法で音速は ξ 倍遅くなる。 有限差分法も使える上に、陽解法で全ての方程式が解ける。しかし、この方法は対流を計算する上で妥当な技法なのだろうか？

本研究では、近似無し、 RSS法、 anelastic近似での 2次元、 3次元対流を比較し、 RSS 法の妥当性を問う。

対流とは？粘性熱伝導がなければ、温度勾配が断熱温度勾配より急な時、対流が起こる。(Schwartzchild条件 )

エントロピーが上に行くに従って、減少しているとき、対流が起こるといいかえることもできる。エントロピーの勾配を見積もる量としてsuperadiabaticity という量がある

)(log

)(log

Pd

Td

ad

superadiabaticity を用いるとエントロピーの勾配は

p

p

H

c

dz

ds

方程式系

pc

s

p

p

sTKT

sst

s

p

t

t

1

0

1

0

1

10000

101

0

1

0

1

201

)(1

))((

)(

vΠv

Πgvvv

v連続の式

運動方程式

エネルギー方程式背景場は静水圧平衡を仮定して、そこからの擾乱成分を解く。

Reynolds 数、 Prandtl 数、スケールハイトで規格化した計算領域、superadiabaticity が依存しないパラメーター

数値スキーム1. 4次精度の中央差分で空間微分2. 4次精度の Runge-Kutta で時間積分3. 人工粘性は Rempel(2009) で使われたもの

modified Lax-Wendroff(CANS) 時間空間 2次精度

空間・時間 4次精度スキーム

2次元定常対流R

8.72 (Hr)

2.18

(Hr)

Re=260 Pr=1 解像度 :400x100

音速と典型的対流速度の比は　　 (~1/300: bottom)

RMS 速度

Height Height

Horizontal RMS velocity Vertical RMS velocity

S

dSvv

2

rms

マッハ数max(v/c) max(vrms/c)

ξ=1 0.022 0.016

ξ=10 0.28 0.17

ξ=30 0.69 0.54

ξ=50 1.97 1.34

C : reduced sound speed

2次元非定常対流R

8.72 (Hr)

2.18

(Hr)

Re=500 Pr=1

full movie

解像度 :400x100音速と典型的対流速度の比は　　 (~1/300: bottom)

RMS 速度

特徴的な速度はあっている、しかし時間平均が短いため、定常の時に比べて一致は悪い

緑 -x 方向速度黒 -z 方向速度

赤 -y 方向速度青 -密度

3次元非定常対流

2.18(Hr)100 grid

4.36(Hr)200 grid 4.36(Hr)

200 grid3次元対流の場合。完全に非定常な振る舞いを見せるRe=260 Pr=1

vertical velocity

vertical velocityentropy

RMS 速度の時間発展

RMS 速度も非線形で非定常な振る舞いをみせる

時間平均した RMS 速度

時間平均した RMS 速度は ξ によらない3次元対流での音速抑制法の妥当性は証明された

太陽内部の superadiabaticity(Stix “The Sun” より )

r/rsun δ(super-adiabaticity) Mach数

の逆数0.999 5.7x10-2 4.20.990 2.6x10-4 620.949 8.1x10-6 3500.818 4.7x10-7 14000.710 1.9x10-8 7200

まとめ• 太陽対流層の計算をする上で、音速が非常に速いこ

とが大きな困難である• アネラスティック近似を用いて、今まで計算されてい

るが、多くの CPU を使う計算ではスケールしないことが知られている

• 音速抑制法を用いればその困難を回避することができる

• これからの目標は音速抑制法を用いてアネラスティック近似の研究を再現すること

• 2 年後の次世代スパコン完成時に超並列化された大規模計算をおこない太陽内部を理解する

おまけのページ

Super artificial viscosityThe diffusive flux is determined as follows

0 otherwise

0)()(for )(

)(

))(,(2

1

1

2

1

1

2

1

2

1

iilrii

lr

lriilrii

uuuuuu

uu

uuuuuucF

セル境界での値の決め方

i i+1

ul

ur

セル境界での値の決め方

i i+1

ul ur

セル境界での値の決め方

i i+1

ul

ur

セル境界での値の決め方

i i+1

ul

ur

ratio of speed of sound and convection

ps

p

ccT

cds

Tdsv

/2

2

scv

What is the helioseismology?

太陽の p モードが固有振動を作る。太陽表面の振動を長い時間観測すると右図のような図を得ることができる。太陽標準モデルからのどのような擾乱によって、この図を得ることができるか流体の逆問題を解くことによって求める。

水平方向の波数

周波

数

inhomogeneous ξ

• 不均一な ξ は使えないと今では考えている。

• 圧力勾配を変えるのは、ダイナミクスを変えすぎる。

v

v

021

20

1

0

t

anelastic approximation)()(0 zz eev LW

anelastic 近似により、速度場が上記のようにポテンシャルで表せる。これをフーリエ変換により展開して、 W 、 L の時間発展を解く。

フーリエ変換時に毎回グローバルの通信が必要になり、大量の CPU を使う計算では、効率が悪くなる。