خوارزمی ، موسی محمدبن ابوعبدهللا،شجاعی شرمین

نژاد جیران فرناز

نزاد ایران فائقه

خوارزمی نامه زندگیطوسی الدین نصیر خواجه به مشهور طوسی جهرودی حسن بن محمد

تاریخ سال ۱۵در االول والدت ۵۹۸جمادی طوس در قمری هجری . جوانی دوران از و داشت زیادی عالقه دانش تحصیل به او است یافتهمعروف دانشمندان از و شد سرآمد حکمت و نجوم و ریاضی علوم در . چهره نفوذترین با و ترین سرشناس از یکی طوسی گردید خود زمان

. و پدرش نظر زیر را عملی علوم و دینی علوم است اسالمی تاریخ های . آموخت کاشانی ایوبی افضل بابا خالویش نزد را حکمت و منطق

دانشمندی عنوان به آنجا در و رسانید اتمام به نیشابور در را تحصیالتش . از ای دسته را طوسی الدین نصیر خواجه یافت شهرت برجسته

) نام ) یازدهم عشر حادی عقل را او گروهی و فالسفه خاتم دانشوران . طوسی الدین نصیر خواجه شاگردان از یکی که حلی عالمه اند نهاده

: طوسی الدین نصیر خواجه نویسد می چنین استادش درباره باشد میداشت . بسیار مصنفات نقلیه و عقلیه علوم از و بود ما عصر افضل

. خدا ایم کرده درک را آنها ما که است کسانی اشرف او . ابن شفای الهیات، او خدمت در را او ضریح کند نورانی

بزرگوار آن خود تألیفات از که را هیئت در ای تذکره و سینا . خدای و دریافت مختوم اجل را او پس کردم قرائت است

. سال از پیش زمانی نصیرالدین کناد مقدس را او ۶۱۱روحناصرالدین های قلعه از یکی به مغوالن پیشروی مقابل در

. وی به کار این برد پناه اسماعیلی فرمانروای محتشمو فلسفی منطقی، اخالقی، مهم آثار از برخی که داد امکان

ناصری« »اخالق کتابش مشهورترین جمله از خود ریاضی . کوشش و دهد رخ آنجا کار در درآورد تحریر رشته به را

نرود بین از کتابخانه و خانه رصد آن که نمود .بسیار

سال در اسماعیلیان فرمانروایی به هوالکو که داد ۶۳۵وقتی پایانکه داد اجازه او به و داشت نگاه خود خدمت در را طوسی

سال از آن شروع که کند احداث مراغه در بزرگی ۶۳۸رصدخانهاوقاف. دولت مالی کمکهای عالوه خانه رصد به کمک برای بود

عشر از که بود شده گذارده خواجه اختیار در نیز کشور سراسر ) آالت) و اسباب و وسایل خرید و رصدخانه امر جهت آن دهم یک

بزرگی کتابخانه خانه رصد نزدیکی در نمود می استفاده کتب وجهت نفیس کتب جلد هزار چهارصد حدود در که بود شده ساخته

و شام و بغداد از که بود داده قرار فضال و دانشمندان استفادهیک رصدخانه جوار در بودند آورده بدست الجزیره و بیروتو بودند ساخته منجمین جماعت و خواجه برای عالی سرای

. کارها این دانشجویان طالب استفاده جهت ای علمیه مدرسهدر ۱۳مدت مغولی هالکوی ایلخان اینکه تا انجامید طول به سالدرگذشت ۶۶۳سال .

آنجا کار در خللی که نداد اجازه خود عمر دقایق آخرین تا خواجه لیکننرود بین از کتابخانه و خانه رصد آن که نمود بسیار کوشش و دهد .رخ

اعظم شده ۱۵۰قسمت نوشته عربی زبان به طوسی های نامه و رسالهجز. است قیاس قابل سینا ابن با او نفوذ و معلومات وسعت است . پنج از برتری ریاضیدان طوسی و بود بهتری پزشک سینا ابن آنکه

همه از االقتباس اساس است شده نوشته منطق زمینه در که کتابی . آرستاخوس، آوتولوکوس، آثار بر تحریرهایی ریاضیات در است مهمترمنالئوس تئودوسیوس هوپسیکلس، ارشمیدس، آپولونیوس، اقلیدس،

. هندسه حساب در وی اصیل آثار مهمترین جمله از نوشت بطلمیوس واثر و الشافیه رساله التراب، و بالتخت الحساب جوامع مثلثات و

رگیومونتانوس های نوشته به که است القطاع شکل کتاب معروفش . سال در که ایلخانی زیج وی نجومی آثار معروفترین است گذارده اثر

۶۵۰ . کتاب است الهیئه علم فی تذکره همچنین و باشد می شده نوشتهاست نوشته نیز اختربینی زمینه در کتابهایی و نامه .تنسوق

است بوده مثلثات زمینه در ریاضیات در طوسی کار ترین برجسته n احتماالکه بود کسی نخستین وی القطاع، شکل اسرار عن القناع کشف در

او هم و بخشید توسعه نجوم یا منالئوس قضیه به توسل بدون را مثلثاتتاریخ در ای برجسته رویداد که را، جیوب قضیه بار نخستین برای که بود

. وی الهیئه علم فی تذکره نجوم در کرد بیان روشنی به است ریاضیاتتنها معرف و وسطی قرون در بطلمیوسی نجوم بر نقد کاملترین شاید

وسطی قرون نجوم در که است سیارات حرکات جدید ریاضی الگوی . منجمان های نوشته راه از زیاد احتمال به کتاب این است شده نوشته

طوسی شاگردان کار با همراه و است گذاشته اثر کوپرنیک به بیزانسیفرضیه استثنای به است کوپرنیکی نجومی های تازه تمام متضمن

. در بیشتر کارش سرو اینکه با طوسی الدین نصیر آن مرکزی خورشیدجهان به رسیدن برای که را راه ترین روشن بوده اجتماع و سیاست

است دیانت دهد می نشان .جاودانی

اما زند می معرفت و استقالل از دم خود های توشته تمام در اگرچهتحقیقت و شود می حاصل دین و ایمان از تنها دانش گوید می آشکارا

کالبدهای بخش روان و جانها بخش تسلی که میداند دین را دانش . رصدخانه و است معروف منجم عنوان به بیشتر طوسی است افسرده

. تنسوق کتاب رود می شمار به علم تاریخ در علمی مؤسسه یک ویکتاب یعنی مشابهش با مقایسه در فقط موضوع لحاظ از او نامه

) قرار ) اهمیت دوم درجه در الجواهر معرفت فی الجماهر کتاب بیرونیتعیمات. که است اسالمی فالسفه پیشروترین از یکی طوسی دارد

»کالم« محاق در سده دو طول در که آن از پس را سینا ابن ائی sمش . تدریجی ترکیب مرحله نخستین مظهر او کرد احیاء بودند گرفته قرار . کتاب ترین رایج وی ناصری اخالق است اشراقی و ائی sمش مکتبهای

. کالم در او العقاید تجرید است بوده ایران و هند مسلمانان بین اخالقیامامی دوازده شیعه اصولی الهیات مبنای

.است

بوده اسالمی علوم احیای مایه دیگر فرد هر از بیش n احتماال طوسیو. عربی ملت دو وحدت زننده برهم را خواجه گروهی است

آن در عربی وحدت او دست به گویند می و پندارند می اسالمی . و نداشت گناهی باب این در خواجه حقیقت در شد پاشیده زمان

مسلمانان داد به خونریزی و وقایع همه آن از پس خواجه لیاقت اگرسال در داشت؟ وضعیتی چه امروز اسالمی جهان بود ۶۷۲نرسیدهبه خود شاگردان از جمعی با طوسی الدین نصیر قمری هجری

مراغه به و آوری جمع را رفته تاراج کتابهای بقایای که رفت بغدادتاریخ در و نداد مهلتش اجل اما سال ۱۸بازگرداند الحجه ۶۷۲ذی

. نصیر گفت وداع را فانی دار بغداد نزدیک کاظمین در قمری هجریدرخشید مغول تاریک افق در که بود درخشانی ستاره طوسی الدین

اخالق و دانش و حکمت نور به را آنجا پاگذارد که شهری هر در ومایه دانشمندی چنین وجود تاریک دوره آن در و ساخت روشن

. بود اعجاز و اعجاب

. کلمه ی است المقابله و الجبر حساب کتاب خوارزمی کتاب Algebraمهمترین . آنچه  به کتاب ین اوsل قسمت فقط sه البت است شده گرفته کتاب ین نام از   . بری و کاربردی شکلی به کتاب ین که بدانیم بید دارد ارتباط مي نامیم جبر

. کتاب ین در خوارزمی است شده نوشته اسالم قلمرو روزمره ی مسائل sحل . او مي پردازد معادالت sحل به سپس و مي کند فی sمعر را طبیعی اعداد ابتدا

. نماد از خوارزمی مي کند بررسی را sعی مرب معادالت و خطsی معادالت . شش در را معادالت او مي کند بیان کلمات با را مسائل و نمي کند استفاده

. جبر مي شود؛ انجام مقابله و جبر اجری با رده بندی ین مي کند رده بندی دستهحذف یعنی مقابله و ضریب، همه ی بودن مثبت بری جمالت جابجیی یعنی: . بود صورت ین به خوارزمی بندی رده تساوی دوطرف در متناظر جمالت

. ریشه ها مساوی sع ها مرب . اعداد مساوی sع ها مرب . اعداد مساوی ریشه ها اعداد؛ مساوی sع ها مرب و ریشه ها جمع ریشه ها؛ مساوی اعداد و sع ها مرب جمع ع ها؛s مرب مساوی اعداد و ریشه ها جمع

. . از هم او مي کند بیان را رده شش از هریک sحل راه خوارزمی سپس . جبری روش او مي کند استفاده جبری روش از هم و هندسی روش

مي کند بیان چنین را :خود . نوع... ین در مسأله پس اند واحد سي ونه برابر ریشه ده و sعی مرب

: جمع ریشه اش ده با وقتی که است sعی مرب چه است ین گونه معادلهاست ین معادله نوع ین sحل روش مي دهد؟ را سي ونه مجموع شوددر وقتی که پنج، مسأله ین در بگیرید، را مذکور ریشه هی نصف کهسي ونه با وقتی که وقتی مي شود، بیست وپنج شود ضرب خودش

. مي گیریم را شصت وچهار ریشه ی مي دهد را شصت وچهار شود جمعسه که مي کنیم، منها آن از را ریشه ها نصف و است، هشت که

عدد. sع مرب و است سه عدد ریشه پس .۹مي شود : است مشخsص زیر شکل در هندسی روش

 

- متن نوشت، عربی هندی شمار زمینه ی در هم رساله ای خوارزمینام به التین به کتاب ین از ا ی ترجمه ولی شده است گم عربی

Algoritmi denumero Indorum ) ( در الخوارزمی معنی به . شد الگوریتم کلمه ی برخاستن باعث هندی حساب روش باب

. ندارد انطباق خوارزمی کتاب متن با n دقیقا ترجمه این sه البتعبارت با کتاب این ترجمه هی از dixit Algorismiبسیاری

الگوریسم کلمه ی استفاده ی وسطی قرون در به که شدند، آغاز . کلمه ی شد سبب را هندی ارقام با حساب به اشاره بری

. است شده مشتق واژه ین از الگوریتم امروزی

خوارزمي تصنيفات و آثار 

سال در بزرگ دانشمندان در ) 820اين عباس بني خالفت زمان م ـسالهاي( بين حدود در و 195- 200بغداد جبر بنام كتابي هجري

عالمات و حروف از وجه هيچ به آن در كه نوشت را مقابلهامروز ما كه طريق بدو را معادالت حل ولي بود نشده استفاده

طرف به يكطرف از جمعي نقل و متشابه عمل ـ جبري جمع . را كتاب اين محتواي نتوانيم اگر داد مي انجام ناميم مي ديگر

بر كتاب اين اساس كه آنجا از بناميم، جديد جبر علم هنوزپيدايش الاقل توان مي است بوده اختصاري عالئم از استفاده

. نتيجه به رسيدن براي دانست جبر علم مهم مراحل از يكي آنرا     اين معلوم قرار از برداشت، قدم يك بايست مي فقط قطعيطول نيم و قرن هفت مدت زيرا است نبوده سهل چندان قدم

. شد انجام نيز آخري كار اين تا كشيد

پايه را جبر علم كه است كسي نخستين خوارزمي بنابرايننموده پيدا را علم اين مهم مراحل از يكي و نموده گذاري

است.

بسند زيج دو اين كه ثاني زيج و اول زيج التاريخ استخراج. است بوده فن اهل اعتماد محل و معروف هند

  : عمل باشد مي يه Xافريق رسم يا االرض صوره ديگردر كه المقابله و الجبر و الحساب من مختصر االسطرالب،جبر علم اسالمي تاليفات مشهورترين كه شده چاپ لندن

از پس ظاهرا[ كه است خوارزمي مقابله و جبر كتاب همينرا عربي جبر هند و ايران و يونان در جبر علم از اطالع

و افكار جامع خوارزمي زيج كه همانطور كرد، استخراجباشد، مي موضوع آن در يونان و ايران و هند علماي آراي

اند   داده شرح مكرر را خوارزمي كتاب اسالمي شارحين .و

.) آنان ) عيدهاي و يهود تاريخ اعيادهم و اليهود تاريخ استخراج ديگر ) به ) بيگانه علوم اين چون علمي و فلسفي يوناني كتب حال بهر

رايج و ترجمه علوم آن جزء هم حساب و شد مي ترجمه عربي . كه كسي ولي آموختند حساب شناسان هيئت و مهندسان و گشت

از بوده كم مسلمانان ميان باشد حساب در متخصص فقطدر را هندي ارقام و هندي حساب آنكه اسالم تمدن ماثر بزرگترين

گويند، مي هندي را ارقام اين عربها دادند انتشار متمدن دنياياز چون نامند مي عربي آنرا فرنگيها و اند آموخته هنديها از زيرا

. اند گرفته عربها

داد، انتقال عربي به هندي از را ارقام اين كه كسي نخستيناو كه باشد مي فوق در مذكور خوارزمي موسي ابوجعفرمحمدبن

هاي رقم جدولها در

سال در كار اين و برد بكار را انجام 197هندسي قمري هجريو گرفت،

كلمه همان از و بود، منجمان كارهاي ماخذ و مبنا جدولها اين. اند ساخته را الگوريزم لفظ اروپائيان الخوارزم

اعشاري مبناي بر محاسبه اساس كه اروپائي هاي زبان دركلمه همان آن اصل گويند مي الگوريتم را ده

: . همان »در نويسد مي پيردوسو است الخوارزميمطالعات عرب پرسخاوت و باهوش پادشاهان كه زماني

اروپا تمام قرن هفت كردند، مي تشويق را علمييكي و كند حمل را ناداني و جهل بار كه بود باين محكوم

لوتر انگيزاينكه غم دوران اين ناداني و جهل عالئم ازنماي جهان نقشه كه داد امر شارلماني جانشين

تا كنند خرد بود شده حك نقره روي بر كه را اجدادش . سال بدهد مواجب و جيره خود سربازان به بتواند

متعدد پيامبران كه سالي شد مي نزديك ميالدي يكهزاربودند، كرده بيني پيش جهان خاتمه عنوان به عصر آن

كردن جمع از منظور و دارد؟ فايده چه اصالح پس»چيست؟

روحانيون كه بود سخناني انگيز وحشت كلمات اين . آموختند مردم به منابر روي از كشيشها و مسيحي

بهترين غيبگويان و رماالن و ساحران و مغانو جمعي دسته جنون نوع يك كردند، مي را پيشگوئيها

اندوه و غم شدت نظر از كه جهان مردم بر عمومي. بود شده مسلط لرزيدند مي

ناداني و جهل و خرافات را اروپا كه هنگام اين در لكنو مسكنت و فقر آن نتيجه در كه بود گرفته فرا

اشعه طلوع كشانيد، مي نيستي بديار را آنان بدبختيبه مسلمين و اسالم فرهنگ و معرفت و علم درخشان

مي روشن را جهانيان اسالمي دانشمندان وسيلهاروپا استاد قرن چندين تا فنون و علوم در و كرد،

. اند بوده

جبر علم جمله از علوم شرح و وضع در مسلمين كه آن خالصهدر كه كتاب دو يوناني علوم ترجمه از زيرا داشتند تقدم حق

: ابرخس تاليف ديگري و يوفانتوس تاليفات يكي كه جبر علماست، بوده ناچيز بسيار بود شده ترجمه عربي به و بوده

تدقيق و تحقيق و بررسي از پس هم فن علماي اكنون چنانكهعلم ) در مزبور كتاب دو كه اند داده تشخيص موضوع اين درو( نبوده مهمي چيز شده ترجمه عربي به يوناني از كه جبر

و اند كرده وضع عربها و مسلمانان را جبر علم اساساستفاده اند نوشته مسلمين كه كتبي از را جبر علم اروپائيها

. اند كردهكتاب خوارزمي موسي محمدبن ابوجعفر مهم كتب از ديگر

. ايست ارزنده و مهم كتاب كه است العلوم مفاتيحدست در اعتمادي قابل اطالع چندان خوارزمي زندگي از

سال. حدود در خوارزمي متولد 780نيست خوارزم در ميالديحدود در و . 848شد درگذشت ميالدي

جبر و حساب علم تعريفبـــه » مقابلـــه و جبـــر حســـاب « در کـــه اعـــدادی

هستند نـــوع ســـه اســـت نيـــاز آنهـــا : وجـــودضرب : - - جذر عدد از کسری يا عدد در که است عددی

باشد . شده نفس : مال در جذر ضرب حاصل از که است عددی

آيد . می دست به خودش مفرد مال: عدد و جذر با ارتباط بدون که است عددی هر

آيد زبان بر

: شوند می برابر جذرها با که هائی مال است برابر مال آن از جذر پنج با x²=5x مال

: است پنج آن جذر که شود می چنين نتيجه x=5

خود » « جذر برابر پنج که پنج و بيست مال اصل وباشد می

X²=25

aX²=bXX2=(b/a)X

→X=b/a

→X²=b²/a²

شوند می برابر عددی با که هايــی : مال هشتاد با است برابر مال 5X²=80پنج

پس :

شود می برابر که هشتاد پنجم يک با است برابر مال يکشانزده : با

X²=(80/5)=16

شوند : می برابر عددی با که جذرهايــی4X=20

پنج و بيست جذر اين مال و است پنج آن جذر يک پس

شود : X=5→ X²=25می

: دوم درجه معادالت: شوند می برابر عددی با که جذرهايـی و ها مال

aX²+bX=c: شوند می برابر جذرهايـی با که عددی و ها مال

aX²+c=bX: شوند می برابر هايـی مال با که عددی و جذرها

bX+c=aX²

می برابر عددی با که جذرهايـی و ها مال:شوند

برابر درهم نه و سی با مال، آن از جذر ده اضافه به مال، يک: شود می

X²+10X=39→ (X+5)²=39+25 →(X+5)=64 →X+5=8 →X=3,X=9

است چنين آن حل : راهمی – پـنج مسـئله ايـن در نصـف مقـدار کنی نصف را جذرها بايد

ايـــن - در ، کنـی ضـــرب خـــودش ماننـــد در را نصـف آن و شـودايـن آنگاه شود، می پـــنج و بيســـت ضـــرب حاصـــل صـــورت

شـود، چهـارمی و شصـت مجمـوع ، بيفزايی نـه و سی بـر را عـددنيم آنگاه شود، می هشت ، گيری می را عدد اين جذر سپس ، بيفزايـی نـه و سی بـر را عـدد ايـن آنگاه شود، جـذرها شماره از

می را عدد اين جذر سپس شـود، چهـارمی و شصـت مجمـوعباشد عبارت که جـذرها شماره از نيم آنگاه شود، می هشت ، گيری

پنج، از

عدد همـين و مانـد، می بـاقی سـه نتيجـه در کـه کنی می کم آن ازسه،

. است نه مال آن و است، نظر مورد مال جذر

می برابر جذرهايی با که عددی و ها مال: شوند

مال آن از جذر ده با يک و بيست اضافه به مال يکشود می برابر

X²+21=10X

X²-10x+25-21=25-21

)x-5(²=4

X-5=±2

X=7,X=49

X=3,X=9

: است چنين آن حل راهجذر . پنج شود کنی،می نصفمی را جذرها

پنج . و بيست شود می که کنی، می درخودشضرب را پنج اين

می ازآنکم است بيستويکراکهگـفتيمهمراهمال عدد پسکنی . .

میماند؛ چهارباقی

نصف از را عدد اين شود، دومی که گيری می را چهار جذرباقی سه عدد که کنی می کم ازپنج، است جذرهاکهعبارت

میماند .

نه مال خود و ، خواستی می تو که است جذرمالی واينعدداست.

باش :آگاه در را نيمه آن و کنی نصف را جذرها باب اين در گاه هر

که آيد دست به عددی نتيجه در و ، کنی ضرب خودشباشد، کمتر اند بوده مال با که هايـی درهم از مقدارش

شود . می جواب بدون «يا »مستحيل مسئله اين پس باشد، بوده ها درهم اندازه به درست عدد اين اگر

زياد . نه کم نه بود، خواهد جذرها نصف درست مال جذر

می برابر هايـی مال با که عددی و جذرها :شوند

شود می برابر مال يک با چهار اضافه به جذر : سه3X+4=X²

2.25+4=(x-1.5)²

2.5=X-1.5

X=4

X²=16

است چنين آن حل : راهعدد اين شود، می نيم و يک که کنی می نصف را جذرهاشود؛ می چهارم يک و دو ، کنی می ضرب خودش در را

يک و شش که افزايــی می چهار بر را ضرب حاصلشود؛ می دوونيم گيری می را عدد اين جذر شود؛ می چهارم

ونيم، يک از است عبارت که جذرها نصف بر مقداررا ايناست . شانزده آن مال و است مال جذر چهار شود . می

مسآله :چندی 1مسئله :

عدد به 10اگر در 2را را قسمتها از یکی و کنی تقسیم قسمتآن از یکی وآنگاه کنی ضرب کنی 2دیگری ضرب خودش در را

اندازه به شده ضرب خودش در که عددی حاصلضربآن از یکی که 2یحاصلضرب است دیگر 4قسمت قسمت در بار

. آن باشد شده کدامند؟ 2ضرب قسمت

است چنین حل :راهرا دیگر قسمت و کنی می فرض شئ را قسمتها از منهای 10یکی

در. را شئ آنگاه . 10شئ می حاصلضرب کنی می ضرب شئ منهای. 10شود: در را آن سپس مال منهای - 4شئ تا کنی می مرتبه 4ضرب

- با است برابر آن حاصلضرب پس شود عملی شدیم یادآور که 4ضربی: شود می مقدارش و دیگری در ضرب قسمت یک منهای 40برابر شئ

4 - از. یکی یعنی شئ در را شئ آنگاه - 2مال خودش در را قسمت . با مقدارش که آید می بدست مال یک کنی می منهای 40ضرب 4شئ

. آن از پس است برابر با 4مال را مال 4مال یک و کنی می جمع مالنتیجه افزایی می آن با 40رابر که شود می است 5شئ برابر مال .

با بود خواهد برابر مال یک مال 8پس این مقدار و که 64جذر است آن از 8جذر یکی و شود شده 10قسمت 2می ضرب خودش در که است

شود می دیگر قسمت 2و .

x^2=4x(10-x)=40x-4x^2 =>

40x=5x^2 =>

x=8 , 10-x=2جذرها با مالها آنها در که بود مسائلی از ای نمونه سوال این

شوند می .برابر

ی 2مسئله : به 10 . 2را خودش در را قسمت هر کنی می تقسیم قسمت

تمام آنگاه کنیو می . 10ضرب در کنی می ضرب خودش در راحاصلضرب " حاصلضرب" 10در 10نتیجه با بود خواهد برابر

از " 2یکی " . در مرتبه نهم هفت و دو که شرت این با قسمتحاصلضرب با شود می برابر آنکه یا باشد شده ضرب خودش

در " " مرتبه چهارم یک و شش شرط این با دیگرش قسمت . آن باشد شده ضرب کدامند؟ 2خودش قسمت

است چنین حل :راهاز را 2یکی دیگر قسمت و کنی می فرض شئ را 10قسمت

. شود می کنی می ضرب خودش در را شئ پس شئ منهایود. " " میش کنی می ضرب نهم هفت و دو در را آن حاصل مال

. آنگاه: مال نهم هفت و می 10دو کنی می ضرب خودش در رااین 100شود برابر 100و مال نهم هفت و مال دو با

. مقدار. کنی می تبدیل واحد مال به را مقدار این سپس استواحد از 9مال یک 25جز از بود خواهد عبارت که است جز

. عدد از پنجم یک مقدار پنجم یک از پنجم چهار ی اضافه به پنجم100 . آنها مجموع آوری می بدست را پنجم یک از پنجم چهار و

: شود از. 6می یکی این قسمت 10قسمت 2و بنابراین است

بودخواهد 4دیگرش .

25/9x^2=100=>

x=6 , 10-x=4

25/4(10x)^2=100 =>

x=6 , 10=x-4برابر عددی با مالها آنها در که بود مسائلی از ای نمونه سوال این

شوند .می

ی 3مسئله :10 به بر 2را را قسمتها از یکی سپس و کنی می تقسیم قسمت

قسمت خارج کنی می تقسیم بود 4دیگری خواهد .

است چنین حل :راهاز را 2یکی دیگر قسمت و کنی می فرض شئ را 10قسمت

. آنگاه شئ تا 10منهای کنی می تقسیم شئ بر را شئ منهایعلیه. 4بشود مقسوم در را قسمت خارج هرگاه که دانی می

. خارج مسئله این در آید می بدست مقسوم مقدار کنی ضرباگر 4قسمت پس و است شئ علیه مقسوم و در 4است را

شود می کنی ضرب آن 4شئ با است برابر آن مقدار که شئآن و ای کرده تقسیم که کمیتی یا . 10مال است شئ منهای

کسری را 10پس آن و کنی می جمع مثبت شئ یک با شئ 4راآن مجموع نتیجه در افزایی عدد 5می با که شود برابر 10می

شئ . یک مقدار پس از 2است یکی عدد این که بود 2خواهددیگر 10قسمت قسمت و بود 8است خواهد .

(10-x)/x=4 =>

10-x=4x =>

x=2 , 10- x=8

عددی با جذرها آنها در که بود مسائلی از ای نمونه سوال اینشوند می .برابر

ی 5مسئله :به 10 . 2را هر آن از پس کنی می تقسیم در 2قسمت را قسمت

هر حاصلضرب سپس و کنی می ضرب می 2خودش جمع راشود می . 58کنی آن بید 2درهم بیا را قسمت !

است چنین حل :راهاز را 2یکی دیگر قسمت و کنی می فرض شئ را . 10قسمت پس شئ منهای 10منهای

: شود می کنی می ضرب خودش در را منهای 100شئ مال ی اضافه . 20به شئ . آن سپس مال شود می کنی می ضرب شئ در را شئ می 2آنگاه کنی می جمع را

ی 100شود: اضافه منهای 2به با 20مال که . 58شئ آن از پس است برابر درهمی 100 اضافه با 2به را . 20مال بر را آن و کنی می جمع ناقص افزایی 58شئ می

: شود می چنین ی 100نتیجه اضافه با 2به است برابر که ی 58مال اضافه به درهم20 . این پس در – 2شئ که را آنچه نصف یعنی کنی می تبدیل واحد کال به را مال

: شود – می چنین نتیجه داری می بر داری برابر 50اختیار مال ی اضافه به 29درهمی اضافه به . – 10درهم یعنی کنی می مقابله را آن پس از 29شئ می 50را کم

: شود- می چنین مانده باقی با 21کنی است برابر که مال ی اضافه از 10به شئوپسشود : می کنی می نصف را جذرها می. 5آن کنی می ضرب خودش در را عدد این

25شود .

عدد این کنی 21از می کم بود مال همراه که . 4را گیری می را آن جذر ماند می باقی

2 . مقدارش که جذرها نصف از را عدد این شود کنی 5می می کم می 3است باقی عدد. از 3ماند دیگری 10قسمت 2یکی و است 7است .

X^2+(10-x)^2=58 =>

2x^2-20x+100=58=>

x^2 +21=10x =>

x=( )برابر جذرها و مالها آنها در که بود مسائلی از ای نمونه سوال این

شوند .می

ی 6مسئله :یک در آن سوم اگریک که است کمیتی

آن با شود می برابر شود ضرب چهارمش . آن درهم چهار و بیست ی اضافه به کمیت

چیست؟ کمیت

است چنین حل : راهآن چهارم یک در زا شئ سوم یک کنی،آنگاه می فرض شئ را کمیت

است : برابر مال ششم یک نصف شود می چنین کنی،نتیجه می ضربرا مال ششم یک نصف آنگاه ، درهم چهار و بیست ی اضافه به شئ بادوازده در را شود،وشئ تکمیل کمیت این تا کنی می ضرب دوازده در

در را چهار و بیست بعد ، آید بدست شئ دوازده تا کنی می ضربهشت : و هشتاد و دویست شود چنین معادله تا کنی می ضرب دوازده

. نصف پس مال یک با است برابر که جذر دوازده ی اضافه به درهمبر و کنی می ضرب خودش در را عدد این ، شود می شش جذرها

و سیصد شود می آن مجموع ، افزائی می هشت و هشتاد و دویست . بر را عدد هجده،این شود می گیری می را عدد جذراین چهار و بیست

نصف . چهار و بیست شود می آن مجموع افزائی می باشد، شش که جذرها

7مسآله :به 10 آن 2را از یکی و کرده تقسیم قسمت

عدد 2 کنید ضرب دیگری در را 21قسمت . آن آید می هستند؟ 2بدست چقدر قسمت

است چنین حل : راهاز . 2یکی شود می دیگرش قسمت کن فرض شئ را 10قسمت

. در را شئ پس شئ آن 10منهای حاصل کنی می ضرب شئ منهایشود با 10می است برابر که مال منهای با 10پس. 21شئ را شئ

بر را آن و کنی می جمع می 21مال چنین نتیجه افزایی میبا 10شود: است برابر که . 21شئ نصف پس مال ی اضافه به درهم

. کنی می کم را . 5جذرها خودش در را نیمه این ماند می باقی جذرکنی می .25ضرب عدد شود کم 21می آن از بود مال همراه که را

کنی . 4می گیری می را آن جذر ماند می . 2باقی عدد این شود میکه جذرها نصف از که را

کنی 5 می کم از 3است یکی این و ماند می .2باقی است قسمت

خذر توانی می آنکه تا 2که 4یا بیفزایی جذرها از نصف بر زا است

آن دیگر 7مجموع قسمت این و .10شود است

8مسآله :به 10 ضرب 2را خودش در را قسمت هر و نموده تقسیم قسمت

. کنید کسر بیشتر مقدار از را کمتر مقدار سپس باقی 40کنید . . آن ماند بیابید 2می را قسمت .

است چنین حل : راهشود 10 می کنی می ضرب خودش در را شئ به 100منهای

. از را مال این مال ی منهای 100اضافه مال ی اضافه 20به . ماند می باقی کنی می کم برابر 20منهای 100شئ که شئ

با . 40است پس با 100درهم را 20را آن و کنی می جمع شئ:40بر شود می چنین نتیجه افزایی با 100می است برابر 20که

ی اضافه به .40شئ از 40درهم . 100را باقی کنی می کم: شود می چنین با 60مانده است برابر که . 20درهم یک پس شئ

با بود خواهد برابر از 3شئ یکی این است 10قسمت 2و .

9مسآله :. 2را 10 بر و کنید ضرب خودش در را قسمت هر نموده قسمت

این تفاضل ی اندازه به حاصلضربها از 2مجموع پیش قسمت . آنها مجموع افزوده ضرب . 54عمل آن شود می 2درهم

بیابید را قسمت

است چنین حل :راه10-x, x

10-x>x→|10-x-x|=10-2x

(10-x()10-x(+)x()x+)10-2x=100-20x+2x²+10-2x=110-22x+2x²=54→ 2x²-22x+56=0→x²-11x+28=0→x=7

Or

10-x<x→|10-x-x|=2x-10

100-22x+2x²-10=54 2x²-22x+36=0→x²-11x+18=0→x=9

نقصان و جمع : باببه درهم پنجاه با جذر،را بيست منهای مال اضافه به درهم صد

می : آن حاصل کنيم می جمع مال دو منهای جذر ده اضافهجذر : ده منهای و مال منهای درهم پنجاه صدو شود

تقسیم و :قسم

ضرب : بابشود می انجام مرحله چهار در ضرب : عمل

عقود در عقود آحاد در عقود عقود در آحاد آحاد در آحاد

حاصل باشند ید زا هستند عقود با که آحادی تمام اگراست . ید زا چهارم مرحله ضرب

زا چهارم مرحله ضرب حاصل باشند ناقص آحاد تمام اگراست . ید

باشدحاصل ناقص دیگری و ید زا آحاد دو از یکی اگر اگراست . ناقص چهارم مرحله ضرب

معامالت :باب

ای کلمه چهار با و است، وجه دو بر مردم معامالت تمامبدين . گيرد می قرار گـفتگو مورد رساند می را کميت که

ترتيب :

عدد سعرنيزبا وعدد متبايناست، ثمن عدد با مسعر عدد بنابراينآشکار . عدد سه ايناعدادهميشه از متبايناست متباين مثمناست . عددی آن مجهول عدد مجهول يک و است معلوم و

چند = » ¶م ک کلمه» با کهاست . چنين معادله اين حل شيوه شود می سؤال آن : از

ترديـد بـدون کـه گيـری می نظر در را معلوم عدد سه اولعدد دو ايـن پـس هسـتند، متبـاين اعـداد ايـن از عـدد دو

ضـرب حاصـل ، کن می ضرب يکديگر را متباين و معلوممتباين - مجهـول مقـدار بـا کـه ديگـر معلـوم عـدد بـر را

از - است عبارت قسمت خارج ، کن می تقسيم استمجهول عدد

مساحت :بابيک آن مفهوم و است، مساحت » يک در ضرب يک « معنی

متساوی سطح هر پس است، ذراع يک در ضرب ذراعباشد، واحد طرف هر از آن ضلع که را، الزوايا و االضالع

گويند می . واحد

مساحت : باب متساوی سطح آن و ذراع، دو سطحی در ضلع هر اگر

سطحی برابر چهار آن سطح تمام باشد، الزوايا و االضالعباشد . ذراع يک ضلعش هر که است

باشد ذراع نصف آن ضلع هر که مربعی سطح هر مقداريک آن ضلع هر که است مربعی سطح چهارم يک با برابر

باشد . ذراع

مساحت ) ( تکسير ×) ای : )= قاعده ارتفاع عمود نصف االضالع متساوی مثلث

شود می وارد آن بر عمود که × : ) ديگر) = قطر نصف قطر االضالع متساوی لوزی معینه

مدوره:قطر = × 22/7دور

دو¶ر = × نصف قطر نصف تکسير( قطر × قطر(- × 3/14قطر قطر

ذراع 22پیرامون :

= بر قوس منتصف نقطه از که عمودی طول قوسشود می وارد وتر

،است دايره کدام از قوس که بدانی بخواهی اگرضرب، حاصل و ضرب خودش مانند در را وتر نصف

خارج سپس و ، کنی می تقسيم قوس سهم بر راجمع حاصل که افزايــی می سهم بر را قسمت

جزيــی قوس اين که ای دايره قطر از است عبارتاست آن از

قوس : تکسير: باشد کمتر دايره نصف از قوس اگر

دايره × ) - ( - × قطر نصف قطر نصف قوس سهم قوس وتر نصفقوس نصف

: باشد بيشتر دايره نصف از قوس اگر

قطر × + × ) نصف قوس وتر نصف قوس نصف دايره قطر نصفقوس- ( سهم

: مکعب حجمعمق × × عرض طول

مدور مربع و مثلث از مخروط حجم:

زيرين × × قاعده مساحت 3/1ارتفاع

: فيثاغورث قضيهرا کوتاهتر ضلع دو از يک هر اگر الزاويه، قائم مثلث هر درمجموع اين ، کنی جمع يکديگر با و کنی ضرب خودش در

خودش در که بزرگـتر ضلع ضرب حاصل با است برابرباشد . شده ضرب

:5چهارضلعی است گونهو االضالع مختلف sن، معي شبه معينه، مستطيل، مربع مربع،

الزوايا

که را چهارضلعيهايــی مساحت بخواهيم هرگاهکه آن يا قائمه زوايای و مساوی اضالع دارای

هستند، قائمه زوايای و مختلف اضالع دارایضرب عرض در را طول بايد آوريم، دست به

بود خواهد آن مساحت ضرب حاصل که کنيم،.

: ) ( لوزی معینه مساحت : باشد معلوم قطر دو هر اگر

قطر × × ) ( 2/1قطر : باشد معلوم قطر يک تنها اگر

و شده تشکيل دومثلث از شکل اين که دانی می

را لوزی اين از ذراعی پنج ضلع دو مثلث هر

مثلث دو اين قطر سومش ضلع و برگرفته در

شود . می محسوب

ها مثلث حساب شيوۀ· به را آن مساحت پس

کن . محاسبه

می دست به آن قطر مدد به را چهارضلع نوع هر مساحتاز و آورند

کنند . می محاسبه ها مثلث راه

حاده، : قائمه، است نوع سه مثلثمنفرجه

: الزاويه قائم مثلث مساحت

قائمه ×) زاويه بر محيط ضلع دو ضرب (2/1حاصل

: االضالع مختلف حادةالزاويه مثلث

: منفرجةالزاويه مثلث

: مسآله چندچهار در ذراع چهار آن قاعده که داريم شکل مخروطی ستونیدو در ذراع دو آن رٔاس مساحت و ذراع، ده ارتفاعش و ذراع

است . :ذراع است چنین آن حل راه

ده آن جانب ضلع دو از يک هر که داريم شکل مثلث زمينیمثلث اين ميان در است، ذراع دوازده آن قاعده و ذراع

چهارگوشه اين ضلع هر طول چهارگوشه، است زمينیاست؟ چقدر

منفرجةالزاويه و حادةالزاويه مثلث مساحت منفرجهمی شناخته عمود طول و عمود پای محل وسيله به

شود .

: االضالع متساوی حادةالزاويه مثلث