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第五章 : 等值演算与推理本章的主要内容一阶逻辑等值式与基本的等值式置换规则、换名规则、代替规则前束范式本章与其他各章的关系 本章的先行基础是前四章 本章是集合论各章的先行基础

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第一节：等值式与置换规则

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等值式：公式 A ， B 的等价式 A↔B 为永真式符号： AB ，也称 A 逻辑恒等于 B

5.1 等值式与置换规则

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第一类等值式：命题逻辑的重言式的代换实例理由：重言式的代换实例都是永真式

例x F(x) x F(x) F(x) G(x) F(x) G(x)

¬¬AA

A B ¬ A B

5.1 等值式与置换规则

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第二类等值式：1. 消去量词等值式 给定有限有限个体域 D={a1,a2,…,an}

2. 量词否定等值式 x 在公式 A(x) 中自由出现

x A(x) A(a1) A(a2) … A(an)

x A(x) A(a1) A(a2) … A(an)

x A(x) x A(x)

x A(x) x A(x)

5.1 等值式与置换规则

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例：设个体域为 D ＝ {a, b, c} ，将下面公式的量词消去1. x F(x) y G(y)

2. (x F(x) y G(y))

(F(a) F(b) F(c)) (G(a) G(b) G(c))

x F(x) y G(y)

( F(a) F(b) F(c))

( G(a) G(b) G(c))

5.1 等值式与置换规则

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第二类等值式：3. 量词辖域收缩与扩张等值式x 在公式 A(x) 中自由出现，但不在 B 中自由出现

(1a) x (A(x) B) x A(x) B

(1b) x (A(x) B) x A(x) B (1c) x (A(x) B) x A(x) B (1d) x (B A(x)) B x A(x)(2a) x (A(x) B) x A(x) B

(2b) x (A(x) B) x A(x) B (2c) x (A(x) B) x A(x) B (2d) x (B A(x)) B x A(x)

5.1 等值式与置换规则

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第二类等值式：4. 量词分配等值式x 在公式 A(x) 和 B(x) 中自由出现

(2) x (A(x) B(x)) x A(x) x B(x)

(1) x (A(x) B(x)) x A(x) x B(x)

(3) x (A(x) B(x)) x A(x) x B(x)

5.1 等值式与置换规则

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下列等值式不成立！x 在公式 A(x) 和 B(x) 中自由出现

(2) x (A(x) B(x)) x A(x) x B(x)

(1) x (A(x) B(x)) x A(x) x B(x)

提示：任意实数，或者是有理数或者是无理数

或者任意实数是有理数，或者任意实数是无理数

提示：存在实数，既是有理数又是无理数

存在实数是有理数，并且存在实数是无理数

5.1 等值式与置换规则

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置换规则：给定 φ(A) 若 A B ，则 φ(A) φ(B)

换名规则： x A(x) x’ A(x’) ， x’ 不在 A 中出现 x A(x) x’ A(x’) ， x’ 不在 A 中出现

代替规则 A(x) A(x’) ， x’ 不在 A 中出现

5.1 等值式与置换规则

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例：消去既是约束出现又是自由出现的变项1. x F(x,y,z) y G(x,y,z)

2. x (F(x,y) y G(x,y,z))

t F(t,y,z) y G(x,y,z)

t F(t,y,z) w G(x,w,z)

x (F(x,t) y G(x,y,z))

x (F(x,y) t G(x,t,z))

5.1 等值式与置换规则

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给定 D={a,b,c}, 消去下列公式的量词 x (F(x) y G(y)) x F(x) y G(y) (F(a) F(b) F(c)) (G(a) G(b) G(c)) x y F(x,y) y (F(a,y) F(b,y) F(c,y)) (F(a,a) F(b,a) F(c,a)) (F(a,b)

F(b,b) F(c,b)) (F(a,c) F(b,c) F(c,c))

5.1 等值式与置换规则

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给定解释 I 如下： D={2, 3} a* = 2 f*(2) = 3, f*(3) = 2 F*(2) = F, F*(3) = T G*(2,2)=G*(2,3)=G*(3,2)=T, G*(3,3)=F L*(2,2)=L*(3,3)=T, L*(2,3)=L*(3,2)=F

求下列各式在 I 下的真值： x (F(f(x)) G(x, f(x))) xyL(x,y) yxL(x,y)

5.1 等值式与置换规则

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求下列各式在 I 下的真值： x (F(f(x)) G(x, f(x))) (F(f(2)) G(2, f(2))) (F(f(3)) G(3,

f(3))) (F(3) G(2, 3)) (F(2) G(3, 2)) (T T) (F T) T xyL(x,y) T yxL(x,y) F

5.1 等值式与置换规则

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第五章 : 等值演算与推理

第二节：前束范式

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前束范式：一阶逻辑公式满足 量词都出现在公式最前面 量词的辖域一直延伸到公式末 形如 Q1x1Q2x2…Qkxk B Q 为或， B 不含量词

例：下列哪个为前束范式？ x y (F(x) G(y) ¬ H(x,y))

x (F(x) y (G(y) ¬ H(x,y)))

5.2 前束范式

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5.1 等值式与置换规则 前束范式存在定理：一阶逻辑任何公式都存

在等值的前束范式1. 将公式中的联接词、换为、、2. 利用量词否定等值式把深入到原子公式前3. 利用换名规则或代替规则4. 利用量词辖域的扩张收缩律把量词移到全式的最

前面

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5.1 等值式与置换规则 例：求下面公式的前束范式

x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x F(x) y G(y) x y (F(x) G(y))或者 x F(x) x G(x) x (F(x) G(x))

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5.1 等值式与置换规则 例：求下面公式的前束范式

x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x y (F(x) G(y))

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5.1 等值式与置换规则例：求下面公式的前束范式 xF(x)y(G(x,y)H(x,y))

使用换名规则 : xF(x)y(G(x,y)H(x,y)) zF(z)y(G(x,y)H(x,y)) z(F(z)y(G(x,y)H(x,y)) zy(F(z)(G(x,y)H(x,y)))

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5.1 等值式与置换规则 使用代替规则 :

xF(x)y(G(x,y)H(x,y)) xF(x)y(G(z,y)H(z,y)) x(F(x)y(G(z,y)H(z,y)) xy(F(x)(G(z,y)H(z,y)))

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作业51213