1

力矩分配法的概念及基本运算多结点力矩分配法—渐进运算无剪力分配法力矩分配法位移法联合应用超静定力影响线超静定力影响线连续梁的最不利荷载及内力包络图连续梁的最不利荷载及内力包络图

2

力矩分配法的

理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。

1 、转动刚度 S ：表示杆端抵抗转动的能力。

使杆端发生单位转角时需在杆端施加的力矩。

1

SAB=4i

1

SAB=3i

SAB=i

1

SAB=0

SAB 与杆的 i （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，

SAB=4i

1而与近端支承无关。

§9-1 力矩分配法的基本概念及基本运算

3

因此，在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移） 远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。

θ

MAB

1

MAB

MAB

11 1

MAB

Δ

②①

③ ④

下列那种情况的杆端弯矩 MAB=SAB

√

4

1 、转动刚度 S ：表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。

1

SAB=4i

1

SAB=3i

SAB=i

1

SAB=0

SAB 与杆的 i （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，

SAB=4i

1

而与近端支承无关。2 、传递系数 C ：杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。

即：

近

远

MMC

近

远

MMC 传递系数与远端支承有关

2i

－ i

0

C=1/2

C= － 1

C=0

远端支承 转动刚度 传递系数

固定

铰支

定向支座

4i

3i

i

1/2

－ 1

0

5

3 、单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法

iB

C

AMMiA=4iθ=SiAθ

MiB=3iθ=SiBθ

MiC=iθ=SiCθ

∑M= MiA+MiB+MiC － M=0

S

M

MS

S

MS

S

MS

S

iC

iB

iA

a ）分配系数和分配力矩

MM

S

S

ijij

ijij

注： 1 ） μ 称为力矩分配系数，结点力矩按分 配系数分配与各杆近端。 2 ）分配力矩是杆端转动时产生的近端 弯矩。 3 ） ∑ μ=1 4 ）结点集中力偶荷载顺时针为正。

注： 1 ） μ 称为力矩分配系数，结点力矩按分 配系数分配与各杆近端。 2 ）分配力矩是杆端转动时产生的近端 弯矩。 3 ） ∑ μ=1 4 ）结点集中力偶荷载顺时针为正。

2 、传递系数 C：杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：

近

远

MMC

近

远

MMC

b ）传递系数和传递力矩Mc

ji=CMuij j=A ， B ，

C注：1 ）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩。2 ）只有分配弯矩才能向远端传递。

注：1 ）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩。2 ）只有分配弯矩才能向远端传递。

6

4 、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法200kN

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m

3m 3m 6m3i 4iA B C

200kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

20kN/m

A B C

A B C

1 ）锁住结点

908

620

1508

6200

1508

6200

2

BCF

BAF

ABF

m

m

m

－ 150 150 － 90

2 ）放松结点MB=150 － 90=60

MB

MB

mBA mBC

－ MB= － 60SBA=4×3i=12iSBC=3×4i=12i

μBA=12i/24i=1/2μBC=12i/24i=1/2

－ 30 － 30－ 15

3 ）叠加 1 ）、 2 ）得到最后杆端弯矩

μ 1/2 1/2

－ 150mFij 150 － 90

－ 30－ 30－ 15

Mij － 165 － 120120

A B C

M 图（ kN.m)

165 12090300

不平衡力矩 =固端弯矩之和

节点不平衡力矩要变号分配 .

Mij=mFi j+ Mu

i j + Mci j

7

i=1 i=1

i=2

2m2m 4m

4m

AB

C

D↓↓↓↓↓↓↓↓↓

40kN/m100kN 15kN例：用力矩分配法计算 , 画 M 图。解： 1 ）求 μ

大家算 μAB= μAC= μAD=

4/9

2/9 3/9

2 ）求 mFij 计算 mF

AB= mF

BA = mFAD =

50－ 50 － 80

M=15MA

mABmAD

mACM+MA= mFAB + mF

AD + mFAC － M

=50 － 80 － 15= － 45

结点 B A C D

杆端分配系数

BA AB AD AC CA DA

4/9 3/9 2/9

分配与传递 20

固端弯矩 － 50 50 － 80

10 15 10 － 10

最后弯矩 － 40 70 － 65 10 － 10

4070

100

10 80

M 图（ kN.m)

8

§9-2 多结点力矩分配法——渐进运算

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m 50kN

7516

8503

12812

824

12812

824

2

2

CD

CB

BC

m

m

m

－ 128 128 － 75

MB= － 128MC=53

－ MB

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m 50kN

4m 4m8m8m

A B C D2EI 2EIEI取 EI=8

i=2i=2i=1

6.0

4.0

4.01423

14

6.01423

23

CD

CB

BC

BA

μBA=0.6μBC=0.4μCB=0.4μCD=0.6

76.8 51.2 25.6

MC=78.6

－ MC= － 78.6

－ 31.4 － 47.2－ 15.7

－ 15.7

15.7

9.4 6.3 25.6

分配系数

逐次放松结点进行分配与传

递

固端弯矩

最后弯矩

0.6 0.4 0.4 0.6－ 128 128 － 7551.276.8 25.6

－ 31.4 － 47.2－ 15.76.39.4 3.2

－ 1.3 － 1.9－ 0.70.30.4 0.2

－ 0.1 － 0.10 86.6 － 86.6 124.2 － 124.2

9

4m 4m8m8m

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m 50kN

A B C C

86.6124.2

192

i=2i=2i=1

100M 图（ kN.m)

i=2i=2i=1

i=2i=2i=1

i=2i=2i=1

10

注 意： 1 ）单结点力矩分配法得到精确解 , 多结点力矩分配法得到 渐近解。 2 ）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3 ）结点不平衡力矩要变号分配。 4 ）结点不平衡力矩的计算：

结点不平衡力矩

（第一轮第一结点）固端弯矩之和

（第一轮第二三……结点）固端弯矩之和 加传递弯矩

传递弯矩 （其它轮次各结点）

总等于附加刚臂上的约束力矩 5 ）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数） 但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。

11

4I 4I5I

3I3I

1 11

0.750.5

i=1 11

0.750.5

A B C D

E

F5m4m 4m

4m2m

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m

例题 求图示刚架 的弯矩图。

解： 1 ）求分配系数SBA=3 SBC=4 SBE=4×3/4=3 SCB=4 SCD=3 SCF=4×1/2=2结点 B ：∑ S=SBA+SBC+SBE

3+4+3=10 μBA=3/10=0.3 μBC=4/10=0.4 μBE=3/10=0.3

μCB=4/9=0.445 μCD=3/9=0.333 μCF=2/9=0.222

结点 C ：∑ S=SCB+SCD+SCF4+3+2=9

1 ）求固端弯矩

mkNql

mFCB .7.41

12

2

mkNql

mFBC .7.41

12

2

mkNql

mFBA .40

8

2

12

A

B CD

E

F

μBA=3/10=0.3 μBC=4/10=0.4 μBE=3/10=0.3

μCB=4/9=0.445 μCD=3/9=0.333 μCF=2/9=0.222

mkNql

mFBc .7.41

12

2

mkNql

mFBA .40

8

2

mFCB=41.7kN.m

BA BE BC CB CF CD

0.3 0.3 0.4 0.445 0.222 0.333

40 － 41.7 41.7－ 18.5 － 9.3 － 13.9 － 9.3

3.3 3.3 4.440 － 41.7 － 9.3= －11 2.2

－ 1.0 － 0.5 － 0.7 － 0.50.15 0.15 0.2

43.4 3.5 － 46.5

24.4 － 9.8 － 14.8

EB 1.6

0.11.7

FC

－ 4.7

－ 0.2－ 4.9

13

A B C D

E

F

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m

43.4 46.924.4 14.6

9.8

4.9

3.5

1.7

M 图（ kN.m)A B C D

E

F

29.1

50.9

54.5

45.5

3.7

1.3 2.5

FS 图 (kN)A B C D

E

F 49.2105.4

2.5

FN 图 (kN)

1.2

14

静定伸臂的处理例题 作图示梁的 M 图。 50kN

1m 1m5m

50kN50

SBA=15 EI= 常数5 i=5

i=1SBC=3

μBA=5/6 μBC=1/6 μ 5/6 1/6

－ 20.8

m

M

5025

－ 4.2

－ 20.8 20.8 50

50kN

20.8

50

M 图（ kN.m)

A B C

15

4EI 4EI

2EI 2EI

用力矩分配法计算，作 M 图。取 EI=5

i=4 i=4

i=2.5 i=2.5

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m 20kN

5m 5m 1m

4m

20kN20

结点杆端

A E B C F

AB EB BE BA BC CB CF FC

m

μ 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385

0 0 0 31.25 － 20.83 20.83 0 0

( － 20)

－ 2.74 － 3.29 － 4.39－ 1.37 － 2.20

MB=31.25 － 20.83=10.42

MC=20.83 － 20 － 2.2= －1.37

0.84 0.53 0.270.42

－ 0.10 － 0.14 － 0.18－ 0.05 － 0.09

AB C

E F

16

结点杆端

A E B C F

AB EB BE BA BC CB CF FC

m

μ 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385

0 0 0 31.25 － 20.83 20.83 0 0

(20)

－ 2.74 － 3.29 － 4.39－ 1.37 － 2.20

0.84 0.53 0.270.42

－ 0.10 － 0.14 － 0.18－ 0.05 － 0.09

0.06 0.03 0.020.03

－ 0.01 － 0.01 － 0.01

M 0 － 1.42 － 2.85 27.80 － 24.96 19.94 0.56 0.29

计算之前 ,去掉静定伸臂 ,将其上荷载向结点作等效平移。有结点集中力偶时 ,结点不平衡力矩 =固端弯矩之和－结点集中 力偶 (顺时针为正 )

计算之前 ,去掉静定伸臂 ,将其上荷载向结点作等效平移。有结点集中力偶时 ,结点不平衡力矩 =固端弯矩之和－结点集中 力偶 (顺时针为正 )

17

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m

3m

3m3m

2i

i i

ii

i

4i

2i

SAG=4i↓↓↓↓↓↓20kN/m

1.5m

i

i

A

C

E

G

H

SAC=4i SCA=4i

SCH=2i SCE=4i

μAG=0.5 μAC=0.5

μCA=0.4 μCH=0.2

μCE=0.4

mkNm AGF .15

3

5.120 2

结点杆端

A C E

AG AC CA CH CE EC

m

μ 0.5 0.5 0.4 0.2 0.4

－ 15

18

0.5 0.5 0.4 0.2 0.4

－ 15

7.5 7.5 3.75

－ 1.50 － 0.75 － 1.50－ 0.75 － 0.75

0.37 0.38 0.19

－ 0.08 － 0.03 － 0.08－ 0.04 － 0.04

0.02 0.02

结点杆端

A C E

AG AC CA CH CE EC

m

μ

M － 7.11 7.11 2.36 － 0.78 － 1.58 － 0.79

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m7.11

0.79

1.58

2.63

0.79

1.58

7.11

2.630.78

M 图（ kN.m)

例题 9-6 求矩形衬砌在土压力作用下的弯矩图。

l1

l 2

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

q

A B

DC

EI1

I2

↓↓↓↓↓↓↓q

E B

F

解：取等代结构如图。 设梁柱的线刚度为 i1 ， i2

2i12i2

2 2iSBF 2 1iSBE

21

2

ii

iBF

21

1

ii

iBE

12

)2

(3

2121 qllq

mFBE

21

2

ii

i

i

21

1

ii

BE BF

μ

20

μ

BE BF

21

2

ii

i

i

21

1

ii

m 12

21ql

12

21

21

1 ql

ii

i

12

21

21

2 ql

ii

i

12

21

21

2 ql

ii

i

12

21

21

2 ql

ii

i

M

12

21

21

2 ql

ii

i

12

21

21

2 ql

ii

i

M 图

当竖柱比横梁的刚度大很多时 (如 i2>20i1), 梁端弯矩接近于固端弯矩 ql2/12 。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。当横梁比竖柱的刚度大很多时 (如 i1>20i2), 梁端弯矩接近于零。 此时竖柱对横梁起铰支座的作用。由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅 决定于构造作法，也与相对刚度有关。如本例中只要横梁线刚度 i1 超过竖柱线刚度 i2 的 20倍时，横 梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱 i2 超过横梁线刚度 i1

的 20 倍时，横梁即可按两端固定梁计算。

i2

i1

i2

i1

21

1 、无剪力分配法的应用条件：刚架中除了无侧移杆外，其余的杆全是剪力静定杆。2 、剪力静定杆的固端弯矩：

↓↓↓↓

↓↓↓↓

2kN

/m

↓↓↓↓

↓↓↓↓

2kN

/m

求剪力静定杆的固端弯矩时先有平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。

3 、剪力静定杆的 S 和 C ：

θA

Δ

A

B

MAB=4iθA － 6iΔ/l MBA=2iθA － 6iΔ/l

∵ FSBA= －（ MAB+MBA ） /l=0 ∴ MBA= － MAB ，∴MAB=iθA , MBA= － iθA

剪力静定杆的 S= i C= － 1

Δ/l=θA /2

§9-3 无剪力分配法

3/,6/ 22 qlmqlm FBA

FAB

计算固端弯矩上端定向、下端固定；计算 S 和 C 上端固定、下端定向

例题 9-7 用无剪力分配法计算刚架。解： 1 、求分配系数SBC=3i1=12 SBA=i2=3μBC=4/5 μBA=1/5 BA 杆的传递系数 = － 1

2m 2m

4m

↓↓↓↓

↓↓↓↓

↓↓

1kN

/m

5kN

i1=4

i2=3

A

B C

2 、求固端弯矩：mkNmF

BC .75.34516

3

mkNql

mFBA .67.2

6

41

6

22

mkNql

mFAB .33.5

3

41

3

22

AB BA BC CB

μ 4/51/5

m － 5.33 － 2.67 － 3.75

分传 1.28 5.14

M

－ 1.28

－ 6.61 － 1.39 1.39 0

1.39

5.70

6.61

M 图（ kN.m)

42.675.367.2 BM

8m×6=48m

5n

4kN 4kN 4kN6kN6kN

12kN

2kN4kN 6kN

(3)(3)

(3)

(3)

(3)(3)

(4)

(4) (4)

(4)(5)

(5)

(5)

(5)(2) (2)(1)(1)(1)

2kN 3kN 6kN

6kN 2kN 3kN

2kN 3kN 6kN

6kN 2kN 3kN

2kN 3kN 6kN

6kN 2kN 3kN

(3) (5)(4)(2)(6) (4)

M=0

24

2kN 3kN 6kN

6kN 2kN 3kN

(3) (5)(4)

(2)(6) (4)A B C D

GFE

1 、求 μ ：大家算7

1

7

6

318

18

ABAE

19

4

19

3

19

12

3412

12

BCBABF

15

5

15

4

15

6

546

6

CDCBCG

2 、求 m ：大家算2486

2

1 F

BAFAB mm 1684

2

1 F

BCFCB mm

4812

1 F

DCFCD mm

6kN 4kN 1kN

BCBA

B结点杆端

A C D

AE AB BF CB CG DC

m

μ 6/7 1/7 12/19 6/154/15

－ 24

CD3/19 4/19 5/15

－ 24 － 16 － 16 － 4 － 46.32 25.26 8.42－ 6.32 － 8.42

25.99 4.33 － 4.33 7.58 11.37 9.47－ 7.58 － 9.47

25

BCBA

B结点杆端

A C D

AE AB BF CB CG DC

m

μ 6/7 1/7 12/19 6/154/15

－ 24

CD3/19 4/19 5/15

－ 24 － 16 － 16 － 4 － 46.32 25.26 8.42－ 6.32 － 8.42

25.99 4.33 － 4.33 7.58 11.37 9.47－ 7.58 － 9.471.88 7.52 2.51－ 1.88 － 2.51

0.67 1.00 0.84－ 0.67 － 0.841.61 0.27 － 0.27

0.15 0.59 0.20

M － 20.2527.60 33.37 － 13.12－ 18.6812.37 6.31 － 14.31－ 27.60

请自己完成弯矩图的绘制 。位移法习题课

26

对于有线位移的结构，可联合应用力矩分配法和位移法求解，用位移法考虑线位移的影响，用力矩分配法考虑角位移的影响。 首先，用位移法求解，取无侧移的刚架为基本体系，线位移为基本未知量，角位移不算作基本未知量。位移法方程为： 01111 PRr 而弯矩可表示为： PMMM 11

其中： PMM ,1 可由力矩分配求解。 r11 ， R1P 可由弯矩图求得。

↓↓↓↓

↓↓↓

↓↓↓↓

↓↓↓

Δ Δ=1

PM11 M

R1P

r11

§9-4 力矩分配法与位移法的联合应用

27

4I 4I5I

3I 3I

A B C D

E

F

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m

4I 4I5I

3I 3I

A B C D

E

F5m4m 4m

4m2m

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m

4I 4I5I

3I 3I

A B C D

E

F

Δ=1

例题 9-10 试用联合法求 图示刚架的弯矩图。

R1P

r11

设 EI=1

FCF

CFF

EBF

BEF

mm

mm

5.06

36

125.14

36

2

2

28

A

B CD

E

F

BA BE BC CB CF CD

0.3 0.3 0.4 0.445 0.222 0.333

－ 1.1250.338 0.338 0.449 0.225

0.122 0.061 0.092 0.061-0.019 -0.019 -0.023

0.319 -0.806 0.487 0.340 -0.436 0.096 EB

0.169

-0.009-0.965

FC

0.031

0.001－ 0.468

FFC

FCF

FEB

FBE

mm

mm

5.06

36

125.14

36

2

2

－ 1.125

－ 0.5

－ 0.5

-0.012

0.005 0.003 0.004

29

A B C D

E

F

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m

43.4 46.924.4 14.6

9.8

4.9

3.45

1.7

MP 图（ kN.m)

R1P

kN

FFR BECFP

16.14

7.145.3

6

9.48.9SS1

A B C D

E

F

Δ=1

r11

0.318

0.488

0.806

0.965

0.340

0.096

0.436

0.467

kN

FFr BECF

594.04

806.0965.06

436.0476.0SS11

95.1594.0

16.1

11

11

r

R P

M

30

A B C D

E

F

M 图 (kN.m)

42.8

47.8

23.714.8

5.0

3.6

8.9

4.0

18.5 26.7

最后弯矩可表示为：

PMMM 11

A B C D

E

F

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m

43.4 46.924.4 14.6

9.8

4.9

3.45

1.7

MP 图（ kN.m)

A B C D

E

F

0.318

0.488

0.806

0.965

0.340

0.0960.436

0.467M

95.11

31

P=1x

Z1

Z1

P=1x

Z1=1

δ11δP1

①

②

W12=Z1δ11 +PδP1=W21 =0

Z1 = － δ P1 /δ11Z1 = － δ P1 /δ11

机动法作法 :Z1(x) = － δP1(x) /δ11Z1(x) = － δP1(x) /δ11

1 、撤去与约束力 Z1 相应的约束。2 、使体系沿 Z1 的正方向发生位移， 作出荷载作用点的挠度图 δP1

图，即为影响线的形状。横坐 标以上图形为正，横坐标以下 图形为负。3 、将 δP1 图除以常数 δ11 ，便确 定了影响线的竖标。

静定力的影响线对应于几何可变体系的虚位移图 , 因而是折线；超静定力的影响线对应于几何不变体系的虚位移图 , 因而是曲线。

静定力的影响线对应于几何可变体系的虚位移图 , 因而是折线；超静定力的影响线对应于几何不变体系的虚位移图 , 因而是曲线。

§9-5 超静定力的影响线（机动法）

P=1xA B C D E F

MC

δ11

MC.I.L

A B C D E FMK

δ11 MK.I.L

K

P=1xA B C D E F

A B C D E F

RC

δ11RC.I.L

A B C D E FQC 右 .I.L

33

P=1xA B C D E F

MK.I.L

RC.I.L

K

MC.I.L

↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓　　　　　　　↓↓↓↓↓↓↓MKmax

MCmin

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓　　　　　　　↓↓↓↓↓↓↓RCmax

跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨有活载 , 向两边每隔一跨有活载。支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨有活载 , 向两边每隔一跨有活载。

跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨有活载 , 向两边每隔一跨有活载。支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨有活载 , 向两边每隔一跨有活载。

§9-6 连续梁的最不利荷载布置及内力包络图

34

连续梁的内力包络图：求在恒载和活载联合作用下，各截面可能产生的最大正弯矩 Mmax 和最大负弯矩 Mmin 。

求 Mmax 和 Mmin 的原则： 1 、必有恒载作用，且永远出现。 2 、活载按最不利情况考虑。具体作法： 1 、把连续梁的每一跨分为若干等分，取等分点为计算截面。 2 、全梁布满恒载，绘制M 恒。 3 、逐个的单独一跨布满活载，绘制各 M 活图。 4 、求出各计算截面的 Mmax 和 Mmin 。

活恒

活恒

kkk

kkk

MMM

MMM

min

max

5 、将各截面的 Mmax 值用曲线联结起来，将各截面的 Mmin 值用曲线联结起来，这两条曲线即形成弯矩包络图或弯矩范围图。

10m 10m 10m

例：已知恒载集度 q=12kN/m ，活载集度 p=12kN/m 。作 M 包络图。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

120 120

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=12kN/m

9030

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓P=12kN/m80

11010

30 20

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓P=12kN/m606030 30

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ P=12kN/m80

11010

3020

Mmax

Mmin

00

210

0 2 4 6 8 10 12

M 恒

M 活 1

M 活 2

M 活 3

－ 100

90

90

120 － 100 210 060 － 260 － 30 － 260 60 0

36

Mmax

Mmin

00

210

0 2 4 6 8 10 12

－ 100 120 － 100 210 060 － 260 － 30 － 260 60 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

210

60

260

100

120

30

260

100

210

60

弯矩图包络图（ kN.m)

将设计时不需要考虑的弯矩图，在弯矩图包络图用虚线表示。

37

超静定梁的影响线绘制（机动法）Z1(x) = － δP1(x) /δ11Z1(x) = － δP1(x) /δ11

1 、撤去与所求约束力 Z1 相应的约束。2 、使体系沿 Z1 的正方向发生位移， 作出荷载作用点的挠度图 δP

1

图，即为影响线的形状。横坐标以上图形为正，横坐标以下图 形为负。3 、将 δP1 图除以常数 δ11 ，便确定了影响线的竖标。

先绘制支座弯矩的影响线：如 MB

P=1E A B C D

P=1E A B C D

MB=1δ11

δP1

38

E A B C DMB

MA MC

MB

P=1E A B C D

MB δ11

δP1

E A B C D1

1E A B C D

P=1x

l － x

)2(6

)2(611 CB

BCAB

AB MMEI

lMM

EI

l

))()2((6

)(1 xlMxlM

EIl

xlxBAP

杆端弯矩使梁下侧受拉为正。

产生 δ11

δ1P 的 Mp

求 δ11 的 M求 δ1p 的 M

l

xlx )(

39

例题 2-11 求图示连续梁支座弯矩 MB 的影响线。

6m 6m 6m

A B C D

1

0.5 0.25

EIEI

25.3)25.02()5.02(

6

611

AB: 78

)6()6()12(5.0

66

)6()(

211

111111

1xx

xxEI

xxxy

BC: )4.8(6.93

)6()6(25.0)12(

66

)6()( 2

221122

222 x

xxxx

EI

xxxy

x1 P=1 x2 P=1 x2 P=1

CD: 486

)12()6()12(25.0

66

)6()( 331

11333

3xxx

xEI

xxxy

MB=1

)2(6

)2(611 CB

BCAB

AB MMEI

lMM

EI

l))()2((

6

)(1 xlMxlM

EIl

xlxBAP

40

A B C D0.12

3m

0.34

6m

0.38

9m

0.49

7m

0.52

0m

0.28

1m

0.15

1m

0.17

5m

0.10

8m

利用已作出的弯矩影响线 , 即可按叠加法求得连续梁上任一截面的弯矩、剪力以及支座反力影响线。

AB:78

)6()(

211

1xx

xy

BC: )4.8(6.93

)6()( 2

222 x

xxxy

CD:486

)12()6()( 331

3xxx

xy

课间休息课间休息单元练习单元练习

41