Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

Уравнение ax + b = 0, где а 0, называют линейным уравнением с одной переменной.

Решением уравнение является значение

Уравнение ax + by + c = 0, где а, b, c – числа, причем а 0, b 0, называют линейным уравнением с двумя переменными x и y (или с двумя неизвестными x и y).

Решением уравнения ax + by + c = 0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е обращает равенство ax + by + c = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много.

Графиком любого линейного уравнения ax + by + c = 0 является прямая.

Х

У

0

Алгоритм построения графика уравнения ax + by + c = 0.

ax + by + c = 0

1. Придать переменной Х конкретное значение Х = ; найти из уравнения соответствующеезначение у: У = .

а + by + c = 0

2. Придать переменной Х другое значение Х= ;найти из уравнения соответствующеезначение У: У= .

а + by + c = 0

3. Построить на координатной плоскости хОу две точки( ; ) и ( ; ).

4. Провести через эти две точки прямую - она и будет графиком уравнения ax + by + c = 0.

.

.

Линейные функции

Алгебраическоеусловие

Геометрический вывод

У = Х +

У= х +

1. = ,

2. = , =

3. .

1. Прямые У= Х + и У= Х + параллельны.

2. Прямые У = Х + и У= Х + совпадают.

3. Прямые У = Х + и У = Х + пересекаются

Запомнить

Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод

Метод подстановки

Метод алгебраического сложения

Пару значений ( х; у ) , которая одновременноявляется решением и первого, и второго уравненийсистемы , называют решением системы.

Графический метод решения систем линейных уравнений с двумя

переменными.

В одной координатной плоскости строим графики двух линейных уравнений:

1. Если прямые пересекаются (в одной точке), то системаимеет единственное решение – координаты точки пересечения.

2. Если прямые параллельны – это значит, что система не имеет решения ( система несовместна).

3. Если прямые совпадают – это значит, что система имеет бесконечно много решений (система неопределенна).

Решения систем линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ:

1. Выразить из какого-либо уравнения одну переменную через другую и подставить это выражение в другое уравнение.2. Решить полученное уравнение относительно другой переменной.3. Подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге.4. Записать ответ в виде пары значений ( х; у ), которые были найдены на предыдущих шагах.

Ответ: ( х; у).

Решения систем линейных уравнений с двумя переменными

методом алгебраического сложения.АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ:

1.Привести уравнения системы к виду, чтобы у какой-либо переменной в обоих уравнениях коэффициенты стали противоположными

(или равными). 2.Сложить уравнения - это значит по

отдельности составит сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять.

3.Решить полученное уравнение с одной переменной (вторая переменная временно исключена).

4. Подставить найденное значение переменной и в любое из двух уравнений и найти оставшуюся переменную.

5. Записать ответ в виде пары значений ( х; у ).

Найти Х из любого уравнения системы.

.

;

;

;

;

Решить систему уравнений методом подстановки:

Решение.

Выразим х из 1-го уравнения системы:

. 5х= 4- 6у, х =

Подставим во 2-е уравнение: 3

умножим обе части равенства на 5, получим

3 (4-6у) +25у =5, 12 -18у + 25 у = 5, 7 у = - 7, у = - 1.

+ 5у =1,

Подставим в выражение х найденное значение у:

х= , Ответ: (2; -1).

х= 2.

На рисунке изображено графическое решение системы. Укажите № системы уравнений, решение которой указано на рисунке.

у у

0

1 х

1

2

3

4

Задания для закрепления изученного материала

•АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

•Что называется функциональной зависимостью?•Какая переменная является зависимой, какая независимой?•Что называют графиком функции?•Как называется функция y= kx?•Что является графиком этой функции?•Сколько точек необходимо для построения графика этой функции?•Какая функция называется линейной?•Что является графиком линейной функции?•Какой вид будет иметь линейная функция при b=0?•Через какую точку в этом случае проходит график?•Что показывает, в какой четверти лежит прямая y=kx+b?•Каковы координаты точки пересечения графика функции y=kx+b с осью OY?

Среди функций выберите те, которые не являются линейными

Среди функций выбрать те, которые являются линейными и графики которых

проходят через начало координат

Среди функций выбрать те, графики которых лежат в I и III четвертях

Среди функций выбрать те, графики которых лежат во II и IV четвертях

Задания для закрепления изученного материала

Найдите координаты точки пересечения графиков функций.

Задания для закрепления изученного материала

Задания для закрепления изученного материала

Актуализация знаний:- На какие классы можно разбить множество систем линейных уравнений по числу решений?- Проведите классификацию данных систем.

Ответ: Определенная система (1 решение) А, Г, ЖНесовместная система (нет решений) Б, В, ДНеопределенная система (бесконечное множество решений) З, Е-По какому признаку определили?- (пропорциональность коэффициентов)

При каких значения параметра «а» система имеет бесконечное множество решений

или не имеет решения:

Закрепление темы

1.Какое уравнение называется линейным уравнением с двумя неизвестными? 2.Что значит решить линейное уравнение с двумя неизвестными? 3.Что называется решением линейного уравнения с двумя неизвестными? Как записывается это решение? 4.Что является графиком линейного уравнения с двумя неизвестными? 5.Что называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными? 6.Что называется решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными? 7.Что значит решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? 8.Какими методами можно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? Каков алгоритм решения каждым методом? 9.Как решается одно линейное уравнение с двумя неизвестными? 10.Сколько решений имеет линейное уравнение с двумя неизвестными? Как записывается общее решение линейного уравнения с двумя неизвестными?

Актуализация знаний

График линейного уравнения с двумя переменными.Рассмотрим произвольное уравнение с двумя переменными x и y: Что является его решениями? Его решениями является какое-то множество пар (x; y), которые обращают его в верное равенство. Каждой такой паре соответствует точка на координатной плоскости. Множество этих точек мы будем называть графиком данного уравнения с двумя переменными.

Множество точек (фигура) на координатной плоскости является графиком данного уравнения, если выполняются два условия: 1) Если (x; y) – решение уравнения, то М (x; y) принадлежит его графику; 2) Если М (x; y) принадлежит графику уравнения, то (x; y) – решение этого уравнения.

ax + by =c

b

cx

b

ay

xc

a

Рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными.

Как выглядит его уравнение? (a x + by =c )Какая фигура на координатной плоскости будет являться его графиком? [прямая]

Выясним, так ли это. Преобразуем уравнение: by = c – ax. а) b 0, тогда,

то есть данное уравнение задает линейную функцию, а ее графиком является прямая. б) b = 0, тогда, уравнение примет вид: ax + 0y = c ax = c. (y – любое число).1. Если а 0, то

то есть, графиком уравнения должны служить точки с этой абсциссой и произвольной ординатой. Какую фигуру они образуют? [прямую, параллельную оси y];

2. Если а = 0, то уравнение примет вид: 0x = c, которое не имеет решений при с 0 и решением которого являются все числа при с = 0.

у= 0,5х + 1 ;

- 1= х - у ; - 4х = 1 - у ;

у -1 = 2х ;

Из данных четырех линейных уравнений можно различным перебором составить несколько систем, но их решения совпадут.

Почему? По рисунку найдите решение этих систем.

Решение № 438 а) рис .25Точки А (0; 5) и В ( -3; 0) принадлежат прямой. Следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению этой прямой у = kх + m. Подставив координаты точек в это уравнение, найдем k и m:

-3 k = m, k = , k =

.

Уравнение прямой имеет вид: У = Х + 5.

5 2 1 4

5

2

1

4

y1 x( )

y2 x( )

x

y1 x( )5 x 9

2

y2 x( )2 7x

2

5 0 5 10

4

4

8

12

y1 x( )

y2 x( )

x

y1 x( )2 2x

3

y2 x( )2x 10

5

Графический метод решения систем уравнений с помощью программы MahtCad 2000.Rus