Исследовательская работа Исследовательская работа на тему «Процентные на тему «Процентные

вычисления в жизненных вычисления в жизненных ситуациях».ситуациях».

Выполнила:Выполнила:Ученица: Ученица: XIXI класса класса

Пахомова Ольга.Пахомова Ольга.

Руководитель: Пьянзина В.И.Руководитель: Пьянзина В.И.

Цель работы:Цель работы: показать широту применения показать широту применения

такого простого и известного учащимся такого простого и известного учащимся математического аппарата, как процентные математического аппарата, как процентные

вычисления. Научиться решать задачи с простыми вычисления. Научиться решать задачи с простыми и сложными процентами.и сложными процентами.

Задачи: Задачи: 1.1. Выяснить историю происхождения Выяснить историю происхождения

процентов;процентов;

2.2. Выяснить сферы пользования Выяснить сферы пользования процентов, их роль в жизни человека;процентов, их роль в жизни человека;

3.3. Найти самые разнообразные задачи с Найти самые разнообразные задачи с процентами, выяснить их методы процентами, выяснить их методы решения.решения.

План моей исследовательской План моей исследовательской работыработы

1.Введение2.Проценты в прошлом и настоящем.3.Банковские операции и расчеты.4. Простые проценты.5.Сложные проценты.6.Опытно-экспериментальная работа на примере

села Большое Игнатово.7.Задачи с историческими сюжетами.8.Задачи из ЕГЭ.9.Мой принцип решения задач с процентами10. Заключение11. Список литературы.

Введение. Почему я выбрала тему Введение. Почему я выбрала тему «Проценты»?«Проценты»?

В наше время почти во всех областях человеческой В наше время почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Поэтому выбранная деятельности встречаются проценты. Поэтому выбранная мной тема особенно актуальна. Без понятия «процент» мной тема особенно актуальна. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счёт в сбербанке, наши родители чтобы открыть депозитный счёт в сбербанке, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. Именно в году, мы интересуемся процентом инфляции. Именно в торговле понятие «процент» используется наиболее часто: торговле понятие «процент» используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, кредиты, налог на скидки, наценки, уценки, прибыль, кредиты, налог на прибыль и т.д. – всё это проценты.прибыль и т.д. – всё это проценты.

Решение математических задач практического содержания Решение математических задач практического содержания позволяет убедиться в значении математики для различных позволяет убедиться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, увидеть широту сфер человеческой деятельности, увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в возможных приложений математики, понять её роль в современной жизни. Ценность полученных результатов в том, современной жизни. Ценность полученных результатов в том, что они продемонстрировали широкий спектр применения что они продемонстрировали широкий спектр применения расчёта процентов в экономических сферах, т.е. тесную расчёта процентов в экономических сферах, т.е. тесную взаимосвязь математики с экономикой.взаимосвязь математики с экономикой. ..

Проценты в прошлом и Проценты в прошлом и настоящем.настоящем.

Слово «процент» происходит от лат. слова Слово «процент» происходит от лат. слова ““pro centum”pro centum”, что , что означает «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и означает «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях родилась ещё в древности у вавилонян, в их клинописных тех же долях родилась ещё в древности у вавилонян, в их клинописных

табличках уже содержались задачи на расчёт процентов. Были табличках уже содержались задачи на расчёт процентов. Были известны проценты и в Индии, где с давних пор вёлся счёт в известны проценты и в Индии, где с давних пор вёлся счёт в

десятичной системе счисления. Индийские математики вычисляли десятичной системе счисления. Индийские математики вычисляли проценты и производить сложные вычисления, применяя так проценты и производить сложные вычисления, применяя так

называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Денежные называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Денежные расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме.

Римляне называли процентами деньги, которые платил должник Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим

народам. В средние века в Европе в связи с широким развитием народам. В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять, торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять,

рассчитывать проценты и сложные проценты.рассчитывать проценты и сложные проценты.В первые опубликовал таблицы для расчёта процентов в 1584 году В первые опубликовал таблицы для расчёта процентов в 1584 году

Симон Стевин – инженер из города Брюгге. Знак «%» происходит, как Симон Стевин – инженер из города Брюгге. Знак «%» происходит, как полагают, от итал. слова полагают, от итал. слова centocento(сто), (сто), которое в процентных расчётах которое в процентных расчётах

часто писалось сокращённо часто писалось сокращённо ctocto. . Отсюда путём дальнейшего Отсюда путём дальнейшего упрощения буквы упрощения буквы tt в наклонную черту произошёл современный символ в наклонную черту произошёл современный символ

для обозначения процента.для обозначения процента.Другая версия происхождения этого знака заключается в том, что в Другая версия происхождения этого знака заключается в том, что в Париже в 1685 году наборщик книги-руководства по коммерческой Париже в 1685 году наборщик книги-руководства по коммерческой

арифметике допустил опечатку – вместо арифметике допустил опечатку – вместо ctocto написалнаписал %. %.

Банковские операции и расчеты.Банковские операции и расчеты.Уже в далекой древности широко было распространено ростовщичество ~ Уже в далекой древности широко было распространено ростовщичество ~

выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20 % и называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20 % и более! более!

Известно, что в XIV-XV вв. В Западной Европе широко распространились Известно, что в XIV-XV вв. В Западной Европе широко распространились банки - учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, банки - учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленниками и т. д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за ремесленниками и т. д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег.к величине выданных в долг денег.

Тех, кто берет в долг деньги в банке, называют Тех, кто берет в долг деньги в банке, называют заемщиками, заемщиками, а ссуду, т. е. а ссуду, т. е. величину взятых у банка денег, называют величину взятых у банка денег, называют кредитом.кредитом. Основную часть Основную часть тех денег, которые банки выдают заемщикам, со ставляют деньги тех денег, которые банки выдают заемщикам, со ставляют деньги вкладчиков, которые они вносят в банк на хранение. Таким образом, вкладчиков, которые они вносят в банк на хранение. Таким образом, банк является финансовым посредником между вкладчиками и банк является финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками.заемщиками.

Простые процентыПростые процентыУвеличение вклада по схеме простых процентов Увеличение вклада по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада (первоначальной суммы вклада (So)So), независимо от срока , независимо от срока хранения и количества начисления процентов.хранения и количества начисления процентов.Пример:Пример:Пусть вкладчик открыл в сберкассе счет и положил на Пусть вкладчик открыл в сберкассе счет и положил на него него SS руб. пусть банк обязуется выплачивать вкладчику руб. пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р% от первоначальной суммы в конце каждого года р% от первоначальной суммы SoSo. . Тогда по истечении одного года сумма начисленных Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет процентов составляет SoSo/100* р руб. и величина вклада /100* р руб. и величина вклада станет равной станет равной SS = = SoSo+ + SoSo/100* р = /100* р = SoSo (1+р/100) руб (1+р/100) руб.; р% .; р% называют годовой процентной ставкой.называют годовой процентной ставкой.Если по прошествии одного года вкладчик снимает со Если по прошествии одного года вкладчик снимает со счёта начисленные проценты счёта начисленные проценты SoSo/100* р, а за два года /100* р, а за два года начисленные проценты составят 2начисленные проценты составят 2SoSo*р/100 руб., через *р/100 руб., через nn лет на вкладе по формуле простого процента будет: лет на вкладе по формуле простого процента будет: SnSn==SoSo (1+р(1+р*n*n/100) /100)

Сложные процентыСложные процентыРассмотрим другой способ расчёта банка с Рассмотрим другой способ расчёта банка с вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счёта сумму вкладчик не снимает со счёта сумму начисленных процентов, то эта сумма начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять следующего года банк будет начислять проценты уже на новую, увеличенную сумму. проценты уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет начислять Это означает, что банк станет начислять проценты не только на основной вклад, но и проценты не только на основной вклад, но и на проценты, которые на него полагаются. на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления «процентов на Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами. проценты» называют сложными процентами.

SSnn==SS00 (1+р/100) (1+р/100)nn,, где где n n = 1,2,3…. = 1,2,3….

Применение процентовПрименение процентов

Проценты применяются в различных Проценты применяются в различных сферах жизнедеятельности человека:сферах жизнедеятельности человека:

в финансовой и экономической (банки), в финансовой и экономической (банки), социальной (распределение населения), социальной (распределение населения), политической( голосование), политической( голосование), коммунальной (повышение и коммунальной (повышение и понижение стоимости электроэнергии и понижение стоимости электроэнергии и квартплаты), в товарных отраслях квартплаты), в товарных отраслях (распродажи, скидки), в научной (распродажи, скидки), в научной (химия, физика – величина КПД), (химия, физика – величина КПД),

Опытно-Опытно-экспериментальная работа.экспериментальная работа.

Уместнее всего рассмотреть практическую задачу, имеющую применение в Уместнее всего рассмотреть практическую задачу, имеющую применение в реальной жизни, и наиболее удачной оказалась задача на расчет кредитов. С реальной жизни, и наиболее удачной оказалась задача на расчет кредитов. С математической точки зрения она интересна тем, что не входит в школьную математической точки зрения она интересна тем, что не входит в школьную программу. Действительно, в наше время люди все чаще и чаще берут программу. Действительно, в наше время люди все чаще и чаще берут товары в кредит (ссуда в денежной или товарной форме, предоставляемая товары в кредит (ссуда в денежной или товарной форме, предоставляемая кредитором заемщик на условиях возвратности, чаще всего с выплатой кредитором заемщик на условиях возвратности, чаще всего с выплатой процента за пользование ссудой), который доступен каждому. процента за пользование ссудой), который доступен каждому.

Конечно же, всем хочется приобрести нужный товар, как можно выгодней. Конечно же, всем хочется приобрести нужный товар, как можно выгодней. Очень интересно, какие кредиты в нашем селе самые удобные. Для Очень интересно, какие кредиты в нашем селе самые удобные. Для проведения этого эксперимента взяты распечатки форм кредитов Сбербанка проведения этого эксперимента взяты распечатки форм кредитов Сбербанка России и ОАО Инвест Сбербанк .Для того чтобы рассчитать итоговую сумму России и ОАО Инвест Сбербанк .Для того чтобы рассчитать итоговую сумму кредита не обойтись без формул сложных процентов. кредита не обойтись без формул сложных процентов.

SSnn==SS00 (1+р/100) (1+р/100)nn ( ( n n – срок кредита, – срок кредита, m m – число выплат в год).– число выплат в год).Допустим, мы решили купить сотовый телефон за 7 тысяч и стиральную Допустим, мы решили купить сотовый телефон за 7 тысяч и стиральную

машинку за 11 тысяч. Сразу же возникает вопрос, что выгоднее: взять машинку за 11 тысяч. Сразу же возникает вопрос, что выгоднее: взять деньги под проценты в сбербанке или оформить товар в кредит в магазине? деньги под проценты в сбербанке или оформить товар в кредит в магазине? В сбербанке России мы можем взять следующие кредиты на любую бытовую В сбербанке России мы можем взять следующие кредиты на любую бытовую технику: «На неотложные нужды», «Доверительный»,«Единовременный». А технику: «На неотложные нужды», «Доверительный»,«Единовременный». А в селе Большое Игнатово в магазине «Бытовая техника» нам предлагают в селе Большое Игнатово в магазине «Бытовая техника» нам предлагают кредит «Потребительский» на сотовый телефон и кредит «2%» на любую кредит «Потребительский» на сотовый телефон и кредит «2%» на любую другую бытовую технику.другую бытовую технику.

Проведем расчет по одному из кредитов на сотовый телефон («На неотложные нужды» Сбербанка России):

=10125 200012

15,017000

12

К

Аналогично рассчитали оставшиеся кредиты. Получены следующие результаты:

Сравним более выгодные кредиты на сотовый Сравним более выгодные кредиты на сотовый

телефон в диаграмме:телефон в диаграмме:

Из диаграммы хорошо Из диаграммы хорошо видно, что кредит на видно, что кредит на телефон выгоднее телефон выгоднее оформить в Сбербанке оформить в Сбербанке России. России.

А вот кредит на любую А вот кредит на любую другую бытовую другую бытовую технику выгоднее технику выгоднее оформить в магазине оформить в магазине «Бытовая техника» «Бытовая техника» через ОАО Инвест через ОАО Инвест Сбербанк.Сбербанк.

Зная формулу сложного Зная формулу сложного процента, легко процента, легко рассчитать выгоду рассчитать выгоду кредита в любой кредита в любой момент. Это помогает момент. Это помогает экономить семейный экономить семейный бюджет. бюджет.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

"На

не

отл

ож

ны

ен

уж

ды

"

"По

тре

би

тел

ьс

кий

"

"До

ве

ри

тел

ьн

ый

"

"Ед

ин

ов

ре

ме

нн

ый

"

Ну а если же мы решили положить деньги в банк, опять же хочется найти Ну а если же мы решили положить деньги в банк, опять же хочется найти самый выгодный вклад. Допустим, я решила положить в банк 30 000 самый выгодный вклад. Допустим, я решила положить в банк 30 000

рублей на 2 года. Сбербанк России в нашем селе предложил мне рублей на 2 года. Сбербанк России в нашем селе предложил мне следующие вклады:следующие вклады:

По истечению срока вклада со счеты мы По истечению срока вклада со счеты мы снимем:снимем:

Из таблицы видно, что самым выгодным

вкладом для нас является «Депозит

Сбербанка на 1 месяц и 1 день»

Следует не забывать, что рассмотрена только идеальная

математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни

денежных реформ, ни многих других

причин.

Рассмотрим одну гипотетическую ситуацию, иллюстрирующую колоссальный рост вклада при увеличении срока его хранения. Предположим, что в начале нашей эры на одну копейку ежегодно начисляли по 5% годовых. Это, конечно, не совсем реальная ситуация, но примем ее и займемся вычислениями. В какую сумму превратится эта копейка через 2000 лет, Т.е. к нашему времени?

По формуле сложных процентов при So = 1 коп., п = 2000 лет, р = 5% имеем: S = 1 * (1 + 0,05)2000 =(1,05)2ООО коп. Оценим эту величину.

Непосредственным подсчетом убеждаемся, что (1,05)14 ~ 1,98 ~ 2 коп. Следовательно, через 14 лет наш вклад в одну копейку удвоится. Это удвоение

произойдет 142,8 раза = 2000 : 14, следовательно, к 2000 г. одна копейка превратится в 2142 копеек.

Оценим это число. Известно, что 210 = 1024, 220 = 1 048 576, 222 = 4 194 304, 240 = 1 099511 627 776.

Поэтому интересующая нас сумма в 2'142 представляется в виде: 2142 = 240.240.240 .222 = =(1 099 511 627 776) 3*4 194 304 коп.!

Эта сумма превосходит все денежные запасы мира! Однако мы должны понимать, что нами, как всегда это бывает при применении математики к реалиям окружающего мира, рассмотрена только идеальная математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни денежных реформ, ни деноминации, ни многих других причин. Однако суть явления - рост величины вклада до колоссальных размеров при возрастании срока его хранения - эта модель показывает очень хорошо.

Задачи с историческими сюжетами.Задачи с историческими сюжетами.

Задачи из ЕГЭ.Задачи из ЕГЭ. Задача1(В9 2005г.) Если положить на вклад «Накопительный»

некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на одно и то же число процентов от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик положил на этот вклад 30000 рублей и три года подряд не пополнял свой вклад и не снимал с него деньги. За три года вложенная сумма денег увеличилась на 9930 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на вклад «Накопительный».

Решение:30 000(1+р)3=39 930(1+р)3=39 930/30 000(1+р)3=(1,1)3р=0,10,1*100%=10%Ответ: на 10%.

Мой принцип Мой принцип решения задач с решения задач с

процентамипроцентами Рационально мыслить и рационально считать – таков девиз при решении задач.

1. Прежде, чем начать решать подобные задачи, необходимо повторить методы отыскания части от целого и целого от части.

2. Выяснить, какая величина принята за целое, т.е. за 100%.3. Ответить на вопрос: известна ли эта величина?4. Выяснить, как найти величину, которая приходится на 1%.5. Выяснить, что требуется найти – число по его проценту или

процент от числа.6. Выполнить необходимые действия.

Я считаю, что для правильного и лёгкого решения заданий на проценты необходимо проводить анализ задачи.

Заключение.

В заключение хочется сказать, проценты – это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Теперь я знаю формулу сложных процентов и могу быстро высчитать, где мне выгоднее взять кредит или вложить деньги, тем самым хорошо сэкономить и пополнить семейный бюджет.

Список использованной Список использованной литературылитературы

1.Липсиц И.В. Экономика без тайн. М., 1994

2.Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.,1967.

3Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.,1997

4.Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. СПб., 1997

5.Шевкин А.В. Текстовые задачи. М. , 1997

6.СимоновА.С. Проценты и банковские расчеты-1998-№4.

7. Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал. – М.: ООО Школьная Пресса, №10/2003.

8.Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.,1992

9. Вигдорчик Е., Нежданова Т. Элементарная математика в экономике и бизнесе. М.,1997

10.Литцман Е. Великаны и карлики в мире чисел. М., 1959.

11.Интернет.