工程力学

工程力学

工程力学

第1章　静力分析基础第5章　杆件的强度计算

第4章　轴向拉压时材料的力学性质

第3章　杆件的内力计算

第2章　平衡方程及其应用第6章　杆件的变形和刚度条件

第8章　刚体的运动分析

第7章　压杆稳定

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第 1 章　静力分析基础

力的概念及其性质1.1

力的投影与合力投影定理1.2

力矩与力偶1.3

约束与约束力1.4

物体的受力分析与受力图1.5

1.1.1 　力的概念　　力是物体间的相互作用。这种作用使物体运动状态发生变化或使物体产生变形，前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应。力对物体的作用效果决定于力的三要素。力是具有大小和方向的量，所以力是矢量。力的三要素可以用有向线段表示，称为力的图示。过力的作用点，沿力矢量方向画出的直线，称为力的作用线。在我国法定计量单位中，力的单位为 N或 kN 。

1.1 　力的概念及其性质


三要素三要素

大小大小

方向方向

作用点作用点

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1.1.2 　力的性质　　



三力平衡汇交定理力的

性质

力的可传性

作用与反作用定理

力的平行四边形法

则

二力平衡条件

力的平行四边形法

则

1.1.3 　集中力与分布力　　作用于一点的力称为集中力。作用在一定范围（面积、体积或长度内）的力称为分布力。分布在一定长度上的力称为线分布力（又称为线分布载荷）。线分布载荷的大小用载荷集度 q 表示。某点的载荷集度是指该点单位长度上受力的大小，它表示该点所受载荷的强弱程度，其单位为 N/m或 kN/m 。当 q= 常数时，称为均布载荷；当 q≠ 常数时，称为非均布载荷。如下图所示梁的 CB 段上作用有载荷集度为 q 的均布载荷，其合力的大小等于载荷集度 q 与其分布长度 l 的乘积，即 Fq=ql ，合力的作用线过分布长度的中点，方向与均布载荷的方向相同。



1.1.4 　力系的分类　　通常将力系按其各力作用线的分布情况进行分类：各力的作用线都在同一平面内的力系，称为平面力系；各力作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。在这两类力系中，各力的作用线相交于一点的力系，称为汇交力系；各力的作用线互相平行的力系，称为平行力系；各力的作用线不全交于一点，也不会平行的力系，称为一般力系或任意力系。



1.2.1 　力在平面直角坐标轴上的投影如下图所示，在力 F 所在的平面内取直角坐标系 Oxy ，从力 F 的起点A 和终点 B 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，线段 ab 和 cd 的长度冠以适当的正、负号，分别称为力 F 在 x 轴和 y 轴上的投影，用 Fx 和 Fy 表示。并且规定：从力起点的投影到力终点的投影的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影取正值；反之，取负值。力的投影 Fx 和 Fy 的计算公式为

Fx=±FcosαFy=±Fsinα

式中， α 为力 F 与 x 轴所夹的锐角。

1.2 　绘图工具和仪器的使用方法返回返回

第 1 章　力的投影与合力投影定理

1.2.2 　合力投影定理合力投影定理指合力在坐标轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，即

　　　　　　合力投影定理适用于有合力的任何力系。

1.2 　绘图工具和仪器的使用方法


n

iiynyyyyy

n

iixnxxxxx

FFFFFF

FFFFFF

1321R

1321R

1.3.1 　力矩与合力矩定理　 1. 力对点之矩力对点之矩是力使物体绕某点转动效应的度量。如下图所示， O 点称为矩心，矩心 O 到力作用线的垂直距离 d 称为力臂。力的大小与力臂的乘积 Fd 再冠以适当的正负号，称为力 F 对 O 点的矩，简称为力矩，用 MO(F) 表示。一般规定力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正。

1.3 　力矩与力偶返回返回


1.3.1 　力矩与合力矩定理　 2. 合力矩定理合力矩定理指合力对平面内任一点之矩，等于各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理说明了合力与分力对同一点之矩的关系，它适用于有合力的任何力系。对于由 n 个力组成的力系，合力矩定理的表达式为

1.3 　力矩与力偶


i

n

iORO FMFM

1

1.3.2 　力偶及其性质　 1. 力偶与力偶矩大小相等，方向相反，作用线平行但不共线的两个力称为力偶。如右图所示，由力 F 和 F′ 组成的力偶，表示为 (F ， F′) 。力偶中两力作用线所确定的平面称为力偶的作用面，两力作用线之间的垂直距离 d ，称为力偶臂。力偶对刚体的作用将使刚体产生转动效应。力偶对刚体的转动效应，用力偶矩来度量。力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积并冠以适当的正、负号，称为力偶矩，记为 M 或 M(F ， F′) 。即 M=±Fd=±F′d 。



1.3.2 　力偶及其性质　 2. 力偶的性质



1

2

3

● 力偶在任一轴上的投影等于零。

● 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。

● 作用在同一平面内的两个力偶，如果它们力偶矩的大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。

1.3.2 　力偶及其性质　 3. 平面力偶系的合成作用在物体上同一平面内的一组力偶 M1 ， M2 ，…， Mn 称为平面力偶系。平面力偶系的合成结果是一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即 M= M1+ M2+…+ Mn=∑Mi 。 4. 力的平移定理力的平移定理指作用于刚体上的力可以平移到该刚体上任一点，但必须同时附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对该点之矩。



1.4.1 　约束与约束力的概念　在空间的位移不受任何限制的物体称为自由体。位移受到限制的物体称为非自由体（受约束物体）。对非自由体的位移起限制作用的周围物体称为该非自由体的约束。约束作用于被约束物体上的力称为约束力。约束力的方向总是与约束限制的非自由体的运动方向相反，它的作用点就在约束与被约束物体的接触点。作用于非自由体的约束力以外的力称为主动力，主动力在工程上又称为载荷。

1.4　约束与约束力返回返回


1.4.2 　工程中常见的约束及其约束力　 1.柔体约束柔软且不可伸长的绳子、传动带、链条、钢丝等构成的约束称为柔体约束或柔索约束。柔体约束的约束力作用在接触点，沿柔体的中心线且背离物体（为拉力），如下图所示。

1.4　约束与约束力


1.4.2 　工程中常见的约束及其约束力　 2.光滑面约束两个物体互相接触，如果接触面上的摩擦力忽略不计，则认为是光滑面约束。光滑面约束的约束反力作用在接触点处，方向沿接触面的公法线，指向受力物体。光滑面约束的反力又叫法向反力，通常用 FN 表示。如图（ a ）所示为固定支承平面对圆球的约束，如图（ b ）所示为固定支承曲面对圆球的约束，如图（ c ）所示为固定支撑面对杆件的约束。



1.4.2 　工程中常见的约束及其约束力　 3.圆柱铰链约束中间铰链约束　铰链是工程中常用的一种约束，通常用于连接构件或零部件，铰链一般是两个带有圆孔的物体，用光滑圆柱形销钉相连接，物体只能绕销钉的轴线转动，这种连接称为中间铰。



现实生活中，有哪些机构是属于中间铰链的应用？

1.4.2 　工程中常见的约束及其约束力　 3.圆柱铰链约束固定铰链支座　在圆柱铰链约束中，若某构件固定作为基座，则构成固定铰支座。如图（ a ）所示，固定铰支座对于另一物体的约束力是通过销钉给予物体的作用力，　　　　其示意图如图（ b ）所示，所以可以用正交的两个分力　　　　　　　　　　　 FNx 和 FNy 来表示，如图（ c ）所示。



1.4.2 　工程中常见的约束及其约束力　 3.圆柱铰链约束活动铰链支座　活动铰链支座（辊轴支座）相当于在固定铰链支座的底部安装一排滚轮，如图（ a ）所示，就可使支座沿固定支撑面移动，但不能脱离支撑面。在不计各接触面摩擦的情况下，活动铰链支座不能限制构件绕销钉的转动和沿支撑面的运动，只能限制构件沿支撑面垂直方向的移动，其简图如图（ b ）所示。因此活动铰链支座的约束力方向必垂直于支撑面，且通过铰链中心，而指向未知，如图（ c ）所示。



1.4.2 　工程中常见的约束及其约束力　 3.圆柱铰链约束链杆约束　链杆是指两端用光滑销钉与其他构件连接而中间不受力的直杆。如图（ a ）所示的链杆 AB 是二力杆。由于是二力杆，所以链杆在工程中常被用来作为拉杆或撑杆，这种约束的示意图如图（ b ）所示。但链杆只能限制构件沿其轴线方向的运动，而不能限制其他方向的运动。因此，约束力的作用线一定是沿着链杆两端铰链的连线，指向未知，如图（c ）所示。



1.5.1 　物体的受力分析　　　解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的构件（物体），即选择研究对象；然后根据已知条件、约束类型并结合基本概念和公理分析它的受力情况，这个过程称为构件的受力分析。受力分析步骤如下：

1.5　物体的受力分析与受力图返回返回


● 根据题目恰当地选择研究对象，研究对象可以是一个物体或一个物系。

● 取分离体。 ● 在分离体上画出构件所受的主动力，并标出各主动力的名称。

● 根据约束的类型确定约束反力的位置与方向，画在分离体上，并标出各约束反力的名称。

1.5.2 　物体的受力图　　　将所要研究的物体从周围约束中分离出来，画出作用在该物体上的全部主动力和约束反力，这样的图称为受力图，也称分离体图。

1.5　物体的受力分析与受力图返回返回


试分析教室吊扇的受力情况，画出受力图。

第 2 章　平衡方程及其应用

考虑摩擦时物体的平衡2.4

轮轴类零件平衡问题的平面解法2.5

物体的重心与形心2.6

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平面一般力系的简化2.1

平面一般力系的平衡方程2.2

平面特殊力系的平衡方程2.3

2.1.1 　平面一般力系的简化　　　如下图所示，平面一般力系向作用面内任一点 O 简化，一般可得到一个力 F′R 和一个力偶 MO 。这个力的作用线过简化中心，它的矢量等于原力系中各力的矢量和（平面一般力系的主矢）；这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和（平面一般力系对简化中心的主矩）。　　

2.1 　平面一般力系返回返回


2.1.2 　固定端的约束力分析　　　如图 (a) 所示，固定端支座对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面问题中，这些力为一平面一般力系，如图 (b) 所示。将这群力向作用平面内 A 点简化得到一个力和一个力偶，如图 (c) 所示。一般情况下这个力的方向未知，可用两个正交分力来表示。因此，在平面力系情况下，固定端 A处的约束力可简化为两个约束力 FAx 、 FAy 和一个矩为 MA

的约束力偶，如图 (c) 所示。　　

2.1 　平面一般力系


平面一般力系平衡的充分和必要条件是：力系的主矢等于零，力系对作用面内任一点的主矩等于零。平面一般力系的平衡方程如下：　　

2.2 　平面一般力系的平衡方程返回返回


基本形式的

平衡方程

二力矩形式

的平衡方程

三力矩形式

的平衡方程

● 投影轴 x轴不能与矩心 A、 B两点的连线垂直，矩心A、 B、 C点不能共线。

2.3.1 　平面汇交力系的平衡方程　如下图所示平面汇交力系，如取汇交点 O 为矩心，因各力对汇交点之矩都等于零，故平面汇交力系只有两个独立的平衡方程

2.3 　平面特殊力系的平衡方程返回返回


平面汇交力系

的平衡方程

2.3.2 　平面平行力系的平衡方程　如下图所示平面平行力系，若选取 y 轴与力系中各力的作用线平行，因每个力在 x 轴上的投影均等于零，故平面平行力系只有两个独立的平衡方程

2.3 　平面特殊力系的平衡方程


平面平行力

系的平衡方

程

2.3.2 　平面力偶系的平衡方程　如下图所示平面力偶系，由于力偶在任一坐标轴上的投影恒等于零，对任一点之矩恒等于力偶矩，故平面力偶系只有一个独立的平衡方程

2.3 　平面特殊力系的平衡方程


平面力偶

系的平衡

方程

2.4.1 　滑动摩擦力　两个相互接触的物体，当接触面间有相对滑动或相对滑动的趋势时，在接触面上将会产生阻碍物体相对滑动的切向约束力，称为滑动摩擦力，简称摩擦力。滑动摩擦力作用在接触处，其方向沿接触面的公切线与物体相对滑动或相对滑动趋势的方向相反。接触面间有相对滑动趋势但仍保持相对静止的两个物体间的摩擦力，称为静摩擦力；接触面间有相对滑动的两个物体间的摩擦力，称为动摩擦力。

2.4　考虑摩擦时物体的平衡


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2.4.2 　静摩擦力　静摩擦力 F 的方向与物体相对滑动的趋势相反，大小在零与最大值之间，即

0≤F≤Fmax

最大静摩擦力 Fmax 的大小与接触物体间的正压力（法向约束力） FN

成正比，即Fmax= fs FN

上式称为静滑动摩擦定律。式中，比例系数 fs 是量纲为一的量，称为静摩擦因数，它取决于接触物体的材料以及接触表面的物理状态，如粗糙度、温度、湿度等，与接触表面的面积无关。 fs 的数值可由实验测定或从有关手册中查得。





2.4.3 　摩擦角与自锁　摩擦角　由于静摩擦力的存在，接触面对物体的约束力包括法向约束力 FN 和静摩擦力 F 两个分量，这两个力的合力 FR 称为全约束力或全反力，如图 (a) 所示，即　　　　　　　　　　　　 FR=FN+F 其作用线与接触面法线间的夹角记为 φ ，则

在临界平衡状态，静摩擦力达到最大值，即

此时 φ 角达到最大值 φm ， φm 称为摩擦角。由图 (b) 可知



2.4.3 　摩擦角与自锁　自锁　对于考虑摩擦的物体，其受力可以分为主动力和约束力。主动力合力的作用线在摩擦角之内而使物体静止的现象称为摩擦自锁。摩擦自锁的条件为 α≤φm 。　　　　　　　　　　　　



2.4.4 　动摩擦定律　动摩擦力 Fd 的方向与物体相对滑动的方向相反，大小与接触面间的正压力（法向约束力） FN 成正比，即

Fd=fFN

上式称为动滑动摩擦定律。式中， f 称为动摩擦因数，它除了与接触物体的材料和接触面的状况有关外，还与物体之间的相对滑动速度有关。但在工程计算中，常忽略后者的影响，认为动摩擦因数是仅与材料和接触表面状况有关的常数。一般情况下，动摩擦因数略小于静摩擦因数。　　　　　　　　　　



2.4.5 　考虑摩擦时物体平衡问题的求解　考虑摩擦时物体或物体系统平衡问题的求解，其方法与忽略摩擦时平衡问题的求解基本相同。只是在受力分析时必须考虑静摩擦力，静摩擦力的方向与物体相对滑动的趋势相反。在一般平衡状态下，静摩擦力的大小在零到最大值之间，所以求得物体的平衡条件也有一个范围，称为平衡范围；在临界平衡状态下，静摩擦力达到最大值。为了避免解不等式，通常可以对物体平衡的临界状态进行分析，除列出平衡方程外，还要列出补充方程 Fmax= fs FN ，求得结果后再根据题意确定平衡范围。　　　　　　　　　　

2.5.1 　力在直角坐标轴上的投影　 1. 直接投影法如下图所示，设力 F 与空间直角坐标系的三个坐标轴 x 、 y 、 z 的正向之间的夹角分别为 α、 β 、 γ ，从力 F 的起点和终点分别作与三个坐标轴垂直的平面，这些平面在三坐标轴上所截线段的长度冠以适当的正负号，分别为称为力 F 在x 、 y 、 z 坐标轴上的投影 Fx 、 Fy 、 Fz 。力在三个轴上的投影等于力的大小乘以力与各轴夹角的余弦，即

Fx=Fcos α ， Fy=Fcos β ， Fz=Fcosγ

2.5　轮轴类零件平衡问题的平面解法


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2.5.1 　力在直角坐标轴上的投影　 2. 二次投影法如图所示，若已知力的作用线与某一坐标轴的夹角 γ 以及力在与该轴垂直的平面上的投影与另一坐标轴的夹角 φ ，可以先求出力在此坐标平面上的投影，然后再求力在各坐标轴上的投影。力 F 在三个坐标轴上的投影分别为Fx=Fsin γ cos φ， Fy=F sin γ sin φ， Fz=F cos γ



2.5.2 　力沿空间直角坐标轴的分解　如图所示，为求力 F 沿三个坐标轴方向的分力，先将力 F 分解为沿 z 轴方向的分力 Fz 和 Oxy

平面上的分力 Fxy ，再将力 Fxy 分解为沿 x 、 y 轴方向的两个分力 Fx 和 Fy ，即得力沿三个坐标轴方向的分力 Fx 、 Fy 、 Fz 。力沿直角坐标轴的分力与力在该轴上投影的大小相等。



2.5.3 　轮轴类零件平衡问题的平面解法　一个空间物体可以用三个平面视图来表示。同样，空间问题也能转化为平面问题。可以证明，若物体在空间力系作用下平衡，则其三视图所表示的每个平面力系也一定平衡。因此，可以将空间力系的平衡问题转化为平面力系的平衡问题求解，这种方法称为平面解法。在机械工程中，轮轴类零件的空间力系平衡问题常采用平面解法。



2.6.1 　重心与形心的概念　重心是物体重力的合力作用点。均质物体重心的位置与物体的重量无关，完全取决于物体的几何形状和尺寸。由物体的几何形状和尺寸所决定的物体的几何中心，称为形心。均质物体的重心与形心重合。

2.6　物体的重心与形心


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2.6.2 　确定物体重心与形心位置的方法　 1. 对称法若物体是均质的，并具有对称面、对称轴或对称中心，则其形心必在对称面、对称轴或对称中心上。如圆的形心在圆心，矩形截面、工字形截面的形心在两条对称轴的交点处， T 形截面、∏形截面的形心在对称轴上，如下图所示。



2.6.2 　确定物体重心与形心位置的方法　 2.试验法对于形状复杂或非均质的物体，工程实际中常采用试验法确定其重心，常用的方法有悬挂法和称重法。 3. 平面组合图形的形心对于平面组合图形，可将其分割成几个简单的规则图形，组合图形的形心坐标为



第 3 章　杆件的内力计算

内力与截面法3.1

轴向拉压杆的内力与内力图3.2

梁的内力与内力图3.3

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受扭圆轴的内力与内力图3.4

3.1.1 　内力的概念　作用于杆件上的载荷和支座约束力称为外力。由外力引起的杆件内部作用力的改变量，称为附加内力，简称为内力。机械工程力学主要研究受力杆件横截面上的内力。根据连续性假设可知，内力在横截面上是连续分布的，组成一分布内力系，通常所说的内力是指该分布内力系的简化结果。

3.1 　内力与截面法返回返回


3.1.2 　截面法　将杆件假想地截开以显示内力，并由平衡方程确定内力的方法，称为截面法。它是计算杆件内力的基本方法，其步骤可归结为： (1)截——沿欲求内力的截面假想地将杆件截为两部分。 (2) 取——任取其中一部分为研究对象。 (3) 代——用欲求的内力代替另一部分对研究对象的作用。 (4) 平——列出研究对象的平衡方程，确定内力的大小和方向。

3.1 　内力与截面法


3.2.1 　轴向拉压杆件的受力与变形特征　杆件是直杆，作用于杆件上的外力合力作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩，这类杆件称为拉杆或压杆。 3.2.2 　拉压杆横截面上的内力——轴力杆件轴向拉伸或压缩时，横截面上的内力与轴线重合，这种与杆件轴线重合的内力称为轴力，用 FN 表示。　 3.2.3 　轴力图　　用平行于杆件轴线的 x 轴表示横截面的位置，垂直于 x轴的 FN 表示横截面上轴力的大小，在 x—FN 坐标系中按选定的比例画出轴力沿轴线方向变化的图形，称为轴力图。

3.2 　轴向拉压杆的内力与内力图返回返回


逐段画出轴力图逐段画出轴力图求各段轴力求各段轴力分段分段求约束力求约束力

3.3.1 　弯曲的概念　 1.弯曲变形的概念杆件受到垂直于轴线的外力或作用面在轴线所在平面内的外力偶作用时，杆件的轴线将由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的构件称为梁。 2. 平面弯曲的概念工程中常见的梁，其横截面大多至少有一根对称轴，如图 (a) 所示。截面的对称轴与梁的轴线所确定的平面称为梁的纵向对称面，如图 (b) 所示。若梁上所有外力（包括外力偶）都作用在梁的纵向对称面内，则变形后梁的轴线将是位于纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。

3.3 　梁的内力与内力图返回返回


3.3.2 　单跨静定梁的基本形式　作用在梁上的外力包括载荷与支座约束力，两端各有一个约束点的梁称为单跨梁，仅由平衡方程可求出全部支座约束力和内力的梁称为静定梁。单跨静定梁按其支座形式可分为以下三种： (1) 简支梁——一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座的梁。 (2) 外伸梁——一端或两端有外伸部分的简支梁。 (3)悬臂梁——一端固定，另一端自由的梁。

3.3 　梁的内力与内力图


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3.3.3 　梁的内力——剪力和弯矩　一般情况下，平面弯曲梁截面上有两个内力分量。与截面相切的内力分量，称为剪力，用 FQ 表示；作用面在纵向对称面内的内力偶，称为弯矩，用 M 表示。剪力和弯矩的正、负号规定：在横截面的内侧截取微段梁，凡使微段梁发生左翻向上、右侧向下相对错动变形的剪力为正，反之为负，分别如图 (a) 、 (b) 所示；使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负，分别如图 (c) 、 (d) 所示。



3.3.4 　梁的剪力图和弯矩图　通常，梁横截面上的剪力、弯矩随截面位置而变化。若以梁的轴线为x 轴，坐标 x 表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为 x 的函数，即

FQ=FQ （ x ）， M=M （ x ）这种内力随截面位置变化的函数关系式，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。梁的内力随截面位置变化的图线，称为梁的内力图，包括剪力图（ FQ 图）和弯矩图（ M 图）。由内力图可以确定梁的最大剪力和最大弯矩及其所在截面（危险截面）的位置，以便进行梁的强度计算。由内力方程画梁内力图的步骤如下：



逐段作出剪力图、弯矩图

逐段作出剪力图、弯矩图

控制截面的剪力值、弯矩值控制截面的剪力值、弯矩值标题标题判断各段剪力图

和弯矩图的形状判断各段剪力图和弯矩图的形状

逐段列出内力方程逐段列出内力方程分段分段求梁的支

座约束力求梁的支座约束力

3.3.5 　剪力图和弯矩图的规律　梁的内力是由外力产生的，因此梁的剪力图、弯矩图与梁所受外力之间存在着一定规律，现将外力与剪力图、弯矩图之间的规律总结如下： (1) 对于无分布载荷作用的梁段，剪力等于常数，剪力图是一条水平直线；弯矩图是一条斜直线，其斜率等于剪力。 (2) 对于均布载荷作用的梁段，剪力图是一条斜直线，其斜率等于载荷集度，弯矩图为二次抛物线。 (3) 在剪力等于 0 的截面上，弯矩取极值。 (4) 在集中力作用的截面上，剪力发生突变，突变值等于集中力的大小，自左向右突变的方向与集中力的指向相同，弯矩图出现尖点。 (5) 在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。



3.4.1 　圆轴扭转的概念　杆件受到作用面与轴线垂直的外力偶作用时，各横截面将绕轴线发生相对转动，杆件的这种变形称为扭转变形。工程中以扭转变形为主的构件称为轴。机械工程中的轴，多数是圆截面或圆环截面，称为圆轴。 3.4.2 　外力偶矩的计算在工程实际中，作用于轴上的外力偶矩一般并不直接给出，而是根据轴的转速和轴传递的功率来确定，其计算公式为

式中， Me 为外力偶矩（ N·m ）； P 为功率（ kW ）； n 为转速（ r/min ）。

3.4　受扭圆轴的内力与内力图


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3.4.3 　扭矩与扭矩图　受扭圆轴横截面上的内力偶矩称为轴的扭矩，用 T 表示。通常用右手螺旋法则确定扭矩的正负号：用右手四指沿扭矩的转向握着轴，大拇指的指向（扭矩的矢量方向）背离截面时，扭矩为正；反之，扭矩为负，如下图所示。

3.4　受扭圆轴的内力与内力图


逐段画出扭矩图逐段画出扭矩图求各段扭矩求各段扭矩分段分段求外力偶矩求外力偶矩

第 4 章　轴向拉压时材料的力学性质

应力与应变4.1

拉压杆的应力4.2

材料拉压时的力学性质4.3

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失效、许用应力与安全因数4.4

4.1.1 　应力　截面上一点的内力集度，称为该点的应力，它表示该点所受内力的强弱程度。如图所示，截面 mm 上任一点 K 的应力，用 P 表示。通常将应力 P 沿截面的法向与切向分解为两个分量。沿截面法向的应力分量称为正应力，用 σ 表示；沿截面切向的应力分量称为切应力，用 τ 表示。应力的国际单位为 Pascal （帕斯卡），简称为 Pa （帕）， 1 Pa=1 N/m2 。在工程实际中应力的常用单位为 MPa(兆帕 ) 、 GPa(吉帕 ) ， 1 MPa= 106 Pa =1 N/mm2 ， 1 GPa=109 Pa 。

4.1 　应力与应变返回返回


4.1.2 　应变　构件在外力作用下将发生变形。一般情况下，构件内各点的变形是不相同的。构件内某一点的变形程度，称为该点的应变。围绕受力构件内任一点 K截取一微小的正六面体，称为单元体，如图 (a) 所示。单元体受力最基本、最简单的形式有两种，一种是所谓单向受力状态或单向应力状态，另一种是所谓纯剪切应力状态，分别如图 (b) 、 (c) 所示。

4.1 　应力与应变


4.1.2 　应变　在正应力作用下，单元体棱边的长度发生变化，这种变形称为线变形，单位长度的线变形称为正应变或线应变，用 ε 表示。 ε 称为 K 点沿 x 方向的正应变，如图 (a) 所示。同理可确定 K 点沿其他方向的正应变。如图(b) 所示，在切应力作用下，单元体相邻棱边所夹直角的改变量，称为切应变或角应变，用 γ 表示，切应变的单位为 rad 。



4.1.3 　胡克定律　单向受力试验证明：在正应力 σ 作用下，材料沿应力作用方向发生正应变 ε ，若在弹性范围内加载（正应力不超过一定限度），则正应力与正应变成正比，即

σ=Eε 上述关系称为胡克定律，比例常数 E 称为弹性模量，它是表征材料抵抗弹性变形能力的物理量。纯剪切试验证明：在切应力 τ 作用下，材料发生切应变 γ 。若在弹性范围内加载（切应力不超过一定限度），则切应力与切应变成正比，即

τ= Gγ 上述关系称为剪切胡克定律，比例常数 G 称为切变模量。



4.2.1 　拉压杆横截面上的应力　平面假设：拉压杆变形前为平面的横截面，变形后仍为平面且仍垂直于杆轴，如图 (a) 所示。拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上各点处只产生正应力 σ ，且正应力在横截面上均匀分布，如图 (b) 所示。设拉压杆横截面的面积为 A ，轴力为 FN ，则横截面上各点的正应力为

4.2 　拉压杆的应力返回返回


式中，正应力与轴力具有相同的正、负号，即拉应力为正，压应力为负。

4.2.2 　拉压杆斜截面上的应力　如图 (a) 所示拉压杆，其任意斜截面 m－ m 的方位用它的外法线 n 与 x 轴的夹角α 表示，并规定角 α 从 x 轴的正向算起，逆时针方向为正。可证明拉压杆斜截面上的应力也为均匀分布，其方向平行于杆轴，如图 (b) 所示。设杆件横截面的面积为 S，斜截面的面积为 Sα ，则斜截面 m － m上各点的应力为

4.2 　拉压杆的应力


式中， FN/S为横截面上的正应力。

4.3.1 　材料拉伸　 1.低碳钢拉伸时的力学性质在低碳钢的整个拉伸过程中，材料经历了弹性、屈服、强化与颈缩四个阶段，并存在三个特征点，相应的应力分别称为弹性极限或比例极限（ Rp ）、屈服强度（ ReL ）和抗拉强度（Rm ）。

4.3 　材料拉压时的力学性质返回返回


弹件阶段

屈服阶段

强化阶段颈缩阶段

4.3.1 　材料拉伸　 2.低碳钢拉伸时的力学性质断后伸长率　作为衡量材料塑性的重要指标，其值常用百分数表示，称为断后伸长率（或延伸率），并用符号 A 表示，即

　　断面收缩率　衡量材料塑性的另一指标，称为断面收缩率，也称面积收缩率，并用符号 Z 表示，即

4.3 　材料拉压时的力学性质


Lu 为试件断后标距（ mm ）（试验完后需测出的）；L 为试件原始标距（ mm ）

S0 为试样原始横截面积（ mm2 ）； Su 为试样断后最小横截面积（ mm2 ）

4.3.1 　材料拉伸　 3.铸铁拉伸时的力学性质铸铁试样拉伸时的应力—应变曲线如右图所示，没有明显的直线部分和屈服阶段，无颈缩现象而发生断裂破坏，断口垂直于试样轴线，即发生在最大拉应力的作用面。断裂时的应变仅为 0.4%~0.5% ，说明铸铁是典型的脆性材料。断裂时应力—应变曲线最高点所对应的应力称为抗拉强度（拉伸强度极限）。



4.3.2 　材料压缩　 1.低碳钢压缩时的力学性质如右图所示实线为低碳钢压缩试验的应力—应变曲线，虚线为拉伸试验的应力—应变曲线。低碳钢压缩时的弹性极限、屈服强度、弹性模量与拉伸时均相同。在进入强化阶段之后，试样越压越扁，先是压成鼓形，最后变成饼状，测不出强度极限。



4.3.2 　材料压缩　 2.铸铁压缩时的力学性质如右图所示为铸铁压缩时的应力—应变曲线，曲线最高点的应力值称为抗压强度（压缩强度极限），与拉伸时的应力—应变曲线（图中虚线）相比，铸铁的抗压强度远高于抗拉强度（约为 3~5 倍）。铸铁压缩破坏时，断口与轴线大致成 45°倾角，这是因为在 45°斜截面上存在最大切应力，铸铁材料的抗剪能力比抗压能力差的缘故。



4.3.3 　塑性材料与脆性材料力学性质的比较　 1. 强度方面塑性材料拉伸和压缩时的比例极限、屈服极限和弹性模量相同。说明拉伸和压缩时，具有相同的强度和刚度。破坏时有显著的塑性变形，断裂前有屈服现象；脆性材料的抗压强度远高于抗拉强度，一般只适用于受压构件。脆性材料在变形很小时突然断裂，无屈服现象。 2. 变形方面塑性材料的伸长率和断面收缩率都比较大，材料的可塑性大，便于加工及安装时的矫正；脆性材料的伸长率和断面收缩率都较小，难以加工和矫正。当构件承受动载荷（如振动、冲击等）时，塑性材料由于伸长率较大能起到一定的缓冲作用，而脆性材料往往会突然断裂。



4.4.1 　失效　 1. 材料失效材料发生屈服或断裂而丧失正常功能，称为材料失效。对于脆性材料，其失效形式为断裂；对于塑性材料，因为工程中一般不允许出现明显的塑性变形，因此塑性材料的失效形式为屈服。 2.构件失效结构构件或机器零件在外力作用下丧失正常工作能力，称为构件失效。构件的失效主要有强度失效、刚度失效、稳定失效和疲劳失效等形式。由于构件屈服或断裂引起的失效，称为强度失效。由于构件过量的弹性变形而引起的失效，称为刚度失效。由于交变应力作用发生断裂而引起的失效，称为疲劳失效。

4.4　失效、许用应力与安全因数


返回返回

4.4.2 　许用应力与安全因数　一般将极限应力除以一个大于 1 的系数，即安全因数 n ，作为强度设计时应力的最大许可值，称为许用应力，用［ σ］表示。

式中， ns 、 nb 分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。在纯剪切应力状态下，材料的极限应力 τ 。可通过扭转试验测得。对于塑性材料，极限应力等于剪切屈服极限；对于脆性材料，极限应力等于剪切强度极限。除以安全因数后可得到材料的许用切应力［ τ］。



对于塑性材料

对于脆性材料

4.4.3 　强度失效判据与强度条件　材料失效不仅与危险点的应力大小有关，而且与危险点的应力状态有关。对于单向应力状态或纯剪切应力状态，强度失效的判据是构件危险点的应力分别达到材料的极限应力，因此，单向应力状态和纯剪切应力状态的强度条件分别为

σ≤［ σ］τ≤［ τ］



第 5 章　杆件的强度计算

圆轴弯扭组合变形的强度5.5

交变应力与疲劳失效5.6 梁的正应力强度5.3

圆轴扭转的强度5.4

返回返回

拉压杆件的强度条件5.1

连接件的强度条件5.2

由于拉、压杆横截面上的应力是均匀分布的，因此，对于等截面的拉、压杆，其最大轴力所在的截面是危险截面，拉、压杆强度条件为

式中， FNmax 为危险截面的轴力； A 为危险截面的面积。　　强度条件可解决以下三类强度计算问题：　 (1)校核强度。 (2)设计截面尺寸。 (3) 确定许可载荷。

5.1 　拉压杆件的强度条件返回返回


5.2.1 　剪切的实用计算如右图所示，构件的某一截面两侧受到一对大小相等，方向相反，作用线相距很近的横向外力 F 作用，此时构件的相邻两部分将沿外力作用线方向发生相对错动，这种变形称为剪切变形。发生相对错动的截面称为剪切面。只有一个剪切面的剪切称为单剪，有两个剪切面的剪切称为双剪。剪切面平行于外力的方向，位于两个反向的外力之间。剪切面上与截面相切的内力称为剪力，用 FQ 表示。

5.2 　连接件的强度条件


剪切强度条件返回返回

5.2.2 　挤压的实用计算在连接件与被连接件的接触面上互相压紧，产生局部塑性变形，甚至压溃破坏，这种现象称为挤压，如右图所示。构件发生挤压变形时，相互挤压的接触面称为挤压面，挤压面垂直于外力的作用线。作用于挤压面上的力称为挤压力，用 Fbc 表示，挤压力与挤压面相互垂直。在挤压面上，由挤压力引起的应力称为挤压应力，用 σbc 表示。

5.2 　连接件的强度条件


挤压强度条件

5.3.1 　梁横截面上的正应力　 1.纯弯曲与横力弯曲一般情况下，梁的横截面上既有弯矩，又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。 2. 中性层与中性轴梁弯曲变形时，长度不变的纵向纤维层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。平面弯曲时，梁的变形对称于纵向对称面，因此，中性轴过截面的形心且垂直于截面的纵向对称轴。

5.3 　梁的正应力强度返回返回


5.3.1 　梁横截面上的正应力　 3. 正应力分布规律梁纯弯曲变形时，横截面上只有正应力，没有切应力。正应力的分布规律如右图所示。

5.3 　梁的正应力强度


4. 正应力计算公式

5.横截面上最大正应力

σ 为横截面上任一点的弯曲正应力（ MPa ）； M 为横截面上的弯矩（ N·mm ）； y 为欲求应力的点到中性轴的距离（ mm ）； Iz 为横截面对中性轴 z 的二次轴矩（惯性矩）（mm4 ）

Wz=Iz/ymax 称为截面对中性轴 z 的弯曲截面系数（抗弯截面系数），常用单位为 m3 或 mm3 。

5.3.2 　梁的正应力强度条件　梁的最大正应力所在的截面为危险截面，最大正应力所在的点为危险点。对于等截面梁，其危险截面为最大弯矩所在的截面。

5.3 　梁的正应力强度


正应力强度条件

变截面梁的正应力强度条件

脆性材料许用拉应力

脆性材料许用压应力

式中，［ σt］和［ σc］分别为材料的许用拉应力和许用压应力（ MPa ）； yt max

和 yc max 分别为受拉与受压侧危险点到中性轴的距离（ mm ）。

5.4.1 　圆轴扭转时横截面上的切应力　如图 (a) 、 (b) 所示分别为实心圆轴和空心圆轴横截面上扭转切应力的分布规律。

5.4　圆轴扭转的强度返回返回


任一点切应力

最大切应力

T 为横截面上的扭矩（ N·m ）； Iρ 为横截面对圆心的二次极矩，也称极惯性矩（ m4 ）； ρ 为求应力的点到圆心的距离（ m ）。

Wp=Iρ/R 称为扭转截面系数（抗扭截面系数），单位为 m3 或 mm3 。

5.4.2 　圆轴扭转的强度条件　等截面圆轴扭转时，扭矩最大的截面是危险截面。由于圆轴扭转时横截面上的切应力沿半径呈线性分布，故危险截面边缘处各点均为危险点。

5.4　圆轴扭转的强度


圆轴扭转时的强度条件

Tmax 和 Wp 分别是危险截面的扭矩和扭转截面系数。

阶梯轴扭转时的强度条件

机械工程中的轴大多发生弯曲与扭转的组合变形。弯扭组合变形的轴，其横截面上的内力分量为弯矩 M 和扭矩 T ，横截面上的应力分量为弯曲正应力 σ 和扭转切应力 τ ，危险截面通常为弯矩和扭矩均较大的截面，危险截面上弯曲正应力和扭转切应力均最大的点为危险点。

5.5　圆轴弯扭组合变形的强度


弯扭组合变形的强度条件

式中， M 为危险截面的弯矩； T 为危险截面的扭矩； Wz 为圆截面的抗弯截面系数；［ σ］为材料的许用应力。

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5.6.1 　交变应力及其循环特征 1. 应力循环曲线　　随时间作周期性变化的应力，称为交变应力。交变应力随时间变化的曲线，称为应力循环曲线，如下图所示。交变应力每重复变化一次，称为一个应力循环，重复变化的次数 N ，称为循环次数。曲线最高点为最大应力 σmax ，最低点为最小应力 σmin ，二者的平均值称为平均应力 σm ，二者之差的一半称为应力幅 σa 。最小应力与最大应力的比值，称为循环特征 r。

5.6　交变应力与疲劳失效


平均应力

应力幅

循环特征

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5.6.1 　交变应力及其循环特征 2. 交变应力分类　　交变应力按其循环特征，可以分为对称循环和非对称循环两种类型。交变应力的最大应力 σmax 与最小应力 σmin 大小相等，符号相反，即 σmax＝－ σmin ，其循环特征为 r=－ 1 ，这种应力循环称为对称循环。 r≠－ 1 的应力循环称为非对称循环。在非对称循环中，当 σmin=0 ， r=0 时，这种应力循环称为脉动循环。静载荷可以看作交变应力的特殊情况，其 σmax＝ σmin＝ σm ， σa＝ 0 ， r＝ 1 。



5.6.2 　构件疲劳失效 1.疲劳失效及其特征　　在交变应力作用下构件产生可见裂纹或断裂的现象，称为疲劳失效或疲劳破坏。疲劳失效的特征：强度低、脆性断裂和断口特征。 2. 材料的持久极限材料在交变应力作用下，能经受无限次应力循环而不发生疲劳破坏的最大应力，称为材料的疲劳极限或持久极限，用 σr 表示， r 为交变应力的循环特征。 3. 影响构件疲劳极限的主要因素影响实际构件疲劳极限的因素主要有应力集中、构件的尺寸、表面加工质量等。



1—疲劳源； 2—光滑区； 3—粗糙区

第 6 章　杆件的变形和刚度条件

拉压杆件的变形和应变6.1

梁的变形与刚度条件6.2

圆轴扭转时的变形与刚度条件6.3

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在轴向外力作用下，杆件的长度和横向尺寸都将发生改变，杆件沿轴线方向的伸长（或缩短）量称为轴向变形或纵向变形，杆件横向尺寸的缩短（或伸长）量称为横向变形。

6.1 　拉压杆件的变形和应变


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轴向变形

横向变形

轴向线应变

横向线应变

轴向变形

6.2.1 　梁的变形　梁变形的主要特征是轴线由直线变为曲线，梁的变形曲线称为挠曲线。梁轴线上任一点的竖向线位移称为挠度，用 y 表示，并规定挠度向上为正，反之为负。横截面绕中性轴转过的角度称为转角，用 θ 表示，并规定转角以逆时针转向为正，反之为负。如下图所示悬臂梁，发生平面弯曲时，挠曲线与外力作用面相重合，是一条光滑平坦的平面曲线。

返回返回6.2 　梁的变形与刚度条件


梁的挠曲线方程　 y＝f（ x）

转角

6.2.2 　梁的刚度条件　梁的刚度条件是最大挠度和转角（或指定截面的挠度和转角）分别不得超过各自的许用值，即

6.2 　梁的变形与刚度条件


式中，［ y］和［ θ］分别为梁的许用挠度和许用转角，其值由梁的具体工作要求来规定，可从有关设计手册中查得。

6.3.1 　圆轴扭转时的变形　假想用剖切平面将形体的某处剖开，仅画出断面的图形称为断面图。如图（ a ）所示为断面图的形成过程，如图（ b ）所示即为画出断面图后的实际效果。

6.3 　圆轴扭转时的变形与刚度条件返回返回


　　对于长度为 l，扭矩 T为常数的等截面圆轴，其两端横截面间的扭转角为

6.3.2 　圆轴扭转的刚度条件　在工程实际中，通常对轴的单位长度扭转角 θ加以限制，即最大单位长度扭转角不得超过规定的许用值［ θ］。对于等截面圆轴，则轴的刚度条件为

6.3 　圆轴扭转时的变形与刚度条件


式中， θmax 为单位长度的最大扭转角，单位为 rad/m ；［ θ］为单位长度许用扭转角，工程上常用单位为 (°)／ m 。所以，式中 θmax 的单位也应换算为 (°)／ m ，则刚度条件可写成如下形式

第 7 章　压杆稳定

压杆稳定性的概念7.1

压杆的临界应力和柔度7.2

压杆的稳定校核7.3

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如右图所示，竖直压杆在横向干扰力的作用下，当轴向压力较小时（ F<Fcr ），杆产生横向弯曲变形，处于微弯平衡状态，当去掉干扰后，杆将恢复原有竖直状态；当轴向压力很大时（ F>Fcr ），若有横向干扰，压杆产生横向弯曲变形，而且弯曲变形越来越大，直到压杆破坏。

7.1 　压杆稳定性的概念返回返回


7.2.1 　临界应力与柔度的概念　临界力 Fcr 是判断压杆是否失稳的唯一指标。压杆在临界力 Fcr 作用下处于直线平衡状态时，其横截面上的平均正应力，称为压杆的临界应力，用 σcr 表示。设压杆的横截面面积 S ，则

7.2 　压杆的临界应力与柔度返回返回

柔度（长细比）反映了压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束情况对压杆稳定性的影响，用 λ表示，其计算公式为

式中， l 为压杆的长度； μ 为与杆端约束有关的长度系数； μl 为压杆的相当长度； i 为截面对失稳时转动轴的惯性半径


7.2.2 　压杆划分及其临界应力　 1. 大柔度杆（细长压杆）及其临界应力 λ≥λp 的压杆称为大柔度杆或细长压杆，其临界应力的计算公式见右①。 2. 中柔度杆（中长压杆）及其临界应力柔度 λs＜ λ＜ λp 的压杆称为中柔度杆或中长压杆，其临界应力由直线经验公式计算见右②。 3. 小柔度杆（粗短杆）及其临界应力柔度 λ＜ λs 的压杆，称为小柔度杆或粗短杆。小柔度杆不存在失稳问题，主要是在应力达到材料的压缩极限应力 σs 时，因压缩强度不足而发生失效。

7.2 　压杆的临界应力与柔度

公式①

公式②



7.3.1 　压杆稳定条件　为保证压杆的稳定性，压杆的工作应力不能超过稳定许用应力，即

式中，［ nst］为规定的稳定安全因数。　　　　在工程实际中，常采用安全因数法对压杆进行稳定性计算。临界力 Fcr

与压杆工作压力 F的比值，称为压杆的工作安全因数，用［ nst］表示。为使压杆具有足够的稳定性，工作安全因数必须不小于规定的稳定安全因数［ nst］，因此压杆的稳定条件为

7.3 　压杆的稳定校核返回返回


7.3.2 　提高压杆稳定性的措施　

7.3 　压杆的稳定校核

尽量减小压杆杆长

增加支承刚性

合理选择截面形状

对于细长杆，其临界力与杆长平方成反比。因此，在结构允许的条件下，应尽可能地减小压杆的长度，以提高压杆的承载能力。

支承的刚性越大，压杆的长度因数值越小，临界力越大。

截面的惯性 I越大，临界力 Fcr越高。在横截面积一定的条件下，正方形或圆形截面比矩形截面效果好；空心正方形或圆管形截面比实心截面好。

合理选用材料

在其他条件相同的情形下，选用弹性模量较大的材料可以提高大柔度压杆的承载能力。

第 8 章　刚体的运动分析

运动形式概述8.1

刚体绕定轴转动的运动分析8.2

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8.1.1 　点的运动形式　 1. 点的运动方程、速度、加速度若动点的轨迹已知，在轨迹上任选一固定点 O 为坐标原点，并规定坐标原点沿轨迹某一侧的弧长为正，另一侧为负，如右图所示，动点 M 在轨迹上的位置可用弧坐标 s 来表示，当动点沿轨迹运动时，其弧坐标 s 是时间 t的单值连续函数。

8.1 　运动形式概述返回返回

动点 M 的运动轨迹

动点 M的加速度

运动方程　 s= f(t)

速度　表示点在某瞬时运动快慢和运动方向的物理量，称为点在该瞬时的速度 v 。加速度　 a=aτ+an

由于 aτ 与 an 相互垂直，故加速度的大小和方向可分别由下式确定


8.1.1 　点的运动形式　 2. 点运动的几种特殊情况设点运动的初始条件为 t=0 时， v=v0 ， s=s0 ，点运动的几种特殊情况如下：

8.1 　运动形式概述

运动形式

直线运动曲线运动

匀速直线运动匀变速直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动


8.1.2 　刚体的运动形式　 1. 刚体的平移刚体在运动过程中，若其上任一条直线始终与它的初始位置平行，则这种运动称为刚体的平移。如图（ a ）所示，车厢的运动是直线平移；如图（ b ）所示，振动筛 CD 的运动是曲线平移。



8.1.2 　刚体的运动形式　 2. 刚体的定轴转动刚体在运动过程中，其上或其延伸部分上有一条直线始终固定不动，这种运动称为刚体的定轴转动。如图（ a ）所示带传动中带轮Ⅰ、Ⅱ的运动，如图（ b ）所示曲柄—滑块机构中曲柄 OA 的运动，以及常见的齿轮、车床主轴、砂轮等的运动，都是刚体定轴转动的实例。



8.1.2 　刚体的运动形式　 3. 刚体的平面运动在刚体运动过程中，刚体内各点到某一固定平面的距离始终保持不变，这种刚体运动称为平面运动，即平面运动刚体上各点均在平行于固定平面的平面内运动。如图（ a ）所示沿直线轨道滚动的车轮、如图（ b ）所示行星齿轮系中的齿轮 A 等都是刚体平面运动的实例。



8.2.1 　转动分析基础　 1. 转动方程当刚体转动时，转角 φ是时间 t的单值连续函数，即

φ=f(t)=φ(t) 2.角速度比值 Δφ/Δt称为刚体在 Δt时间间隔内的角速度，用 ω′表示，即

8.2 　刚体绕定轴转动的运动分析返回返回


8.2.1 　转动分析基础　 3. 角加速度比值 Δω/Δt称为刚体在 Δt时间内的平均角加速度，用 α′表示。

α=f2(t) 4.匀速转动和匀变速转动　刚体转动时，若其角速度为常量，则称为匀速转动。设 t=0时，刚体的初转角为 φ0=0，类似点的匀速直线运动，可得

φ=ωt 若刚体的角加速度为常量，则称为匀变速转动。设 t=0时，刚体的初转角为 φ0=0，初角速度为 ω0，类似点的匀变速直线运动，可得

8.2 　刚体绕定轴转动的运动分析


8.2.2 　刚体定轴转动　 1. 定轴转动刚体上各点的速度如右图所示，刚体绕 z轴转动，其上任一点 M到转轴的距离 R，称为该点的转动半径。若 t=0时，刚体的初转角 φ0=0，点 M的初位置为M0。在圆周上以M0为原点，规定以刚体转角增大的方向为正向，则点M的位置可用有正负号的弧长 s=±M0M来确定，代数值 s称为点M的弧坐标，点M在任一瞬时的弧坐标为

s=Rφ 上式称为点M的弧坐标形式的运动方程。点M的速度为

v=Rω



8.2.2 　刚体定轴转动　 2. 定轴转动刚体上各点的加速度



切向加速度　 aτ=Rα

法向加速度　 an=Rω2

全加速

结束语

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工 程 力 学

工程力学