§ ２　方程式の利用（４時間）

① 方程式の利用

　 10 人の子どもたちに，１個 250 円のケーキと，１個 100円のアイスをあわせて 10 個買っていきたい。 1600 円で，でき

るだけ値段の高いケーキをたくさん買いたいとき，ケーキとアイ

スをそれぞれ何個ずつ買えばよいか考えてみよう。

○求める数量を ^^^^x^^^^ で表す　ケーキの個数を x 個とする。

　アイスの個数は (10-x) 個となる。

○数量の間の関係を見つける

ケーキの代金 + アイスの代金 = 合計の代金

○方程式をつくる

　ケーキ x 個の代金 250x ^^( 円 )　アイス (10-x) 個の代金 100(10-x) ( 円 )　ケーキとアイスの合計の代金 1600 ^^^( 円 )方程式 250x + 100(10-x) = 1600○方程式を解いて，答を求める

ケーキの個数を x 個とすると， 250x+100(10-x)=1600250x+1000-100x=1600 250x-100x=1600-1000 ^^150x=600 ^^x=4アイスの個数 10-4=6

ケーキの個数４個，アイスの個数６個

　 １個 80 円のみかんと１個 100 円のりんごを合わせて 18 個

買った。そのときの代金の合計は 1680 円だった。みかんとりん

ごをそれぞれ何個ずつ買ったのか求めなさい。

○求める数量を ^^^^x^^^^ で表す

　みかんの個数を x 個とする。

　りんごの個数は (18-x) 個となる。

○数量の間の関係を見つけるみかんの代金 + りんごの代金 = 合計の代金

○方程式をつくる

　みかん x 個の代金 80x ^^( 円 )　りんご (18-x) 個の代金 100(18-x) ( 円 )　みかんとりんごの合計の代金 1680 ^^^( 円 )方程式 ^^^80x+ 100(18-x) = 1680

○方程式を解いて，答を求める

みかんの個数を x 個とすると， 80x+100(18-x)=168080x+1800-100x=1680 80x-100x=1680-1800 ^-20x=-120 ^x=6りんごの個数 18-6=12

みかんの個数６個，りんごの個数^^12^^ 個

　 ケーキ６個と 80 円のプリン１個の代金は，ケーキ１個と 150円のジュース１本の代金の４倍になった。このケーキ１個の値段

はいくらか求めなさい。ケーキ６個と80 円のプリン１個

の代金

ケーキ１個と150 円のジュース１本

の代金*4=

=80円 600 円520

円260円

　 ケーキ６個と 80 円のプリン１個の代金は，ケーキ１個と 150円のジュース１本の代金の４倍になった。このケーキ１個の値段

はいくらか求めなさい。ケーキ６個と80 円のプリン１個

の代金

ケーキ１個と150 円のジュース１本

の代金*4=

=x円

x円x

円

x円x

円

x円

80円

x円

150円

*4

　　　ケーキ１個の値段を x 円とすると，6x+80 4(x+150)=　これを解くと，6x+80=4x+6006x-4x=600-80 2x=520 x=260

ケーキ１個の値段　 260 円

　 兄は 780 円，弟は 630 円持っている。２人とも同じ本を買っ

た　ところ，兄の残金は弟の残金の２倍であった。２人の買った

本の代金を求めなさい。兄の残金 弟の残金 *2=

　　　本代を x 円とすると，兄の残金 780-x ( 円 )弟の残金 630-x ( 円 )780-x=2(630-x )

　これを解くと，780-x=1260-2 x-x+2x=1260-780 x=480本代　 480 円

　 数人の子どもたちでアメを分けることにした。５個ずつ分ける

と 12 個余り，７個ずつ分けると４個足りない。子どもの人数と

アメの個数を求めなさい。

1 2 3 ･･･ x-1 x 12 個

1 2 ･･･ x-3 x-2 x-1 x4 個

　　　子どもの人数を x 人とすると，それぞれから求められるアメ

の

　個数は，アメの個数

5x 127x 4

5x+12 と 7x-4　となり，これが等しいので，5x+12=7x-4　これを解くと，5x-7x=-4-12 -2x=-16 x=8

子どもの人数　８人

　子どもの人数を ８人とすると，アメの個数は，5*8+12=52 ( 個 )7*8-4=52 ( 個 )アメの個数　 52 個

　 製品を送るため，箱を何箱か用意した。１箱に製品を５個ずつ

入れると 10 個が残ったので，６個ずつ入れると最後の箱は製品

が２個になった。箱の数と製品の数を求めなさい。

･･･ ･･･

12･･･x-1

x

　　　箱の数を x 個とすると，それぞれから求められる製品の数は，

製品の数

5x 106(x-1) 2

5x+10 と 6(x-1)+2　となり，これが等しいので，5x+10=6(x-1)+2　これを解くと，5x+10=6x-6+25x-6x=-6+2-10 -x=-14 x=14

箱の数　 14 箱

　箱の数を 14 箱とすると，製品の数は，5*14+10=806*13+2=80製品の数　 80 個

　 兄が， 1500 ｍ離れた駅に向かって家を出発した。それから10 分　　たって，弟が兄の忘れ物に気づき，自転車で同じ道を追

いかけた。　　兄は分速 60 ｍ，弟は分速 180 ｍで進むとすると，

弟は出発してから何分後に家から何ｍの地点で兄に追いつくか求

めなさい。

60 ｍ /

分

10 分

間180 ｍ /

分

x 分間

x 分間

　　　弟が出発してから x 分後に兄に追いつくとすると，

駅までの距離 (1500 ｍ )10 分

間

x 分間

x 分間

速さ ( ｍ /

分 )時間 ( 分 )距離 ( ｍ )

兄 弟60 18010+x x60(10+x) 180x　兄の進んだ距離 = 弟の進んだ距離 なので，^^^^^^60(10+x )=180x　これを解くと，^^^60(10+x ) ^^^^^^^180x__________=_____ 60 ^^^^^60 10+x=3x -2x=-10 x=5

　５分後に追いついたとすると，

それまでに進んだ距離は，兄 60*(10+5)=900 ( ｍ )弟 180*5=900 ( ｍ )

５分後に 900 ｍの地点で追いつく

　 例４で兄が家を出発してから 20 分たって，弟が追いかけたと

した，弟は出発してから何分後に兄に追いつくか求めなさい。

60 ｍ /

分

20 分

間180 ｍ /

分

x 分間

x 分間

　　　弟が出発してから x 分後に兄に追いつくとすると，

駅までの距離 (1500 ｍ )20 分

間

x 分間

x 分間

速さ ( ｍ /

分 )時間 ( 分 )距離 ( ｍ )

兄 弟60 18020+x x60(20+x) 180x　兄の進んだ距離 = 弟の進んだ距離 なので，^^^^^^60(20+x )=180x　これを解くと，^^^60(20+x ) ^^^^^^^180x__________=_____ 60 ^^^^^60 20+x=3x -2x=-20 x=10

10 分後に追いついたとすると，

それまでに進んだ距離は，兄 60*(20+10)=1800 ( ｍ )弟 180*10=1800 ( ｍ )10 分後に 1800 ｍの地点では駅を越え

てしまうので，追いつくことはできな

い

　 ふもとから山頂まで，分速 40 ｍで登るのと，同じ道を山頂か

ら　　ふもとまで，分速 70 ｍで下るのとでは，かかる時間が 60分違っていた。ふもとから山頂までの距離と，登りにかかった時

間を求めなさい。

　　　ふもとから山頂までの距離を x ｍとすると，

速さ ( ｍ /

分 )時間 ( 分 )距離 ( ｍ )

登り 下り40 70x___40 x___70x x　となり，登りの方が下りより 60 分，時間が多いので， x x___+60=___^^^^40 ^70

　これを解くと，7x+16800=4x 3x=16800 x=5600 ^^^^^^^ 距離が 5600 ｍ，登りの速さは分速 40 ｍであるので，

かかった時間は，5600____=140 40ふもとから山頂までの距離 5600 ｍ， 登りにかかった時間 140 分方程式を使って問題を解く手順 ① 求める数量を ^^^^x^^^^ で表す。

② 数量の間の関係を見つける。

③ 方程式をつくる。

④ 方程式を解く。

⑤ 方程式の解が，問題にあっているかどうか調べる。

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