Тема Тема

«Расчет определенных «Расчет определенных интегралов»интегралов»

Беспалова Виктория Юрьевна, учитель информатики,МОУ «Лицей №10», г. Каменск - Уральский

Проблема:Проблема: Необходимо вычислять интегралы, не Необходимо вычислять интегралы, не прибегая к нахождению первообразнойприбегая к нахождению первообразной

Гипотеза: Гипотеза: Существуют численные методы, помогающие Существуют численные методы, помогающие

произвести вычисления с достаточной степенью произвести вычисления с достаточной степенью точноститочности

Цель исследования:Цель исследования:

Нахождение численного метода, обеспечивающего Нахождение численного метода, обеспечивающего достаточную точность вычисления интеграладостаточную точность вычисления интеграла

Задачи:Задачи: Выбрать конкретную функцию и пределы интегрирования, Выбрать конкретную функцию и пределы интегрирования,

произвести вычисления аналитическим способом. произвести вычисления аналитическим способом. Выявить существующие численные методы по вычислению Выявить существующие численные методы по вычислению

определенных интегралов.определенных интегралов. Составить алгоритмы, позволяющие оформить их в качестве Составить алгоритмы, позволяющие оформить их в качестве

программы на ЭВМ.программы на ЭВМ. Провести компьютерный эксперимент.Провести компьютерный эксперимент. Проанализировать результаты.Проанализировать результаты. Сделать выводы.Сделать выводы.

Вычисление определенного интеграла Вычисление определенного интеграла

функции функции y=sin (x) y=sin (x) на отрезке на отрезке [0, [0, ππ/2/2]] аналитическианалитически

Метод левых Метод левых прямоугольниковпрямоугольников

var a,b,h,s,x:real; i,n:integer; begin writeln('Кол-во точек n'); read(n);

a:=0; b:=1.57; s:=0; h:=(b-a)/n; x:=a; for i:=1 to n do begin s:=s+h*sin(x); x:=x+h; end; writeln(s:10:8); end.

Метод правых прямоугольниковМетод правых прямоугольников

var a,b,h,s,x:real; i,n:integer;var a,b,h,s,x:real; i,n:integer; beginbegin writeln('writeln('КолКол--вово точекточек n'); n');

read(n);read(n); a:=0; b:=1.57;a:=0; b:=1.57; s:=0; h:=(b-a)/n; x:=a+h;s:=0; h:=(b-a)/n; x:=a+h; for i:=1 to n do beginfor i:=1 to n do begin s:=s+h*sin(x);s:=s+h*sin(x); x:=x+h;x:=x+h; end;end; writeln(s:10:8);writeln(s:10:8); end.end.

Метод средних прямоугольниковМетод средних прямоугольников

var a,b,h,s,x:real; var a,b,h,s,x:real; i,n:integer;i,n:integer;

beginbegin writeln('writeln('КолКол--вово точекточек n'); n');

read(n);read(n); a:=0; b:=1.57;a:=0; b:=1.57; s:=0; h:=(b-a)/n; s:=0; h:=(b-a)/n;

x:=a+h/2;x:=a+h/2; for i:=1 to n do beginfor i:=1 to n do begin s:=s+h*sin(x);s:=s+h*sin(x); x:=x+h;x:=x+h; end;end; writeln(s:10:8);writeln(s:10:8); end.end.

Метод трапецийМетод трапеций

var a,b,h,s,x:real; var a,b,h,s,x:real; i,n:integer;i,n:integer;

beginbegin writeln('writeln('КолКол--вово точекточек n'); n');

read(n);read(n); a:=0; b:=1.57;a:=0; b:=1.57; s:=0; h:=(b-a)/n; x:=a;s:=0; h:=(b-a)/n; x:=a; for i:=1 to n do beginfor i:=1 to n do begin s:=s+h*(sin(x)s:=s+h*(sin(x)

+sin(x+h))/2;+sin(x+h))/2; x:=x+h;x:=x+h; end;end; writeln(s:10:8);writeln(s:10:8); end.end.

Сравним результатыСравним результаты

МетодМетод n=50n=50 n=100n=100 n=500n=500

Левых Левых прямоугольниковпрямоугольников

0,983424580,98342458 0,991333150,99133315 0,997632850,99763285

Правых Правых прямоугольниковпрямоугольников

1,014821571,01482157 1,007033151,00703315 1,000772851,00077285

Средних Средних прямоугольниковпрямоугольников

0,999244720,99924472 0,99973940,9997394 0,999204080,99920408

ТрапецийТрапеций 0,999121570,99912157 0,999183150,99918315 0,999202850,99920285

ВыводыВыводы

Таким образом,Таким образом,

1) 1) Наилучшими оказались методы средних прямоугольников и Наилучшими оказались методы средних прямоугольников и трапеций, потому что они дают наиболее точные трапеций, потому что они дают наиболее точные результаты. При применении метода левых результаты. При применении метода левых прямоугольников результат оказывается с существенным прямоугольников результат оказывается с существенным «недостатком», а правых – с «избытком»«недостатком», а правых – с «избытком»

2) 2) При достаточно большом При достаточно большом nn можно считать, что цель можно считать, что цель достигнута и определенный интеграл может быть вычислен достигнута и определенный интеграл может быть вычислен с допустимой погрешностью.с допустимой погрешностью.