第六章 中心力场

如 Kepler 运动：例

§1 中心力场中粒子运动的一般规律

地球同步卫星（ 1 ）引力场中的运动

角动量守恒

（ 2 ）库仑场中的运动 ( 经典理解 )

如原子体系： 电子的运动

共同特点：在中心力场中角动量概念非常重要。

角动量的经典表示：

所以，经典角动量是守恒量

则

prL

是中心力场，梯度方向就是径向

)(rV

r

rV

r

rr

d

)(d

)]([1

rVrpp

t

prp

t

r

t

L

d

d

d

d

d

d

)0( pp

0

考虑角动量的经典表达式，有0pL

0rL

又是守恒量，而 L

故粒子的运动必为平面运动，

平面的法线方向即为 的方向。L

下面我们看量子力学中的角动量问题。1 、角动量守恒与径向运动

)(ˆ2

1ˆ 2 rVpH

若势场为 V(r) ，粒子的质量为 μ ，则哈密顿量

可以写为 )(2

22

rV

这从 与 和 的方向关系上能看出来。L

r

p

此时，角动量是否为守恒量？由角动量分量与动量各分量对易式

所以，与经典力学中一样，角动量也是守恒量

容易证明由角动量只与角度 θ、 φ 有关，

kijkji pipL ˆ]ˆ,ˆ[

0]ˆ,ˆ[ 2 pL

0)](,ˆ[ rVL

0],ˆ[ HL

zyxji ,,,

则有

这样

因为所研究的问题具有球对称性，故一般采用球坐标系。此时

2

2

2

2

22

ˆ1

r

Lr

rr

2

22

22

ˆ)(

1

r

L

rr

rr

2

22

ˆˆ

r

Lpr 222ˆ p

故能量本征值方程可以写为

ErVr

Lr

rr

)(2

ˆ1

2 2

2

2

22

ErV

)(

22

2

径向动能 离心势能 (Centrifugal potential)

或

kijkji LiLL ˆ]ˆ,ˆ[

0]ˆ,ˆ[ 2 pL

0)](,ˆ[ rVL

0]ˆ,ˆ[ HL

0],ˆ[ 2 HL

0],ˆ[ 2 zLL

根据上述讨论，有

}ˆ,ˆ,ˆ{ 2zLLH 构成守恒量的完全集合。所以

的共同本征态。

和是能量本征值方程的解也上述

zL

L

ˆ

ˆnHamiltonia 2

的共同本征态为和设 zLL ˆˆ2

),()(),,( lml YrRr

;,2,1,0 l其中

程，得径向方程代入上述能量本征值方

0)()1(

))((21

222

2

rRr

llrVE

dr

dRr

dr

d

r l

0)()1(

))((2

)(2

)(222

2

rRr

llrVErR

dr

d

rrR

dr

dlll

或

llllm ,1,,1,

[ 注 ] ：

（ 2 ）由于中心力场的球对称，致使径向方 程中不含磁量子数 m ，因此能量与 m 无关

一般说来，中心力场中粒子的能量是（ 2l+1 ）重简并。

（ 1 ）不同的中心力场 V(r) 决定不同的波函 数 R(r) 及能量本征值 E 。

对称元素越多，对称性越强

试比较圆周和球面的对称性

改变这些元素不影响某物理量的描述

令

r

rrRl

)()(

代入上述径向方程，则有

0)()1(

))((2)(

222

2

rr

llrVE

dr

rdl

l

(1) 当 l=0 时，方程类似粒子一维运动方程(2)方程中出现一项由轨道角动量引起的 ——附加势能 离心势能

动量愈大，则离心势能愈大，能级愈高，离心势能是正定的。因此，中心力场中粒子的基态必属于 l=0 的态。

[ 注 ] ：

惯。。这是原子光谱学的习

的态分别记为也增大离心势能增加增加给定时同样当

,,,,

,3,2,1,0,

,,,

fdps

lE

ln

ln

r

r

时能级的编号。可作为给定

可知，而由边界）和括数（节点不包它们表示波函数的节点

l

nErr rlnr,0

。束，将出现径向量子数件的约时，由于束缚态边界条当,2,1,0

0

rn

E束缚态密切相关。

连续态，或径向方程的解与 00)3( EE

在研究具体问题以前，先简介奇点概念对方程

)()( 2 xqxxxp ，

0''' qypyy

如果 在 x=a 处不解析，则 x=a 点为非正则奇点；若在 x=a 处解析，则x=a 点为正则奇点；比如对方程

0)(])1(2

2[''2

rr

ll

rE ll

r0r 为正则奇点， 为非正则奇点。

2 、径向波函数在 r→0 邻域的渐近行为

现在设 V(r) 满足条件

12 ssrrV )(

0)(lim 2

0

rVr

r

其中通常的中心力场都满足这种条件，如

谐振子势

库仑势Yukawa 势 rerrV 1)(

1)( rrV

2)( rrV

等

显然， r=0 为正则奇点。

可写为

在此条件下， Rl(r) 满足的径向方程

0)()1(

))((2

)(2

)(222

2

rRr

llrVErR

dr

d

rrR

dr

dlll

0)()1(

)(2

)(22

2

rRr

llrR

dr

d

rrR

dr

dlll

（ ？）先乘 r2 再取极限，利用极限条件 最后除以 r2

的区别与注意 ErRr l 22 ''

（此处不涉及另一奇点 r→∞ ）

设 sl rrR ~)( 代入上述径向方程

得 r 最低次幂所满足的指标方程：

0)1()1( llss

s=l 和 s=-(l+1)

故当 r→0 时，有

)1(~)(~)( ll

ll rrRrrR 或

根据

根据波函数的统计解释 , 当 r→0 时 , 若s

l rrR ~)(

则 s<3/2 。很显然，当 l≥1 时， (l+1) 不满足s 具备的条件，所以取 l

l rrR ~)(

r

rrRl

)()(

)(r此时 满足

0)(lim)(lim00

rrRr lr

lr

这是个重要的条件，以后会经常用到。

3 、两体问题化为单体问题 实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题。

设二粒子的质量分别为 m1 和 m2 ，相互作用势为

|)(| 21 rrV

二粒子体系的能量本征方程为

),(),(|)(|22 2121212

2

2

11

2

rrErrrrVmm t

引入质心坐标及相对坐标

2222

2

21

1

1111rRMmm

其中 M = m1+m2 （总质量）

21 rrr

21

2211

mm

rmrmR

可以证明

)( 2121 mmmm （约化质量）

2

2

2

2

2

22

ZYXR

2

2

2

2

2

22

zyxr

这样，能量本征值方程化为

trR ErV

M

)(

222

22

2

且

令 )()( rR

代入上式，分离变量后，得

)()(2

22

RERM cR

)()()(2

22

rErrV

其中 E = Et - Ec

作变换的优点是：分成两部分，分别求解 化整为零

描述质心运动 描述相对运动

（ 1 ）描述质心运动的是一个自由粒子的波动 方程， Ec 是质心运动能量，这一部分与 我们研究的体系的内部结构无关，常常 不考虑。

说明：

（ 2 ）描述相对运动部分的方程与单体波动方程 完全一样 , 其中 E 是相对运动能量，只不过 把理解为约化质量。

对方程 )()(2

22

RERM cR

)()()(2

22

rErrV

附

21

21

21

21

zzz

yyy

xxx

rrr

M

zmzmZ

M

ymymY

M

xmxmX

M

rmrmR

2211

2211

2211

2211

XM

m

xXx

X

xx

x

x

1

111

XM

m

xXx

X

XM

m

xxx

x

x1

1

1

121

2

2

2

2

211

2

2

2XM

m

XxM

m

x

这样

同理：

2

2

2

211

2

2

21

2

2YM

m

YyM

m

yy

2

2

2

211

2

2

21

2

2ZM

m

ZzM

m

zz

22

2112

21

21

21

21 2 RRrr M

m

M

m

zyx

同理： 22

22222

2 2 RRrr M

m

M

m

RrRr M

m

M

m

m12

2

212

1

2

22

),(),()( rRErRrV t

),(),()(22

22

22

rRErRrVM tRr

从而有：

RrRr M

m

M

m

m22

2

222

2

2

22

§2 球方势阱质量为 μ 的粒子，在半径为 a的球方势阱中运动，如右图。其势函数为：

a

ar

arrV

0)(

见右图

V(r)

a r0

（ 1 ）先考虑 l=0状态（ s 态）显然属于中心力场问题，只存在束缚态

此时径向方程为

令

r

rrRl

)()(

0)())((2)(

0220

2

rrVE

dr

rd

0)(0)0( 00 a而 为边界条件

非常类似一维粒子在势场中的运动。

考虑上述方程解的情况

在阱外，显然 0)(0 r

在阱内

)0(2

EE

k

0)('' 02

0 rk

其中

其解可以表示为 sinkr的形式。

由边界条件 sinka=0 得

ka=(nr+1)π nr=0， 1， 2， ...

将由此得出的 k的形式代入前式，得

能量本征值

0rnEE 2

222

2

)1(

a

nr

nr=0， 1， 2， ...

相应的归一化波函数为

0

20 1d|| r

rn

)0( ar ra

n

ar r

nr

)1(sin

2)(0

且

（ 2 ）现在考虑 l≠0 的状态此时径向方程为

0)()1(

)(2

)(2

22

2

rR

r

llkrR

dr

d

rrR

dr

dlll

kr0)( aRl

)0( ar

边界条件为引进无量纲变量 无量纲？

利用2

22

2

2

d

d

d

d

ll R

kr

R

dd

d

d ll Rk

r

R 及

则方程可化为

0)1(

12

22

2

lll R

llR

d

dR

d

d

此即球 Bessel 方程。其解为球 Bessel 函数 jl(ρ) 和球 Niumann 函数 nl(ρ)的线性组合。

球 Bessel函数 )(2

)(2

1

ll Jj

球 Niumann函数 )(2

)1()()

2

1(

1

l

ll Jn

0])2/1(

1[)('1

)(''2

2

ul

uu

为求解方便，想法将上述方程变为 Bessel方程。 为此令

)(u

Rl

代入上述球 Bessel 方程，得

它是 l+1/2阶 Bessel 方程。两个线性独立的解为。与 )()( 2/12/1 ll JJ

这样可定义球 Bessel 函数和球 Neumann 函数

)(2

)(2

1

ll Jj

)(2

)1()()

2

1(

1

l

ll Jn

它们在 ρ→0 时的渐近行为是

!)!12( l

l)(lj0

)1(

!)!12(

l

l

)(ln 0

此时由 ~lR ),(lj )(ln)(u

Rl 得

对方程!)!12( l

l)(lj

0

1

!)!12(

l

l

)(ln

0

其中 !! 表示双阶乘，比如 5!!=5×3×1

如果把 ρ=0 点包括在内， nl(ρ) 解必须抛弃。因而球方势阱内有界解取

)(krjl~)(rRl

k 由边界条件 Rl(ka)=0 或 jl(ka)=0确定。

因为 j 与 ka 是三角函数关系，所以当 a 取有限值时， k 只能取一些分立的值。令 jl(x)=0 的根依次记为

,2,1,0, rln nxr

则由能量本征值

lnrxka ,2

22kE

及可得

个根。的第是使其中 )1(0, rlln njxr

,2,1,0rn2,2

2

, 2 lnln rrx

aE

当 a 有限时，与 相应的径向本征函数为lnrE

axk lnln rr/

a

nnlnln rrrrrrrRrR

0

'2

' d)()(

2/1113

)]()(/2

[ akjakja

c lnllnlln rrr

)()( rkjcrR lnllnln rrr

且

其中

当 a→∞ 时，根据 (见附录 )

x

x0)

2cos(

1

lx

x)(xnl

0)2

sin(1

l

xx

)(xjl

则 jl(ka)=0自动满足。

E 无任何限制，可连续变化

因为 a 无任何限制k 无任何限制

2

22kE

axk lnln rr/

由

由

由前面的知识可知，连续变化的本征态是不能归一化的。为了实现归一化，常取如下径向波函数

0

2' )'(d)()( kkrrrRrR lkkl

)(2

)( krkjrR lkl

这样

使其“归一化”为 δ函数。作为中心力场的例子，前面我们研究了球方势阱。下面看另一个例子。

§3 氢原子 氢原子是最简单的原子， Schrödinger 方程可以严格求解，从而成为研究复杂原子性质的基础，曾为量子力学发展提供了重要线索。

1 、径向波函数及其满足的方程

选择无穷远处为零势点，其库仑吸引势可表为

r

erV

2

)(

0)1(

)(2

d

d2

d

d2

2

22

2

l

ll Rr

ll

r

ZeE

r

R

rr

R

径向波函数满足方程

)0( r

),()( rrRr ll 令)(rl 满足下列方程

利用复合函数求导方法可知

0)0( l

0)()1(

)(2

)(''2

2

2

r

r

ll

r

eEr ll

边界条件为

pe

pe

mm

mm

其中

pe mm , 分别为电子和质子的质量。

在以下计算中采用原子单位： 1 e

计算结果出来后再添上各物理量的相关单位。此时方程化为

0)(])1(2

2[''2

rr

ll

rE ll

显然此方程有两个奇点： rr ,0

0)(])1(2

2[''2

rr

ll

rE ll

中，

r

0r 为正则奇点，

为非正则奇点。

上述方程可化为合流超几何方程求解。

根据前面所介绍的正则奇点和非正则奇点的知识，显然方程

2 、径向方程的求解（ 1 ）当 r→0 时 根据方程

0)1(

)(2

d

d2

d

d2

2

22

2

l

ll Rr

ll

r

ZeE

r

R

rr

R

由前面给出的条件

sl rrR ~)(

0)(lim 2

rVrr

令 代入上述方程，得指标方程

0)1()1( llss

（一般中心力场都满足这个条件）

1~ lll rrR ，从而有

由此给出 )(rl 1~ lr lr 或0r

lrR

但对后一解，有界条件要求 l<3/2

但 l 的取值范围 ,2,1,0l

决定了这一解不符合要求，故去掉，所以)(rl 1~ lr

ll rR ~即

﹟

由此解出s=l

s=-l-1

（ 2 ）当 r→∞ 时 方程化为

rl er ~)(

E2

rl er ~)(

)0(0)(2)('' ErEr ll

故

且 （以后要用到）

但 不满足∞边界条件，故r

l er ~)(

0)(])1(2

2[''2

rr

ll

rE ll 因此方程

的解可以表为)()( 1 ruerr rl

l

问题： u(r) 是何种形式？ 将上述形式的解代入上面的方程，得

0]1)1[(2']2)1(2['' ulurlru 令 ξ=2βr ，有

0]1

)1[(d

d])1(2[

d

d2

2

ululu

时起作用0r 时起作用r

标准型为 0d

d)(

d

d2

2

uuu

其中参数为0

1

)1( l2)1(2 l

此方程在 邻域有界的解为 合流超几何函数

n

n n

n

n

!

1

)(

)(

0

!3)2)(1(

)2)(1(

2)1(

)1(1),,(

3

2

u

)1()2)(1()( nn 其中

nu ~),,(

容易证明： 时，无穷级数在

不满足束缚态边界条件 , 因此必须要求 ),,( u

中断为一个多项式。 这只有在 α=0 或负整数时可得到。 单纯 α=0 是没有意思的。故取

,2,1,0rnrnl

1)1(

现在令 1 lnn r ,2,1n 且 则

n

1

n

1 由 及 E2 得

2

2

1 E22

1

n

添上能量自然单位 2

4

e 得氢原子能量本征值为

22

4

2 n

eEE n

,3,2,1n2

0

2

2

1

na

e

其中 2

2

0 ea

是第一 Bohr半径，

它是长度的原子单位， n 为主量子数。

),22,(~)( 2

lnuerR rl

l

r

rrR l

l

)(~)( 因为

)()( 1 ruerr rll

以及 ξ=2βr

且

则相应的径向波函数可以写为

这里 r 20

2

na

r

（已添上 r 的自然单位）

归一化的径向波函数为),22,1()( 2

llnueNrR lnlnl

1d)]([ 22

0

rrrRnl

)!1(

)!(

)!12(

222/3

0

ln

ln

lnaNnl

归一化系数为

满足的归一化条件为

加上描述角向部分的球谐函数，则氢原子束缚态的本征函数为

),()(),,( lmnlnlm YrRr

最低几个能级的径向波函数是

1l

a

r

ea

r

aR 2

2/320 )2

1(2

1

,2n

a

r

ea

R

2/310

2,1n

0l

a

r

ea

r

aR 2

2/32162

1

0l

a

r

ea

r

a

r

aR 3

2/331 )6

1(627

8

a

r

ea

r

a

r

aR 32

2/330 ])(27

2

3

21[

33

2 0l

3n

1l

2l a

r

ea

r

aR 32

2/332 )(3081

4

根据能级公式 nE2

0

2

2

1

na

e

可以画出氢原子的能级图：

1

2

65

3

4

赖曼系（紫外区）

巴耳末系 (可见区 )

帕邢系布喇开系

氢原子能级图

-13.6eV

-3.39eV

-1.51eV

-0.85eV

Enl主量子数 n

12

1E

nEn

eVn2

6.13

由能级算出的光谱线频率和实验结果完全一致

可以看出， n=1 的能级掉得很低，这和库仑势在 r→0 时奇异性（ V→∞ ）有关。

处于基态的电子能量（ n=1,l=m=0 ）

1E eV6.132 0

2

a

e

即氢原子的离解能级随 n增大，能级的密度越来越大。 E≥0 时，能量连续，得到游离态。

讨论：1 、能级的简并度

20

2

2 na

eEn

其中

对能级

及波函数 ),()(),,( lmnlnlm YrRr

n 为主量子数

lnnr 1

1,,2,1,0 nl

,2,01rn

1 rnnl

由于所以相应的有 0,,2,1 nn

而对于给定的角动量 l ，磁量子数 m 可有 2l+1个取值，即 lllm ,,2,1,0,,1,

nE nlm因此属于 能级的所有简并量子态 数目为

1

0

)12(n

l

l 1)32()12( nn

2

2

1)12(nn

n

即对于给定的 n （能级一定）1,,2,1,0 nl

而对于给定的 l

lllm ,,2,1,0,,1,

( 等差数列 )

能级 En 的简并度为

1

0

)12(n

l

l 2n

比起一般中心力场的简并度 2l+1 要高。一般中心力场粒子的能级 lnr

E

lnr和依赖于量子数

但库仑场中 ,En 粒只依赖于 n,但是 n=nr+l+1

故 能级 En 除了对 m 简并，对 l 也是简并的。所以库仑场具有更高的对称性。对称元素越多 ,

对称性越高，简并度越大

从径向方程的求解过程可以看出，这是

rrV

1)( 导致的。

2 、径向位置几率分布

为）和的节点数（不包括 rrrnl 0)(

dd|| 22 rrnlm

电子的几率为球壳内找到中，在态 drrrrnlm ),,(

角向部分积分掉

rrnl d)]([ 2

rrrRnl d)]([ 22

r

rrR nl

nl

)()(

1 lnnr r

dr

其中 nr=0 称为圆轨道 ---- 无节点。

与旧量子论一致。

的极大位置由如 arera

/223

210

4||

称为最可几半径。nr

anrn2

可以证明，此时 的极值点所在21, |)(| rnn

位置为 ,3,2,1n

径（玻尔半径）为最小半且 ar

0||d

d 210

r确定。

见下图。

基态： n =1, l = 0

o

2

20

1 A529.0π4

me

hr

—玻尔半径

1rr

22nlRr

10

0 1

电子出现在 r = r1 的单位厚度球壳层内的概率最大

3 、几率密度分布随角度的变化

d),(d22

2

0

llmnl YrrrR

中找到电子的几率为方向的立体角元中，在态

d

),(),,( rnlm

d|)(cos| 2ml

P1|| 2 ime

显然，几率沿 z轴旋转对称。因为 Lz 是守恒量，故可以用通过 z轴的任意平面的曲线描述几率分布随 θ 角的变化。如

z

y

z

y

z

y

s 电子 p 电子

4 、电流分布与磁矩由几率流密度分布表达式

)(2

**nlmnlmnlmnlm

iej

)(2

**nlmnlmnlmnlm

ij

（表示单位时间通过某一截面的粒子数）

可得电子的电流密度（电子荷电量 -e)

利用球坐标中

sin

1ˆ

1ˆˆ

re

re

rer

容易求出 的各分量j

0 jjr

亦为实。部分是含 )(cos mlP

为实，部分考虑到波函数中含 )(rRr nl

来说两项相同。即，所以括号内对 r

)(2

**nlmnlmnlmnlm

iej

对

)(sin

1

2**nlmnlmnlmnlmr

iej

但

2||2sin

1

2 nlmimr

iej

imim imee

)(且

2||sin

1nlmr

me

j 是绕 z轴的环电流密度。见右图。通过 dσ的电流元为

dd jI

对磁矩的贡献为

2)sin( rS

cISM /dd z

其中 是环面积。因此总磁矩为

d||2

2nlmc

me

dsin2||2

2 rc

menlm

dsin

1 22 jrc IS

cM d

1z

dsin2d r其中 是细环的体积元。

（光速 c 是由高斯单位制所带来的常数）

c

eB

2

利用归一化条件后有

mBc

meM

2z

其中 为 Bohr 磁子。

可见，磁矩与 m 有关， m 称之为磁量子数。对 s态， l=0,m=0

磁矩为 0，电流为 0。故

注意： Mz是很重要的，因为MzB是相互作用能 以后经常碰到。

另外，由上式可知

c

e

m

M

2z

。因子为为单位，则取 12

gc

e

分量。为轨道角动量的zm

因子值或上式比值称为回转磁比 g

5 、类氢离子

共同特点： 原子实 一个核外电子+

类氢离子，如 Be，Li，He

上述结果也都适用。 只需①核电荷 +e→+Ze或 e2→+Ze2

②约化质量 μ→相应的约化质量比如对能级公式

22

4

2 n

eEn

22

24

2 n

ZeEn

作业： p189, 1,3,4

§4 三维各向同性谐振子质量为 μ 的粒子在势场 V(r) 中运动

22

2

1)( rrV

ω是刻画势阱强度的参量。径向方程为

0)1(

2

1(

222

2222

2

lll R

r

llrE

dr

dR

rdr

Rd

仍然采用自然单位来化简方程。

0)1(

2

1(

222

2222

2

lll R

r

llrE

dr

dR

rdr

Rd

化为

1 令 则径向方程

0)1(

22

22

2

2

lll R

r

llrE

dr

dR

rdr

Rd

上式出现两个奇点：r=0 为正则奇点；r=∞ 为非正则奇点

必须把奇异性分离出来。

r=0 时径向方程

0)1(

22

22

2

2

lll R

r

llrE

dr

dR

rdr

Rd

可写为

不满足波函数在 r=0 处的有界条件

0)1(2

2

lll R

r

llR

rR

)1(,~)( lll rrrR

0l )1( lr

Rl(r) 有两个解：

但因 解

因此，只能取 )0~(~ rrR ll

但 不满足波函数在无穷远处的边界条件（几率为 0 ），故弃之

2

2

1

~r

l eR

因此，只能取有界解 )(~2

2

1

reRr

l

这样方程的解可表为

r→∞ 时，方程近似化为 022

2

ll Rr

dr

Rd

其渐近行为是2

2

1

~r

l eR

)()(2

2

1

ruerrRrl

l

代入方程

0)1(

22

22

2

2

lll R

r

llrE

dr

dR

rdr

Rd

)()(2

2

1

ruerrRrl

l

将式

可知 u(r) 满足

0)]32(2[)1(2 2

2

2

ulEdr

durl

rdr

ud

2r令 通过复合函数求导，上式化为

02

2/3

2)

2

3(

2

2

u

lE

d

dul

d

ud

这是合流超几何方程，相应参数为

2

3),

2

3(

2

1 lEl

方程有两个线性独立的解

,~0 121 lrr 时，由于

),2,1(~ 12 Fu

),,(~1 Fu

故有界解为

eF ~),,(时，但前已经证明，

],2

3),

2

3(

2

1[),,(~ lElFFu

不满足束缚态边界条件 , 所以必须使合流超几何函数中断为一个多项式 ,即 α=0 或负整数。

,2,1,02/)2

3( rr nnEl即

加上能量的自然单位，得

,2,1,0,)2

32( rr nlnE

2,1,0,)2

3( NN NEE

lnN r 2令

则

加上长度单位 ),1

(1 非整数参数r

可得相应的波函数为三项之积

222

1

,2

3,)(~)(

22

rlnFerrR r

rllnr

归一化后得

222

1

2

1

2

223

,2

3,)(

]!)!12[(!

!)!122(2)(

22

rlnFer

ln

nlrR

r

rl

r

rnl

ln

r

r

此时

0

22 1)]([ drrrR lnr

nr 表示径向波函数的节点数。

Nr=0 ， 1 ， 2 的径向波函数分别为

22

2

12

12

230 )(

!)!12(

2 rll

l erl

R

l

l

l rl

R )(!)!32(

2 2

13

231

222

1

2

3222

rl

er

知道了径向波函数，利用已知的球谐函数形式，很容易写出体系的波函数为

),()(),,( lmlnlmn YrRrrr

22

2

12

13

232 )(

!)!52(

2 rll

l erl

R

4422)52(

4

)52)(32(rrl

ll

讨论：1 、能级简并度

2,1,0,)2

3( NN NEE

能级也是等间距的。

这表现在

但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子能级是简并的。

NEE lnN r 2

同一个 N ，可有不同的 nr ， l

这是 V(r) ∝r2 的结果。

对于给定的 EN 或 N, nr=0,1,2,…(N-1)/2 或 N/2

)(0 为偶或 N

为奇）（NNNNnNl r 1,,4,2,2

12951 N

Nl

l,,2,0

)12(

括角向部分）为为偶，能级简并度（包如N

)2)(1(2

1 NN

)12

(2

1)12(

NN

1273 N

Nl

l,,3,1

)12(

为奇，能级简并度为如N

)2)(1(2

1 NN

)12

1(

2

3)12(

NN

可以看出 ,它高于一般中心力场中能级简并度 .

12 rrr

SSS比如

这是由于三维各向同性谐振子场的几何对称性比一般中心力场的几何对称性要高。

2 、在直角坐标系中求解 三维各向同性谐振子可分解为三个彼此独立的一维线性谐振子，其振动频率相同。体系的哈密顿算符为

Schrödinger 方程为

)(2

1ˆˆˆ

2

1ˆ 2222222 zyxpppH zyx

),,()(2

1ˆˆˆ

2

1 2222222 zyxzyxppp zyx

),,( zyxE

用分离变量法，哈密顿算符可写为

zyx HHHH ˆˆˆˆ

222

2

1ˆ

2

1ˆiii xpH

),,(3,2,1 zyxi

其中

)()()(),,( zyxzyxzyxzyx nnnnnn

zyxzyx nnnnnn EEEE

令相应的本征能量为

其中

,2,1,02

1

,2,1,02

1

,2,1,02

1

zzn

yyn

xxn

nnE

nnE

nnE

z

y

x

2

3NEEEE

zyx nnnN

),2,1,0( NnnnN zyx

则

其中

能级简并度：能级简并度：

则 (nx, ny) 可能取值的数目 ( 注意 ny 取值的个数 )

由由上式可以看出，满足上式可以看出，满足

着三维谐振子的能级具有简并特点。

zyx nnnN

zyx nnn ,,的的 的值事实上不止一组，这意味

对于给定 N ，

1,2,,1,,1 NNN

0,1,,2,1, NNNnn zy

NNnx ,1,,2,1,0 利用 利用 zyx nnnN 有

即当 N 给定时 , nx 可取 0,1,2,…,N 等 N+1 个值。

yxz nnNn

N

nxN

x

NNNnNf0

123)1()1()1(

)1(2

)11(

N

N

),,( zyx nnn所以 可能取值的数目，即量子态数目（简并度）为

nx,ny 都取定后 ,nz 只有一种取法 ,

即

1 xnN 个取法。

2

)2)(1( NN

xnN 等当 nx固定时， ny 有 0 ， 1 ， 2 ，…，

对体系的两个彼此不对易的守恒量 F 和 G ，若 ψ 是 F 和 H 的共同本征函数，则 Gψ 也是H 的本征函数 , 即体系的能级是简并的，本征值均为 E.

根据能级简并与守恒量关系的定理 (p138) ：

因此在能级有简并的情况下，定态波函数的选取是不唯一的。选 ψ 选守恒量完全集 [F,H]

选 Gψ 选守恒量完全集 [H]

这相当于选不同的守恒量完全集 。

在球坐标系中，力学量完全集为

在直角坐标系中，力学量完全集为

),,( zyxzyx nnn

zyx HHH ˆ,ˆ,ˆ

),,( rlmnr

mlnr ,,zLLH ˆ,ˆ,ˆ 2

相应的量子数为

其共同本征函数为

zyx nnn ,,相应的量子数为其共同本征函数为

对于基态 N=0 ，能级是不简并的，两种守恒量完全集的共同本征态应该相同。事实上，

2

3

4/1

2/1

0,0,0

222222 zyx

nnn ezyx

2/4/3

2/3

0,0,0

22rmln e

r

二者显然是相等的。﹟作业： p190 7