第六章静力学专题

第六章静力学专题

山西农业大学工学院

2工程力学教程电子教案静力学专题

第 6 章静力学专题

§6-2 摩擦

§6-3 重心

§6-1 桁架


§6-1 平面桁架的内力

1. 什么是桁架桁架是由细长直杆组成的几何形状不变的结构。

2. 工程实例

6.1.1 桁架的概念

所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。


例：地面卫星接收系统


例：海洋石油钻井平台


例：埃菲尔铁塔


(1) 杆件截面形状和尺寸设计； (2) 材料选取； (3) 强度校核。

3. 分析桁架内力的目的


6.1.2 模型的建立

1. 屋架结构的简化


2. 桁架简化的几个假设

(1) 各杆在节点处用光滑的铰链连接； (2) 各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； (3) 所有外力（主动力及支座约束力）都作用在

节点上，对于平面桁架，各力的作用线都在桁架的平面内。

根据上述假设，桁架的各个杆件都是二力杆。我们能比较合理的地选用材料，充分发挥材料的作用，在同样跨度和载荷情况下，桁架比梁更能节省材料，减轻自重。


3. 平面简单桁架的构成

在平面问题中，为保证桁架几何形状不变，可以由基本三角形 ABC 为基础，这时是 3 个节点，以后每增加一个节点，相应增加两根不在一条直线上的杆件，依次类推，最后将整个结构简支，这样构成的桁架称为平面简单桁架。


平面简单桁架杆件数 m 与节点数 n 之间的关系为：m=3+2(n-3)=2n-3

平衡方程数： 2n ，未知力数目： m+3

在支座约束力共有 3 个未知量而且布置恰当的情况下，平面简单桁架是静定的。

三个支座约束力既不汇交也不平行。


6.1.3 平面简单桁架的内力计算1. 节点法

例题 6-1

如图平面简单桁架，已知铅垂力 FC= 4 kN ，

水平力 FE =2 kN 。求各杆内力。

取节点为研究对象来求解桁架杆件的内力。


解：先取整体为研究对象 , 受力如图所示。由平衡方程

0 EAx FF，0 xF

0 CAyB FFF,0 yF

03 aFaFaF BEC

,0FM A

联立求解得 FAx= － 2 kN, FAy= 2 kN

FB = 2 kN

例题 6-1


取节点 A ，受力分析如图 , 设所有杆件均为拉杆。由平衡方程

解得 kN, 22AKF kN4 FAC

045 cos AKACAx FFF，0 xF

045 cos AKAy FF,0 yF

例题 6-1


,0 xF 045 cos KAKE FF

,0 yF 045 cos KAKC FF

例题 6-1

取节点 K ，受力分析如图。由平衡方程

解得，kN 2KEF kN 2KCFAKKA FF


045cos FFF CECDCA,0 xF

045 cos CECKC FFF,0 yF

取节点 C ，受力分析如图。由平衡方程

解得 ,kN22 FCE kN2 FCD

例题 6-1


取节点 D ，受力分析如图。由平衡方程

0 DCDB FF,0 xF

0DEF,0 yF

解得,kN2 FDB 0DEF

例题 6-1


例题 6-1

kN 22

kN 2

BE

BD

F

F解得

045cos FF BEBD,0 xF

,0 yF 045cos FF BEB

取节点 B ，受力分析如图。由平衡方程


例题 6-2

如图平面桁架，已知铅垂力 FC = 4 kN ，水平力 FE = 2 kN 。求 KE ， CE ， CD 杆内力。

2. 截面法


解：先取整体为研究对象 , 作受力图。由平衡方程

0 EAx FF，0 xF

0 CAyB FFF,0 yF

03 aFaFaF BEC

,0FM A

联立求解得

FAx= － 2 kN ， FAy= 2 kN ， FB = 2 kN

例题 6-2


由平衡方程

联立求解得, FCE kN22 , FCD kN2 kN 2KEF

045 cos CEKEAxCD FFFF

,0 xF

045 sin CECAy FFF,0 yF

0 aFaF AyKE ,0FMC

例题 6-2 作一截面 m-m 将三杆截断，取左边部分为分离体，作其受力图。


意义：简化计算 , 问题：能否去掉零杆 ?

3. 零杆在一定载荷作用下，桁架中轴力为零的杆件。


注意：

(1) 载荷改变后，“零杆”可以变为非零杆。因此，为了保证结构的几何形状在任何载荷作用下都不会改变，零杆不能从桁架中除去。

(2) 实际上，零杆的内力也不是零，只是较小而已。在桁架计算中先已作了若干假设，在此情况下，零杆的内力才是零。

(3) 首先判断出零杆，对简化桁架计算是有益的。


思考题 6-1

在图示载荷下，试判断下列各桁架中的零杆。


思考题 6-1参考答案：


4. 小结 (1) 节点法 (a) 一般先研究整体，求支座约束力； (b) 逐个取各节点为研究对象； (c) 求杆件内力； (d) 所选节点的未知力数目不大于 2 ，由此开始计算。 (2) 截面法 (a) 一般先研究整体，求支座约束力； (b) 根据待求内力杆件，恰当选择截面（直截面或曲截面均可）； (c) 分割桁架，取其一部分进行研究，求杆件内力； (d) 所截杆件的未知力数目一般不大于 3 。


试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。思考题 6-2



（取上半部分为研究对象可不求支座约束力）


试计算图示桁架中 1、 2 杆的内力。

思考题 6-3




摩擦滑动摩擦

滚动摩擦

静滑动摩擦动滑动摩擦

静滚动摩擦动滚动摩擦

摩擦干摩擦湿摩擦

摩擦§6-2


一、滑动摩擦0 xF

静滑动摩擦力的特点方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；

大小： maxs0 FF

NFfF smax （库仑摩擦定律）

0ST FF TS FF


大小： NFfF dd

sd ff （对多数材料，通常情况下）

动滑动摩擦力的特点

方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；


1 摩擦角

AFR

---全约束力

物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角 ---摩擦角

摩擦角和自锁现象

ftansf

N

max

F

F

N

Ns

F

Ff

全约束力和法线间的夹角的正切等于静滑动摩擦系数．

摩擦锥f

0


2 自锁现象


3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件

sftantan f

斜面自锁条件 f


螺纹自锁条件f


仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同．

2 严格区分物体处于临界、非临界状态；3 因，问题的解有时在一个范围内．maxFF s0

1 画受力图时，必须考虑摩擦力；

考虑滑动摩擦时物体的平衡问题

几个新特点


静滚动摩阻（擦）滚动摩阻（擦）的概念


0 xF 0s FF

0 AM 0 FRM

maxs0 FF

max0 MM

Nsmax FfF NFM max －－最大滚动摩阻（擦）力偶


滚动摩阻（擦）系数，长度量纲

的物理意义


使圆轮滚动比滑动省力的原因处于临界滚动状态

10015.33507.0s

1

2

Rf

FF

处于临界滑动状态NF

RF

1RFFM 1max N

2Nsmax FFfF Ns2 FfF

一般情况下， sfR

或 sfR

混凝土路面 mm15.3 7.0sf

例：某型号车轮半径， mm450R

21 FF 或21 FF ．


求：物块是否静止，摩擦力的大小和方向．

已知：。,N1500P ,2.0s f ,18.0d f 400F N

例 6-3


物块处于非静止状态．

,N8.269Ndd FfF 向上．

Nsmax FfF N8.299而

N1499N FN6.403s F ( 向上 )

解：取物块，画受力图，设物块平衡

030sin30cos0 s FPFFx

030cos30sin0 N FPFFy


已知： .,, sfP

水平推力的大小．求：使物块静止， F

例 6-4


画物块受力图推力为使物块有上滑趋势时， 1F

解：

Pθfθθfθ

Fsincoscossin

s

s1

Nsmax FfF

0sincos max1 FPF 0 xF

0cossin N1 FPF 0 yF


设物块有下滑趋势时，推力为 2F

画物块受力图0 xF 0'sincos max1 FθPθF

0 yF 0'cossin N1 FθPθF

'' Nsmax FfF

Pf

fF

sincos

cossin

s

s1

Pf

fFP

f

f

sincos

cossin

sincos

cossin

s

s

s

s


解:

物块有向上滑动趋势时用几何法求解

1max tan( )F P


tan( ) tan( )P F P

利用三角公式与 ,tan sf

sincos

cossin

sincos

cossin

s

s

s

s

f

fPF

f

fP

1min tan( )F P

物块有向下滑动趋势时


求：挺杆不被卡住之值 .as, , ,b d f已知：不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；

例 6-5


BBAA FfFFfF NsNs

解：取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置 .

0 xF 0NN BA FF

0 yF 0 FFF BA

s2

ba

f

挺杆不被卡住时s2

ba

f

0 AM

0)2

( N bFdFd

aF BB


解： tan)2

(tan)2

(d

ad

ab 极限极限

tan2 极限a s2a f 极限

s2

ba

f极限

s2

ba

f

用几何法求解


已知：物块重 P,鼓轮重心位于处，闸杆重量不计，，各尺寸如图所示 .

1O

sf

例 6-6

求：制动鼓轮所需铅直力 .F


解：分别取闸杆与鼓轮设鼓轮被制动处于平衡状态

对鼓轮， 01 OM 0sT RFrF

对闸杆， 0 OM 0sN cFbFFa

且 Nss FfF

而 ssT , FFPF

解得 s

s

( )rP b f cF

f Ra


（ 2 ）能保持木箱平衡的最大拉力 .

（ 1 ）当 D 处拉力时，木箱是否平衡 ?

求： Nk1F

已知：均质木箱重 ,kN5P s 0.4 ,f ,m22 ah ；o30例 6-7


解：（ 1 ）取木箱，设其处于平衡状态 .

0 xF 0cos FFs

0 yF N sin 0F P F

0 AM 02

cos N dFa

PhF

N866sF

N4500N F

m171.0d

而 N1800Nsmax FfF

因 s max ,F F 木箱不会滑动；

又 ,0d木箱无翻倒趋势 .

木箱平衡


（ 2 ）设木箱将要滑动时拉力为 1F

0 xF 0cos1 FFs

0 yF 0sin1N FPF

又Nsmaxs FfFF

s1

s

1876Ncos sin

f PF

f

设木箱有翻动趋势时拉力为 2F

0 AM 02

cos2

aPhF

N1443cos22

h

PaF 最大拉力为 N1443


求：作用于鼓轮上的制动力矩 .

例 6-8

各构件自重不计；

已知： ,N200Fs 0.5 ,f

2 2 0.5m ,KL O L R ,m75.01 BO

1 1m ,AC O D ,m25.0ED

1 2 1O O KD DC O A


10OM

011 BOFAOFAC

N300ACF

0 DM

0cos CDFDEF CAEK

N600cos EKF

0 xF cos 0Dx EKF F

600NDxF

（ a ）

(b) θ

解：分析 O1AB,画受力图

分析 DCE,画受力图


10OM

1 N1 1

10

2DxF O D F O D

N1 1200NF

20OM

2 2 2

1cos 0

2KE NF KO F KO

N2 1200NF

(c)

(d)

分析 O2K ，画受力图

分析 O1D,画受力图


300N mM

N2ss2 FfF

N1ss1 FfF

RFRFM O s1s2

分析鼓轮，画受力图


已知：抽屉尺寸 a ， b ， fs （抽屉与两壁间），不计抽屉底部摩擦；

例 6-9

求：抽拉抽屉不被卡住之 e 值。


解：取抽屉，画受力图，设抽屉刚好被卡住0 xF 0NN CA FF

0 yF 0 FFF sCsA

0 AM

0)2

(N eb

FaFbF CsC

AssA FfF NCssC FfF N

sf

ae

2

抽屉不被卡住， .sf

ae

2


求：保持系统平衡的力偶矩 .CM

已知： ,mN40 AM ,3.0sf 各构件自重不计，

尺寸如图；

例 6-10


(a) (b)

设时，系统即将逆时针方向转动1CC MM 解：画两杆受力图 .

0 AM

0N1 AMABF

0 CM

060cos60sin o

s1

o

N11 lFlFM C


又 1Ns1Ns1s1s FfFfFF

设时，系统有顺时针方向转动趋势2CC MM

画两杆受力图 .

02N AMABF

0 AM

1 70.39N mCM


又 2Ns2Ns2s2s FfFfFF

mN61.492 CM

系统平衡时

mN39.70mN61.49 CM

0 CM 060cos60sin o

2s

o

2N2 lFlFM C

(d)


求：使系统保持平衡的力的值 .

F

已知：力，角，不计自重的块间的

其它接触处光滑；

P

BA ,

静摩擦因数为，sf

例 6-11


解：取整体分析，画受力图

楔块向右运动A

设力小于时，1F

F

取楔块分析，画受力图A

0 yF 0N PF A

PF A N

)tan(

)tan(N1

P

FF A


)tan()tan(N2 θPθFF A

)tan()tan( PFP

设力大于时，2F

F

楔块向左运动A

取楔块分析，画受力图A


,N50BF 4.0Cf （杆，轮间）

已知：均质轮重 ,N100P 杆无重， ,, lr o60 时，

;2

lCBAC

例 6-12

轮心处水平推力 .

求：若要维持系统平衡轮心处水平推力 minF（ 1 ） ( 轮，地面间）， O3.0Df

（ 2 ）（轮，地面间），15.0DfminFO


解：小于某值，轮将向右滚动 .F

DC ,两处有一处摩擦力达最大值，系统即将运动 .

先设处摩擦力达最大值，取杆与轮 .(1) C

0 AM 02N lFl

F BC

N100N CF

N40Nmax CCCC FfFF


0 xF N minsin 60 cos 60 0C C DF F F F o o

0 OM 0 rFrF DC

N40 CD FF min 26.6F N

N6.184N DF

s max s N

s max s N

0.3 55.39

0.15 27.59D D

D D

f F f F

f F f F

N

N

当时，当时，

'N N 100NC CF F

0 yF 060sin'60cos'NN CCD FFPF


max0.3 40N ,s D Df F F 当时， D 处无滑动N6.26min F

max0.15 40N > ,s D Df F F 当时， D 处有滑动

处摩擦力达最大值，取杆与轮 .(2) D

0 AM 02N lFl

F BC

N100N CF 不变

CCCC FfFF Nmax 但


对轮 0 OM 0 rFrF DC

0 xF N minsin 60 cos 60 0C C DF F F F o o

0 yFN N cos 60 sin 60 0D C CF P F F o o

DDD FfF N

当时，15.0Df 解得 N4.172N DF

N86.25N DDCD FfFF

.N81.47min F处无滑动C


求：（ 1 ）使系统平衡时，力偶矩；BM

（ 2 ）圆柱匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的最小值 .

O

已知：； ,,, RP

例 6-13


0 AM

0sin max1T MRFRθP

0 yF 0cosN θPF

又 Nmax FM

0 AM

0sin max2T MRFRθP

0 yF 0cosN θPF

又 Nmax FM

解：（ 1 ）设圆柱有向下滚动趋势，取圆柱O O

设圆柱有向上滚动趋势，取圆柱O O

)cos(sin1T θR

θPF


系统平衡时 ( sin cos ) ( sin cos )BP R M P R

（ 2 ）设圆柱有向下滚动趋势 .O

0 yF 0cosN PF

s s N1 s cosF f F f P

sf R

则

同理，圆柱有向上滚动趋势时O 得 sf R

圆柱匀速纯滚时， .R

f

s

T max (sin cos )F PR

0 CM 0max MRFs

又 Nmax FM

s cosF PR

只滚不滑时，应有 θPfFfF sss cosN


拉动拖车最小牵引力（平行于斜坡） .F

F

求：

已知：其他尺寸如图；拖车总重 P, 车轮半径， ,,R

例 6-14


解：取整体0 xF 0sin PFFF BsAs

（ 1）

0 yF 0cosNN θPFF BA

（ 2）

0 BM

( ) cos sin 0AN A BF a b Fh P b P H M M （ 3）

NAA FM （ 4）

NBB FM （ 5）

能否用，Nss AA FfF

Nss BB FfF 作为补充方程 ?


取前、后轮01 OM 0s RFM AA

（ 6）02 OM 0s RFM BB （ 7 ）

七个方程联立解得 )cos(sinmin R

PF

意味什么？若，o90 则，PF min

意味什么？若，o0 则，PR

F

min

车轮半径，若拖车总重量，kN40P mm440R在水平路上行驶（）， mm4.40

kN4.0440

404.4min

P

RF

牵引力为总重的 1 ％。


地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力），其作用点的坐标 xi 、 yi 、 zi 与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而此力系的合力称为物体的重力。

iP

Δ

重心§6-3


平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用线上将有一确定的点 C ，当原力系各力的大小和作用点保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则合力也绕 C 点转过同一角度。 C 点称为平行力系的中心。对重力来说，则为重心。重心的位置对于物体的相对位置是确定的，与物体在空间的位置无关。


重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如，电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心的位置。


一、重心和形心的坐标公式1. 重心坐标的一般公式右图认为是一个空间力系，则 P=∑ΔPi

合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理

)(Δ)( iyy PMPM

iiC xPxP ΔP

xPx ii

C

Δ

同理有P

yPy ii

C

Δ


为确定 zC ，将各力绕 y 轴转 90º ，得

2. 均质物体的重心坐标公式

即物体密度是常量，则

P

zPz ii

C

Δ

ii VgPVgP ΔΔ,

,Δ

V

xVx ii

C

,Δ

V

yVy ii

C

V

zVz ii

C

Δ


上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。

V

xVx ii

C

Δ

V

yVy ii

C

Δ

V

zVz ii

C

Δ


3. 均质等厚薄板的重心和平面图形的形心对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为 xy 平面，则其重心的一个坐标 zC

等于零。设板厚为，则有 V =A· ， ΔVi = ΔAi·

上式也即为求平面图形形心的公式。

则A

xAx ii

C

Δ

A

yAy ii

C

Δ


二、确定重心和形心位置的具体方法

(1) 积分法； (2)

组合法； (3) 悬

挂法； (4) 称重

法。

具体方法：


1. 积分法对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有

V

Vzz

V

Vyy

V

Vxx

VC

VC

VC

d

,d

,d


若为平面图形，则

求图示半圆形的形心位置。A

Ayy

A

Axx A

CA

C

d,

d

例题 6-15


解：建立如图所示坐标系，则 xC= 0

现求 yC 。 222)( yRyb

yyRyybA d2d)(d 22

则

30

2

322

0

22

32

|)(32

d2

d

RyRyyRy

AyS

RR

Ax

例题 6-15


代入公式有

π34d R

A

S

A

Ayy xA

C

例题 6-15


2. 组合法当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。

下面通过例子来说明。

例题 6-16


解：取 Oxy 坐标系如图所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为：

A1= （ 200-20 ） ×20mm2

=3600 mm2

x1 = 10 mm

y1 = 110 mm

A2 = 150×20mm2

=3000 mm2

x2 = 75 mm

y2 = 10 mm

例题 6-16


由组合法，得到

xC = A1 + A2 A1 x1 + A2 x2 = 39.5 mm

yC = A1 + A2 A1 y1 + A2 y2 = 64.5 mm

另一种解法：负面积法

将截面看成是从 200mm×150mm

的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部分）而得到，从而

A1 = 200×150mm2

= 30000 mm2

例题 6-16


x1= 75 mm, y1= 100 mm

A2= -180×130 = -23400 mm2

两种方法的结果相同。

x2= 85 mm, y2= 110 mm

例题 6-16

mm5.39mm2340030000

85234007530000

Cx故

mm5.64mm2340030000

1102340010030000

Cy


3. 悬挂法以薄板为例，只要将薄板任意两点 A 和 B

依次悬挂，画出通过 A 和 B 两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心 C 的位置，如图。想一想，为什么？


4. 称重法对较笨重、形体较为复杂的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。

图示机床重 2500 N ，现拟用“称重法”确定其重心坐标。为此，在 B 处放一垫子，在 A 处放一秤。当机床水平放置时， A 处秤上读数为 1750N ，当 θ=20º 时秤上的读数为 1500 N 。试算出机床重心的坐标。

思考题 6-4


边长为 a 的均质等厚正方形板 ABCD ，被截去等腰三角形 AEB 。试求点 E 的极限位置 ymax 以保证剩余部分 AEBCD 的重心仍在该部分范围内。

例题 6-17


yC = A1 + A2 A1 y1 + A2 y2

解：分两部分考虑xC = 2

a

极限位置 yC= ymax

3/

2/I

max1

max1

yy

yaA

：

2/,II 22

2 ayaA ：

, 即2

max

2maxmax

max

2

232

aya

aa

yy

a

y

例题 6-17


解方程得

展开得

0362 2max

2max ayay

aay 634.04

326max

例题 6-17

2max

2maxmax

max

2

232

aya

aa

yy

a

y


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第六章 静力学专题

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