第三章 一阶微分方程的解的存在定理

需解决的问题

?,)(

),(1

00

0 的解是否存在初值问题

yxy

yxfdx

dy

?,,)(

),(2

00

0 是否唯一的解是存在若初值问题

yxy

yxfdx

dy

§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法

一 存在唯一性定理1 定理 1 考虑初值问题

)1.3(,)(

),(

00

yxy

yxfdx

dy

:),( Ryxf 在矩形区域其中 )2.3(,, 00 byyaxx ,上连续 :条件满足并且对 Lipschitzy

常成立使对所有即存在 RyxyxL ),(),,(,0 21

2121 ),(),( yyLyxfyxf

,)1.3( 0 上的解存在且唯一在区间则初值问题 hxx

),(),,min(),(

yxfMaxMM

bah

Ryx 这里

(1) 初值问题 (3.1) 的解等价于积分方程

)5.3(),(0

0 dtytfyyx

x

的连续解 .

证明思路

(2) 构造 (3.5) 近似解函数列 )}({ xn

dxfyxx

x0

))(,()( 001 得右侧的

代入任取一连续函数

,

)5.3(,)(),( 000

y

byxx

得右侧的代入否则将为解则若

,

)5.3()(,)(),()( 1001

y

xxxx

dxfyxx

x0

))(,()( 102

,

)5.3()(,)(),()( 2112

y

xxxx

右侧的代入否则将为解则若

,))(,()(0

01 dxfyxx

x nn

,)( 0 byxn 这里要求

,)(),()(1 为解则若 xxx nnn

)}({ xn列否则一直下去可得函数

( 逐步求 (3.5) 的解 , 逐步逼近法 )

).(],[)}({)3( 00 xhxhxxn 上一致收敛于在函数序列

这是为了 dxfyxx

x nn

nn

0

))(,(lim)(lim 01

dxfyx

x nn

0

))(,(lim0

即 ,))(,()(0

0 dxfyxx

x

)).(,(

],[))}(,({ 00

xxf

hxhxxxf n

致收敛于

上一在只需函数列

)()())(,())(,( xxLxxfxxf nn 由

).(],[)}({ 00 xhxhxxn 上一致收敛于在只需

),())()(()(1

10 xxxx n

n

kkk

由于

等价于函数项级数敛性

上一致收在于是函数列

,

],[)}({ 00 hxhxxn

,))()(()(1

10

nnn xxx

.],[ 00 上一致收敛性在 hxhx

.

],[)5.3()()4( 00

且唯一上连续解定义于是积分方程 hxhxx

下面分五个命题来证明定理 , 为此先给出

积分方程的解

如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数 , 则称这样的关系式为积分方程 .

积分方程

.,)(:0

程就是一个简单的积分方如 xx dttyey

.)(,

))(,()(

),(],[

,),(

0

0

0

0

为该积分方程的解则称上恒成立在区间

使得上的连续函数

如果存在定义在区间对于积分方程

xyI

dtttfyx

xyI

dtytfyy

x

x

x

x

命题 1 初值问题 (3.1) 等价于积分方程

)5.3(),(0

0 dtytfyyx

x

证明 : 则的连续解为若 ,)1.3()(xy

,)(

))(,()(

00

yx

xxfdx

xd

取定积分得到对第一式从 xx0dxxxfxx

x

x0

))(,()()( 0

即 dxxxfyxx

x0

))(,()( 0 .)5.3()( 的连续解为故 xy

)1.3(,)(

),(

00

yxy

yxfdx

dy

则有的连续解为若 ,)5.3()(xy 反之

dtttfyxx

x0

))(,()( 0

,),( 上连续在由于 Ryxf ,))(,( 连续从而 ttf

故对上式两边求导 , 得

))(,()(

xxfdx

xd

且 000

0

0

))(,()( ydxxxfyxx

x

.)1.3()( 的连续解为即 xy

构造 Picard 逐步逼近函数列 )}({ xn

00 )( yx

00 1 0 0( ) ( , ( ))

x

n nxx y f d x x x h

),2,1( n

)7.3(

问题 : 这样构造的函数列是否行得通 , 即上述的积分 是否有意义 ?

.)(,

,)(

00

0

的常数值往往取方便但实际上为可任取一般来说连续函数

yx

x

注

命题 2 连续且满足和对于所有 )(],,[ 00 xhxxxn n

)8.3(,)( 0 byxn

证明 :( 用数学归纳法 )

时1n dyfyxx

x),()( 001

0

且上连续在显然 ,],[)( 001 hxxx

01 )( yx dyfx

x0

),( 0 dyf

x

x),( 0

0

0xxM Mh b

),min(M

bah),(

),(yxfMaxM

Ryx

,2 时成立当设命题 kn 上连续且在即 ],[)( 00 hxxxk byxk 0)(

时当 1kn dfyx k

x

xk ))(,()(0

01

,),( 上连续性知在由 Ryxf

上连续在 ],[))(,( 00 hxxxxf k

上连续且在从而 ],[)( 001 hxxxk

01 )( yxk df k

x

x))(,(

0 df

x

x k0

))(,(

0xxM Mh b

,12 时成立当即命题 kn ,2 都成立对所有从而命题 n

命题 3 .],[)}({ 00 上一致收敛在函数序列 hxxxn

].,[),()(lim 00 hxxxxxnn

记

证明 : 考虑函数项级数

)9.3(],,[,))()(()( 001

10 hxxxxxxn

nn

它的前 n 项部分和为

),())()(()()(1

10 xxxxxS n

n

kkkn

.)9.3()}({ 一致收敛性等价一致收敛性与级数于是 xn

对级数 (3.9) 的通项进行估计

)()( 01 xx dfx

x0

))(,( 0 0xxM

)()( 12 xx dffx

x 0

))(,())(,( 01

dLx

x 0

)()( 01

dxMLx

x 0

)( 02

0 )(2

xxML

,条件得到的其中第二个不等式是由Lipschitz

条件由Lipschitz

有不等式设对于正整数 ,n

)()( 1 xx nn ,)(! 0

1n

n

xxn

ML

条件有由时则当 Lipschitzhxxx ,00

)()(1 xx nn dffx

x nn 0

))(,())(,( 1

dLx

x nn 0

)()( 1

dxn

ML x

x

nn

0

)(! 0 ,)(

)!1(1

0

n

n

xxn

ML

于是由数学归纳法得知 , 对所有正整数 n, 有

)()( 1 xx nn ,)(! 0

1n

n

xxn

ML

)11.3(,00 hxxx

,00 时从而当 hxxx

)()( 1 xx nn nn

xxn

ML)(

! 0

1

,!1

1

收敛由于正项级数

n

nn

hn

ML

.],[)9.3(, 00 上一致收敛在级数判别法知由 hxxsWeierstras

.],[)}({ 00 上一致收敛在因而函数序列 hxxxn

,!

1n

n

hn

ML

现设),()(lim xxn

n

,00 hxxx

,],[)}({ 00 得的连续性和一致收敛性在则由 hxxxn 且上连续在 ,],[)( 00 hxxx

byx 0)(

命题 4 .],[)5.3()( 00 上连续解定义于是积分方程 hxxx

证明 : 条件有由Lipschitz ))(,())(,( xxfxxf n )()( xxL n

,],[)}({ 00 的一致收敛性得在以及 hxxxn

)},({ xfn函数列

)),(,(],[ 00 xxfhxx 上一致收敛于函数在

)))(,()(( xxfxf nn

得两边取极限因此对 ,)7.3(

)(lim xnn

dxfyx

x nn

0

))(,(lim 10

dxfyx

x nn

0

))(,(lim 10

即)(x dxfy

x

x0

))(,(0

.],[)5.3()( 00 上连续解定义于是积分方程故 hxxx

命题 5

].,[),()(,

],[)5.3()(

00

00

hxxxxx

hxxx

则一个连续解上的定义于是积分方程设

证明 : ,)()()( xxxg 设

,],[)( 00 上非负连续函数是定义于则 hxxxg

dx，fyxx

x0

))(,()( 0 dxfyxx

x0

))(,()( 0 由

条件得的及 Lipschitzyxf ),(

)()()( xxxg dxfdxfx

x

x

x 00

))(,())(,(

dxffx

x 0

)))(,())(,((

dxffx

x 0

))(,())(,(

dxLx

x 0

)()( dxgLx

x0

)(

dxffxgx

x 0

)))(,())(,(()(

,)()(0

dxgLxux

x 令

,],[)( 00 上连续可微函数是定义于则 hxxxu

于是且 ),()(),()(0,0)( '0 xLgxuxuxgxu

),()(' xLuxu ,0))()(( ' LxexLuxu

,0)()( 00 LxLx exuexu

积分得到对最后一个不等式从 xx0

,0))()(( ' LxexLuxu

,0)()( xuxg故 ].,[,0)( 00 hxxxxg 即

综合命题 1—5 得到存在唯一性定理的证明 .

)()(0 xuxg

一 存在唯一性定理1 定理 1 考虑初值问题

)1.3(,)(

),(

00

yxy

yxfdx

dy

:),( Ryxf 在矩形区域其中 )2.3(,, 00 byyaxx ,上连续 :条件满足并且对 Lipschitzy

常成立使对所有即存在 RyxyxL ),(),,(,0 21

2121 ),(),( yyLyxfyxf

,)1.3( 0 上的解存在且唯一在区间则初值问题 hxx

),(),,min(),(

yxfMaxMM

bah

Ryx 这里

命题 1 初值问题 (3.1) 等价于积分方程

)5.3(),(0

0 dtytfyyx

x

构造 Picard 逐步逼近函数列 )}({ xn

00 )( yx

hxxxdxfyxx

x nn 00100

))(,()(

),2,1( n

命题 2 连续且满足和对于所有 )(],,[ 00 xhxxxn n

)8.3(,)( 0 byxn

命题 3 .],[)}({ 00 上一致收敛在函数序列 hxxxn

命题 4 .],[)5.3()( 00 上连续解定义于是积分方程 hxxx

].,[),()(lim 00 hxxxxxnn

记

命题 5

].,[),()(,

],[)5.3()(

00

00

hxxxxx

hxxx

则一个连续解上的定义于是积分方程设

2 存在唯一性定理的说明

.

,,

),,()1(

件容易判断的两个充分条下面给出在实际应用中一般比较困难条件满足验证它是否关于根据定义去上有定义的函数对于给定在

Lipschitzy

yxfR

.),(,

),(),(10

条件满足上关于在则有界

存在且的偏导数上关于在如果

LipschitzyRyxf

yxfyRyxf y

.),(

,),(),(20

条件满足上关于在则

连续的偏导数上关于在如果

LipschitzyRyxf

yxfyRyxf y

),(),( 21 yxfyxf 21212 ))(,( yyyyyxf y

21 yyL

的几何意义定理中 },min{)2(M

bah

,),( MyxfR 中有在矩形

,)1.3( 之间与的解曲线的斜率必介于故初值问题 MM

,),( 00 的直线和分别作斜率为过点 MMyx

;

)(),

)((

00

中有定义

在解所示

如图时当

axxax

xy

aa

bM

.)(

,,,

;

)(),)((

00

00

内在证解

才能保时只有当使得无意义外去

矩形它有可能在区间内跑到中有定义

在不能保证解所示如图时而当

RxyM

bxx

M

bxR

axxax

xyba

bM

.0 hxx 范围为

故要求解的存在

即为线性方程时当方程 ,)1.3()3(

)()( xQyxpdx

dy

.,

],[,],[,)(

,1,],[)(),(

000

且连续有定义在所确定的解且任一初值

的条件能满足定理上连续时在则当

xyxy

xQxP

3 一阶隐方程解存在唯一性定理定理 2 考虑一阶隐方程

)5.3(,0),,( ' yyxF

的某邻域中满足如果在点 ),,( '000 yyx

,),,(),,(1 ''0 连续且存在连续偏导数对所有变元 yyxyyxF

,0),,(2 '000

0 yyxF ,0),,(

3'

'0000

y

yyxF

则方程 (3.5) 存在唯一解

)(),( 0 为足够小的正数hhxxxyy

满足初始条件

)8.3(,)(;)( '00

'000 yxyyxy

三 近似计算和误差估计求方程近似解的方法 ---Picard 逐步逼近法 , 这里

00 )( yx

hxxxdxfyxx

x nn 00100

))(,()(

),2,1( n

内误差估计为在和真正解次近似解对方程的第

],[

)()(

00 hxhx

xyxn n

)19.3(,)!1(

)()( 1

n

n

n hn

MLxx

注 : 上式可用数学归纳法证明

)()(0 xx dfx

x0

))(,( 0xxM Mh

,!

)(!

)()(1

0

1

1n

nn

n

n hn

MLxx

n

MLxx

设

则 )()( xxn dffx

x n 0

))(,())(,( 1

dLx

x n 0

)()(1 dxn

ML x

x

nn

0

)(! 0

10 )(

)!1(

n

n

xxn

ML.

)!1(1

n

n

hn

ML

)(

,,,

xn数选取适当的逐步逼近函可以根据误差要求在进行近似计算时这样

例 1 讨论初值问题

0)0(,22 yyxdx

dy

解的存在唯一区间 , 并求在此区间上与真正解的误差不超.11,11:,05.0 yxR其中的近似解的表达式过

解 ,2),(),(

yxfMaxMRyx

这里2

1}2

1,1min{ h所以

由于 yy

f2

L2

由 (3.19)1

)!1()()(

n

n

n hn

MLxx

1)()!1(

1

nLh

nL

M

)!1(

1

n 05.0

05.0)!1(

1

n作出如下的近似表达式因此我们可以因而可取 ,3n

,0)(0 x x

dxxxx0

20

21 )]([)(

3

3x

x

dxxxx0

21

22 )]([)(

xdx

xx

0

62 ]

9[

633

73 xx

x

dxxxx0

22

23 )]([)(

xdx

xxxx

0

141062 ]

3969189

2

9[

595352079

2

633

151173 xxxx

.05.0

]2

1,2

1[,)(3

解误差不会超过

上与真正在区间就是所求的近似解 x

例 2 求初值问题

0)0(,1 2 yydx

dy

解的存在唯一区间 .

解 ,,ba对任意 均在矩形区域函数 ),( yxf

},|),{( byaxyxR 计算有连续的偏导数且对内连续 ,, y

),(),(

yxfMaxMRyx

;1 2b }1,min{

2b

bah

,都可任意取和由于 ba 最大使我们选取21

,b

bb

.12

1

1,1

22的最大值为时显然

b

b

b

bb

1,1 ba故可取

.2

1

2

1 x

是题的解的存在唯一区间此时由定理得到初值问

例 3 利用 Picard 迭代法求初值问题

0)0(),1(2 yyxdx

dy

的解 .

解 与初值问题等价的积分方程为

x

dxyxxy0

)1(2)(

其迭代序列分别为,0)(0 xy

xxdxxy

01 2)( 2x

x

dxxxxy0

22 )1(2)(

!2

42 xx

x

dxx

xxxy0

42

3 )!2

1(2)(!3!2

642 xxx

)(xyn

!!2

242

n

xxx

n

取极限得

)(lim xynn

,12

xe

即初值问题的解为 .12

xey

作业

P78 1,3,4,8