Upload
salali
View
75
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Функция нескольких переменных. Основные понятия. уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0, С ≠0. , z-есть функция 2-х. переменных x и y ; x , y. Геометрическая плоскость. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Функция нескольких переменных.
Основные понятия.
уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0, С ≠0.
C
Dy
C
Bx
C
A
D
, z-есть функция 2-х
переменных x и y ; x,y
Геометрическая плоскость.Если в общем случае z = f(x,y)- определяет уравнение поверхности. Каждой паре x и y (из области D)- ставится в соответствии z.P-поверхность есть крыша, построенная над областью DЗакон, по которому каждой паре чисел x и y из области D, ставиться в соответствии одно значение z из E , называется функцией 2-х переменных z = f(x,y).
D- область определения функции, E- область значений функции z = f(x,y)D- область определения функции 2-х переменных представляет собой некоторое множество точек плоскостиГрафиком функции f(x,y) называется множество точек (x,y,f(x,y)) пространства, т.е. поверхность.
Полное приращение функции z = f(x,y) в точке M(x,y) определяется формулами:
),(),( yxfyxxfzx
),(),( yxfyyxfzy
Число A называется пределом функции z = f(x,y), при M(x,y)
стремящимся к точке ),( 000 yxM, если для всех ξ >0 существует такое δ >0, что при всех M, расстояние которых до точки
0M меньше f, т.е.
0MM <f; выполняется неравенство AMf )(
Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке ),( 000 yxM, если выполняется условие
),(),(lim 00, 00
yxfyxfyyxx
.
< ξ
Частные производные функции нескольких переменных. Полные дифференциалы.Для функции z = f(x,y) частные производные в точке M(x,y) по x и по y соответственно определяются формулами
x
yxfyxxfyxfz
x
zx
xx
),(),(lim),(
0
//
y
yxfyyxfyxfz
x
zy
yy
),(),(lim),(
0
//
При нахождении частных производных пользуются обычными правилами дифференцирования.Если полное приращение функции z = f(x,y) в точке M(x,y) представлено в виде
yQxPz ξ( 22 yx
, где P и Q постоянные в точке M(x,y), то выражение
yQxP называется полным дифференциалом функции z = f(x,y) в этой точке и обозначается через dz ;
yQxPdz
)
Теорема:
Функция, обладающая непрерывными частными производными, имеет полный дифференциал, причем
dyyxfdxyxfdz yx ),(),( //
Функция, имеющая полный дифференциал, называется дифференцируемой.
Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям. Формула для приближенных вычислений.
dzz
)( 22 yxOdzz
yyxfxyxfyxfyyxxf yx ),(),(),();( //
Частные производные и полный дифференциал высших порядков
),()(
////2
2
22 yxfzxx
z
x
zxx
),(
)(////
2
2
22 yxfzy
y
z
y
zyy
Смешанные производные:
////2 )(
xyxy fzyx
z
yx
z
////2
)(
yxyx fzx
y
z
xy
z
Теорема:
Если функция z = f(x,y) и её смешанные производные определенны в некоторой окрестности точки M(x,y) и непрерывны в этой точке, то
////yxxy zz
22
222
2
22 2 dy
y
zdxdyyx
zdx
x
zzd
Понятие о производной функции по данному направлению.
Под производной
l
z
функции z в данном направлении l
понимается предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения l при условии , что 0l , т.е.
l
z
l
z l
l
0lim
Для функции u = f(x, y, z) по аналогии получаем, что
coscoscosz
u
y
u
x
u
l
z
, где
,, - углы, образованные направлением lи осями координат.
Формула для вычисления
l
z
Градиент.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого служат значения частных производных этой функции, т.е.:
jy
zix
zzgrad
/
аналогично: если u = f(x, y, z), то:
kz
uj
y
uix
uugrad
Теорема.Вектор-градиент указывает на направление наискорейшего возрастания функции.
Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то уравнением касательной плоскости к поверхности в её точке ),,( 0000 zyxM , где
),( 000 yxfz служит уравнение
)()(: 0),(0),(0 0000yy
y
zxx
x
zzz yxyx
)1;;( ),(),( 0000
yxyx y
z
x
zn -
нормаль плоскости
Если
sn , где s - направляющий вектор прямой,
0M Такая прямая называется нормалью к поверхности в этой точке: из геометрии получим уравнение нормали:
10
),(
0
),(
0
0000
zz
y
zyy
x
zxx
yxyx
проходящий через точку касательной плоскости.
Экстремум функции нескольких переменных.
Точка ),( 000 yxM называется точкой экстремума (максимума или
),( yxfz , если ),( 000 yxfz есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции
),( yxfz в некоторой окрестности точки ),( 000 yxM
Заметим, что )(0 zDM (области определения)
минимума) функции
Теорема.
Необходимый признак экстремума: Если точке ),( 000 yxM функция ),( yxfz
имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю или не существуют.
Теорема.Достаточное условие экстремума для функции ),( yxfz
Пусть в точке ),( 000 yxM
0x
zи 0
y
z
Вычислим
Ax
zyx
),(2
2
00 B
yx
zyx
),(
2
00
Cy
zyx
),(2
2
00
1)Если 02 BAC , то в точке ),( 000 yxM
экстремума нет
02 BAC, то заключение о существовании экстремума сделать нельзя
02 BAC , то экстремум функции ),( yxfz в точке ),( 000 yxM есть и ),( 00max yxfz , при
0,0 CA или ),( 00min yxfz , при
0,0 CA.
2)Если
3)Если
Абсолютный экстремум функции.
Теорема 1.
Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в этой
области своих наименьшего и наибольшего значений.
Теорема 2.Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической
точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.
Условный экстремум.
Дано: ),( yxfz и линия на плоскости: 0),(: yxl
Задача: Найти на l такую точку ),( 000 yxM , в которой значение функции
),( yxf наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции
l , находящихся вблизи точки 0M
Такие точки называются точками условного экстремума функции ),( yxfz на линии lЯсно, что точка обычного экстремума является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. (обратное может и не быть)
Уравнение линии
0),(: yxl называется уравнением связи.
в точках линии
1)Правило нахождения условного экстремума.
Если )(xty , то ))(,( xtxfz
- получаем функцию одной переменной. Находим 0x ,
)( 00 xty
),( 000 yxfz
2)Метод множителей Лагранжа.
Если уравнение связи : 0),( yx , то составляем функцию
),(),(),,( yxyxfyx Значение и координаты точки ),( 000 yxM находятся из условий
).0(),(
0
0
илиyx
y
x
Решая систему, получим значения
0 , ),( 00 yx
, с помощью достаточного условия экстремума в точке
Надо исследовать функцию
),(),(),( 0 yxyxfyx
),( 000 yxM