Потенциальное (упругое) рассеяние

Потенциальное (упругое) рассеяниеЧастица массы m в поле рассеивающего потенциала U(r):

)()()(2

2

rrrUm

p

Волновая функция (r) вдали от рассеивателя r

ikri er

fe

)()(

krr

k = (2m)1/2 - волновой вектор, = 1, f() - амплитуда рассеяния

Поток рассеянных частиц, сечение рассеяния

dffdd

drr

fvdSvdN

jddN

dd

22

22

22

)(,)(

,

Фазовая теория рассеянияРассеяние на изотропном потенциале

Разложение волновой функции по парциальным волнам

mllmllm YrRA

,

),()()( r

Радиальная

часть Rl

,,,/1)0(

,,)(

:

/1,,0)1(1

:0

,0)(2)1(1

)(*)(1)(

*)()(

)2

(

)(22

2

12

22

222

2

lilll

ll

ll

lkri

ll

llll

l

ll

ieCRCCRRrrR

RRr

eRrRk

dr

rRdr

rrRRrll

drdR

rdrd

rr

RrmUrll

kdrdR

rdrd

r

Асимптотическое поведение

Rl(-) - сходящаяся, Rl(+) расходящаяся, волна, l - фаза рассеяния.).(

,)

2sin(2

)(

)()(

li

li

l

l

l

ReReiR

r

lkr

rR

ll

Разложение плоской волны

)()()(4 *

,

rkkrlmlml

ml

li YYkrjie

Сферические функции Бесселя jl, j0(x)=sin(x)/x

jl(x)=( /2x)Jl+1/2(x) ,/)2/sin()(

,0)()1()(1

222

2

krlkrkrj

krjrll

kdr

krdjr

drd

r

l

ll

)()()12(4,4

)12()( 00 rkzk kr

lll

limlm Ykrjlie

lY

lm

lil

il

mlmml

lmllm

Yr

lkr

kei

l

kei

lAYrRA

l

l

),()

2sin(2

2)12(4)(

2)12(4,),()()(

0

0,

r

r

Разложение (r)

lll

kril

kri

lkri

lkri

l

Y

re

re

re

re

iki

l

l

),(2

)12(4)( 0)

2()

2(

)2

()22

(

r

lll

kril

kri

lkri

lkri

il

Y

re

re

re

re

ikei

lll

ll

l

),(2

)12(4)( 0)

2()

2(

)2

()2

(

r

ll

lkri

lkriil

Yr

er

eikei

lll

l

),(2

)12(4)( 0

)2

()2

(

r

ikrilm

iikr

l

i er

feYe

re

k

le l

)(),(1

2

)12(4)( 2 krkrr

l

l

i

Pik

elf

l

))(cos(2

1)12()(

2

Амплитуда рассеяния

S матрица lil eS 2 Парциальная амплитуда

ikS

f ll 2

1

Разложение амплитуды рассеяния

l

ll Pflf )(cos)12()(

Сечение рассеяния

0

22)sin()(2)( dfdf

12

2)sin()(cos)(cos '

0

' l

dPP llll

lll

ll

l lk

fl 2

2

2sin)12(

4)12(4

Парциальное сечение lll lk

fl 22

2sin)12(

4)12(4

Максимальное парциальное сечение )12(4

2max lkl

ll rR )(

Условие унитарности

Парциальная волна )()()()(2 llllli

l Se l

Расходящаяся волна )()( 0)()( nlll YrR

Сходящаяся волна )()( 0)()( nlll YrR

Суперпозиция парциальных волн

l

lllll

lllllll

ll ABASAA )()()()(

lillll eSASB 2

'', Матрица рассеяния S

Унитарность S матрицы 1,1 SSSll

Сохранение числа частиц )()(, llll jjAB

Оптическая теорема2*** }Im{,2,1,21 llllllllll fkffifffSSikfS

ikgfkf

lll 1

,}/1Im{

4)12(}Im{)12()}0(Im{

2 kfklflf

lll

l

4)}0(Im{

kf

Закон сохранения числа частиц

ikri er

fe

)()(

krr

Плотность потока частиц int3

2)(

)( jrvrj r

fv

0,)(

,0,0 int3

2

vdvdr

fvdd SjSrSvSj

4)}0(Im{,)0()0(

2

cos)()(2

*

1

0

)1(cos*)1(cosint

kfvff

ikv

rdfefevd ikrikr

Sj

Условие унитарности S матрицы в представлении плоских волн

rnnknnnnn

r nnn ',,1',

)',()( ' ikrikr e

rf

e

4)},(Im{,'

,'')',''()'',(2

),'()',(

,2.1

,)',()(41

)'(,21

,)'()'(2

)',()()'(2)'(2

)',()()()(

**

'

kf

dffik

ff

ikffffSS

dfFfFikfS

re

FSFr

ek

i

dfFr

ekre

iFkr

eiF

dfFr

edeFdF

ikrikr

ikrikrikr

ikrikr

nnnn

nnnnnnnnn

nnnnn

nn

nnnnnn

nnnnnnnn nnn

Приближение Борна

Условие приближения 11/,12 kavUamUa

Вероятность рассеяния3

222

)2('

2'

2'2

k

kkdkk

UdW

2

0

2

0

)'(

2

2

2

3

2222

)sin()(4,

)sin()(4)(

,'),()('

,')2()2(

''2

'2

'2

drqqr

rUmdd

drqqr

rUU

UdeUU

Umdkk

mk

mk

Uvjd

dWdd

i

q

kkqqrrkk

kkkk

rkk

Квазиклассическое приближение

Квазиклассический предел

lpEU

pl

paka

pha

l

/1//)(

,1,1/

,1/,0

,/,

dd

ddl

kl

dd

kldl

d

eel

k

Pflf

l

lili

l

lll

ll

)sin()sin(

),(,,02

,sin2

1

)(cos)12()(

2

4)

2

1(2

4)

2

1(2

Классические траекториидвижения

Классическое сечениерассеяния

Приближение WKB,Приближение эйконала

20

22

02

22

2

22

2

22

)2/1()(2.

4)2/1(

21

4)2/1(

)(21

),4

)2/1()(2

1sin(

0

0

0

r

lrUEmdr

rl

mE

drr

lrUEm

drr

lrUEmrR

r

r

l

r

r

l

1, kaUE

20

22

2

22

2 ,)(1

0r

lk

rl

k

drrmU

r

l

Квазиклассическая волновая функция

Квазиклассическая фаза рассеяния

kl

dzklzUk

m

kl

zzr

rl

k

drrmU

l

kl

l

,))/((

,,)(1

0

222

22222

/2

22

2

.2

2

,)(21

)(

222

22

Udzk

mkdzdzU

mk

dzzUv

Эйконал

Квазиклассическая фаза рассеяния

Квазиклассическая амплитуда рассеяния

dldeik

elf

ldelJP

Pflf

lii

lil

lll

l

cos2

2

0

cos0

2)1(

221

)(

1,1,21

)()(cos

)(cos)12()(

Замена переменных

22

00

)(2

1)(2

1)(2

)(

,)(),/(,,,

deSi

kddeS

ik

f

eSklkqkll

ii

il

qq

Борновский предел

rqrderUm

f

dzzUvi

ie

i

i

)(2

)(

,)()(2)1(,1)(

2

22)(2

Сечение рассеяния

222 ))((sin4)}(1Re{2)}0(Im{4

ddSfk

Рассеяние медленных частицka << 1

)sin()(2)cos()(2)(

/)sin()2

cos(2/)cos()2

sin(2

/)2

sin(2)(

lllll

ll

ll

krykrjarR

rl

krrl

kr

rl

krrR

Волновая функция вне действия потенциала r >> a

Волновая функция в области действия потенциала r < a

0)(2)1(1

22

2

ll RrmU

rll

dr

dRr

drd

r

Сшивание волновых функций a<r<1/k

2

0

22

12

1

4

,)(

,)(2

1,)()(

,/1)1(,)1(

,)()('

)()(')(

)sin()(2)cos()(

)sin()(')cos()(''

ff

kakik

efkatg

xxyxxj

krykrky

krjkrkjtg

krykrj

krykrjk

R

R

lli

ll

l

ll

ll

lll

llll

llll

llll

l

ll

l

Резонансное рассеяние медленных частиц

резонанс в s - волне, l = 0

/)(/1/1

2,)sin()cos(

,1)sin()cos(

)cos()sin(

,)(

11

,)cos()sin()sin()cos(

)(

0

0

000

0

atgaag

mUaa

ak

kakakkakak

g

ikkctgikgf

kakakkakak

tg

Условие резонанса,

kg 2

,0,0 00

ikkrikkgf

Emk

ikf

kgm

ear

a

r

2/1

)(1

,)(

124

,1

)0(,/12

,)(

/1

200

0

22

0

0

2

резонанс с l 0

4/)()12(

,2/2/

,/2,2/

2/1

)(

1

),()(,/1)(,

,''

21

)0(

1)(1

22

2

2

12

22

2

Ekl

iEiE

S

kbkEiEkikE

Eb

f

EEb

kgkkgkf

ikkggikkgf

l

ll

l

l

lll

ll

l

lll

l

Аналитические свойства S матрицы

0)(

)(

)2

()(

)()(

|)(

)(

)(

)()(

,0)0(,)(

),()()()(

rkl

kl

l

ll

kl

lkri

kl

kllkllkl

r

r

ka

kbkS

er

rkbrka

k -k klkl C

)(/1)(

,)1( )()(

kSkS ll

kll

kl

t -t klkl C *

)(/1)(

),(/1)(

,

**

*

)(*)(

kSkS

kSkS

ll

ll

klkl

),()( ** kSkS ll

k

)(, kSk l)(, ** kSk l

)(/1, ** kSk l)(/1, kSk l

Вещественная ось

)(),()(

,)(),/(1)(),(21)(

,0)}(Im{,1)()(

2

*

kggkgkg

ikg

ikgkSikgkfkikfkS

kkSkS

llll

l

llllll

lll

Мнимая ось 0|)}|(Re{),()( ** kikSkS lll

Особенности S матрицы

Полюса S матрицы, связанные состояния E=E0<0

0)(,)(,0)0(,

,)(,2

00)()(

)2

()(00

000

0

0

kSkkS

ermEikk

lllklklk

lirk

lk

Пример:резонанс вs - волне,ka << 1 ,

2,,)(

,0,0,)(

2

00 mEik

ikik

kS

glikgikg

kS

l

l

ll

Положение полюсов k0=k’+ik”:k” >0, k’=0; k” <0, k’1=- k’2

0"',0}Im{,2/)"'(

,,0)"'(

02

0

''')(0

1

00

kkEmikkE

eikkkS rkrikrlklkl

Условие непрерывности

Rr

R

drd

drd

mi

drt

dmi

ddVt

**

0

2

**2

2

2

SSj

,)"'2"'(

2'''

)(22

00

tkikkkm

irkrik

rlklk e

.0',0";0"

,'"'2

,"'2

,

"2

0

2

22

)"'2"'(2

''')(

22

00

kkk

emk

drm

kk

mkk

t

e

RkR

tkikkkm

irkrik

rlklk

Полюса на нефизическом листе k”<0, резонансы k”<<k’

)(2

0

0

0

2

0

2222*00

)(2*00

0*0

)0(

)0(

2

2)(,,"

,2

'

,"2'')"())((

,))(())((

)(

kil

kil

ei

EE

iEE

kSEm

kk

mk

E

ikkkkkikkkkkk

ekkkkkkkk

kS

Свойства вычетов

Полюс на физическом листе k0=iik

CkS l

l )(

Связанное состояние с энергиейm

E2

2

0

и волновой функцией 1,)(0

2

dreAr lr

ll

21)1( ll

l AiC

Волновая функция задачи рассеяния с импульсом k= i +

1,

,)1(

)(

0

2

,

dr

eC

eAr

lllik

rir

l

lrir

lkl


Rr

R

drd

drd

mi

drt

dmi

ddVt

**

0

2

**2

2

2

SSj

.)1(22

2)1(2

2

,2"'2

21

0

2

22

2**

222

ll

lR

Rll

l

l

Rr

ACm

idr

m

eA

AC

imdr

ddrd

mi

mmkk

t

Теорема Левинсона

bll N )0()(

0

)0()(4)(4)(2

),()(),(2

idkkidkkidkSS

kkkiSS

l

l

l

l

Функция Йоста Dl(k)

).()1()(

),0()(),0()(*

)(*)(

kDkD

kDkD

ll

l

kllkll

.)(

1)()(

),()(,4)()(

2

,)()(

)()(

)()(

,)()(

)0()0(

000

*

2

***

)(

)(

kkkDkD

kkBkkDiNdkkDkD

dkSS

kDkD

kDkD

kDkD

DDDDD

SkDkD

S

l

llb

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

lllll

l

l

kl

kll

Квазистационарные состояния

.,2/ 00 EiEE Энергия состояния

Волновая функция .0)0(, )()(

000

lklklk

Временная зависимость волновой функции

.)(,)(,)( 0

220 ttttiEiEt eNtNeteet

Пространственная зависимость волновой функции

.)(

,2

24

",2',)(

,2

42)2/(2,)(

2"22

00

"'

000

rvrk

rkrik

ikr

eAeAr

vEm

kmEkAer

Em

imEiEmker


Rr

R

drd

drd

mi

drt

dmi

ddVt

**

0

2

**2

2

2

SSj

.),(),("2

,'"'2

,"'2

,

/0

22

"2

0

222

)"'2"'(2

''')(22

00

vrt

RkR

tkikkkm

irkrik

rlklk

eNrttNkA

emk

Adrm

kkm

kkt

Ae

Квазистационарное состояние в задаче рассеяния

Полюса на нефизическом листе k”<0, резонансы k”<<k’

.)(2

)()(

,

2

2)(,,"

,2

'

,"2'')"())((

,))(())((

)(

0

)0(

)(2

0

0

0

2

0

2222*00

)(2*00

0*0

)0(

)0(

EEarctgkk

ei

EE

iEE

kSEm

kk

mk

E

ikkkkkikkkkkk

ekkkkkkkk

kS

l

kil

kil

)0(2

0

)0(

22

0

2

2

2

2

sin4

2

sinRe4

4

)12(

1)12(

)0(

iEE

e

EEkl

Skl

i

ll

Зависимость волновой функции рассеяния от энергии налетающий частицы в области резонанса

kllklk

lkklkl

ErUm

ErUm

|0)')((2

|0))((2

''

'

)2

(2sin21

2

)2

sin(2)(

21

lim21

2

0

2

0

''2

'''

ll

R

kl

lkl

klkl

klkl

Rlkklkllk

kl

lkkllkklkllk

lkR

kdkd

Rdr

lkRR

kkkEmdr

Em

,

4)(

,)()(2

)()(

,)2

(2sin21

2

22

00

2

)0(

0

)0(

0

2

EE

vdr

kkk

arctgkEE

arctgkk

lkR

kdkd

Rdr

R

kl

l

ll

R

kl

.1)/(

,

2

0

2

vRT

Rv

vdr

kl

R

kl

Время соударения

)2

(2sin212

)(

4)(

)(,)( 22

00

2

ll

R

kl

lkR

kdkd

Rv

ET

EEETvIIETdr

Координатная и энергетическая зависимость волновой функции задачи рассеяния в области резонанса

1),(

4)(

)(0

2

0022

0

R

kl drrEE

vr

Резонанс в неупругом рассеянии

E E’

m

n

V

)()()(

,)(2

)12(4)(

),()(

,)(2

''

0

2

anmri

anmf

lkl

il

ai

ifif

rerr

rk

eilr

rr

dfEEVw

l

kk

k

k

rer

rr

iffr

iff

a

il

i

kl

EEk

lvw

dfEEV

dfEEVEE

vkl

w

rrEE

vk

eil

rEE

vr

l

,

4)(

)12(

,)(2

,)(2

4)(

)12(

),()(

4)(

2)12(4

),(

4)(

)(

22

0

2

2

0

2

022

0

2

0022

0

022

0

Многоканальное рассеяниеjjii YXYX

ii

ii

ii

i

iiii

YX

YXi

i

iiiiii

ilmi

lrki

iilk

YXii

iilkiilki

mm

mmkvEk

Yr

ev

Rr

,,)(2

),(1

)(

,,)()(

)2

(

)(

)()(

n

rr

Волновая функция многоканальной задачи

S

Если E > i - i канал рассеяния открыт, Im{ki}=0. Если E < i - i канал рассеяния закрыт, Re{ki}=0, i=0.

Размерность S - матрицы mm, m - число открытых каналов.

Сечения рассеяния, разложение по парциальным волнам

l ijjlk

ljiilk

lii

l

i

ii

i

l ijjlk

ljiilkilk

lii

l

i

i

ii

ii

iii

SSilik

ve

SSilik

v

.)1()12(42

)12(42

)()()()(

)()()()()(

rk

Волновая функция на бесконечности

ji

ijl

jilji

ljijiij

lji

lj

ji

lji

ilij j

rik

li

i

lii

ili

rik

ii

kki

Sf

fkkiSkki

SPl

re

ikS

Plr

eer

jj

ii

ii

2

)(

2,2

)(cos)12(

2)1(

)(cos)12()(

)()(

)()()(

)(

rk

- амплитуда рассеяния

Дифференциальные сечение рассеяния

l

ljilji

jii

j

i

jiii

i

ii

i

e

fPlf

fv

v

d

df

dd

dd

)(

22

)(cos)12()(

,)(,)(

Полные сечение рассеяния

lij

lji

il

ljiji

l

lji

il

lji

i

j

l

ljiji

l

lii

il

lii

l

liiii

Slk

Slk

flv

v

Slk

fl

2)(2

)(

2)(2

2)()(

2)(2

2)()(

)12(

)12()12(4

1)12()12(4

,iie

Сечение упругого рассеяния

Сечение неупругого рассеяния

Полное сечение

ret ,

ij

jir

Условие унитарности

jiki

lji

ljk

j ii

lji

jj

ii

iiliilii

SSSII,

*)(*)(

2

)(2)(2)(

)(,

)(,

,

- парциальная волна с моментом l

Закон сохранения числа частиц: )()( II

1SS )()(*)()( , llik

j

ljk

lji SS

),Re21)(12(),1)(12(

,1)12(,1

,,11,1

)(2

)(2)(2

)(

2)(2

)(2)(2)(

2)(2)(2)(

lii

i

lt

lii

i

lr

lii

i

le

lii

ij

lji

lllij

lji

lii

j

lji

Slk

Slk

Slk

SS

iSSS

.

,111

,)12(

),12(,0

,0,0,1

,0,1

)()(0

)(0

)()()(0

)(0

)()()(

2)(2

)(0

)(

2)(

0)()()(

)()()(

)()()(

lr

llle

lr

ll

lii

lii

lii

lii

i

llr

i

llr

le

lii

lr

le

lii

lr

le

lii

SSS

Slk

lk

S

S

S

Оптическая теорема

ti

e

ti

l

ljie

lti

j

ljij

lii

j

ljijiji

ljijiij

j

lij

kf

kflf

lk

fkf

fkkifkki

S

4)}0(Im{

,4

})12(Im{)}0(Im{

,)12(4

}Im{

,1)2)(2(

,1

)(

)(2)()(

)(*)(

2)(

Обратимость времени, теорема взаимности

t -t Ψ Ψ*

)(/1)(),(/1)(, ***)(*)( kSkSkSkS lllllklk ii

Условие унитарности )(/1)( kSkS ll

Симметричность S - матрицы )()(),()(~ lji

lijll SSkSkS

Теорема взаимности

ii

ij

jj

ji

jiij

mlml

lmjlmlm

ilml

jiij

ij

dp

d

dp

d

ff

YYYYSkki

f

22

***)(

).,(),(

),()1()(),()(2

4),(

pppp

nnpppp

Принцип детального равновесия

Аналитические свойства

Точки ветвления )(2, 111 ii mkE

Полюса на физическом листе E < 1, , Re{ki}=0, Im{ki}>0

Связанные состояния E = E0< 1, Ψ (+)

.)(2

,)(

00

)(0

0

iii

iilmi

rk

iiRrii

ii

Ek

Yr

eAA

ii

n

Волновая функция задачи рассеяния

jjlk

ljiilki ji

S )()()(

i

jjiiii

iiii

ijjjijil

jikk

v

vkk

bkk

bAvCkk

CS

ii

,)(

,,,

001

0

101

)(00


ii

ij Rr

lklklklkj

R

i

jlklklklk

ji

bdrd

drdi

dVt

di

ddVt

jjjj

jjjj

1**

0

2

**2

,2

2

SSj

1

*1)(

1

*1*

*1

0

2

*

*1**

1222

)1(

,)1(,)(

2)1(

2

)()1(

2

)1(,

22

v

vvAAiC

v

vAib

bvA

bvA

idr

bvA

bvA

idrd

drdi

evb

eAkk

t

ijji

llji

ii

li

ii

i

ii

i

i

ilR

ii

ii

ii

i

ii

i

i

il

Rrlklklklk

i

rir

ii

l

ijrir

jlkii

iii

i

iii

ijii

iiiijjjj

j

Формула Брейта - Вигнера

2

0

)(2)(

0

1

1011

1

101)(

,

222

)1(

,

2

)1()1()(

iii

ji

iji

i

i

ijl

ji

jiijl

jiijl

lji

AviEEkki

ie

ike

f

iEE

AAvvi

kkv

AAvvikkS

jii

Условие унитарности i

ij

ljij

lii fkf ,}Im{

2)()(

i=vi|Ai|2 - парциальная ширина, = i i - полная ширина.

Резонансное рассеяние на квазидискретном уровне E=E0-i/2 , E0.

22

0

2)(2)()(

2)(

)12(,124

EE

kl

fl ji

i

lrj

lii

le

- поток частиц сорта i

,sin4

2

sinRe4

4

)12( 2

0

22

0

2

2

ei

iee

ie i

EE

e

EEkl e

ieieer

re

ir

EEkl

,,,

4

)12(2

20

2

Рассеяние через образование промежуточного квазистационарного состояния, прямое рассеяние

Сечение образования промежуточного квазистационарного состояния в пренебрежении каналом прямого потенциального рассеяния

.,,

4

)12(2

20

2 tri

rite

ee

it

EEkl

Резонансы формы

Пример: Неупругое резонансное рассеяние с возбуждением мишени

E E’

m

n

V

).()(),()(

,)(2

'0

2

anmfai

ifif

rrrr

dfEEVw

kk

rer

rr

eriffr

iff

a

il

i

EEk

lvw

dfEEV

dfEEVEE

vkl

w

rrEE

vk

eil

l

,

4)(

)12(

,,)(2

,)(2

4)(

)12(

),()(

4)(

2)12(4

22

0

2

2

0

2

022

0

2

0022

0

Резонансы ФешбахаПример: Резонансное рассеяние с образованием автоионизационного состояния.

E Ea

m

n

V

E Ea

m

n

V

E E Ea

m

n

V+

Автоионизационная ширина ,)(2

2

0 dEEEEV nmanmaEae

Неупругая ширина ,)(22

dfEEEV nmafnmafar

Сечение резонансного рассеяния

.

4

)12(2

20

2

2

EE

kl a

ie

Сечение захвата

.,

4

)12(2

20

2 rara

att

EEkl

).1(,1

),Re21(

2

2

2

2

2

iii

optet

optaii

i

opte

iii

t

Sk

Sk

Sk

Оптическая модель рассеянияБольшое число плотно расположенных резонансов

Усредненные сечения, l=0

Усреднение S матрицы, << D.

.2

,1,

2

1

2

2)(2

0

)(

Dk

eD

SeiEE

iS

e

i

opta

ielii

ielii

ee

Принцип детального равновесия:

Dkw

k

vwm

pIv

pp

e

id

i

opta

ijjjijjijiji

2

2

2

2

32

2

2

2

22

,,)2(

4,

22

12

,20

D

k

e

i

opta

Пороговые явленияE i, Ti= E - i 0

Пример: i=1,2; E , T2 0, k2R << 1

2)()(

211)()(

111)(

1 211

lkl

lkl

lk SS Волновая функция задачи рассеяния частицы 1

Условие сшивания при r=R

212221

122

)(212

2

21)(

1212

2

2)(212

1

)(21

2/12

2)(

)(21

(int),22

)()(21

22/12

2)(

2

)2

(

22

)(

/1,

,,)12(

,)(

1,)(

,1,1

)(),(1

)(

2

2

2

22

2

vv

kkk

kSlk

kRr

SRrS

Rkk

RrYr

ev

Rr

llll

l

ll

l

lk

lllk

l

llkilm

lrki

lk

n

- закон 1/v

1222

23

31

1

21

2

22

2

212

22322

2

1

3

32

1

21

2

22

2

121

/1)2(22

2

,/2)2(

42

)2(222

21

12

12

t

kk

kk

kk

vdkkk

Vv

Evk

Vv

dkkkV

v

Волновая функция ψ(+) в классически недоступной области r < ρ = l/k

2/1

2

1)

2

)2/1((2

)()()2

()(

1)(

1)(

1

)(1

)(,1

)(

2

2

l

ldrEmr

lm

drrk

kl

lkri

kl

krrve

rv

erv

rev

r

r

r

Закон 1/v и теория возмущений

Пороговое поведение сечения рождения заряженных частиц.1. Притяжение, qxqy < 0, отсутствие потенциального барьераl2 < |qxqy|mR

Волновая функция ψ(+) в классически недоступной области qxqy/r > (E - 2)

22

)(212

2

21)(

12)(

212

)()(

21

)()2

)2ln(()(

,,)(

1

)(,/11

)(

2

vkk

constconstRr

S

constRrvev

Rr

lll

lk

l

kl

lkr

v

qqkri

kl

yx

2. Отталкивание, qxqy > 0, отсутствие потенциального барьераl2 < |qxqy|mR

,)(

1)(

1)(

1)( /2

)(2)(

0)(

00

v

qq

mE

qqdrEr

qqmdrrk

kl

yxyx

r

r

yxr

r eerv

erv

erv

rr

222

2

2

22

)(212

2

21)(

12

2

)(21

2)(

)(21 ,,

)(1 v

qq

llv

qq

lv

qq

lk

lyxyxyx

evkk

eeRr

S

,/11

)/()

2)2ln((

0)( ve

vEqqrr

lkr

v

qqkri

yxkl

yx

Поведение упругого сечения вблизи порога E 2

1. E 2

2. E 2

.0}Im{,21

1

,0,21

11,

)0(122

2)(11

122

2)(21

)(11

2/12

)(21

)0(

llil

lllll

AkeS

AAkSSkS

l

00

0

)0(

2

1

211

2

1

21111

2)(112

2)0(11

)0(22

)0(2

)0(

)1(22

)0()(11

122

2)(11

4

)(2),(

4),(),(

,,21

1

,)0(...)0()(

),(}Im{,1,21

1

ii

ili

llll

ll

llil

eik

EAfe

ikAk

fEf

eSAkeS

akk

kOSAkeS

l

l

Дифференциальное сечение рассеяния

},),(Im{2

)(2),(),( 02

111

22

11

2

11 ie ef

k

EAfEf

dd

E 2,

},),(Re{2

)(2),(),( 02

111

22

11

2

11 ie ef

k

EAfEf

dd

E 2.

iee

eeee

eff

fk

EAfEf

dd

),(),(

),(2

2),(),(

1

222

{sin(20-) E 2,

cos(20-) E 2.

Полное сечение рассеяния

EAE ee 222)()( {sin2(0) E 2,

cos(20)/2 E 2.

Взаимодействие в конечном состоянии при реакцияхРезонанс при рождении медленных частиц

2

2

222

221

2322

2

1

3

32

1

21

2

22

2

121

2,

,1

,)2(

42

)2(222

22

22

212

12

EE

kk

re

ike

kV

v

dkkkV

vrik

ikkk

kk

rk

Список вопросов по курсу Квантовая Теория Рассеяния.

1. Классический и квантовый подходы к задаче рассеяния. Оценка полного сечения рассеяния для потенциалов спадающих быстрее, чем кулоновский.

2. Разложение волновой функции движения частицы в поле рассеивающего центра по парциальным волнам.3. Фазовая теория рассеяния. Разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам.4. Сечение рассеяния. Полное, дифференциальное и парциальные сечения рассеяния.5. Условие унитарности для рассеяния. Оптическая теорема.6. Рассеяние быстрых частиц. Фазы и амплитуды рассеяния в приближении ВКБ.7. Дифференциальное и полное сечение рассеяние быстрых частиц в приближении эйконала. Примеры.8. Рассеяние медленных частиц. Поведение фаз, амплитуд и сечений рассеяния при малых энергиях.9. Резонансное рассеяние медленных частиц на короткодействующем потенциале. Длина рассеяния и

эффективный радиус взаимодействия. Рассеяние на реальном и виртуальном резонансном уровне. Примеры.10. Резонансное рассеяние медленных частиц с отличным от нуля орбитальным моментом. Зависимость ширины

резонанса от орбитального момента и энергии квазидискретного уровня. Примеры.11. Резерфордовское рассеяние.12. Аналитические свойства матрицы рассеяния.13. Полюса матрицы рассеяния.14. Свойства вычетов матрицы рассеяния.15. Теорема Левинсона..16. Квазистационарные состояния.17. Волновая функция задачи рассеяния вблизи квазистационарного состояния.18. Вероятности физических процессов, протекающих через образование квазистационарного состояния.

Примеры.19. Многоканальное рассеяние. S-матрица, амплитуды и сечения рассеяния.20. Аналитические свойства матрицы многоканального рассеяния.21. Оптическая теорема и унитарность матрицы рассеяния.22. Теорема взаимности. Принцип детального равновесия.23. Полюса и другие особенности многоканальной матрицы рассеяния.24. Свойства вычетов многоканальной матрицы рассеяния.25. Формула Брейта-Вигнера.26. Пороговые особенности сечений упругих и неупругих каналов рассеяния.27. Поведение сечений вблизи порога в случае рождения заряженных частиц.28. Взаимодействие в конечном состоянии при реакциях.

Documents

Потенциальное (упругое) рассеяние