1

利率交換之利差期間結構模型—吻合殖利率曲

線與分析解

Term Structure of Interest Rate Swap Spreads Consistent with the Market Yield Curve and Analytical Solution

2

報告架構研究動機與目的文獻回顧IRS 利差之評價模型實證研究結論與建議

3

研究動機龐大的契約規模重要的避險工具以 AIC 評價利率衍生性商品1998 年 LTCM 倒閉，與 2000 年美國宣布減少 30年期公債的發行量等市場因素…，使得 IRS 利差擴大並且波動加大。

4

五年期美元 IRS 利差走勢圖五年期美元IRS利差走勢圖

0

20

40

60

80

100

120

1993/6/1

1993/12/1

1994/6/1

1994/12/1

1995/6/1

1995/12/1

1996/6/1

1996/12/1

1997/6/1

1997/12/1

1998/6/1

1998/12/1

1999/6/1

1999/12/1

2000/6/1

2000/12/1

2001/6/1

2001/12/1

2002/6/1

2002/12/1

日期

利差

(bp)

資料來源：Datastream 資料庫

5

研究目的探討影響 IRS 利差之因子研究評價 IRS 利差模型指出 Grinblatt 模型之缺點矛盾處

利率期限結構無法吻合現今市場殖利率曲線理論模型與實證方法不一致未進行模型預測分析

修正 Grinblatt 模型，使之吻合現今市場殖利率曲線，且推導一理論與實證方法一致之數學分析解

Grinblatt(2001) 模型

6

本文與 Grinblatt(2001) 比較Grinblatt(2001) 本文

決定IRS利差之主要因子

流動性 流動性

利率期間結構與市場殖利率曲線

不吻合 吻合

理論模型與實證方法 不一致 一致

實證模型是否進行預測分析

否 是

7

文獻回顧IRS 利差決定因子之文獻回顧

信用風險

歐洲美元市場

交易對手

Sundaresan (1991)

Duffie-Singleton (1997)

Longstaff -Schwartz (1995)

流動性

Grinblatt (2001)

8

IRS 利差決定因子之文獻回顧流動性

Grinblatt(2001) 由於公債流動性高，使其成為利率避險的重要工具，因此市場 上有借券的需求。 投資人持有公債，可到 REPO 市場養券，相當於以一個很低的 利率借款。 因此相較於持有 IRS ，投資人持有公債則多了流動性利益 (liquidity based convenienced yield) 。 IRS 利差即為投資人持有 IRS 時，缺乏流動性利益之補償。 Grinblatt 以此流動性利益來建構 IRS 利差評價模型。

9

模型假設假設瞬間流動性利益 (instantaneous liquidity based convenience

yield),y(t), 是外生且隨機。假設瞬間流動性利益 (y) 為短率 (r) 與另一個狀態變數 (x) 之線性 函數，即 。交易是連續的。市場沒有交易成本。沒有交易對手的信用風險。 ( 資料使用 mid rate)沒有套利機會。x, 代表的是流動性因子，它可能受到

(1) 公債在外流通數，財政政策的改變，或發公債的時間的影響。(2) 即使公債流通數相同，也可能會因為投資人的偏好不同而不同。

xry

10

IRS 利差之公平市價T 年期 IRS 利差之現值 =T 年期流動性利益之現值假設每 T/N 年付息一次

)()/(

))/,()(( 0 流動性利益PVTN

NiTrPTSpi

其中流動性利益之現值為：

T drQQ

T drQ

T drQ

dtxrtxextxEtrPTrP

dtxrtxtreE

dttyeEPV

t

t

t

0 0,0

)(

000

0,00

)(

0

)(

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)))()(((

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0

0

0

流動性利益

其中期望值與共變數皆由風險中立下之機率結構所導出

11

Grinblatt 模型 假設短率 (r) 與狀態變數 (x) 皆為 Vasicek(1977) 設定下之

O-U 過程

b,e, 為長期平均水準， a,c 為均數回復的速度 為短率與瞬間流動性因子之波動程度。 d

Z,dW 為標準 Wiener 過程。

Px

Pr

dWdtxecdx

dZdtrbadr

)]([

)]([

dudZdW PP 21

xr ,

12

Grinblatt 模型 透過機率測度轉換後可得風險中立下之 IRS 利差之分析

解為：

其中，

N

i

Trxct

NiTrPN

T

dtta

XxeXtrPTrP

TSp

1,0

0

*0

*,00

)(

)()()()),(1(

)(

)]1

()1(1

[)()(

ac

ee

ct

tacct

cneX /*

為 Vasicek(1977) 所導出之時間 t 時支付一元，在時間 0 之零息債券之價值。

),0,(),( 00 trPtrP

13

Vasicek’s 零息債券價值

Vasicek 為一一般均衡模型，其所推導之利率期間結構與市場上之利率期間結構未必吻合。

PrdZdtrbadr )]([

,),(),,( ),( trTtBt eTtATtrP

其中 ,

a

TtB

a

batTTtBTtA

a

eTtB

tTa

4

),()2/)(),((exp),(

)1(),(

22

2

22

)(

14

Grinblatt 實證研究與參數估計

N

i

T rxct

NiTrPN

T

dtta

XxeXtrPTrP

TSp

1,0

0

*0

*,00

)(

)()()()),(1(

)(

估計市場上之利率期間結構與零息債券價格 以市場上觀察到之半年期、一年期之 LIBOR 與二、三、四、五、七年 期之 AIC 為基礎，利用三次樣條擬合 (cubic spine) 之方法內插出每半年 一次之 AIC 。再以拔靴法 (Bootstrapping）之方法求出零息債券之價格

最小平方法估計參數

15

Grinblatt 理論模型與實證方法不一致根據 Grinblatt 之理論

零息債券價格應是由 Vasicek 模型內生產出的理論值；也就是說，若要尋找殖利率曲線，應該是用 Vasicek 之零息債券價格封閉解與市場的資料校準，從中找尋封閉解的參數值，再把估計所得到的參數值代入封閉解，以便得到與理論模型一致之殖利率曲線來進行實證研究。

Grinblatt 的實證利用 cublic spline 與 bootstrapping 之方法求出市場上之零息債券價值來進行實證研究，導致理論與實證方法不一致之問題。

16

本文

修正 Grinblatt 模型假設短率服從 Hull-White(1990b) 模型所設定的過程，故所 得到之利率期間結構可吻合現今市場殖利率曲線。因此， 在 Hull-White 模型下，所得到之 IRS 利差模型可吻合現今 市場之殖利率曲線。實證方法與理論模型一致

17

吻合現今市場之殖利率曲線模型 假設短率 (r) 與瞬間狀態變數 (x) 皆為 Hull-White(1990b)

設定下之隨機過程

Px

Pr

dWtdtxetctddx

dZtdtrbtatdr

)()])(()([

)()])(()([

dudZdW PP 21

此模型假設均數回復速度與波動程度均可隨著時間而改 變。並且加上另一隨時間而改變之漂浮項 ,d(t) 。吻合現今市場之利率期間結構`

)(t

18

吻合現今市場之殖利率曲線模型經過機率測度之轉換，可得一風險中立下之 IRS 利差評價模 型

T t ukr

t

xkht hth

N

i

N

i

dtddueedXcexetrP

NiTrPN

TN

iTrPNT

TrPTSp

0

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0

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1,0

1,0

0

)))(()(()()()0()(

)(

1

)(

)),(1()(

其中，

datkt

0

)()(

dctht

0

)()(

)(

)(

)(

)()(*

tc

tne

tc

tdtX

),0,(),( 00 trPtrP 為 Hull-White(1990b) 所導出之零息債券價值。

19

Hull-White(1990b) 之零息債券價值P

r dZtdtrbtatdr )()])(()([

trTtBt eTtATtrP ),(),(),,(

),(log),(ˆ

),0(

)(),0(),(

2

1),0(ˆ),(),0(ˆ),0(ˆ),(ˆ

),0(

),0(),0(),(

2

0

2

TtATtA

dBt

tBTtB

t

tATtBtATATtA

ttB

tBTBTtB

t

其中 ,

Hull-White(1990b) 為一無套利模型，其所推導之利率期間結構吻合市場上之利率期間結構。

20

模型一 假設短率 (r) 與瞬間狀態變數 (x) 皆為 Hull-White(1994)

設定下之隨機過程，將 設為常數，即短率 (r) 與流動性狀態變數 (x) 之隨機過程如下：

)(),(),(),( ttctta xr

Px

Pr

dWdtxectddx

dZdtrbatdr

)]()([

)]()([

dudZdW PP 21

21

模型一 透過機率測度轉換後可得 IRS 利差之解為：

其中， 為 Hull-White(1994) 所導出之零息債券價值。

N

i

Trx

t cct

NiTrPN

T

dtta

dcXexetrPTrPTSp

1,0

0 0

*0,00

)(

)(])([)()),(1()(

)]1

()1(1

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ac

ee

ct

tacct

),0,(),( 00 trPtrP

22

Hull-White(1994) 之零息債券價值P

rdZdtrbatdr )]()([

trTtBt eTtATtrP ),(),(),,(

)1)((4

1),0(ln),(

),0(

),0(ln),(ln

1),(

223

)(

atataT

tTa

eeeat

tPTtB

tP

TPTtA

a

eTtB

Hull-White(1994) 為一無套利模型，其所推導之利率期間結構吻合市場上之利率期間結構。

23

模型二 假設短率 (r) 為 Hull-White(1994) 設定之隨機過程，瞬間

狀態變數 (x)服從 Vasicek 設定下之 O-U 過程：

Px

Pr

dWdtxecdx

dZdtrbatdr

)]([

)]()([

dudZdW PP 21

24

模型二 假設短率 (r) 為 Hull-White(1994) 設定之隨機過程，瞬間

狀態變數 (x)服從 Vasicek 設定下之 O-U 過程：

Px

Pr

dWdtxecdx

dZdtrbatdr

)]([

)]()([

dudZdW PP 21

25

模型二 透過機率測度轉換後可得 IRS 利差之解為：

其中，

為 Hull-White(1994) 所導出之零息債券之價值

N

i

Trxct

NiTrPN

T

dtta

XxeXtrPTrP

TSp

1,0

0

*0

*,00

)(

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)(

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()1(1

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ee

ct

tacct

cneX /*

),0,(),( 00 trPtrP

26

模型三 假設短率 (r) 與瞬間狀態變數 (x) 皆為 Vasicek(1977) 設定

下之隨機過程

Px

Pr

dWdtxecdx

dZdtrbadr

)]([

)]([

dudZdW PP 21

27

模型三 透過機率測度轉換後可得 IRS 利差之解為：

其中，

N

i

Trxct

NiTrPN

T

dtta

XxeXtrPTrP

TSp

1,0

0

*0

*,00

)(

)()()()),(1(

)(

)]1

()1(1

[)()(

ac

ee

ct

tacct

cneX /*

為 Vasicek(1977) 所導出之時間 t 時支付一元，在時間 0 之零息債券之價值。

),0,(),( 00 trPtrP

28

小結 本文推導出較一般之三個利差期間結構模型，皆吻合市場上之殖利率曲

線 Grinbaltt (2001) 模型是本文一般化 IRS 利差期間結構模型的一個特例，

在特定的參數設定下，本文可回到 Grinblatt 中以 Vasicek 為利率期間結構模型的利差模型

模型二優於模型三 (Grinblatt) (1) 比較模型二與模型三可知，兩個模型所推導出之 IRS 利差期間結 構模型，除了零息債券價格之函數型態不同外，其餘 IRS

利差期 間結構封閉解的型式相同，顯示兩模型最大差別在於是否

與現今 市場殖利率曲線吻合。 (2) 模型二吻合現今市場之殖利率曲線，而模型三之零息債券價格是 一理論均衡值，未必吻合現今市場之殖利率曲線

29

實證研究 資料

來源： Datastream 利用半年期及一年期之 LIBOR 與二、三、四、五、七年期之

IRS固定端報價 (AIC) ，及二、三、四、五、七年期之 IRS 利差進行參數估計。

期間： 1993/6/1~2003/5/30 之週資料 利用 1993/6/1~2002/12/31 之週資料進行參數估計 ( 每週二 ) 針對樣本外的預測，本文做兩種驗證：一是選取 1993/6/1至 200

2/12/31 之間，每半年取一次樣本外資料點 (取每半年的第一個週五 ) 進行預測能力的檢驗，本文稱這些時點為內插預測點；另一是選取 2003/1/1~2003/5/30 之間，每週取一次樣本外資料點(取每週五 ) 進行預測能力的檢驗，本文稱之為外插預測點。

利用橫斷面與時間序列的資料混合，一併估計參數

30

進行參數 1993/6/1~2002/12/31 之週資料 ( 每週二 ) 期間： 1993/6/1~2003/5/30 之週資料

1993/6/1 ( 每週二 ) 2002/12/31

對樣本外的預測 --內插預測 :選取 1993/6/1至 2002/12/31 之間，每半年取一次樣本外資料點

(取每半年的第一個週五 ) 進行預測能力的檢驗 -- 外插預測 :選取 2003/1/1~2003/5/30 之間，每週取一次樣本外資料點 (取每

週五 ) 進行預測能力的檢驗

1993/6/1 ( 每半年的第一個週五 ) 2002/12/31

2003/1/1 ( 每週五 ) 2003/5/30

31

實證模型 以模型二說明 : 假設短率與流動性因子無關下，且以數值積分逼近後：

：瞬間流動性利益受短率影響的係數。 ：風險中立下，流動性因子均數回復的速度。 ：風險中立下，流動性因子之長期平均水準。 ：風險中立下，流動性因子之起始值

N

i

n T

t

ct

N

i

T

t

ct

NiTrPN

T

tetrPxI

NiTrPN

T

tetrPXTrP

TSp

10

1' 000)'(

10

00

*0

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)),((

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)(

'0

'1)'( if

ifI其中

c

*X0x

32

參數估計方法 估計市場上之利率期間結構與零息債券價格

利用三次樣條擬合 (cubic spine) 之方法內插出每半年一次之 AIC

以拔靴法 (Bootstrapping）之方法求出零息債券之價格 以數值積分方式逼近積分 最小平方法估計參數

33

研究結果分析 模型一之參數估計結果

參數 估計值 標準差 t value Pr>|t|

-0.00798 0.00419 -1.91 0.0568

0.05

371.972 17.289 21.52 <.0001

-2.614 0.287 -9.11 <.0001

28.4024 2.9049

c

)(* bpY

)(0 bpx 之平均數

34

研究結果分析 模型二之參數估計結果

參數 估計值 標準差 t value Pr > |t|

-0.00798

0.00419 -1.91 0.0568

0.05

(bp) 216.89 3.101 69.94 <.0001

之平均數 (bp)

35.7089 2.878

c*X

)(0 x

35

模型解釋能力估計值與實際值之相關係數模型一之 IRS利差估計值與實際值之相關係數

模型二之 IRS利差估計值與實際值之相關係數

IRS年期 二年期 三年期 四年期 五年期 七年期IRS利差估計值與實際值之相關係數 0.969259 0.987654 0.994367 0.992980 0.992322

IRS年期 二年期 三年期 四年期 五年期 七年期IRS利差估計值與實際值之相關係數 0.969277 0.987633 0.994343 0.992970 0.992329

36

模型解釋能力

四年期IRS利差估計與實際走勢圖

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

1993/06/01 1994/10/14 1996/02/26 1997/07/10 1998/11/22 2000/04/05 2001/08/18 2002/12/31

時間

利差

(bp)

模型二估計值

實際值

模型一估計值

37

預測結果模型一之 IRS利差預測值與實際值之相關係數

模型二之 IRS利差預測值與實際值之相關係數

IRS年期IRS利差預測值與實際值之相關係數

內插預測相關係數 0.978364 0.981915 0.991311 0.989151 0.991384外插預測相關係數 0.883782 0.902678 0.899603 0.860793 0.883291

七年期二年期 三年期 四年期 五年期

IRS年期IRS利差預測值與實際值之相關係數

內插預測相關係數 0.978381 0.981879 0.991287 0.989145 0.991422外插預測相關係數 0.885322 0.914422 0.912191 0.867138 0.894279

七年期二年期 三年期 四年期 五年期

38

模型一之 IRS利差預測誤差表

模型二之 IRS利差預測誤差表

IRS年期 二年期 三年期 四年期 五年期 七年期內插預測平均預測誤差(bp) 0.3237 -2.7261 -1.6341 2.5586 0.0032外插預測平均預測誤差(bp) 1.6840 -6.3907 -5.8517 1.4716 -5.7757內插預測平均預測絕對誤差(bp) 5.5361 4.1918 2.6581 4.4810 3.9015外插預測平均預測絕對誤差(bp) 2.3917 6.5746 6.1839 2.3344 5.8397內插預測平均預測誤差百分比 15.27% 9.09% 5.03% 11.48% 8.27%外插預測平均預測誤差百分比 9.62% 16.28% 13.90% 6.23% 11.15%

IRS年期 二年期 三年期 四年期 五年期 七年期內插預測平均預測誤差(bp) 1.3645 -3.2382 -2.8322 1.4684 1.2310

外插預測平均預測誤差(bp) 6.8590 -2.8861 -3.1277 4.2421 -0.6913

內插預測平均預測絕對誤差(bp) 5.4219 4.5400 3.1881 3.8417 4.0248外插預測平均預測絕對誤差(bp) 6.8590 3.4231 3.7250 4.2421 1.7208內插預測平均預測誤差百分比 14.10% 10.25% 6.19% 9.26% 9.39%

外插預測平均預測誤差百分比 27.01% 8.48% 8.37% 11.23% 3.39%

39

結論與建議

改進 Grinblatt 模型之缺點與矛盾處 假設短率服從 Hull-White(1990b) 模型所假設的過程，推導一

吻合現今市場殖利率曲線之 IRS 利差之一般化模型。 在特定參數下可回到 Grinblatt 中之模型 實證方法與理論模型一致。

最後進行參數估計與預測，發現

本文以流動性作為影響 IRS 利差之因子

對配適樣本內的市場上實際之 IRS 利差資料非常好對預測樣本外的 IRS 利差之趨勢，具備不錯的預測能力；雖

然在預測 IRS 利差的趨勢上是具備不錯的預測能力，但是對

於預測 IRS 利差的準確度上是不足的。

40

結論與建議 後續研究建議 --將利率模型推廣至其它無套利機會利率模型，如 : Hea

th, Jarrow, and Morton (1990, 1992 ，簡稱 HJM)、 Brace, Gatarek, and Musiela (1997 ，簡稱 BGM) ，除了可以將現今市場的殖利率曲線建構進去模型裡面，還可以同時引進現今市場所隱含的波動曲線進去模型裡面，這或許可以提高預測 IRS 利差的準確度。

-- 模型一的流動性狀態變數 (x) 因時間而改變之漂浮項，除了可以簡化為無截距之時間線性函數外，亦可設定為各種不同型態的時間函數，看是否可以提高預測 IRS 利差的準確度。