第一节集合映射

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第一节集合映射一、集合二、映射

2© 2009, Henan Polytechnic University 2§1 §1 集合映射集合映射

第六章线性空间第六章线性空间教学内容：通过介绍基本概念，引出基变换和坐标变换，对线性空间和子空间进行了详尽地分析．教学目的及要求：以向量空间为几何模型帮助学生理解有关概念，让学生搞清线性空间的基本结构，会进行一些基本运算．教学重点：以线性空间维数和基的求解为重点．教学难点：难点为对同构和直和的理解．


第六章线性空间第六章线性空间

作为本章的准备 , 在这一章我们先来介绍一些基本概念 , 这些概念不但对于代数的学习是必要的 ,

般数学的学习也是不可少的 .

主要是集合和映射的概念 . 熟悉对于一

一、集合

1 、定义把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；组成集合的这些事物称为集合的元素．


第六章线性空间第六章线性空间常用大写字母 A 、 B 、 C 等表示集合；当 a 是集合 A 的元素时，就说 a 属于 A ，记作： a A

当 a 不是集合 A 的元素时，就说 a 不属于 A ，记作： a A

用小写字母 a 、 b 、 c 等表示集合的元素．

集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法

描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质 .

M ＝｛ x | x 具有性质 P ｝


第六章线性空间第六章线性空间列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来 .

例如 2 2

2 2{( , ) 1, , }x yM x y x y R

a b

例如 {0,1,2,3, },N 2 {0, 2, 4, 6, }N

M ＝｛ a1 ， a2 ，…， an ｝

空集：不含任何元素的集合，记为 φ ．注意：｛ φ ｝≠ φ


第六章线性空间第六章线性空间2 、集合间的关系

则称 B 是 A 的子集，记作　　 , （读作 B 包含于A ） B A

B A x B x A

则称 A 与 B 相等，记作 A ＝ B .

A B A B B A 且

子集如果 B 中的每一个元素都是 A 中的元素，

相等如果 A 、 B 两集合含有完全相同的元素，


第六章线性空间第六章线性空间3 、集合间的运算

　交集：　； { }A B x x A x B 且

并集： { }A B x x A x B 或

显然有， ;A B A A A B

例如 {1 2 3 4}; {2 4 6 8 10}A B ，，，，，，，

则 {2 4}A B ，

{1 2 3 4 6 8 10}A B ，，，，，，


第六章线性空间第六章线性空间例 1 、证明等式 : ．( )A A B A

( )x A A B 从而 , ．( )A A A B

证：显然， ( )A A B A

( )A A B A

x A B 有,x A 又

例 2 、已知， A B 证明：

A B A

证： , ,x A A B x B x A B

,A A B A B A 又， A B A


第六章线性空间第六章线性空间二、映射设 M 、 M´ 是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则 σ ，通过这个法则 σ 对于 M 中的每一个元素 a ，都有 M´ 中一个唯一确定的元素 a´ 与它对

称 a´ 为 a 在映射 σ 下的象，而 a´ 称为 a 在映射应 , 则称 σ 为 M 到 M´ 的一个映射，记作 : 　　　　: 'M M

σ 下的原象，记作 σ(a) ＝ a´ 或 : .a a

1 、定义

'M M 或



① 设映射 , 集合， : 'M M ( ) { ( ) }M a a M

称之为 M 在映射 σ 下的象，通常记作 Imσ ．

② 集合 M 到 M 自身的映射称为 M 的一个变换．

例 3 　判断下列 M 到 M ´ 对应法则是否为映射 1 ） M ＝｛ a ， b ， c ｝、 M´ ＝｛ 1 ， 2 ， 3 ，4 ｝ σ ： σ(a) ＝ 1 ， σ(b) ＝ 1 ， σ(c) ＝ 2 　　δ ： δ(a) ＝ 1,δ(b) ＝ 2,δ(c) ＝ 3,δ(c) ＝ 4

Im 'M 显然，

注 :


第六章线性空间第六章线性空间2 ） M ＝ Z ， M´ ＝ Z ＋，σ ： σ(n) ＝ |n|, 　　　　n Z

τ ： τ(n) ＝ |n| ＋ 1, 　　　　　 n Z

3 ） M ＝， M´ ＝ P ，（ P 为数域） n nP

σ ： σ(A) ＝ |A| ，　　　　　　　　n nA P

4 ） M ＝ P ， M´ ＝，（ P 为数域）n nP

τ ： τ(a) ＝ aE ，（ E 为 n 级单位矩阵）a P 5 ） M 、 M´ 为任意两个非空集合， a0 是 M´ 中的　

σ ： σ(a) ＝ a0 ，　　　　　　　　　　　a M 一个固定元素 .


第六章线性空间第六章线性空间例 4 　 M 是一个集合，定义 I ：

I(a) ＝ a ， a M

即 I 把 M 上的元素映到它自身， I 是一个映射，

任意一个在实数集 R 上的函数 y ＝ f(x) 都是实数集R 到自身的映射，即，函数可以看成是映射的

称为 M 上的恒等映射或单位映射．

一个特殊情形．

注：


第六章线性空间第六章线性空间2 、映射的乘积设映射， : ', : ' ''M M M M 乘积

定义为： (a) ＝ τ(σ(a)) 　 a M

即相继施行 σ 和 τ 的结果，是 M 到 M" 的一个映射．

① 对于任意映射，有　 : 'M M

M MI I

注：



有 ( ) ( )

② 设映射 : ', : ' '', : '' '''M M M M M M ，

证明只需证明( ) ( ) ( )( )a a 有,a M

由定义 ( ) ( ) ( )( ( ) ( ( ( )))a a a ）

( )( ) (( )( )) ( ( ( )))a a a

所以有结合律成立：( ) ( )


第六章线性空间第六章线性空间3 、满射、单射、双射

设映射：: 'M M

1 ）若 Im 'M ，即',y M

（或称 σ 为映上的） . 则称 σ 是 M 到 M´ 的一个满射,x M有 ( )y x使

2 ）若 M 中不同元素的象也不同，即 1 2, ,a a M 1 2 ,a a 1 2( ) ( )a a 若则



或称 σ 为 1—1 对应 .

3 ）若 σ 既是单射，又是满射，则称 σ 为双射 ,

则称 σ 是 M 到 M´ 的一个单射（或称 σ 为 1—1 的） .

或 1 2, ,a a M 1 2a a1 2( ) ( ),a a 若则

例 6 　判断下列映射的性质1 ） M ＝｛ a ， b ， c ｝、 M´ ＝｛ 1,2 ， 3 ｝

σ ： σ(a) ＝ 1 ， σ(b) ＝ 1 ， σ(c) ＝ 2

τ ： τ(a) ＝ 3 ， τ(b) ＝ 2 ， τ(c) ＝ 1 　


第六章线性空间第六章线性空间2 ） M ＝ P ， M´ ＝ ,n nP P 为数域 , E 为 n 级单位矩阵

τ ： τ(a) ＝ aE ， a P

σ ： σ(a) ＝ a0 ， a M

4 ） M 是一个集合，定义 I ：I(a) ＝ a ，　a M

5 ） M=Z ， M´ ＝ 2Z ，σ ： σ(n) ＝ 2n, n Z

3 ） M 、 M´ 为任意非空集合，　　　为固定元素 0a M



　　①　对于有限集来说，两集合之间存在 1—1 对

应；但是对于无限集未必如此 .

注：

σ 是 1—1 对应，但 2Z 是 Z 的真子集．

应的充要条件是它们所含元素的个数相同； ② 　对于有限集 A 及其子集 B ，若 B≠A （即 B 为

A 的真子集），则 A 、 B 之间不可能存在 1—1 对如例 6 中的 5.


第六章线性空间第六章线性空间4、可逆映射定义：设映射 : 'M M 的双射，

则有1 1,M MI I

②

①σ － 1 为的双射，M M到

定义： 1( ) ,a a ( ) ',a a 若

且 1 1( )

为 σ 的逆映射1 称

则为 M 到 ''M 的双射 .: ', : ' ''M M M M 分别为双射，③

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