二、 线性变换的简单性质

二、同构的基本性质

一、欧氏空间的同构

2© 2009, Henan Polytechnic University 2§3 §3 同构同构

第九章 欧氏空间第九章 欧氏空间一、欧氏空间的同构定义： 实数域 R上欧氏空间 V与 V'称为同构的，

如果由 V到 V'有一个 1－ 1对应　，适合

1) ( ) ( ) ( ),

, ,V k R 2) ( ) ( ),k k

3) ( ), ( ) ( , ),

这样的映射　称为欧氏空间 V到 V'的同构映射 .

3© 2009, Henan Polytechnic University 3§3 §3 同构同构

第九章 欧氏空间第九章 欧氏空间

1、若　是欧氏空间 V到 V'的同构映射，则　也是

线性空间 V到 V'同构映射 .

2、如果　是有限维欧氏空间 V到 V'的同构映射，

则 'dim dim .V V

3、任一　维欧氏空间 V必与　 同构 .n nR

二、同构的基本性质

4© 2009, Henan Polytechnic University 4§3 §3 同构同构

第九章 欧氏空间第九章 欧氏空间

标准正交基，

证： 设 V为　维欧氏空间，　　　　　为 V的一组1 2, , , n n

在这组基下， V中每个向量　可表成

1 1 2 2 ,n n ix x x x R

作对应1 2: , ( ) ( , , , )n

nV R x x x

易证　是 V到　 的 　对应 . nR 1 1

且　满足同构定义中条件 1）、 2）、 3），

故　为由 V到 　的同构映射，从而 V与　 同构 .nR nR

5© 2009, Henan Polytechnic University 5§3 §3 同构同构

第九章 欧氏空间第九章 欧氏空间

① 反身性；②对称性；③传递性 .

4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：

① 单位变换　是欧氏空间 V到自身的同构映射 .VI

② 若欧氏空间 V到 V' 的同构映射是　，则　　是 1

其次，对　　　　　　有　', ,V

( , )

事实上，　首先是线性空间的同构映射 .

欧氏空间 V'到 V的同构映射 .

1 1( ( )), ( ( )) 1 1( ), ( )

为欧氏空间 V'到 V的同构映射 .1

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第九章 欧氏空间第九章 欧氏空间

③ 若 　分别是欧氏空间 V到 V' 、 V' 到 V" 的同构映射， ,

则　 是欧氏空间 V到 V" 的同构映射 .

事实上，首先，　 是线性空间 V到 V" 的同构映射 .

( ), ( )

( ), ( )

其次，对　　　　　　有　, ,V

( ( )), ( ( ))

( , )

为欧氏空间 V到 V"的同构映射 .

7© 2009, Henan Polytechnic University 7§3 §3 同构同构

第九章 欧氏空间第九章 欧氏空间

5、两个有限维欧氏空间 V与 V'同构'dim dim .V V