母题 : 如图，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，使点 D落在边 BC 上的 F处，如果∠ BAF=30° ， AD= ，则∠ DAE=______ ， EF=_______ ．

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变式一 : 如图，折叠长方形的一边 AD，点 D落在 BC 边的点 F处，已知 AB=8cm ， AD=10cm ，求 EC 的长。

A

B C

D

F

E10

3

4

A

BC

E

Ox

y

B′

已知 tan∠OB ′C ＝（ 1）求出 B′ 点的坐标； （ 2）求折痕 CE所在直线的解析式

。

变式二 : 如图，在直角坐标系中放入一边长 OC为 6 的矩形纸片 ABCO，将纸翻折后，使点 B恰好落在 x轴上，记为 B′, 折痕为 CE，

，

变式三 :(08 湖州 24(3))已知：在矩形 AOBC 中， OB=4,OA=3 ．分别以 OB,OA 所在直线为 x轴和 y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． F是边 BC上的一个动点（不与 B,C 重合），过 F点的反比例函数 的图象与 AC边交于点 E．请探索：是否存在这样的点F，使得将△ CEF 沿 EF 对折后， C点恰好落在 OB上？若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由．

( 0)k

y kx

变式四 :在矩形纸片 ABCD 中， AB=2 ， BC=4 ，现将该纸片折叠，使点 A与点 C重合，折痕交 AD、 BC 分别与点 E、 F，则 EF= .

2

4

？

变式五 :将边长为 2a的正方形 ABCD折叠，使顶点 C与 AB边上的点 P重合，折痕交 BC于 E，交 AD于 F， �边 CD折叠后与 AD边交于点 H．（ 1）如果 P为 AB边的中点，探究△ PBE的三边之比 .

变式六 :将边长为 2a的正方形 ABCD 折叠，使顶点 C与 AB 边上的点 P重合，折痕交 BC于 E，交 AD 于 F，� 边 CD折叠后与 AD 边交于点 H． (2) 若 P为 AB 边上任意一点，还能求得△ PBE 的三边之比吗 ?

变式七 :将边长为 2a的正方形 ABCD 折叠，使顶点 C与 AB 边上的点 P重合，折痕交 BC于 E，交 AD 于 F，� 边 CD折叠后与 AD 边交于点 H．(3) 若 P为 AB 边上任意一点，四边形 PEFQ 的面积为

S,PB 为 x, 试探究 S与 x的函数关系 ,关求 S的最小值 .

解题策略：重结果——“叠”．

心得：先标等量，再构造方程。 折叠问题中构造方程的方法：

（ 2）寻找相似三角形，根据相似比得方程。

（ 1）把条件集中到一 Rt△中，根据勾股定理得方程。

探究型问题之“折叠与变换”

重结果折叠问题折 叠程过重

利用 Rt△ 利用相似方程思想

轴对称全等性 对称性

质本

精髓